Gauss metodunu necə yoxlamaq olar. Qauss metodunun əksi

Xətti tənliklər sistemini həll etməyin ən sadə yollarından biri determinantların hesablanmasına əsaslanan texnikadır ( Kramer qaydası). Onun üstünlüyü ondan ibarətdir ki, o, həlli dərhal qeyd etməyə imkan verir, sistemin əmsallarının rəqəmlər deyil, bəzi parametrlər olduğu hallarda xüsusilə rahatdır. Onun dezavantajı çox sayda tənlik olduqda hesablamaların çətinliyidir; üstəlik, Kramer qaydası tənliklərin sayının naməlumların sayı ilə üst-üstə düşməyən sistemlərə birbaşa tətbiq edilmir. Belə hallarda adətən istifadə olunur Qauss üsulu.

Həllləri eyni olan xətti tənliklər sistemləri adlanır ekvivalent. Aydındır ki, hər hansı bir tənlik dəyişdirilərsə və ya tənliklərdən biri sıfırdan fərqli bəzi ədədə vurularsa və ya bir tənlik digərinə əlavə edilərsə, xətti sistemin həllər çoxluğu dəyişməyəcək.

Gauss üsulu (naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu) elementar çevrilmələrin köməyi ilə sistemin pilləli tipli ekvivalent sistemə endirilməsidir. Əvvəlcə 1-ci tənliyi istifadə edərək aradan qaldırırıq x Sistemin bütün sonrakı tənliklərindən 1-i. Sonra 2-ci tənliyi istifadə edərək aradan qaldırırıq x 3-cü və bütün sonrakı tənliklərdən 2. Bu proses adlanır birbaşa Qauss üsulu, sonuncu tənliyin sol tərəfində yalnız bir naməlum qalana qədər davam edir x n. Bundan sonra edilir Qauss metodunun tərsi– sonuncu tənliyi həll edərək tapırıq x n; bundan sonra bu dəyərdən istifadə edərək sondan əvvəlki tənlikdən hesablayırıq x n-1 və s. Sonuncunu tapırıq x Birinci tənlikdən 1.

Qauss çevrilmələrini tənliklərin özləri ilə deyil, onların əmsallarının matrisləri ilə çevirməklə həyata keçirmək rahatdır. Matrisi nəzərdən keçirin:

çağırdı sistemin genişləndirilmiş matrisi,çünki o, sistemin əsas matrisindən əlavə, sərbəst şərtlər sütununu ehtiva edir. Qauss metodu sistemin uzadılmış matrisinin elementar cərgə çevrilmələrindən (!) istifadə etməklə sistemin əsas matrisini üçbucaqlı formaya (və ya kvadrat olmayan sistemlərdə trapezoidal formaya) endirməyə əsaslanır.

Misal 5.1. Sistemi Gauss metodundan istifadə edərək həll edin:

Həll. Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və birinci cərgədən istifadə edərək, bundan sonra qalan elementləri sıfırlayacağıq:

birinci sütunun 2-ci, 3-cü və 4-cü sətirlərində sıfırları alırıq:

İndi 2-ci cərgənin altındakı ikinci sütunun bütün elementlərinin sıfıra bərabər olması lazımdır. Bunun üçün ikinci sətri –4/7-yə vurub 3-cü sətirə əlavə edə bilərsiniz. Ancaq kəsrlərlə məşğul olmamaq üçün ikinci sütunun 2-ci sətirində vahid yaradaq və yalnız

İndi üçbucaqlı bir matris əldə etmək üçün 3-cü sütunun dördüncü sırasının elementini sıfırlamalısınız, bunun üçün üçüncü sıranı 8/54-ə vurub dördüncüyə əlavə edə bilərsiniz. Ancaq fraksiyalarla məşğul olmamaq üçün 3-cü və 4-cü sətirləri və 3-cü və 4-cü sütunları dəyişdirəcəyik və yalnız bundan sonra göstərilən elementi sıfırlayacağıq. Qeyd edək ki, sütunları yenidən təşkil edərkən müvafiq dəyişənlər yerləri dəyişir və bunu yadda saxlamaq lazımdır; sütunlu digər elementar çevrilmələr (bir nömrəyə əlavə və vurma) həyata keçirilə bilməz!

Sonuncu sadələşdirilmiş matris orijinalına ekvivalent tənliklər sisteminə uyğundur:

Buradan, Qauss metodunun tərsinə istifadə edərək, dördüncü tənliyi tapırıq x 3 = –1; üçüncüdən x 4 = -2, ikincidən x 2 = 2 və birinci tənlikdən x 1 = 1. Matris formasında cavab kimi yazılır

Sistemin müəyyən olduğu halı nəzərdən keçirdik, yəni. yalnız bir həll olduqda. Gəlin görək sistem uyğunsuz və ya qeyri-müəyyən olarsa nə baş verəcək.

Misal 5.2. Qauss metodundan istifadə edərək sistemi araşdırın:

Həll. Sistemin uzadılmış matrisini yazır və çeviririk

Sadələşdirilmiş tənliklər sistemini yazırıq:

Burada, sonuncu tənlikdə belə çıxır ki, 0=4, yəni. ziddiyyət. Nəticədə, sistemin heç bir həlli yoxdur, yəni. o uyğunsuz. à

Misal 5.3. Qauss metodundan istifadə edərək sistemi araşdırın və həll edin:

Həll. Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazırıq və çeviririk:

Çevrilmələr nəticəsində sonuncu sətir yalnız sıfırları ehtiva edir. Bu o deməkdir ki, tənliklərin sayı bir azalıb:

Beləliklə, sadələşdirmələrdən sonra iki tənlik qalır və dörd naməlum, yəni. iki naməlum "əlavə". Qoy “artıq” olsunlar, ya da necə deyərlər, pulsuz dəyişənlər, olacaq x 3 və x 4 . Sonra

İnanmaq x 3 = 2a Və x 4 = b, alırıq x 2 = 1–a Və x 1 = 2b–a; və ya matris şəklində

Bu şəkildə yazılmış həll adlanır general, çünki, parametrlərin verilməsi a Və b müxtəlif dəyərlər, sistemin bütün mümkün həlləri təsvir edilə bilər. a

Bu gün biz xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün Gauss metoduna baxırıq. Bu sistemlərin nə olduğunu, Cramer metodundan istifadə edərək eyni SLAE-lərin həllinə həsr olunmuş əvvəlki məqalədə oxuya bilərsiniz. Gauss metodu heç bir xüsusi bilik tələb etmir, yalnız diqqətlilik və ardıcıllıq lazımdır. Riyazi nöqteyi-nəzərdən məktəb hazırlığının onu tətbiq etmək üçün kifayət etməsinə baxmayaraq, şagirdlər çox vaxt bu metodu mənimsəməkdə çətinlik çəkirlər. Bu yazıda biz onları heçə azaltmağa çalışacağıq!

Gauss üsulu

M Qauss üsulu– SLAE-lərin həlli üçün ən universal üsul (çox böyük sistemlər istisna olmaqla). Daha əvvəl müzakirə edilənlərdən fərqli olaraq, o, tək həlli olan sistemlər üçün deyil, həm də sonsuz sayda həlli olan sistemlər üçün uyğundur. Burada üç mümkün variant var.

1. Sistemin unikal həlli var (sistemin əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər deyil);
2. Sistemin sonsuz sayda həlli var;
3. Heç bir həll yolu yoxdur, sistem uyğun gəlmir.

Beləliklə, bir sistemimiz var (bir həlli olsun) və biz onu Qauss metodundan istifadə edərək həll edəcəyik. Bu necə işləyir?

Gauss metodu iki mərhələdən ibarətdir - irəli və tərs.

Gauss metodunun birbaşa vuruşu

Əvvəlcə sistemin uzadılmış matrisini yazaq. Bunu etmək üçün əsas matrisə pulsuz üzvlər sütunu əlavə edin.

Gauss metodunun bütün mahiyyəti elementar çevrilmələr vasitəsilə bu matrisi pilləli (və ya necə deyərlər, üçbucaqlı) formaya gətirməkdir. Bu formada matrisin əsas diaqonalının altında (və ya yuxarıda) yalnız sıfırlar olmalıdır.

Nə edə bilərsiniz:

1. Siz matrisin sıralarını yenidən təşkil edə bilərsiniz;
2. Matrisdə bərabər (və ya mütənasib) sətirlər varsa, onlardan birindən başqa hamısını silə bilərsiniz;
3. Bir sətri istənilən ədədə (sıfırdan başqa) çoxalda və ya bölmək olar;
4. Boş sətirlər silinir;
5. Sıfırdan başqa bir ədədlə vurulmuş sətri sətirə əlavə edə bilərsiniz.

Əks Gauss metodu

Sistemi bu şəkildə çevirdikdən sonra bir naməlum Xn məlum olur və siz artıq məlum olan x-ləri sistemin tənliklərində birinciyə qədər əvəz etməklə, bütün qalan naməlumları tərs ardıcıllıqla tapa bilərsiniz.

İnternet həmişə əlinizdə olduqda, Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edə bilərsiniz onlayn. Yalnız onlayn kalkulyatora əmsalları daxil etməlisiniz. Ancaq etiraf etməlisiniz, nümunənin kompüter proqramı ilə deyil, öz beyniniz tərəfindən həll edildiyini başa düşmək daha xoşdur.

Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sisteminin həlli nümunəsi

İndi - hər şeyin aydın və başa düşülməsi üçün bir nümunə. Xətti tənliklər sistemi verilsin və onu Gauss metodundan istifadə edərək həll etməlisiniz:

Əvvəlcə uzadılmış matrisi yazırıq:

İndi transformasiyaları edək. Biz xatırlayırıq ki, matrisin üçbucaqlı görünüşünə nail olmaq lazımdır. 1-ci sətri (3) ilə vuraq. 2-ci sətri (-1) ilə vurun. 2-ci sətri 1-ciyə əlavə edin və əldə edin:

Sonra 3-cü sətri (-1) ilə vurun. 2-ci sətirə 3-cü sətri əlavə edək:

1-ci sətri (6) ilə vuraq. 2-ci sətri (13) ilə vuraq. 1-ci sətirə 2-ci sətri əlavə edək:

Voila - sistem uyğun formaya gətirilir. Bilinməyənləri tapmaq qalır:

Bu nümunədəki sistemin unikal həlli var. Sonsuz sayda həlli olan sistemlərin həllini ayrıca məqalədə nəzərdən keçirəcəyik. Ola bilsin ki, əvvəlcə matrisin çevrilməsinə haradan başlayacağınızı bilməyəcəksiniz, lakin müvafiq təcrübədən sonra siz onu mənimsəyəcək və qoz kimi Qauss metodundan istifadə edərək SLAE-ləri sındıracaqsınız. Və birdən-birə sındırmaq üçün çox çətin olan SLA ilə rastlaşsanız, müəlliflərimizlə əlaqə saxlayın! Yazışmalar şöbəsində sorğu buraxaraq edə bilərsiniz. İstənilən problemi birlikdə həll edəcəyik!

Bu onlayn kalkulyator Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sisteminin (SLE) həllini tapır. Ətraflı bir həll verilir. Hesablamaq üçün dəyişənlərin sayını və tənliklərin sayını seçin. Sonra məlumatları hüceyrələrə daxil edin və "Hesabla" düyməsini basın.

Nömrə təmsili:

Onluq ayırıcıdan sonra yerlərin sayı

×

Xəbərdarlıq

Bütün xanalar silinsin?

Bağlayın Təmizləyin

Məlumat daxiletmə təlimatları.Ədədlər tam ədədlər (məsələn: 487, 5, -7623 və s.), onluq (məs. 67., 102.54 və s.) və ya kəsr kimi daxil edilir. Kəsr a/b şəklində daxil edilməlidir, burada a və b (b>0) tam və ya onluq ədəddir. Nümunələr 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 və s.

Gauss üsulu

Gauss metodu ilkin xətti tənliklər sistemindən (ekvivalent çevrilmələrdən istifadə etməklə) həlli orijinal sistemdən daha asan olan sistemə keçid üsuludur.

Xətti tənliklər sisteminin ekvivalent çevrilmələri aşağıdakılardır:

• sistemdə iki tənliyin dəyişdirilməsi,
• sistemdəki hər hansı bir tənliyi sıfırdan fərqli real ədədə vurmaq,
• bir tənliyə başqa bir tənliyin ixtiyari bir ədədə vurulması.

Xətti tənliklər sistemini nəzərdən keçirin:

(1) sistemini matris şəklində yazaq:

(3)

A- sistemin əmsal matrisi adlanır, b- məhdudiyyətlərin sağ tərəfi, x− tapılacaq dəyişənlərin vektoru. Qoy dərəcə ( A)=səh.

Ekvivalent çevrilmələr əmsal matrisinin rütbəsini və sistemin genişləndirilmiş matrisinin dərəcəsini dəyişmir. Sistemin həllər toplusu da ekvivalent çevrilmələr zamanı dəyişmir. Gauss metodunun mahiyyəti əmsalların matrisini azaltmaqdan ibarətdir A diaqonal və ya pilləli.

Sistemin genişləndirilmiş matrisini quraq:

Növbəti mərhələdə elementin altındakı 2-ci sütunun bütün elementlərini sıfırlayırıq. Bu element sıfırdırsa, bu sətir bu sətirin altında yerləşən və ikinci sütunda sıfırdan fərqli elementə malik olan cərgə ilə dəyişdirilir. Sonra, aparıcı elementin altındakı 2-ci sütunun bütün elementlərini sıfırlayın a 22. Bunu etmək üçün 3-cü sətir əlavə edin, ... m 2-ci sətirlə - ilə vurulur a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a müvafiq olaraq 22. Proseduru davam etdirərək, diaqonal və ya pilləli formada bir matris əldə edirik. Nəticə uzadılmış matrisin forması olsun:

Çünki zəngA = zəng(A|b), onda (7) həllər çoxluğu ( n−s)− müxtəlif. Beləliklə n−s naməlumlar özbaşına seçilə bilər. Sistemdən (7) qalan naməlumlar aşağıdakı kimi hesablanır. Son tənlikdən ifadə edirik x p qalan dəyişənlər vasitəsilə və əvvəlki ifadələrə daxil edin. Sonra, sondan əvvəlki tənlikdən ifadə edirik x p−1 qalan dəyişənlər vasitəsilə və əvvəlki ifadələrə daxil edin və s. Konkret nümunələrdən istifadə edərək Gauss metoduna baxaq.

Qauss üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həlli nümunələri

Misal 1. Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın:

ilə işarə edək a ij elementləri i-ci xətt və j ci sütun.

a on bir. Bunun üçün müvafiq olaraq -2/3,-1/2 ilə vurulan 1-ci sətirlə 2,3 sətirləri əlavə edin:

Matris qeyd növü: balta=b, Harada

ilə işarə edək a ij elementləri i-ci xətt və j ci sütun.

Elementin altındakı matrisin 1-ci sütununun elementlərini xaric edək a on bir. Bunun üçün müvafiq olaraq -1/5,-6/5-ə vurulan 1-ci sətirlə 2,3 sətirləri əlavə edin:

Matrisin hər cərgəsini müvafiq aparıcı elementə bölürük (əgər aparıcı element varsa):

Harada x 3 , x

Yuxarı ifadələri aşağı olanlarla əvəz edərək həllini əldə edirik.

Onda vektor həlli aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

Harada x 3 , x 4 ixtiyari real ədədlərdir.

1. Xətti cəbri tənliklər sistemi

1.1 Xətti cəbri tənliklər sistemi anlayışı

Tənliklər sistemi bir neçə dəyişənə münasibətdə bir neçə tənliyin eyni vaxtda yerinə yetirilməsindən ibarət şərtdir. m tənlik və n naməlum olan xətti cəbri tənliklər sistemi (bundan sonra SLAE) aşağıdakı formada sistem adlanır:

burada a ij ədədləri sistem əmsalları, b i ədədləri sərbəst terminlər adlanır, a ij Və b i(i=1,…, m; b=1,…, n) bəzi məlum ədədləri və x-i təmsil edir 1 ,…, x n- naməlum. Əmsalların təyin edilməsində a ij birinci indeks i tənliyin sayını, ikinci j isə bu əmsalın dayandığı naməlumun nömrəsini bildirir. x n ədədləri tapılmalıdır. Belə bir sistemi kompakt matris şəklində yazmaq rahatdır: AX=B. Burada A əsas matris adlanan sistem əmsallarının matrisidir;

A*X matrislərinin hasili müəyyən edilir, çünki A matrisində X matrisində sətirlərin sayı qədər sütun var (n ədəd).

Sistemin genişləndirilmiş matrisi, sərbəst şərtlər sütunu ilə tamamlanan sistemin A matrisidir.

1.2 Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli

Tənliklər sisteminin həlli nizamlı ədədlər toplusudur (dəyişənlərin dəyərləri), onları dəyişənlərin əvəzinə əvəz etdikdə sistemin hər bir tənliyi həqiqi bərabərliyə çevrilir.

Sistemin həlli x1=c1, x2=c2,…, xn=cn naməlumların n qiymətidir, əvəz edildikdə sistemin bütün tənlikləri həqiqi bərabərliyə çevrilir. Sistemin istənilən həlli sütun matrisi kimi yazıla bilər

Tənliklər sistemi ən azı bir həlli varsa ardıcıl, heç bir həlli yoxdursa uyğunsuz adlanır.

Ardıcıl sistemin tək həlli varsa müəyyən, birdən çox həlli varsa qeyri-müəyyən sistem deyilir. Sonuncu halda onun hər bir həlli sistemin xüsusi həlli adlanır. Bütün xüsusi həllər toplusuna ümumi həll deyilir.

Sistemin həlli onun uyğun və ya uyğunsuz olduğunu öyrənmək deməkdir. Sistem ardıcıldırsa, onun ümumi həllini tapın.

İki sistem eyni ümumi həllə malikdirsə, ekvivalent (ekvivalent) adlanır. Başqa sözlə, sistemlərdən birinin hər bir həlli digərinin həlli olarsa və əksinə sistemlər ekvivalentdir.

Tətbiqi sistemi orijinalına ekvivalent olan yeni sistemə çevirən transformasiya ekvivalent və ya ekvivalent çevrilmə adlanır. Ekvivalent çevrilmələrə misal olaraq aşağıdakı çevrilmələri göstərmək olar: sistemin iki tənliyinin dəyişdirilməsi, bütün tənliklərin əmsalları ilə birlikdə iki naməlumun dəyişdirilməsi, sistemin istənilən tənliyinin hər iki tərəfinin sıfırdan fərqli ədədə vurulması.

Bütün sərbəst şərtlər sıfıra bərabərdirsə, xətti tənliklər sistemi homojen adlanır:

Homojen sistem həmişə ardıcıldır, çünki x1=x2=x3=…=xn=0 sistemin həllidir. Bu həll sıfır və ya əhəmiyyətsiz adlanır.

2. Qauss aradan qaldırılması üsulu

2.1 Qauss eliminasiya metodunun mahiyyəti

Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün klassik üsul naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur - Qauss üsulu(buna Qauss eliminasiya üsulu da deyilir). Bu, elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, tənliklər sistemi bütün digər dəyişənlərin sonuncudan başlayaraq ardıcıl olaraq tapıldığı pilləli (və ya üçbucaqlı) formanın ekvivalent sisteminə endirildikdə dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur. sayı) dəyişənləri.

Gauss metodundan istifadə edərək həll prosesi iki mərhələdən ibarətdir: irəli və geri hərəkətlər.

1. Birbaşa vuruş.

Birinci mərhələdə sözdə birbaşa hərəkət, cərgələr üzərində elementar çevrilmələr vasitəsilə sistem pilləli və ya üçbucaqlı bir forma gətirildikdə və ya sistemin uyğunsuzluğu müəyyən edildikdə həyata keçirilir. Məhz, matrisin birinci sütununun elementləri arasında sıfırdan fərqli birini seçin, cərgələri yenidən yerləşdirməklə onu ən yuxarı mövqeyə aparın və nəticədə yaranan birinci sətiri yenidən düzüldükdən sonra qalan sətirlərdən çıxarın, onu dəyərə vurun. bu sətirlərin hər birinin birinci elementinin birinci sətrin birinci elementinə nisbətinə bərabərdir, beləliklə onun altındakı sütun sıfırlanır.

Bu çevrilmələr tamamlandıqdan sonra, birinci sətir və birinci sütun əqli olaraq kəsilir və sıfır ölçülü matris qalana qədər davam etdirilir. Hər hansı iterasiyada birinci sütunun elementləri arasında sıfırdan fərqli element yoxdursa, növbəti sütuna keçin və oxşar əməliyyatı yerinə yetirin.

Birinci mərhələdə (birbaşa vuruş) sistem pilləli (xüsusən də üçbucaqlı) formaya endirilir.

Aşağıdakı sistemin mərhələli forması var:

aii əmsalları sistemin əsas (aparıcı) elementləri adlanır.

Birincidən başqa bütün tənliklərdə naməlum x1-i aradan qaldıraraq sistemi çevirək (sistemin elementar çevrilmələrindən istifadə etməklə). Bunu etmək üçün birinci tənliyin hər iki tərəfini çarpın

Bu prosesi davam etdirərək, ekvivalent bir sistem əldə edirik:

Beləliklə, ilk addımda a 11-in birinci aparıcı elementinin altında yatan bütün əmsallar məhv edilir

Sistemin pilləli bir formaya salınması prosesində sıfır tənliklər görünürsə, yəni. 0=0 formasındakı bərabərliklər atılır. Formanın tənliyi görünsə

Gauss metodunun bilavasitə irəliləyişinin sona çatdığı yer budur.

2. Əks vuruş.

İkinci mərhələdə sözdə tərs hərəkət həyata keçirilir, bunun mahiyyəti nəticədə bütün əsas dəyişənləri qeyri-əsaslar baxımından ifadə etmək və əsas həllər sistemi qurmaq və ya bütün dəyişənlər əsasdırsa. , onda xətti tənliklər sisteminin yeganə həllini ədədi ilə ifadə edin.

Bu prosedur, müvafiq əsas dəyişənin ifadə olunduğu (onda yalnız bir var) və əvvəlki tənliklərlə əvəz olunduğu və "addımları" yuxarı qalxan sonuncu tənlikdən başlayır.

Hər bir sətir tam olaraq bir əsas dəyişənə uyğundur, buna görə də sonuncu (ən yuxarı) istisna olmaqla, hər addımda vəziyyət sonuncu sətrin vəziyyətini tam olaraq təkrarlayır.

Qeyd: praktikada sistemlə deyil, onun sətirlərində bütün elementar çevrilmələri yerinə yetirərək genişləndirilmiş matrisi ilə işləmək daha rahatdır. a11 əmsalının 1-ə bərabər olması əlverişlidir (tənlikləri yenidən təşkil edin və ya tənliyin hər iki tərəfini a11-ə bölün).

2.2 Qauss metodundan istifadə etməklə SLAE-lərin həlli nümunələri

Bu bölmədə üç fərqli nümunədən istifadə edərək, Qauss metodunun SLAE-ləri necə həll edə biləcəyini göstərəcəyik.

Misal 1. 3-cü dərəcəli SLAE həll edin.

Gəlin əmsalları sıfırlayaq

Xətti tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirməyə davam edirik. Bu dərs mövzu üzrə üçüncü dərsdir. Xətti tənliklər sisteminin ümumiyyətlə nə olduğu barədə qeyri-müəyyən bir fikriniz varsa, özünüzü çaydan kimi hiss edirsinizsə, o zaman səhifədəki əsaslardan başlamağı məsləhət görürəm Sonra, dərsi öyrənmək faydalıdır.

Gauss metodu asandır! Niyə? Məşhur alman riyaziyyatçısı İohann Karl Fridrix Qauss sağlığında bütün dövrlərin ən böyük riyaziyyatçısı, dahi kimi tanınıb və hətta “Riyaziyyatın Kralı” ləqəbini də alıb. Və bildiyiniz kimi, hər şey sadədir! Yeri gəlmişkən, təkcə əmicilər deyil, dahilər də pul alırlar - Qaussun portreti 10 Deutschmark əskinasında idi (avro dövriyyəyə buraxılmazdan əvvəl) və Gauss hələ də adi poçt markalarından almanlara müəmmalı şəkildə gülümsəyir.

Qauss metodu sadədir ki, onu mənimsəmək üçün BEŞİNCİ SİNF ŞƏHƏRİNİN BİLİKLƏRİ KƏFƏDDİR. Siz əlavə və çoxaltmağı bilməlisiniz! Təsadüfi deyil ki, müəllimlər çox vaxt məktəb riyaziyyatının seçmə fənlərində naməlumların ardıcıl xaric edilməsi metodunu nəzərdən keçirirlər. Bu paradoksdur, lakin tələbələr Qauss metodunu ən çətin hesab edirlər. Təəccüblü heç nə yoxdur - hamısı metodologiyaya aiddir və mən metodun alqoritmi haqqında əlçatan formada danışmağa çalışacağam.

Əvvəlcə xətti tənliklər sistemləri haqqında bir az bilikləri sistemləşdirək. Xətti tənliklər sistemi:

1) Unikal bir həll yolu var. 2) Sonsuz bir çox həll yolu var. 3) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun birgə olmayan).

Gauss metodu həll tapmaq üçün ən güclü və universal vasitədir hər hansı xətti tənliklər sistemləri. Xatırladığımız kimi, Kramer qaydası və matris metodu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Və naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu Hər halda bizi cavaba aparacaq! Bu dərsdə biz 1-ci hal (sistemin yeganə həlli) üçün yenidən Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik, məqalə 2-3 nömrəli bəndlərin vəziyyətlərinə həsr edilmişdir. Qeyd edim ki, metodun özünün alqoritmi hər üç halda eyni işləyir.

Dərsdən ən sadə sistemə qayıdaq Xətti tənliklər sistemini necə həll etmək olar? və onu Qauss üsulu ilə həll edin.

İlk addım yazmaqdır genişləndirilmiş sistem matrisi: . Məncə, əmsalların hansı prinsiplə yazıldığını hər kəs görə bilər. Matris daxilindəki şaquli xəttin heç bir riyazi mənası yoxdur - bu, dizaynın asanlığı üçün sadəcə olaraq cızıqdır.

İstinad : xatırlamağınızı tövsiyə edirəm şərtlər xətti cəbr. Sistem matrisi yalnız naməlumlar üçün əmsallardan ibarət matrisdir, bu misalda sistemin matrisi: . Genişləndirilmiş Sistem Matrisi – bu sistemin eyni matrisi və pulsuz şərtlər sütunudur, bu halda: . Qısalıq üçün matrislərdən hər hansı birini sadəcə olaraq matris adlandırmaq olar.

Genişləndirilmiş sistem matrisi yazıldıqdan sonra onunla bəzi hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır, bunlara da deyilir. elementar çevrilmələr.

Aşağıdakı elementar çevrilmələr mövcuddur:

1) Simlər matrislər Bacarmaq yenidən təşkil etmək bəzi yerlərdə. Məsələn, nəzərdən keçirilən matrisdə birinci və ikinci sıraları ağrısız şəkildə yenidən təşkil edə bilərsiniz:

2) Əgər matrisdə mütənasib (xüsusi halda - eyni) sətirlər varsa (və ya yaranıbsa), onda siz silin Biri istisna olmaqla, bütün bu sətirlər matrisdəndir. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək . Bu matrisdə son üç sıra mütənasibdir, ona görə də onlardan yalnız birini tərk etmək kifayətdir: .

3) Transformasiyalar zamanı matrisdə sıfır cərgəsi görünürsə, o da olmalıdır silin. Mən çəkməyəcəyəm, əlbəttə ki, sıfır xətti olan xəttdir bütün sıfırlar.

4) Matris sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) istənilən nömrəyə sıfırdan fərqli. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək. Burada birinci sətri –3-ə bölmək, ikinci sətri isə 2-yə vurmaq məsləhətdir: . Bu hərəkət çox faydalıdır, çünki matrisin sonrakı çevrilmələrini asanlaşdırır.

5) Bu çevrilmə ən çox çətinliklərə səbəb olur, amma əslində mürəkkəb bir şey də yoxdur. Bir matrisin sırasına edə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli. Praktiki misaldan matrisimizi nəzərdən keçirək: . Əvvəlcə transformasiyanı ətraflı təsvir edəcəyəm. Birinci sətri -2-yə vurun: , Və ikinci sətirə birinci sətri –2 ilə vururuq: . İndi birinci sətir “geriyə” –2-yə bölünə bilər: . Gördüyünüz kimi, ƏLAVƏ EDİLƏN sətir LI – dəyişməyib. HəmişəƏLAVƏ EDİLƏN sətir dəyişir UT.

Təcrübədə, əlbəttə ki, bunu o qədər də təfərrüatlı yazmırlar, ancaq qısaca yazırlar: Bir daha: ikinci sıraya -2 ilə vurulan birinci sətir əlavə edildi. Xətt adətən şifahi olaraq və ya qaralama üzərində vurulur, zehni hesablama prosesi belə bir şey gedir:

“Matrisi yenidən yazıram və birinci sətri yenidən yazıram: »

“Birinci sütun. Aşağıda sıfır almalıyam. Ona görə də yuxarıdakını –2: ilə vururam və birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 2 + (–2) = 0. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

“İndi ikinci sütun. Yuxarıda -1-i -2-yə vururam: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 1 + 2 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

“Və üçüncü sütun. Yuxarıda -5-i -2-yə vururam: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: –7 + 10 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

Zəhmət olmasa bu nümunəni diqqətlə anlayın və ardıcıl hesablama alqoritmini anlayın, əgər bunu başa düşsəniz, Gauss metodu praktiki olaraq cibinizdədir. Amma təbii ki, biz hələ də bu transformasiya üzərində işləyəcəyik.

Elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir

! DİQQƏT: hesab edilən manipulyasiyalar istifadə edə bilməz, sizə matrislərin “öz-özünə” verildiyi bir tapşırıq təklif olunarsa. Məsələn, "klassik" ilə matrislərlə əməliyyatlar Heç bir halda matrislərin içərisində heç bir şeyi yenidən təşkil etməməlisiniz! Sistemimizə qayıdaq. Praktik olaraq parçalanır.

Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu azaldaq pilləli görünüş:

(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Və yenə: niyə birinci sətri -2-yə vururuq? Aşağıda sıfır əldə etmək üçün, yəni ikinci sətirdəki bir dəyişəndən xilas olmaq deməkdir.

(2) İkinci sətri 3-ə bölün.

Elementar çevrilmələrin məqsədi – matrisi mərhələli formaya endirin: . Tapşırığın dizaynında onlar sadəcə "pilləkənləri" sadə qələmlə qeyd edirlər, həmçinin "addımlar" üzərində yerləşən nömrələri dairə edirlər. "Pilləli baxış" termininin özü tamamilə nəzəri deyil, elmi və tədris ədəbiyyatında tez-tez deyilir trapezoidal görünüş və ya üçbucaqlı görünüş.

Elementar çevrilmələr nəticəsində əldə etdik ekvivalent orijinal tənliklər sistemi:

İndi sistemin əks istiqamətdə "açılması" lazımdır - aşağıdan yuxarıya, bu proses adlanır Qauss metodunun tərsi.

Aşağı tənlikdə artıq hazır nəticəmiz var: .

Sistemin birinci tənliyini nəzərdən keçirək və ona artıq məlum olan “y” dəyərini əvəz edək:

Qauss metodu üç naməlumlu üç xətti tənlik sisteminin həllini tələb edən ən ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirək.

Misal 1

Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin:

Sistemin uzadılmış matrisini yazaq:

İndi həll zamanı çatacağımız nəticəni dərhal çəkəcəyəm: Yenə deyirəm, bizim məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi mərhələli formaya gətirməkdir. Haradan başlamaq lazımdır?

Əvvəlcə yuxarı sol rəqəmə baxın: Demək olar ki, həmişə burada olmalıdır vahid. Ümumiyyətlə, -1 (və bəzən başqa nömrələr) edəcək, lakin ənənəvi olaraq bir qayda olaraq orada yerləşdirilir. Bölməni necə təşkil etmək olar? Birinci sütuna baxırıq - bitmiş bir vahidimiz var! Birinci transformasiya: birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin:

İndi birinci sətir həllin sonuna qədər dəyişməz qalacaq. İndi yaxşı.

Sol üst küncdəki bölmə təşkil olunub. İndi bu yerlərdə sıfırlar əldə etməlisiniz:

“Çətin” çevrilmədən istifadə edərək sıfırları əldə edirik. Əvvəlcə ikinci sətirlə məşğul oluruq (2, –1, 3, 13). Birinci yerdə sıfır almaq üçün nə etmək lazımdır? Lazımdır ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada birinci sətri –2-yə vurun: (–2, –4, 2, –18). Biz ardıcıl olaraq (yenidən zehni olaraq və ya qaralamada) əlavə edirik, ikinci sətirə artıq –2-yə vurulmuş birinci sətri əlavə edirik:

Nəticəni ikinci sətirdə yazırıq:

Üçüncü sətirlə də eyni şəkildə məşğul oluruq (3, 2, –5, –1). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün sizə lazımdır üçüncü sətirə –3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada birinci sətri –3-ə vurun: (–3, –6, 3, –27). VƏ üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edirik:

Nəticəni üçüncü sətirə yazırıq:

Praktikada bu hərəkətlər adətən şifahi olaraq həyata keçirilir və bir addımda yazılır:

Hər şeyi bir anda və eyni zamanda hesablamağa ehtiyac yoxdur. Hesablamaların qaydası və nəticələrin “yazılması” ardıcıl və adətən belə olur: əvvəlcə birinci sətri yenidən yazırıq və yavaş-yavaş özümüzə puflayırıq - ARADDALI və DİQQƏTLƏ:
Mən artıq yuxarıda hesablamaların zehni prosesini müzakirə etdim.

Bu misalda bunu etmək asandır, ikinci sətri -5-ə bölürük (çünki orada bütün ədədlər 5-ə qalıqsız bölünür). Eyni zamanda, üçüncü sətri -2-yə bölürük, çünki rəqəmlər nə qədər kiçik olsa, həlli bir o qədər sadədir:

Elementar çevrilmələrin son mərhələsində burada başqa bir sıfır əldə etməlisiniz:

Bunun üçün üçüncü sətirə -2 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik:
Bu hərəkəti özünüz anlamağa çalışın - zehni olaraq ikinci sətri -2-yə vurun və əlavə edin.

Sonuncu yerinə yetirilən hərəkət nəticənin saç düzümüdür, üçüncü xətti 3-ə bölün.

Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent xətti tənliklər sistemi əldə edildi: Sərin.

İndi Qauss metodunun əksi işə düşür. Tənliklər aşağıdan yuxarıya doğru “açılır”.

Üçüncü tənlikdə artıq hazır nəticəmiz var:

İkinci tənliyə baxaq: . "Zet" sözünün mənası artıq məlumdur, beləliklə:

Və nəhayət, birinci tənlik: . "Igrek" və "zet" məlumdur, bu, sadəcə kiçik şeylər məsələsidir:

Cavab verin:

Artıq bir neçə dəfə qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir tənlik sistemi üçün tapılan həlli yoxlamaq mümkündür və lazımdır, xoşbəxtlikdən, bu asan və tezdir.

Misal 2

Bu müstəqil həll nümunəsi, yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavabdır.

Qeyd etmək lazımdır ki, sizin qərarın gedişi qərar vermə prosesimlə üst-üstə düşməyə bilər, və bu Gauss metodunun xüsusiyyətidir. Amma cavablar eyni olmalıdır!

Misal 3

Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin

Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada birimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə vahidlər yoxdur, ona görə də sətirlərin yenidən təşkili heç nəyi həll etməyəcək. Belə hallarda vahid elementar transformasiyadan istifadə edərək təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Mən bunu etdim: (1) Birinci sətirə -1-ə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci sətri –1-ə vurub birinci və ikinci sətirləri əlavə etdik, ikinci sətir isə dəyişmədi.

İndi yuxarı solda "mənfi bir" var ki, bu da bizə çox uyğun gəlir. +1 almaq istəyən hər kəs əlavə hərəkət edə bilər: birinci sətri –1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).

(2) 5-ə vurulan birinci sətir ikinci sətirə, 3-ə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.

(3) Birinci sətir -1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü sətrin işarəsi də dəyişdirildi və ikinci yerə köçürüldü ki, ikinci “addım”da bizə lazım olan vahid gəldi.

(4) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, 2-yə vuruldu.

(5) Üçüncü sətir 3-ə bölündü.

Hesablamalarda səhvi göstərən pis işarə (daha nadir hallarda yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıdakı kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq, , onda yüksək ehtimal dərəcəsi ilə elementar çevrilmələr zamanı səhvə yol verildiyini deyə bilərik.

Biz bunun əksini tapırıq, nümunələrin dizaynında onlar çox vaxt sistemin özünü yenidən yazmırlar, lakin tənliklər "birbaşa verilmiş matrisdən götürülür". Tərs vuruş, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir. Bəli, burada bir hədiyyə var:

Cavab verin: .

Misal 4

Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin

Bu, özünüz həll edə biləcəyiniz bir nümunədir, bir az daha mürəkkəbdir. Kiminsə çaşqın olması yaxşıdır. Dərsin sonunda tam həll və nümunə dizaynı. Sizin həlliniz mənim həllimdən fərqli ola bilər.

Son hissədə Qauss alqoritminin bəzi xüsusiyyətlərinə baxacağıq. Birinci xüsusiyyət ondan ibarətdir ki, bəzən sistem tənliklərində bəzi dəyişənlər yoxdur, məsələn: Genişləndirilmiş sistem matrisini necə düzgün yazmaq olar? Mən artıq dərsdə bu məsələ haqqında danışmışdım. Kramer qaydası. Matris üsulu. Sistemin genişləndirilmiş matrisində çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyuruq: Yeri gəlmişkən, bu, kifayət qədər asan bir nümunədir, çünki birinci sütunda artıq bir sıfır var və yerinə yetirmək üçün daha az elementar çevrilmə var.

İkinci xüsusiyyət budur. Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə “addımlar” üzərinə ya –1, ya da +1 qoyduq. Orada başqa rəqəmlər ola bilərmi? Bəzi hallarda edə bilərlər. Sistemi nəzərdən keçirin: .

Budur, yuxarı sol "addımda" ikimiz var. Ancaq birinci sütundakı bütün rəqəmlərin 2-yə qalıqsız bölünməsi faktını görürük - digəri isə iki və altıdır. Və yuxarı solda iki bizə uyğun olacaq! Birinci addımda aşağıdakı çevrilmələri yerinə yetirməlisiniz: ikinci sətirə –1 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin; üçüncü sətirə –3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Beləliklə, birinci sütunda tələb olunan sıfırları alacağıq.

Və ya başqa bir şərti nümunə: . Burada ikinci “addım”dakı üçlük də bizə uyğun gəlir, çünki 12 (sıfır almalı olduğumuz yer) 3-ə qalıqsız bölünür. Aşağıdakı çevrilməni həyata keçirmək lazımdır: ikinci sətri üçüncü sətirə əlavə edin, -4-ə vurun, nəticədə bizə lazım olan sıfır alınacaq.

Gauss metodu universaldır, lakin bir özəlliyi var. Başqa üsullardan (Kramer metodu, matris metodu) ilk dəfə olaraq sistemləri həll etməyi inamla öyrənə bilərsiniz - onların çox ciddi alqoritmi var. Ancaq Gauss metoduna inamlı olmaq üçün "dişlərinizi daxil edin" və ən azı 5-10 on sistemi həll etməlisiniz. Buna görə də əvvəlcə hesablamalarda çaşqınlıq və səhvlər ola bilər və bunda qeyri-adi və faciəli heç nə yoxdur.

Pəncərədən kənarda yağışlı payız havası.... Buna görə də, daha mürəkkəb bir nümunəni öz başına həll etmək istəyən hər kəs üçün:

Misal 5

Qauss metodundan istifadə etməklə dörd naməlumlu 4 xətti tənlik sistemini həll edin.

Belə bir vəzifə praktikada o qədər də nadir deyil. Düşünürəm ki, hətta bu səhifəni hərtərəfli öyrənmiş çaynik belə bir sistemin intuitiv şəkildə həllinin alqoritmini başa düşəcək. Prinsipcə, hər şey eynidir - sadəcə daha çox hərəkət var.

Dərsdə sistemin heç bir həlli olmadığı (uyğunsuz) və ya sonsuz sayda həllin olduğu hallar müzakirə olunur. Uyğun olmayan sistemlər və ümumi həlli olan sistemlər. Orada Gauss metodunun nəzərdən keçirilən alqoritmini düzəldə bilərsiniz.

Sənə uğurlar arzu edirəm!

Həll və cavablar:

Misal 2: Həll : Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək.
Elementar çevrilmələr həyata keçirilir: (1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. Diqqət! Burada üçüncü sətirdən birincini çıxarmaq şirnikləndirilə bilər, onu çıxarmamağı çox tövsiyə edirəm - səhv riski xeyli artır. Sadəcə qatlayın! (2) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). İkinci və üçüncü sətirlər dəyişdirilib. Qeyd , “addımlarda” biz təkcə birlə deyil, həm də –1 ilə kifayətlənirik ki, bu da daha rahatdır. (3) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 5-ə vuruldu. (4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). Üçüncü sətir 14-ə bölündü.

Ters:

Cavab verin : .

Misal 4: Həll : Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək:

Həyata keçirilən çevrilmələr: (1) Birinci sətirə ikinci sətir əlavə edildi. Beləliklə, istədiyiniz vahid yuxarı sol "addımda" təşkil edilir. (2) 7-yə vurulan birinci sətir ikinci sətirə, 6-ya vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.

İkinci "addım" ilə hər şey daha da pisləşir , bunun üçün "namizədlər" 17 və 23 rəqəmləridir və bizə ya bir, ya da -1 lazımdır. Transformasiyalar (3) və (4) istədiyiniz vahidi əldə etməyə yönəldiləcəkdir (3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. (4) Üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -3 ilə vuruldu. İkinci addımda tələb olunan element alındı. . (5) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 6-ya vuruldu. (6) İkinci sətir –1-ə vuruldu, üçüncü sətir -83-ə bölündü.

Ters:

Cavab verin :

Misal 5: Həll : Sistemin matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək:

Həyata keçirilən çevrilmələr: (1) Birinci və ikinci sətirlər dəyişdirildi. (2) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir dördüncü sətirə əlavə edildi, -3-ə vuruldu. (3) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 4-ə vuruldu. İkinci sətir dördüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. (4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi. Dördüncü sətir 3-ə bölünərək üçüncü sətirin yerinə qoyuldu. (5) Üçüncü sətir dördüncü sətirə əlavə edilib, –5-ə vurulub.

Ters:

Cavab verin :