Formlen for volumen af ​​en regulær afkortet pyramide. Volumenformler for en fuld og afkortet pyramide

• 09.10.2014

  Forforstærkeren vist på figuren er designet til brug med 4 typer lydkilder, såsom mikrofon, cd-afspiller, radiobåndoptager osv. Samtidig har forforstærkeren én indgang, der kan ændre følsomheden fra 50mV til 500mV . udgangsspændingen på forstærkeren er 1000mV. Ved at forbinde forskellige signalkilder, når der skiftes switch SA1, vil vi altid få ...

• 20.09.2014

  PSU'en er designet til en belastning med en effekt på 15 ... 20 watt. Kilden er lavet i henhold til skemaet for en enkelt-cyklus pulseret højfrekvensomformer. En oscillator, der opererer ved en frekvens på 20 ... 40 kHz, er samlet på transistoren. Frekvensen justeres af kapacitansen C5. Elementerne VD5, VD6 og C6 danner et kredsløb til start af en oscillator. I det sekundære kredsløb, efter broensretteren, er der en konventionel lineær stabilisator på et mikrokredsløb, som giver dig mulighed for at have ...

• 28.09.2014

  Figuren viser en generator på en K174XA11-chip, hvis frekvens styres af spænding. Ved at ændre kapacitansen C1 fra 560 til 4700pF kan der opnås et bredt frekvensområde, mens frekvensen justeres ved at ændre modstanden R4. For eksempel fandt forfatteren ud af, at ved C1 \u003d 560pF kan generatorfrekvensen ændres ved hjælp af R4 fra 600Hz til 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Enheden er designet til at forsyne en kraftig ULF, den er designet til en udgangsspænding på ± 27V og belaster derfor op til 3A på hver arm. PSU'en er bipolær, lavet på komplette komposittransistorer KT825-KT827. Begge arme af stabilisatoren er lavet i henhold til samme skema, men i den anden arm (det er ikke vist) ændres kondensatorernes polaritet, og den andens transistorer bruges ...

Evnen til at beregne rumfanget af rumlige figurer er vigtig for at løse en række praktiske problemer inden for geometri. En af de mest almindelige former er pyramiden. I denne artikel vil vi overveje pyramiderne, både fulde og trunkerede.

Pyramide som en tredimensionel figur

Alle kender til de egyptiske pyramider, så de har en god idé om, hvilken figur der vil blive diskuteret. Ikke desto mindre er egyptiske stenstrukturer kun et særligt tilfælde af en enorm klasse af pyramider.

Det geometriske objekt, der overvejes i det generelle tilfælde, er en polygonal base, hvis toppunkt er forbundet med et punkt i rummet, der ikke hører til grundplanet. Denne definition fører til en figur bestående af én n-gon og n trekanter.

Enhver pyramide består af n+1 flader, 2*n kanter og n+1 hjørner. Da den betragtede figur er et perfekt polyeder, følger antallet af markerede elementer Euler-ligningen:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Polygonen placeret ved bunden giver navnet på pyramiden, for eksempel trekantet, femkantet og så videre. Et sæt pyramider med forskellige baser er vist på billedet nedenfor.

Det punkt, hvor n trekanter af figuren er forbundet, kaldes toppen af ​​pyramiden. Hvis en vinkelret sænkes fra den til basen, og den skærer den i det geometriske centrum, vil en sådan figur blive kaldt en lige linje. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, er der en skrå pyramide.

En lige figur, hvis basis er dannet af en ligesidet (ligekantet) n-gon, kaldes regulær.

Formel for pyramidevolumen

For at beregne pyramidens rumfang bruger vi integralregningen. For at gøre dette deler vi figuren med sekantplaner parallelt med basen i et uendeligt antal tynde lag. Nedenstående figur viser en firkantet pyramide med højde h og sidelængde L, hvor et tyndt snitlag er markeret med en firkant.

Arealet af hvert sådant lag kan beregnes med formlen:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Her er A 0 arealet af basen, z er værdien af ​​den lodrette koordinat. Det kan ses, at hvis z = 0, så giver formlen værdien A 0 .

For at få formlen for pyramidens volumen skal du beregne integralet over hele figurens højde, det vil sige:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Ved at erstatte afhængigheden A(z) og beregne antiderivatet kommer vi frem til udtrykket:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * t.

Vi har fået formlen for rumfanget af en pyramide. For at finde værdien af ​​V er det nok at gange højden af ​​figuren med arealet af basen og derefter dividere resultatet med tre.

Bemærk, at det resulterende udtryk er gyldigt til at beregne volumenet af en pyramide af en vilkårlig type. Det vil sige, at den kan hældes, og dens base kan være en vilkårlig n-gon.

og dens volumen

Den generelle formel for volumen opnået i afsnittet ovenfor kan raffineres i tilfælde af en pyramide med en regelmæssig base. Arealet af en sådan base beregnes ved hjælp af følgende formel:

A0 = n/4*L2 *ctg(pi/n).

Her er L sidelængden af ​​en regulær polygon med n toppunkter. Symbolet pi er tallet pi.

Ved at erstatte udtrykket for A 0 i den generelle formel får vi volumen af ​​en regulær pyramide:

Vn = 1/3*n/4*L2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L2 *h*ctg(pi/n).

For eksempel, for en trekantet pyramide, fører denne formel til følgende udtryk:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * t.

For en regulær firkantet pyramide har volumenformlen formen:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * t.

At bestemme volumenet af almindelige pyramider kræver at kende siden af ​​deres base og højden af ​​figuren.

Pyramide afkortet

Antag, at vi har taget en vilkårlig pyramide og afskåret en del af dens sideflade, der indeholder toppunktet. Den resterende figur kaldes en afkortet pyramide. Den består allerede af to n-gonale baser og n trapezoider, der forbinder dem. Hvis skæreplanet var parallelt med bunden af ​​figuren, dannes en afkortet pyramide med parallelle lignende baser. Det vil sige, at længderne af siderne på den ene af dem kan opnås ved at gange længden af ​​den anden med en eller anden koefficient k.

Ovenstående figur viser en afkortet regulær.Det kan ses, at dens øverste base, ligesom den nederste, er dannet af en regulær sekskant.

Formlen, der kan udledes ved hjælp af en integralregning svarende til ovenstående, er:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Hvor A 0 og A 1 er arealet af henholdsvis den nedre (store) og den øvre (lille) base. Variablen h angiver højden af ​​den afkortede pyramide.

Rumfanget af Cheops-pyramiden

Det er nysgerrigt at løse problemet med at bestemme det volumen, som den største egyptiske pyramide indeholder.

I 1984 etablerede de britiske egyptologer Mark Lehner og Jon Goodman de nøjagtige dimensioner af Cheops-pyramiden. Dens oprindelige højde var 146,50 meter (i øjeblikket omkring 137 meter). Den gennemsnitlige længde af hver af de fire sider af strukturen var 230.363 meter. Pyramidens bund er firkantet med høj præcision.

Lad os bruge de givne tal til at bestemme volumen af ​​denne stengigant. Da pyramiden er en regulær firkantet, så er formlen gyldig for den:

Indsætter vi tallene, får vi:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Rumfanget af Cheops-pyramiden er næsten 2,6 millioner m 3. Til sammenligning bemærker vi, at den olympiske pool har et volumen på 2,5 tusinde m 3. Det vil sige, for at fylde hele Cheops-pyramiden vil der være brug for mere end 1000 sådanne puljer!

- Dette er et polyeder, som er dannet af bunden af ​​pyramiden og et snit parallelt med det. Vi kan sige, at en afkortet pyramide er en pyramide med en afskåret top. Denne figur har mange unikke egenskaber:

• Pyramidens sideflader er trapezformede;
• Sideribberne af en regulær afskåret pyramide er af samme længde og skråner til bunden i samme vinkel;
• Baserne er lignende polygoner;
• I en regulær afkortet pyramide er ansigterne identiske ligebenede trapezoider, hvis areal er ens. De er også tilbøjelige til basen i en vinkel.

Formlen for arealet af den laterale overflade af en afkortet pyramide er summen af ​​områderne af dens sider:

Da siderne af den afkortede pyramide er trapezoider, bliver du nødt til at bruge formlen til at beregne parametrene trapezformet område. For en almindelig afkortet pyramide kan en anden formel til beregning af arealet anvendes. Da alle dens sider, flader og vinkler ved basen er ens, er det muligt at anvende omkredsen af ​​basen og apotemet, og også udlede arealet gennem vinklen ved basen.

Hvis, i henhold til forholdene i en regulær afkortet pyramide, apotemet (sidens højde) og længderne af siderne af basen er angivet, så kan arealet beregnes gennem halvproduktet af summen af ​​perimetrene af baserne og apotemet:

Lad os se på et eksempel på beregning af det laterale overfladeareal af en afkortet pyramide.
Givet en regulær femkantet pyramide. Apotem l\u003d 5 cm, længden af ​​ansigtet i den store base er -en\u003d 6 cm, og ansigtet er ved den mindre base b\u003d 4 cm. Beregn arealet af den afkortede pyramide.

Lad os først finde omkredsen af ​​baserne. Da vi får en femkantet pyramide, forstår vi, at baserne er femkanter. Det betyder, at baserne er en figur med fem identiske sider. Find omkredsen af ​​den større base:

På samme måde finder vi omkredsen af ​​den mindre base:

Nu kan vi beregne arealet af en almindelig afkortet pyramide. Vi erstatter dataene i formlen:

Således beregnede vi arealet af en almindelig afkortet pyramide gennem omkredsen og apotem.

En anden måde at beregne det laterale overfladeareal af en almindelig pyramide på er formlen gennem hjørnerne ved bunden og området af netop disse baser.

Lad os se på et eksempel på en beregning. Husk, at denne formel kun gælder for en almindelig afkortet pyramide.

Lad en regulær firkantet pyramide gives. Forsiden af ​​den nederste base er a = 6 cm, og forsiden af ​​den øvre b = 4 cm. Den dihedriske vinkel ved basen er β = 60°. Find det laterale overfladeareal af en almindelig afkortet pyramide.

Lad os først beregne arealet af baserne. Da pyramiden er regulær, er alle basernes flader lig med hinanden. I betragtning af at basen er en firkant, forstår vi, at det vil være nødvendigt at beregne kvadratisk areal. Det er produktet af bredde og længde, men i kvadrat er disse værdier de samme. Find arealet af den større base:


Nu bruger vi de fundne værdier til at beregne det laterale overfladeareal.

Ved at kende nogle få enkle formler beregnede vi nemt arealet af den laterale trapezoid af en afkortet pyramide gennem forskellige værdier.