Kəsrə rasional triqonometrik tənliklərin həlli. Triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar

Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında sizə məlumat verməyə imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizə vacib bildirişlər və mesajlar göndərmək üçün şəxsi məlumatlarınızdan istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə qaydasına, məhkəmə prosesinə uyğun olaraq və / və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində ictimai sorğular və ya dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq səbəbləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirlər də daxil olmaqla tədbirlər görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.

1C-dən 10-cu sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında təlimatlar və simulyatorlar
Həndəsə məsələləri həll edirik. Kosmosda tikinti üçün interaktiv tapşırıqlar
Proqram mühiti "1C: Riyazi konstruktor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:
1. Triqonometrik tənliklər hansılardır?

3. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün iki əsas üsul.
4. Bircins triqonometrik tənliklər.
5. Nümunələr.

Triqonometrik tənliklər nədir?

Uşaqlar, biz artıq arksinusu, arkkosinusu, arktangensi və arktangensi öyrənmişik. İndi isə ümumi olaraq triqonometrik tənliklərə nəzər salaq.

Triqonometrik tənliklər - dəyişənin triqonometrik funksiyanın işarəsi altında olduğu tənliklər.

Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli formasını təkrarlayırıq:

1) |а|≤ 1 olarsa, cos(x) = a tənliyinin həlli var:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |а|≤ 1 olarsa, sin(x) = a tənliyinin həlli var:

3) Əgər |a| > 1, onda sin(x) = a və cos(x) = a tənliyinin həlli yoxdur 4) tg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arcctg(a)+ πk

Bütün düsturlar üçün k tam ədəddir

Ən sadə triqonometrik tənliklər formaya malikdir: Т(kx+m)=a, T- istənilən triqonometrik funksiya.

Tənlikləri həll edin: a) sin(3x)= √3/2

Həll:

A) 3x=t işarəsi verək, onda tənliyimizi yenidən aşağıdakı formada yazacağıq:

Bu tənliyin həlli belə olacaq: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Dəyərlər cədvəlindən alırıq: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Dəyişənimizə qayıdaq: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Onda x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cavab: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n tam ədəddir. (-1)^n - n-in gücünə mənfi bir.

Triqonometrik tənliklərin daha çox nümunələri.

Həll:

A) Bu dəfə biz dərhal tənliyin köklərinin hesablanmasına keçəcəyik:

X/5= ± arkkos(1) + 2πk. Onda x/5= πk => x=5πk

Cavab: x=5πk, burada k tam ədəddir.

B) Bu formada yazırıq: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Biz bilirik ki: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cavab: x=2π/9 + πk/3, burada k tam ədəddir.

Tənlikləri həll edin: cos(4x)= √2/2. Və seqmentdəki bütün kökləri tapın.

Həll:

Tənliyimizi ümumi formada həll edək: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

İndi seqmentimizə hansı köklərin düşdüyünü görək. k üçün k=0, x= π/16 üçün verilmiş seqmentdəyik.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 olduqda yenidən vurdular.
k=2 üçün x= π/16+ π=17π/16, lakin burada biz vurmadıq, yəni böyük k üçün də vurmayacağıq.

Cavab: x= π/16, x= 9π/16

İki əsas həll üsulu.

Tənliyi həll edək:

Həll:
Tənliyimizi həll etmək üçün yeni bir dəyişən təqdim etmək üsulundan istifadə edirik, qeyd olunur: t=tg(x).

Əvəzetmə nəticəsində əldə edirik: t 2 + 2t -1 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapın: t=-1 və t=1/3

Onda tg(x)=-1 və tg(x)=1/3, ən sadə triqonometrik tənliyi əldə etdik, onun köklərini tapaq.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Cavab: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Tənliyin həlli nümunəsi

Tənlikləri həll edin: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Həll:

Eynilikdən istifadə edək: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Tənliyimiz belə olur: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) əvəzini təqdim edək: 2t 2 -3t - 2 = 0

Kvadrat tənliyimizin həlli köklərdir: t=2 və t=-1/2

Onda cos(x)=2 və cos(x)=-1/2.

Çünki kosinus birdən böyük dəyərlər qəbul edə bilməz, onda cos(x)=2-nin kökü yoxdur.

cos(x)=-1/2 üçün: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cavab: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen triqonometrik tənliklər.

Formanın tənlikləri

ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliklər.

Birinci dərəcəli homojen triqonometrik tənliyi həll etmək üçün onu cos(x)-a bölürük: Sıfıra bərabərdirsə, kosinusla bölmək mümkün deyil, bunun belə olmadığına əmin olaq:
Qoy cos(x)=0, onda asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lakin sinus və kosinus eyni vaxtda sıfıra bərabər deyil, bir ziddiyyət əldə etdik, ona görə də təhlükəsiz şəkildə bölmək olar. sıfırla.

Tənliyi həll edin:
Misal: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Həll:

Ümumi faktoru çıxarın: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sonra iki tənliyi həll etməliyik:

cos(x)=0 və cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk üçün Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 tənliyini nəzərdən keçirək tənliyimizi cos(x)-a bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cavab: x= π/2 + πk və x= -π/4+πk

İkinci dərəcəli homojen triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar?
Uşaqlar, həmişə bu qaydalara əməl edin!

1. Baxın a əmsalı nəyə bərabərdir, əgər a \u003d 0 olarsa, onda bizim tənliyimiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) formasını alacaq, bunun həllinə misal əvvəlki bənddə verilmişdir. sürüşdürün

2. Əgər a≠0 olarsa, onda tənliyin hər iki hissəsini kvadrat kosinusa bölmək lazımdır, alarıq:

t=tg(x) dəyişəninin dəyişməsini edirik və tənliyi əldə edirik:

Nümunə №: 3-ü həll edin

Tənliyin hər iki tərəfini kosinus kvadratına bölün:

t=tg(x) dəyişəninin dəyişməsini edirik: t 2 + 2 t - 3 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapın: t=-3 və t=1

Onda: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cavab: x=-arctg(3) + πk və x= π/4+ πk

Nümunə №: 4-ü həll edin

Həll:
İfadəmizi çevirək:

Belə tənlikləri həll edə bilərik: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Cavab: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Nümunə №:5-i həll edin

Həll:
İfadəmizi çevirək:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 əvəzini təqdim edirik

Kvadrat tənliyimizin həlli köklər olacaq: t=-2 və t=1/2

Onda alırıq: tg(2x)=-2 və tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Cavab: x=-arctg(2)/2 + πk/2 və x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Tənlikləri həll edin: sin(3x)= √3/2. Və [π/2 seqmentindəki bütün kökləri tapın; π].

3) Tənliyi həll edin: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Tənliyi həll edin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tənliyi həll edin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tənliyi həll edin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Heç kimə sirr deyil ki, demək olar ki, hər hansı bir problemin həlli prosesində uğur və ya uğursuzluq, əsasən, verilmiş tənliyin növünün müəyyən edilməsinin düzgünlüyündən, həmçinin onun həllinin bütün mərhələlərinin ardıcıllığının təkrar istehsalının düzgünlüyündən asılıdır. Lakin triqonometrik tənliklər vəziyyətində tənliyin triqonometrik olmasını müəyyən etmək heç də çətin deyil. Amma bizi düzgün cavaba aparmalı olan hərəkətlərin ardıcıllığını müəyyənləşdirmək prosesində müəyyən çətinliklərlə qarşılaşa bilərik. Gəlin əvvəldən triqonometrik tənlikləri necə düzgün həll edəcəyimizi anlayaq.

Triqonometrik tənliklərin həlli

Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün aşağıdakı nöqtələri yerinə yetirməyə çalışmaq lazımdır:

• Tənliyimizə daxil olan bütün funksiyaları "eyni açılara" gətiririk;
• Verilmiş tənliyi “eyni funksiyalara” gətirmək lazımdır;
• Verilmiş tənliyin sol tərəfini amillərə və ya digər zəruri komponentlərə parçalayırıq.

Metodlar

Metod 1. Belə tənlikləri iki mərhələdə həll etmək lazımdır. Əvvəlcə tənliyi ən sadə (sadələşdirilmiş) formasını əldə etmək üçün çeviririk. Tənlik: Cosx = a, Sinx = a və bu kimi tənliklər ən sadə triqonometrik tənliklər adlanır. İkinci addım nəticədə sadə tənliyi həll etməkdir. Qeyd etmək lazımdır ki, ən sadə tənliyi məktəb cəbri kursundan bizə yaxşı məlum olan cəbri üsulla həll etmək olar. O, həmçinin əvəzetmə və dəyişən əvəzetmə üsulu adlanır. Azaltma düsturlarının köməyi ilə əvvəlcə çevirmək, sonra əvəz etmək və sonra kökləri tapmaq lazımdır.

Sonra, tənliyimizi mümkün amillərə parçalamalısınız, bunun üçün bütün şərtləri sola köçürməlisiniz və sonra amillərə parçalaya bilərsiniz. İndi bu tənliyi homojen bir tənliyə gətirməlisiniz, burada bütün şərtlər eyni dərəcəyə bərabərdir və kosinus və sinus eyni açıya malikdir.

Triqonometrik tənlikləri həll etməzdən əvvəl onun şərtlərini sağ tərəfdən götürərək sol tərəfə köçürmək lazımdır və sonra mötərizədə bütün ortaq məxrəcləri çıxarırıq. Mötərizələr və amillərimizi sıfıra bərabərləşdiririk. Bizim bərabərləşdirilmiş mötərizələrimiz sin(cos) ilə ən yüksək gücə bölünmək üçün aşağı dərəcəli homojen tənlikdir. İndi tan ilə bağlı əldə edilmiş cəbri tənliyi həll edirik.

Metod 2. Triqonometrik tənliyi həll edə biləcəyiniz başqa bir üsul yarım bucağa keçiddir. Məsələn, tənliyi həll edirik: 3sinx-5cosx=7.

Yarım bucağa getməliyik, bizim vəziyyətimizdə belədir: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2).Və bundan sonra bütün şərtləri bir hissəyə endiririk (rahatlıq üçün düzgün olanı seçmək daha yaxşıdır) və tənliyi həll etməyə davam edirik.

Lazım gələrsə, köməkçi bucaq daxil edə bilərsiniz. Bu, sin (a) və ya cos (a) tam dəyərini dəyişdirmək lazım olduqda edilir və “a” işarəsi sadəcə köməkçi bucaq rolunu oynayır.

cəminə məhsul

Cəm məhsulundan istifadə edərək triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar? Bu cür tənlikləri həll etmək üçün məhsuldan cəmiyə çevirmə kimi tanınan üsul da istifadə edilə bilər. Bu zaman tənliyə uyğun düsturlardan istifadə etmək lazımdır.

Məsələn, bir tənliyimiz var: 2sinx * sin3x= cos4x

Sol tərəfi cəmiyə çevirərək bu problemi həll etməliyik, yəni:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Yuxarıda göstərilən üsullar uyğun deyilsə və hələ də ən sadə triqonometrik tənlikləri necə həll edəcəyinizi bilmirsinizsə, başqa bir üsuldan - universal əvəzetmədən istifadə edə bilərsiniz. Bununla siz ifadəni çevirə və əvəz edə bilərsiniz. Məsələn: Cos(x/2)=u. İndi verilmiş u parametri ilə tənliyi həll edə bilərik. İstədiyiniz nəticəni aldıqdan sonra bu dəyəri əksinə çevirməyi unutmayın.

Bir çox "təcrübəli" tələbələrə tənlikləri həll etmək üçün onlayn insanlara müraciət etmək tövsiyə olunur. Onlayn triqonometrik tənliyi necə həll etmək olar, soruşursunuz. Problemi onlayn həll etmək üçün müvafiq mövzuların forumlarına müraciət edə bilərsiniz, burada sizə məsləhət və ya problemin həllində kömək edə bilərsiniz. Ancaq ən yaxşısı öz başınıza idarə etməyə çalışmaqdır.

Triqonometrik tənliklərin həllində bacarıq və bacarıqlar çox mühüm və faydalıdır. Onların inkişafı sizdən çox səy tələb edəcək. Fizika, stereometriya və s.-nin bir çox problemləri belə tənliklərin həlli ilə bağlıdır. Və belə məsələlərin həlli prosesinin özü triqonometriya elementlərini öyrənərkən əldə edilə bilən bacarıq və biliklərin mövcudluğunu nəzərdə tutur.

Triqonometrik düsturları öyrənin

Tənliyin həlli prosesində triqonometriyadan istənilən formuldan istifadə etmək ehtiyacı ilə qarşılaşa bilərsiniz. Siz, əlbəttə ki, onu dərsliklərinizdə və fırıldaq vərəqlərində axtarmağa başlaya bilərsiniz. Və əgər bu düsturlar beyninizə qoyularsa, lazımi məlumatı axtarmağa vaxt itirmədən, nəinki əsəblərinizi xilas etmiş olarsınız, həm də işinizi xeyli asanlaşdırmış olarsınız. Beləliklə, problemi həll etməyin ən rasional yolu üzərində düşünmək imkanınız olacaq.

“Get an A” video kursuna riyaziyyatdan imtahandan 60-65 balla uğurla keçmək üçün lazım olan bütün mövzular daxildir. Profilin bütün 1-13 tapşırıqlarını riyaziyyatda istifadə edin. Riyaziyyatda Əsas İSTİFADƏni keçmək üçün də uyğundur. İmtahanı 90-100 balla vermək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, həmçinin müəllimlər üçün imtahana hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan imtahanın 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün sizə lazım olan hər şey. Bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə yüz ballıq tələbə, nə də humanist onlarsız edə bilməz.

Bütün zəruri nəzəriyyə. Tez həll yolları, tələlər və imtahanın sirləri. Bank of FIPI tapşırıqlarından 1-ci hissənin bütün müvafiq tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs USE-2018 tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə imtahan tapşırığı. Mətn problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Sadə və yadda saxlamaq asan problem həlli alqoritmləri. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, USE tapşırıqlarının bütün növlərinin təhlili. Stereometriya. Həll üçün hiyləgər fəndlər, faydalı fırıldaq vərəqləri, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan triqonometriya - 13-cü tapşırığa. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların vizual izahı. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. İmtahanın 2-ci hissəsinin mürəkkəb məsələlərinin həlli üçün əsas.

Probleminizin ətraflı həllini sifariş edə bilərsiniz !!!

Triqonometrik funksiyanın işarəsi altında naməlum olan bərabərliyə (`sin x, cos x, tg x` və ya `ctg x`) triqonometrik tənlik deyilir və biz onların düsturlarını daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Ən sadə tənliklər `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`dır, burada `x` tapılacaq bucaq, `a` istənilən ədəddir. Onların hər biri üçün kök düsturlarını yazaq.

1. `sin x=a` tənliyi.

`|a|>1` üçün onun həlli yoxdur.

`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tənliyi

`|a|>1` üçün - sinus vəziyyətində olduğu kimi, həqiqi ədədlər arasında heç bir həll yolu yoxdur.

`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Qrafiklərdə sinus və kosinus üçün xüsusi hallar.

3. `tg x=a` tənliyi

İstənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tənliyi

O, həmçinin istənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll variantına malikdir.

Kök düsturu: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Cədvəldəki triqonometrik tənliklərin kökləri üçün düsturlar

Sinus üçün:
Kosinus üçün:
Tangens və kotangens üçün:
Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli üçün düsturlar:

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

İstənilən triqonometrik tənliyin həlli iki mərhələdən ibarətdir:

• onu ən sadəyə çevirmək üçün istifadə etmək;
• köklər və cədvəllər üçün yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək nəticədə sadə tənliyi həll edin.

Nümunələrdən istifadə edərək əsas həll üsullarını nəzərdən keçirək.

cəbri üsul.

Bu üsulda dəyişənin dəyişdirilməsi və onun bərabərliyə əvəz edilməsi həyata keçirilir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

əvəz edin: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sonra `2y^2-3y+1=0`,

kökləri tapırıq: `y_1=1, y_2=1/2`, ondan iki hal gəlir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cavab: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasiya.

Misal. Tənliyi həll edin: `sin x+cos x=1`.

Həll. Bütün bərabərlik şərtlərini sola köçürün: `sin x+cos x-1=0`. istifadə edərək, sol tərəfi çevirib faktorlara ayırırıq:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Cavab: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen tənliyə endirmə

Əvvəlcə bu triqonometrik tənliyi iki formadan birinə gətirməlisiniz:

`a sin x+b cos x=0` (birinci dərəcəli homogen tənlik) və ya `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Sonra hər iki hissəni birinci hal üçün `cos x \ne 0`, ikinci üçün isə `cos^2 x \ne 0` ilə bölün. `tg x` üçün tənliklər alırıq: `a tg x+b=0` və `a tg^2 x + b tg x +c =0`, məlum üsullardan istifadə etməklə həll edilməlidir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Həll. Sağ tərəfi `1=sin^2 x+cos^2 x` kimi yazaq:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir, onun sol və sağ tərəflərini `cos^2 x \ne 0`-ə bölməklə, əldə edirik:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. `tg x=t` əvəzini təqdim edək, nəticədə `t^2 + t - 2=0`. Bu tənliyin kökləri `t_1=-2` və `t_2=1`-dir. Sonra:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-də.

Cavab verin. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-də`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-də`.

Yarım küncə keçin

Misal. Tənliyi həll edin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Həll. İkiqat bucaq düsturlarını tətbiq etməklə nəticə belə olur: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tq^2 x/2 - 11 tq x/2 +6=0`

Yuxarıda təsvir olunan cəbri metodu tətbiq edərək, əldə edirik:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Köməkçi bucağın tətbiqi

`a sin x + b cos x =c` triqonometrik tənliyində a,b,c əmsallar və x dəyişəndir, biz hər iki hissəni `sqrt (a^2+b^2)` ilə bölürük:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Sol tərəfdəki əmsallar sinus və kosinus xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni onların kvadratlarının cəmi 1-ə bərabərdir və modulu 1-dən böyük deyil. Onları aşağıdakı kimi işarələyin: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, sonra:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdakı nümunəyə daha yaxından nəzər salaq:

Misal. Tənliyi həll edin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Həll. Tənliyin hər iki tərəfini `sqrt (3^2+4^2)`-ə bölsək, alırıq:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` işarələyin. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, köməkçi bucaq kimi `\varphi=arcsin 4/5` götürürük. Sonra bərabərliyimizi formada yazırıq:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus üçün bucaqların cəmi düsturunu tətbiq edərək bərabərliyimizi aşağıdakı formada yazırıq:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksiyalı-rasional triqonometrik tənliklər

Bunlar, saylarında və məxrəclərində triqonometrik funksiyalar olan kəsrlərlə bərabərliklərdir.

Misal. Tənliyi həll edin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Həll. Tənliyin sağ tərəfini `(1+cos x)`-ə vurun və bölün. Nəticədə alırıq:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Məxrəcin sıfır ola bilməyəcəyini nəzərə alsaq, Z`-də `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ alırıq.

Kəsirin payını sıfıra bərabərləşdirin: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Sonra `sin x=0` və ya `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Nəzərə alsaq ki, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, həllər `x=2\pi n, n \in Z` və `x=\pi /2+2\pi n`-dir. , `n \in Z`.

Cavab verin. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Triqonometriya və xüsusən də triqonometrik tənliklər həndəsə, fizika və mühəndisliyin demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur. Tədqiqat 10-cu sinifdə başlayır, imtahan üçün həmişə tapşırıqlar var, buna görə də triqonometrik tənliklərin bütün düsturlarını xatırlamağa çalışın - onlar mütləq sizin üçün faydalı olacaq!

Ancaq onları əzbərləməyə belə ehtiyac yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşəsən və nəticə çıxara biləsən. Göründüyü qədər çətin deyil. Videoya baxaraq özünüz baxın.