Posts tagged "törəmə tərifi". §1

Törəmə nədir?
Törəmə funksiyanın tərifi və mənası

Bir dəyişənin funksiyasının törəməsi və onun tətbiqi ilə bağlı müəllif kursumda bu məqalənin gözlənilməz yerləşdirilməsi çoxlarını təəccübləndirəcək. Axı, məktəbdən bəri olduğu kimi: standart dərslik ilk növbədə törəmənin tərifini, onun həndəsi, mexaniki mənasını verir. Sonra tələbələr funksiyaların törəmələrini tərifinə görə tapırlar və əslində yalnız bundan sonra diferensiallaşdırma texnikasını mükəmməlləşdirirlər. törəmə cədvəllər.

Amma mənim nöqteyi-nəzərimdən aşağıdakı yanaşma daha praqmatikdir: ilk növbədə, YAXŞI DÜŞÜNMƏK məsləhətdir. funksiyanın limiti və xüsusilə, sonsuz kiçik miqdarlar. Fakt budur ki törəmənin tərifi limit anlayışına əsaslanır, bu məktəb kursunda zəif nəzərə alınır. Buna görə bilik qranitinin gənc istehlakçılarının əhəmiyyətli bir hissəsi törəmənin mahiyyətini başa düşmür. Beləliklə, əgər diferensial hesablama haqqında az anlayışınız varsa və ya müdrik beyin uzun illər ərzində bu yükdən uğurla qurtulubsa, lütfən, aşağıdakılardan başlayın: funksiya məhdudiyyətləri. Eyni zamanda, onların həllini master/xatırlayın.

Eyni praktik məna ilk növbədə onun faydalı olduğunu diktə edir törəmələri tapmağı öyrənin, o cümlədən mürəkkəb funksiyaların törəmələri. Nəzəriyyə nəzəriyyədir, amma necə deyərlər, həmişə fərqlənmək istəyirsən. Bu baxımdan, sadalanan əsas dərslər üzərində işləmək daha yaxşıdır və bəlkə də fərqləndirmə ustası hərəkətlərinin mahiyyətini belə dərk etmədən.

Məqaləni oxuduqdan sonra bu səhifədəki materiallardan başlamağı məsləhət görürəm. Törəmələrlə ən sadə problemlər, burada xüsusilə funksiyanın qrafikinə toxunan məsələyə baxılır. Amma gözləyə bilərsiniz. Fakt budur ki, törəmənin bir çox tətbiqi onu başa düşməyi tələb etmir və təəccüblü deyil ki, nəzəri dərs olduqca gec - izah etmək lazım olanda ortaya çıxdı. artan/azalan intervalların və ekstremalların tapılması funksiyaları. Üstəlik, o, uzun müddət bu mövzuda idi. Funksiyalar və qrafiklər”, nəhayət daha əvvəl qoymağa qərar verənə qədər.

Buna görə də, əziz çaydanlar, ac heyvanlar kimi törəmənin mahiyyətini udmağa tələsməyin, çünki doyma dadsız və natamam olacaq.

Funksiyanın artan, azalan, maksimum, minimumu anlayışı

Bir çox dərsliklərdə törəmə anlayışı bəzi praktiki məsələlərin köməyi ilə təqdim olunur və mən də maraqlı bir misal gətirmişəm. Təsəvvür edin ki, biz müxtəlif yollarla çata biləcəyimiz bir şəhərə səyahət etmək üzrəyik. Gəlin əyri dolama yolları dərhal ataq və yalnız düz magistralları nəzərdən keçirək. Bununla belə, düz xətt istiqamətləri də fərqlidir: şəhərə düz bir magistral yolu ilə gələ bilərsiniz. Və ya dağlıq bir magistral yol boyunca - yuxarı və aşağı, yuxarı və aşağı. Başqa bir yol yalnız yoxuşa çıxır, digəri isə hər zaman enişlə gedir. Ekstremal həvəskarlar sıldırım qayalıq və sıldırım dırmaşan dərədən keçən marşrut seçəcəklər.

Ancaq üstünlükləriniz nə olursa olsun, ərazini bilmək və ya heç olmasa onun topoqrafik xəritəsini əldə etmək məsləhətdir. Bəs belə bir məlumat yoxdursa? Axı, məsələn, hamar bir yol seçə bilərsiniz, lakin nəticədə şən Finlərlə xizək yamacında büdrəyin. Bir naviqatorun və ya hətta peyk şəklinin etibarlı məlumat verəcəyi bir həqiqət deyil. Ona görə də riyaziyyatdan istifadə edərək yolun relyefini rəsmiləşdirmək yaxşı olardı.

Bəzi yola baxaq (yan görünüş):

Hər halda, sizə elementar bir faktı xatırladıram: səyahət baş verir soldan sağa. Sadəlik üçün funksiyanın olduğunu güman edirik davamlı baxılan sahədə.

Bu qrafikin xüsusiyyətləri nələrdir?

Fasilələrlə funksiyası artır, yəni onun hər növbəti dəyəri daha çoxəvvəlki. Təxmini desək, qrafikə uyğundur aşağı yuxarı(təpəyə qalxırıq). Və intervalda funksiya azalır– hər növbəti dəyər azəvvəlki və cədvəlimiz davam edir yuxarıdan aşağı(biz yamacdan enirik).

Xüsusi məqamlara da diqqət yetirək. Gəldiyimiz nöqtədə maksimum, yəni mövcuddur dəyərin ən böyük (ən yüksək) olacağı yolun belə bir hissəsi. Eyni zamanda buna nail olunur minimum, Və mövcuddur onun dəyərinin ən kiçik (ən aşağı) olduğu qonşuluq.

Sinifdə daha sərt terminologiya və təriflərə baxacağıq. funksiyanın ekstremumu haqqında, lakin hələlik başqa bir vacib xüsusiyyəti öyrənək: fasilələrlə funksiya artır, amma artır müxtəlif sürətlərdə. Və diqqətinizi çəkən ilk şey, qrafikin interval ərzində yüksəlməsidir daha sərin, intervaldan daha çox. Riyazi alətlərdən istifadə edərək yolun dikliyini ölçmək mümkündürmü?

Funksiyaların dəyişmə sürəti

İdeya budur: gəlin bir az dəyər verək ("delta x" oxuyun), biz zəng edəcəyik arqument artımı, və gəlin yolumuzun müxtəlif nöqtələrində “sınamağa” başlayaq:

1) Ən sol nöqtəyə baxaq: məsafəni keçərək, yamacı yüksəkliyə (yaşıl xətt) qalxırıq. Kəmiyyət deyilir funksiya artımı, və bu halda bu artım müsbətdir (ox boyunca dəyərlər fərqi sıfırdan böyükdür). Yolumuzun sıldırımlığının ölçüsü olacaq nisbət yaradaq. Aydındır ki, bu çox spesifik rəqəmdir və hər iki artım müsbət olduğu üçün .

Diqqət! Təyinatlar var BİR simvolu, yəni "deltanı" "X" dən "qoparmaq" və bu hərfləri ayrıca nəzərdən keçirə bilməzsiniz. Təbii ki, şərh funksiya artım simvoluna da aiddir.

Gəlin yaranan kəsrin təbiətini daha mənalı araşdıraq. Əvvəlcə 20 metr hündürlükdə olaq (sol qara nöqtədə). Metr məsafəni qət etdikdən sonra (sol qırmızı xətt) özümüzü 60 metr yüksəklikdə tapacağıq. Sonra funksiyanın artımı olacaq metr (yaşıl xətt) və: . Beləliklə, hər metrdə yolun bu hissəsi hündürlüyü artır orta 4 metr...dırmanma avadanlıqlarınızı unutmusunuz? =) Başqa sözlə desək, qurulan əlaqə funksiyanın ORTA DƏYİŞMƏ SƏRƏMƏsini (bu halda artım) xarakterizə edir.

Qeyd : Sözügedən nümunənin ədədi dəyərləri yalnız rəsmin nisbətlərinə təxminən uyğun gəlir.

2) İndi ən sağdakı qara nöqtədən eyni məsafəyə gedək. Burada artım daha tədricən olur, buna görə artım (qırmızı xətt) nisbətən kiçikdir və əvvəlki vəziyyətlə müqayisədə nisbət çox təvazökar olacaqdır. Nisbətən desək, metr və funksiyanın böyümə sürəti edir . Yəni burada yolun hər metri üçün var orta yarım metr yüksəliş.

3) Dağ yamacında kiçik bir macəra. Ordinat oxunda yerləşən yuxarı qara nöqtəyə baxaq. Tutaq ki, bu, 50 metrlik işarədir. Biz yenidən məsafəni qət edirik, nəticədə özümüzü daha aşağı - 30 metr səviyyəsində tapırıq. Hərəkət həyata keçirildiyi üçün yuxarıdan aşağı(oxun "əks" istiqamətində), sonra final funksiyanın artımı (hündürlük) mənfi olacaq: metr (rəsmdə qəhvəyi seqment). Və bu halda biz artıq danışırıq azalma dərəcəsi Xüsusiyyətləri: , yəni bu hissənin yolunun hər metri üçün hündürlük azalır orta 2 metr. Beşinci nöqtədə paltarınıza diqqət yetirin.

İndi özümüzə sual verək: “ölçü standartının” hansı dəyərindən istifadə etmək daha yaxşıdır? Tamamilə başa düşüləndir, 10 metr çox kobuddur. Yaxşı bir çox hummocks onlara asanlıqla uyğunlaşa bilər. Çarpmalardan asılı olmayaraq, aşağıda dərin bir dərə ola bilər və bir neçə metrdən sonra daha dik yüksəlişlə onun digər tərəfi var. Beləliklə, on metrlik bir nisbətlə yolun bu cür hissələrinin başa düşülən təsvirini əldə etməyəcəyik.

Yuxarıdakı müzakirədən aşağıdakı nəticə çıxır: dəyər nə qədər aşağı olarsa, yolun topoqrafiyasını daha dəqiq təsvir edirik. Bundan əlavə, aşağıdakı faktlar doğrudur:

– Hər kəs üçün qaldırma nöqtələri müəyyən bir yüksəlişin hüdudlarına uyğun gələn dəyəri (çox kiçik olsa belə) seçə bilərsiniz. Bu o deməkdir ki, müvafiq hündürlük artımının müsbət olacağına zəmanət veriləcək və bərabərsizlik bu intervalların hər bir nöqtəsində funksiyanın artımını düzgün göstərəcəkdir.

- Eynilə, hər hansı üçün yamac nöqtəsi bu yamacda tamamilə uyğunlaşacaq bir dəyər var. Nəticə etibarilə, hündürlüyün müvafiq artımı açıq şəkildə mənfi olur və bərabərsizlik verilmiş intervalın hər bir nöqtəsində funksiyanın azalmasını düzgün göstərəcəkdir.

– Xüsusilə maraqlı bir hal, funksiyanın dəyişmə sürətinin sıfır olmasıdır: . Birincisi, sıfır hündürlük artımı () hamar bir yolun əlamətidir. İkincisi, nümunələri şəkildə gördüyünüz digər maraqlı vəziyyətlər də var. Təsəvvür edin ki, tale bizi qartalların uçduğu bir təpənin lap zirvəsinə və ya qurbağaların cırıldadığı dərənin dibinə gətirdi. Hər hansı bir istiqamətdə kiçik bir addım atsanız, hündürlüyün dəyişməsi əhəmiyyətsiz olacaq və funksiyanın dəyişmə sürətinin əslində sıfır olduğunu söyləyə bilərik. Nöqtələrdə müşahidə olunan mənzərə məhz budur.

Beləliklə, funksiyanın dəyişmə sürətini mükəmməl şəkildə xarakterizə etmək üçün heyrətamiz bir fürsət əldə etdik. Axı, riyazi analiz arqumentin artımını sıfıra yönəltməyə imkan verir: , yəni onu etmək. sonsuz kiçik.

Nəticədə başqa bir məntiqi sual yaranır: yol və onun qrafiki üçün tapmaq mümkündürmü? başqa funksiya, hansı bizə xəbər verərdi bütün düz hissələr, yoxuşlar, enişlər, zirvələr, dərələr, eləcə də yol boyu hər nöqtədə artım/azalma sürəti haqqında?

Törəmə nədir? Törəmənin tərifi.
Törəmə və diferensialın həndəsi mənası

Zəhmət olmasa diqqətlə oxuyun və çox tez deyil - material sadədir və hər kəs üçün əlçatandır! Bəzi yerlərdə bir şey çox aydın görünmürsə, hər zaman məqaləyə daha sonra qayıda bilərsiniz. Daha çox deyəcəyəm, bütün məqamları hərtərəfli başa düşmək üçün nəzəriyyəni bir neçə dəfə öyrənmək faydalıdır (məsləhət xüsusilə ali riyaziyyatın tədris prosesində mühüm rol oynadığı “texniki” tələbələr üçün aktualdır).

Təbii ki, bir nöqtədə törəmənin tərifində onu aşağıdakılarla əvəz edirik:

Nəyə gəldik? Və biz belə nəticəyə gəldik ki, qanuna uyğun olaraq funksiyası üçün uyğun olaraq qoyulur digər funksiya, adlanır törəmə funksiyası(və ya sadəcə törəmə).

Törəmə səciyyələndirir dəyişmə dərəcəsi funksiyaları Necə? İdeya məqalənin əvvəlindən qırmızı sap kimi axır. Bir məqamı nəzərdən keçirək tərif sahəsi funksiyaları Verilmiş nöqtədə funksiya diferensiallaşsın. Sonra:

1) Əgər , onda funksiya nöqtəsində artır. Və açıq-aydın var interval(hətta çox kiçik), funksiyanın böyüdüyü nöqtəni ehtiva edir və onun qrafiki "aşağıdan yuxarıya" gedir.

2) Əgər , onda funksiya nöqtəsində azalır. Və funksiyanın azaldığı bir nöqtəni ehtiva edən bir interval var (qrafik "yuxarıdan aşağıya" gedir).

3) Əgər , onda sonsuz yaxın bir nöqtəyə yaxın funksiya öz sürətini sabit saxlayır. Bu, qeyd edildiyi kimi, sabit bir funksiya ilə baş verir və funksiyanın kritik nöqtələrində, xüsusilə minimum və maksimum nöqtələrdə.

Bir az semantika. “Fərqlənmək” feli geniş mənada nə deməkdir? Fərqləndirmək bir xüsusiyyəti vurğulamaq deməkdir. Funksiyanı diferensiallaşdırmaqla biz onun dəyişmə sürətini funksiyanın törəməsi şəklində “təcrid edirik”. Yeri gəlmişkən, “törəmə” sözü ilə nə nəzərdə tutulur? Funksiya baş verdi funksiyasından.

Terminlər törəmənin mexaniki mənası ilə çox uğurla şərh olunur :
Zamandan asılı olaraq cismin koordinatlarının dəyişmə qanununu və verilmiş cismin hərəkət sürətinin funksiyasını nəzərdən keçirək. Funksiya bədən koordinatlarının dəyişmə sürətini xarakterizə edir, ona görə də funksiyanın zamana görə birinci törəməsidir: . Təbiətdə “bədən hərəkəti” anlayışı olmasaydı, olmazdı törəmə"bədən sürəti" anlayışı.

Bədənin sürətlənməsi sürətin dəyişmə sürətidir, buna görə də: . Əgər “bədənin hərəkəti” və “bədən sürəti” ilkin anlayışları təbiətdə olmasaydı, o zaman mövcud olmazdı törəmə"bədən sürətlənməsi" anlayışı.

Törəmə və onun hesablanması üsullarını bilmədən riyaziyyatda fiziki məsələlərin və ya nümunələrin həlli tamamilə mümkün deyil. Törəmə riyazi analizdə ən vacib anlayışlardan biridir. Bugünkü məqaləmizi bu əsas mövzuya həsr etmək qərarına gəldik. Törəmə nədir, onun fiziki və həndəsi mənası nədir, funksiyanın törəməsi necə hesablanır? Bütün bu suallar bir yerdə birləşdirilə bilər: törəməni necə başa düşmək olar?

Törəmənin həndəsi və fiziki mənası

Qoy bir funksiya olsun f(x) , müəyyən intervalla müəyyən edilir (a, b) . x və x0 nöqtələri bu intervala aiddir. X dəyişdikdə, funksiyanın özü də dəyişir. Arqumentin dəyişdirilməsi - onun dəyərlərindəki fərq x-x0 . Bu fərq kimi yazılır delta x və arqument artımı adlanır. Bir funksiyanın dəyişməsi və ya artması bir funksiyanın iki nöqtədəki dəyərləri arasındakı fərqdir. Törəmə tərifi:

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir.

Əks halda belə yazıla bilər:

Belə bir hədd tapmağın nə mənası var? Və budur:

nöqtədə funksiyanın törəməsi OX oxu arasındakı bucağın tangensi ilə verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə olan tangensə bərabərdir.

Törəmənin fiziki mənası: yolun zamana görə törəməsi düzxətli hərəkətin sürətinə bərabərdir.

Həqiqətən, məktəb günlərindən hər kəs sürətin xüsusi bir yol olduğunu bilir x=f(t) və vaxt t . Müəyyən bir müddət ərzində orta sürət:

Bir anda hərəkət sürətini tapmaq üçün t0 limiti hesablamaq lazımdır:

Birinci qayda: sabiti təyin edin

Sabit törəmə işarədən çıxarıla bilər. Üstəlik, bu edilməlidir. Riyaziyyatda nümunələri həll edərkən, bir qayda olaraq götürün - Əgər ifadəni sadələşdirə bilirsinizsə, onu sadələşdirməyə əmin olun .

Misal. Törəməni hesablayaq:

İkinci qayda: funksiyaların cəminin törəməsi

İki funksiyanın cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə bərabərdir. Eyni şey funksiyalar fərqinin törəməsi üçün də keçərlidir.

Biz bu teoremin isbatını verməyəcəyik, əksinə praktiki bir nümunəyə baxacağıq.

Funksiyanın törəməsini tapın:

Üçüncü qayda: funksiyaların hasilinin törəməsi

İki diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi düsturla hesablanır:

Nümunə: funksiyanın törəməsini tapın:

Həll:

Burada mürəkkəb funksiyaların törəmələrinin hesablanmasından danışmaq vacibdir. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın aralıq arqumentə görə törəməsinin və müstəqil dəyişənə görə aralıq arqumentin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Yuxarıdakı misalda ifadə ilə rastlaşırıq:

Bu halda, ara arqument beşinci gücə 8x-dir. Belə bir ifadənin törəməsini hesablamaq üçün əvvəlcə aralıq arqumentə görə xarici funksiyanın törəməsini hesablayırıq, sonra isə müstəqil dəyişənə nisbətən ara arqumentin özünün törəməsi ilə vururuq.

Dördüncü qayda: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi

İki funksiyanın bölünməsinin törəməsini təyin etmək üçün düstur:

Biz sıfırdan dummies üçün törəmələr haqqında danışmağa çalışdıq. Bu mövzu göründüyü qədər sadə deyil, ona görə də xəbərdar olun: misallarda tez-tez tələlər olur, ona görə də törəmələri hesablayarkən diqqətli olun.

Bu və digər mövzularla bağlı hər hansı sualınız varsa, tələbə xidmətinə müraciət edə bilərsiniz. Qısa müddətdə, əvvəllər heç vaxt törəmə hesablamalar etməmisinizsə belə, ən çətin testi həll etməyə və tapşırıqları başa düşməyə kömək edəcəyik.

Koordinat müstəvisində xOy funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirin y=f(x). Gəlin nöqtəni düzəldək M(x 0 ; f (x 0)). Bir absis əlavə edək x 0 artım Δх. Yeni bir absis alacağıq x 0 +Δx. Bu nöqtənin absisidir N, və ordinat bərabər olacaq f (x 0 +Δx). Absisdəki dəyişiklik ordinatın dəyişməsinə səbəb oldu. Bu dəyişiklik funksiya artımı adlanır və işarələnir Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Nöqtələr vasitəsilə M Və N sekant çəkək MN, bucaq əmələ gətirir φ müsbət ox istiqaməti ilə Oh. Bucağın tangensini təyin edək φ düz üçbucaqdan MPN.

Qoy Δх sıfıra meyl edir. Sonra sekant MN tangens mövqe tutmağa meylli olacaq MT, və bucaq φ bucaq halına gələcək α . Beləliklə, bucağın tangensi α bucağın tangensinin məhdudlaşdırıcı qiymətidir φ :

Bir funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın törəməsi adlanır:

Törəmənin həndəsi mənası Verilmiş nöqtədə funksiyanın ədədi törəməsinin bu nöqtədən keçən əyriyə və oxun müsbət istiqamətinə çəkdiyi tangensin yaratdığı bucağın tangensinə bərabər olmasıdır. Oh:

Nümunələr.

1. Arqumentin artımını və y= funksiyasının artımını tapın x 2, arqumentin ilkin dəyəri bərabər idisə 4 və yeni - 4,01 .

Həll.

Yeni arqument dəyəri x=x 0 +Δx. Verilənləri əvəz edək: 4.01=4+Δх, deməli, arqumentin artımı Δх=4,01-4=0,01. Bir funksiyanın artımı, tərifinə görə, funksiyanın yeni və əvvəlki dəyərləri arasındakı fərqə bərabərdir, yəni. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Çünki bizim funksiyamız var y=x2, Bu Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Cavab: arqument artımı Δх=0,01; funksiya artımı Δу=0,0801.

Funksiya artımı fərqli şəkildə tapıla bilər: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Funksiyanın qrafikinə toxunanın meyl bucağını tapın y=f(x) nöqtədə x 0, Əgər f "(x 0) = 1.

Həll.

Törəmənin toxunma nöqtəsindəki dəyəri x 0 və tangens bucağın tangensinin qiymətidir (törəmənin həndəsi mənası). Bizdə: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,çünki tg45°=1.

Cavab: bu funksiyanın qrafikinə toxunan Ox oxunun müsbət istiqamətinə bərabər olan bucaq əmələ gətirir 45°.

3. Funksiyanın törəməsinin düsturunu çıxarın y=x n.

Fərqləndirmə funksiyanın törəməsinin tapılması hərəkətidir.

Törəmələri taparkən, törəmə dərəcəsinin düsturunu əldə etdiyimiz kimi, törəmənin tərifinə əsasən əldə edilmiş düsturlardan istifadə edin: (x n)" = nx n-1.

Bunlar düsturlardır.

Törəmələr cədvəliŞifahi ifadələri tələffüz etməklə yadda saxlamaq daha asan olacaq:

1. Sabit kəmiyyətin törəməsi sıfırdır.

2. X əsas birinə bərabərdir.

3. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar.

4. Dərəcənin törəməsi bu dərəcənin göstəricisinin eyni əsaslı dərəcə hasilinə bərabərdir, lakin göstərici bir azdır.

5. Kökün törəməsi iki bərabər kökə bölünən birinə bərabərdir.

6. Birin x-ə bölünməsinin törəməsi mənfi birə bölünən x kvadratına bərabərdir.

7. Sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir.

8. Kosinusun törəməsi mənfi sinusa bərabərdir.

9. Tangensin törəməsi kosinusun kvadratına bölünən birinə bərabərdir.

10. Kotangensin törəməsi sinusun kvadratına bölünən mənfi birinə bərabərdir.

Biz öyrədirik fərqləndirmə qaydaları.

1. Cəbri cəminin törəməsi terminlərin törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

2. Məhsulun törəməsi birinci amilin törəməsinin hasilinə və ikincinin üstəgəl birinci amilin və ikincinin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

3. “Y”-nin “ve” ilə bölünməsi törəməsi, payın “y sadə çarpımı “ve” ilə minus “y”nin və sadə ilə vurulduğu” kəsrə bərabərdir və məxrəc “ve kvadratı”dır.

4. Formulun xüsusi halı 3.

Gəlin birlikdə öyrənək!

Səhifə 1/1 1

Bir nisbət yaradın və limiti hesablayın.

Haradan gəldi? törəmələr cədvəli və fərqləndirmə qaydaları? Yeganə limit sayəsində. Bu sehrli kimi görünür, amma əslində bu, əl cəldliyidir və saxtakarlıq yoxdur. Dərsdə Törəmə nədir? Tərifdən istifadə edərək xətti və kvadrat funksiyanın törəmələrini tapdığım konkret nümunələrə baxmağa başladım. Bilişsel istiləşmə məqsədi ilə biz narahat etməyə davam edəcəyik törəmələr cədvəli, alqoritmi və texniki həlləri dəqiqləşdirmək:

Misal 1

Əsasən, adətən cədvəldə görünən güc funksiyasının törəməsinin xüsusi halını sübut etməlisiniz: .

Həll texniki cəhətdən iki şəkildə rəsmiləşdirilir. Birinci, artıq tanış olan yanaşma ilə başlayaq: nərdivan taxtadan başlayır, törəmə funksiyası isə bir nöqtədə törəmə ilə başlayır.

Gəlin nəzərdən keçirək bəziləri aid olan (xüsusi) nöqtə tərif sahəsi törəmənin olduğu funksiya. Bu nöqtədə artımı təyin edək (əlbəttə ki, əhatə dairəsi daxilindəo/o -I) və funksiyanın müvafiq artımını tərtib edin:

Limiti hesablayaq:

0:0 qeyri-müəyyənliyi eramızdan əvvəl I əsrdə nəzərdən keçirilən standart texnika ilə aradan qaldırılır. Sayım və məxrəci birləşdirici ifadəyə vurun :

Belə bir limitin həlli texnikası giriş dərsində ətraflı müzakirə olunur. funksiyaların hədləri haqqında.

Keyfiyyət olaraq intervalın İSTƏNİLƏN nöqtəsini seçə bildiyiniz üçün, dəyişdirmə etdikdən sonra əldə edirik:

Cavab verin

Bir daha loqarifmlərə sevinək:

Misal 2

Törəmə tərifindən istifadə edərək funksiyanın törəməsini tapın

Həll: Eyni tapşırığı təşviq etmək üçün fərqli bir yanaşma nəzərdən keçirək. Tamamilə eynidir, lakin dizayn baxımından daha rasionaldır. İdeya, həllin əvvəlindəki alt işarədən xilas olmaq və hərf yerinə hərfdən istifadə etməkdir.

Gəlin nəzərdən keçirək ixtiyari aid nöqtə tərif sahəsi funksiyası (interval) və onun içindəki artımı təyin edin. Lakin, yeri gəlmişkən, burada, əksər hallarda olduğu kimi, heç bir qeyd-şərtsiz edə bilərsiniz, çünki loqarifmik funksiya tərif sahəsində istənilən nöqtədə diferensiallana bilər.

Onda funksiyanın müvafiq artımı:

Törəməni tapaq:

Dizaynın sadəliyi yeni başlayanlar üçün yarana biləcək çaşqınlıqla balanslaşdırılır (yalnız deyil). Axı biz “X” hərfinin limitdə dəyişməsinə öyrəşmişik! Ancaq burada hər şey fərqlidir: - antik heykəl və - muzeyin dəhlizi ilə sürətlə gedən canlı bir qonaq. Yəni “x” “sabit kimi”dir.

Qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılmasını addım-addım şərh edəcəyəm:

(1) Loqarifmin xassəsindən istifadə edirik .

(2) Mötərizədə payı məxrəc termininə bölün.

(3) Məxrəcdə biz süni şəkildə "x"-ə çoxalırıq və bölürük diqqətəlayiq həddi , kimi isə sonsuz kiçikönə çıxır.

Cavab verin: törəmənin tərifinə görə:

Və ya qısaca:

Daha iki cədvəl formulunu özünüz qurmağı təklif edirəm:

Misal 3

Bu halda, tərtib edilmiş artımı dərhal ümumi məxrəcə endirmək rahatdır. Dərsin sonunda tapşırığın təxmini nümunəsi (birinci üsul).

Misal 3:Həll : bəzi məqamlara fikir verin , funksiyanın təyini sahəsinə aiddir . Bu nöqtədə artımı təyin edək və funksiyanın müvafiq artımını tərtib edin:

Nöqtədəki törəməni tapaq :

Çünki a istənilən nöqtəni seçə bilərsiniz funksiya sahəsi , Bu Və
Cavab verin : törəmənin tərifinə görə

Misal 4

Tərifinə görə törəmə tapın

Və burada hər şeyi azaltmaq lazımdır gözəl hədd. Həll ikinci üsulla rəsmiləşdirilir.

Bir sıra digərləri cədvəl törəmələri. Tam siyahı məktəb dərsliyində və ya məsələn, Fichtenholtzun 1-ci cildində tapıla bilər. Fərqləndirmə qaydalarının sübutlarını kitablardan köçürməkdə çox məqsəd görmürəm - onlar da düsturla yaradılır.

Misal 4:Həll , aid , və içindəki artımı təyin edin

Törəməni tapaq:

Gözəl limitdən istifadə

Cavab verin : a-prior

Misal 5

Funksiyanın törəməsini tapın , törəmənin tərifindən istifadə etməklə

Həll: ilk dizayn üslubundan istifadə edirik. -a aid olan bəzi nöqtəni nəzərdən keçirək və oradakı arqumentin artımını göstərək. Onda funksiyanın müvafiq artımı:

Ola bilsin ki, bəzi oxucular artımların hansı prinsip əsasında aparılmalı olduğunu hələ tam başa düşməyiblər. Bir nöqtə (rəqəm) götürün və içindəki funksiyanın qiymətini tapın: , yəni funksiyaya daxil olur əvəzinə"X" hərfi ilə əvəz olunmalıdır. İndi biz də çox xüsusi bir nömrə götürürük və onu funksiyaya əvəz edirik əvəzinə"iksa": . Fərqi yazırıq və bu lazımdır tamamilə mötərizələrə qoyun.

Tərtib edilmiş funksiya artımı Dərhal sadələşdirmək faydalı ola bilər. Nə üçün? Həllini daha bir həddə qədər asanlaşdırın və qısaldın.

Düsturlardan istifadə edirik, mötərizələri açır və azaldıla bilən hər şeyi azaldır:

Hinduşkanın bağırsaqları soyulub, qovurmada problem yoxdur:

Nəhayət:

Dəyər olaraq istənilən həqiqi ədədi seçə bildiyimiz üçün əvəzi həyata keçiririk və alırıq .

Cavab verin: a-prior.

Doğrulama məqsədləri üçün istifadə edərək törəməni tapaq fərqləndirmə qaydaları və cədvəlləri:

Düzgün cavabı əvvəlcədən bilmək həmişə faydalı və xoşdur, buna görə də həllin əvvəlində təklif olunan funksiyanı ya zehni olaraq, ya da qaralama şəklində “sürətli” şəkildə fərqləndirmək daha yaxşıdır.

Misal 6

Törəmə tərifi ilə funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Nəticə göz qabağındadır:

Misal 6:Həll : bəzi məqamlara fikir verin , aid , və içindəki arqumentin artımını təyin edin . Onda funksiyanın müvafiq artımı:

Törəməni hesablayaq:

Beləliklə:
Çünki kimi sonra istənilən real rəqəmi seçə bilərsiniz Və
Cavab verin : a-prior.

№2 üsluba qayıdaq:

Misal 7

Nə baş verməli olduğunu dərhal öyrənək. By mürəkkəb funksiyaların diferensiasiya qaydası:

Həll: -ə aid olan ixtiyari nöqtəni nəzərdən keçirin, ona arqumentin artımını təyin edin və funksiyanın artımını tərtib edin:

Törəməni tapaq:

(1) İstifadə edin triqonometrik düstur .

(2) Sinusun altında mötərizələri açırıq, kosinusun altında oxşar terminləri təqdim edirik.

(3) Sinusun altında hədləri azaldır, kosinusun altında payı məxrəcə görə terminə bölürük.

(4) Sinusun qəribəliyinə görə "mənfi" çıxarırıq. Kosinusun altında termini ifadə edirik.

(5) İstifadə etmək üçün məxrəcdə süni vurma aparırıq ilk gözəl hədd. Beləliklə, qeyri-müəyyənlik aradan qaldırılır, gəlin nəticəni səliqəyə salaq.

Cavab verin: a-prior

Gördüyünüz kimi, nəzərdən keçirilən problemin əsas çətinliyi limitin özünün mürəkkəbliyindən + qablaşdırmanın bir qədər unikallığından asılıdır. Praktikada hər iki dizayn üsulu baş verir, ona görə də hər iki yanaşmanı mümkün qədər ətraflı təsvir edirəm. Onlar ekvivalentdirlər, amma yenə də mənim subyektiv təəssüratlarıma görə, dummies üçün “X-sıfır” ilə 1-ci seçimdən yapışmaq daha məqsədəuyğundur.

Misal 8

Tərifdən istifadə edərək funksiyanın törəməsini tapın

Misal 8:Həll : ixtiyari bir nöqtəni nəzərdən keçirin , aid , onda artımı təyin edək və funksiyanın artımını tərtib edin:

Törəməni tapaq:

Triqonometrik düsturdan istifadə edirik və ilk diqqətəlayiq hədd:

Cavab verin : a-prior

Problemin daha nadir bir versiyasına baxaq:

Misal 9

Törəmə tərifindən istifadə edərək nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Birincisi, nəticə nə olmalıdır? Nömrə

Cavabı standart şəkildə hesablayaq:

Həll: aydınlıq nöqteyi-nəzərindən bu tapşırıq daha sadədir, çünki düstur əvəzinə konkret dəyəri nəzərə alır.

Nöqtədə artımı təyin edək və funksiyanın müvafiq artımını tərtib edək:

Nöqtədə törəməni hesablayaq:

Çox nadir tangens fərq düsturundan istifadə edirik və bir daha həllini azaldır ilk gözəl hədd:

Cavab verin: bir nöqtədə törəmənin tərifinə görə.

Problemi "ümumiyyətlə" həll etmək o qədər də çətin deyil - dizayn metodundan asılı olaraq və ya sadəcə olaraq dəyişdirmək kifayətdir. Bu halda nəticənin ədəd deyil, törəmə funksiya olacağı aydındır.

Misal 10

Tərifdən istifadə edərək funksiyanın törəməsini tapın bir nöqtədə (onlardan biri sonsuz ola bilər), mən artıq ümumi şəkildə təsvir etdim törəmə haqqında nəzəri dərs.

Bəzi hissə-hissə təyin edilmiş funksiyalar da qrafikin “qovşaq” nöqtələrində fərqlənə bilər, məsələn, catdog nöqtəsində ümumi törəmə və ümumi tangensi (x oxu) var. Əyri, lakin ilə fərqləndirilə bilər! Maraqlananlar indicə həll olunmuş nümunədən istifadə edərək bunu özləri yoxlaya bilərlər.

©2015-2019 saytı
Bütün hüquqlar onların müəlliflərinə məxsusdur. Bu sayt müəllifliyi iddia etmir, lakin pulsuz istifadəni təmin edir.
Səhifənin yaranma tarixi: 2017-06-11

Bir dəyişənli funksiyanın törəməsi.

Giriş.

Bu metodiki inkişaflar Sənaye və İnşaat Mühəndisliyi fakültəsinin tələbələri üçün nəzərdə tutulub. Onlar riyaziyyat kursunun proqramına uyğun olaraq “Bir dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı” bölməsində tərtib edilmişdir.

Təkliflər vahid metodoloji təlimatı təmsil edir, o cümlədən: qısa nəzəri məlumat; “standart” problemlər və bu həllərin ətraflı həlli və izahları ilə məşqlər; test variantları.

Hər bəndin sonunda əlavə məşqlər var. İnkişafların bu strukturu onları müəllimin minimal köməyi ilə bölmənin müstəqil mənimsənilməsi üçün əlverişli edir.

§1. Törəmənin tərifi.

Mexanik və həndəsi məna

törəmə.

Törəmə anlayışı riyazi analizin ən mühüm anlayışlarından biridir.O, hələ 17-ci əsrdə yaranmışdır. Törəmə anlayışının formalaşması tarixən iki problemlə əlaqələndirilir: dəyişən hərəkətin sürəti problemi və əyriyə toxunan problem.

Bu məsələlər müxtəlif məzmunlu olmasına baxmayaraq, funksiya üzərində yerinə yetirilməli olan eyni riyazi əməliyyata gətirib çıxarır.Bu əməliyyat riyaziyyatda xüsusi ad almışdır. Buna funksiyanın diferensiallaşdırılması əməliyyatı deyilir. Fərqləndirmə əməliyyatının nəticəsi törəmə adlanır.

Deməli, y=f(x) funksiyasının x0 nöqtəsində törəməsi funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi (əgər varsa)dır.
saat
.

Törəmə adətən aşağıdakı kimi işarələnir:
.

Beləliklə, tərifə görə

Simvollar törəmələri ifadə etmək üçün də istifadə olunur
.

Törəmənin mexaniki mənası.

Əgər s=s(t) maddi nöqtənin düzxətti hərəkəti qanunudursa, onda
bu nöqtənin t zamanındakı sürətidir.

Törəmənin həndəsi mənası.

y=f(x) funksiyasının nöqtəsində törəməsi varsa , onda nöqtədəki funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq əmsalı
bərabərdir
.

Misal.

Funksiyanın törəməsini tapın
nöqtədə =2:

1) Gəlin bir nöqtə verək =2 artım
. Diqqət edin.

2) nöqtədə funksiyanın artımını tapın =2:

3) Funksiya artımının arqumentin artımına nisbətini yaradaq:

nisbətinin limitini tapaq
:

Beləliklə,
.

§ 2. Bəzilərinin törəmələri

ən sadə funksiyalar.

Tələbə xüsusi funksiyaların törəmələrinin hesablanmasını öyrənməlidir: y=x,y= və ümumiyyətlə = .

y=x funksiyasının törəməsini tapaq.

olanlar. (x)′=1.

Funksiyanın törəməsini tapaq

törəmə

Qoy
Sonra

Güc funksiyasının törəmələri üçün ifadələrdə nümunəni görmək asandır
n=1,2,3 ilə.

Beləliklə,

. (1)

Bu düstur istənilən real n üçün etibarlıdır.

Xüsusilə, (1) düsturundan istifadə edərək, biz:

;

Misal.

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiya formanın funksiyasının xüsusi halıdır

saat
.

(1) düsturundan istifadə edərək əldə edirik

y=sin x və y=cos x funksiyalarının törəmələri.

y=sinx olsun.

∆x-ə bölün, alırıq

∆x→0-da limitə keçməklə, bizdə var

y=cosx olsun.

∆x→0 həddinə keçərək, əldə edirik

;
. (2)

§3. Fərqləndirmənin əsas qaydaları.

Diferensiallaşdırma qaydalarını nəzərdən keçirək.

Teorem1 . Əgər u=u(x) və v=v(x) funksiyaları verilmiş x nöqtəsində diferensiallanarsa, bu nöqtədə onların cəmi diferensiallana bilir və cəminin törəməsi isə şərtlərin törəmələrinin cəminə bərabərdir. : (u+v)"=u"+v".(3 )

Sübut: y=f(x)=u(x)+v(x) funksiyasını nəzərdən keçirək.

x arqumentinin ∆x artımı u və v funksiyalarının ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) artımlarına uyğun gəlir. Sonra y funksiyası artacaq

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Beləliklə,

Beləliklə, (u+v)"=u"+v".

Teorem2. Əgər u=u(x) və v=v(x) funksiyaları verilmiş x nöqtəsində diferensiallanırsa, onda onların hasili eyni nöqtədə diferensiallanır.Bu halda hasilin törəməsi aşağıdakı düsturla tapılır: ( uv)"=u"v+uv". (4)

Sübut: Qoy y=uv, burada u və v x-in bəzi diferensiallanan funksiyalarıdır. x-ə ∆x artımı verək; onda u ∆u artımını, v ∆v artımını, y isə ∆y artımını alacaq.

Bizdə y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), və ya var

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Deməli, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Buradan

∆x→0-da limitə keçsək və u və v-nin ∆x-dən asılı olmadığını nəzərə alsaq, əldə edəcəyik.

Teorem 3. İki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir, onun məxrəci bölənin kvadratına bərabərdir, pay isə dividend və bölənin törəməsinin hasilinin fərqidir. dividend və bölənin törəməsi, yəni.

Əgər
Bu
(5)