Tonal birləşmələrin riyazi gedişatı. Arifmetik irəliləyiş – ədədlərin ardıcıllığı

Orta məktəbdə (9-cu sinif) cəbri öyrənərkən mühüm mövzulardan biri də proqressiyaları - həndəsi və arifmetikləri özündə cəmləşdirən ədədi ardıcıllıqların öyrənilməsidir. Bu yazıda arifmetik irəliləyişlərə və həlləri olan nümunələrə baxacağıq.

Arifmetik irəliləyiş nədir?

Bunu başa düşmək üçün sözügedən irəliləyişi müəyyənləşdirmək, həmçinin problemlərin həllində sonradan istifadə olunacaq əsas düsturları təqdim etmək lazımdır.

Məlumdur ki, bəzi cəbri proqresiyada 1-ci həd 6-ya, 7-ci həd 18-ə bərabərdir.Fərqi tapmaq və bu ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək lazımdır.

Naməlum termini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edək: a n = (n - 1) * d + a 1 . Şərtdən məlum olan məlumatları, yəni a 1 və a 7 rəqəmlərini ona əvəz edək: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadədən asanlıqla fərqi hesablaya bilərsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsinə cavab verdik.

Ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək üçün cəbri irəliləmənin tərifindən istifadə etməlisiniz, yəni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d və s. Nəticədə, biz bütün ardıcıllığı bərpa edirik: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Misal № 3: irəliləyişin tərtib edilməsi

Problemi daha da mürəkkəbləşdirək. İndi arifmetik irəliləyişin necə tapılacağı sualına cavab verməliyik. Aşağıdakı misal göstərmək olar: iki ədəd verilir, məsələn - 4 və 5. Cəbri irəliləyiş yaratmaq lazımdır ki, bunların arasında daha üç həd yerləşsin.

Bu problemi həll etməyə başlamazdan əvvəl, verilən nömrələrin gələcək inkişafda hansı yeri tutacağını başa düşməlisiniz. Onların arasında daha üç termin olacağı üçün a 1 = -4 və 5 = 5 olacaq. Bunu müəyyən etdikdən sonra əvvəlkinə bənzəyən məsələyə keçirik. Yenə n-ci müddət üçün düsturdan istifadə edirik, alırıq: a 5 = a 1 + 4 * d. Kimdən: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Burada əldə etdiyimiz fərqin tam dəyəri deyil, rasional ədəddir, ona görə də cəbri irəliləyiş üçün düsturlar eyni qalır.

İndi tapılan fərqi 1-ə əlavə edək və irəliləyişin çatışmayan şərtlərini bərpa edək. Alırıq: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, üst-üstə düşür problemin şərtləri ilə.

Nümunə № 4: irəliləmənin birinci müddəti

Həllləri ilə arifmetik irəliləyiş nümunələri verməyə davam edək. Əvvəlki bütün məsələlərdə cəbri irəliləyişin ilk nömrəsi məlum idi. İndi fərqli tipli məsələni nəzərdən keçirək: iki ədəd verilsin, burada a 15 = 50 və a 43 = 37. Bu ardıcıllığın hansı rəqəmlə başladığını tapmaq lazımdır.

İndiyə qədər istifadə olunan düsturlar 1 və d haqqında bilikləri nəzərdə tutur. Problem bəyanatında bu nömrələr haqqında heç nə məlum deyil. Buna baxmayaraq, məlumatın mövcud olduğu hər bir termin üçün ifadələr yazacağıq: a 15 = a 1 + 14 * d və a 43 = a 1 + 42 * d. 2 naməlum kəmiyyətin (a 1 və d) olduğu iki tənlik aldıq. Bu o deməkdir ki, problem xətti tənliklər sisteminin həllinə endirilir.

Bu sistemi həll etməyin ən asan yolu hər tənlikdə 1 ifadə etmək və sonra ortaya çıxan ifadələri müqayisə etməkdir. Birinci tənlik: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci tənlik: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadələri bərabərləşdirərək alırıq: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, buradan fərq d = ​​(37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnız 3 onluq yer verilir).

d-ni bilməklə, 1 üçün yuxarıdakı 2 ifadədən hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, birinci: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhəniz varsa, onu yoxlaya bilərsiniz, məsələn, şərtdə göstərilən irəliləyişin 43-cü müddətini təyin edin. Alırıq: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kiçik xəta hesablamalarda mində yuvarlaqlaşdırmadan istifadə edilməsi ilə bağlıdır.

Nümunə № 5: məbləğ

İndi arifmetik irəliləyişin cəminin həlli ilə bir neçə nümunəyə baxaq.

Aşağıdakı formada ədədi irəliləyiş verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu ədədlərin 100-nün cəmini necə hesablamaq olar?

Kompüter texnologiyasının inkişafı sayəsində bu problemi həll etmək, yəni bütün rəqəmləri ardıcıl olaraq əlavə etmək mümkündür, insan Enter düyməsini basan kimi kompüter bunu edəcəkdir. Ancaq təqdim olunan ədədlər silsiləsi cəbri proqressiya olduğuna və fərqinin 1-ə bərabər olduğuna diqqət yetirsəniz, problemi əqli şəkildə həll etmək olar. Cəmi üçün düstur tətbiq edərək, əldə edirik: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Maraqlıdır ki, bu problemin “Qauss” adlandırılması ona görədir ki, XVIII əsrin əvvəllərində hələ cəmi 10 yaşı olan məşhur alman onu bir neçə saniyə ərzində beynində həll edə bilmişdi. Oğlan cəbri irəliləyişin cəminin düsturunu bilmirdi, amma fərq etdi ki, ardıcıllığın sonundakı ədədləri cüt-cüt əlavə etsəniz, həmişə eyni nəticəni alırsınız, yəni 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... və bu məbləğlər tam olaraq 50 (100 / 2) olacağından, düzgün cavabı almaq üçün 50-ni 101-ə vurmaq kifayətdir.

Nümunə № 6: n-dən m-ə qədər olan şərtlərin cəmi

Arifmetik irəliləyişin cəminin başqa tipik nümunəsi aşağıdakılardır: bir sıra ədədlər verildikdə: 3, 7, 11, 15, ..., onun 8-dən 14-ə qədər olan şərtlərinin cəminin nəyə bərabər olacağını tapmaq lazımdır. .

Problem iki yolla həll olunur. Bunlardan birincisi 8-dən 14-ə qədər naməlum şərtləri tapmağı və sonra onları ardıcıl olaraq cəmləməyi əhatə edir. Termin az olduğu üçün bu üsul kifayət qədər əmək tələb etmir. Buna baxmayaraq, bu problemi daha universal olan ikinci üsuldan istifadə etməklə həll etmək təklif olunur.

İdeya m və n şərtləri arasında cəbri irəliləyişin cəmi üçün düstur əldə etməkdir, burada n > m tam ədədlərdir. Hər iki halda cəmi üçün iki ifadə yazırıq:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m olduğundan aydın olur ki, 2-ci cəm birincini ehtiva edir. Son nəticə o deməkdir ki, bu cəmlər arasındakı fərqi götürsək və ona a m termini əlavə etsək (fərq alındıqda S n cəmindən çıxılır) məsələyə lazımi cavabı alacağıq. Bizdə: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadədə n və m üçün düsturları əvəz etmək lazımdır. Sonra əldə edirik: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Əldə edilən düstur bir qədər çətin olur, lakin S mn cəmi yalnız n, m, a 1 və d-dən asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu ədədləri əvəz edərək, alarıq: S mn = 301.

Yuxarıdakı həllərdən göründüyü kimi, bütün məsələlər n-ci həd üçün ifadə və birinci hədlər çoxluğunun cəminin düsturu haqqında biliklərə əsaslanır. Bu problemlərdən hər hansı birini həll etməyə başlamazdan əvvəl şərti diqqətlə oxumaq, nə tapmaq lazım olduğunu aydın şəkildə başa düşmək və yalnız bundan sonra həllinə davam etmək tövsiyə olunur.

Başqa bir ipucu sadəliyə çalışmaqdır, yəni mürəkkəb riyazi hesablamalardan istifadə etmədən suala cavab verə bilsəniz, bunu etməlisiniz, çünki bu vəziyyətdə səhv etmək ehtimalı daha azdır. Məsələn, 6 nömrəli həlli olan arifmetik irəliləyiş nümunəsində S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m düsturunda dayanmaq olar və ümumi problemi ayrı-ayrı alt tapşırıqlara bölün (bu halda əvvəlcə a n və a m şərtlərini tapın).

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhəniz varsa, verilmiş nümunələrdən bəzilərində edildiyi kimi onu yoxlamaq tövsiyə olunur. Arifmetik irəliləyişin necə tapılacağını öyrəndik. Bunu başa düşsəniz, o qədər də çətin deyil.

Yaxşı, dostlar, əgər siz bu mətni oxuyursunuzsa, onda daxili başlıq dəlilləri mənə deyir ki, siz hələ arifmetik irəliləyişin nə olduğunu bilmirsiniz, amma həqiqətən (yox, belə: SOOOOO!) bilmək istəyirsiniz. Ona görə də sizi uzun-uzadı təqdimatlarla incitməyəcəyəm və birbaşa mətləbə keçəcəyəm.

Birincisi, bir neçə misal. Bir neçə ədəd dəstinə baxaq:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Bütün bu dəstlərin ortaq cəhəti nədir? İlk baxışdan heç nə. Amma əslində bir şey var. Məhz: hər növbəti element əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.

Özünüz mühakimə edin. Birinci dəst sadəcə ardıcıl nömrələrdir, hər biri əvvəlkindən bir çoxdur. İkinci halda, bitişik ədədlər arasındakı fərq artıq beşdir, lakin bu fərq hələ də sabitdir. Üçüncü halda, köklər tamamilə var. Bununla belə, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ və $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yəni. və bu halda hər növbəti element sadəcə olaraq $\sqrt(2)$ artır (və bu rəqəmin irrasional olmasından qorxma).

Beləliklə: bütün belə ardıcıllıqlara arifmetik irəliləyişlər deyilir. Ciddi bir tərif verək:

Tərif. Hər bir sonrakının əvvəlkindən tam eyni miqdarda fərqləndiyi ədədlər ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir. Rəqəmlərin fərqləndiyi məbləğə irəliləyiş fərqi deyilir və ən çox $d$ hərfi ilə işarələnir.

Qeyd: $\left(((a)_(n)) \right)$ irəliləyişin özüdür, $d$ onun fərqidir.

Və yalnız bir neçə vacib qeyd. Birincisi, yalnız irəliləyiş nəzərə alınır əmr etdi nömrələrin ardıcıllığı: onların yazıldığı ardıcıllıqla ciddi şəkildə oxunmasına icazə verilir - başqa heç nə yoxdur. Nömrələri yenidən təşkil etmək və ya dəyişdirmək mümkün deyil.

İkincisi, ardıcıllığın özü sonlu və ya sonsuz ola bilər. Məsələn, (1; 2; 3) çoxluğu açıq şəkildə sonlu arifmetik irəliləyişdir. Ancaq ruhda bir şey yazsanız (1; 2; 3; 4; ...) - bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir. Dördündən sonrakı ellips, qarşıda daha bir neçə rəqəmin olduğuna işarə edir. Məsələn, sonsuz sayda. :)

Onu da qeyd edim ki, irəliləyişlər arta və ya azala bilər. Artıq artanları gördük - eyni çoxluq (1; 2; 3; 4; ...). Aşağıda irəliləyişlərin azaldılması nümunələri verilmişdir:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Tamam, tamam: son nümunə həddindən artıq mürəkkəb görünə bilər. Amma qalanları, məncə, başa düşürsən. Buna görə də yeni təriflər təqdim edirik:

Tərif. Arifmetik irəliləyiş deyilir:

1. hər növbəti element əvvəlkindən böyükdürsə, artır;
2. əksinə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən az olarsa, azalır.

Bundan əlavə, "stasionar" ardıcıllıqlar var - onlar eyni təkrarlanan nömrədən ibarətdir. Məsələn, (3; 3; 3; ...).

Yalnız bir sual qalır: artan irəliləyişi azalandan necə ayırd etmək olar? Xoşbəxtlikdən, burada hər şey yalnız $d$ rəqəminin işarəsindən asılıdır, yəni. irəliləmə fərqləri:

1. Əgər $d \gt 0$ olarsa, irəliləmə artır;
2. Əgər $d \lt 0$ olarsa, deməli irəliləyiş açıq şəkildə azalır;
3. Nəhayət, $d=0$ halı var - bu halda bütün irəliləyiş eyni ədədlərin stasionar ardıcıllığına endirilir: (1; 1; 1; 1; ...) və s.

Yuxarıda verilmiş üç azalan irəliləyiş üçün $d$ fərqini hesablamağa çalışaq. Bunu etmək üçün hər hansı iki bitişik elementi (məsələn, birinci və ikinci) götürmək və sağdakı nömrədən soldakı nömrəni çıxarmaq kifayətdir. Bu belə görünəcək:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüyümüz kimi, hər üç halda fərq əslində mənfi oldu. İndi tərifləri az-çox başa düşdükdən sonra irəliləyişlərin necə təsvir edildiyini və hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu anlamağın vaxtı gəldi.

Tərəqqi şərtləri və təkrarlanma düsturu

Ardıcıllığımızın elementləri dəyişdirilə bilmədiyi üçün onları nömrələmək olar:

\[\sol(((a)_(n)) \sağ)=\sol\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \sağ\)\]

Bu çoxluğun ayrı-ayrı elementləri proqresiyanın üzvləri adlanır. Onlar rəqəmlə göstərilir: birinci üzv, ikinci üzv və s.

Bundan əlavə, artıq bildiyimiz kimi, irəliləyişin qonşu şərtləri düsturla əlaqələndirilir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Sağ ox ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Qısaca desək, irəliləyişin $n$-ci həddini tapmaq üçün siz $n-1$-ci termini və $d$ fərqini bilməlisiniz. Bu düstur təkrarlanan adlanır, çünki onun köməyi ilə hər hansı bir nömrəni yalnız əvvəlkini (və əslində bütün əvvəlkiləri) bilməklə tapa bilərsiniz. Bu, çox əlverişsizdir, buna görə də hər hansı hesablamaları birinci terminə və fərqə endirən daha hiyləgər bir düstur var:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sol(n-1 \sağ)d\]

Yəqin ki, siz artıq bu formulla rastlaşmısınız. Onlar bunu hər cür istinad kitablarında və həll kitablarında verməyi sevirlər. İstənilən həssas riyaziyyat dərsliyində o, birincilərdən biridir.

Bununla belə, bir az məşq etməyi məsləhət görürəm.

Tapşırıq №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ olarsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik proqressiyasının ilk üç şərtini yazın.

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=8$ birinci termini və $d=-5$ irəliləməsinin fərqini bilirik. Gəlin indi verilmiş düsturdan istifadə edək və $n=1$, $n=2$ və $n=3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sol(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sol(3-1 \sağ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: (8; 3; −2)

Hamısı budur! Diqqət edin: inkişafımız azalır.

Təbii ki, $n=1$ əvəz edilə bilməzdi - birinci termin artıq bizə məlumdur. Bununla belə, birliyi əvəz etməklə biz əmin olduq ki, hətta birinci dövr üçün formulamız işləyir. Digər hallarda, hər şey banal hesaba düşdü.

Tapşırıq № 2. Arifmetik irəliləyişin yeddinci üzvü −40-a, on yeddinci üzvü isə −50-yə bərabərdirsə, onun ilk üç həddini yazın.

Həll. Problemin şərtini tanış sözlərlə yazaq:

\[((a)_(7))=-40;\dörd ((a)_(17))=-50.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(hizalayın) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \sağ.\]

Sistem işarəsini qoyuram, çünki bu tələblər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir. İndi qeyd edək ki, ikinci tənlikdən birincini çıxarsaq (bizim bunu etmək hüququmuz var, çünki sistemimiz var), bunu alırıq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizalayın)\]

Proqressiv fərqi tapmaq nə qədər asandır! Yalnız tapılan ədədi sistemin hər hansı bir tənliyinə əvəz etmək qalır. Məsələn, birincidə:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \son (matris)\]

İndi birinci şərti və fərqi bilməklə ikinci və üçüncü şərtləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizalayın)\]

Hazır! Problem həll olunur.

Cavab: (−34; −35; −36)

Proqresiyanın kəşf etdiyimiz maraqlı xüsusiyyətinə diqqət yetirin: əgər $n$th və $m$th şərtlərini götürsək və onları bir-birindən çıxarsaq, irəliləyişin fərqini $n-m$ ədədinə vururuq:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \sol(n-m \sağ)\]

Mütləq bilməli olduğunuz sadə, lakin çox faydalı bir əmlak - onun köməyi ilə bir çox irəliləyiş problemlərinin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirə bilərsiniz. Bunun bariz nümunəsi budur:

Tapşırıq №3. Arifmetik proqresiyanın beşinci üzvü 8,4, onuncu üzvü isə 14,4-dür. Bu irəliləyişin on beşinci üzvünü tapın.

Həll. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ və $((a)_(15))$ tapmaq lazım olduğuna görə aşağıdakıları qeyd edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizalayın)\]

Lakin şərtlə $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, buna görə də $5d=6$, ondan əldə edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: 20.4

Hamısı budur! Bizə heç bir tənlik sistemi yaratmağa və birinci həddi və fərqi hesablamağa ehtiyac yox idi - hər şey bir neçə sətirdə həll olundu.

İndi problemin başqa bir növünə - irəliləyişin mənfi və müsbət şərtlərinin axtarışına baxaq. Heç kimə sirr deyil ki, irəliləyiş artarsa ​​və onun birinci termini mənfi olarsa, gec-tez onda müsbət terminlər görünəcəkdir. Və əksinə: azalan irəliləyişin şərtləri gec-tez mənfi olacaq.

Eyni zamanda, elementləri ardıcıl olaraq keçməklə bu anı “baş-üstə” tapmaq həmişə mümkün olmur. Çox vaxt problemlər elə yazılır ki, düsturları bilmədən hesablamalar bir neçə vərəq götürəcək - cavabı tapan kimi biz sadəcə yuxuya gedərik. Ona görə də gəlin bu problemləri daha tez həll etməyə çalışaq.

Tapşırıq № 4. Arifmetik irəliləyişdə neçə mənfi hədd var −38,5; −35,8; ...?

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan dərhal fərqi tapırıq:

Qeyd edək ki, fərq müsbətdir, buna görə də irəliləyiş artır. Birinci termin mənfidir, ona görə də nə vaxtsa müsbət rəqəmlərlə qarşılaşacağıq. Yeganə sual bunun nə vaxt baş verəcəyidir.

Şərtlərin neqativliyinin nə qədər müddətə (yəni $n$ hansı natural ədədə qədər) qaldığını öyrənməyə çalışaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Sağ ox ((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \sol(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Sağ ox ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizalayın)\]

Sonuncu sətir bəzi izahat tələb edir. Beləliklə, $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu bilirik. Digər tərəfdən, biz yalnız ədədin tam qiymətləri ilə kifayətlənirik (üstəlik: $n\in \mathbb(N)$), buna görə də ən böyük icazə verilən ədəd dəqiq olaraq $n=15$-dır və heç bir halda 16 deyil. .

Tapşırıq № 5. Arifmetik irəliləyişdə $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu irəliləyişin birinci müsbət üzvünün sayını tapın.

Bu, əvvəlki problemlə eyni problem olacaq, lakin biz $((a)_(1))$ bilmirik. Lakin qonşu şərtlər məlumdur: $((a)_(5))$ və $((a)_(6))$, beləliklə, irəliləyişin fərqini asanlıqla tapa bilərik:

Bundan əlavə, standart düsturdan istifadə edərək birinci və fərq vasitəsilə beşinci termini ifadə etməyə çalışaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizalayın)\]

İndi əvvəlki tapşırığa bənzətmə ilə davam edirik. Müsbət ədədlərin ardıcıllığımızın hansı nöqtəsində görünəcəyini öyrənək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ox ((n)_(\dəq ))=56. \\ \end(hizalayın)\]

Bu bərabərsizliyin minimum tam həlli 56 ədədidir.

Diqqət yetirin: son tapşırıqda hər şey ciddi bərabərsizliklə nəticələndi, ona görə də $n=55$ variantı bizə uyğun gəlməyəcək.

Sadə məsələlərin həllini öyrəndiyimizə görə, indi daha mürəkkəb olanlara keçək. Ancaq əvvəlcə arifmetik irəliləyişlərin başqa bir çox faydalı xüsusiyyətini öyrənək ki, bu da gələcəkdə bizə çox vaxt və qeyri-bərabər hüceyrələrə qənaət edəcəkdir. :)

Arifmetik orta və bərabər abzaslar

$\left(((a)_(n)) \right)$ artan arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl şərtini nəzərdən keçirək. Onları rəqəm xəttində qeyd etməyə çalışaq:

Mən xüsusi olaraq $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyari şərtləri qeyd etdim və bəzi $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ və s. Çünki indi sizə deyəcəyim qayda istənilən “seqmentlər” üçün eyni işləyir.

Və qayda çox sadədir. Təkrarlanan düsturu xatırlayaq və bütün qeyd olunan şərtlər üçün onu yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizalayın)\]

Bununla belə, bu bərabərliklər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizalayın)\]

Yaxşı, bəs nə? Və $((a)_(n-1))$ və $((a)_(n+1))$ şərtlərinin $((a)_(n)) $-dan eyni məsafədə olması faktı . Və bu məsafə $d$-a bərabərdir. Eyni şeyi $((a)_(n-2))$ və $((a)_(n+2))$ terminləri haqqında da demək olar - onlar da $((a)_(n) terminindən çıxarılıb. )$ eyni məsafədə $2d$-a bərabərdir. Sonsuza qədər davam edə bilərik, lakin məna şəkil ilə yaxşı təsvir edilmişdir

Bu bizim üçün nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, $((a)_(n))$ qonşu ədədlər məlum olduqda tapıla bilər:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Mükəmməl bir müddəa əldə etdik: arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü onun qonşu şərtlərinin arifmetik ortasına bərabərdir! Üstəlik: $((a)_(n))$-dan sola və sağa bir addım deyil, $k$ addımları ilə geri çəkilə bilərik və düstur yenə də düzgün olacaq:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bunlar. $((a)_(150))$ və $((a)_(100))$ və $((a)_(200))$ bildiyimiz halda asanlıqla bəzi $((a)_(150))$ tapa bilərik, çünki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bu fakt bizə faydalı heç nə vermir. Bununla belə, praktikada bir çox məsələlər arifmetik ortadan istifadə etmək üçün xüsusi olaraq hazırlanmışdır. Bax:

Tapşırıq № 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ və $14+4((x)^(2))$ ədədlərinin ardıcıl şərtlər olduğu $x$-ın bütün dəyərlərini tapın. arifmetik irəliləyiş (göstərilən ardıcıllıqla).

Həll. Bu ədədlər proqresiyanın üzvləri olduğundan onlar üçün orta hesab şərti ödənilir: $x+1$ mərkəzi elementi qonşu elementlərlə ifadə oluna bilər:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Nəticə klassik kvadrat tənlikdir. Onun kökləri: $x=2$ və $x=-3$ cavablardır.

Cavab: −3; 2.

Tapşırıq № 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ ədədlərinin arifmetik irəliləyiş əmələ gətirdiyi $$ dəyərlərini tapın (həmin ardıcıllıqla).

Həll. Yenidən orta termini qonşu terminlərin arifmetik ortası ilə ifadə edək:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Yenidən kvadrat tənlik. Və yenə də iki kök var: $x=6$ və $x=1$.

Cavab: 1; 6.

Problemin həlli zamanı bəzi qəddar rəqəmlərlə qarşılaşırsınızsa və ya tapılan cavabların düzgünlüyünə tam əmin deyilsinizsə, onda yoxlamağa imkan verən gözəl bir texnika var: problemi düzgün həll etdikmi?

Tutaq ki, 6 nömrəli məsələdə −3 və 2 cavabları aldıq. Bu cavabların düzgün olduğunu necə yoxlaya bilərik? Gəlin onları orijinal vəziyyətə qoşaq və nə baş verdiyini görək. Nəzərinizə çatdırım ki, bizim üç ədədimiz var ($-6(()^(2))$, $+1$ və $14+4(()^(2))$, onlar arifmetik irəliləyiş təşkil etməlidir. $x=-3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

−54 rəqəmlərini aldıq; −2; 52 ilə fərqlənən 50, şübhəsiz ki, arifmetik irəliləyişdir. Eyni şey $x=2$ üçün də baş verir:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Yenə irəliləyiş, lakin 27 fərqlə. Beləliklə, problem düzgün həll olundu. İstəyənlər ikinci problemi özləri yoxlaya bilərlər, amma dərhal deyəcəm: orada da hər şey qaydasındadır.

Ümumiyyətlə, son problemləri həll edərkən daha bir maraqlı faktla qarşılaşdıq ki, onu da xatırlamaq lazımdır:

Əgər üç ədəd elədirsə ki, ikincisi birincinin və sonuncunun arifmetik ortasıdır, onda bu ədədlər arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Gələcəkdə bu ifadəni başa düşmək bizə problemin şərtlərinə əsaslanaraq lazımi irəliləyişləri sözün əsl mənasında "qurmağa" imkan verəcəkdir. Ancaq belə bir "tikinti" ilə məşğul olmamışdan əvvəl, artıq danışılanlardan birbaşa irəli gələn daha bir fakta diqqət yetirməliyik.

Elementlərin qruplaşdırılması və cəmlənməsi

Yenidən ədəd oxuna qayıdaq. Orada irəliləyişin bir neçə üzvünü qeyd edək, onların arasında, bəlkə də. bir çox digər üzvlərə dəyər:

Gəlin “sol quyruğu” $((a)_(n))$ və $d$, “sağ quyruğu” isə $((a)_(k))$ və $d$ vasitəsilə ifadə etməyə çalışaq. Çox sadədir:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizalayın)\]

İndi nəzərə alın ki, aşağıdakı məbləğlər bərabərdir:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sadə dillə desək, proqresiyanın cəmi $S$ sayına bərabər olan iki elementini başlanğıc kimi nəzərdən keçirsək və sonra bu elementlərdən əks istiqamətdə addımlamağa başlasaq (bir-birinə doğru və ya əksinə uzaqlaşmaq üçün), sonra rastlaşacağımız elementlərin cəmi də bərabər olacaq$S$. Bunu qrafik olaraq ən aydın şəkildə göstərmək olar:

Bu faktı başa düşmək bizə yuxarıda nəzərdən keçirdiklərimizdən daha yüksək səviyyəli mürəkkəblik problemlərini həll etməyə imkan verəcəkdir. Məsələn, bunlar:

Tapşırıq № 8. Birinci həddinin 66, ikinci və on ikinci hədlərin hasilinin mümkün olan ən kiçik olduğu arifmetik irəliləyişin fərqini təyin edin.

Həll. Bildiyimiz hər şeyi yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\dəq. \end(align)\]

Beləliklə, $d$ irəliləyiş fərqini bilmirik. Əslində, bütün həll fərq ətrafında qurulacaq, çünki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ məhsulu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sol(66+d \sağ)\cdot \sol(66+11d \sağ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(align)\]

Tankda olanlar üçün: Mən ikinci mötərizədən 11-in ümumi çarpanını götürdüm. Beləliklə, istənilən hasil $d$ dəyişəninə münasibətdə kvadrat funksiyadır. Buna görə də, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasını nəzərdən keçirək - onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, çünki mötərizələri genişləndirsək, alırıq:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Gördüyünüz kimi, ən yüksək terminin əmsalı 11-dir - bu müsbət rəqəmdir, ona görə də biz həqiqətən yuxarı budaqları olan bir parabola ilə məşğul oluruq:

kvadratik funksiyanın qrafiki - parabola

Diqqət edin: bu parabola minimum qiymətini $((d)_(0))$ absis ilə təpəsində götürür. Əlbəttə ki, biz bu absissanı standart sxemdən istifadə edərək hesablaya bilərik ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ düsturu var), lakin qeyd etmək daha məqsədəuyğun olardı. istədiyiniz təpənin parabolanın oxu simmetriyası üzərində yerləşdiyinə görə $((d)_(0))$ nöqtəsi $f\left(d \right)=0$ tənliyinin köklərindən bərabər məsafədədir:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörd ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizalayın)\]

Buna görə də mötərizələri açmağa tələsmədim: orijinal formada kökləri tapmaq çox, çox asan idi. Beləliklə, absis −66 və −6 ədədlərinin arifmetik ortasına bərabərdir:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Aşkar edilmiş nömrə bizə nə verir? Onunla tələb olunan məhsul ən kiçik dəyəri alır (yeri gəlmişkən, biz heç vaxt $((y)_(\min ))$ hesablamamışıq - bu bizdən tələb olunmur). Eyni zamanda, bu rəqəm orijinal irəliləyişin fərqidir, yəni. cavabını tapdıq. :)

Cavab: −36

Tapşırıq № 9. $-\frac(1)(2)$ və $-\frac(1)(6)$ ədədlərinin arasına üç ədəd daxil edin ki, bu ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Həll. Prinsipcə, ilk və son nömrə artıq məlum olan beş ədəd ardıcıllığı yaratmalıyıq. Çatışmayan ədədləri $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri ilə işarə edək:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]

Qeyd edək ki, $y$ rəqəmi ardıcıllığımızın "ortasıdır" - o, $x$ və $z$ rəqəmlərindən, $-\frac(1)(2)$ və $-\frac ədədlərindən bərabər məsafədədir. (1)( 6)$. Hal-hazırda $x$ və $z$ ədədlərindən $y$ əldə edə bilmiriksə, o zaman irəliləyişin uclarında vəziyyət fərqlidir. Arifmetik ortanı xatırlayaq:

İndi $y$-ı bilməklə, qalan ədədləri tapacağıq. Qeyd edək ki, $x$ $-\frac(1)(2)$ və indi tapdığımız $y=-\frac(1)(3)$ ədədləri arasında yerləşir. Buna görə də

Bənzər əsaslandırmadan istifadə edərək, qalan rəqəmi tapırıq:

Hazır! Hər üç rəqəmi tapdıq. Onları cavabda ilkin ədədlər arasına daxil edilməli olan ardıcıllıqla yazaq.

Cavab: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tapşırıq № 10. 2 və 42 ədədlərinin arasına daxil edilmiş ədədlərin birinci, ikinci və sonuncularının cəminin 56 olduğunu bilirsinizsə, bu ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş təşkil edən bir neçə ədəd daxil edin.

Həll. Daha mürəkkəb bir problem, lakin əvvəlkilərlə eyni sxemə uyğun olaraq - arifmetik orta ilə həll olunur. Problem ondadır ki, biz neçə rəqəmin daxil edilməli olduğunu dəqiq bilmirik. Buna görə də, dəqiqlik üçün fərz edək ki, hər şeyi daxil etdikdən sonra tam olaraq $n$ ədədləri olacaq və onlardan birincisi 2, sonuncusu isə 42-dir. Bu halda tələb olunan arifmetik irəliləyiş aşağıdakı formada göstərilə bilər:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Bununla belə, qeyd edək ki, $((a)_(2))$ və $((a)_(n-1))$ ədədləri kənarlardakı 2 və 42 rəqəmlərindən bir-birinə doğru bir addım atılır, yəni.. ardıcıllığın mərkəzinə. Və bu o deməkdir ki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Lakin sonra yuxarıda yazılmış ifadə aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizalayın)\]

$((a)_(3))$ və $((a)_(1))$ bilməklə, irəliləyişin fərqini asanlıqla tapa bilərik:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sol(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ox d=5. \\ \end(hizalayın)\]

Qalan şərtləri tapmaqdır:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizalayın)\]

Beləliklə, artıq 9-cu addımda biz ardıcıllığın sol ucuna - 42 rəqəminə çatacağıq. Ümumilikdə cəmi 7 rəqəm daxil edilməli idi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cavab: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Proqressivlərlə bağlı söz problemləri

Sonda bir neçə nisbətən sadə məsələni nəzərdən keçirmək istərdim. Bu qədər sadədir: məktəbdə riyaziyyat oxuyan və yuxarıda yazılanları oxumayan tələbələrin əksəriyyəti üçün bu problemlər çətin görünə bilər. Buna baxmayaraq, bunlar OGE-də və riyaziyyatda Vahid Dövlət İmtahanında ortaya çıxan problem növləridir, buna görə də onlarla tanış olmağı məsləhət görürəm.

Tapşırıq № 11. Komanda yanvar ayında 62 hissə istehsal edib və hər növbəti ayda əvvəlki ayla müqayisədə 14 ədəd çox hissə istehsal edib. Komanda noyabr ayında neçə hissə istehsal etdi?

Həll. Aydındır ki, aya görə sadalanan hissələrin sayı artan arifmetik irəliləyişi təmsil edəcəkdir. Üstəlik:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\sol(n-1 \sağ)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr ilin 11-ci ayıdır, ona görə də $((a)_(11))$ tapmalıyıq:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Buna görə də noyabrda 202 hissə istehsal olunacaq.

Tapşırıq № 12. Cildləmə emalatxanası yanvar ayında 216, sonrakı hər ay isə əvvəlki ayla müqayisədə 4 çox kitab cildləyib. Seminar dekabrda neçə kitab cildləşdirdi?

Həll. Hamısı eyni:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\sol(n-1 \sağ)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr ilin sonuncu, 12-ci ayıdır, ona görə də biz $((a)_(12))$ axtarırıq:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Cavab budur - dekabrda 260 kitab cildlənəcək.

Yaxşı, bura qədər oxumusunuzsa, sizi təbrik etməyə tələsirəm: arifmetik irəliləyişlərdə "gənc döyüşçü kursunu" uğurla başa vurdunuz. Təhlükəsiz olaraq növbəti dərsə keçə bilərsiniz, burada biz irəliləyişlərin cəminin düsturunu, həmçinin ondan vacib və çox faydalı nəticələri öyrənəcəyik.

Arifmetik irəliləyişlə bağlı problemlər hələ qədim zamanlarda mövcud idi. Praktiki ehtiyacları olduğu üçün ortaya çıxıb həllini tələb etdilər.

Beləliklə, Qədim Misirin riyazi məzmuna malik papiruslarından biri olan Rhind papirusunda (e.ə. 19-cu əsr) belə tapşırıq var: on ölçü çörəyi on nəfər arasında bölüşdürün, bu şərtlə ki, onların hər biri arasındakı fərq səkkizdə biri olsun. ölçün.”

Qədim yunanların riyazi əsərlərində isə arifmetik irəliləyişlə bağlı nəfis teoremlər var. Beləliklə, İsgəndəriyyə Hypsicles (2-ci əsr, bir çox maraqlı məsələləri tərtib edən və on dördüncü kitabı Evklidin elementlərinə əlavə etdi) fikrini belə ifadə etdi: “Çift sayda hədləri olan arifmetik proqresiyada II yarının üzvlərinin cəmi. üzvlərinin sayının 1/2 kvadratında 1-ci şərtlərin cəmindən böyükdür."

Ardıcıllıq bir ilə işarələnir. Ardıcıllığın nömrələri onun üzvləri adlanır və adətən bu üzvün seriya nömrəsini göstərən indeksləri olan hərflərlə təyin olunur (a1, a2, a3 ... oxuyun: “a 1-ci”, “a 2-ci”, “a 3-cü” və s ).

Ardıcıllıq sonsuz və ya sonlu ola bilər.

Arifmetik irəliləyiş nədir? Bununla biz irəliləyişin fərqi olan eyni d ədədi ilə əvvəlki (n) həddi əlavə etməklə əldə ediləni nəzərdə tuturuq.

Əgər d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda bu irəliləyiş artan hesab olunur.

Arifmetik irəliləyiş onun yalnız ilk bir neçə üzvü nəzərə alınarsa, sonlu adlanır. Çox sayda üzvlə bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir.

İstənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

an =kn+b, b və k isə bəzi ədədlərdir.

Əks müddəa tamamilə doğrudur: əgər ardıcıllıq oxşar düsturla verilirsə, deməli bu, aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olan arifmetik irəliləyişdir:

1. Proqresiyanın hər bir termini əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdır.
2. Əksinə: əgər 2-cidən başlayaraq hər bir termin əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdırsa, yəni. şərt yerinə yetirilərsə, bu ardıcıllıq arifmetik irəliləyişdir. Bu bərabərlik həm də irəliləyiş əlamətidir, ona görə də onu adətən irəliləyişin xarakterik xüsusiyyəti adlandırırlar.
   Eyni şəkildə, bu xassəni əks etdirən teorem doğrudur: ardıcıllıq yalnız o halda arifmetik irəliləyişdir ki, bu bərabərlik 2-cidən başlayaraq ardıcıllığın hər hansı şərti üçün doğru olsun.

Arifmetik irəliləyişin hər hansı dörd ədədi üçün xarakterik xassəni an + am = ak + al düsturu ilə ifadə etmək olar, əgər n + m = k + l (m, n, k irəliləmə ədədləridir).

Arifmetik irəliləyişdə istənilən zəruri (N-ci) termini aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:

Məsələn: arifmetik irəliləyişdə birinci hədd (a1) verilir və üçə bərabərdir, fərq (d) isə dördə bərabərdir. Bu irəliləyişin qırx beşinci şərtini tapmaq lazımdır. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) düsturu arifmetik irəliləyişin n-ci həddi məlum olduqda onun hər hansı k-ci hədləri vasitəsilə təyin etməyə imkan verir.

Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi (sonlu irəliləyişin ilk n üzvü nəzərdə tutulur) aşağıdakı kimi hesablanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1-ci müddət də məlumdursa, hesablama üçün başqa bir düstur əlverişlidir:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

N hədddən ibarət arifmetik irəliləyişin cəmi aşağıdakı kimi hesablanır:

Hesablamalar üçün düsturların seçimi problemlərin şərtlərindən və ilkin məlumatlardan asılıdır.

1,2,3,...,n,... kimi istənilən ədədlərin natural sıraları arifmetik irəliləyişin ən sadə nümunəsidir.

Arifmetik irəliləyişlə yanaşı, öz xassələri və xüsusiyyətləri olan həndəsi irəliləyiş də var.

Hər natural ədəd üçün n real rəqəmə uyğundur a n , sonra deyirlər ki, verilir nömrə ardıcıllığı :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Beləliklə, ədəd ardıcıllığı təbii arqumentin funksiyasıdır.

Nömrə a 1 çağırdı ardıcıllığın birinci müddəti , nömrə a 2 — ardıcıllığın ikinci müddəti , nömrə a 3 — üçüncü və s. Nömrə a n çağırdı ardıcıllığın n-ci üzvü , və natural ədəd n — onun nömrəsi .

İki qonşu üzvdən a n Və a n +1 ardıcıllıq üzvü a n +1 çağırdı sonrakı (doğru a n ), A a n — əvvəlki (doğru a n +1 ).

Ardıcıllığı müəyyən etmək üçün istənilən nömrə ilə ardıcıllığın üzvünü tapmağa imkan verən metodu təyin etməlisiniz.

Çox vaxt ardıcıllıq istifadə edərək müəyyən edilir n-ci dövr düsturları , yəni ardıcıllığın üzvünü onun nömrəsinə görə təyin etməyə imkan verən düstur.

Misal üçün,

düsturla müsbət tək ədədlər ardıcıllığı verilə bilər

a n= 2n- 1,

və dəyişmə ardıcıllığı 1 Və -1 - düstur

b n = (-1)n +1 . ◄

Ardıcıllığı müəyyən etmək olar təkrarlanan formula, yəni bəzilərindən başlayaraq ardıcıllığın istənilən üzvünü əvvəlki (bir və ya bir neçə) üzv vasitəsilə ifadə edən düstur.

Misal üçün,

Əgər a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Əgər a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sonra ədədi ardıcıllığın ilk yeddi üzvü aşağıdakı kimi qurulur:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ardıcıllıq ola bilər final Və sonsuz .

Ardıcıllıq deyilir son , əgər onun məhdud sayda üzvləri varsa. Ardıcıllıq deyilir sonsuz , əgər onun sonsuz sayda üzvü varsa.

Misal üçün,

ikirəqəmli natural ədədlərin ardıcıllığı:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sadə ədədlərin ardıcıllığı:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Ardıcıllıq deyilir artır , əgər onun üzvlərinin hər biri, ikincidən başlayaraq, əvvəlkindən böyükdürsə.

Ardıcıllıq deyilir azalan , əgər onun hər bir üzvü ikincidən başlayaraq əvvəlkindən azdırsa.

Misal üçün,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - artan ardıcıllıq;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - azalan ardıcıllıq. ◄

Elementləri sayı artdıqca azalmayan və ya əksinə artmayan ardıcıllığa deyilir. monoton ardıcıllıq .

Xüsusilə monoton ardıcıllıqlar artan ardıcıllıqlar və azalan ardıcıllıqlardır.

Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyiş ikincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlkinə bərabər olduğu, eyni nömrənin əlavə olunduğu ardıcıllıqdır.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

hər hansı natural ədəd üçün arifmetik irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:

a n +1 = a n + d,

Harada d - müəyyən bir rəqəm.

Beləliklə, verilmiş arifmetik irəliləyişin sonrakı və əvvəlki şərtləri arasındakı fərq həmişə sabitdir:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nömrə d çağırdı arifmetik irəliləyiş fərqi.

Arifmetik proqressiyanı təyin etmək üçün onun birinci həddi və fərqini göstərmək kifayətdir.

Misal üçün,

Əgər a 1 = 3, d = 4 , onda ardıcıllığın ilk beş şərtini aşağıdakı kimi tapırıq:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Birinci hədd ilə arifmetik irəliləyiş üçün a 1 və fərq d onun n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişin otuzuncu həddini tapın

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sonra açıq-aydın

İkincidən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir.

a, b və c ədədləri bəzi arifmetik proqresiyanın ardıcıl həddləridir, o halda ki, onlardan biri digər ikisinin arifmetik ortasına bərabər olsun.

Misal üçün,

a n = 2n- 7 , arifmetik irəliləyişdir.

Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Beləliklə,

◄

Qeyd edək ki n Arifmetik irəliləyişin üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz a 1 , həm də hər hansı əvvəlki a k

a n = a k + (n- k)d.

Misal üçün,

üçün a 5 yazmaq olar

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sonra açıq-aydın

arifmetik proqresiyanın hər hansı üzvü, ikincidən başlayaraq, bu arifmetik irəliləyişin bərabər məsafəli üzvlərinin cəminin yarısına bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı arifmetik irəliləyiş üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişdə

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, çünki

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

birinci n arifmetik irəliləyişin şərtləri ekstremal həddlərin və hədlərin sayının cəminin yarısının hasilinə bərabərdir:

Buradan, xüsusilə, şərtləri cəmləmək lazımdırsa, belə çıxır

a k, a k +1 , . . . , a n,

onda əvvəlki düstur öz strukturunu saxlayır:

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişdə 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Arifmetik irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər a 1 , a n, d, n VəS n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən üçünün qiymətləri verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilərək bu düsturlardan müəyyən edilir.

Arifmetik irəliləyiş monoton bir ardıcıllıqdır. Burada:

• Əgər d > 0 , sonra artır;
• Əgər d < 0 , sonra azalır;
• Əgər d = 0 , onda ardıcıllıq stasionar olacaq.

Həndəsi irəliləmə

Həndəsi irəliləmə ikincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlki ilə eyni ədədə vurulduğu ardıcıllıqdır.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

hər hansı natural ədəd üçün həndəsi irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:

b n +1 = b n · q,

Harada q ≠ 0 - müəyyən bir rəqəm.

Beləliklə, verilmiş həndəsi irəliləyişin sonrakı dövrünün əvvəlki birinə nisbəti sabit ədəddir:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nömrə q çağırdı həndəsi irəliləmənin məxrəci.

Həndəsi irəliləyişi təyin etmək üçün onun birinci həddi və məxrəcini göstərmək kifayətdir.

Misal üçün,

Əgər b 1 = 1, q = -3 , onda ardıcıllığın ilk beş şərtini aşağıdakı kimi tapırıq:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 və məxrəc q onun n Müddəti düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:

b n = b 1 · qn -1 .

Misal üçün,

həndəsi proqresiyanın yeddinci həddi tapın 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin həndəsi ortasına (mütənasib) bərabərdir.

Bunun əksi də doğru olduğundan, aşağıdakı ifadə doğrudur:

a, b və c ədədləri bəzi həndəsi proqresiyanın ardıcıl hədləridir, o halda ki, onlardan birinin kvadratı digər ikisinin hasilinə bərabər olsun, yəni ədədlərdən biri digər ikisinin həndəsi ortası olsun.

Misal üçün,

Düsturla verilmiş ardıcıllığın olduğunu sübut edək b n= -3 2 n , həndəsi irəliləyişdir. Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Beləliklə,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

bu, arzu olunan ifadəni sübut edir. ◄

Qeyd edək ki n Həndəsi proqresiyanın üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz b 1 , həm də hər hansı əvvəlki üzv b k , bunun üçün formuldan istifadə etmək kifayətdir

b n = b k · qn - k.

Misal üçün,

üçün b 5 yazmaq olar

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n - k· b n + k

ikincidən başlayaraq həndəsi irəliləyişin istənilən həddinin kvadratı ondan bərabər məsafədə olan bu irəliləyişin hədlərinin hasilinə bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı həndəsi irəliləyiş üçün bərabərlik doğrudur:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Misal üçün,

həndəsi irəliləyişdə

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , çünki

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

birinci n məxrəcli həndəsi proqresiyanın üzvləri q ≠ 0 düsturla hesablanır:

Və nə zaman q = 1 - düstura görə

S n= nb 1

Qeyd edək ki, şərtləri cəmləmək lazımdırsa

b k, b k +1 , . . . , b n,

sonra formula istifadə olunur:

Misal üçün,

həndəsi irəliləyişdə 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Həndəsi irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər b 1 , b n, q, n Və S n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən hər hansı üçünün qiyməti verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilərək bu düsturlardan müəyyən edilir.

Birinci hədd ilə həndəsi irəliləyiş üçün b 1 və məxrəc q aşağıdakılar baş verir monotonluğun xüsusiyyətləri :

• Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləmə artır:

b 1 > 0 Və q> 1;

b 1 < 0 Və 0 < q< 1;

• Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləyiş azalır:

b 1 > 0 Və 0 < q< 1;

b 1 < 0 Və q> 1.

Əgər q< 0 , onda həndəsi irəliləyiş bir-birini əvəz edir: onun tək ədədləri olan şərtləri birinci həddi ilə eyni işarəyə, cüt ədədləri isə əks işarəyə malikdir. Aydındır ki, dəyişən həndəsi irəliləyiş monoton deyil.

Birincinin məhsulu n Həndəsi irəliləyişin şərtləri düsturla hesablana bilər:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Misal üçün,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə məxrəc modulu kiçik olan sonsuz həndəsi irəliləyiş adlanır 1 , yəni

|q| < 1 .

Nəzərə alın ki, sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş azalan ardıcıllıq olmaya bilər. Bu vəziyyətə uyğun gəlir

1 < q< 0 .

Belə bir məxrəclə ardıcıllıq növbələşir. Misal üçün,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmi birincilərin cəminin məhdudiyyətsiz yaxınlaşdığı ədədi adlandırın n sayının qeyri-məhdud artması ilə bir irəliləyişin üzvləri n . Bu ədəd həmişə sonludur və düsturla ifadə edilir

Misal üçün,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik və həndəsi irəliləmələr arasında əlaqə

Arifmetik və həndəsi irəliləyişlər bir-biri ilə sıx bağlıdır. Gəlin yalnız iki misala baxaq.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Bu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misal üçün,

1, 3, 5, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş 2 Və

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş q , Bu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş log aq .

Misal üçün,

2, 12, 72, . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş 6 Və

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş lg 6 . ◄

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(8\); \(on bir\); \(14\)... arifmetik irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləmələr deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) mənfi ədəd də ola bilər. Misal üçün, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... irəliləmə fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən daha kiçik olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləyiş qeydi

Tərəqqi kiçik Latın hərfi ilə göstərilir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər adlanır üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin ardıcıllıqla elementin sayına bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləmə \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyiş məsələlərinin həlli

Prinsipcə, yuxarıda təqdim olunan məlumat demək olar ki, hər hansı arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə müəyyən edilir. \(b_5\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişin ilk üç həddi verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Həll:

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə təyin olunan elementin qiymətini tapın.
Həll:

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Həll:

Cavab: \(d=7\).

Arifmetik irəliləyiş üçün vacib düsturlar

Gördüyünüz kimi, arifmetik irəliləyişlə bağlı bir çox problemi sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll etmək olar - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir sonrakı element əvvəlki birinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir. irəliləmə fərqi).

Ancaq bəzən "baş-üstə" qərar vermək çox əlverişsiz olan vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Dörd \(385\) dəfə əlavə etməliyik? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaqdan yorulacaqsan...

Buna görə də, belə hallarda onlar hər şeyi “baş-başa” həll etmirlər, arifmetik irəliləyiş üçün alınan xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və \(n\) birinci hədlərin cəminin düsturudur.

\(n\)-ci həddinin düsturu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin birinci üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) – \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin müddəti.

Bu düstur bizə irəliləyişin yalnız birincisini və fərqini bilməklə hətta üç yüz və ya milyonuncu elementi də tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə müəyyən edilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) – son cəmlənmiş termin;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə müəyyən edilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S_(25)=1090\).

Birinci şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – \(n\) birinci elementlərin tələb olunan cəmi;
\(a_1\) – ilk cəmlənmiş şərt;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) – cəmi elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin ilk \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Həll:

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləyiş məsələləri

İndi demək olar ki, istənilən arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Gəlin mövzunu təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Həll:

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ci elementdən \(42\) elementi daxil olmaqla cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı az olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.