Kramer matris teoremi. Kramer qaydası

Sıfıra bərabər olmayan matrisin əsas təyinedicisi olan naməlumların sayı ilə eyni sayda tənliklərlə sistemin əmsalları (belə tənliklər üçün həll var və yalnız bir var).

Kramer teoremi.

Kvadrat sistemin matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olduqda, bu sistemin ardıcıl olduğunu və onun bir həlli olduğunu bildirir və onu aşağıdakı kimi tapmaq olar. Kramer düsturları:

harada Δ - sistem matrisinin təyinedicisi,

Δ iəvəzinə olan sistem matrisinin determinantıdır i Sütun sağ tərəflərin sütununu ehtiva edir.

Sistemin determinantı sıfır olduqda, bu, sistemin kooperativ və ya uyğunsuz ola biləcəyini bildirir.

Bu üsul adətən geniş hesablamalara malik kiçik sistemlər üçün və naməlumlardan birini müəyyən etmək lazım gəldikdə istifadə olunur. Metodun mürəkkəbliyi ondan ibarətdir ki, bir çox determinantların hesablanması lazımdır.

Kramer metodunun təsviri.

Tənliklər sistemi var:

3 tənlik sistemi yuxarıda 2 tənlik sistemi üçün müzakirə edilən Kramer metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər.

Naməlumların əmsallarından müəyyənedicini tərtib edirik:

Bu olacaq sistem təyinedicisi. Nə vaxt D≠0, bu o deməkdir ki, sistem ardıcıldır. İndi 3 əlavə determinant yaradaq:

,,

Sistemi həll edirik Kramer düsturları:

Kramer metodundan istifadə edərək tənlik sistemlərinin həlli nümunələri.

Misal 1.

Verilmiş sistem:

Kramer metodundan istifadə edərək həll edək.

Əvvəlcə sistem matrisinin determinantını hesablamalısınız:

Çünki Δ≠0, bu o deməkdir ki, Kramer teoremindən sistem ardıcıldır və onun bir həlli var. Əlavə determinantları hesablayırıq. Δ determinantı Δ determinantından onun birinci sütununu sərbəst əmsallar sütunu ilə əvəz etməklə əldə edilir. Biz əldə edirik:

Eyni şəkildə, ikinci sütunu sərbəst əmsallar sütunu ilə əvəz etməklə sistem matrisinin determinantından Δ 2 determinantını alırıq:

Metodlar Kramer Və Gauss- ən məşhur həll üsullarından biridir SLAU. Bundan əlavə, bəzi hallarda xüsusi üsullardan istifadə etmək məsləhətdir. Sessiya yaxındır və indi onları sıfırdan təkrarlamaq və ya mənimsəmək vaxtıdır. Bu gün biz Cramer metodundan istifadə edərək həll yoluna baxacağıq. Axı, Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sisteminin həlli çox faydalı bir bacarıqdır.

Xətti cəbri tənliklər sistemləri

Xətti cəbri tənliklər sistemi aşağıdakı formalı tənliklər sistemidir:

Dəyər dəsti x , sistemin tənliklərinin eyniliyə çevrildiyi sistemin həlli adlanır, a Və b real əmsallardır. İki naməlum olan iki tənlikdən ibarət sadə sistem sizin başınızda və ya bir dəyişəni digəri ilə ifadə etməklə həll edilə bilər. Lakin SLAE-də ikidən çox dəyişən (xes) ola bilər və burada sadə məktəb manipulyasiyaları kifayət deyil. Nə etməli? Məsələn, Cramer metodundan istifadə edərək SLAE-ləri həll edin!

Beləliklə, sistemdən ibarət olsun n ilə tənliklər n naməlum.

Belə bir sistem matris şəklində yenidən yazıla bilər

Budur A - sistemin əsas matrisi, X Və B , müvafiq olaraq naməlum dəyişənlərin və sərbəst şərtlərin sütun matrisləri.

Cramer metodundan istifadə edərək SLAE-lərin həlli

Əsas matrisin determinantı sıfıra bərabər deyilsə (matris tək deyil), sistem Kramer metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər.

Kramer metoduna görə, həll düsturlardan istifadə edərək tapılır:

Budur delta əsas matrisin təyinedicisidir və delta x n-ci – n-ci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə əsas matrisin determinantından alınan determinant.

Kramer metodunun bütün mahiyyəti budur. Yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək tapılan dəyərləri əvəz etmək x İstənilən sistemə daxil olmaqla, həllimizin düzgünlüyünə (və ya əksinə) əmin oluruq. Mahiyyəti tez qavramağınıza kömək etmək üçün biz aşağıda Cramer metodundan istifadə edərək SLAE-nin ətraflı həlli nümunəsini veririk:

İlk dəfə uğur qazanmasanız belə, ruhdan düşməyin! Bir az təcrübə ilə SLAU-ları qoz-fındıq kimi sındırmağa başlayacaqsınız. Üstəlik, indi bir notebook üzərində məsamə çəkmək, çətin hesablamaları həll etmək və nüvəni yazmaq tamamilə lazım deyil. Siz sadəcə olaraq əmsalları hazır formada əvəz etməklə Cramer metodundan istifadə edərək SLAE-ləri asanlıqla həll edə bilərsiniz. Siz, məsələn, bu veb saytında Cramer metodundan istifadə edərək onlayn həll kalkulyatorunu sınaya bilərsiniz.

Sistem inadkar olsa və imtina etməsə, həmişə kömək üçün müəlliflərimizə müraciət edə bilərsiniz, məsələn. Sistemdə ən azı 100 naməlum varsa, biz onu mütləq düzgün və vaxtında həll edəcəyik!

Xətti tənliklər sistemində müstəqil dəyişənlərin sayı qədər tənlik olsun, yəni. oxşayır

Belə xətti tənliklər sistemləri kvadrat adlanır. Sistemin müstəqil dəyişənləri üçün əmsallardan ibarət olan determinant (1.5) sistemin əsas təyinedicisi adlanır. Biz onu yunanca D hərfi ilə işarə edəcəyik. Beləliklə,

. (1.6)

Əgər əsas determinant ixtiyari ( j th) sütunu, sistemin pulsuz şərtləri sütunu ilə əvəz edin (1.5), sonra əldə edə bilərsiniz n köməkçi seçicilər:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Kramer qaydası xətti tənliklərin kvadrat sistemlərinin həlli aşağıdakı kimidir. Əgər (1.5) sisteminin əsas təyinedicisi D sıfırdan fərqlidirsə, sistemin unikal həlli var, onu düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:

(1.8)

Misal 1.5. Kramer metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin

.

Sistemin əsas determinantını hesablayaq:

D¹0-dan bəri sistem (1.8) düsturlarından istifadə etməklə tapıla bilən unikal həllə malikdir:

Beləliklə,

Matrislər üzrə hərəkətlər

1. Matrisin ədədə vurulması. Bir matrisin ədədə vurulması əməliyyatı aşağıdakı kimi müəyyən edilir.

2. Bir matrisi ədədə vurmaq üçün onun bütün elementlərini bu ədədə vurmaq lazımdır. Yəni

. (1.9)

Misal 1.6. .

Matris əlavəsi.

Bu əməliyyat yalnız eyni sıralı matrislər üçün tətbiq edilir.

İki matris əlavə etmək üçün bir matrisin elementlərinə başqa bir matrisin uyğun elementlərini əlavə etmək lazımdır:

(1.10)
Matris toplama əməliyyatı assosiativlik və kommutativlik xassələrinə malikdir.

Misal 1.7. .

Matrisin vurulması.

Əgər matris sütunlarının sayı A matrisin sıralarının sayı ilə üst-üstə düşür IN, onda belə matrislər üçün vurma əməliyyatı tətbiq edilir:

2

Beləliklə, bir matrisi vurarkən Aölçüləri m´ n matrisə INölçüləri n´ k matris alırıq İLƏölçüləri m´ k. Bu halda matris elementləri İLƏ aşağıdakı düsturlarla hesablanır:

Problem 1.8. Mümkünsə, matrislərin hasilini tapın AB Və B.A.:

Həll. 1) İş tapmaq üçün AB, sizə matris sətirləri lazımdır A matris sütunları ilə çarpın B:

2) İş B.A. mövcud deyil, çünki matris sütunlarının sayı B matris sıralarının sayına uyğun gəlmir A.

Tərs matris. Matris üsulu ilə xətti tənliklər sistemlərinin həlli

Matris A- 1 kvadrat matrisin tərsi adlanır A, bərabərlik təmin edildikdə:

haradan keçir I matrislə eyni sıralı eynilik matrisini ifadə edir A:

.

Kvadrat matrisin tərsinə malik olması üçün onun determinantının sıfırdan fərqli olması zəruri və kifayətdir. Tərs matris düsturdan istifadə edərək tapılır:

, (1.13)

Harada A ij- elementlərə cəbri əlavələr a ij matrislər A(qeyd edək ki, matris sıralarına cəbri əlavələr A uyğun sütunlar şəklində tərs matrisdə yerləşir).

Misal 1.9. Tərs matrisi tapın A- 1-dən matrisə

.

Biz (1.13) düsturundan istifadə edərək tərs matrisi tapırıq n= 3 formasına malikdir:

.

Gəlin det tapaq A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. İlkin matrisin təyinedicisi sıfırdan fərqli olduğu üçün tərs matris mövcuddur.

1) Cəbri tamamlayıcıları tapın A ij:

Tərs matrisin tapılmasının rahatlığı üçün orijinal matrisin sətirlərinə cəbri əlavələri müvafiq sütunlarda yerləşdirdik.

Alınan cəbri əlavələrdən yeni matris düzəldirik və onu det determinantına bölürük. A. Beləliklə, tərs matrisi alırıq:

Əsas təyinedicisi sıfırdan fərqli olan xətti tənliklərin kvadratik sistemləri tərs matrisdən istifadə etməklə həll edilə bilər. Bunun üçün (1.5) sistemi matris şəklində yazılır:

Harada

Bərabərliyin hər iki tərəfinin (1.14) soldan vurulması A- 1, sistemin həllini əldə edirik:

, harada

Beləliklə, kvadrat sistemin həllini tapmaq üçün sistemin baş matrisinin tərs matrisini tapmaq və onu sağdakı sərbəst şərtlərin sütun matrisinə vurmaq lazımdır.

Problem 1.10. Xətti tənliklər sistemini həll edin

tərs matrisdən istifadə etməklə.

Həll. Sistemi matris şəklində yazaq: ,

Harada - sistemin əsas matrisi, - naməlumlar sütunu və - sərbəst şərtlər sütunu. Sistemin əsas təyinedicisi olduğundan , sonra sistemin əsas matrisi A tərs matrisə malikdir A-1. Tərs matrisi tapmaq üçün A-1 , biz matrisin bütün elementlərinə cəbri tamamlamaları hesablayırıq A:

Alınan ədədlərdən bir matris (və matrisin sıralarına cəbri əlavələr) tərtib edəcəyik. A müvafiq sütunlara yazın) və onu D determinantına bölün. Beləliklə, tərs matrisi tapdıq:

(1.15) düsturundan istifadə edərək sistemin həllini tapırıq:

Beləliklə,

Adi Jordan aradan qaldırılması metodundan istifadə edərək xətti tənlik sistemlərinin həlli

Xətti tənliklərin ixtiyari (mütləq kvadratik deyil) sistemi verilsin:

(1.16)

Sistemin həllini tapmaq tələb olunur, yəni. sistemin (1.16) bütün bərabərliklərini təmin edən belə dəyişənlər toplusu. Ümumi halda (1.16) sistemində təkcə bir həll deyil, saysız-hesabsız həllər də ola bilər. Həm də heç bir həll yolu olmaya bilər.

Bu cür problemləri həll edərkən naməlumların aradan qaldırılması üçün məşhur məktəb kursu metodundan istifadə olunur ki, bu da adi İordaniya aradan qaldırılması metodu adlanır. Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, (1.16) sisteminin tənliklərindən birində dəyişənlərdən biri digər dəyişənlərlə ifadə edilir. Bu dəyişən sonra sistemdəki digər tənliklərlə əvəz olunur. Nəticə orijinal sistemdən bir tənlik və bir dəyişən az olan sistemdir. Dəyişənin ifadə olunduğu tənlik yadda qalır.

Sistemdə son bir tənlik qalana qədər bu proses təkrarlanır. Naməlumların aradan qaldırılması prosesi vasitəsilə bəzi tənliklər həqiqi eyniliyə çevrilə bilər, məs. Bu cür tənliklər sistemdən xaric edilir, çünki dəyişənlərin hər hansı dəyəri üçün təmin edilir və buna görə də sistemin həllinə təsir göstərmir. Naməlumların aradan qaldırılması prosesində ən azı bir tənlik dəyişənlərin heç bir dəyəri üçün təmin edilə bilməyən bərabərliyə çevrilirsə (məsələn), sistemin həlli olmadığı qənaətinə gəlirik.

Həll zamanı heç bir ziddiyyətli tənlik yaranmazsa, onda qalan dəyişənlərdən biri sonuncu tənlikdən tapılır. Əgər sonuncu tənlikdə yalnız bir dəyişən qalsa, o zaman rəqəmlə ifadə edilir. Əgər sonuncu tənlikdə digər dəyişənlər qalırsa, onda onlar parametr hesab olunur və onların vasitəsilə ifadə olunan dəyişən bu parametrlərin funksiyası olacaqdır. Sonra sözdə "əks hərəkət" baş verir. Tapılan dəyişən sonuncu yadda qalan tənliyə əvəz edilir və ikinci dəyişən tapılır. Sonra tapılan iki dəyişən sondan əvvəlki yadda qalan tənliyə əvəz edilir və üçüncü dəyişən tapılır və s. birinci yadda qalan tənliyə qədər.

Nəticədə sistemə bir həll əldə edirik. Tapılan dəyişənlər ədədlərdirsə, bu həll unikal olacaqdır. Əgər birinci dəyişən tapılarsa, sonra isə bütün digərləri parametrlərdən asılıdırsa, o zaman sistem sonsuz sayda həllərə malik olacaqdır (hər bir parametr dəsti yeni həllə uyğundur). Müəyyən parametrlər toplusundan asılı olaraq sistemin həllini tapmağa imkan verən düsturlar sistemin ümumi həlli adlanır.

Misal 1.11.

x

Birinci tənliyi əzbərlədikdən sonra ikinci və üçüncü tənliklərdə oxşar şərtləri gətirərək sistemə gəlirik:

ifadə edək y ikinci tənlikdən və onu birinci tənliyə əvəz edin:

İkinci tənliyi xatırlayaq və birincidən tapırıq z:

Geriyə işləmək, biz ardıcıl olaraq tapırıq y Və z. Bunu etmək üçün əvvəlcə tapdığımız yerdən sonuncu yadda qalan tənliyi əvəz edirik y:

.

Sonra onu ilk yadda qalan tənliyə əvəz edəcəyik harada tapa bilərik x:

Məsələ 1.12. Naməlumları aradan qaldıraraq xətti tənliklər sistemini həll edin:

. (1.17)

Həll. Birinci tənlikdən dəyişəni ifadə edək x və onu ikinci və üçüncü tənliklərlə əvəz edin:

.

Birinci tənliyi xatırlayaq

Bu sistemdə birinci və ikinci tənliklər bir-birinə ziddir. Doğrudan da ifadə y , biz 14 = 17 alırıq. Bu bərabərlik dəyişənlərin heç bir dəyərinə uyğun gəlmir x, y, Və z. Nəticədə, sistem (1.17) uyğunsuzdur, yəni. həlli yoxdur.

Oxucuları orijinal sistemin (1.17) əsas determinantının sıfıra bərabər olduğunu özləri yoxlamağa dəvət edirik.

Sistemdən (1.17) yalnız bir sərbəst terminlə fərqlənən sistemi nəzərdən keçirək.

Məsələ 1.13. Naməlumları aradan qaldıraraq xətti tənliklər sistemini həll edin:

. (1.18)

Həll.Əvvəlki kimi, dəyişəni birinci tənlikdən ifadə edirik x və onu ikinci və üçüncü tənliklərlə əvəz edin:

.

Birinci tənliyi xatırlayaq və oxşar şərtləri ikinci və üçüncü tənliklərdə təqdim edin. Sistemə çatırıq:

ifadə edən y birinci tənlikdən və onu ikinci tənliyə əvəz etməklə , sistemin həllinə təsir etməyən 14 = 14 şəxsiyyətini alırıq və buna görə də onu sistemdən kənarlaşdırmaq olar.

Son xatırlanan bərabərlikdə dəyişən z bir parametr hesab edəcəyik. Biz inanırıq. Sonra

Gəlin əvəz edək y Və z ilk xatırlanan bərabərliyə daxil edin və tapın x:

.

Beləliklə, (1.18) sistemin sonsuz sayda həlli var və parametrin ixtiyari qiymətini seçməklə (1.19) düsturlardan istifadə etməklə istənilən həlli tapmaq olar. t:

(1.19)
Beləliklə, sistemin həlləri, məsələn, aşağıdakı dəyişənlər dəstləridir (1; 2; 0), (2; 26; 14) və s. Düsturlar (1.19) sistemin ümumi (hər hansı) həllini ifadə edir (1.18). ).

Orijinal sistemdə (1.16) kifayət qədər çox sayda tənlik və naməlum olduqda, adi İordaniya aradan qaldırılmasının göstərilən üsulu çətin görünür. Lakin, belə deyil. Sistem əmsallarının bir addımda yenidən hesablanması alqoritmini ümumi formada çıxarmaq və məsələnin həllini xüsusi İordaniya cədvəlləri şəklində rəsmiləşdirmək kifayətdir.

Xətti formalar (tənliklər) sistemi verilsin:

, (1.20)
Harada x j- müstəqil (axtarılan) dəyişənlər, a ij- sabit əmsallar
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Sistemin sağ hissələri y i (i = 1, 2,…, m) dəyişənlər (asılı) və ya sabitlər ola bilər. Bilinməyənləri aradan qaldıraraq bu sistemin həlli yollarını tapmaq tələb olunur.

Gəlin bundan sonra “İordaniyanın adi aradan qaldırılmasının bir addımı” adlandırılan aşağıdakı əməliyyatı nəzərdən keçirək. ixtiyari ( r th) bərabərlik ixtiyari dəyişəni ifadə edirik ( xs) və bütün digər bərabərlikləri əvəz edin. Təbii ki, bu, yalnız o halda mümkündür bir rs¹ 0. Əmsal bir rs həlledici (bəzən rəhbər və ya əsas) element adlanır.

Aşağıdakı sistemi alacağıq:

. (1.21)

From s- sistemin bərabərliyi (1.21), sonra dəyişəni tapırıq xs(qalan dəyişənlər tapıldıqdan sonra). S-ci sətir yadda qalır və sonradan sistemdən çıxarılır. Qalan sistemdə bir tənlik və orijinal sistemdən daha az müstəqil dəyişən olacaq.

İlkin sistemin (1.20) əmsalları vasitəsilə yaranan sistemin (1.21) əmsallarını hesablayaq. ilə başlayaq r ci tənlik, dəyişəni ifadə etdikdən sonra xs qalan dəyişənlər vasitəsilə belə görünəcək:

Beləliklə, yeni əmsallar r th tənlikləri aşağıdakı düsturlarla hesablanır:

(1.23)
İndi yeni əmsalları hesablayaq b ij(i¹ r) ixtiyari tənliyin. Bunun üçün (1.22)-də ifadə olunan dəyişəni əvəz edək. xs V i sistemin tənliyi (1.20):

Oxşar şərtləri gətirdikdən sonra alırıq:

(1.24)
Bərabərlikdən (1.24) sistemin qalan əmsallarının (1.21) hesablandığı düsturları alırıq (istisna ilə). r ci tənlik):

(1.25)
Xətti tənliklər sistemlərinin adi İordaniya aradan qaldırılması üsulu ilə çevrilməsi cədvəllər (matrislər) şəklində təqdim olunur. Bu cədvəllər “İordaniya masaları” adlanır.

Beləliklə, problem (1.20) aşağıdakı İordaniya cədvəli ilə əlaqələndirilir:

Cədvəl 1.1

İordaniya cədvəli 1.1 sistemin sağ hissələrinin (1.20) yazıldığı sol başlıq sütununu və müstəqil dəyişənlərin yazıldığı yuxarı başlıq sətirini ehtiva edir.

Cədvəlin qalan elementləri sistemin (1.20) əmsallarının əsas matrisini təşkil edir. Əgər matrisi çarparsanız A yuxarı başlıq sətirinin elementlərindən ibarət matrisə, siz sol başlıq sütununun elementlərindən ibarət matris alırsınız. Yəni, mahiyyətcə, İordaniya cədvəli xətti tənliklər sisteminin yazılmasının matris formasıdır: . Sistem (1.21) aşağıdakı İordaniya cədvəlinə uyğundur:

Cədvəl 1.2

İcazə verən element bir rs Biz onları qalın hərflərlə vurğulayacağıq. Xatırladaq ki, İordaniyanın ləğvinin bir addımını həyata keçirmək üçün həlledici element sıfırdan fərqli olmalıdır. Aktivləşdirici elementi ehtiva edən cədvəl sırası aktivləşdirici sıra adlanır. Aktiv elementi ehtiva edən sütun icazə sütunu adlanır. Verilmiş cədvəldən növbəti cədvələ keçərkən bir dəyişən ( xs) cədvəlin yuxarı başlıq sətirindən sol başlıq sütununa və əksinə, sistemin sərbəst üzvlərindən birinə ( y r) cədvəlin sol baş sütunundan yuxarı baş sətirinə keçir.

İordaniya cədvəlindən (1.1) cədvəldən (1.2) keçərkən (1.23) və (1.25) düsturlarından irəli gələn əmsalların yenidən hesablanması alqoritmini təsvir edək.

1. Həlledici element tərs ədədlə əvəz olunur:

2. Həlledici sətirin qalan elementləri həlledici elementə bölünür və işarəni əksinə dəyişir:

3. Qətnamə sütununun qalan elementləri ayırdetmə elementinə bölünür:

4. İcazə verən sətir və icazə verən sütuna daxil olmayan elementlər düsturlardan istifadə etməklə yenidən hesablanır:

Fraksiyanı təşkil edən elementlərin olduğunu görsəniz, sonuncu düsturu xatırlamaq asandır , kəsişməsindədir i-oh və r ci xətlər və j ci və s ci sütunlar (həlledici sətir, həlledici sütun və yenidən hesablanmış elementin kəsişməsində yerləşən sətir və sütun). Daha doğrusu, düsturu əzbərləyəndə aşağıdakı diaqramdan istifadə edə bilərsiniz:

İordaniya istisnalarının ilk addımını yerinə yetirərkən, həlledici element kimi sütunlarda yerləşən Cədvəl 1.3-ün istənilən elementini seçə bilərsiniz. x 1 ,…, x 5 (bütün göstərilən elementlər sıfır deyil). Sadəcə son sütunda aktivləşdirici elementi seçməyin, çünki müstəqil dəyişənləri tapmaq lazımdır x 1 ,…, x 5 . Məsələn, əmsalı seçirik 1 dəyişən ilə x Cədvəl 1.3-ün üçüncü sətirində 3-də göstərilmişdir (icazə verən element qalın hərflərlə göstərilmişdir). Cədvəl 1.4-ə keçərkən dəyişən xÜst başlıq sətirindəki 3, sol başlıq sütununun (üçüncü sıra) sabit 0 ilə əvəz olunur. Bu halda, dəyişən x 3 qalan dəyişənlər vasitəsilə ifadə edilir.

Simli x 3 (Cədvəl 1.4) əvvəlcədən yadda saxladıqdan sonra Cədvəl 1.4-dən çıxarıla bilər. Üst başlıq sətirində sıfır olan üçüncü sütun da Cədvəl 1.4-dən çıxarılmışdır. Məsələ ondadır ki, verilən sütunun əmsallarından asılı olmayaraq b i 3 hər tənliyin bütün uyğun şərtləri 0 b i 3 sistem sıfıra bərabər olacaq. Buna görə də bu əmsalları hesablamaq lazım deyil. Bir dəyişənin aradan qaldırılması x 3 və tənliklərdən birini xatırlayaraq, Cədvəl 1.4-ə uyğun gələn bir sistemə gəlirik (xətti kəsilməklə) x 3). Cədvəl 1.4-də həlledici element kimi seçilməsi b 14 = -5, cədvəl 1.5-ə keçin. Cədvəl 1.5-də birinci sətri xatırlayın və onu dördüncü sütunla birlikdə cədvəldən çıxarın (yuxarıda sıfır ilə).

Cədvəl 1.5 Cədvəl 1.6

Sonuncu cədvəl 1.7-dən tapırıq: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Ardıcıl olaraq artıq tapılmış dəyişənləri yadda qalan sətirlərə əvəz edərək, qalan dəyişənləri tapırıq:

Beləliklə, sistemin sonsuz sayda həlli var. Dəyişən x 5, ixtiyari dəyərlər təyin edilə bilər. Bu dəyişən parametr kimi çıxış edir x 5 = t. Sistemin uyğunluğunu sübut etdik və onun ümumi həllini tapdıq:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametr verilməsi t müxtəlif dəyərlər, biz orijinal sistem üçün sonsuz sayda həlli əldə edəcəyik. Beləliklə, məsələn, sistemin həlli aşağıdakı dəyişənlər toplusudur (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Bu paraqrafı mənimsəmək üçün siz “ikiyə iki” və “üçə üç” təyinedicilərini aşkar etməyi bacarmalısınız. Əgər seçicilərlə pissinizsə, lütfən dərsi öyrənin Determinantı necə hesablamaq olar?

Əvvəlcə iki naməlumda iki xətti tənlik sistemi üçün Kramer qaydasına daha yaxından nəzər salacağıq. Nə üçün? – Axı ən sadə sistemi məktəb metodu, müddətli dövr əlavə etmə üsulu ilə həll etmək olar!

Məsələ burasındadır ki, bəzən də olsa belə bir vəzifə baş verir - Kramer düsturlarından istifadə edərək iki naməlumlu iki xətti tənlik sistemini həll etmək. İkincisi, daha sadə bir nümunə Kramer qaydasını daha mürəkkəb bir vəziyyət üçün - üç naməlum olan üç tənlik sistemi üçün necə istifadə edəcəyinizi başa düşməyə kömək edəcəkdir.

Bundan əlavə, iki dəyişənli xətti tənliklər sistemləri var ki, onları Kramer qaydasından istifadə etməklə həll etmək məsləhətdir!

Tənliklər sistemini nəzərdən keçirin

İlk addımda determinantı hesablayırıq, ona deyilir sistemin əsas determinantıdır.

Gauss üsulu.

Əgər , onda sistemin unikal həlli var və kökləri tapmaq üçün daha iki təyinedicini hesablamalıyıq:
Və

Təcrübədə yuxarıdakı seçmələr latın hərfi ilə də işarələnə bilər.

Düsturlardan istifadə edərək tənliyin köklərini tapırıq:
,

Misal 7

Xətti tənliklər sistemini həll edin

Həll: Tənliyin əmsallarının kifayət qədər böyük olduğunu görürük, sağ tərəfdə vergüllə onluq kəsrlər var. Vergül riyaziyyatda praktiki tapşırıqlarda olduqca nadir qonaqdır, mən bu sistemi ekonometrik problemdən götürmüşəm.

Belə bir sistemi necə həll etmək olar? Bir dəyişəni digəri ilə ifadə etməyə cəhd edə bilərsiniz, lakin bu halda, çox güman ki, işləmək üçün son dərəcə əlverişsiz olan dəhşətli fantaziya fraksiyaları ilə nəticələnəcəksiniz və həllin dizaynı sadəcə dəhşətli görünəcəkdir. Siz ikinci tənliyi 6-ya vura və termini müddətli çıxara bilərsiniz, lakin burada da eyni kəsrlər yaranacaq.

Nə etməli? Belə hallarda Kramerin düsturları köməyə gəlir.

;

;

Cavab verin: ,

Hər iki kök sonsuz quyruğa malikdir və təqribən tapılır ki, bu da ekonometrika problemləri üçün olduqca məqbuldur (hətta adi haldır).

Burada şərhlərə ehtiyac yoxdur, çünki tapşırıq hazır düsturlardan istifadə etməklə həll olunur, lakin bir xəbərdarlıq var. Bu üsuldan istifadə edərkən, məcburi Tapşırıq dizaynının bir hissəsi aşağıdakı fraqmentdir: “Bu o deməkdir ki, sistemin unikal həlli var”. Əks halda, rəyçi sizi Kramer teoreminə hörmətsizliyə görə cəzalandıra bilər.

Kalkulyatorda rahatlıqla həyata keçirilə bilən yoxlamaq artıq olmaz: sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində təxmini dəyərləri əvəz edirik. Nəticədə, kiçik bir səhvlə, sağ tərəflərdə olan nömrələri almalısınız.

Misal 8

Cavabı adi düzgün kəsrlərlə təqdim edin. Çek edin.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (son dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab).

Üç naməlum olan üç tənlik sistemi üçün Kramer qaydasını nəzərdən keçirək:

Sistemin əsas determinantını tapırıq:

Əgər , onda sistemin sonsuz sayda həlli var və ya uyğunsuzdur (həllləri yoxdur). Bu vəziyyətdə Kramer qaydası kömək etməyəcək, Gauss metodundan istifadə etməlisiniz.

Əgər , onda sistemin unikal həlli var və kökləri tapmaq üçün daha üç təyinedicini hesablamalıyıq:
, ,

Və nəhayət, cavab düsturlardan istifadə edərək hesablanır:

Gördüyünüz kimi, “üçdən üç” halı “ikidən iki” vəziyyətindən prinsipial olaraq fərqlənmir; sərbəst terminlər sütunu əsas determinantın sütunları boyunca ardıcıl olaraq soldan sağa “gedir”.

Misal 9

Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edin.

Həll: Gəlin sistemi Kramer düsturlarından istifadə edərək həll edək.

, yəni sistemin unikal həlli var.

Cavab verin: .

Əslində, burada yenə də şərh etmək üçün xüsusi bir şey yoxdur, çünki həll hazır formullara uyğundur. Ancaq bir neçə şərh var.

Belə olur ki, hesablamalar nəticəsində “pis” azaldılmayan fraksiyalar alınır, məsələn: .
Aşağıdakı “müalicə” alqoritmini tövsiyə edirəm. Əlinizdə kompüter yoxdursa, bunu edin:

1) Hesablamalarda xəta ola bilər. "Pis" fraksiya ilə qarşılaşan kimi dərhal yoxlamaq lazımdır Şərt düzgün şəkildə yenidən yazılıbmı?. Şərt səhvsiz yenidən yazılıbsa, o zaman başqa sətirdə (sütun) genişləndirmədən istifadə edərək determinantları yenidən hesablamalısınız.

2) Yoxlama nəticəsində heç bir səhv müəyyən edilmədikdə, çox güman ki, tapşırıq şərtlərində bir yazı səhvi var idi. Bu vəziyyətdə, sakit və DİQQƏTLİ şəkildə tapşırığı sona qədər işləyin, sonra yoxlamağınızdan əmin olun və qərardan sonra onu təmiz vərəqdə tərtib edirik. Əlbəttə ki, kəsrli cavabı yoxlamaq xoşagəlməz bir işdir, lakin bu, kimi hər hansı bir boşboğazlıq üçün minus verməyi həqiqətən sevən müəllim üçün tərksilahedici bir arqument olacaq. Kəsrləri necə idarə etmək 8-ci nümunənin cavabında ətraflı təsvir edilmişdir.

Əlinizdə bir kompüteriniz varsa, yoxlamaq üçün dərsin əvvəlində pulsuz yüklənə bilən avtomatlaşdırılmış proqramdan istifadə edin. Yeri gəlmişkən, proqramı dərhal istifadə etmək daha sərfəlidir (həll yoluna başlamazdan əvvəl); dərhal səhv etdiyiniz aralıq addımı görəcəksiniz! Eyni kalkulyator matris metodundan istifadə edərək sistemin həllini avtomatik olaraq hesablayır.

İkinci qeyd. Zaman zaman tənliklərində bəzi dəyişənlərin çatışmadığı sistemlər var, məsələn:

Burada birinci tənlikdə dəyişən yoxdur, ikincidə dəyişən yoxdur. Belə hallarda əsas determinantı düzgün və DİQQƏTLİ yazmaq çox vacibdir:
– çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyulur.
Yeri gəlmişkən, hesablamalar nəzərəçarpacaq dərəcədə az olduğundan, sıfırın yerləşdiyi cərgəyə (sütun) uyğun olaraq sıfırları olan determinantları açmaq rasionaldır.

Misal 10

Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edin.

Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir (yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab).

4 naməlumlu 4 tənlik sistemi üçün Kramer düsturları oxşar prinsiplərə əsasən yazılır. Müəyyənedicilərin xassələri dərsində canlı nümunə ilə tanış ola bilərsiniz. Determinantın sırasının azaldılması - beş 4-cü dərəcəli determinant kifayət qədər həll olunur. Baxmayaraq ki, tapşırıq artıq şanslı bir tələbənin sinəsində professor ayaqqabısını xatırladır.

Tərs matrisdən istifadə edərək sistemin həlli

Tərs matris metodu mahiyyətcə xüsusi haldır matris tənliyi(Göstərilən dərsin 3 nömrəli nümunəsinə baxın).

Bu bölməni öyrənmək üçün determinantları genişləndirməyi, matrisin tərsini tapmağı və matrisə vurmağı bacarmalısınız. İzahatlar irəlilədikcə müvafiq linklər veriləcək.

Misal 11

Sistemi matris metodundan istifadə edərək həll edin

Həll: Sistemi matris şəklində yazaq:
, Harada

Zəhmət olmasa tənliklər və matrislər sisteminə baxın. Məncə, hər kəs elementləri matrislərə yazmaq prinsipini başa düşür. Yeganə şərh: əgər tənliklərdə bəzi dəyişənlər əskik olsaydı, onda matrisin müvafiq yerlərinə sıfırlar qoyulmalı idi.

Düsturdan istifadə edərək tərs matrisi tapırıq:
, burada matrisin müvafiq elementlərinin cəbri tamamlamalarının köçürülmüş matrisi.

Əvvəlcə determinantı nəzərdən keçirək:

Burada determinant birinci sətirdə genişlənir.

Diqqət! Əgər olarsa, onda tərs matris yoxdur və sistemi matris üsulu ilə həll etmək mümkün deyil. Bu zaman sistem naməlumların aradan qaldırılması üsulu ilə həll edilir (Qauss üsulu).

İndi biz 9 azyaşlı hesablayıb onları kiçiklər matrisinə yazmalıyıq

İstinad: Xətti cəbrdə qoşa alt işarələrin mənasını bilmək faydalıdır. Birinci rəqəm elementin yerləşdiyi sətrin nömrəsidir. İkinci rəqəm elementin yerləşdiyi sütunun nömrəsidir:

Yəni, qoşa alt işarə elementin birinci cərgədə, üçüncü sütunda və məsələn, elementin 3 sıra, 2 sütunda olduğunu göstərir.

Həll zamanı yetkinlik yaşına çatmayanların hesablanmasını ətraflı təsvir etmək daha yaxşıdır, baxmayaraq ki, müəyyən təcrübə ilə onları şifahi olaraq səhvlərlə hesablamağa alışa bilərsiniz.