Standart törəmələr cədvəli. Törəmə nədir

"A alın" video kursu riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanını 60-65 balla uğurla vermək üçün lazım olan bütün mövzuları əhatə edir. Riyaziyyatdan Profil Vahid Dövlət İmtahanının 1-13-cü tapşırıqlarını tamamlayın. Riyaziyyatdan Əsas Vahid Dövlət İmtahanından keçmək üçün də uyğundur. Vahid Dövlət İmtahanından 90-100 balla keçmək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, eləcə də müəllimlər üçün Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanının 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Və bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə 100 bal toplayan tələbə, nə də humanitar elmlər tələbəsi onlarsız edə bilməz.

Bütün zəruri nəzəriyyə. Vahid Dövlət İmtahanının sürətli həlləri, tələləri və sirləri. FIPI Tapşırıq Bankından 1-ci hissənin bütün cari tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs 2018-ci il Vahid Dövlət İmtahanının tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, bütün növ Vahid Dövlət İmtahanı tapşırıqlarının təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaqçı vərəqlər, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların aydın izahları. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. Vahid Dövlət İmtahanının 2-ci hissəsinin mürəkkəb problemlərinin həlli üçün əsas.

Bu dərsdə biz düsturları və fərqləndirmə qaydalarını tətbiq etməyi öyrənəcəyik.

Nümunələr. Funksiyaların törəmələrini tapın.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Qaydanın tətbiqi I, düsturlar 4, 2 və 1. Biz əldə edirik:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Eyni düsturlardan və düsturlardan istifadə edərək, eyni şəkildə həll edirik 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Qaydanın tətbiqi I, düsturlar 3, 5 Və 6 Və 1.

Qaydanın tətbiqi IV, düsturlar 5 Və 1 .

Beşinci misalda, qaydaya görə I cəminin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir və biz indicə 1-ci həddin törəməsini tapdıq (nümunə 4 ), buna görə də biz törəmələri tapacağıq 2-ci Və 3-cüşərtləri və 1-ci üçün yekun nəticəni dərhal yaza bilərik.

Fərqləndirək 2-ci Və 3-cü düstura görə şərtlər 4 . Bunun üçün məxrəclərdəki üçüncü və dördüncü qüvvələrin köklərini mənfi eksponentli güclərə, sonra isə 4 düsturunda güclərin törəmələrini tapırıq.

Bu nümunəyə və nəticəyə baxın. Nümunəni tutdun? Yaxşı. Bu o deməkdir ki, bizim yeni düsturumuz var və onu törəmələr cədvəlimizə əlavə edə bilərik.

Altıncı misalı həll edək və başqa düstur çıxaraq.

Qaydadan istifadə edək IV və formula 4 . Yaranan fraksiyaları azaldaq.

Bu funksiyaya və onun törəməsinə baxaq. Siz, əlbəttə ki, nümunəni başa düşürsünüz və düsturu adlandırmağa hazırsınız:

Yeni formulları öyrənin!

Nümunələr.

1. Arqumentin artımını və y= funksiyasının artımını tapın x 2, arqumentin ilkin dəyəri bərabər idisə 4 və yeni - 4,01 .

Həll.

Yeni arqument dəyəri x=x 0 +Δx. Verilənləri əvəz edək: 4.01=4+Δх, deməli, arqumentin artımı Δх=4,01-4=0,01. Bir funksiyanın artımı, tərifinə görə, funksiyanın yeni və əvvəlki dəyərləri arasındakı fərqə bərabərdir, yəni. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Çünki bizim funksiyamız var y=x2, Bu Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Cavab: arqument artımı Δх=0,01; funksiya artımı Δу=0,0801.

Funksiya artımı fərqli şəkildə tapıla bilər: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Funksiyanın qrafikinə toxunanın meyl bucağını tapın y=f(x) nöqtədə x 0, Əgər f "(x 0) = 1.

Həll.

Törəmənin toxunma nöqtəsindəki dəyəri x 0 və tangens bucağın tangensinin qiymətidir (törəmənin həndəsi mənası). Bizdə: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,çünki tg45°=1.

Cavab: bu funksiyanın qrafikinə toxunan Ox oxunun müsbət istiqamətinə bərabər olan bucaq əmələ gətirir 45°.

3. Funksiyanın törəməsinin düsturunu çıxarın y=xn.

Fərqləndirmə funksiyanın törəməsinin tapılması hərəkətidir.

Törəmələri taparkən, törəmə dərəcəsinin düsturunu əldə etdiyimiz kimi, törəmənin tərifinə əsasən əldə edilmiş düsturlardan istifadə edin: (x n)" = nx n-1.

Bunlar düsturlardır.

Törəmələr cədvəliŞifahi ifadələri tələffüz etməklə yadda saxlamaq daha asan olacaq:

1. Sabit kəmiyyətin törəməsi sıfırdır.

2. X əsas birinə bərabərdir.

3. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar.

4. Dərəcənin törəməsi bu dərəcənin göstəricisinin eyni əsaslı dərəcə hasilinə bərabərdir, lakin göstərici bir azdır.

5. Kökün törəməsi iki bərabər kökə bölünən birinə bərabərdir.

6. Birin x-ə bölünməsinin törəməsi mənfi birə bölünən x kvadratına bərabərdir.

7. Sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir.

8. Kosinusun törəməsi mənfi sinusa bərabərdir.

9. Tangensin törəməsi kosinusun kvadratına bölünən birinə bərabərdir.

10. Kotangensin törəməsi sinusun kvadratına bölünən mənfi birinə bərabərdir.

Biz öyrədirik fərqləndirmə qaydaları.

1. Cəbri cəminin törəməsi terminlərin törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

2. Məhsulun törəməsi birinci amilin törəməsinin hasilinə və ikincinin üstəgəl birinci amilin və ikincinin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

3. “Y”-nin “ve” ilə bölünməsi törəməsi, payın “y sadə çarpımı “ve” ilə minus “y”nin və sadə ilə vurulduğu” kəsrə bərabərdir və məxrəc “ve kvadratı”dır.

4. Formulun xüsusi halı 3.

Gəlin birlikdə öyrənək!

Səhifə 1/1 1

Törəmə hesablanması tez-tez Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarında olur. Bu səhifədə törəmələri tapmaq üçün düsturların siyahısı var.

Fərqləndirmə qaydaları

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Əgər y=F(u) və u=u(x) olarsa, y=f(x)=F(u(x)) funksiyası x-in kompleks funksiyası adlanır. y′(x)=Fu′⋅ ux′-a bərabərdir.
5. Gizli funksiyanın törəməsi. y=f(x) funksiyası F(x,f(x))≡0 olarsa, F(x,y)=0 münasibəti ilə təyin olunan gizli funksiya adlanır.
6. Tərs funksiyanın törəməsi. Əgər g(f(x))=x olarsa, g(x) funksiyası y=f(x) funksiyasının tərs funksiyası adlanır.
7. Parametrli təyin olunmuş funksiyanın törəməsi. X və y t dəyişəninin funksiyaları kimi təyin olunsun: x=x(t), y=y(t). Deyirlər ki, y=y(x) x∈ (a;b) intervalında parametrik təyin olunmuş funksiyadır, əgər bu intervalda x=x(t) tənliyini t=t(x) və funksiyası ilə ifadə etmək olarsa. y=y( t(x))=y(x).
8. Qüdrət-eksponensial funksiyanın törəməsi. Təbii loqarifmin əsasına loqarifmləri götürməklə tapılır.

Törəmə nədir?

Törəmələr cədvəli.

Törəmə ali riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir. Bu dərsdə biz bu anlayışı təqdim edəcəyik. Gəlin, ciddi riyazi ifadələr və sübutlar olmadan bir-birimizi tanıyaq.

Bu tanışlıq sizə imkan verəcək:

Törəmələrlə sadə tapşırıqların mahiyyətini başa düşmək;

Bu ən sadə vəzifələri uğurla həll edin;

Törəmələrlə bağlı daha ciddi dərslərə hazırlaşın.

Birincisi - xoş sürpriz.)

Törəmənin ciddi tərifi məhdudiyyətlər nəzəriyyəsinə əsaslanır və şey olduqca mürəkkəbdir. Bu üzücüdür. Lakin törəmələrin praktik tətbiqi, bir qayda olaraq, belə geniş və dərin bilik tələb etmir!

Məktəbdə və universitetdə bir çox işi uğurla yerinə yetirmək üçün bilmək kifayətdir sadəcə bir neçə şərt- tapşırığı başa düşmək və sadəcə bir neçə qayda- həll etmək. Hamısı budur. Bu məni xoşbəxt edir.

Tanışlığa başlayaq?)

Şərtlər və təyinatlar.

İbtidai riyaziyyatda çoxlu müxtəlif riyazi əməliyyatlar mövcuddur. Toplama, çıxma, vurma, eksponentasiya, loqarifm və s. Bu əməliyyatlara daha bir əməliyyat əlavə etsəniz, elementar riyaziyyat daha yüksək olur. Bu yeni əməliyyat adlanır fərqləndirmə. Bu əməliyyatın tərifi və mənası ayrı-ayrı dərslərdə müzakirə olunacaq.

Burada başa düşmək vacibdir ki, diferensiallaşma sadəcə üzərində riyazi əməliyyatdır funksiyası.İstənilən funksiyanı götürürük və müəyyən qaydalara uyğun olaraq onu çeviririk. Nəticə yeni funksiya olacaq. Bu yeni funksiya adlanır: törəmə.

Fərqləndirmə- funksiya üzrə fəaliyyət.

törəmə- bu hərəkətin nəticəsi.

Eynilə, məsələn, məbləğ- əlavənin nəticəsi. Və ya özəl- bölünmənin nəticəsi.

Şərtləri bilməklə, ən azı tapşırıqları başa düşə bilərsiniz.) Tərkibləri aşağıdakı kimidir: funksiyanın törəməsini tapın; törəməni götürmək; funksiyanı fərqləndirmək; törəmə hesablayın və s. Hamısı budur eyni.Əlbəttə ki, daha mürəkkəb vəzifələr də var, burada törəmənin tapılması (fərqləndirmə) problemin həlli addımlarından yalnız biri olacaqdır.

Törəmə funksiyanın yuxarı sağ hissəsində tire ilə göstərilir. Bunun kimi: y" və ya f"(x) və ya S"(t) və s.

Oxumaq igrek vuruşu, x-dən ef vuruşu, te-dən es vuruşu, yaxşı başa düşürsən...)

Baş rəqəm müəyyən bir funksiyanın törəməsini də göstərə bilər, məsələn: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" və s. Çox vaxt törəmələr diferensiallardan istifadə etməklə işarələnir, lakin biz bu dərsdə belə qeydləri nəzərdən keçirməyəcəyik.

Tutaq ki, biz tapşırıqları başa düşməyi öyrənmişik. Onları necə həll edəcəyinizi öyrənmək qalır.) Sizə bir daha xatırlatmaq istəyirəm: törəməni tapmaq funksiyanın müəyyən qaydalara uyğun çevrilməsi. Təəccüblüdür ki, bu qaydalar çox azdır.

Funksiyanın törəməsini tapmaq üçün yalnız üç şeyi bilmək lazımdır. Bütün fərqləndirmənin dayandığı üç sütun. Onlar bu üç sütundur:

1. Törəmələr cədvəli (diferensiasiya düsturları).

3. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

Sıra ilə başlayaq. Bu dərsdə biz törəmələr cədvəlinə baxacağıq.

Törəmələr cədvəli.

Dünyada sonsuz sayda funksiya var. Bu dəst arasında praktik istifadə üçün ən vacib olan funksiyalar var. Bu funksiyalara təbiətin bütün qanunlarında rast gəlinir. Bu funksiyalardan, məsələn, kərpicdən, bütün digərlərini qura bilərsiniz. Bu funksiyalar sinfi adlanır elementar funksiyalar. Məhz məktəbdə öyrənilən bu funksiyalar - xətti, kvadrat, hiperbola və s.

Funksiyaların "sıfırdan" fərqləndirilməsi, yəni. Törəmə tərifinə və məhdudiyyətlər nəzəriyyəsinə əsaslansaq, bu, kifayət qədər əmək tələb edən bir şeydir. Riyaziyyatçılar da insanlardır, bəli, bəli!) Beləliklə, onlar (və bizim) həyatlarını sadələşdirdilər. Bizdən əvvəl elementar funksiyaların törəmələrini hesabladılar. Nəticə hər şeyin hazır olduğu törəmələr cədvəlidir.)

Budur, ən populyar funksiyalar üçün bu boşqab. Solda elementar funksiya, sağda onun törəməsi var.

	Funksiya y	y funksiyasının törəməsi y"
1	C (sabit dəyər)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - istənilən ədəd)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	günah x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arktan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Bu törəmələr cədvəlində üçüncü qrup funksiyalara diqqət yetirməyi məsləhət görürəm. Güc funksiyasının törəməsi ən ümumi deyilsə, ən çox yayılmış düsturlardan biridir! İpucu alırsınız?) Bəli, törəmələr cədvəlini əzbər bilmək məsləhətdir. Yeri gəlmişkən, bu, göründüyü qədər çətin deyil. Daha çox nümunə həll etməyə çalışın, cədvəlin özü yadda qalacaq!)

Törəmənin cədvəl dəyərini tapmaq, başa düşdüyünüz kimi, ən çətin iş deyil. Buna görə də, çox vaxt bu cür tapşırıqlarda əlavə çiplər olur. Ya tapşırığın mətnində, ya da cədvəldə görünməyən orijinal funksiyada...

Bir neçə nümunəyə baxaq:

1. y = x funksiyasının törəməsini tapın 3

Cədvəldə belə bir funksiya yoxdur. Amma ümumi formada güc funksiyasının törəməsi var (üçüncü qrup). Bizim vəziyyətimizdə n=3. Beləliklə, n əvəzinə üçü əvəz edirik və nəticəni diqqətlə yazırıq:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Bu belədir.

Cavab: y" = 3x 2

2. y = sinx funksiyasının törəməsinin x = 0 nöqtəsindəki qiymətini tapın.

Bu tapşırıq o deməkdir ki, siz əvvəlcə sinusun törəməsini tapmalı, sonra isə dəyəri əvəz etməlisiniz x = 0 bu eyni törəmə. Məhz bu qaydada!Əks halda elə olur ki, onlar dərhal ilkin funksiyada sıfırı əvəz edirlər... Bizdən ilkin funksiyanın qiymətini deyil, dəyərini tapmaq tələb olunur. onun törəməsi. Törəmə, sizə xatırlatmağa icazə verin, yeni bir funksiyadır.

Planşetdən istifadə edərək sinus və müvafiq törəməni tapırıq:

y" = (sin x)" = cosx

Törəmədə sıfırı əvəz edirik:

y"(0) = cos 0 = 1

Bu cavab olacaq.

3. Funksiyanı fərqləndirin:

Nə, ruhlandırır?) Törəmələr cədvəlində belə funksiya yoxdur.

Xatırladım ki, funksiyanı diferensiallaşdırmaq sadəcə olaraq bu funksiyanın törəməsini tapmaqdır. Elementar triqonometriyanı unudursunuzsa, funksiyamızın törəməsini axtarmaq olduqca çətin olur. Cədvəl kömək etmir ...

Amma görsək ki, bizim funksiyamız belədir ikiqat bucaq kosinusu, onda hər şey dərhal yaxşılaşacaq!

Hə hə! Orijinal funksiyanın çevrildiyini unutmayın fərqləndirmədən əvvəl olduqca məqbuldur! Və bu, həyatı çox asanlaşdırır. İki bucaqlı kosinus düsturundan istifadə edərək:

Bunlar. bizim çətin funksiyamız bundan başqa bir şey deyil y = cosx. Və bu cədvəl funksiyasıdır. Dərhal alırıq:

Cavab: y" = - sin x.

Qabaqcıl məzunlar və tələbələr üçün nümunə:

4. Funksiyanın törəməsini tapın:

Törəmələr cədvəlində təbii ki, belə bir funksiya yoxdur. Amma elementar riyaziyyatı, güclərlə əməliyyatları xatırlayırsınızsa... Onda bu funksiyanı sadələşdirmək tamamilə mümkündür. Bunun kimi:

Onda birinin gücünə x isə artıq cədvəl funksiyasıdır! Üçüncü qrup, n=1/10. Formula uyğun olaraq birbaşa yazırıq:

Hamısı budur. Bu cavab olacaq.

Ümid edirəm ki, fərqləndirmənin birinci sütunu - törəmələr cədvəli ilə hər şey aydındır. Qalan iki balina ilə məşğul olmaq qalır. IN növbəti dərs Diferensiallaşdırma qaydalarını mənimsəək.