Sådan finder du det mindste fælles multiplum. Least Common Multiple (LCM) - definition, eksempler og egenskaber

Tegn på delelighed af naturlige tal.

Tal, der er delelige med 2 uden rest, kaldesogså selvom .

Tal, der ikke er lige delelige med 2, kaldesulige .

Tegn på delelighed med 2

Hvis posten af ​​et naturligt tal ender med et lige ciffer, så er dette tal deleligt med 2 uden en rest, og hvis posten af ​​et tal slutter med et ulige ciffer, så er dette tal ikke deleligt med 2 uden en rest.

For eksempel tallene 60 , 30 8 , 8 4 er delelige uden rest med 2, og tallene 51 , 8 5 , 16 7 er ikke delelige med 2 uden en rest.

Tegn på delelighed med 3

Hvis summen af ​​cifrene i et tal er deleligt med 3, så er tallet også deleligt med 3; Hvis summen af ​​cifrene i et tal ikke er deleligt med 3, så er tallet ikke deleligt med 3.

Lad os for eksempel finde ud af, om tallet 2772825 er deleligt med 3. For at gøre dette beregner vi summen af ​​cifrene i dette tal: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - er deleligt med 3 Så tallet 2772825 er deleligt med 3.

Tegn på delelighed med 5

Hvis posten af ​​et naturligt tal ender med tallet 0 eller 5, så er dette tal deleligt uden rest med 5. Hvis posten af ​​et tal slutter med et andet ciffer, så er tallet uden rest ikke deleligt med 5.

For eksempel nummer 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 er delelige uden rest med 5, og tallene 17 , 37 8 , 9 1 del ikke.

Tegn på delelighed med 9

Hvis summen af ​​cifrene i et tal er deleligt med 9, så er tallet også deleligt med 9; Hvis summen af ​​cifrene i et tal ikke er deleligt med 9, så er tallet ikke deleligt med 9.

Lad os for eksempel finde ud af, om tallet 5402070 er deleligt med 9. For at gøre dette beregner vi summen af ​​cifrene i dette tal: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - er ikke deleligt med 9. Det betyder, at tallet 5402070 ikke er deleligt med 9.

Tegn på delelighed med 10

Hvis posten af ​​et naturligt tal ender med cifferet 0, så er dette tal deleligt med 10 uden rest. Hvis posten af ​​et naturligt tal slutter med et andet ciffer, så er det ikke deleligt med 10 uden rest.

For eksempel tallene 40 , 17 0 , 1409 0 er delelige uden rest med 10, og tallene 17 , 9 3 , 1430 7 - del ikke.

Reglen for at finde den største fælles divisor (gcd).

For at finde den største fælles divisor af flere naturlige tal skal du:

2) fra de faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af ​​et af disse tal, skal du strege dem ud, der ikke er inkluderet i udvidelsen af ​​andre numre;

3) find produktet af de resterende faktorer.

Eksempel. Lad os finde GCD (48;36). Lad os bruge reglen.

1. Vi opdeler tallene 48 og 36 i primfaktorer.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Fra de faktorer, der indgår i udvidelsen af ​​tallet 48, sletter vi dem, der ikke indgår i udvidelsen af ​​tallet 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Der er faktor 2, 2 og 3.

3. Gang de resterende faktorer og få 12. Dette tal er den største fælles divisor af tallene 48 og 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Reglen for at finde det mindste fælles multiplum (LCM).

For at finde det mindste fælles multiplum af flere naturlige tal skal du:

1) nedbryde dem i prime faktorer;

2) udskriv de faktorer, der indgår i udvidelsen af ​​et af tallene;

3) tilføj dem de manglende faktorer fra udvidelserne af de resterende tal;

4) find produktet af de resulterende faktorer.

Eksempel. Lad os finde LCM (75;60). Lad os bruge reglen.

1. Vi opdeler tallene 75 og 60 i primfaktorer.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Skriv ned de faktorer, der indgår i udvidelsen af ​​tallet 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Læg dem de manglende faktorer fra nedbrydningen af ​​tallet 60, dvs. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Find produktet af de resulterende faktorer

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Online-beregneren giver dig mulighed for hurtigt at finde den største fælles divisor og mindste fælles multiplum af to eller et hvilket som helst andet antal tal.

Lommeregner til at finde GCD og NOC

Find GCD og NOC

GCD og NOC fundet: 5806

Sådan bruger du lommeregneren

• Indtast tal i indtastningsfeltet
• I tilfælde af indtastning af forkerte tegn, vil indtastningsfeltet blive fremhævet med rødt
• tryk på knappen "Find GCD og NOC"

Sådan indtaster du tal

• Tal indtastes adskilt af mellemrum, prikker eller kommaer
• Længden af ​​de indtastede numre er ikke begrænset, så det vil ikke være svært at finde gcd og lcm for lange tal

Hvad er NOD og NOK?

Største fælles deler af flere tal er det største naturlige heltal, som alle de oprindelige tal er delelige med uden en rest. Den største fælles divisor forkortes som GCD.
Mindste fælles multiplum flere tal er det mindste tal, der er deleligt med hvert af de oprindelige tal uden en rest. Det mindste fælles multiplum forkortes som NOC.

Hvordan kontrollerer man, om et tal er deleligt med et andet tal uden en rest?

For at finde ud af, om et tal er deleligt med et andet uden en rest, kan du bruge nogle egenskaber for tals delelighed. Derefter kan man ved at kombinere dem kontrollere deleligheden med nogle af dem og deres kombinationer.

Nogle tegn på delelighed af tal

1. Tegn på delelighed af et tal med 2
For at bestemme, om et tal er deleligt med to (om det er lige), er det nok at se på det sidste ciffer i dette tal: hvis det er lig med 0, 2, 4, 6 eller 8, så er tallet lige, hvilket betyder at det er deleligt med 2.
Eksempel: afgør, om tallet 34938 er deleligt med 2.
Løsning: se på det sidste ciffer: 8 betyder, at tallet er deleligt med to.

2. Tegn på delelighed af et tal med 3
Et tal er deleligt med 3, når summen af ​​dets cifre er deleligt med 3. For at afgøre, om et tal er deleligt med 3, skal du beregne summen af ​​cifrene og kontrollere, om det er deleligt med 3. Selvom summen af ​​cifrene viste sig at være meget stor, kan du gentage den samme proces igen.
Eksempel: afgør, om tallet 34938 er deleligt med 3.
Løsning: vi tæller summen af ​​cifrene: 3+4+9+3+8 = 27. 27 er deleligt med 3, hvilket betyder at tallet er deleligt med tre.

3. Tegn på delelighed af et tal med 5
Et tal er deleligt med 5, når dets sidste ciffer er nul eller fem.
Eksempel: afgør, om tallet 34938 er deleligt med 5.
Løsning: se på det sidste ciffer: 8 betyder, at tallet IKKE er deleligt med fem.

4. Tegn på delelighed af et tal med 9
Dette tegn er meget lig tegnet for delelighed med tre: et tal er deleligt med 9, når summen af ​​dets cifre er deleligt med 9.
Eksempel: afgør, om tallet 34938 er deleligt med 9.
Løsning: vi udregner summen af ​​cifrene: 3+4+9+3+8 = 27. 27 er deleligt med 9, hvilket betyder at tallet er deleligt med ni.

Sådan finder du GCD og LCM af to numre

Sådan finder du GCD for to tal

Den enkleste måde at beregne den største fælles divisor af to tal på er at finde alle mulige divisorer af disse tal og vælge den største af dem.

Overvej denne metode ved at bruge eksemplet med at finde GCD(28, 36):

1. Vi faktoriserer begge tal: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Vi finder fælles faktorer, det vil sige dem, som begge tal har: 1, 2 og 2.
3. Vi beregner produktet af disse faktorer: 1 2 2 \u003d 4 - dette er den største fælles divisor af tallene 28 og 36.

Sådan finder du LCM for to tal

Der er to mest almindelige måder at finde det mindste multiplum af to tal. Den første måde er, at du kan udskrive de første multipla af to tal, og så vælge blandt dem et sådant tal, der vil være fælles for begge tal og samtidig det mindste. Og det andet er at finde GCD for disse tal. Lad os lige overveje det.

For at beregne LCM skal du beregne produktet af de oprindelige tal og derefter dividere det med den tidligere fundne GCD. Lad os finde LCM for de samme tal 28 og 36:

1. Find produktet af tallene 28 og 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) er allerede kendt for at være 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finde GCD og LCM for flere numre

Den største fælles divisor kan findes for flere tal, og ikke kun for to. Til dette opdeles tallene, der skal findes for den største fælles divisor, i primfaktorer, hvorefter produktet af de fælles primfaktorer for disse tal findes. For at finde GCD for flere numre kan du også bruge følgende forhold: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

En lignende relation gælder også for det mindste fælles multiplum af tal: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Eksempel: find GCD og LCM for numrene 12, 32 og 36.

1. Lad os først faktorisere tallene: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Lad os finde fælles faktorer: 1, 2 og 2.
3. Deres produkt vil give gcd: 1 2 2 = 4
4. Lad os nu finde LCM: for dette finder vi først LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. For at finde LCM for alle tre tal skal du finde GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Men mange naturlige tal er ligeligt delelige med andre naturlige tal.

For eksempel:

Tallet 12 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;

Tallet 36 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

De tal, som tallet er deleligt med (for 12 er det 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kaldes taldelere. Divisor af et naturligt tal -en er det naturlige tal, der deler det givne tal -en uden spor. Et naturligt tal, der har mere end to faktorer kaldes sammensatte .

Bemærk, at tallene 12 og 36 har fælles divisorer. Disse er tallene: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største divisor af disse tal er 12. Den fælles divisor for disse to tal -en og b er det tal, som begge givne tal er delelige med uden en rest -en og b.

fælles multiplum flere tal kaldes det tal, der er deleligt med hvert af disse tal. For eksempel, tallene 9, 18 og 45 har et fælles multiplum på 180. Men 90 og 360 er også deres fælles multiplum. Blandt alle jcommon multipla er der altid det mindste, i dette tilfælde er det 90. Dette tal kaldes mindstfælles multiplum (LCM).

LCM er altid et naturligt tal, som skal være større end det største af de tal, som det er defineret for.

Mindste fælles multiplum (LCM). Ejendomme.

Kommutativitet:

Associativitet:

Især hvis og er coprimtal , så:

Mindste fælles multiplum af to heltal m og n er en divisor af alle andre fælles multipla m og n. Desuden sættet af fælles multipla m,n falder sammen med mængden af ​​multipler for LCM( m,n).

Asymptotikken for kan udtrykkes i form af nogle talteoretiske funktioner.

Så, Chebyshev funktion. Såvel som:

Dette følger af definitionen og egenskaberne for Landau-funktionen g(n).

Hvad følger af loven om fordeling af primtal.

Find det mindste fælles multiplum (LCM).

NOC( a, b) kan beregnes på flere måder:

1. Hvis den største fælles divisor er kendt, kan du bruge dens forhold til LCM:

2. Lad den kanoniske dekomponering af begge tal i primtal være kendt:

hvor p 1,...,p k er forskellige primtal, og d 1,...,dk og e 1,...,ek er ikke-negative heltal (de kan være nul, hvis det tilsvarende primtal ikke er i udvidelsen).

Derefter LCM ( -en,b) beregnes med formlen:

Med andre ord indeholder LCM-udvidelsen alle primfaktorer, der er inkluderet i mindst én af taludvidelserne a, b, og den største af de to eksponenter for denne faktor tages.

Eksempel:

Beregningen af ​​det mindste fælles multiplum af flere tal kan reduceres til flere successive beregninger af LCM af to tal:

Herske. For at finde LCM for en række tal skal du bruge:

- nedbryde tal i primfaktorer;

- overfør den største udvidelse til faktorerne for det ønskede produkt (produktet af faktorerne af det største antal af de givne), og tilføj derefter faktorer fra udvidelsen af ​​andre tal, der ikke forekommer i det første tal eller er i det et mindre antal gange;

- det resulterende produkt af primfaktorer vil være LCM af de givne tal.

Alle to eller flere naturlige tal har deres egen LCM. Hvis tallene ikke er multipla af hinanden eller ikke har de samme faktorer i udvidelsen, så er deres LCM lig med produktet af disse tal.

Primfaktorerne for tallet 28 (2, 2, 7) blev suppleret med en faktor 3 (tallet 21), det resulterende produkt (84) vil være det mindste tal, der er deleligt med 21 og 28.

Primfaktorerne for det største tal 30 blev suppleret med en faktor 5 af tallet 25, det resulterende produkt 150 er større end det største tal 30 og er deleligt med alle givne tal uden en rest. Dette er det mindst mulige produkt (150, 250, 300...), som alle givne tal er multipla af.

Tallene 2,3,11,37 er primtal, så deres LCM er lig med produktet af de givne tal.

Herske. For at beregne LCM af primtal skal du gange alle disse tal sammen.

En anden mulighed:

For at finde det mindste fælles multiplum (LCM) af flere tal skal du bruge:

1) repræsentere hvert tal som et produkt af dets primfaktorer, for eksempel:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) nedskriv styrkerne af alle primfaktorer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) nedskriv alle primdivisorer (multiplikatorer) af hvert af disse tal;

4) vælg den største grad af hver af dem, der findes i alle udvidelser af disse tal;

5) gange disse potenser.

Eksempel. Find LCM for tallene: 168, 180 og 3024.

Løsning. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Vi skriver de største potenser af alle primtal divisorer og gange dem:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Mange divisorer

Overvej følgende problem: find divisoren for tallet 140. Det er indlysende, at tallet 140 ikke har én divisor, men flere. I sådanne tilfælde siges opgaven at have masser af løsninger. Lad os finde dem alle. Først og fremmest dekomponerer vi dette tal i primfaktorer:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Nu kan vi nemt skrive alle divisorerne ud. Lad os starte med simple divisorer, det vil sige dem, der er til stede i udvidelsen ovenfor:

Derefter udskriver vi dem, der opnås ved parvis multiplikation af primtalsdelere:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Derefter - dem, der indeholder tre simple divisorer:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Lad os endelig ikke glemme enheden og selve det nedbrydelige nummer:

Alle divisorer fundet af os danner masser af divisorer af tallet 140, som er skrevet med krøllede seler:

Sættet af divisorer af tallet 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

For at lette opfattelsen har vi skrevet divisorerne ud her ( sæt elementer) i stigende rækkefølge, men generelt set er dette ikke nødvendigt. Derudover introducerer vi en forkortelse. I stedet for "Sættet af divisorer af tallet 140" vil vi skrive "D (140)". På denne måde

På samme måde kan man finde sættet af divisorer for ethvert andet naturligt tal. For eksempel fra nedbrydningen

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

vi får:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Fra mængden af ​​alle divisorer bør man skelne mængden af ​​primtal divisorer, som for tallene 140 og 105 er ens, henholdsvis:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Det skal understreges, at ved dekomponeringen af ​​tallet 140 i primfaktorer er to til stede to gange, mens det i mængden PD(140) kun er én. Sættet af PD(140) er i bund og grund alle svarene på problemet: "Find en primfaktor af tallet 140". Det er klart, at det samme svar ikke bør gentages mere end én gang.

Brøkreduktion. Største fælles deler

Overvej en brøkdel

Vi ved, at denne brøk kan reduceres med et tal, der både er en divisor af tælleren (105) og en divisor af nævneren (140). Lad os se på mængderne D(105) og D(140) og skrive deres fælles elementer ned.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Fælles elementer i mængderne D(105) og D(140) =

Den sidste lighed kan skrives kortere, nemlig:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Her angiver det specielle ikon "∩" ("pose med hullet nede") blot, at fra de to sæt, der er skrevet på hver sin side af den, skal der kun vælges almindelige elementer. Indtastningen "D (105) ∩ D (140)" lyder " vejkryds sæt af Te fra 105 og Te fra 140.

[Bemærk undervejs, at du kan udføre forskellige binære operationer med mængder, næsten som med tal. En anden almindelig binær operation er en forening, hvilket er angivet med ikonet "∪" ("pose med hullet opad"). Foreningen af ​​to sæt inkluderer alle elementerne i begge sæt:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Så vi fandt ud af, at brøken

kan reduceres til et hvilket som helst af de numre, der hører til sættet

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

og kan ikke reduceres med noget andet naturligt tal. Her er alle mulige måder at reducere på (undtagen den uinteressante reduktion med én):

Det er indlysende, at det er mest praktisk at reducere brøken med et tal, hvis det er muligt, et større. I dette tilfælde er det tallet 35, som siges at være største fælles divisor (GCD) nummer 105 og 140. Dette skrives som

gcd(105, 140) = 35.

Men i praksis, hvis vi får to tal og skal finde deres største fælles divisor, behøver vi slet ikke bygge nogen mængder. Det er nok blot at faktorisere begge tal i primfaktorer og understrege de af disse faktorer, der er fælles for begge faktoriseringer, for eksempel:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Hvis vi multiplicerer de understregede tal (i enhver af udvidelserne), får vi:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Det er selvfølgelig muligt, at der er mere end to understregede faktorer:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Herfra er det tydeligt

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Særlig omtale fortjener situationen, når der slet ikke er nogen fælles faktorer, og der ikke er noget at understrege, for eksempel:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

I dette tilfælde,

gcd(42, 55) = 1.

To naturlige tal, for hvilke gcd er lig med én, kaldes coprime. Hvis du laver en brøk af sådanne tal, f.eks.

så er sådan en brøkdel irreducerbar.

Generelt kan reglen for reduktion af brøker skrives som følger:

Her antages det -en og b er naturlige tal, og alle brøker er positive. Hvis vi nu tildeler et minustegn til begge sider af denne lighed, får vi den tilsvarende regel for negative brøker.

Addition og subtraktion af brøker. Mindste fælles multiplum

Antag, at du vil beregne summen af ​​to brøker:

Vi ved allerede, hvordan nævnere dekomponeres i primfaktorer:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Det følger umiddelbart af denne udvidelse, at for at bringe brøkerne til en fællesnævner er det nok at gange tælleren og nævneren af ​​den første brøk med 2 ∙ 2 (produktet af ubetonede primfaktorer af den anden nævner), og tælleren og nævneren for den anden brøk med 3 ("produkt" uunderstregede primtalsfaktorer for den første nævner). Som et resultat vil nævnerne af begge brøker blive lig med et tal, der kan repræsenteres som følger:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Det er let at se, at begge de oprindelige nævnere (både 105 og 140) er divisorer af tallet 420, og tallet 420 er til gengæld et multiplum af begge nævnere - og ikke bare et multiplum, det er mindste fælles multiplum (NOC) nummer 105 og 140. Dette er skrevet sådan her:

LCM(105; 140) = 420.

Ser vi nærmere på udvidelsen af ​​tallene 105 og 140, ser vi det

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Tilsvarende for vilkårlige naturlige tal b og d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Lad os nu færdiggøre summeringen af ​​vores brøker:

Det mindste fælles multiplum af to tal er direkte relateret til den største fælles divisor af disse tal. Dette forbindelse mellem GCD og NOC er defineret af følgende sætning.

Sætning.

Det mindste fælles multiplum af to positive heltal a og b er lig med produktet af a og b divideret med den største fælles divisor af a og b, dvs. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Bevis.

Lade M er et eller andet multiplum af tallene a og b. Det vil sige, M er delelig med a, og ved definitionen af ​​delelighed er der et eller andet heltal k, således at ligheden M=a·k er sand. Men M er også deleligt med b, så er a k deleligt med b.

Betegn gcd(a, b) som d . Så kan vi nedskrive lighederne a=a 1 ·d og b=b 1 ·d, og a 1 =a:d og b 1 =b:d vil være coprimtal. Derfor kan betingelsen opnået i det foregående afsnit, at a k er delelig med b, omformuleres som følger: a 1 d k er delelig med b 1 d , og dette, på grund af delelighedens egenskaber, svarer til betingelsen om, at a 1 k er deleligt med b en.

Vi skal også nedskrive to vigtige konsekvenser fra den betragtede sætning.

Fælles multipla af to tal er det samme som multipla af deres mindste fælles multiplum.

Dette er sandt, eftersom ethvert fælles multiplum af M-tal a og b er defineret af ligheden M=LCM(a, b) t for en eller anden heltalværdi t .

Det mindste fælles multiplum af positive positive tal a og b er lig med deres produkt.

Begrundelsen for dette faktum er ret indlysende. Da a og b er coprime, så gcd(a, b)=1, derfor, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Mindste fælles multiplum af tre eller flere tal

At finde det mindste fælles multiplum af tre eller flere tal kan reduceres til successivt at finde LCM af to tal. Hvordan dette gøres er angivet i følgende sætning: a 1 , a 2 , …, a k falder sammen med fælles multipla af tal m k-1 og a k falder derfor sammen med multipla af m k . Og da det mindst positive multiplum af tallet m k er tallet m k selv, så er det mindste fælles multiplum af tallene a 1 , a 2 , …, a k m k .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. osv. Matematik. 6. klasse: lærebog for uddannelsesinstitutioner.
• Vinogradov I.M. Grundlæggende om talteori.
• Mikhelovich Sh.Kh. Talteori.
• Kulikov L.Ya. m.fl. Opgavesamling i algebra og talteori: Lærebog for elever i fiz.-mat. pædagogiske institutters specialer.