Hvad er vinklen mellem vektorerne. Punktprodukt af vektorer

Vinkel mellem to vektorer:

Hvis vinklen mellem to vektorer er spids, så er deres prikprodukt positivt; hvis vinklen mellem vektorerne er stump, så er skalarproduktet af disse vektorer negativt. Det skalære produkt af to ikke-nul vektorer er nul, hvis og kun hvis disse vektorer er ortogonale.

Dyrke motion. Find vinklen mellem vektorer og

Løsning. Cosinus af den ønskede vinkel

16. Beregning af vinklen mellem rette linjer, en ret linje og en plan

Vinkel mellem linje og plan skærende denne linje og ikke vinkelret på den er vinklen mellem linjen og dens projektion på dette plan.

Ved at bestemme vinklen mellem en linje og et plan kan vi konkludere, at vinklen mellem en linje og et plan er vinklen mellem to skærende linjer: selve linjen og dens projektion på planet. Derfor er vinklen mellem en linje og et plan en spids vinkel.

Vinklen mellem en vinkelret linje og et plan anses for at være lig, og vinklen mellem en parallel linje og et plan er enten slet ikke bestemt eller anses for at være lig med .

§ 69. Beregning af vinklen mellem rette linjer.

Problemet med at beregne vinklen mellem to rette linjer i rummet løses på samme måde som i planet (§ 32). Betegn med φ vinklen mellem linjerne l 1 og l 2 , og gennem ψ - vinklen mellem retningsvektorerne -en og b disse lige linjer.

Så hvis

ψ 90° (fig. 206.6), så φ = 180° - ψ. Det er indlysende, at i begge tilfælde er ligheden cos φ = |cos ψ| sand. Ved formel (1) § 20 har vi

Følgelig,

Lad linjerne være givet ved deres kanoniske ligninger

Derefter bestemmes vinklen φ mellem linjerne ved hjælp af formlen

Hvis en af linjerne (eller begge) er givet ved ikke-kanoniske ligninger, skal du for at beregne vinklen finde koordinaterne for retningsvektorerne for disse linjer og derefter bruge formel (1).

17. Parallelle linjer, Sætning om parallelle linjer

Definition. To linjer i et plan kaldes parallel hvis de ikke har fælles punkter.

To linjer i tre dimensioner kaldes parallel hvis de ligger i samme plan og ikke har fælles punkter.

Vinkel mellem to vektorer.

Fra definitionen af prikproduktet:

Betingelse for ortogonalitet af to vektorer:

Kolinearitetsbetingelse for to vektorer:

Følger af definition 5 - . Faktisk følger det fra definitionen af produktet af en vektor med et tal. Derfor skriver vi ud fra vektorlighedsreglen , , , hvilket indebærer . Men den vektor, der er resultatet af multiplikationen af en vektor med et tal, er kollineær med vektoren.

Vektor-til-vektor projektion:

Eksempel 4. Givet point , , , .

Find det skalære produkt.

Løsning. finder vi ved formlen for skalarproduktet af vektorer givet ved deres koordinater. Fordi

, ,

Eksempel 5 Givet point , , , .

Find projektion.

Løsning. Fordi

, ,

Baseret på fremskrivningsformlen har vi

Eksempel 6 Givet point , , , .

Find vinklen mellem vektorerne og .

Løsning. Bemærk, at vektorerne

, ,

er ikke kollineære, da deres koordinater ikke er proportionale:

Disse vektorer er heller ikke vinkelrette, da deres prikprodukt er .

Lad os finde,

Hjørne find ud fra formlen:

Eksempel 7 Bestem for hvilke vektorer og collineær.

Løsning. I tilfælde af kollinearitet, de tilsvarende koordinater for vektorerne og skal være proportional, dvs.

Herfra og .

Eksempel 8. Bestem hvilken værdi af vektoren og er vinkelrette.

Løsning. Vektor og er vinkelrette, hvis deres prikprodukt er nul. Fra denne tilstand får vi:. Det er, .

Eksempel 9. Finde , hvis , , .

Løsning. På grund af egenskaberne ved det skalære produkt har vi:

Eksempel 10. Find vinklen mellem vektorerne og , hvor og - enhedsvektorer og vinklen mellem vektorerne og er lig med 120o.

Løsning. Vi har: , ,

Endelig har vi: .

5 B. vektor produkt.

Definition 21.vektor kunst vektor til vektor kaldes vektor , eller , defineret af følgende tre betingelser:

1) Vektorens modul er , hvor er vinklen mellem vektorerne og , dvs. .

Det følger, at modulet af et krydsprodukt er numerisk lig med arealet af et parallelogram bygget på vektorer og som på sider.

2) Vektoren er vinkelret på hver af vektorerne og ( ; ), dvs. vinkelret på planet af parallelogrammet bygget på vektorerne og .

3) Vektoren er rettet på en sådan måde, at hvis den ses fra dens ende, så ville den korteste drejning fra vektor til vektor være mod uret (vektorer , , danner en ret tripel).

Hvordan beregner man vinkler mellem vektorer?

Når man studerer geometri, opstår der mange spørgsmål om emnet vektorer. Eleven oplever særlige vanskeligheder, når det er nødvendigt at finde vinklerne mellem vektorerne.

Grundlæggende vilkår

Før man overvejer vinklerne mellem vektorer, er det nødvendigt at sætte sig ind i definitionen af en vektor og begrebet en vinkel mellem vektorer.

En vektor er et segment, der har en retning, det vil sige et segment, for hvilket dets begyndelse og slutning er defineret.

Vinklen mellem to vektorer på et plan, der har en fælles oprindelse, er den mindste af vinklerne, hvormed det er nødvendigt at flytte en af vektorerne rundt om et fælles punkt, til en position, hvor deres retninger falder sammen.

Løsningsformel

Når du forstår, hvad en vektor er, og hvordan dens vinkel bestemmes, kan du beregne vinklen mellem vektorer. Løsningsformlen for dette er ret enkel, og resultatet af dens anvendelse vil være værdien af vinklens cosinus. Per definition er det lig med kvotienten af skalarproduktet af vektorer og produktet af deres længder.

Det skalære produkt af vektorer betragtes som summen af de tilsvarende koordinater af multiplikatorvektorer ganget med hinanden. Længden af en vektor, eller dens modul, beregnes som kvadratroden af summen af kvadraterne af dens koordinater.

Efter at have modtaget værdien af vinklens cosinus, kan du beregne værdien af selve vinklen ved hjælp af en lommeregner eller ved hjælp af en trigonometrisk tabel.

Eksempel

Når du har fundet ud af, hvordan man beregner vinklen mellem vektorer, bliver løsningen på det tilsvarende problem enkel og ligetil. Som et eksempel kan du overveje det simple problem med at finde størrelsen af en vinkel.

Først og fremmest vil det være mere bekvemt at beregne værdierne af længderne af vektorerne og deres skalære produkt, der er nødvendigt for at løse dem. Ved at bruge beskrivelsen ovenfor får vi:

Ved at erstatte de opnåede værdier i formlen beregner vi værdien af cosinus af den ønskede vinkel:

Dette tal er ikke en af de fem almindelige cosinusværdier, så for at få værdien af vinklen skal du bruge en lommeregner eller Bradis trigonometriske tabel. Men før man får vinklen mellem vektorerne, kan formlen forenkles for at slippe af med det ekstra negative tegn:

Det endelige svar kan efterlades i denne form for at bevare nøjagtigheden, eller du kan beregne værdien af vinklen i grader. Ifølge Bradis-tabellen vil dens værdi være cirka 116 grader og 70 minutter, og lommeregneren vil vise en værdi på 116,57 grader.

Vinkelberegning i n-dimensionelt rum

Når man betragter to vektorer i tredimensionelt rum, er det meget sværere at forstå, hvilken vinkel vi taler om, hvis de ikke ligger i samme plan. For at forenkle opfattelsen kan du tegne to krydsende segmenter, der danner den mindste vinkel mellem dem, og det vil være den ønskede. På trods af tilstedeværelsen af en tredje koordinat i vektoren, vil processen med, hvordan vinklerne mellem vektorer beregnes, ikke ændre sig. Beregn skalarproduktet og modulerne af vektorer, arccosinus for deres kvotient og vil være svaret på dette problem.

Inden for geometri opstår der ofte problemer med rum, der har mere end tre dimensioner. Men for dem ligner algoritmen til at finde svaret.

Forskellen mellem 0 og 180 grader

En af de almindelige fejl, når man skriver et svar på et problem designet til at beregne vinklen mellem vektorer, er beslutningen om at skrive, at vektorerne er parallelle, det vil sige, at den ønskede vinkel viste sig at være 0 eller 180 grader. Dette svar er forkert.

Efter at have modtaget en vinkelværdi på 0 grader som et resultat af løsningen, ville det rigtige svar være at udpege vektorerne som co-directional, det vil sige, at vektorerne vil have samme retning. I tilfælde af opnåelse af 180 grader vil vektorerne have karakter af modsatte retninger.

Specifikke vektorer

Ved at finde vinklerne mellem vektorerne kan en af specialtyperne findes, udover de co-dirigerede og modsat rettede beskrevet ovenfor.

Flere vektorer parallelt med et plan kaldes coplanar.
Vektorer, der er ens i længde og retning, kaldes ens.
Vektorer, der ligger på den samme lige linje, uanset retning, kaldes collineære.
Hvis længden af vektoren er nul, det vil sige, at dens begyndelse og slutning falder sammen, så kaldes den nul, og hvis den er én, så kaldes den én.

Hvordan finder man vinklen mellem vektorer?

hjælp mig! Jeg kender formlen, men jeg kan ikke finde ud af den
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Vinklen mellem vektorerne givet ved deres koordinater findes i henhold til standardalgoritmen. Først skal du finde skalarproduktet af vektorerne a og b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Vi erstatter her koordinaterne for disse vektorer og overvejer:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Dernæst bestemmer vi længderne af hver af vektorerne. Længden eller modulet af en vektor er kvadratroden af summen af kvadraterne af dens koordinater:
|a| = roden af (x1^2 + y1^2 + z1^2) = roden af (8^2 + 10^2 + 4^2) = roden af (64 + 100 + 16) = roden af 180 = 6 rødder af 5
|b| = kvadratroden af (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratroden af (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratroden af (25 + 400 + 100 ) = kvadratrod ud af 525 = 5 rødder ud af 21.
Vi multiplicerer disse længder. Vi får 30 rødder ud af 105.
Og endelig dividerer vi skalarproduktet af vektorer med produktet af længderne af disse vektorer. Vi får -200 / (30 rødder ud af 105) eller
- (4 rødder af 105) / 63. Dette er cosinus af vinklen mellem vektorerne. Og selve vinklen er lig med buecosinus af dette tal
f \u003d arccos (-4 rødder af 105) / 63.
Hvis jeg har talt rigtigt.

Hvordan man beregner sinus af en vinkel mellem vektorer ud fra vektorernes koordinater

Mikhail Tkachev

Vi multiplicerer disse vektorer. Deres prikprodukt er lig med produktet af længderne af disse vektorer og cosinus af vinklen mellem dem.
Vinklen er ukendt for os, men koordinaterne er kendte.
Lad os skrive det matematisk sådan her.
Lad, givet vektorerne a(x1;y1) og b(x2;y2)
Derefter

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Vi skændes.
a*b-skalarprodukt af vektorer er lig med summen af produkterne af de tilsvarende koordinater af koordinaterne for disse vektorer, dvs. lig med x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produkt af vektorlængder er lig √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Så cosinus af vinklen mellem vektorerne er:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Ved at kende cosinus af en vinkel kan vi beregne dens sinus. Lad os diskutere, hvordan man gør det:

Hvis cosinus af en vinkel er positiv, så ligger denne vinkel i 1 eller 4 kvarte, så dens sinus er enten positiv eller negativ. Men da vinklen mellem vektorerne er mindre end eller lig med 180 grader, så er dens sinus positiv. Vi argumenterer på samme måde, hvis cosinus er negativ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Det var det)))) held og lykke med at finde ud af det)))

Dmitry Levishchev

Det faktum, at det er umuligt at direkte sinus, er ikke sandt.
Ud over formlen:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Der er også denne:
||=|a|*|b|*sin A
Det vil sige, at du i stedet for skalarproduktet kan tage modulet af vektorproduktet.

Punktprodukt af vektorer

Vi fortsætter med at beskæftige os med vektorer. Ved første lektion Vektorer til dummies vi har overvejet begrebet en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater og de simpleste problemer med vektorer. Hvis du kom til denne side for første gang fra en søgemaskine, kan jeg varmt anbefale at læse ovenstående introduktionsartikel, for for at assimilere materialet skal du vejledes i de termer og notation jeg bruger, have grundlæggende viden om vektorer og kunne løse elementære problemer. Denne lektion er en logisk fortsættelse af emnet, og i den vil jeg analysere i detaljer typiske opgaver, der bruger det skalære produkt af vektorer. Dette er et MEGET VIGTIGT job.. Prøv ikke at springe eksemplerne over, de kommer med en nyttig bonus - praksis vil hjælpe dig med at konsolidere det dækkede materiale og "få din hånd" på at løse almindelige problemer med analytisk geometri.

Tilføjelse af vektorer, gange en vektor med et tal…. Det ville være naivt at tro, at matematikere ikke har fundet på noget andet. Ud over de allerede overvejede handlinger er der en række andre operationer med vektorer, nemlig: prikprodukt af vektorer, krydsprodukt af vektorer og blandet produkt af vektorer. Det skalære produkt af vektorer er kendt for os fra skolen, de to andre produkter er traditionelt relateret til forløbet af højere matematik. Emnerne er enkle, algoritmen til at løse mange problemer er stereotyp og forståelig. Den eneste ting. Der er en anstændig mængde information, så det er uønsket at forsøge at mestre og løse ALT OG PÅ EN GANG. Dette gælder især for dummies, tro mig, forfatteren ønsker absolut ikke at føle sig som Chikatilo fra matematik. Nå, selvfølgelig heller ikke fra matematik =) Mere forberedte elever kan bruge materialerne selektivt, i en vis forstand, til at "tilegne sig" den manglende viden, for dig vil jeg være en harmløs grev Dracula =)

Lad os endelig åbne døren lidt og se på, hvad der sker, når to vektorer møder hinanden...

Definition af skalarproduktet af vektorer.
Egenskaber ved det skalære produkt. Typiske opgaver

Begrebet prikprodukt

Først om vinkel mellem vektorer. Jeg tror, at alle intuitivt forstår, hvad vinklen mellem vektorer er, men for en sikkerheds skyld, lidt mere. Overvej frie vektorer uden nul og . Hvis vi udskyder disse vektorer fra et vilkårligt punkt, får vi et billede, som mange allerede har præsenteret mentalt:

Jeg indrømmer, her beskrev jeg kun situationen på forståelsesniveau. Hvis du har brug for en stram definition af vinklen mellem vektorer, henvises til lærebogen, men til praktiske opgaver har vi i princippet ikke brug for det. Også HER OG VIDERE vil jeg nogle gange ignorere nulvektorer på grund af deres lave praktiske betydning. Jeg lavede en reservation specifikt til avancerede besøgende på webstedet, som kan bebrejde mig den teoretiske ufuldstændighed af nogle af følgende udsagn.

kan tage værdier fra 0 til 180 grader (fra 0 til radianer) inklusive. Analytisk er dette faktum skrevet som en dobbelt ulighed:

eller

(i radianer).

I litteraturen er vinkelikonet ofte udeladt og blot skrevet.

Definition: Skalarproduktet af to vektorer er et TAL lig med produktet af længderne af disse vektorer og cosinus af vinklen mellem dem:

Det er nu en ret streng definition.

Vi fokuserer på væsentlig information:

Betegnelse: det skalære produkt er betegnet med eller blot .

Resultatet af operationen er et TAL: Gang en vektor med en vektor for at få et tal. Faktisk, hvis længderne af vektorer er tal, er cosinus af vinklen et tal, så deres produkt vil også være et nummer.

Bare et par opvarmningseksempler:

Eksempel 1

Løsning: Vi bruger formlen . I dette tilfælde:

Svar:

Cosinusværdier kan findes i trigonometrisk tabel. Jeg anbefaler at udskrive det - det vil være påkrævet i næsten alle sektioner af tårnet og vil være påkrævet mange gange.

Rent matematisk set er det skalære produkt dimensionsløst, det vil sige, at resultatet i dette tilfælde kun er et tal, og det er det. Ud fra fysikkens problemer har det skalære produkt altid en vis fysisk betydning, det vil sige, at efter resultatet skal en eller anden fysisk enhed angives. Det kanoniske eksempel på beregning af en krafts arbejde kan findes i enhver lærebog (formlen er præcis et prikprodukt). En krafts arbejde måles i Joule, derfor vil svaret blive skrevet helt specifikt, f.eks.

Eksempel 2

Find evt , og vinklen mellem vektorerne er .

Dette er et eksempel på selvbeslutning, svaret er i slutningen af lektionen.

Vinkel mellem vektorer og punktproduktværdi

I eksempel 1 viste det skalære produkt sig at være positivt, og i eksempel 2 viste det sig at være negativt. Lad os finde ud af, hvad tegnet på det skalære produkt afhænger af. Lad os se på vores formel: . Længderne af vektorer, der ikke er nul, er altid positive: , så tegnet kan kun afhænge af værdien af cosinus.

Bemærk: For en bedre forståelse af oplysningerne nedenfor er det bedre at studere cosinusgrafen i manualen Grafer og funktionsegenskaber. Se hvordan cosinus opfører sig på segmentet.

Som allerede nævnt kan vinklen mellem vektorerne variere indenfor , og følgende tilfælde er mulige:

1) Hvis hjørne mellem vektorer krydret: (fra 0 til 90 grader), derefter , og prikprodukt vil være positivt co-instrueret, så anses vinklen mellem dem for at være nul, og det skalære produkt vil også være positivt. Siden er formlen forenklet: .

2) Hvis hjørne mellem vektorer Dum: (fra 90 til 180 grader), derefter , og tilsvarende, prikproduktet er negativt: . Særligt tilfælde: hvis vektorerne rettet modsat, så overvejes vinklen mellem dem indsat: (180 grader). Det skalære produkt er også negativt, da

De omvendte udsagn er også sande:

1) Hvis , så er vinklen mellem disse vektorer spids. Alternativt er vektorerne kodirektionelle.

2) Hvis , så er vinklen mellem disse vektorer stump. Alternativt er vektorerne rettet modsat.

Men det tredje tilfælde er af særlig interesse:

3) Hvis hjørne mellem vektorer lige: (90 grader) derefter og prikprodukt er nul: . Det modsatte er også sandt: hvis , så . Den kompakte erklæring er formuleret som følger: Skalarproduktet af to vektorer er nul, hvis og kun hvis de givne vektorer er ortogonale. Kort matematisk notation:

! Bemærk : gentag grundlaget for matematisk logik: dobbeltsidet logisk konsekvensikon læses normalt "hvis og kun da", "hvis og kun hvis". Som du kan se, er pilene rettet i begge retninger - "heraf følger dette, og omvendt - heraf følger dette." Hvad er forskellen fra en-vejs-følge-ikonet? Ikon hævder kun det at "af dette følger dette", og ikke det forhold, at det omvendte er sandt. For eksempel: , men ikke alle dyr er en panter, så ikonet kan ikke bruges i dette tilfælde. På samme tid, i stedet for ikonet kan brug ensidet ikon. For eksempel, mens vi løste problemet, fandt vi ud af, at vi konkluderede, at vektorerne er ortogonale: - sådan en registrering vil være korrekt, og endnu mere passende end .

Det tredje tilfælde er af stor praktisk betydning., da det giver dig mulighed for at kontrollere, om vektorerne er ortogonale eller ej. Vi løser dette problem i anden del af lektionen.

Prik produktegenskaber

Lad os vende tilbage til situationen, hvor to vektorer co-instrueret. I dette tilfælde er vinklen mellem dem nul, , og den skalære produktformel har formen: .

Hvad sker der, hvis en vektor ganges med sig selv? Det er klart, at vektoren er co-dirigeret med sig selv, så vi bruger ovenstående forenklede formel:

Nummeret ringes op skalar kvadrat vektor , og er betegnet som .

På denne måde det skalære kvadrat af en vektor er lig med kvadratet af længden af den givne vektor:

Fra denne lighed kan du få en formel til at beregne længden af en vektor:

Selvom det virker uklart, men lektionens opgaver vil sætte alt på sin plads. For at løse problemer har vi også brug for prik produktegenskaber.

For vilkårlige vektorer og ethvert tal er følgende egenskaber sande:

1) - forskydelig eller kommutativ skalær produktlov.

2) - distribution el distributive skalær produktlov. Kort sagt kan du åbne parenteser.

3) - kombination eller associativ skalær produktlov. Konstanten kan tages ud af skalarproduktet.

Ofte opfattes alle slags egenskaber (som også skal bevises!) af eleverne som unødvendigt skrald, som først skal huskes og sikkert glemmes umiddelbart efter eksamen. Det ser ud til, at hvad der er vigtigt her, ved alle allerede fra første klasse, at produktet ikke ændrer sig fra en permutation af faktorerne:. Jeg må advare dig, i højere matematik med sådan en tilgang er det let at rode tingene sammen. Så for eksempel er den kommutative egenskab ikke gyldig for algebraiske matricer. Det er ikke sandt for krydsprodukt af vektorer. Derfor er det i det mindste bedre at dykke ned i de egenskaber, du vil møde i løbet af højere matematik for at forstå, hvad der kan og ikke kan lade sig gøre.

Eksempel 3

Løsning: Lad os først afklare situationen med vektoren. Hvad handler det om? Summen af vektorerne og er en veldefineret vektor, som er betegnet med . Geometrisk fortolkning af handlinger med vektorer kan findes i artiklen Vektorer til dummies. Den samme persille med en vektor er summen af vektorerne og .

Så ifølge betingelsen er det påkrævet at finde det skalære produkt. I teorien skal du anvende arbejdsformlen , men problemet er, at vi ikke kender længderne af vektorerne og vinklen mellem dem. Men i tilstanden er lignende parametre givet for vektorer, så vi vil gå den anden vej:

(1) Vi erstatter udtryk for vektorer.

(2) Vi åbner parenteserne i henhold til reglen om multiplikation af polynomier, en vulgær tongue twister kan findes i artiklen Komplekse tal eller Integration af en brøk-rationel funktion. Jeg vil ikke gentage mig selv =) Forresten giver den fordelende egenskab ved det skalære produkt os mulighed for at åbne parenteserne. Vi har ret.

(3) I de første og sidste led skriver vi kompakt skalære kvadrater af vektorerne: . I det andet udtryk bruger vi skalarproduktets commuterbarhed: .

(4) Her er lignende udtryk: .

(5) I det første led bruger vi skalarkvadratformlen, som blev nævnt for ikke så længe siden. I henholdsvis sidste termin virker det samme: . Det andet led udvides efter standardformlen .

(6) Erstat disse betingelser , og udfør omhyggeligt de endelige beregninger.

Svar:

Den negative værdi af prikproduktet angiver, at vinklen mellem vektorerne er stump.

Opgaven er typisk, her er et eksempel på en selvstændig løsning:

Eksempel 4

Find skalarproduktet af vektorerne og , hvis det er kendt, at .

Nu en anden almindelig opgave, kun for den nye vektorlængdeformel. Betegnelserne her vil overlappe lidt, så for klarhedens skyld vil jeg omskrive det med et andet bogstav:

Eksempel 5

Find længden af vektoren if .

Løsning bliver som følger:

(1) Vi leverer vektorekspressionen.

(2) Vi bruger længdeformlen: , mens vi har et heltalsudtryk som vektoren "ve".

(3) Vi bruger skoleformlen til kvadratet af summen. Vær opmærksom på, hvordan det mærkværdigvis fungerer her: - faktisk er dette kvadratet på forskellen, og det er det faktisk også. De, der ønsker det, kan omarrangere vektorerne steder: - det blev det samme op til en omarrangering af vilkårene.

(4) Det følgende er allerede kendt fra de to tidligere problemer.

Svar:

Da vi taler om længde, glem ikke at angive dimensionen - "enheder".

Eksempel 6

Find længden af vektoren if .

Dette er et gør-det-selv eksempel. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Vi fortsætter med at presse nyttige ting ud af det skalære produkt. Lad os se på vores formel igen . Ved proportionsreglen nulstiller vi vektorernes længder til nævneren på venstre side:

Lad os bytte delene:

Hvad er meningen med denne formel? Hvis længden af to vektorer og deres skalarprodukt er kendt, kan cosinus af vinklen mellem disse vektorer beregnes, og dermed selve vinklen.

Er det skalære produkt et tal? Nummer. Er vektorlængder tal? Tal. Så en brøk er også et tal. Og hvis cosinus af vinklen er kendt: , så ved at bruge den omvendte funktion er det nemt at finde selve vinklen: .

Eksempel 7

Find vinklen mellem vektorerne og , hvis det vides at .

Løsning: Vi bruger formlen:

På den sidste fase af beregningerne blev der brugt en teknik - eliminering af irrationalitet i nævneren. For at eliminere irrationalitet multiplicerede jeg tælleren og nævneren med .

Så hvis , derefter:

Værdierne af inverse trigonometriske funktioner kan findes ved trigonometrisk tabel. Selvom dette sjældent sker. I problemer med analytisk geometri optræder nogle klodsede bjørne-lignende meget oftere, og værdien af vinklen skal findes omtrentligt ved hjælp af en lommeregner. Faktisk vil vi se dette billede igen og igen.

Svar:

Igen, glem ikke at angive dimensionen - radianer og grader. Personligt, for bevidst at "fjerne alle spørgsmål", foretrækker jeg at angive begge (medmindre det naturligvis af betingelsen er påkrævet at præsentere svaret kun i radianer eller kun i grader).

Nu vil du være i stand til at klare en sværere opgave på egen hånd:

Eksempel 7*

Givet er længderne af vektorerne og vinklen mellem dem. Find vinklen mellem vektorerne , .

Opgaven er ikke så meget svær som multi-vejs.
Lad os analysere løsningsalgoritmen:

1) Ifølge betingelsen er det nødvendigt at finde vinklen mellem vektorerne og , så du skal bruge formlen .

2) Vi finder det skalære produkt (se eksempel nr. 3, 4).

3) Find længden af vektoren og længden af vektoren (se eksempel nr. 5, 6).

4) Slutningen af løsningen falder sammen med eksempel nr. 7 - vi kender tallet , hvilket betyder, at det er nemt at finde selve vinklen:

Kort løsning og svar i slutningen af lektionen.

Anden del af lektionen er afsat til det samme prikprodukt. Koordinater. Det bliver endnu nemmere end i første del.

Punktprodukt af vektorer,
givet af koordinater på ortonormal basis

Svar:

Det er overflødigt at sige, at det er meget mere behageligt at håndtere koordinater.

Eksempel 14

Find skalarproduktet af vektorer og hvis

Dette er et gør-det-selv eksempel. Her kan du bruge operationens associativitet, det vil sige ikke tælle, men straks tage det tredobbelte ud af skalarproduktet og gange med det sidst. Løsning og svar i slutningen af lektionen.

I slutningen af afsnittet, et provokerende eksempel på beregning af længden af en vektor:

Eksempel 15

Find længder af vektorer , hvis

Løsning: igen foreslår metoden i det foregående afsnit sig selv: men der er en anden måde:

Lad os finde vektoren:

Og dens længde ifølge den trivielle formel :

Det skalære produkt er slet ikke relevant her!

Hvor ude af drift er det, når man beregner længden af en vektor:
Hold op. Hvorfor ikke drage fordel af en vektors åbenlyse længdeegenskab? Hvad kan man sige om længden af en vektor? Denne vektor er 5 gange længere end vektoren. Retningen er modsat, men det er ligegyldigt, for vi taler om længde. Det er klart, at vektorens længde er lig med produktet modul tal pr. vektorlængde:
- modulets fortegn "spiser" tallets mulige minus.

På denne måde:

Svar:

Formlen for cosinus af vinklen mellem vektorer, der er givet ved koordinater

Nu har vi fuldstændig information, så den tidligere afledte formel for cosinus af vinklen mellem vektorer udtryk i form af vektorkoordinater:

Cosinus af vinklen mellem planvektorer og givet i det ortonormale grundlag, er udtrykt ved formlen:
.

Cosinus af vinklen mellem rumvektorer, givet i det ortonormale grundlag , er udtrykt ved formlen:

Eksempel 16

Der er givet tre spidser i en trekant. Find (topvinkel ).

Løsning: Efter betingelse er tegningen ikke påkrævet, men stadig:

Den ønskede vinkel er markeret med en grøn bue. Vi husker straks skolens betegnelse for vinklen: - særlig opmærksomhed på midten bogstav - dette er toppunktet for den vinkel, vi har brug for. For kortheds skyld kunne det også skrives enkelt.

Fra tegningen er det ganske tydeligt, at trekantens vinkel falder sammen med vinklen mellem vektorerne og , med andre ord: .

Det er ønskeligt at lære, hvordan man udfører analysen udført mentalt.

Lad os finde vektorerne:

Lad os beregne skalarproduktet:

Og længderne af vektorerne:

Cosinus af en vinkel:

Det er denne rækkefølge af opgaven, jeg anbefaler til dummies. Mere avancerede læsere kan skrive beregningerne "på én linje":

Her er et eksempel på en "dårlig" cosinusværdi. Den resulterende værdi er ikke endelig, så der er ikke meget mening i at slippe af med irrationaliteten i nævneren.

Lad os finde vinklen:

Hvis man ser på tegningen, er resultatet ret plausibelt. For at kontrollere vinklen kan også måles med en vinkelmåler. Beskadig ikke skærmens belægning =)

Svar:

I svaret, glem ikke det spurgt om trekantens vinkel(og ikke om vinklen mellem vektorerne), glem ikke at angive det nøjagtige svar: og den omtrentlige værdi af vinklen: fundet med en lommeregner.

De, der har nydt processen, kan beregne vinklerne og sikre sig, at den kanoniske lighed er sand

Eksempel 17

En trekant er givet i rummet ved koordinaterne af dens hjørner. Find vinklen mellem siderne og

Dette er et gør-det-selv eksempel. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen

Et lille sidste afsnit vil blive afsat til projektioner, hvori det skalære produkt også er "involveret":

Projektion af en vektor på en vektor. Vektorprojektion på koordinatakser.
Vector retning cosinus

Overvej vektorer og:

Vi projicerer vektoren på vektoren, for dette udelader vi fra begyndelsen og slutningen af vektoren vinkelrette vektor (grønne stiplede linjer). Forestil dig, at lysstråler falder vinkelret på en vektor. Så vil segmentet (rød linje) være "skyggen" af vektoren. I dette tilfælde er projektionen af en vektor på en vektor LÆNGDEN af segmentet. Det vil sige, PROJEKTION ER ET TAL.

Dette NUMMER er angivet som følger: , "stor vektor" betegner en vektor HVILKEN projekt, "lille sænket vektor" betegner vektoren PÅ DEN som er projekteret.

Selve indgangen lyder således: "projektionen af vektoren "a" på vektoren "være"".

Hvad sker der, hvis vektoren "be" er "for kort"? Vi tegner en lige linje, der indeholder vektoren "være". Og vektoren "a" vil allerede blive projiceret i retningen af vektoren "være", simpelthen - på en lige linje indeholdende vektoren "være". Det samme vil ske, hvis vektoren "a" sættes til side i det tredivte rige - den vil stadig nemt blive projiceret på linjen, der indeholder vektoren "be".

Hvis vinklen mellem vektorer krydret(som på billedet), så

Hvis vektorerne ortogonal, så (projektionen er et punkt, hvis dimensioner antages at være nul).

Hvis vinklen mellem vektorer Dum(i figuren skal du mentalt omarrangere vektorens pil), derefter (samme længde, men taget med et minustegn).

Sæt disse vektorer til side fra ét punkt:

Det er klart, at når en vektor flyttes, ændres dens projektion ikke

Instruktion

Lad to ikke-nul vektorer er givet på planet, plottet fra et punkt: vektor A med koordinater (x1, y1) B med koordinater (x2, y2). Hjørne mellem dem er angivet som θ. For at finde gradmålet for vinklen θ skal du bruge definitionen af skalarproduktet.

Skalarproduktet af to vektorer, der ikke er nul, er et tal lig med produktet af længderne af disse vektorer og cosinus af vinklen mellem dem, det vil sige (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Nu skal du udtrykke cosinus af vinklen ud fra dette: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalarproduktet kan også findes ved hjælp af formlen (A,B)=x1*x2+y1*y2, da produktet af to ikke-nul vektorer er lig med summen af produkterne af de tilsvarende vektorer. Hvis skalarproduktet af vektorer uden for nul er lig med nul, så er vektorerne vinkelrette (vinklen mellem dem er 90 grader), og yderligere beregninger kan udelades. Hvis skalarproduktet af to vektorer er positivt, så er vinklen mellem disse vektorer spids, og hvis negativ, så er vinklen stump.

Beregn nu længderne af vektorerne A og B ved hjælp af formlerne: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Længden af en vektor beregnes som kvadratroden af summen af kvadraterne af dens koordinater.

Erstat de fundne værdier af skalarproduktet og længderne af vektorerne i formlen for vinklen opnået i trin 2, det vil sige cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Nu ved at kende værdien af , for at finde gradmålet for vinklen mellem vektorer du skal bruge Bradis-tabellen eller tage fra denne: θ=arccos(cos(θ)).

Hvis vektorerne A og B er givet i tredimensionelt rum og har henholdsvis koordinater (x1, y1, z1) og (x2, y2, z2), så tilføjes en koordinat mere, når vinklens cosinus skal findes. I dette tilfælde cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Nyttige råd

Hvis to vektorer ikke er plottet fra et punkt, skal du kombinere begyndelsen af disse vektorer for at finde vinklen mellem dem ved parallel oversættelse.
Vinklen mellem to vektorer må ikke være større end 180 grader.

Kilder:

hvordan man beregner vinkel mellem vektorer
Vinkel mellem linje og plan

For at løse mange problemer, både anvendte og teoretiske, i fysik og lineær algebra, er det nødvendigt at beregne vinklen mellem vektorer. Denne tilsyneladende simple opgave kan forårsage mange vanskeligheder, hvis du ikke klart forstår essensen af det skalære produkt, og hvilken værdi der opstår som et resultat af dette produkt.

Instruktion

Vinklen mellem vektorer i et lineært vektorrum er minimumsvinklen ved , hvormed vektorernes samretning opnås. En af vektorerne føres rundt om sit udgangspunkt. Ud fra definitionen bliver det tydeligt, at værdien af vinklen ikke kan overstige 180 grader (se trinnet).

I dette tilfælde antages det ganske rigtigt, at i et lineært rum, når vektorerne overføres parallelt, ændres vinklen mellem dem ikke. For den analytiske beregning af vinklen er den rumlige orientering af vektorerne derfor ligegyldig.

Resultatet af prikproduktet er et tal, ellers en skalar. Husk (det er vigtigt at vide) for at undgå fejl i yderligere beregninger. Formlen for skalarproduktet, placeret på et plan eller i rummet af vektorer, har formen (se figuren for trinnet).

Hvis vektorerne er placeret i rummet, så udfør beregningen på lignende måde. Det eneste vil være udtrykkets udseende i udbyttet - dette er betegnelsen for ansøgningen, dvs. den tredje komponent af vektoren. Ved beregning af modulet af vektorer skal der derfor også tages hensyn til z-komponenten, så for vektorer placeret i rummet transformeres det sidste udtryk som følger (se figur 6 til trinnet).

En vektor er et linjestykke med en given retning. Vinklen mellem vektorer har en fysisk betydning, for eksempel når man finder længden af projektionen af en vektor på en akse.

Instruktion

Vinkel mellem to ikke-nul vektorer ved hjælp af punktproduktberegning. Per definition er produktet lig med produktet af længderne og vinklen mellem dem. På den anden side beregnes det indre produkt for to vektorer a med koordinater (x1; y1) og b med koordinater (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Af disse to måder er prikproduktet let at vinkle mellem vektorer.

Find vektorernes længder eller moduler. For vores vektorer a og b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Find det indre produkt af vektorer ved at gange deres koordinater i par: ab = x1x2 + y1y2. Fra definitionen af prikproduktet ab = |a|*|b|*cos α, hvor α er vinklen mellem vektorerne. Så får vi, at x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Derefter cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Find vinklen α ved hjælp af Bradys-tabellerne.

Lignende videoer

Bemærk

Det skalære produkt er en skalar karakteristik af længderne af vektorer og vinklen mellem dem.

Flyet er et af de grundlæggende begreber inden for geometri. En plan er en overflade, for hvilken udsagnet er sandt - enhver ret linje, der forbinder to af dens punkter, hører helt til denne overflade. Planer er normalt betegnet med græske bogstaver α, β, γ osv. To planer skærer altid hinanden i en lige linje, der hører til begge planer.

Instruktion

Overvej halvplanerne α og β dannet i skæringspunktet mellem . Vinkel dannet af en ret linje a og to halvplaner α og β af en dihedral vinkel. I dette tilfælde kaldes de halvplaner, der danner en dihedrisk vinkel af flader, linjen a langs hvilken planerne skærer, kanten af den dihedriske vinkel.

Dihedral vinkel, som en flad vinkel, i grader. For at lave en dihedral vinkel er det nødvendigt at vælge et vilkårligt punkt O på dens forside. I begge trækkes to stråler a gennem punktet O. Den resulterende vinkel AOB kaldes den lineære vinkel for den dihedrale vinkel a.

Så lad vektoren V = (a, b, c) og planen A x + B y + C z = 0 være givet, hvor A, B og C er koordinaterne til normalen N. Så er vinklens cosinus α mellem vektorerne V og N er: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

For at beregne værdien af vinklen i grader eller radianer, skal du beregne funktionen invers til cosinus ud fra det resulterende udtryk, dvs. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Eksempel: find hjørne mellem vektor(5, -3, 8) og fly, givet ved den generelle ligning 2 x - 5 y + 3 z = 0. Løsning: nedskriv koordinaterne for normalvektoren af planen N = (2, -5, 3). Erstat alle kendte værdier i ovenstående formel: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Lignende videoer

Skriv en ligning og isoler cosinus fra den. Ifølge en formel er skalarproduktet af vektorer lig med deres længder ganget med hinanden og med cosinus vinkel, og på den anden side - summen af produkterne af koordinater langs hver af akserne. Ved at sidestille begge formler kan vi konkludere, at cosinus vinkel skal være lig med forholdet mellem summen af koordinaternes produkter og produktet af vektorernes længder.

Skriv den resulterende ligning ned. For at gøre dette skal vi udpege begge vektorer. Lad os sige, at de er givet i et 3D kartesisk system, og deres udgangspunkt er i et gitter. Retningen og størrelsen af den første vektor vil være givet af punktet (X1,Y₁,Z₁), den anden - (X₂,Y₂,Z₂), og vinklen vil blive angivet med bogstavet γ. Så kan længderne af hver af vektorerne for eksempel være ifølge Pythagoras sætning for dannet af deres projektioner på hver af koordinatakserne: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) og √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Erstat disse udtryk i formlen formuleret i det foregående trin, og du får ligheden: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y22 + Z22)).

Brug det faktum, at summen af kvadratet bihule og co bihule fra vinkelén værdi giver altid én. Derfor, ved at hæve, hvad der blev opnået på det foregående trin for co bihule i kvadrat og trække fra enhed, og derefter kvadratroden, løser du problemet. Skriv den ønskede formel i generel form: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² ) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁2² + Z₁₂²) + Z₁²²) ) )).

Når man studerer geometri, opstår der mange spørgsmål om emnet vektorer. Eleven oplever særlige vanskeligheder, når det er nødvendigt at finde vinklerne mellem vektorerne.

Grundlæggende vilkår

Før man overvejer vinklerne mellem vektorer, er det nødvendigt at sætte sig ind i definitionen af en vektor og begrebet en vinkel mellem vektorer.

En vektor er et segment, der har en retning, det vil sige et segment, for hvilket dets begyndelse og slutning er defineret.

Løsningsformel

Efter at have modtaget værdien af vinklens cosinus, kan du beregne værdien af selve vinklen ved hjælp af en lommeregner eller ved hjælp af en trigonometrisk tabel.

Eksempel

Ved at erstatte de opnåede værdier i formlen beregner vi værdien af cosinus af den ønskede vinkel:

Vinkelberegning i n-dimensionelt rum

Inden for geometri opstår der ofte problemer med rum, der har mere end tre dimensioner. Men for dem ligner algoritmen til at finde svaret.

Forskellen mellem 0 og 180 grader

Specifikke vektorer

Ved at finde vinklerne mellem vektorerne kan en af specialtyperne findes, udover de co-dirigerede og modsat rettede beskrevet ovenfor.

Flere vektorer parallelt med et plan kaldes coplanar.
Vektorer, der er ens i længde og retning, kaldes ens.
Vektorer, der ligger på den samme lige linje, uanset retning, kaldes collineære.
Hvis længden af vektoren er nul, det vil sige, at dens begyndelse og slutning falder sammen, så kaldes den nul, og hvis den er én, så kaldes den én.

Det skalære produkt af vektorer (i det følgende i teksten til joint venturet). Kære venner! Matematikeksamenen omfatter en gruppe opgaver til løsning af vektorer. Vi har allerede overvejet nogle problemer. Du kan se dem i kategorien "Vektorer". Generelt er teorien om vektorer enkel, det vigtigste er at studere den konsekvent. Beregninger og handlinger med vektorer i skolens matematikkursus er enkle, formlerne er ikke komplicerede. Undersøge nærmere . I denne artikel vil vi analysere opgaver på joint venture af vektorer (inkluderet i eksamen). Nu "fordybelse" i teorien:

H For at finde koordinaterne for en vektor skal du trække fra koordinaterne for dens endetilsvarende koordinater for dens begyndelse

Og videre:

*Vektorlængde (modul) er defineret som følger:

Disse formler skal huskes!!!

Lad os vise vinklen mellem vektorerne:

Det er klart, at det kan variere fra 0 til 180 0(eller i radianer fra 0 til Pi).

Vi kan drage nogle konklusioner om tegnet på det skalære produkt. Længderne af vektorer er naturligvis positive. Så tegnet for skalarproduktet afhænger af værdien af cosinus af vinklen mellem vektorerne.

Mulige tilfælde:

1. Hvis vinklen mellem vektorerne er skarp (fra 0 0 til 90 0), så vil vinklens cosinus have en positiv værdi.

2. Hvis vinklen mellem vektorerne er stump (fra 90 0 til 180 0), så vil vinklens cosinus have en negativ værdi.

*Ved nul grader, det vil sige, når vektorerne har samme retning, er cosinus lig med en, og følgelig vil resultatet være positivt.

Ved 180 o, det vil sige, når vektorerne har modsatte retninger, er cosinus lig med minus en,og resultatet bliver negativt.

Nu er det VIGTIGE PUNKT!

Ved 90 o, det vil sige, når vektorerne er vinkelrette på hinanden, er cosinus nul, og dermed er joint venturet nul. Denne kendsgerning (konsekvens, konklusion) bruges til at løse mange problemer, hvor vi taler om det gensidige arrangement af vektorer, herunder i problemer inkluderet i den åbne bank af opgaver i matematik.

Vi formulerer udsagnet: skalarproduktet er lig nul, hvis og kun hvis de givne vektorer ligger på vinkelrette linjer.

Så formlerne for SP vektorerne er:

Hvis koordinaterne for vektorerne eller koordinaterne for punkterne for deres begyndelse og slutning er kendt, kan vi altid finde vinklen mellem vektorerne:

Overvej opgaverne:

27724 Find det indre produkt af vektorerne a og b .

Vi kan finde skalarproduktet af vektorer ved at bruge en af to formler:

Vinklen mellem vektorerne er ukendt, men vi kan nemt finde vektorernes koordinater og derefter bruge den første formel. Da begyndelsen af begge vektorer falder sammen med oprindelsen, er koordinaterne for disse vektorer lig med koordinaterne for deres ender, dvs.

Hvordan man finder koordinaterne for en vektor er beskrevet i.

Vi beregner:

Svar: 40

Find vektorernes koordinater og brug formlen:

For at finde koordinaterne for en vektor er det nødvendigt at trække de tilsvarende koordinater for dens begyndelse fra koordinaterne for enden af vektoren, hvilket betyder