Integralet er i aktion. Sådan beregnes volumenet af et rotationslegeme ved hjælp af et bestemt integral

Definition 3. Et omdrejningslegeme er et legeme opnået ved at dreje en flad figur omkring en akse, der ikke skærer figuren og ligger i samme plan med den.

Rotationsaksen kan skære figuren, hvis det er figurens symmetriakse.

Sætning 2.
, akse
og lige segmenter
Og

drejer rundt om en akse
. Derefter kan volumenet af det resulterende rotationslegeme beregnes ved hjælp af formlen

(2)

Bevis. For en sådan krop, tværsnittet med abscisse er en cirkel med radius
, Midler
og formel (1) giver det ønskede resultat.

Hvis figuren er begrænset af graferne for to kontinuerlige funktioner
Og
, og linjestykker
Og
, og
Og
, så får vi ved drejning omkring x-aksen et legeme, hvis volumen

Eksempel 3. Beregn volumenet af en torus opnået ved at rotere en cirkel afgrænset af en cirkel

omkring abscisseaksen.

R afgørelse. Den angivne cirkel er begrænset nedenfor af grafen for funktionen
, og fra oven –
. Forskellen på kvadraterne af disse funktioner:

Påkrævet volumen

(grafen for integranden er den øverste halvcirkel, så integralet skrevet ovenfor er arealet af halvcirklen).

Eksempel 4. Parabolsk segment med base
, og højde , roterer rundt om basen. Beregn volumenet af den resulterende krop ("citron" af Cavalieri).

R afgørelse. Vi vil placere parablen som vist på figuren. Så dens ligning
, og
. Lad os finde værdien af parameteren :
. Så det nødvendige volumen:

Sætning 3. Lad et krumt trapez afgrænset af grafen for en kontinuerlig ikke-negativ funktion
, akse
og lige segmenter
Og
, og
, roterer omkring en akse
. Derefter kan volumenet af det resulterende rotationslegeme findes ved formlen

(3)

Ideen om bevis. Vi deler segmentet op
prikker

, i dele og tegne lige linjer
. Hele trapezformen vil blive nedbrudt i strimler, som kan betragtes som omtrent rektangler med en base
og højde
.

Vi skærer den resulterende cylinder ved at rotere et sådant rektangel langs dets generatrix og udfolde det. Vi får et "næsten" parallelepipedum med dimensioner:
,
Og
. Dens volumen
. Så for volumenet af et revolutionslegeme vil vi have den omtrentlige lighed

For at opnå nøjagtig ligestilling skal man gå til grænsen kl
. Summen skrevet ovenfor er integralsummen for funktionen
, derfor får vi i grænsen integralet fra formel (3). Sætningen er blevet bevist.

Note 1. I sætning 2 og 3 er betingelsen
kan udelades: formel (2) er generelt ufølsom over for tegnet
, og i formel (3) er det nok
erstattet af
.

Eksempel 5. Parabolsk segment (base
, højde ) roterer rundt i højden. Find volumen af den resulterende krop.

Løsning. Lad os placere parablen som vist på figuren. Og selvom rotationsaksen skærer figuren, så er den - aksen - symmetriaksen. Derfor skal vi kun overveje den højre halvdel af segmentet. Parabelligning
, og
, Midler
. For volumen har vi:

Note 2. Hvis den krumlinede grænse for et krumt trapez er givet ved parametriske ligninger
,
,
Og
,
så kan du bruge formlerne (2) og (3) med erstatningen på
Og
på
når det ændrer sig t fra
Før .

Eksempel 6. Figuren er begrænset af den første bue af cykloiden
,
,
, og x-aksen. Find kroppens volumen opnået ved at dreje denne figur omkring: 1) akse
; 2) akser
.

Løsning. 1) Generel formel
I vores tilfælde:

2) Generel formel
Til vores figur:

Vi inviterer eleverne til selv at udføre alle beregningerne.

Note 3. Lad en buet sektor afgrænset af en kontinuerlig linje
og stråler
,

, roterer omkring en polær akse. Volumenet af den resulterende krop kan beregnes ved hjælp af formlen.

Eksempel 7. En del af en figur afgrænset af en cardioid
, liggende uden for cirklen
, roterer omkring en polær akse. Find volumen af den resulterende krop.

Løsning. Begge linjer, og derfor den figur, de begrænser, er symmetriske om polaksen. Derfor er det nødvendigt kun at overveje den del, som
. Kurverne skærer kl
Og

på
. Yderligere kan tallet betragtes som forskellen mellem to sektorer, og volumen kan derfor beregnes som forskellen mellem to integraler. Vi har:

Opgaver for en selvstændig beslutning.

1. Et cirkulært segment, hvis base
, højde , roterer rundt om basen. Find volumen af omdrejningslegemet.

2. Find rumfanget af en omdrejningsparaboloid, hvis base , og højden er .

3. Figur afgrænset af en astroid
,
roterer rundt om abscisseaksen. Find volumen af den resulterende krop.

4. Figur afgrænset af linjer
Og
drejer rundt om x-aksen. Find volumen af omdrejningslegemet.

Emne: "Beregning af volumen af omdrejningslegemer ved hjælp af et bestemt integral"

Lektionstype: kombineret.

Formålet med lektionen: lære at beregne volumen af omdrejningslegemer ved hjælp af integraler.

Opgaver:

konsolidere evnen til at identificere krumlinede trapezoider ud fra en række geometriske figurer og udvikle færdigheden til at beregne arealer af krumlinede trapezoider;

stifte bekendtskab med begrebet en tredimensionel figur;

lære at beregne volumen af rotationslegemer;

fremme udviklingen af logisk tænkning, kompetent matematisk tale, nøjagtighed ved konstruktion af tegninger;

at dyrke interessen for faget, i at operere med matematiske begreber og billeder, at dyrke vilje, selvstændighed og vedholdenhed i at nå det endelige resultat.

Under timerne

I. Organisatorisk øjeblik.

Hilsen fra gruppen. Kommuniker lektionens mål til eleverne.

Jeg vil gerne starte dagens lektion med en lignelse. »Der boede engang en klog mand, som vidste alt. En mand ville bevise, at vismanden ikke ved alt. Han holdt en sommerfugl i håndfladerne og spurgte: "Sig mig, vismand, hvilken sommerfugl er i mine hænder: død eller levende?" Og han tænker: "Hvis den levende siger, slår jeg hende ihjel; hvis den døde siger, slipper jeg hende." Efter at have tænkt sig om, svarede vismanden: "Alt er i dine hænder."

Lad os derfor arbejde frugtbart i dag, tilegne os et nyt lager af viden, og vi vil anvende de erhvervede færdigheder og evner i fremtidens liv og i praktiske aktiviteter. "Alt er i dine hænder."

II. Gentagelse af tidligere studeret materiale.

Lad os huske hovedpunkterne i det tidligere undersøgte materiale. For at gøre dette, lad os fuldføre opgaven "Eliminér det ekstra ord."

(Eleverne siger et ekstra ord.)

Højre "Differentiel". Prøv at navngive de resterende ord med ét almindeligt ord. (Integralregning.)

Lad os huske de vigtigste stadier og begreber forbundet med integralregning.

Dyrke motion. Gendan hullerne. (Eleven kommer ud og skriver de påkrævede ord med en markør).

Arbejd i notesbøger.

Newton-Leibniz-formlen blev udledt af den engelske fysiker Isaac Newton (1643-1727) og den tyske filosof Gottfried Leibniz (1646-1716). Og det er ikke overraskende, for matematik er det sprog, der tales af naturen selv.

Lad os overveje, hvordan denne formel bruges til at løse praktiske problemer.

Eksempel 1: Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer

Løsning: Lad os konstruere grafer over funktioner på koordinatplanet . Lad os vælge det område af figuren, der skal findes.

III. At lære nyt stof.

Vær opmærksom på skærmen. Hvad er vist på det første billede? (Figuren viser en flad figur.)

Hvad er vist på det andet billede? Er denne figur flad? (Figuren viser en tredimensionel figur.)

I rummet, på jorden og i hverdagen møder vi ikke kun flade figurer, men også tredimensionelle, men hvordan kan vi beregne volumen af sådanne kroppe? For eksempel: volumenet af en planet, komet, meteorit osv.

Folk tænker på volumen både når man bygger huse og når man hælder vand fra et kar til et andet. Regler og teknikker til beregning af mængder skulle opstå, hvor nøjagtige og berettigede de var, er en anden sag.

Året 1612 var meget frugtbart for indbyggerne i den østrigske by Linz, hvor den berømte astronom Johannes Kepler boede, især for druer. Folk forberedte vintønder og ville vide, hvordan man praktisk talt kunne bestemme deres volumen.

Således markerede Keplers velovervejede værker begyndelsen på en hel strøm af forskning, der kulminerede i den sidste fjerdedel af det 17. århundrede. design i værker af I. Newton og G.V. Leibniz af differential- og integralregning. Fra det tidspunkt af tog variables matematik en førende plads i systemet for matematisk viden.

I dag vil du og jeg deltage i sådanne praktiske aktiviteter, derfor,

Emnet for vores lektion: "Beregning af volumen af rotationslegemer ved hjælp af et bestemt integral."

Du vil lære definitionen af et revolutionslegeme ved at udføre følgende opgave.

"Labyrint".

Dyrke motion. Find en vej ud af den forvirrende situation og skriv definitionen ned.

IVBeregning af mængder.

Ved hjælp af et bestemt integral kan du beregne volumenet af et bestemt legeme, især et rotationslegeme.

Et omdrejningslegeme er et legeme, der opnås ved at rotere en buet trapez rundt om dens base (fig. 1, 2)

Rumfanget af et omdrejningslegeme beregnes ved hjælp af en af formlerne:

1. omkring OX-aksen.

2. , hvis rotationen af en buet trapez omkring op-ampens akse.

Eleverne skriver grundlæggende formler ned i en notesbog.

Læreren forklarer løsningerne til eksemplerne på tavlen.

1. Find kroppens volumen opnået ved at dreje rundt om ordinataksen for en krumt trapez afgrænset af linjer: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Løsning.

Svar: 1163 cm3.

2. Find kroppens volumen opnået ved at dreje en parabolsk trapez om x-aksen y = , x = 4, y = 0.

Løsning.

V. Matematik simulator.

2. Mængden af alle antiderivater af en given funktion kaldes

A) et ubestemt integral,

B) funktion,

B) differentiering.

7. Find kroppens volumen opnået ved at rotere omkring abscisseaksen af en krumt trapez afgrænset af linjer:

D/Z. Konsolidering af nyt materiale

Beregn volumenet af kroppen dannet af kronbladets rotation omkring x-aksen y = x2, y2 = x.

Lad os bygge grafer over funktionen. y = x2, y2 = x. Lad os transformere grafen y2 = x til formen y = .

Vi har V = V1 - V2 Lad os beregne rumfanget af hver funktion:

Konklusion:

Det bestemte integral er et vist grundlag for matematikstudiet, som yder et uerstatteligt bidrag til løsning af praktiske problemer.

Emnet "Integral" demonstrerer tydeligt sammenhængen mellem matematik og fysik, biologi, økonomi og teknologi.

Udviklingen af moderne videnskab er utænkelig uden brug af integralet. I denne henseende er det nødvendigt at begynde at studere det inden for rammerne af sekundær specialiseret uddannelse!

VI. Bedømmelse.(Med kommentarer.)

Den store Omar Khayyam - matematiker, digter, filosof. Han opmuntrer os til at være herre over vores egen skæbne. Lad os lytte til et uddrag fra hans arbejde:

Du siger, dette liv er et øjeblik.
Sæt pris på det, træk inspiration fra det.
Som du bruger det, så går det over.
Glem ikke: hun er din skabelse.

Som med problemet med at finde området, har du brug for selvsikre tegnefærdigheder - dette er næsten det vigtigste (da integralerne i sig selv ofte vil være nemme). Du kan mestre kompetente og hurtige grafiske teknikker ved hjælp af undervisningsmaterialer og geometriske transformationer af grafer. Men faktisk har jeg allerede talt om vigtigheden af tegninger flere gange i klassen.

Generelt er der mange interessante applikationer inden for integralregning; ved hjælp af et bestemt integral kan du beregne arealet af en figur, volumenet af et rotationslegeme, buelængde, rotationsoverfladeareal og meget mere. Så det bliver sjovt, vær venligst optimistisk!

Forestil dig en flad figur på koordinatplanet. introduceret? ... Jeg spekulerer på, hvem præsenterede hvad... =))) Vi har allerede fundet dets område. Men derudover kan denne figur også roteres og roteres på to måder:

– omkring abscisseaksen;
– omkring ordinataksen.

Denne artikel vil undersøge begge tilfælde. Den anden rotationsmetode er særlig interessant, den volder de fleste vanskeligheder, men faktisk er løsningen næsten den samme som i den mere almindelige rotation omkring x-aksen. Som en bonus vender jeg tilbage til problem med at finde arealet af en figur, og jeg vil fortælle dig, hvordan du finder området på den anden måde - langs aksen. Det er ikke så meget en bonus, da materialet passer godt ind i emnet.

Lad os starte med den mest populære type rotation.

flad figur omkring en akse

Eksempel 1

Beregn volumenet af et legeme opnået ved at dreje en figur afgrænset af linjer omkring en akse.

Løsning: Som i problemet med at finde området, løsningen begynder med en tegning af en flad figur. Det vil sige, på planet er det nødvendigt at konstruere en figur afgrænset af linjerne , og glem ikke, at ligningen specificerer aksen. Hvordan man færdiggør en tegning mere effektivt og hurtigt, kan findes på siderne Grafer og egenskaber for elementære funktioner Og Bestemt integral. Hvordan man beregner arealet af en figur. Dette er en kinesisk påmindelse, og på dette tidspunkt vil jeg ikke dvæle yderligere.

Tegningen her er ret simpel:

Den ønskede flade figur er skraveret i blåt, det er den, der roterer rundt om aksen. Som følge af rotationen er resultatet en let ægformet flyvende tallerken, der er symmetrisk om aksen. Faktisk har kroppen et matematisk navn, men jeg er for doven til at præcisere noget i opslagsbogen, så vi går videre.

Hvordan beregner man volumenet af et omdrejningslegeme?

Volumenet af et omdrejningslegeme kan beregnes ved hjælp af formlen:

I formlen skal tallet være til stede før integralet. Så det skete - alt, hvad der kredser i livet, er forbundet med denne konstant.

Jeg tror, det er nemt at gætte, hvordan man sætter grænserne for integration "a" og "be" ud fra den færdige tegning.

Funktion... hvad er denne funktion? Lad os se på tegningen. Den plane figur er afgrænset af grafen for parablen øverst. Dette er den funktion, der er underforstået i formlen.

I praktiske opgaver kan en flad figur nogle gange være placeret under aksen. Dette ændrer ikke noget - integranden i formlen er kvadratisk: , altså integralet er altid ikke-negativt, hvilket er meget logisk.

Lad os beregne volumenet af et rotationslegeme ved hjælp af denne formel:

Som jeg allerede har bemærket, viser integralet sig næsten altid at være simpelt, det vigtigste er at være forsigtig.

Svar:

I dit svar skal du angive dimensionen - kubikenheder. Det vil sige, i vores rotationslegeme er der cirka 3,35 "kuber". Hvorfor kubik enheder? Fordi den mest universelle formulering. Der kan være kubikcentimeter, der kan være kubikmeter, der kan være kubikkilometer osv., så mange grønne mænd kan din fantasi putte i en flyvende tallerken.

Eksempel 2

Find volumenet af en krop dannet ved rotation omkring aksen af en figur afgrænset af linjer, ,

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Lad os overveje to mere komplekse problemer, som man også ofte støder på i praksis.

Eksempel 3

Beregn kroppens volumen opnået ved at dreje rundt om abscisseaksen på figuren afgrænset af linjerne , , og

Løsning: Lad os på tegningen afbilde en flad figur afgrænset af linjerne , , , , uden at glemme, at ligningen definerer aksen:

Den ønskede figur er skraveret i blåt. Når den drejer rundt om sin akse, viser den sig at være en surrealistisk donut med fire hjørner.

Lad os beregne volumenet af omdrejningslegemet som forskel i kropsvolumener.

Lad os først se på figuren cirklet med rødt. Når den drejer rundt om en akse, opnås en keglestub. Lad os betegne volumenet af denne afkortede kegle med .

Overvej figuren, der er cirklet med grønt. Drejer man denne figur rundt om aksen, får man også en keglestub, kun lidt mindre. Lad os betegne dets volumen med .

Og selvfølgelig er forskellen i volumener præcis volumen af vores "donut".

Vi bruger standardformlen til at finde volumen af et omdrejningslegeme:

1) Figuren cirklet med rødt er afgrænset ovenfor af en ret linje, derfor:

2) Figuren cirklet med grønt er afgrænset ovenfor af en ret linje, derfor:

3) Volumen af det ønskede omdrejningslegeme:

Svar:

Det er mærkeligt, at løsningen i dette tilfælde kan kontrolleres ved hjælp af skoleformlen til beregning af volumenet af en afkortet kegle.

Selve beslutningen er ofte skrevet kortere, noget som dette:

Lad os nu tage en lille pause og fortælle dig om geometriske illusioner.

Folk har ofte illusioner forbundet med bind, hvilket blev bemærket af Perelman (en anden) i bogen Underholdende geometri. Se på den flade figur i det løste problem - det ser ud til at være lille i areal, og volumenet af omdrejningslegemet er lidt over 50 kubikenheder, hvilket virker for stort. I øvrigt drikker den gennemsnitlige person, hvad der svarer til et rum med 18 kvadratmeter væske i hele sit liv, hvilket tværtimod virker for lille en volumen.

Generelt var uddannelsessystemet i USSR virkelig det bedste. Den samme bog af Perelman, udgivet tilbage i 1950, udvikler meget godt, som humoristen sagde, tænkning og lærer dig at lede efter originale, ikke-standardiserede løsninger på problemer. Jeg har for nylig genlæst nogle af kapitlerne med stor interesse, jeg anbefaler det, det er tilgængeligt selv for humanister. Nej, du behøver ikke at smile over, at jeg tilbød en fritid, lærdom og brede horisonter i kommunikation er en fantastisk ting.

Efter en lyrisk digression er det lige på sin plads at løse en kreativ opgave:

Eksempel 4

Beregn volumenet af en krop dannet ved rotation om aksen af en flad figur afgrænset af linjerne , , hvor .

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Bemærk venligst, at alle tilfælde forekommer i båndet, med andre ord er der faktisk givet færdige grænser for integration. Tegn graferne for trigonometriske funktioner korrekt, lad mig minde dig om lektionsmaterialet om geometriske transformationer af grafer: hvis argumentet er divideret med to: , så strækkes graferne to gange langs aksen. Det er tilrådeligt at finde mindst 3-4 point ifølge trigonometriske tabeller for at fuldføre tegningen mere præcist. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen. I øvrigt kan opgaven løses rationelt og ikke særlig rationelt.

Beregning af volumen af et legeme dannet ved rotation
flad figur omkring en akse

Andet afsnit vil være endnu mere interessant end det første. Opgaven med at beregne volumenet af et omdrejningslegeme omkring ordinataksen er også en ret almindelig gæst i testarbejde. Undervejs vil det blive overvejet problem med at finde arealet af en figur den anden metode er integration langs aksen, dette vil give dig mulighed for ikke kun at forbedre dine færdigheder, men også lære dig at finde den mest rentable løsningsvej. Det er der også en praktisk livsmening i! Som min lærer i matematikundervisningsmetoder huskede med et smil, takkede mange kandidater hende med ordene: "Dit fag hjalp os meget, nu er vi effektive ledere og leder personalet optimalt." Ved at benytte denne lejlighed udtrykker jeg også min store taknemmelighed til hende, især da jeg bruger den erhvervede viden til dets tilsigtede formål =).

Jeg anbefaler det til alle, selv komplette dummies. Desuden vil materialet lært i andet afsnit give uvurderlig hjælp til at beregne dobbeltintegraler.

Eksempel 5

Givet en flad figur afgrænset af linjerne , , .

1) Find arealet af en flad figur afgrænset af disse linjer.
2) Find kroppens volumen opnået ved at dreje en flad figur afgrænset af disse linjer rundt om aksen.

Opmærksomhed! Selvom du kun vil læse det andet punkt, først Nødvendigvis læs den første!

Løsning: Opgaven består af to dele. Lad os starte med firkanten.

1) Lad os lave en tegning:

Det er let at se, at funktionen angiver den øverste gren af parablen, og funktionen angiver den nederste gren af parablen. Foran os er en triviel parabel, der "ligger på sin side."

Den ønskede figur, hvis område er at finde, er skraveret i blåt.

Hvordan finder man arealet af en figur? Det kan findes på den "sædvanlige" måde, som blev diskuteret i klassen Bestemt integral. Hvordan man beregner arealet af en figur. Desuden findes arealet af figuren som summen af arealerne:
- på segmentet ;
- på segmentet.

Derfor:

Hvorfor er den sædvanlige løsning dårlig i dette tilfælde? For det første fik vi to integraler. For det andet er integraler rødder, og rødder i integraler er ikke en gave, og desuden kan du blive forvirret med at erstatte integrationens grænser. Faktisk er integralerne selvfølgelig ikke dræbende, men i praksis kan alt være meget mere trist, jeg valgte bare "bedre" funktioner til problemet.

Der er en mere rationel løsning: den består i at skifte til inverse funktioner og integrere langs aksen.

Hvordan kommer man til inverse funktioner? Groft sagt skal du udtrykke "x" til "y". Lad os først se på parablen:

Dette er nok, men lad os sørge for, at den samme funktion kan udledes fra den nederste gren:

Det er nemmere med en lige linje:

Se nu på aksen: Vip venligst dit hoved med jævne mellemrum til højre 90 grader, mens du forklarer (dette er ikke en joke!). Den figur, vi skal bruge, ligger på segmentet, som er angivet med den røde stiplede linje. I dette tilfælde er den lige linje på segmentet placeret over parablen, hvilket betyder, at arealet af figuren skal findes ved hjælp af formlen, der allerede er kendt for dig: . Hvad har ændret sig i formlen? Bare et brev og intet mere.

! Bemærk: Grænserne for integration langs aksen bør sættes strengt fra bund til top!

At finde området:

På segmentet derfor:

Bemærk venligst, hvordan jeg udførte integrationen, dette er den mest rationelle måde, og i næste afsnit af opgaven vil det være klart hvorfor.

For læsere, der tvivler på rigtigheden af integration, vil jeg finde derivater:

Den oprindelige integrand-funktion opnås, hvilket betyder, at integrationen blev udført korrekt.

Svar:

2) Lad os beregne volumenet af legemet dannet ved rotationen af denne figur omkring aksen.

Jeg vil omtegne tegningen i et lidt anderledes design:

Så figuren med blåt skygge roterer rundt om aksen. Resultatet er en "svævende sommerfugl", der roterer rundt om sin akse.

For at finde volumen af et rotationslegeme, vil vi integrere langs aksen. Først skal vi gå til inverse funktioner. Dette er allerede blevet gjort og beskrevet i detaljer i det foregående afsnit.

Nu vipper vi hovedet til højre igen og studerer vores figur. Det er klart, at volumenet af et rotationslegeme skal findes som forskellen i volumener.

Vi roterer figuren cirklet i rødt rundt om aksen, hvilket resulterer i en afkortet kegle. Lad os betegne dette bind med .

Vi roterer figuren cirklet med grønt omkring aksen og angiver den med volumenet af det resulterende rotationslegeme.

Volumenet af vores sommerfugl er lig med forskellen i volumener.

Vi bruger formlen til at finde volumen af et omdrejningslegeme:

Hvad er forskellen fra formlen i det foregående afsnit? Kun i brevet.

Men fordelen ved integration, som jeg for nylig talte om, er meget nemmere at finde , snarere end først at hæve integranden til 4. potens.

Svar:

Dog ikke en sygelig sommerfugl.

Bemærk, at hvis den samme flade figur drejes rundt om aksen, vil du naturligvis få et helt andet rotationslegeme, med et andet volumen.

Eksempel 6

Givet en flad figur afgrænset af linjer og en akse.

1) Gå til inverse funktioner og find arealet af en plan figur afgrænset af disse linjer ved at integrere over variablen.
2) Beregn kroppens volumen opnået ved at dreje en flad figur afgrænset af disse linjer rundt om aksen.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Interesserede kan også finde arealet af en figur på den "sædvanlige" måde og derved kontrollere punkt 1). Men hvis, jeg gentager, du drejer en flad figur rundt om aksen, vil du få en helt anden rotationslegeme med et andet volumen, i øvrigt det rigtige svar (også for dem, der kan lide at løse problemer).

En komplet løsning på de to foreslåede punkter i opgaven er i slutningen af lektionen.

Ja, og glem ikke at vippe hovedet til højre for at forstå rotationsorganerne og integrationens grænser!

Hvordan beregner man volumenet af et omdrejningslegeme ved hjælp af et bestemt integral?

Udover at finde arealet af en plan figur ved hjælp af et bestemt integral den vigtigste anvendelse af emnet er beregne volumenet af et omdrejningslegeme. Materialet er enkelt, men læseren skal være forberedt: du skal kunne løse ubestemte integraler medium kompleksitet og anvende Newton-Leibniz formlen i bestemt integral . Som med problemet med at finde området, har du brug for selvsikre tegnefærdigheder - dette er næsten det vigtigste (da integralerne i sig selv ofte vil være nemme). Du kan mestre kompetente og hurtige kortlægningsteknikker ved hjælp af metodisk materiale . Men faktisk har jeg allerede talt om vigtigheden af tegninger flere gange i klassen. .

Generelt er der mange interessante applikationer i integralregning; ved hjælp af et bestemt integral kan du beregne arealet af en figur, volumenet af et rotationslegeme, længden af en bue, overfladearealet af en krop og meget mere. Så det bliver sjovt, vær venligst optimistisk!

– omkring x-aksen; – omkring ordinataksen.

Denne artikel vil undersøge begge tilfælde. Den anden rotationsmetode er særlig interessant, den volder de fleste vanskeligheder, men faktisk er løsningen næsten den samme som i den mere almindelige rotation omkring x-aksen. Som en bonus vender jeg tilbage til problem med at finde arealet af en figur , og jeg vil fortælle dig, hvordan du finder området på den anden måde - langs aksen. Det er ikke så meget en bonus, da materialet passer godt ind i emnet.

Lad os starte med den mest populære type rotation.

Eksempel 1

Beregn volumenet af et legeme opnået ved at dreje en figur afgrænset af linjer omkring en akse.

Løsning: Ligesom i problemet med at finde området, løsningen begynder med en tegning af en flad figur. Det vil sige, på et plan er det nødvendigt at konstruere en figur afgrænset af linjer, og glem ikke, at ligningen definerer aksen. Hvordan man færdiggør en tegning mere effektivt og hurtigt, kan findes på siderne Grafer og egenskaber for elementære funktioner Og Bestemt integral. Hvordan man beregner arealet af en figur . Dette er en kinesisk påmindelse, og på dette tidspunkt vil jeg ikke dvæle yderligere.

Tegningen her er ret simpel:

Den ønskede flade figur er skraveret i blåt; det er den, der roterer rundt om aksen. Som følge af rotation er resultatet en let ægformet flyvende tallerken, der er symmetrisk om aksen. Faktisk har kroppen et matematisk navn, men jeg er for doven til at kigge i opslagsbogen, så vi går videre.

Hvordan beregner man volumenet af et omdrejningslegeme?

Rumfanget af et omdrejningslegeme kan beregnes ved hjælp af formlen:

I formlen skal tallet være til stede før integralet. Så det skete - alt, hvad der kredser i livet, er forbundet med denne konstant.

Jeg tror, det er nemt at gætte, hvordan man sætter grænserne for integration "a" og "be" ud fra den færdige tegning.

Funktion... hvad er denne funktion? Lad os se på tegningen. Den flade figur er afgrænset af parabelgrafen øverst. Dette er den funktion, der er underforstået i formlen.

I praktiske opgaver kan en flad figur nogle gange være placeret under aksen. Dette ændrer ikke noget - funktionen i formlen er kvadratisk: således volumenet af et omdrejningslegeme er altid ikke-negativt, hvilket er meget logisk.

Lad os beregne volumenet af et rotationslegeme ved hjælp af denne formel:

Som jeg allerede har bemærket, viser integralet sig næsten altid at være simpelt, det vigtigste er at være forsigtig.

Svar:

Eksempel 2

Find volumen af en krop dannet ved rotation omkring aksen af en figur afgrænset af linjer,

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Lad os overveje to mere komplekse problemer, som man også ofte støder på i praksis.

Eksempel 3

Beregn volumenet af kroppen opnået ved at rotere omkring abscisseaksen på figuren afgrænset af linjerne ,, og

Løsning: Lad os på tegningen afbilde en flad figur afgrænset af linjerne ,,,, uden at glemme, at ligningen definerer aksen:

Den ønskede figur er skraveret i blåt. Når den drejer rundt om sin akse, viser den sig at være en surrealistisk donut med fire hjørner.

Lad os beregne volumenet af omdrejningslegemet som forskel i kropsvolumener.

Lad os først se på figuren cirklet med rødt. Når den drejer rundt om en akse, opnås en keglestub. Lad os betegne volumen af denne afkortede kegle med.

Overvej figuren, der er cirklet med grønt. Drejer man denne figur rundt om aksen, får man også en keglestub, kun lidt mindre. Lad os betegne dets volumen med.

Og selvfølgelig er forskellen i volumener præcis volumen af vores "donut".

Vi bruger standardformlen til at finde volumen af et omdrejningslegeme:

1) Figuren cirklet med rødt er afgrænset ovenfor af en ret linje, derfor:

2) Figuren cirklet med grønt er afgrænset ovenfor af en ret linje, derfor:

3) Volumen af det ønskede omdrejningslegeme:

Svar:

Det er mærkeligt, at løsningen i dette tilfælde kan kontrolleres ved hjælp af skoleformlen til beregning af volumenet af en afkortet kegle.

Selve beslutningen er ofte skrevet kortere, noget som dette:

Lad os nu tage en lille pause og fortælle dig om geometriske illusioner.

Folk har ofte illusioner forbundet med bind, som blev bemærket af Perelman (ikke den) i bogen Underholdende geometri. Se på den flade figur i det løste problem - det ser ud til at være lille i areal, og volumenet af omdrejningslegemet er lidt over 50 kubikenheder, hvilket virker for stort. I øvrigt drikker den gennemsnitlige person, hvad der svarer til et rum med 18 kvadratmeter væske i hele sit liv, hvilket tværtimod virker for lille en volumen.

Generelt var uddannelsessystemet i USSR virkelig det bedste. Den samme bog af Perelman, skrevet af ham tilbage i 1950, udvikler meget godt, som humoristen sagde, tænkning og lærer en at lede efter originale, ikke-standardiserede løsninger på problemer. Jeg har for nylig genlæst nogle af kapitlerne med stor interesse, jeg anbefaler det, det er tilgængeligt selv for humanister. Nej, du behøver ikke at smile over, at jeg tilbød en fritid, lærdom og brede horisonter i kommunikation er en fantastisk ting.

Efter en lyrisk digression er det lige på sin plads at løse en kreativ opgave:

Eksempel 4

Beregn volumenet af et legeme dannet ved rotation om aksen af en flad figur afgrænset af linjer,, hvor.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Bemærk, at alle ting sker i bandet, med andre ord er der givet praktisk talt færdige grænser for integration. Prøv også at tegne graferne for trigonometriske funktioner korrekt; hvis argumentet er divideret med to: så strækkes graferne langs aksen to gange. Prøv at finde mindst 3-4 point ifølge trigonometriske tabeller og færdiggør tegningen mere præcist. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen. I øvrigt kan opgaven løses rationelt og ikke særlig rationelt.

Beregning af volumen af et legeme dannet ved at dreje en flad figur omkring en akse

Eksempel 5

Givet en flad figur afgrænset af linjer ,,.

1) Find arealet af en flad figur afgrænset af disse linjer. 2) Find kroppens volumen opnået ved at dreje en flad figur afgrænset af disse linjer rundt om aksen.

Opmærksomhed! Selvom du kun vil læse det andet punkt, først Nødvendigvis læs den første!

Løsning: Opgaven består af to dele. Lad os starte med firkanten.

1) Lad os lave en tegning:

Det er let at se, at funktionen angiver den øverste gren af parablen, og funktionen angiver den nederste gren af parablen. Foran os er en triviel parabel, der "ligger på sin side."

Den ønskede figur, hvis område er at finde, er skraveret i blåt.

Hvordan finder man arealet af en figur? Det kan findes på den "sædvanlige" måde, som blev diskuteret i klassen Bestemt integral. Hvordan man beregner arealet af en figur . Desuden findes figurens areal som summen af arealerne: – på segmentet ; - på segmentet.

Derfor:

Der er en mere rationel løsning: den består i at skifte til inverse funktioner og integrere langs aksen.

Hvordan kommer man til inverse funktioner? Groft sagt skal du udtrykke "x" til "y". Lad os først se på parablen:

Dette er nok, men lad os sørge for, at den samme funktion kan udledes fra den nederste gren:

Det er nemmere med en lige linje:

Se nu på aksen: Vip venligst dit hoved med jævne mellemrum til højre 90 grader, mens du forklarer (dette er ikke en joke!). Den figur, vi skal bruge, ligger på segmentet, som er angivet med den røde stiplede linje. Desuden er den lige linje på segmentet placeret over parablen, hvilket betyder, at arealet af figuren skal findes ved hjælp af formlen, der allerede er kendt for dig: . Hvad har ændret sig i formlen? Bare et brev og intet mere.

! Bemærk: Integrationsgrænserne langs aksen skal indstillesstrengt fra bund til top !

At finde området:

På segmentet derfor:

Bemærk venligst, hvordan jeg udførte integrationen, dette er den mest rationelle måde, og i næste afsnit af opgaven vil det være klart hvorfor.

For læsere, der tvivler på rigtigheden af integration, vil jeg finde derivater:

Den oprindelige integrand-funktion opnås, hvilket betyder, at integrationen blev udført korrekt.

Svar:

2) Lad os beregne volumenet af legemet dannet ved rotationen af denne figur omkring aksen.

Jeg vil omtegne tegningen i et lidt anderledes design:

Så figuren med blåt skygge roterer rundt om aksen. Resultatet er en "svævende sommerfugl", der roterer rundt om sin akse.

For at finde volumen af et rotationslegeme, vil vi integrere langs aksen. Først skal vi gå til inverse funktioner. Dette er allerede blevet gjort og beskrevet i detaljer i det foregående afsnit.

Nu vipper vi hovedet til højre igen og studerer vores figur. Det er klart, at volumenet af et rotationslegeme skal findes som forskellen i volumener.

Vi roterer figuren cirklet i rødt rundt om aksen, hvilket resulterer i en afkortet kegle. Lad os betegne dette bind med.

Vi roterer figuren cirklet med grønt omkring aksen og angiver med volumenet af det resulterende rotationslegeme.

Volumenet af vores sommerfugl er lig med forskellen i volumener.

Vi bruger formlen til at finde volumen af et omdrejningslegeme:

Hvad er forskellen fra formlen i det foregående afsnit? Kun i brevet.

Men fordelen ved integration, som jeg for nylig talte om, er meget nemmere at finde , snarere end først at hæve integranden til 4. potens.

Sådan beregnes volumen af et omdrejningslegeme
bruger et bestemt integral?

Generelt er der mange interessante applikationer i integralregning; ved hjælp af et bestemt integral kan du beregne arealet af en figur, volumenet af et rotationslegeme, længden af en bue, overfladearealet af rotation og meget mere. Så det bliver sjovt, vær venligst optimistisk!

- omkring abscisse-aksen;
- omkring ordinataksen.

Lad os starte med den mest populære type rotation.

flad figur omkring en akse

Beregn volumenet af et legeme opnået ved at dreje en figur afgrænset af linjer omkring en akse.

Løsning: Som i problemet med at finde området, løsningen begynder med en tegning af en flad figur. Det vil sige, på planet er det nødvendigt at konstruere en figur afgrænset af linjerne , og glem ikke, at ligningen specificerer aksen. Hvordan man færdiggør en tegning mere effektivt og hurtigt, kan findes på siderne Grafer og egenskaber for elementære funktioner Og . Dette er en kinesisk påmindelse, og på dette tidspunkt vil jeg ikke dvæle yderligere.

Tegningen her er ret simpel:

Hvordan beregner man volumenet af et omdrejningslegeme?

Volumenet af et omdrejningslegeme kan beregnes ved hjælp af formlen:

I formlen skal tallet være til stede før integralet. Så det skete - alt, hvad der kredser i livet, er forbundet med denne konstant.

Jeg tror, det er nemt at gætte, hvordan man sætter grænserne for integration "a" og "be" ud fra den færdige tegning.

Funktion... hvad er denne funktion? Lad os se på tegningen. Den plane figur er afgrænset af grafen for parablen øverst. Dette er den funktion, der er underforstået i formlen.

Lad os beregne volumenet af et rotationslegeme ved hjælp af denne formel:

Som jeg allerede har bemærket, viser integralet sig næsten altid at være simpelt, det vigtigste er at være forsigtig.

Svar:

Find volumenet af en krop dannet ved rotation omkring aksen af en figur afgrænset af linjer, ,

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Lad os overveje to mere komplekse problemer, som man også ofte støder på i praksis.

Beregn kroppens volumen opnået ved at dreje rundt om abscisseaksen på figuren afgrænset af linjerne , , og

Løsning: Lad os på tegningen afbilde en flad figur afgrænset af linjerne , , , , uden at glemme, at ligningen definerer aksen:

Den ønskede figur er skraveret i blåt. Når den drejer rundt om sin akse, viser den sig at være en surrealistisk donut med fire hjørner.

Lad os beregne volumenet af omdrejningslegemet som forskel i kropsvolumener.

Lad os først se på figuren cirklet med rødt. Når den drejer rundt om en akse, opnås en keglestub. Lad os betegne volumenet af denne afkortede kegle med .

Overvej figuren, der er cirklet med grønt. Drejer man denne figur rundt om aksen, får man også en keglestub, kun lidt mindre. Lad os betegne dets volumen med .

Og selvfølgelig er forskellen i volumener præcis volumen af vores "donut".

Vi bruger standardformlen til at finde volumen af et omdrejningslegeme:

1) Figuren cirklet med rødt er afgrænset ovenfor af en ret linje, derfor:

2) Figuren cirklet med grønt er afgrænset ovenfor af en ret linje, derfor:

3) Volumen af det ønskede omdrejningslegeme:

Svar:

Det er mærkeligt, at løsningen i dette tilfælde kan kontrolleres ved hjælp af skoleformlen til beregning af volumenet af en afkortet kegle.

Selve beslutningen er ofte skrevet kortere, noget som dette:

Lad os nu tage en lille pause og fortælle dig om geometriske illusioner.

Efter en lyrisk digression er det lige på sin plads at løse en kreativ opgave:

Beregn volumenet af en krop dannet ved rotation om aksen af en flad figur afgrænset af linjerne , , hvor .

Beregning af volumen af et legeme dannet ved rotation
flad figur omkring en akse

Jeg anbefaler det til alle, selv komplette dummies. Desuden vil materialet lært i andet afsnit give uvurderlig hjælp til at beregne dobbeltintegraler.

Givet en flad figur afgrænset af linjerne , , .

1) Find arealet af en flad figur afgrænset af disse linjer.
2) Find kroppens volumen opnået ved at dreje en flad figur afgrænset af disse linjer rundt om aksen.

Opmærksomhed! Selvom du kun vil læse det andet punkt, så sørg for at læse det første først!

Løsning: Opgaven består af to dele. Lad os starte med firkanten.

1) Lad os lave en tegning:

Det er let at se, at funktionen angiver den øverste gren af parablen, og funktionen angiver den nederste gren af parablen. Foran os er en triviel parabel, der "ligger på sin side."

Den ønskede figur, hvis område er at finde, er skraveret i blåt.

Derfor:

Hvorfor er den sædvanlige løsning dårlig i dette tilfælde? For det første fik vi to integraler. For det andet er der rødder under integraler, og rødder i integraler er ikke en gave, og desuden kan du blive forvirret med at erstatte grænserne for integration. Faktisk er integralerne selvfølgelig ikke dræbende, men i praksis kan alt være meget mere trist, jeg valgte bare "bedre" funktioner til problemet.

Der er en mere rationel løsning: den består i at skifte til inverse funktioner og integrere langs aksen.

Hvordan kommer man til inverse funktioner? Groft sagt skal du udtrykke "x" til "y". Lad os først se på parablen:

Dette er nok, men lad os sørge for, at den samme funktion kan udledes fra den nederste gren:

Det er nemmere med en lige linje:

! Bemærk: Grænserne for integration langs aksen bør sættes strengt fra bund til top!

At finde området:

På segmentet derfor:

Bemærk venligst, hvordan jeg udførte integrationen, dette er den mest rationelle måde, og i næste afsnit af opgaven vil det være klart hvorfor.

For læsere, der tvivler på rigtigheden af integration, vil jeg finde derivater:

Den oprindelige integrand-funktion opnås, hvilket betyder, at integrationen blev udført korrekt.

Svar:

2) Lad os beregne volumenet af legemet dannet ved rotationen af denne figur omkring aksen.

Jeg vil omtegne tegningen i et lidt anderledes design: