Tərs matris üsulu. Kramer qaydası

• A matrisinin təyinedicisi hesablanır;
• cəbri əlavələr vasitəsilə tərs A -1 matrisi tapılır;
• Excel-də həll şablonu yaradılır;

Təlimatlar. Tərs matris metodundan istifadə edərək həlli əldə etmək üçün matrisin ölçüsünü təyin etməlisiniz. Sonra, yeni dialoq qutusunda A matrisini və B nəticələrinin vektorunu doldurun.

Həll alqoritmi

1. A matrisinin təyinedicisi hesablanır. Determinant sıfırdırsa, həll bitmişdir. Sistemin sonsuz sayda həlli var.
2. Determinant sıfırdan fərqli olduqda, cəbri əlavələr vasitəsilə tərs A -1 matrisi tapılır.
3. X =(x 1, x 2, ..., x n) həll vektoru tərs matrisi B nəticə vektoruna vurmaqla alınır.

Matris üsulu SLAU həlləri tənliklərin sayının naməlumların sayına uyğun olduğu tənliklər sistemlərinin həllinə tətbiq edilir. Metod aşağı səviyyəli sistemləri həll etmək üçün ən yaxşı şəkildə istifadə olunur. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulu matrisin vurulmasının xassələrinin tətbiqinə əsaslanır.

Bu üsul, başqa sözlə tərs matris metodu, belə adlanır, çünki həll adi matris tənliyinə endirilir, onu həll etmək üçün tərs matrisi tapmaq lazımdır.

Matris həlli üsulu Sıfırdan böyük və ya kiçik olan determinantlı SLAE aşağıdakı kimidir:

Fərz edək ki, SLE (xətti tənliklər sistemi) var n naməlum (ixtiyari sahədə):

Bu o deməkdir ki, onu asanlıqla matris formasına çevirmək olar:

AX=B, Harada A- sistemin əsas matrisi, B Və X— müvafiq olaraq sistemin sərbəst şərtləri və həllər sütunları:

Bu matris tənliyini soldan vuraq A−1— matrisa tərs A: A −1 (AX)=A −1 B.

Çünki A −1 A=E, Vasitələri, X=A −1 B. Tənliyin sağ tərəfi ilkin sistemin həll sütununu verir. Matris metodunun tətbiqi şərti matrisin degenerasiyaya uğramamasıdır A. Bunun üçün zəruri və kifayət qədər şərt matrisin determinantının sıfıra bərabər olmamasıdır A:

deA≠0.

üçün xətti tənliklərin homojen sistemi, yəni. vektor əgər B=0, əks qayda var: sistem AX=0 yalnız olduqda qeyri-trivial (yəni sıfıra bərabər olmayan) həll var detA=0. Bircins və qeyri-homogen xətti tənlik sistemlərinin həlləri arasındakı bu əlaqə deyilir Fredholm alternativi.

Beləliklə, SLAE-nin matris metodundan istifadə edərək həlli düstura uyğun olaraq həyata keçirilir . Və ya SLAE-nin həlli istifadə edərək tapılır tərs matris A−1.

Məlumdur ki, kvadrat matris üçün A sifariş n haqqında n tərs matris var A−1 yalnız onun determinantı sıfırdan fərqli olduqda. Beləliklə, sistem n ilə xətti cəbri tənliklər n Naməlumları matris metodundan istifadə etməklə yalnız sistemin əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər olmadığı halda həll edirik.

Belə bir metodun tətbiqi ilə bağlı məhdudiyyətlərin olmasına və böyük əmsallar və yüksək səviyyəli sistemlər üçün hesablamaların çətinliklərinə baxmayaraq, metod kompüterdə asanlıqla həyata keçirilə bilər.

Qeyri-homogen SLAE-nin həlli nümunəsi.

Əvvəlcə naməlum SLAE-lərin əmsal matrisinin determinantının sıfıra bərabər olmadığını yoxlayaq.

İndi tapırıq birlik matrisi, onu köçürün və tərs matrisi müəyyən etmək üçün formulda əvəz edin.

Dəyişənləri düsturla əvəz edin:

İndi tərs matrisi və sərbəst şərtlər sütununu vuraraq naməlumları tapırıq.

Belə ki, x=2; y=1; z=4.

SLAE-nin adi formasından matris formasına keçərkən sistemin tənliklərində naməlum dəyişənlərin sırasına diqqət yetirin. Misal üçün:

Bunu belə yazmaq OLMAZ:

Əvvəlcə sistemin hər bir tənliyində naməlum dəyişənləri sıralamaq lazımdır və yalnız bundan sonra matris qeydinə keçin:

Bundan əlavə, naməlum dəyişənlərin təyin edilməsində diqqətli olmalısınız x 1, x 2 , …, x n başqa hərflər ola bilər. Məs:

matris şəklində bunu belə yazırıq:

Matris metodu, tənliklərin sayının naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşdüyü və sistemin əsas matrisinin determinantının sıfıra bərabər olmadığı xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün daha yaxşıdır. Bir sistemdə 3-dən çox tənlik olduqda, tərs matrisin tapılması daha çox hesablama səyi tələb edəcəkdir, buna görə də bu vəziyyətdə həll üçün Qauss metodundan istifadə etmək məsləhətdir.

Mövzu 2. XƏTTİ CƏBRİK TƏNLİKLƏR SİSTEMLERİ.

Əsas anlayışlar.

Tərif 1. Sistem m ilə xətti tənliklər n naməlumlar formanın bir sistemidir:

harada və rəqəmlərdir.

Tərif 2. (I) sisteminin həlli bu sistemin hər bir tənliyinin eyniliyə çevrildiyi naməlumlar toplusudur.

Tərif 3. Sistem (I) adlanır birgə, ən azı bir həlli varsa və birgə olmayan, heç bir həll yolu yoxdursa. Birgə sistem adlanır müəyyən, əgər onun unikal həlli varsa və qeyri-müəyyənəks halda.

Tərif 4. Formanın tənliyi

çağırdı sıfır, və tənlik formadadır

çağırdı uyğunsuz. Aydındır ki, uyğun olmayan tənliyi ehtiva edən tənliklər sistemi uyğunsuzdur.

Tərif 5. İki xətti tənlik sistemi deyilir ekvivalent, əgər bir sistemin hər bir həlli digər sistemin həlli rolunu oynayırsa və əksinə, ikinci sistemin hər bir həlli birincinin həllidir.

Xətti tənliklər sisteminin matris təsviri.

(I) sistemini nəzərdən keçirək (bax §1).

işarə edək:

Naməlumlar üçün əmsal matrisi

Matris - sərbəst şərtlər sütunu

Matris - naməlumlar sütunu

.

Tərif 1. Matris deyilir sistemin əsas matrisi(I), matris isə sistemin (I) uzadılmış matrisidir.

Matrislərin bərabərliyinin tərifinə görə (I) sistemi matris bərabərliyinə uyğundur:

.

Matrislərin hasilinin tərifi ilə bu bərabərliyin sağ tərəfi ( tərif 3 § 5-ci fəsil 1-ə baxın) faktorlara bölünə bilər:

, yəni.

Bərabərlik (2) çağırdı sistemin matris notasiyası (I).

Kramer üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həlli.

Sistemə daxil olun (I) (bax §1) m=n, yəni. tənliklərin sayı naməlumların sayına bərabərdir və sistemin əsas matrisi tək deyil, yəni. . Onda §1-dən (I) sistem unikal həll yoluna malikdir

harada Δ = det Aəsas adlanır sistemin determinantıdır(I), Δ iəvəz etməklə Δ təyinedicisindən alınır i ci sütundan sistemin sərbəst üzvlərinin sütununa (I).

Nümunə: Kramer metodundan istifadə edərək sistemi həll edin:

.

Düsturlarla (3) .

Sistemin təyinedicilərini hesablayırıq:

,

,

.

Determinantı almaq üçün determinantda birinci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etdik; determinantda 2-ci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edərək, alırıq; oxşar şəkildə, determinantda 3-cü sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edərək, alırıq. Sistem həlli:

Tərs matrisdən istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli.

Sistemə daxil olun (I) (bax §1) m=n sistemin əsas matrisi isə tək deyil. (I) sistemini matris şəklində yazaq ( bax §2):

çünki matris A qeyri-təkdir, onda tərs matrisə malikdir ( 1-ci fəslin 1-ci teoremi §6-a baxın). Gəlin bərabərliyin hər iki tərəfini çoxaldaq (2) sonra matrisə

Tərs matrisin tərifinə görə. Bərabərlikdən (3) bizdə var

Tərs matrisdən istifadə edərək sistemi həll edin

.

işarə edək

Məsələn (§ 3) biz determinantı, deməli, matrisi hesabladıq A tərs matrisə malikdir. Sonra qüvvəyə minir (4) , yəni.

. (5)

matrisi tapaq ( §6-cı fəsil 1-ə baxın)

, , ,

, , ,

,

.

Gauss üsulu.

Xətti tənliklər sistemi verilsin:

. (I)

Sistemin (I) bütün həllərini tapmaq və ya sistemin uyğunsuzluğundan əmin olmaq tələb olunur.

Tərif 1.Sistemin elementar çevrilməsini adlandıraq(I) üç hərəkətdən hər hansı biri:

1) sıfır tənliyini kəsmək;

2) tənliyin hər iki tərəfinə başqa tənliyin uyğun hissələrinin l ədədinə vurulması;

3) sistemin tənliklərində şərtlərin dəyişdirilməsi, bütün tənliklərdə eyni nömrələri olan naməlumların eyni yerləri tutması, yəni. məsələn, 1-ci tənlikdə 2-ci və 3-cü şərtləri dəyişdirmişiksə, sistemin bütün tənliklərində də eyni şey edilməlidir.

Gauss metodu ondan ibarətdir ki, (I) elementar çevrilmələrin köməyi ilə həlli birbaşa tapılan və ya həll olunmayan ekvivalent bir sistemə endirilir.

§2-də təsvir olunduğu kimi, sistem (I) onun genişləndirilmiş matrisi ilə unikal şəkildə müəyyən edilir və (I) sisteminin istənilən elementar çevrilməsi genişləndirilmiş matrisin elementar çevrilməsinə uyğundur:

.

Çevrilmə 1) matrisdəki sıfır cərgəsinin silinməsinə uyğundur, transformasiya 2) matrisin müvafiq cərgəsinə başqa sətir əlavə edilməsinə, l rəqəminə vurulmasına, çevrilmə 3) matrisdəki sütunların yenidən təşkilinə bərabərdir.

Asanlıqla görmək olar ki, əksinə, matrisin hər bir elementar çevrilməsi sistemin (I) elementar çevrilməsinə uyğun gəlir. Yuxarıda göstərilənlərə görə (I) sistemi ilə əməliyyatlar yerinə, bu sistemin genişləndirilmiş matrisi ilə işləyəcəyik.

Matrisdə 1-ci sütun üçün əmsallardan ibarətdir x 1, 2-ci sütun - üçün əmsallardan x 2 və s. Sütunlar yenidən düzülürsə, bu şərtin pozulduğunu nəzərə almaq lazımdır. Məsələn, 1-ci və 2-ci sütunları dəyişdirsək, indi 1-ci sütunda əmsallar olacaq. x 2, və 2-ci sütunda - üçün əmsallar x 1.

(I) sistemini Qauss üsulu ilə həll edəcəyik.

1. Əgər varsa, matrisin bütün sıfır cərgələrini kəsin (yəni, (I) sistemindəki bütün sıfır tənlikləri kəsin).

2. Matrisin sətirləri arasında sonuncudan başqa bütün elementlərin sıfıra bərabər olduğu sətirin olub-olmadığını yoxlayaq (belə sətiri uyğunsuz adlandıraq). Aydındır ki, belə bir xətt (I) sistemindəki uyğunsuz tənliyə uyğundur, buna görə də (I) sisteminin həlli yoxdur və prosesin bitdiyi yer budur.

3. Matrisdə uyğun olmayan sətirlər olmasın (sistem (I) uyğunsuz tənlikləri ehtiva etmir). Əgər a 11 = 0, onda biz 1-ci cərgədə sıfırdan başqa hansısa elementi (sonuncudan başqa) tapırıq və sütunları elə düzəldirik ki, 1-ci cərgədə 1-ci yerdə sıfır olmasın. İndi fərz edəcəyik ki, (yəni (I) sisteminin tənliklərində müvafiq şərtləri dəyişdirəcəyik).

4. 1-ci sətri vurub nəticəni 2-ci sətirlə əlavə edin, sonra 1-ci sətri vurub nəticəni 3-cü sətirlə əlavə edin və s. Aydındır ki, bu proses naməlumun aradan qaldırılmasına bərabərdir x 1 1-cidən başqa (I) sisteminin bütün tənliklərindən. Yeni matrisdə elementin altındakı 1-ci sütunda sıfırlar alırıq a 11:

.

5. Əgər varsa, matrisin bütün sıfır sətirlərinin üstündən xətt çəkək və uyğun olmayan sətirin olub olmadığını yoxlayaq (əgər varsa, sistem uyğunsuzdur və həll orada bitir). Olacağını yoxlayaq a 22 / =0, əgər belədirsə, onda biz 2-ci cərgədə sıfırdan başqa element tapırıq və sütunları elə düzəldirik ki . Sonra, 2-ci cərgənin elementlərini çarpın və 3-cü sətrin müvafiq elementləri ilə əlavə edin, sonra - 2-ci sətrin elementləri və altında sıfırlar əldə edənə qədər 4-cü sətrin müvafiq elementləri ilə əlavə edin və s. a 22/

.

Görülən tədbirlər naməlumun aradan qaldırılmasına bərabərdir x 2 1-ci və 2-ci istisna olmaqla (I) sisteminin bütün tənliklərindən. Sətirlərin sayı sonlu olduğundan, sonlu addımlardan sonra ya sistemin uyğunsuz olduğunu, ya da addım matrisi ilə nəticələndiyini alırıq ( tərif 2 §7-ci fəsil 1-ə baxın) :

,

Matrisə uyğun tənliklər sistemini yazaq. Bu sistem (I) sisteminə ekvivalentdir

.

Son tənlikdən ifadə edirik; əldə edənə qədər əvvəlki tənliyi əvəz edin, tapın və s.

Qeyd 1. Beləliklə, (I) sistemini Qauss üsulu ilə həll edərkən aşağıdakı hallardan birinə gəlirik.

1. Sistem (I) uyğunsuzdur.

2. Sistem (I) matrisdəki sətirlərin sayı naməlumların sayına () bərabər olarsa, unikal həll yolu var.

3. Əgər matrisdəki cərgələrin sayı naməlumların sayından () az olarsa, sistemin (I) sonsuz sayda həlli var.

Beləliklə, aşağıdakı teorem yerinə yetirilir.

Teorem. Xətti tənliklər sistemi ya uyğunsuzdur, unikal həlli var, ya da sonsuz sayda həlli var.

Nümunələr. Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin və ya onun uyğunsuzluğunu sübut edin:

b) ;

a) Verilmiş sistemi aşağıdakı formada yenidən yazaq:

.

Hesablamaları sadələşdirmək üçün ilkin sistemin 1-ci və 2-ci tənliklərini dəyişdirdik (kəsrlərin əvəzinə bu yenidən tənzimləmədən istifadə edərək yalnız tam ədədlərlə işləyəcəyik).

Genişləndirilmiş matris yaradaq:

.

Boş sətirlər yoxdur; uyğun olmayan xətlər yoxdur, ; 1-ci məchuldan başqa sistemin bütün tənliklərindən 1-ci naməlumu xaric edək. Bunun üçün matrisin 1-ci cərgəsinin elementlərini “-2”-yə vurun və onları 2-ci cərgənin müvafiq elementləri ilə əlavə edin ki, bu da 1-ci tənliyi “-2”-yə vurub 2-ci ilə əlavə etməyə bərabərdir. tənlik. Sonra 1-ci sətrin elementlərini "-3"-ə vururuq və üçüncü sətrin müvafiq elementləri ilə əlavə edirik, yəni. verilmiş sistemin 2-ci tənliyini “-3”-ə vurub 3-cü tənliyə əlavə edin. alırıq

.

Matris tənliklər sisteminə uyğundur). - (1-ci fəslin 3§7-ci tərifinə bax).

n-ci dərəcəli kvadrat matrisa olsun

A -1 matrisi adlanır tərs matris A matrisinə münasibətdə, əgər A*A -1 = E olarsa, burada E n-ci sıranın eynilik matrisidir.

Şəxsiyyət matrisi- elə bir kvadrat matrisdir ki, burada əsas diaqonal boyunca yuxarı sol küncdən aşağı sağ küncə keçən bütün elementlər birdir, qalanları isə sıfırdır, məsələn:

tərs matris mövcud ola bilər yalnız kvadrat matrislər üçün olanlar. sətirlərin və sütunların sayının üst-üstə düşdüyü matrislər üçün.

Tərs matrisin mövcudluq şərti üçün teorem

Bir matrisin tərs matrisə malik olması üçün onun qeyri-tək olması zəruri və kifayətdir.

A = (A1, A2,...A n) matrisi adlanır qeyri-degenerativ, əgər sütun vektorları xətti müstəqildirsə. Matrisin xətti müstəqil sütun vektorlarının sayı matrisin rütbəsi adlanır. Buna görə də deyə bilərik ki, tərs matrisin mövcud olması üçün matrisin dərəcəsinin ölçüsünə bərabər olması zəruri və kifayətdir, yəni. r = n.

Tərs matrisin tapılması alqoritmi

1. Qauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemlərinin həlli üçün cədvələ A matrisini yazın və ona sağ tərəfdə (tənliklərin sağ tərəflərinin yerinə) E matrisini təyin edin.
2. İordaniya çevrilmələrindən istifadə edərək, A matrisini vahid sütunlardan ibarət matrisə endirin; bu halda eyni zamanda E matrisini çevirmək lazımdır.
3. Lazım gələrsə, sonuncu cədvəlin cərgələrini (tənliklərini) elə düzəldin ki, orijinal cədvəlin A matrisinin altında E eynilik matrisini əldə edin.
4. İlkin cədvəlin E matrisinin altında sonuncu cədvəldə yerləşən A -1 tərs matrisini yazın.

A matrisi üçün tərs A matrisini -1 tapın

Həlli: A matrisini yazırıq və E eynilik matrisini sağa təyin edirik.İordan çevrilmələrindən istifadə edərək A matrisini E eynilik matrisinə endiririk.Hesablamalar cədvəl 31.1-də verilmişdir.

İlkin A matrisini və tərs A matrisini -1-ə vuraraq hesablamaların düzgünlüyünü yoxlayaq.

Matrislərin vurulması nəticəsində eynilik matrisi alındı. Ona görə də hesablamalar düzgün aparılıb.

Cavab:

Matris tənliklərinin həlli

Matris tənlikləri belə görünə bilər:

AX = B, HA = B, AXB = C,

burada A, B, C müəyyən edilmiş matrislər, X arzu olunan matrisdir.

Matris tənlikləri tənliyi tərs matrislərə vurmaqla həll edilir.

Məsələn, tənlikdən matrisi tapmaq üçün bu tənliyi sol tərəfə vurmaq lazımdır.

Buna görə də tənliyin həllini tapmaq üçün tərs matrisi tapmaq və onu tənliyin sağ tərəfindəki matrisə vurmaq lazımdır.

Digər tənliklər də eyni şəkildə həll edilir.

Əgər AX = B tənliyini həll edin

Həll: Tərs matris bərabər olduğundan (misal 1-ə baxın)

İqtisadi təhlildə matris metodu

Başqaları ilə yanaşı, onlar da istifadə olunur matris üsulları. Bu üsullar xətti və vektor-matris cəbrinə əsaslanır. Belə üsullar mürəkkəb və çoxölçülü iqtisadi hadisələrin təhlili məqsədləri üçün istifadə olunur. Çox vaxt bu üsullar təşkilatların və onların struktur bölmələrinin fəaliyyətini müqayisəli qiymətləndirmək lazım olduqda istifadə olunur.

Matris təhlili üsullarının tətbiqi prosesində bir neçə mərhələni ayırmaq olar.

Birinci mərhələdə iqtisadi göstəricilər sistemi formalaşdırılır və onun əsasında ilkin məlumatların matrisi tərtib edilir ki, bu da sistem nömrələrinin fərdi sətirlərində göstərildiyi cədvəldir. (i = 1,2,.....,n), və şaquli sütunlarda - göstəricilərin nömrələri (j = 1,2,.....,m).

İkinci mərhələdə Hər bir şaquli sütun üçün mövcud göstərici dəyərlərindən ən böyüyü müəyyən edilir, bu da bir kimi alınır.

Bundan sonra, bu sütunda əks olunan bütün məbləğlər ən böyük dəyərə bölünür və standartlaşdırılmış əmsalların matrisi formalaşır.

Üçüncü mərhələdə matrisin bütün komponentləri kvadratdır. Əgər onlar fərqli əhəmiyyətə malikdirlərsə, onda hər bir matris göstəricisinə müəyyən çəki əmsalı verilir k. Sonuncunun dəyəri ekspert rəyi ilə müəyyən edilir.

Sonuncuda, dördüncü mərhələ reytinq dəyərləri tapıldı Rj artım və ya azalma sırasına görə qruplaşdırılır.

Göstərilən matris üsulları, məsələn, müxtəlif investisiya layihələrinin müqayisəli təhlilində, habelə təşkilatların fəaliyyətinin digər iqtisadi göstəricilərinin qiymətləndirilməsində istifadə edilməlidir.

n naməlumlu m xətti tənliklər sistemi forma sistemi adlanır

Harada a ij Və b i (i=1,…,m; b=1,…,n) bəzi məlum ədədlərdir və x 1 ,…,x n- naməlum. Əmsalların təyin edilməsində a ij birinci indeks i tənliyin nömrəsini, ikincisini bildirir j– bu əmsalın dayandığı naməlumun sayı.

Naməlumlar üçün əmsalları matris şəklində yazacağıq , biz zəng edəcəyik sistemin matrisi.

Tənliklərin sağ tərəfindəki rəqəmlərdir b 1 ,…,b m adlandırılır pulsuz üzvlər.

Ümumilik n nömrələri c 1 ,…,c nçağırdı qərar sistemin hər bir tənliyi ədədləri ona əvəz etdikdən sonra bərabərliyə çevrilərsə, verilmiş sistemin c 1 ,…,c n uyğun naməlumlar yerinə x 1 ,…,x n.

Bizim vəzifəmiz sistemin həlli yollarını tapmaq olacaq. Bu vəziyyətdə üç vəziyyət yarana bilər:

Ən azı bir həlli olan xətti tənliklər sisteminə deyilir birgə. Əks halda, yəni. sistemin həlli yoxdursa, o zaman çağırılır birgə olmayan.

Sistemin həlli yollarını nəzərdən keçirək.

XƏTTİ TƏNLİKLƏR SİSTEMLERİNİN HƏLLİ ÜÇÜN MATRİS METOD

Matrislər xətti tənliklər sistemini qısaca yazmağa imkan verir. Üç naməlum olan 3 tənlik sistemi verilsin:

Sistem matrisini nəzərdən keçirin və naməlum və sərbəst şərtlərin matris sütunları

Gəlin işi tapaq

olanlar. hasil nəticəsində bu sistemin tənliklərinin sol tərəflərini alırıq. Sonra matrislərin bərabərliyinin tərifindən istifadə edərək bu sistemi formada yazmaq olar

və ya daha qısa A∙X=B.

Budur matrislər A Və B məlumdur və matris X naməlum. Onu tapmaq lazımdır, çünki... onun elementləri bu sistemin həllidir. Bu tənlik adlanır matris tənliyi.

Matris determinantı sıfırdan fərqli olsun | A| ≠ 0. Onda matris tənliyi aşağıdakı kimi həll edilir. Soldakı tənliyin hər iki tərəfini matrislə çarpın A-1, matrisin tərsi A: . Çünki A -1 A = E Və E∙X = X, onda formada matris tənliyinin həllini alırıq X = A -1 B .

Qeyd edək ki, tərs matris yalnız kvadrat matrislər üçün tapıla bildiyi üçün matris metodu yalnız o sistemləri həll edə bilər ki, tənliklərin sayı naməlumların sayı ilə üst-üstə düşür. Bununla belə, sistemin matris qeydi tənliklərin sayı naməlumların sayına bərabər olmadığı halda da mümkündür, onda matris A kvadrat olmayacaq və ona görə də formada sistemin həllini tapmaq mümkün deyil X = A -1 B.

Nümunələr. Tənliklər sistemlərini həll edin.

KRAMER QAYDASI

Üç naməlum olan 3 xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək:

Sistem matrisinə uyğun gələn üçüncü dərəcəli determinant, yəni. naməlumlar üçün əmsallardan ibarətdir,

çağırdı sistemin determinantıdır.

Aşağıdakı kimi daha üç determinant tərtib edək: D determinantında ardıcıl olaraq 1, 2 və 3 sütunları sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edin.

Sonra aşağıdakı nəticəni sübut edə bilərik.

Teorem (Kramer qaydası). Sistemin determinantı Δ ≠ 0 olarsa, baxılan sistemin bir və yalnız bir həlli var və

Sübut. Beləliklə, üç naməlum olan 3 tənlik sistemini nəzərdən keçirək. Sistemin 1-ci tənliyini cəbri tamamlaya vuraq A 11 element a 11, 2-ci tənlik – açıq A 21 və 3-cü - açıq A 31:

Bu tənlikləri əlavə edək:

Gəlin bu tənliyin hər mötərizəsinə və sağ tərəfinə baxaq. 1-ci sütunun elementlərində determinantın genişlənməsi teoreminə görə

Eynilə, göstərilə bilər ki və .

Nəhayət, bunu fərq etmək asandır

Beləliklə, bərabərliyi əldə edirik: .

Beləliklə, .

və bərabərlikləri oxşar şəkildə alınır, onlardan teorem ifadəsi gəlir.

Beləliklə, qeyd edirik ki, sistemin determinantı Δ ≠ 0 olarsa, sistemin unikal həlli var və əksinə. Sistemin determinantı sıfıra bərabərdirsə, o zaman sistemin ya sonsuz sayda həlli var, ya da həlli yoxdur, yəni. uyğunsuz.

Nümunələr. Tənliklər sistemini həll edin

QAZS METOD

Əvvəllər müzakirə olunan üsullar yalnız tənliklərin sayının naməlumların sayı ilə üst-üstə düşdüyü və sistemin determinantının sıfırdan fərqli olması lazım olan sistemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Gauss metodu daha universaldır və istənilən sayda tənliyi olan sistemlər üçün uyğundur. Bu, sistemin tənliklərindən naməlumların ardıcıl olaraq aradan qaldırılmasından ibarətdir.

Üç naməlum olan üç tənlik sistemini yenidən nəzərdən keçirək:

.

Birinci tənliyi dəyişməz qoyacağıq və 2-ci və 3-cü tənliyi ehtiva edən şərtləri xaric edəcəyik. x 1. Bunu etmək üçün ikinci tənliyi bölün A 21 və çarpın - A 11 və sonra onu 1-ci tənliyə əlavə edin. Eynilə, üçüncü tənliyi bölürük A 31 və çarpın - A 11 və sonra birincisi ilə əlavə edin. Nəticədə, orijinal sistem aşağıdakı formanı alacaq:

İndi sonuncu tənlikdən ehtiva edən termini aradan qaldırırıq x 2. Bunu etmək üçün üçüncü tənliyi bölmək, vurmaq və ikinci ilə əlavə etmək lazımdır. Sonra tənliklər sistemimiz olacaq:

Buradan, sonuncu tənlikdən tapmaq asandır x 3, sonra 2-ci tənlikdən x 2 və nəhayət, 1-dən - x 1.

Qauss metodundan istifadə edərkən, lazım gələrsə, tənliklər dəyişdirilə bilər.

Çox vaxt yeni tənliklər sistemi yazmaq əvəzinə, sistemin genişləndirilmiş matrisini yazmaqla məhdudlaşırlar:

sonra elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu üçbucaqlı və ya diaqonal formaya gətirin.

TO elementar çevrilmələr matrislərə aşağıdakı çevrilmələr daxildir:

1. sətirlərin və ya sütunların yenidən təşkili;
2. sətri sıfırdan başqa bir rəqəmə vurmaq;
3. bir sətirə digər sətirlərin əlavə edilməsi.

Nümunələr: Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemlərini həll edin.

Beləliklə, sistemin sonsuz sayda həlli var.