Onlayn parametrli törəmə. Parametrli təyin olunmuş funksiyanın törəməsi

X, y dəyişənlərinin üçüncü t dəyişəninin (parametr adlanır) funksiyaları olduğu müstəvidə xəttin tərifini nəzərdən keçirək:

Hər bir dəyər üçün t müəyyən intervaldan müəyyən dəyərlərə uyğun gəlir x və y, və, deməli, təyyarənin müəyyən M(x, y) nöqtəsi. Nə vaxt t verilmiş intervaldan bütün dəyərlərdən keçir, sonra nöqtə M (x, y) bəzi xətti təsvir edir L. (2.2) tənlikləri xəttin parametrik tənlikləri adlanır L.

Əgər x = φ(t) funksiyası tərs t = Ф(x) olarsa, bu ifadəni y = g(t) tənliyində əvəz edərək, y = g(Ф(x)) alırıq, bu da müəyyən edir. y funksiyası kimi x. Bu halda funksiyanı təyin etmək üçün (2.2) tənlikləri deyilir y parametrik olaraq.

Misal 1 Qoy M (x, y) radius dairəsinin ixtiyari nöqtəsidir R və mənşəyində mərkəzləşmişdir. Qoy t- ox arasındakı bucaq öküz və radius OM(Şəkil 2.3-ə baxın). Sonra x, y vasitəsilə ifadə edilir t:

(2.3) tənliklər çevrənin parametrik tənlikləridir. (2.3) tənliklərindən t parametrini xaric edək. Bunu etmək üçün tənliklərin hər birini kvadratlaşdırırıq və əlavə edirik, alırıq: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) və ya x 2 + y 2 \u003d R 2 - dairə tənliyi Kartezyen koordinat sistemində. O, iki funksiyanı müəyyən edir: Bu funksiyaların hər biri parametrik tənliklərlə (2.3) verilir, lakin birinci funksiya üçün , ikincisi üçün .

Misal 2. Parametrik tənliklər

yarımoxlu ellipsi təyin edin a, b(Şəkil 2.4). Parametrin tənliklərdən çıxarılması t, ellipsin kanonik tənliyini əldə edirik:

Misal 3. Sikloid dairənin üzərində uzanan nöqtə ilə təsvir edilən xəttdir, əgər bu dairə düz xətt boyunca sürüşmədən yuvarlanırsa (şək. 2.5). Sikloidin parametrik tənliklərini təqdim edək. Yuvarlanan dairənin radiusu olsun a, nöqtə M, sikloidi təsvir edən hərəkətin başlanğıcında mənşəyi ilə üst-üstə düşür.

Koordinatları təyin edək x, y nöqtələri M dairə bir bucaqla fırlandıqdan sonra t
(Şəkil 2.5), t = ÐMCB. Qövs uzunluğu MB seqmentin uzunluğuna bərabərdir OB, dairə sürüşmədən yuvarlandığı üçün, belə ki

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - xərc).

Beləliklə, sikloidin parametrik tənlikləri əldə edilir:

Parametr dəyişdirilərkən t 0-dan 2π dairə bir inqilabla fırlanır, nöqtə isə M sikloidin bir qövsünü təsvir edir. (2.5) tənlikləri müəyyən edir y funksiyası kimi x. Baxmayaraq ki, funksiya x = a(t - sint) tərs funksiyaya malikdir, lakin elementar funksiyalar baxımından ifadə olunmur, ona görə də funksiya y = f(x) elementar funksiyalar baxımından ifadə olunmur.

(2.2) tənlikləri ilə parametrik verilmiş funksiyanın diferensiasiyasını nəzərdən keçirək. Müəyyən t dəyişmə intervalında x = φ(t) funksiyası tərs funksiyaya malikdir t = Ф(x), sonra y = g(Ф(x)). Qoy x = φ(t), y = g(t) törəmələri var və x"t≠0. Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına görə y"x=y"t×t"x. Tərs funksiyanın diferensiasiya qaydasına əsasən, buna görə də:

Nəticə düstur (2.6) parametrik verilmiş funksiya üçün törəməni tapmağa imkan verir.

Nümunə 4. Funksiya edək y, asılı olaraq x, parametrik olaraq təyin olunur:

Həll. .
Misal 5 Yamac tapın k parametrin qiymətinə uyğun M 0 nöqtəsində sikloidə toxunan .
Həll. Sikloid tənliklərindən: y" t = asint, x" t = a(1 - xərc), buna görə də

Bir nöqtədə tangensin meyli M0 dəyərinə bərabərdir t 0 \u003d π / 4:

FUNKSİYA DIFFERENTİAL

Bir nöqtədə funksiyaya icazə verin x0 törəməsi var. Tərifinə görə:
buna görə də limitin xassələri ilə (Sec. 1.8) , burada a da sonsuz kiçikdir ∆x → 0. Buradan

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 olduğu üçün bərabərlikdə (2.7) ikinci həddi ilə müqayisədə sonsuz kiçik yuxarı nizamdır. , buna görə də Δy və f "(x 0) × Δx ekvivalentdir, sonsuz kiçikdir (f "(x 0) ≠ 0 üçün).

Beləliklə, Δy funksiyasının artımı iki hədddən ibarətdir, bunlardan birinci f "(x 0) × Δx-dir. Əsas hissə artımlar Δy, Δx-ə nisbətən xətti (f "(x 0) ≠ 0 üçün).

Diferensial x 0 nöqtəsində f(x) funksiyası funksiyanın artımının əsas hissəsi adlanır və işarə olunur: dy və ya df(x0). Nəticədə,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Misal 1 Funksiyanın diferensialını tapın dy və y \u003d x 2 funksiyası üçün Δy funksiyasının artımı:
1) ixtiyari x və Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1.

Həll

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Əgər x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, onda Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Bərabərliyi (2.7) formada yazırıq:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Δy artımı diferensialdan fərqlənir dyΔx ilə müqayisədə sonsuz kiçik daha yüksək sıraya, buna görə də təxmini hesablamalarda Δx kifayət qədər kiçik olarsa, təxmini Δy ≈ dy bərabərliyindən istifadə olunur.

Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0) olduğunu nəzərə alsaq, təxmini düstur alırıq:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Misal 2. Təxminən hesablayın.

Həll. Nəzərə alın:

(2.10) düsturundan istifadə edərək əldə edirik:

Beləliklə, ≈ 2.025.

Diferensialın həndəsi mənasını nəzərdən keçirin df(x0)(Şəkil 2.6).

M 0 (x0, f (x 0)) nöqtəsində y = f (x) funksiyasının qrafikinə tangens çəkin, KM0 tangensi ilə Ox oxu arasındakı bucaq φ olsun, sonra f "(x 0) olsun. ) = tgφ.ΔM0NP-dən:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Lakin PN x x 0-dan x 0 + Δx-ə dəyişdikdə tangens ordinatının artımıdır.

Deməli, f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsindəki diferensialı tangens ordinatının artımına bərabərdir.

Funksiyanın diferensialını tapaq
y=x. (x)" = 1 olduğundan dx = 1 × Δx = Δx. Biz fərz edirik ki, x müstəqil dəyişənin diferensialı onun artımına bərabərdir, yəni dx = Δx.

Əgər x ixtiyari ədəddirsə, onda (2.8) bərabərliyindən df(x) = f "(x)dx alırıq, buradan .
Beləliklə, y = f(x) funksiyasının törəməsi onun diferensialının arqumentin diferensialına nisbətinə bərabərdir.

Funksiya diferensialının xassələrini nəzərdən keçirin.

Əgər u(x), v(x) diferensiallana bilən funksiyalardırsa, aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:

Bu düsturları sübut etmək üçün cəmi, hasil və hissə üçün törəmə düsturlardan istifadə olunur. Məsələn, (2.12) düsturu sübut edək:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Mürəkkəb funksiyanın diferensialını nəzərdən keçirək: y = f(x), x = φ(t), yəni. y = f(φ(t)).

Onda dy = y" t dt, lakin y" t = y" x ×x" t , belə ki, dy =y" x x" t dt. nəzərə alaraq,

ki, x" t = dx, biz dy = y" x dx =f "(x)dx alırıq.

Beləliklə, y \u003d f (x) mürəkkəb funksiyasının diferensialı, burada x \u003d φ (t) dy \u003d f "(x) dx formasına malikdir, x müstəqil dəyişən olduqda olduğu kimi. Bu xassə adlanır formalı invariant diferensial a.

Gərgin olmayın, bu paraqrafda da hər şey olduqca sadədir. Siz parametrik olaraq verilmiş funksiyanın ümumi düsturunu yaza bilərsiniz, lakin onu aydınlaşdırmaq üçün dərhal konkret bir nümunə yazacam. Parametrik formada funksiya iki tənliklə verilir: . Çox vaxt tənliklər əyri mötərizələr altında deyil, ardıcıl olaraq yazılır:,.

Dəyişən parametr adlanır və "mənfi sonsuzluqdan" "plus sonsuzluğa" qədər dəyərlər qəbul edə bilər. Məsələn, dəyəri nəzərdən keçirin və onu hər iki bərabərliklə əvəz edin: . Yaxud insancasına: “x dördə bərabərdirsə, y birə bərabərdir”. Koordinat müstəvisində bir nöqtəni qeyd edə bilərsiniz və bu nöqtə parametrin dəyərinə uyğun olacaq. Eynilə, "te" parametrinin istənilən dəyəri üçün bir nöqtə tapa bilərsiniz. “Adi” funksiyaya gəlincə, parametrik verilmiş funksiyanın Amerika hinduları üçün də bütün hüquqlara riayət olunur: qrafiki tərtib etmək, törəmələri tapmaq və s. Yeri gəlmişkən, parametrik olaraq verilmiş funksiyanın qrafikini qurmaq zərurəti yaranarsa, səhifədəki həndəsi proqramımı yükləyin. Riyazi düsturlar və cədvəllər.

Ən sadə hallarda funksiyanı açıq şəkildə təmsil etmək mümkündür. Birinci tənlikdən parametri ifadə edirik: və ikinci tənliyə əvəz edin: . Nəticə adi kub funksiyasıdır.

Daha "ağır" hallarda belə bir hiylə işləmir. Ancaq bunun əhəmiyyəti yoxdur, çünki parametrik funksiyanın törəməsini tapmaq üçün bir düstur var:

“te dəyişəninə görə oyunçunun” törəməsini tapırıq:

Bütün fərqləndirmə qaydaları və törəmələr cədvəli, əlbəttə ki, hərf üçün etibarlıdır, beləliklə, törəmələrin tapılması prosesində heç bir yenilik yoxdur. Sadəcə zehni olaraq cədvəldəki bütün "x"ləri "te" hərfi ilə əvəz edin.

“te” dəyişəninə görə x-in törəməsini tapırıq:

İndi yalnız tapılan törəmələri düsturumuza əvəz etmək qalır:

Hazır. Törəmə, funksiyanın özü kimi, parametrdən də asılıdır.

Qeydə gəlincə, düsturda yazmaq əvəzinə onu sadəcə alt yazı olmadan yazmaq olar, çünki bu, "x ilə" "adi" törəmədir. Amma ədəbiyyatda həmişə bir variant var, ona görə də standartdan kənara çıxmayacağam.

Misal 6

Formuladan istifadə edirik

Bu halda:

Bu minvalla:

Parametrik funksiyanın törəməsinin tapılmasının xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki hər addımda nəticəni mümkün qədər sadələşdirmək faydalıdır. Beləliklə, nəzərdən keçirilən nümunədə taparkən kökün altındakı mötərizələri açdım (baxmayaraq ki, bunu etməmişəm). Əvəz edərkən və düstura daxil olduqda, çox şeyin yaxşı azaldılması şansı var. Baxmayaraq ki, əlbətdə ki, yöndəmsiz cavablarla nümunələr var.

Misal 7

Parametrik verilmiş funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir.

Məqalədə Törəmə ilə bağlı ən sadə tipik problemlər funksiyanın ikinci törəməsinin tapılmasının tələb olunduğu nümunələri nəzərdən keçirdik. Parametrik verilmiş funksiya üçün ikinci törəməni də tapmaq olar və o, aşağıdakı düsturla tapılır: . Tamamilə aydındır ki, ikinci törəməni tapmaq üçün əvvəlcə birinci törəməni tapmaq lazımdır.

Misal 8

Parametrik verilmiş funksiyanın birinci və ikinci törəmələrini tapın

Əvvəlcə birinci törəməni tapaq.
Formuladan istifadə edirik

Bu halda:

Tapılan törəmələri düsturda əvəz edir. Sadəlik üçün triqonometrik düsturdan istifadə edirik:

Diqqət etdim ki, parametrik funksiyanın törəməsinin tapılması məsələsində çox vaxt sadələşdirmək üçün istifadə etmək lazımdır. triqonometrik düsturlar . Onları yadda saxlayın və ya əlinizdə saxlayın və hər bir ara nəticə və cavabı sadələşdirmək fürsətini qaçırmayın. Nə üçün? İndi biz -in törəməsini götürməliyik və bu, -nin törəməsini tapmaqdan daha yaxşıdır.

İkinci törəməni tapaq.
Düsturdan istifadə edirik: .

Gəlin düsturumuza baxaq. Məxrəc artıq əvvəlki addımda tapılıb. Numeratoru tapmaq qalır - "te" dəyişəninə münasibətdə birinci törəmənin törəməsi:

Formuldan istifadə etmək qalır:

Materialı birləşdirmək üçün müstəqil həll üçün daha bir neçə nümunə təklif edirəm.

Misal 9

Misal 10

Parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanı tapın

Sizə uğurlar arzulayıram!

Ümid edirəm bu dərs faydalı oldu və indi gizli funksiyaların və parametrik funksiyaların törəmələrini asanlıqla tapa bilərsiniz

Həll və cavablar:

Misal 3: Həlli:

Bu minvalla:

İndiyə qədər biz müstəvidə bu xətlərin nöqtələrinin cari koordinatlarını birbaşa əlaqələndirən xətlərin tənliklərini nəzərdən keçirdik. Bununla belə, xətti təyin etməyin başqa bir üsulu tez-tez istifadə olunur, burada cari koordinatlar üçüncü dəyişənin funksiyaları kimi qəbul edilir.

Bir dəyişənin iki funksiyası verilsin

t-nin eyni dəyərləri üçün nəzərə alınır. Sonra t-nin bu dəyərlərindən hər hansı biri müəyyən bir dəyərə və y-nin müəyyən bir dəyərinə və nəticədə müəyyən bir nöqtəyə uyğun gəlir. Dəyişən t funksiyaların (73) oblastından bütün qiymətlərdən keçdikdə, nöqtə müstəvidə bəzi C xəttini təsvir edir.Tənliklər (73) bu xəttin parametrik tənlikləri, dəyişən isə parametr adlanır.

Fərz edək ki, funksiya tərs funksiyaya malikdir (73)

y-nin funksiya kimi ifadə edilməsi

Razılaşaq ki, bu funksiya (73) tənlikləri ilə parametrik verilir. Bu tənliklərdən (74) tənliyinə keçid parametrin ləğvi adlanır. Parametrlə müəyyən edilmiş funksiyaları nəzərdən keçirərkən, parametrin xaric edilməsi nəinki zəruri deyil, həm də həmişə praktiki olaraq mümkün deyil.

Bir çox hallarda, parametrin müxtəlif qiymətlərini nəzərə alaraq, düsturlardan (73) istifadə edərək, arqumentin və y funksiyasının uyğun qiymətlərini hesablamaq daha rahatdır.

Nümunələri nəzərdən keçirin.

Nümunə 1. Başlanğıcda və R radiusunda mərkəzləşmiş çevrənin ixtiyari nöqtəsi olsun. Bu nöqtənin x və y Dekart koordinatları onun qütb radiusu və qütb bucağı ilə ifadə edilir, biz burada t ilə işarə edirik, aşağıdakı kimi ( Baxın Ch. I, § 3, bənd 3):

(75) tənlikləri çevrənin parametrik tənlikləri adlanır. Onlardakı parametr 0-dan dəyişən qütb bucağıdır.

Əgər (75) tənlikləri kvadrata çevrilir və həd-həd əlavə edilirsə, onda eyniliyə görə parametr ləğv edilir və iki elementar funksiyanı təyin edən Dekart koordinat sistemində dairə tənliyi alınır:

Bu funksiyaların hər biri parametrik olaraq (75) tənlikləri ilə müəyyən edilir, lakin bu funksiyalar üçün parametrlərin dəyişmə diapazonları fərqlidir. Birincisi üçün; bu funksiyanın qrafiki yuxarı yarımdairədir. İkinci funksiya üçün onun qrafiki aşağı yarımdairədir.

Misal 2. Eyni zamanda ellipsi də nəzərdən keçirək

və başlanğıcda və a radiusunda mərkəzi olan dairə (şək. 138).

Ellipsin hər bir M nöqtəsi ilə M nöqtəsi ilə eyni absissaya malik olan və onunla Ox oxunun eyni tərəfində yerləşən dairənin N nöqtəsini əlaqələndiririk. N nöqtəsinin mövqeyi və deməli, M nöqtəsi tamamilə nöqtənin qütb bucağı ilə müəyyən edilir t Bu halda, onların ümumi absisi üçün aşağıdakı ifadəni alırıq: x \u003d a. Ellips tənliyindən M nöqtəsindəki ordinatı tapırıq:

İşarə ona görə seçilir ki, M nöqtəsindəki ordinat və N nöqtəsindəki ordinat eyni işarələrə malik olmalıdır.

Beləliklə, ellips üçün aşağıdakı parametrik tənliklər əldə edilir:

Burada t parametri 0-dan -ə dəyişir.

Misal 3. Mərkəzi a) nöqtəsində və radiusu a olan çevrəni nəzərdən keçirək ki, o, açıq-aydın başlanğıcda x oxuna toxunur (şək. 139). Tutaq ki, bu dairə x oxu boyunca sürüşmədən yuvarlanır. Onda dairənin başlanğıc anında başlanğıc nöqtəsi ilə üst-üstə düşən M nöqtəsi sikloid adlanan xətti təsvir edir.

Sabit nöqtəni O mövqeyindən M vəziyyətinə keçirərkən MSW çevrəsinin fırlanma bucağını t parametri kimi götürərək sikloidin parametrik tənliklərini alırıq. Sonra M nöqtəsinin koordinatları və y üçün aşağıdakı ifadələri alırıq:

Dairə ox boyunca sürüşmədən yuvarlandığına görə OB seqmentinin uzunluğu VM qövsünün uzunluğuna bərabərdir. VM qövsünün uzunluğu a radiusunun və mərkəzi bucağın t hasilinə bərabər olduğundan, onda . Buna görə də . Lakin buna görə də

Bu tənliklər sikloidin parametrik tənlikləridir. Parametr t-ni 0-dan dairəyə dəyişdirərkən bir tam inqilab edəcək. M nöqtəsi sikloidin bir qövsünü təsvir edəcəkdir.

t parametrinin xaric edilməsi burada çətin ifadələrə gətirib çıxarır və praktiki olaraq qeyri-mümkündür.

Xətlərin parametrik tərifi xüsusilə mexanikada tez-tez istifadə olunur və zaman parametr rolunu oynayır.

Nümunə 4. İlkin sürəti ilə üfüqə a bucaq altında tapançadan atılan mərminin trayektoriyasını təyin edək. Hava müqaviməti və mərmi ölçüləri maddi nöqtə kimi nəzərə alınmaqla nəzərə alınmır.

Bir koordinat sistemi seçək. Koordinatların mənşəyi üçün mərminin ağızdan çıxma nöqtəsini götürürük. Ox oxunu üfüqi, Oy oxunu isə şaquli olaraq, onları silahın ağzı ilə eyni müstəvidə yerləşdirək. Əgər cazibə qüvvəsi olmasaydı, o zaman mərmi Öküz oxu ilə a bucağı yaradan düz xətt boyunca hərəkət edərdi və t zamanında o, yolu qət edərdi.Mərminin t anındakı koordinatları müvafiq olaraq bərabər olardı: . Yerin cazibə qüvvəsinə görə mərmi bu an şaquli olaraq müəyyən bir dəyərə enməlidir.Ona görə də reallıqda t zamanında mərminin koordinatları düsturlarla müəyyən edilir:

Bu tənliklər sabitdir. t dəyişdikdə mərminin trayektoriya nöqtəsinin koordinatları da dəyişəcək. Tənliklər mərmi trayektoriyasının parametrik tənlikləridir, burada parametr zamandır

Birinci tənlikdən ifadə etmək və onu əvəz etmək

ikinci tənlikdə mərmi trayektoriyasının tənliyini formada alırıq Bu parabolanın tənliyidir.

Dolayı şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi.
Parametrli təyin olunmuş funksiyanın törəməsi

Bu yazıda biz ali riyaziyyatda testlərdə tez-tez rast gəlinən daha iki tipik tapşırığı nəzərdən keçirəcəyik. Materialı uğurla mənimsəmək üçün ən azı orta səviyyədə törəmələri tapa bilmək lazımdır. Siz iki əsas dərsdə və praktiki olaraq sıfırdan törəmələri necə tapmağı öyrənə bilərsiniz Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Əgər fərqləndirmə bacarıqları ilə hər şey qaydasındadırsa, gedək.

Dolayı şəkildə müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsi

Və ya qısaca desək, gizli funksiyanın törəməsi. Gizli funksiya nədir? Əvvəlcə bir dəyişənin funksiyasının tərifini xatırlayaq:

Bir dəyişənin funksiyası müstəqil dəyişənin hər bir dəyərinin funksiyanın bir və yalnız bir qiymətinə uyğun olması qaydasıdır.

Dəyişən adlanır müstəqil dəyişən və ya arqument.
Dəyişən adlanır asılı dəyişən və ya funksiyası .

İndiyə qədər biz müəyyən edilmiş funksiyaları nəzərdən keçirdik açıq-aşkar forma. Bunun mənası nədi? Konkret misallar üzrə brifinq təşkil edək.

Funksiyanı nəzərdən keçirin

Görürük ki, solda tək "y" var, sağda - yalnız x. Yəni funksiya açıq şəkildə müstəqil dəyişən baxımından ifadə edilir.

Başqa bir funksiyanı nəzərdən keçirək:

Burada dəyişənlər və "qarışıq" yerləşir. Və heç bir şəkildə qeyri-mümkündür"Y" hərfini yalnız "X" vasitəsilə ifadə edin. Bu üsullar hansılardır? Şərtlərin işarə dəyişikliyi ilə hissədən hissəyə köçürülməsi, mötərizə, nisbət qaydasına uyğun olaraq amillərin atılması və s. Bərabərliyi yenidən yazın və “y”-ni açıq şəkildə ifadə etməyə çalışın:. Tənliyi saatlarla büküb döndərə bilərsiniz, amma uğur qazana bilməyəcəksiniz.

İcazə verin təqdim edim: - bir nümunə gizli funksiya.

Riyazi analiz zamanı gizli funksiyanın olduğu sübut edilmişdir mövcuddur(lakin həmişə deyil), onun qrafiki var (“normal” funksiya kimi). Bu, gizli funksiya üçün də eynidir. mövcuddur birinci törəmə, ikinci törəmə və s. Necə deyərlər, cinsi azlıqların bütün hüquqlarına hörmət edilir.

Və bu dərsdə biz gizli verilmiş funksiyanın törəməsini necə tapmağı öyrənəcəyik. O qədər də çətin deyil! Bütün diferensiasiya qaydaları, elementar funksiyaların törəmələri cədvəli qüvvədə qalır. Fərq, indi nəzərdən keçirəcəyimiz bir xüsusi məqamdadır.

Bəli və sizə yaxşı xəbəri deyəcəyəm - aşağıda müzakirə olunan vəzifələr üç yolun qarşısında bir daş olmadan olduqca sərt və aydın bir alqoritmə uyğun olaraq yerinə yetirilir.

Misal 1

1) Birinci mərhələdə hər iki hissəyə vuruşlar asırıq:

2) Törəmə xəttinin qaydalarından istifadə edirik (dərsin ilk iki qaydası Törəməni necə tapmaq olar? Həll nümunələri):

3) Birbaşa fərqləndirmə.
Necə fərqləndirmək və tamamilə başa düşüləndir. Vuruşların altında "oyunlar" olan yerdə nə etməli?

- sadəcə biabır etmək, funksiyanın törəməsi onun törəməsinə bərabərdir: .

Necə fərqləndirmək olar
Budur bizdə mürəkkəb funksiya. Niyə? Görünür, sinusun altında yalnız bir "Y" hərfi var. Ancaq fakt budur ki, yalnız bir "y" hərfi - ÖZÜNDƏ BİR FUNKSİYADIR(dərsin əvvəlindəki tərifə baxın). Beləliklə, sinus xarici funksiyadır, daxili funksiyadır. Biz mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edirik :

Məhsul adi qaydaya görə fərqləndirilir :

Qeyd edək ki, bu da mürəkkəb bir funksiyadır, hər hansı bir "twist oyuncaq" mürəkkəb bir funksiyadır:

Həllin dizaynı belə görünməlidir:

Mötərizələr varsa, onları açın:

4) Sol tərəfdə vuruşla "y" hərfinin olduğu şərtləri toplayırıq. Sağ tərəfdə - qalan hər şeyi köçürürük:

5) Sol tərəfdə mötərizədə törəməni çıxarırıq:

6) Və mütənasiblik qaydasına görə, bu mötərizələri sağ tərəfin məxrəcinə atırıq:

Törəmə tapıldı. Hazır.

Maraqlıdır ki, istənilən funksiya gizli şəkildə yenidən yazıla bilər. Məsələn, funksiya bu şəkildə yenidən yazmaq olar: . Və onu indicə nəzərdən keçirilən alqoritmə görə fərqləndirin. Əslində “qeyri-müəyyən funksiya” və “qeyri-müəyyən funksiya” ifadələri bir semantik nüansla fərqlənir. "Düzgün müəyyən edilmiş funksiya" ifadəsi daha ümumi və düzgündür, - bu funksiya üstüörtülü verilir, lakin burada siz "y" ifadəsini verə və funksiyanı açıq şəkildə təqdim edə bilərsiniz. "Yüzlü funksiya" ifadəsi "y" ifadə edilə bilmədiyi zaman "klassik" gizli funksiya deməkdir.

Həll etməyin ikinci yolu

Diqqət!İkinci üsulla yalnız inamla necə tapacağınızı bilsəniz, tanış ola bilərsiniz qismən törəmələr. Riyaziyyata Başlayanlar və Dummies Zəhmət olmasa bu paraqrafı oxuyub qaçırmayın, əks halda baş tam bir qarışıqlıq olacaq.

İkinci üsulla gizli funksiyanın törəməsini tapın.

Bütün şərtləri sola keçirik:

Və iki dəyişənin funksiyasını nəzərdən keçirin:

Sonra törəməmizi düsturla tapmaq olar
Gəlin qismən törəmələri tapaq:

Bu minvalla:

İkinci həll yoxlama aparmağa imkan verir. Lakin onun üçün tapşırığın son versiyasını tərtib etmək arzuolunmazdır, çünki qismən törəmələr sonradan mənimsənilir və “Bir dəyişən funksiyasının törəməsi” mövzusunu öyrənən tələbə qismən törəmələri bilməməlidir.

Gəlin daha bir neçə misala baxaq.

Misal 2

Dolayı şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsini tapın

Hər iki hissəyə vuruşlar asırıq:

Xəttilik qaydalarından istifadə edirik:

Törəmələrin tapılması:

Bütün mötərizələrin genişləndirilməsi:

Bütün şərtləri sol tərəfə, qalanını isə sağ tərəfə köçürürük:

Yekun cavab:

Misal 3

Dolayı şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsini tapın

Dərsin sonunda tam həll və dizayn nümunəsi.

Fərqlənmədən sonra fraksiyaların görünməsi qeyri-adi deyil. Belə hallarda fraksiyaları atmaq lazımdır. Gəlin daha iki misala baxaq.

Misal 4

Dolayı şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsini tapın

Hər iki hissəni vuruşlar altında yekunlaşdırırıq və xəttilik qaydasından istifadə edirik:

Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edərək fərqləndiririk və hissənin diferensiallaşdırılması qaydası :

Mötərizənin genişləndirilməsi:

İndi biz fraksiyadan qurtulmalıyıq. Bunu daha sonra etmək olar, ancaq bunu dərhal etmək daha rasionaldır. Kəsrin məxrəci . Çoxalmaq üstündə . Ətraflı olaraq belə görünəcək:

Bəzən fərqləndirmədən sonra 2-3 fraksiya görünür. Məsələn, daha bir fraksiyamız olsaydı, əməliyyat təkrarlanmalı olardı - çoxaldın hər hissənin hər müddətiüstündə

Sol tərəfdə onu mötərizədən çıxarırıq:

Yekun cavab:

Misal 5

Dolayı şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. İçindəki yeganə şey, fraksiyadan qurtulmazdan əvvəl, əvvəlcə fraksiyanın özünün üç mərtəbəli quruluşundan qurtulmalı olacaqsınız. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Parametrli təyin olunmuş funksiyanın törəməsi

Dəyişən parametr adlanır və "mənfi sonsuzluq"dan "plus sonsuzluğa" qədər dəyərlər götürə bilər. Məsələn, dəyəri nəzərdən keçirin və onu hər iki bərabərliklə əvəz edin: . Yaxud insancasına: “x dördə bərabərdirsə, y birə bərabərdir”. Koordinat müstəvisində bir nöqtəni qeyd edə bilərsiniz və bu nöqtə parametrin dəyərinə uyğun olacaq. Eynilə, "te" parametrinin istənilən dəyəri üçün bir nöqtə tapa bilərsiniz. “Adi” funksiyaya gəlincə, parametrik verilmiş funksiyanın Amerika hinduları üçün də bütün hüquqlara riayət olunur: qrafiki tərtib etmək, törəmələri tapmaq və s. Yeri gəlmişkən, parametrik verilmiş funksiyanın qrafikinin qurulmasına ehtiyac yaranarsa, mənim proqramımdan istifadə edə bilərsiniz.

Ən sadə hallarda funksiyanı açıq şəkildə təmsil etmək mümkündür. Birinci tənlikdən parametri ifadə edirik: və ikinci tənliyə əvəz edin: . Nəticə adi kub funksiyasıdır.