Hvordan man beregner summen af ​​en geometrisk progression. Aritmetiske og geometriske progressioner

Hvis hvert naturligt tal n matche et reelt tal en n , så siger de, at givet nummerrækkefølge :

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . , en n , . . . .

Så en numerisk sekvens er en funktion af et naturligt argument.

Nummer -en 1 hedder det første medlem af sekvensen , nummer -en 2 — det andet medlem af sekvensen , nummer -en 3 — tredje etc. Nummer en n hedder n. medlem af sekvensen , og det naturlige tal n — hans nummer .

Fra to nabomedlemmer en n og en n +1 medlemssekvenser en n +1 hedder efterfølgende (hen imod en n ), a en n — Tidligere (hen imod en n +1 ).

For at angive en sekvens skal du angive en metode, der giver dig mulighed for at finde et sekvensmedlem med et hvilket som helst tal.

Ofte er rækkefølgen givet med n. leds formler , det vil sige en formel, der giver dig mulighed for at bestemme et sekvensmedlem ved dets nummer.

For eksempel,

rækkefølgen af ​​positive ulige tal kan gives ved formlen

en n= 2n- 1,

og sekvensen af ​​alternerende 1 og -1 - formel

b n = (-1)n +1 . ◄

Rækkefølgen kan bestemmes tilbagevendende formel, det vil sige en formel, der udtrykker ethvert medlem af sekvensen, begyndende med nogle, gennem de foregående (et eller flere) medlemmer.

For eksempel,

hvis -en 1 = 1 , a en n +1 = en n + 5

-en 1 = 1,

-en 2 = -en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

-en 3 = -en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

-en 4 = -en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

-en 5 = -en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Hvis en en 1= 1, en 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , derefter indstilles de første syv medlemmer af den numeriske sekvens som følger:

en 1 = 1,

en 2 = 1,

en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

-en 6 = -en 4 + -en 5 = 3 + 5 = 8,

-en 7 = -en 5 + -en 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan være endelig og endeløs .

Rækkefølgen kaldes ultimative hvis den har et begrænset antal medlemmer. Rækkefølgen kaldes endeløs hvis den har uendeligt mange medlemmer.

For eksempel,

sekvens af tocifrede naturlige tal:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

endelig.

Primtalsrækkefølge:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endeløs. ◄

Rækkefølgen kaldes stigende , hvis hvert af dets medlemmer, startende fra det andet, er større end det foregående.

Rækkefølgen kaldes aftagende , hvis hvert af dets medlemmer, startende fra det andet, er mindre end det foregående.

For eksempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . er en stigende sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . er en faldende sekvens. ◄

En sekvens, hvis elementer ikke falder med stigende antal, eller omvendt ikke stiger, kaldes monoton sekvens .

Monotoniske sekvenser er især stigende sekvenser og faldende sekvenser.

Aritmetisk progression

Aritmetisk progression en sekvens kaldes, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det foregående, hvortil det samme tal tilføjes.

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . , en n, . . .

er en aritmetisk progression, hvis for et hvilket som helst naturligt tal n betingelse er opfyldt:

en n +1 = en n + d,

hvor d - et eller andet nummer.

Således er forskellen mellem de næste og de foregående medlemmer af en given aritmetisk progression altid konstant:

en 2 - -en 1 = en 3 - -en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.

Nummer d hedder forskellen på en aritmetisk progression.

For at indstille en aritmetisk progression er det nok at specificere dens første led og forskel.

For eksempel,

hvis -en 1 = 3, d = 4 , så findes de første fem led i sekvensen som følger:

en 1 =3,

en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,

en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,

-en 5 = -en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

For en aritmetisk progression med det første led -en 1 og forskel d hende n

en n = en 1 + (n- 1)d.

For eksempel,

find det tredivte led i en aritmetisk progression

1, 4, 7, 10, . . .

en 1 =1, d = 3,

en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = en 1 + (n- 2)d,

en n= en 1 + (n- 1)d,

en n +1 = -en 1 + nd,

så åbenbart

hvert medlem af den aritmetiske progression, startende fra den anden, er lig med det aritmetiske gennemsnit af de foregående og efterfølgende medlemmer.

tallene a, b og c er på hinanden følgende medlemmer af en eller anden aritmetisk progression, hvis og kun hvis en af ​​dem er lig med det aritmetiske middelværdi af de to andre.

For eksempel,

en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progression.

Lad os bruge udsagnet ovenfor. Vi har:

en n = 2n- 7,

en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Derfor,

◄

Noter det n -th medlem af en aritmetisk progression kan findes ikke kun gennem -en 1 , men også alle tidligere en k

en n = en k + (n- k)d.

For eksempel,

til -en 5 kan skrives

en 5 = en 1 + 4d,

en 5 = en 2 + 3d,

en 5 = en 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ◄

en n = en n-k + kd,

en n = a n+k - kd,

så åbenbart

ethvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra den anden, er lig med halvdelen af ​​summen af ​​medlemmerne af denne aritmetiske progression med lige stor afstand fra den.

Derudover er ligheden sand for enhver aritmetisk progression:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

For eksempel,

i aritmetisk progression

1) -en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (-en 9 + -en 11 )/2;

2) 28 = en 10 = en 3 + 7d= 7 + 73 = 7 + 21 = 28;

3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, som

en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,

en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en n,

først n medlemmer af en aritmetisk progression er lig med produktet af halvdelen af ​​summen af ​​de ekstreme led med antallet af led:

Heraf følger især, at hvis det er nødvendigt at summere vilkårene

en k, en k +1 , . . . , en n,

så bevarer den forrige formel sin struktur:

For eksempel,

i aritmetisk progression 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Hvis der er givet en aritmetisk progression, så er mængderne -en 1 , en n, d, n ogS n forbundet med to formler:

Derfor, hvis værdierne af tre af disse mængder er givet, så bestemmes de tilsvarende værdier af de to andre mængder ud fra disse formler kombineret til et system af to ligninger med to ukendte.

En aritmetisk progression er en monoton sekvens. Hvori:

• hvis d > 0 , så er det stigende;
• hvis d < 0 , så er det aftagende;
• hvis d = 0 , så vil sekvensen være stationær.

Geometrisk progression

geometrisk progression en sekvens kaldes, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående, ganget med det samme tal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

er en geometrisk progression, hvis for et hvilket som helst naturligt tal n betingelse er opfyldt:

b n +1 = b n · q,

hvor q ≠ 0 - et eller andet nummer.

Således er forholdet mellem det næste led i denne geometriske progression og det forrige et konstant tal:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nummer q hedder nævner for en geometrisk progression.

For at indstille en geometrisk progression er det nok at specificere dets første led og nævner.

For eksempel,

hvis b 1 = 1, q = -3 , så findes de første fem led i sekvensen som følger:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 og nævner q hende n -th led kan findes ved formlen:

b n = b 1 · q n -1 .

For eksempel,

find det syvende led i en geometrisk progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

så åbenbart

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

hvert medlem af den geometriske progression, startende fra den anden, er lig med det geometriske middelværdi (proportionalt) af de foregående og efterfølgende medlemmer.

Da det modsatte også er sandt, gælder følgende påstand:

tallene a, b og c er på hinanden følgende medlemmer af en eller anden geometrisk progression, hvis og kun hvis kvadratet af en af ​​dem er lig med produktet af de to andre, dvs. et af tallene er det geometriske middelværdi af de to andre.

For eksempel,

lad os bevise, at rækkefølgen givet af formlen b n= -3 2 n , er en geometrisk progression. Lad os bruge udsagnet ovenfor. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Derfor,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

hvilket beviser den krævede påstand. ◄

Noter det n led af en geometrisk progression kan findes ikke kun gennem b 1 , men også enhver tidligere periode b k , hvortil det er tilstrækkeligt at bruge formlen

b n = b k · q n - k.

For eksempel,

til b 5 kan skrives

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

så åbenbart

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadratet af ethvert medlem af en geometrisk progression, startende fra den anden, er lig med produktet af medlemmerne af denne progression lige langt fra den.

Derudover er ligheden sand for enhver geometrisk progression:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

For eksempel,

eksponentielt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , som

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

først n medlemmer af en geometrisk progression med en nævner q ≠ 0 beregnet med formlen:

Og når q = 1 - efter formlen

S n= n.b. 1

Bemærk, at hvis vi skal summere vilkårene

b k, b k +1 , . . . , b n,

så bruges formlen:

For eksempel,

eksponentielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Hvis der er givet en geometrisk progression, så er mængderne b 1 , b n, q, n og S n forbundet med to formler:

Derfor, hvis værdierne af en hvilken som helst tre af disse mængder er givet, så bestemmes de tilsvarende værdier af de to andre mængder ud fra disse formler kombineret til et system af to ligninger med to ukendte.

For en geometrisk progression med det første led b 1 og nævner q følgende finder sted monotoniske egenskaber :

• progressionen er stigende, hvis en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

b 1 > 0 og q> 1;

b 1 < 0 og 0 < q< 1;

• En progression er faldende, hvis en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

b 1 > 0 og 0 < q< 1;

b 1 < 0 og q> 1.

Hvis en q< 0 , så er den geometriske progression fortegnsvekslende: dens ulige tal har samme fortegn som dens første led, og lige tal har det modsatte fortegn. Det er klart, at en vekslende geometrisk progression ikke er monoton.

Produkt af den første n udtryk for en geometrisk progression kan beregnes ved formlen:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

For eksempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Uendeligt faldende geometrisk progression

Uendeligt faldende geometrisk progression kaldes en uendelig geometrisk progression, hvis nævnermodul er mindre end 1 , dvs

|q| < 1 .

Bemærk, at en uendeligt faldende geometrisk progression muligvis ikke er en faldende sekvens. Dette passer til sagen

1 < q< 0 .

Med en sådan nævner er rækkefølgen fortegnsvekslende. For eksempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression navngiv det tal, hvortil summen af ​​den første n vilkår for progressionen med en ubegrænset stigning i antallet n . Dette tal er altid endeligt og udtrykkes ved formlen

For eksempel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Sammenhæng mellem aritmetiske og geometriske progressioner

Aritmetiske og geometriske progressioner er tæt beslægtede. Lad os kun overveje to eksempler.

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . d , derefter

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

For eksempel,

1, 3, 5, . . . — aritmetisk progression med forskel 2 og

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . er en geometrisk progression med en nævner 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . er en geometrisk progression med en nævner q , derefter

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetisk progression med forskel log aq .

For eksempel,

2, 12, 72, . . . er en geometrisk progression med en nævner 6 og

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetisk progression med forskel lg 6 . ◄

En geometrisk progression er en ny slags talrække, som vi skal stifte bekendtskab med. For et vellykket bekendtskab skader det ikke i det mindste at vide og forstå. Så vil der ikke være noget problem med geometrisk progression.)

Hvad er en geometrisk progression? Begrebet geometrisk progression.

Vi starter turen som sædvanligt med det elementære. Jeg skriver en ufærdig talrække:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Kan du fange et mønster og fortælle, hvilke tal der kommer næste gang? Peberen er klar, tallene 100000, 1000000 og så videre vil gå længere. Selv uden meget mental stress er alt klart, ikke?)

OKAY. Et andet eksempel. Jeg skriver følgende rækkefølge:

1, 2, 4, 8, 16, …

Kan du se, hvilke numre der kommer næste gang, efter nummer 16 og navn ottende sekvensmedlem? Hvis du regnede ud, at det ville være tallet 128, så meget godt. Så halvdelen af ​​kampen er i forståelse betyder og centrale punkter geometrisk progression allerede udført. Du kan vokse yderligere.)

Og nu vender vi igen fra sansninger til stringent matematik.

Nøglemomenter i en geometrisk progression.

Nøglemoment #1

Den geometriske progression er rækkefølge af tal. Ligesom progression. Ikke noget tricky. Har lige arrangeret denne sekvens anderledes. Derfor har den selvfølgelig et andet navn, ja ...

Nøglemoment #2

Med det andet nøglepunkt bliver spørgsmålet mere vanskeligt. Lad os gå lidt tilbage og huske nøgleegenskaben for en aritmetisk progression. Her er det: hvert medlem er forskelligt fra det foregående med samme beløb.

Er det muligt at formulere en lignende nøgleegenskab for en geometrisk progression? Tænk lidt... Tag et kig på eksemplerne. Gættet? Ja! I en geometrisk progression (enhver!) adskiller hvert af dets medlemmer sig fra det foregående i samme antal gange. Altid!

I det første eksempel er dette tal ti. Uanset hvilken term i sekvensen du tager, er den større end den forrige ti gange.

I det andet eksempel er dette en to: hvert medlem er større end det foregående. to gange.

Det er i dette nøglepunkt, at den geometriske progression adskiller sig fra den aritmetiske. I en aritmetisk progression opnås hvert næste led tilføjer af samme værdi som den foregående periode. Og her - multiplikation forrige termin med samme beløb. Det er forskellen.)

Nøglemoment #3

Dette nøglepunkt er fuldstændig identisk med det for en aritmetisk progression. Nemlig: hvert medlem af den geometriske progression er på sin plads. Alt er nøjagtigt det samme som i aritmetisk progression og kommentarer, synes jeg, er unødvendige. Der er den første periode, der er hundrede og første, og så videre. Lad os omarrangere mindst to medlemmer - mønsteret (og med det den geometriske progression) forsvinder. Tilbage er blot en række tal uden nogen logik.

Det er alt. Det er hele pointen med geometrisk progression.

Vilkår og betegnelser.

Og nu, efter at have behandlet betydningen og nøglepunkterne i den geometriske progression, kan vi gå videre til teorien. Ellers, hvad er en teori uden at forstå meningen, ikke?

Hvad er en geometrisk progression?

Hvordan skrives en geometrisk progression i generelle vendinger? Intet problem! Hvert medlem af progressionen er også skrevet som et bogstav. Kun til aritmetisk progression bruges bogstavet normalt "en", for geometrisk - bogstav "b". Medlemsnummer, som sædvanligt, er angivet nederste højre indeks. Medlemmerne af selve progressionen er ganske enkelt angivet adskilt af kommaer eller semikolon.

Sådan her:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Kort fortalt er en sådan progression skrevet som følger: (b n) .

Eller sådan her, for endelige progressioner:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1, b 2, ..., b 29, b 30.

Eller kort sagt:

(b n), n=30 .

Det er faktisk alle betegnelserne. Alt er det samme, kun bogstavet er anderledes, ja.) Og nu går vi direkte til definitionen.

Definition af en geometrisk progression.

En geometrisk progression er en numerisk sekvens, hvis første led er ikke-nul, og hvert efterfølgende led er lig med det foregående led ganget med det samme ikke-nul tal.

Det er hele definitionen. De fleste af ordene og sætningerne er klare og velkendte for dig. Medmindre du selvfølgelig forstår betydningen af ​​en geometrisk progression "på fingrene" og generelt. Men der er også et par nye sætninger, som jeg gerne vil henlede særlig opmærksomhed på.

Først ordene: "hvis første periode forskellig fra nul".

Denne begrænsning på den første periode blev ikke indført tilfældigt. Hvad tror du vil ske, hvis den første periode b 1 viser sig at være nul? Hvad bliver den anden termin, hvis hver termin er større end den foregående samme antal gange? Lad os sige tre gange? Lad os se... Gang det første led (dvs. 0) med 3 og få... nul! Og det tredje medlem? Også nul! Og fjerde termin er også nul! Etc…

Vi får bare en pose bagels en sekvens af nuller:

0, 0, 0, 0, …

Selvfølgelig har en sådan sekvens livets ret, men det har ingen praktisk interesse. Alt er så klart. Ethvert af dets medlemmer er nul. Summen af ​​et vilkårligt antal medlemmer er også nul ... Hvilke interessante ting kan du gøre med det? Ikke noget…

Følgende nøgleord: "multipliceret med det samme ikke-nul tal".

Det samme nummer har også sit eget specielle navn - nævner for en geometrisk progression. Lad os begynde at date.)

Nævneren af ​​en geometrisk progression.

Alt er enkelt.

Nævneren for en geometrisk progression er et ikke-nul tal (eller værdi), der angiver hvor mange gangehvert medlem af progressionen mere end den forrige.

Igen, analogt med den aritmetiske progression, er nøgleordet at være opmærksom på i denne definition ordet "mere". Det betyder, at hvert led i en geometrisk progression opnås multiplikation til netop denne nævner tidligere medlem.

Jeg forklarer.

For at beregne, lad os sige anden medlem at tage først medlem og formere sig det til nævneren. Til beregning tiende medlem at tage niende medlem og formere sig det til nævneren.

Nævneren for selve den geometriske progression kan være hvad som helst. Absolut hvem som helst! Heltal, brøk, positiv, negativ, irrationel - alle. Undtagen nul. Det er, hvad ordet "ikke-nul" i definitionen fortæller os om. Hvorfor dette ord er nødvendigt her - mere om det senere.

Nævner for en geometrisk progression normalt angivet med et bogstav q.

Sådan finder du denne q? Intet problem! Vi må tage ethvert forløb af progressionen og dividere med forrige semester. Division er brøkdel. Deraf navnet - "progressions nævner." Nævneren, den sidder normalt i en brøk, ja ...) Selvom, logisk set, værdien q skal kaldes privat geometrisk progression, svarende til forskel for en aritmetisk progression. Men aftalte at ringe nævner. Og vi vil heller ikke genopfinde hjulet.)

Lad os for eksempel definere værdien q for denne geometriske progression:

2, 6, 18, 54, …

Alt er elementært. Vi tager nogen sekvensnummer. Det, vi vil have, er det, vi tager. Undtagen den allerførste. For eksempel 18. Og divider med tidligere nummer. Altså klokken 6.

Vi får:

q = 18/6 = 3

Det er alt. Dette er det rigtige svar. For en given geometrisk progression er nævneren tre.

Lad os finde nævneren q for endnu en geometrisk progression. For eksempel sådan her:

1, -2, 4, -8, 16, …

Alt det samme. Uanset hvilke tegn medlemmerne selv har, tager vi stadig nogen sekvensnummer (f.eks. 16) og divider med tidligere nummer(dvs. -8).

Vi får:

d = 16/(-8) = -2

Og det var det.) Denne gang viste nævneren for progressionen sig at være negativ. Minus to. Det sker.)

Lad os tage denne progression:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Og igen, uanset typen af ​​tal i sekvensen (lige heltal, endda brøker, endda negative, endda irrationelle), tager vi et hvilket som helst tal (for eksempel 1/9) og dividerer med det foregående tal (1/3). I henhold til reglerne for drift med brøker, selvfølgelig.

Vi får:

Det er alt.) Her viste nævneren sig at være brøkdel: q = 1/3.

Men sådan en "fremgang" som dig?

3, 3, 3, 3, 3, …

Tydeligvis her q = 1 . Formelt er dette også en geometrisk progression, kun med samme medlemmer.) Men sådanne progressioner er ikke interessante for studier og praktisk anvendelse. Ligesom progressioner med solide nuller. Derfor vil vi ikke overveje dem.

Som du kan se, kan nævneren for progressionen være hvad som helst - heltal, brøk, positiv, negativ - hvad som helst! Det kan ikke bare være nul. Gættede ikke hvorfor?

Nå, lad os se på et specifikt eksempel, hvad der vil ske, hvis vi tager som en nævner q nul.) Lad os f.eks. have b 1 = 2 , a q = 0 . Hvad bliver den anden periode så?

Vi tror:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Og det tredje medlem?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Typer og adfærd af geometriske progressioner.

Med alt var mere eller mindre klart: hvis forskellen i progressionen d er positiv, er progressionen stigende. Hvis forskellen er negativ, falder progressionen. Der er kun to muligheder. Der er ingen tredje.)

Men med opførselen af ​​en geometrisk progression vil alt være meget mere interessant og forskelligartet!)

Så snart medlemmerne opfører sig her: de stiger og falder og nærmer sig i det uendelige nul, og skifter endda tegn, skiftevis skynder sig enten til "plus" eller til "minus"! Og i al denne mangfoldighed skal man godt kunne forstå, ja ...

Vi forstår?) Lad os starte med den enkleste sag.

Nævneren er positiv ( q >0)

Med en positiv nævner kan for det første medlemmerne af en geometrisk progression gå ind plus uendelighed(dvs. stige på ubestemt tid) og kan gå ind minus uendelighed(dvs. falde på ubestemt tid). Vi har allerede vænnet os til en sådan progressionsadfærd.

For eksempel:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Alt er enkelt her. Hvert medlem af progressionen er mere end det forrige. Og hvert medlem får multiplikation tidligere medlem på positiv nummer +2 (dvs. q = 2 ). Sådan en progressions adfærd er indlysende: alle medlemmer af progressionen vokser i det uendelige og går ud i rummet. Plus uendelighed...

Her er forløbet nu:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Også her opnås hvert led af progressionen multiplikation tidligere medlem på positiv nummer +2. Men adfærden af ​​en sådan progression er allerede direkte modsat: hvert medlem af progressionen opnås mindre end tidligere, og alle dens vilkår falder uendeligt og går til minus uendeligt.

Lad os nu tænke: hvad har disse to progressioner til fælles? Det er rigtigt, nævner! Her og der q = +2 . Positivt tal. Deuce. Og her opførsel Disse to progressioner er fundamentalt forskellige! Gættede ikke hvorfor? Ja! Det handler om første medlem! Det er ham, som man siger, der bestiller musikken.) Se selv.

I det første tilfælde den første periode af progressionen positiv(+1) og derfor alle efterfølgende led opnået ved at gange med positiv nævner q = +2 , vil også positiv.

Men i det andet tilfælde, den første periode negativ(-en). Derfor opnås alle efterfølgende medlemmer af progressionen ved at gange med positiv q = +2 , vil også blive opnået negativ. For "minus" til "plus" giver altid "minus", ja.)

Som du kan se, i modsætning til en aritmetisk progression, kan en geometrisk progression opføre sig på helt forskellige måder, ikke kun afhængigt af fra nævnerenq, men også afhængig fra det første medlem, Ja.)

Husk: adfærden af ​​en geometrisk progression er unikt bestemt af dets første medlem b 1 og nævnerq .

Og nu begynder vi analysen af ​​mindre velkendte, men meget mere interessante sager!

Tag for eksempel følgende sekvens:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Denne sekvens er også en geometrisk progression! Hvert medlem af denne progression opnås også multiplikation det foregående semester, med samme antal. Kun nummeret er brøk: q = +1/2 . Eller +0,5 . Og (vigtigt!) nummer, mindre:q = 1/2<1.

Hvad er interessant ved denne geometriske progression? Hvor skal dens medlemmer hen? Lad os tage et kig:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Hvad er interessant her? For det første er faldet i progressionens medlemmer umiddelbart slående: hvert af dets medlemmer mindre den forrige præcis 2 gange. Eller, ifølge definitionen af ​​en geometrisk progression, hvert led mere Tidligere 1/2 gange, fordi progressionsnævner q = 1/2 . Og fra at gange med et positivt tal mindre end én, falder resultatet normalt, ja ...

Hvad mere kan ses i adfærden af ​​denne progression? Forsvinder dens medlemmer? ubegrænset, går til minus uendelig? Ikke! De forsvinder på en særlig måde. Først falder de ret hurtigt, og derefter langsommere og langsommere. Og alt imens man bliver positiv. Omend meget, meget lille. Og hvad stræber de efter? Gættede det ikke? Ja! De har en tendens til nul!) Og vær opmærksom, medlemmerne af vores progression nå aldrig! Kun uendeligt tæt på ham. Det er meget vigtigt.)

En lignende situation vil være i en sådan progression:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Her b 1 = -1 , a q = 1/2 . Alt er det samme, kun nu vil medlemmerne nærme sig nul fra den anden side, nedefra. Bliver hele tiden negativ.)

Sådan en geometrisk progression, hvis medlemmer nærmer sig nul på ubestemt tid.(det er lige meget, på den positive eller negative side), i matematik har det et specielt navn - uendeligt faldende geometrisk progression. Denne udvikling er så interessant og usædvanlig, at den endda vil være separat lektion .)

Så vi har overvejet alt muligt positiv nævnere er både store og mindre. Vi betragter ikke selve den som en nævner af de ovenfor anførte grunde (husk eksemplet med sekvensen af ​​tripler ...)

At opsummere:

positivog mere end en (q>1), derefter medlemmerne af progressionen:

-en) stige på ubestemt tid (hvisb 1 >0);

b) falde på ubestemt tid (hvisb 1 <0).

Hvis nævneren for en geometrisk progression positiv og mindre end en (0< q<1), то члены прогрессии:

a) uendeligt tæt på nul over(hvisb 1 >0);

b) uendeligt tæt på nul nedefra(hvisb 1 <0).

Det er nu tilbage at overveje sagen negativ nævner.

Nævneren er negativ ( q <0)

Vi vil ikke gå langt for et eksempel. Hvorfor i virkeligheden pjusket bedstemor?!) Lad for eksempel det første medlem af progressionen være b 1 = 1 , og tag nævneren q = -2.

Vi får følgende rækkefølge:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Og så videre.) Hvert led i progressionen opnås multiplikation tidligere medlem på et negativt tal-2. I dette tilfælde vil alle medlemmer på ulige pladser (første, tredje, femte osv.) være positiv, og på lige steder (anden, fjerde osv.) - negativ. Tegn er strengt sammenflettet. Plus-minus-plus-minus ... Sådan en geometrisk progression kaldes - stigende tegn skiftevis.

Hvor skal dens medlemmer hen? Og ingen steder.) Ja, i absolut værdi (dvs. modulo) vilkårene for vores progression stiger i det uendelige (deraf navnet "stigende"). Men samtidig kaster hvert medlem af progressionen det skiftevis ind i varmen og derefter ud i kulden. Enten plus eller minus. Vores progression svinger... Ydermere vokser rækken af ​​udsving hurtigt for hvert skridt, ja.) Derfor ønsker medlemmerne af progressionen at gå et sted hen specifikt her ingen. Hverken til plus uendeligt eller til minus uendelighed eller til nul - ingen steder.

Overvej nu en brøknævner mellem nul og minus en.

Lad det for eksempel være b 1 = 1 , a q = -1/2.

Så får vi progressionen:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Og igen har vi en veksling af tegn! Men i modsætning til det foregående eksempel er der allerede her en klar tendens til, at termer nærmer sig nul. Kun denne gang nærmer vores termer sig nul, ikke strengt taget oppefra eller nedefra, men igen tøvende. Skiftende at tage enten positive eller negative værdier. Men samtidig er de moduler kommer tættere og tættere på det elskede nul.)

Denne geometriske progression kaldes uendeligt faldende vekslende tegn.

Hvorfor er disse to eksempler interessante? Og det faktum, at i begge tilfælde finder sted skiftende karakterer! En sådan chip er kun typisk for progressioner med en negativ nævner, ja.) Derfor, hvis du i en opgave ser en geometrisk progression med skiftende medlemmer, så vil du allerede fast vide, at dens nævner er 100 % negativ, og du vil ikke tage fejl i skiltet.)

Forresten, i tilfælde af en negativ nævner, påvirker tegnet på det første led overhovedet ikke selve progressionens adfærd. Uanset hvad tegnet på det første medlem af progressionen er, vil tegnet på vekslen af ​​medlemmer under alle omstændigheder blive observeret. Hele spørgsmålet er bare hvilke steder(lige eller ulige) vil der være medlemmer med specifikke tegn.

Husk:

Hvis nævneren for en geometrisk progression negativ , så er tegnene på vilkårene for progressionen altid skifte.

Samtidig har medlemmerne selv:

a) stige på ubestemt tidmodulo, hvisq<-1;

b) nærme dig nul uendeligt hvis -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Det er alt. Alle typiske tilfælde analyseres.)

I processen med at analysere en række eksempler på geometriske progressioner brugte jeg med jævne mellemrum ordene: "tender til nul", "tender til plus uendelig", har tendens til minus uendeligt... Det er okay.) Disse talevendinger (og specifikke eksempler) er blot et indledende bekendtskab med opførsel forskellige talrækker. Et eksempel på en geometrisk progression.

Hvorfor har vi overhovedet brug for at kende progressionsadfærden? Hvilken forskel gør det, hvor hun går hen? Til nul, til plus uendelig, til minus uendelig ... Hvad bekymrer vi os om dette?

Sagen er, at du allerede på universitetet, i løbet af højere matematik, har brug for evnen til at arbejde med en række forskellige numeriske sekvenser (med alle, ikke kun progressioner!) Og evnen til at forestille dig præcis, hvordan den eller den sekvens opfører sig - om det stiger er ubegrænset, om det falder, om det har tendens til et bestemt tal (og ikke nødvendigvis til nul), eller endda ikke har tendens til noget som helst ... Et helt afsnit er viet til dette emne i løbet af matematisk analyse - grænse teori. Lidt mere specifikt konceptet grænse for nummerrækken. Meget interessant emne! Det giver mening at gå på college og finde ud af det.)

Nogle eksempler fra dette afsnit (sekvenser, der har en grænse) og især, uendeligt faldende geometrisk progression begynde at lære i skolen. At vænne sig.)

Desuden vil evnen til at studere adfærden af ​​sekvenser godt i fremtiden spille i høj grad i hænderne og vil være meget nyttig i funktionsforskning. De mest varierede. Men evnen til at arbejde kompetent med funktioner (beregne derivater, udforske dem fuldt ud, bygge deres grafer) øger allerede dit matematiske niveau dramatisk! Tvivl? Intet behov. Husk også mine ord.)

Lad os se på en geometrisk progression i livet?

I livet omkring os støder vi meget, meget ofte på eksponentiel progression. Uden selv at vide det.)

For eksempel formerer sig forskellige mikroorganismer, der omgiver os overalt i enorme mængder, og som vi ikke engang ser uden et mikroskop, præcist i geometrisk progression.

Lad os sige, at en bakterie formerer sig ved at dele sig i to, hvilket giver afkom i 2 bakterier. Til gengæld deler hver af dem, multiplicerende, også i to, hvilket giver et fælles afkom på 4 bakterier. Den næste generation vil give 8 bakterier, derefter 16 bakterier, 32, 64 og så videre. Med hver efterfølgende generation fordobles antallet af bakterier. Et typisk eksempel på en geometrisk progression.)

Også nogle insekter - bladlus, fluer - formerer sig eksponentielt. Og kaniner nogle gange forresten også.)

Et andet eksempel på en geometrisk progression, tættere på hverdagen, er den såkaldte renters rente. Et sådant interessant fænomen findes ofte i bankindskud og kaldes rentekapitalisering. Hvad er det?

Du selv er selvfølgelig stadig ung. Du studerer i skolen, du søger ikke i banker. Men dine forældre er voksne og selvstændige mennesker. De går på arbejde, tjener penge til deres daglige brød og sætter nogle af pengene i banken og sparer op.)

Lad os sige, at din far vil spare en vis mængde penge op til en familieferie i Tyrkiet og sætte 50.000 rubler i banken til 10 % om året i en periode på tre år med årlig renteaktivering. Desuden kan der ikke gøres noget med depositum i hele denne periode. Du kan hverken fylde indbetalingen op eller hæve penge fra kontoen. Hvilket overskud vil han tjene i disse tre år?

Nå, for det første skal du finde ud af, hvad 10% om året er. Det betyder at om et år 10% vil blive lagt til det oprindelige indskudsbeløb af banken. Fra hvad? Selvfølgelig fra oprindeligt indskudsbeløb.

Beregn beløbet på kontoen i et år. Hvis det oprindelige indskudsbeløb var 50.000 rubler (dvs. 100%), hvor meget vil der så være renter på kontoen om et år? Det er rigtigt, 110%! Fra 50.000 rubler.

Så vi overvejer 110% af 50.000 rubler:

50.000 1,1 \u003d 55.000 rubler.

Jeg håber du forstår, at at finde 110% af værdien betyder at gange denne værdi med tallet 1,1? Hvis du ikke forstår, hvorfor det er sådan, så husk femte og sjette klasse. Nemlig - forholdet mellem procenter og brøker og dele.)

Således vil stigningen for det første år være 5000 rubler.

Hvor mange penge står der på kontoen efter to år? 60.000 rubler? Desværre (eller rettere, heldigvis) er det ikke så enkelt. Hele tricket med rentekapitalisering er, at med hver ny rentetilskrivning, vil de samme renter allerede blive overvejet fra det nye beløb! Fra den, der allerede er på konto I øjeblikket. Og de påløbne renter for den foregående periode føjes til det oprindelige beløb for depositum, og dermed deltager de selv i beregningen af ​​nye renter! Det vil sige, at de bliver en fuld del af den samlede konto. eller generelt kapital. Deraf navnet - rentekapitalisering.

Det ligger i økonomien. Og i matematik kaldes sådanne procenter renters rente. Eller procent af procent.) Deres trick er, at i sekventiel beregning udregnes procenterne hver gang fra den nye værdi. Ikke fra originalen...

Derfor, for at beregne summen igennem to år, skal vi beregne 110% af det beløb, der vil stå på kontoen om et år. Det vil sige allerede fra 55.000 rubler.

Vi betragter 110% af 55.000 rubler:

55000 1,1 \u003d 60500 rubler.

Dette betyder, at den procentvise stigning for det andet år allerede vil være 5.500 rubler, og i to år - 10.500 rubler.

Nu kan du allerede gætte, at om tre år vil beløbet på kontoen være 110% af 60.500 rubler. Det er igen 110% fra det foregående (sidste år) beløb.

Her overvejer vi:

60500 1,1 \u003d 66550 rubler.

Og nu bygger vi vores pengebeløb efter år i rækkefølge:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Så hvordan? Hvorfor ikke en geometrisk progression? Første medlem b 1 = 50000 , og nævneren q = 1,1 . Hver term er strengt taget 1,1 gange større end den foregående. Alt er i nøje overensstemmelse med definitionen.)

Og hvor mange yderligere procentvise bonusser vil din far "falde ind", mens hans 50.000 rubler var på bankkontoen i tre år?

Vi tror:

66550 - 50000 = 16550 rubler

Det er selvfølgelig dårligt. Men dette er, hvis det oprindelige beløb for bidraget er lille. Hvad hvis der er mere? Sig ikke 50, men 200 tusind rubler? Så vil stigningen i tre år allerede være 66.200 rubler (hvis du tæller). Hvilket allerede er meget godt.) Og hvis bidraget er endnu større? Det er hvad det er...

Konklusion: Jo højere indledende bidrag, jo mere rentabel bliver rentekapitaliseringen. Det er grunden til, at indlån med rentekapitalisering stilles til rådighed af banker i lange perioder. Lad os sige fem år.

Også alle mulige dårlige sygdomme som influenza, mæslinger og endnu mere forfærdelige sygdomme (den samme SARS i begyndelsen af ​​2000'erne eller pest i middelalderen) spreder sig gerne eksponentielt. Deraf omfanget af epidemier, ja ...) Og alt sammen på grund af det faktum, at en geometrisk progression med hel positiv nævner (q>1) - en ting, der vokser meget hurtigt! Husk reproduktionen af ​​bakterier: fra en bakterie opnås to, fra to - fire, fra fire - otte og så videre ... Med spredning af enhver infektion er alt det samme.)

De enkleste problemer i geometrisk progression.

Lad os starte som altid med et simpelt problem. Rent for at forstå meningen.

1. Det er kendt, at det andet led i en geometrisk progression er 6, og nævneren er -0,5. Find det første, tredje og fjerde led.

Så vi er givet endeløs geometrisk progression, velkendt anden periode denne progression:

b2 = 6

Derudover ved vi også progressionsnævner:

q = -0,5

Og du skal finde første, tredje og fjerde medlemmer af denne progression.

Her handler vi. Vi skriver rækkefølgen ned i henhold til problemets tilstand. Direkte i generelle vendinger, hvor det andet medlem er de seks:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Lad os nu begynde at søge. Vi starter som altid med det enkleste. Du kan for eksempel beregne det tredje led b 3? Kan! Vi ved allerede (direkte i betydningen en geometrisk progression), at det tredje led (b 3) mere end et sekund (b 2 ) i "q" enkelt gang!

Så vi skriver:

b 3 =b 2 · q

Vi erstatter de seks i dette udtryk i stedet for b 2 og -0,5 i stedet for q og vi tænker. Og minus ignoreres selvfølgelig heller ikke ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Sådan her. Den tredje periode viste sig at være negativ. Ikke så mærkeligt: ​​vores nævner q- negativ. Og plus ganget med minus, vil det selvfølgelig være minus.)

Vi betragter nu det næste, fjerde semester i progressionen:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Fjerde semester er igen med et plus. Femte semester bliver igen med minus, sjette med plus og så videre. Skilte - suppleant!

Så det tredje og fjerde medlem blev fundet. Resultatet er følgende rækkefølge:

b1; 6; -3; 1,5; …

Det er nu at finde den første periode b 1 ifølge den velkendte anden. For at gøre dette træder vi i den anden retning, til venstre. Det betyder, at vi i dette tilfælde ikke behøver at gange det andet led af progressionen med nævneren, men del.

Vi deler og får:

Det er alt.) Svaret på problemet vil være som følger:

-12; 6; -3; 1,5; …

Som du kan se, er løsningsprincippet det samme som i . Vi ved nogen medlem og nævner geometrisk progression - vi kan finde et hvilket som helst andet udtryk. Uanset hvad vi vil, finder vi en.) Den eneste forskel er, at addition/subtraktion erstattes af multiplikation/division.

Husk: hvis vi kender mindst ét ​​medlem og nævner af en geometrisk progression, så kan vi altid finde et hvilket som helst andet medlem af denne progression.

Følgende opgave er ifølge traditionen fra den rigtige version af OGE:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Så hvordan? Denne gang er der ingen første term, ingen nævner q, kun en række tal er givet ... Noget kendt allerede, ikke? Ja! Et lignende problem er allerede blevet behandlet i aritmetisk progression!

Her er vi ikke bange. Alt det samme. Vend på hovedet og husk den elementære betydning af en geometrisk progression. Vi ser omhyggeligt på vores sekvens og finder ud af, hvilke parametre for den geometriske progression af de tre vigtigste (det første medlem, nævner, medlemsnummer) der er gemt i den.

Medlemsnummer? Der er ingen medlemsnumre, ja ... Men der er fire successiv tal. Hvad dette ord betyder, kan jeg ikke se meningen med at forklare på dette stadium.) Er der to nabokendte numre? Der er! Disse er 6 og 1.2. Så vi kan finde progressionsnævner. Så vi tager tallet 1,2 og dividerer til det forrige nummer. For seks.

Vi får:

Vi får:

x= 150 0,2 = 30

Svar: x = 30 .

Som du kan se, er alt ret simpelt. Den største vanskelighed ligger kun i beregningerne. Det er især vanskeligt i tilfælde af negative og brøknævnere. Så dem der har problemer, gentag regnestykket! Hvordan man arbejder med brøker, hvordan man arbejder med negative tal, og så videre... Ellers vil du sænke farten nådesløst her.

Lad os nu ændre problemet lidt. Nu bliver det interessant! Lad os fjerne det sidste tal 1.2 i den. Lad os løse dette problem nu:

3. Flere på hinanden følgende led af en geometrisk progression er skrevet ud:

…; 150; X; 6; …

Find leddet for progressionen, angivet med bogstavet x.

Alt er det samme, kun to naboer berømt vi har ikke længere medlemmer af progressionen. Dette er hovedproblemet. Fordi størrelsen q gennem to naboterminer, kan vi allerede sagtens fastslå det kan vi ikke. Har vi en chance for at tage udfordringen op? Sikkert!

Lad os skrive det ukendte udtryk " x"Direkte i betydningen en geometrisk progression! Generelt set.

Ja Ja! Direkte med en ukendt nævner!

På den ene side kan vi for x skrive følgende forhold:

x= 150q

På den anden side har vi al mulig ret til at male det samme X igennem Næste medlem, gennem de seks! Divider seks med nævneren.

Sådan her:

x = 6/ q

Det er klart, at vi nu kan sidestille begge disse forhold. Siden vi udtrykker det samme værdi (x), men to forskellige veje.

Vi får ligningen:

Gang alt med q, simplificerende, reducerende, får vi ligningen:

q 2 \u003d 1/25

Vi løser og får:

q = ±1/5 = ±0,2

Ups! Nævneren er dobbelt! +0,2 og -0,2. Og hvilken skal man vælge? Blindgyde?

Berolige! Ja, det har problemet virkelig to løsninger! Intet galt med det. Det sker.) Du bliver ikke overrasket, når du for eksempel får to rødder ved at løse det sædvanlige? Det er den samme historie her.)

Til q = +0,2 vi får:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

Og for q = -0,2 vilje:

X = 150 (-0,2) = -30

Vi får et dobbelt svar: x = 30; x = -30.

Hvad betyder dette interessante faktum? Og hvad der findes to progressioner, der opfylder problemets tilstand!

Ligesom disse:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Begge er egnede.) Hvad tror du er årsagen til todelingen af ​​svar? Bare på grund af elimineringen af ​​et specifikt medlem af progressionen (1,2), der kommer efter de seks. Og ved kun at kende de foregående (n-1)-th og efterfølgende (n+1)-th medlemmer af den geometriske progression, kan vi ikke længere entydigt sige noget om, at det n-te medlem står imellem dem. Der er to muligheder - plus og minus.

Men det er lige meget. Som regel er der i opgaver til en geometrisk progression yderligere information, der giver et entydigt svar. Lad os sige ordene: "tegn-vekslende progression" eller "progression med en positiv nævner" og så videre... Det er disse ord, der skal tjene som et fingerpeg, hvilket tegn, plus eller minus, der skal vælges, når man laver det endelige svar. Hvis der ikke er sådanne oplysninger, så - ja, opgaven vil have to løsninger.)

Og nu beslutter vi os selv.

4. Bestem, om tallet 20 vil være medlem af en geometrisk progression:

4 ; 6; 9; …

5. En vekslende geometrisk progression er givet:

…; 5; x ; 45; …

Find termen for progressionen angivet med bogstavet x .

6. Find det fjerde positive led i den geometriske progression:

625; -250; 100; …

7. Det andet led i den geometriske progression er -360, og dets femte led er 23.04. Find det første led i denne progression.

Svar (i uorden): -15; 900; Ingen; 2,56.

Tillykke, hvis alt lykkedes!

Er der noget der ikke passer? Findes der et dobbeltsvar et sted? Vi læser betingelserne for opgaven grundigt!

Det sidste puslespil virker ikke? Intet kompliceret der.) Vi arbejder direkte efter betydningen af ​​en geometrisk progression. Nå, du kan tegne et billede. Det hjælper.)

Som du kan se, er alt elementært. Hvis progressionen er kort. Hvad hvis den er lang? Eller er antallet af det ønskede medlem meget stort? Jeg vil gerne, analogt med en aritmetisk progression, på en eller anden måde få en praktisk formel, der gør det nemt at finde nogen medlem af enhver geometrisk progression efter hans nummer. Uden at gange mange, mange gange med q. Og der er sådan en formel!) Detaljer - i næste lektion.

Lad os overveje en serie.

7 28 112 448 1792...

Det er helt klart, at værdien af ​​et hvilket som helst af dets elementer er nøjagtigt fire gange større end det foregående. Så denne serie er en progression.

En geometrisk progression er en uendelig række af tal, hvis hovedtræk er, at det næste tal opnås fra det forrige ved at gange med et bestemt tal. Dette er udtrykt ved følgende formel.

a z +1 =a z q, hvor z er nummeret på det valgte element.

Derfor er z ∈ N.

Perioden, hvor en geometrisk progression studeres i skolen, er 9. klasse. Eksempler hjælper dig med at forstå konceptet:

0.25 0.125 0.0625...

Baseret på denne formel kan nævneren for progressionen findes som følger:

Hverken q eller b z kan være nul. Desuden bør hvert af elementerne i progressionen ikke være lig med nul.

For at finde ud af det næste tal i rækken skal du derfor gange det sidste med q.

For at specificere denne progression skal du angive dets første element og nævner. Derefter er det muligt at finde nogen af ​​de efterfølgende vilkår og deres sum.

Sorter

Afhængigt af q og a 1 er denne progression opdelt i flere typer:

• Hvis både a 1 og q er større end en, så er en sådan sekvens en geometrisk progression, der stiger med hvert næste element. Et eksempel på en sådan er præsenteret nedenfor.

Eksempel: a 1 =3, q=2 - begge parametre er større end én.

Så kan den numeriske rækkefølge skrives sådan:

3 6 12 24 48 ...

• Hvis |q| mindre end én, det vil sige, at multiplikation med det svarer til division, så er en progression med lignende betingelser en aftagende geometrisk progression. Et eksempel på en sådan er præsenteret nedenfor.

Eksempel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 er større end en, q er mindre.

Derefter kan den numeriske rækkefølge skrives som følger:

6 2 2/3 ... - ethvert element er 3 gange større end elementet efter det.

• Tegn-variabel. Hvis q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Eksempel: a 1 = -3 , q = -2 - begge parametre er mindre end nul.

Så kan rækkefølgen skrives sådan:

3, 6, -12, 24,...

Formler

For bekvem brug af geometriske progressioner er der mange formler:

• Formel for det z-te medlem. Giver dig mulighed for at beregne elementet under et bestemt tal uden at beregne de foregående tal.

Eksempel:q = 3, -en 1 = 4. Det er nødvendigt at beregne det fjerde element i progressionen.

Afgørelse:-en 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Summen af ​​de første elementer, hvis antal er z. Giver dig mulighed for at beregne summen af ​​alle elementer i en sekvens op tila zinklusive.

Siden (1-q) er i nævneren, så (1 - q)≠ 0, derfor er q ikke lig med 1.

Bemærk: hvis q=1, så ville progressionen være en serie af et uendeligt gentaget tal.

Summen af ​​en geometrisk progression, eksempler:-en 1 = 2, q= -2. Beregn S 5 .

Afgørelse:S 5 = 22 - beregning efter formel.

• Beløb hvis |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Eksempel:-en 1 = 2 , q= 0,5. Find beløbet.

Afgørelse:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Nogle egenskaber:

• karakteristisk egenskab. Hvis følgende betingelse udføres for evtz, så er den givne talrække en geometrisk progression:

a z 2 = a z -1 · -enz+1

• Også kvadratet af et hvilket som helst tal i en geometrisk progression findes ved at tilføje kvadraterne af alle to andre tal i en given række, hvis de er lige langt fra dette element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , hvorter afstanden mellem disse tal.

• Elementerafvige i qenkelt gang.
• Logaritmerne af progressionselementerne danner også en progression, men allerede aritmetiske, det vil sige, at hver af dem er større end den foregående med et vist antal.

Eksempler på nogle klassiske problemer

For bedre at forstå, hvad en geometrisk progression er, kan eksempler med en løsning til 9. klasse hjælpe.

• Betingelser:-en 1 = 3, -en 3 = 48. Findq.

Løsning: hvert efterfølgende element er større end det foregående iq enkelt gang.Det er nødvendigt at udtrykke nogle elementer gennem andre ved hjælp af en nævner.

Derfor,-en 3 = q 2 · -en 1

Ved udskiftningq= 4

• Betingelser:-en 2 = 6, -en 3 = 12. Beregn S 6 .

Afgørelse:For at gøre dette er det nok at finde q, det første element og erstatte det med formlen.

-en 3 = q· -en 2 , derfor,q= 2

a 2 = q en 1,Derfor a 1 = 3

S6 = 189

• · -en 1 = 10, q= -2. Find det fjerde element i progressionen.

Løsning: for at gøre dette er det nok at udtrykke det fjerde element gennem det første og gennem nævneren.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Eksempel på applikation:

• Bankens klient indbetalte et indskud på 10.000 rubler, i henhold til hvilke klienten hvert år tilføjer 6% af det til hovedbeløbet. Hvor mange penge står der på kontoen efter 4 år?

Løsning: Det oprindelige beløb er 10 tusind rubler. Så et år efter investeringen vil kontoen have et beløb svarende til 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Beløbet på kontoen efter endnu et år vil derfor blive udtrykt som følger:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Det vil sige, at beløbet hvert år stiger med 1,06 gange. Dette betyder, at for at finde mængden af ​​midler på kontoen efter 4 år, er det nok at finde det fjerde element i progressionen, som er givet af det første element svarende til 10 tusinde, og nævneren lig med 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Eksempler på opgaver til beregning af summen:

I forskellige problemer anvendes en geometrisk progression. Et eksempel på at finde summen kan gives som følger:

-en 1 = 4, q= 2, beregnS5.

Løsning: alle de nødvendige data til beregningen er kendt, du skal bare erstatte dem i formlen.

S 5 = 124

• -en 2 = 6, -en 3 = 18. Beregn summen af ​​de første seks elementer.

Afgørelse:

Geom. progression, hvert næste element er q gange større end det foregående, det vil sige, for at beregne summen, skal du kende elementet-en 1 og nævnerq.

-en 2 · q = -en 3

q = 3

På samme måde skal vi finde-en 1 , ved-en 2 ogq.

-en 1 · q = -en 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrisk progression er sammen med aritmetik en vigtig talrække, der studeres i skolealgebrakurset i 9. klasse. I denne artikel vil vi overveje nævneren for en geometrisk progression, og hvordan dens værdi påvirker dens egenskaber.

Definition af geometrisk progression

Til at begynde med giver vi definitionen af ​​denne talrække. En geometrisk progression er en række rationelle tal, der dannes ved successivt at gange sit første element med et konstant tal kaldet nævneren.

For eksempel er tallene i rækken 3, 6, 12, 24, ... en geometrisk progression, for hvis vi gange 3 (det første element) med 2, får vi 6. Hvis vi gange 6 med 2, får vi 12, og så videre.

Medlemmerne af den betragtede sekvens er normalt angivet med symbolet ai, hvor i er et heltal, der angiver nummeret på elementet i serien.

Ovenstående definition af en progression kan skrives på matematikkens sprog som følger: an = bn-1 * a1, hvor b er nævneren. Det er nemt at kontrollere denne formel: hvis n = 1, så er b1-1 = 1, og vi får a1 = a1. Hvis n = 2, så er an = b * a1, og vi kommer igen til definitionen af ​​rækken af ​​tal, der overvejes. Lignende ræsonnement kan fortsættes for store værdier af n.

Nævneren af ​​en geometrisk progression

Tallet b bestemmer helt, hvilken karakter hele talrækken skal have. Nævneren b kan være positiv, negativ eller større end eller mindre end én. Alle de ovenstående muligheder fører til forskellige sekvenser:

• b > 1. Der er en stigende række af rationelle tal. For eksempel, 1, 2, 4, 8, ... Hvis elementet a1 er negativt, vil hele sekvensen kun stige modulo, men falde under hensyntagen til tallenes fortegn.
• b = 1. Ofte kaldes et sådant tilfælde ikke en progression, da der er en almindelig række af identiske rationale tal. For eksempel -4, -4, -4.

Formel for sum

Inden man går videre til overvejelsen af ​​specifikke problemer ved at bruge nævneren for den type progression, der overvejes, bør der gives en vigtig formel for summen af ​​de første n elementer. Formlen er: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Du kan selv få dette udtryk, hvis du overvejer en rekursiv sekvens af medlemmer af progressionen. Bemærk også, at i ovenstående formel er det nok kun at kende det første element og nævneren for at finde summen af ​​et vilkårligt antal led.

Uendeligt faldende sekvens

Ovenfor var en forklaring på, hvad det er. Nu, når vi kender formlen for Sn, så lad os anvende den på denne talrække. Da ethvert tal, hvis modul ikke overstiger 1, har tendens til nul, når det hæves til store potenser, det vil sige b∞ => 0 hvis -1

Da forskellen (1 - b) altid vil være positiv, uanset værdien af ​​nævneren, er fortegnet for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression S∞ entydigt bestemt af tegnet for dets første element a1.

Nu vil vi overveje flere problemer, hvor vi vil vise, hvordan man anvender den erhvervede viden til specifikke tal.

Opgave nummer 1. Beregning af ukendte elementer af progressionen og summen

Givet en geometrisk progression er nævneren for progressionen 2, og dens første element er 3. Hvad bliver dens 7. og 10. led, og hvad er summen af ​​dens syv begyndelseselementer?

Betingelsen for problemet er ret enkel og involverer direkte brug af ovenstående formler. Så for at beregne elementet med nummer n bruger vi udtrykket an = bn-1 * a1. For det 7. element har vi: a7 = b6 * a1, idet vi erstatter de kendte data, får vi: a7 = 26 * 3 = 192. Vi gør det samme for det 10. medlem: a10 = 29 * 3 = 1536.

Vi bruger den velkendte formel for summen og bestemmer denne værdi for de første 7 elementer i rækken. Vi har: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Opgave nummer 2. Bestemmelse af summen af ​​vilkårlige elementer i progressionen

Lad -2 være nævneren for den eksponentielle progression bn-1 * 4, hvor n er et heltal. Det er nødvendigt at bestemme summen fra det 5. til det 10. element i denne serie, inklusive.

Det stillede problem kan ikke løses direkte ved hjælp af kendte formler. Det kan løses på 2 forskellige måder. For fuldstændighedens skyld præsenterer vi begge dele.

Metode 1. Dens idé er enkel: du skal beregne de to tilsvarende summer af de første led og derefter trække den anden fra den ene. Beregn den mindre sum: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nu udregner vi den store sum: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Bemærk, at i det sidste udtryk blev der kun summeret 4 led, da den 5. allerede er inkluderet i summen, der skal beregnes i henhold til problemets tilstand. Til sidst tager vi forskellen: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metode 2. Inden man substituerer tal og tæller, kan man få en formel for summen mellem led m og n i den pågældende række. Vi handler på nøjagtig samme måde som i metode 1, kun vi arbejder først med den symbolske repræsentation af summen. Vi har: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Du kan erstatte kendte tal i det resulterende udtryk og beregne det endelige resultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Opgave nummer 3. Hvad er nævneren?

Lad a1 = 2, find nævneren for den geometriske progression, forudsat at dens uendelige sum er 3, og det er kendt, at dette er en aftagende talrække.

I henhold til problemets tilstand er det ikke svært at gætte, hvilken formel der skal bruges til at løse det. Selvfølgelig for summen af ​​en uendeligt faldende progression. Vi har: S∞ = a1 / (1 - b). Hvorfra vi udtrykker nævneren: b = 1 - a1 / S∞. Det er tilbage at erstatte de kendte værdier og få det nødvendige antal: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 eller -0,333 (3). Vi kan kontrollere dette resultat kvalitativt, hvis vi husker, at for denne type sekvens må modulet b ikke gå ud over 1. Som du kan se, |-1 / 3|

Opgave nummer 4. Gendannelse af en række tal

Lad 2 elementer i en talserie blive givet, for eksempel er den 5. lig med 30 og den 10. er lig med 60. Det er nødvendigt at gendanne hele serien fra disse data, vel vidende at den opfylder egenskaberne for en geometrisk progression.

For at løse problemet skal du først skrive det tilsvarende udtryk ned for hvert kendt medlem. Vi har: a5 = b4 * a1 og a10 = b9 * a1. Nu dividerer vi det andet udtryk med det første, vi får: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Herfra bestemmer vi nævneren ved at tage femtegradsroden af ​​forholdet mellem medlemmerne kendt fra problemets tilstand, b = 1,148698. Vi erstatter det resulterende tal i et af udtrykkene for et kendt element, vi får: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Således har vi fundet, hvad nævneren for progressionen bn er, og den geometriske progression bn-1 * 17,2304966 = an, hvor b = 1,148698.

Hvor bruges geometriske progressioner?

Hvis der ikke var nogen anvendelse af denne numeriske serie i praksis, ville dens undersøgelse blive reduceret til en rent teoretisk interesse. Men der er sådan en ansøgning.

De 3 mest kendte eksempler er listet nedenfor:

• Zenos paradoks, hvor den adrætte Achilleus ikke kan hamle op med den langsomme skildpadde, løses ved hjælp af konceptet om en uendeligt aftagende talrække.
• Hvis der placeres hvedekorn på hver celle på skakbrættet, så 1 korn placeres på 1. celle, 2 - på 2., 3 - på 3. og så videre, så skal der 18446744073709551615 korn til at fylde alle celler i bestyrelsen!
• I spillet "Tower of Hanoi", for at omarrangere diske fra en stang til en anden, er det nødvendigt at udføre 2n - 1 operationer, det vil sige, at deres antal vokser eksponentielt fra antallet af brugte diske n.

Overvej nu spørgsmålet om summering af en uendelig geometrisk progression. Lad os kalde partialsummen af ​​en given uendelig progression summen af ​​dens første led. Angiv delsummen med symbolet

For hver uendelig progression

man kan sammensætte en (også uendelig) sekvens af dens delsummer

Lad en sekvens med ubegrænset stigning have en grænse

I dette tilfælde kaldes tallet S, dvs. grænsen for delsummer af progressionen, summen af ​​en uendelig progression. Vi vil bevise, at en uendelig aftagende geometrisk progression altid har en sum, og udlede en formel for denne sum (vi kan også vise, at for en uendelig progression har ingen sum, ikke eksisterer).

Vi skriver udtrykket for delsummen som summen af ​​forløbets medlemmer efter formel (91.1) og betragter grænsen for delsum kl.

Fra sætningen til punkt 89 vides det, at for en aftagende progression; derfor finder vi ved at anvende forskelsgrænsesætningen

(her bruges reglen også: konstantfaktoren tages ud af grænsens fortegn). Eksistensen er bevist, og samtidig opnås formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression:

Ligestilling (92,1) kan også skrives som

Her kan det virke paradoksalt, at en veldefineret finit værdi tildeles summen af ​​et uendeligt sæt af led.

En klar illustration kan gives for at forklare denne situation. Betragt en firkant med en side lig med én (fig. 72). Vi deler denne firkant med en vandret linje i to lige store dele og anvender den øverste del på den nederste, så der dannes et rektangel med siderne 2 og . Derefter deler vi igen den højre halvdel af dette rektangel i to med en vandret linje og fastgør den øverste del til den nederste (som vist i fig. 72). I fortsættelse af denne proces omdanner vi konstant den oprindelige firkant med et areal lig med 1 til lige store figurer (i form af en trappe med udtyndingstrin).

Med en uendelig fortsættelse af denne proces nedbrydes hele kvadratets areal i et uendeligt antal led - områderne af rektangler med grundflader lig med 1 og højder. Områderne af rektanglerne danner blot en uendelig aftagende progression, dens sum

dvs. som forventet er lig med arealet af pladsen.

Eksempel. Find summen af ​​følgende uendelige progressioner:

Løsning, a) Vi bemærker, at denne progression Derfor finder vi ved formlen (92.2).

b) Her betyder det, at vi ved samme formel (92.2) har

c) Vi finder, at denne progression Derfor har denne progression ingen sum.

I afsnit 5 blev anvendelsen af ​​formlen for summen af ​​led af en uendeligt faldende progression til konvertering af en periodisk decimalbrøk til en almindelig brøk vist.

Øvelser

1. Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression er 3/5, og summen af ​​dens første fire led er 13/27. Find det første led og nævneren for progressionen.

2. Find fire tal, der danner en vekslende geometrisk progression, hvor det andet led er mindre end det første med 35, og det tredje er 560 større end det fjerde.

3. Vis hvad hvis sekvens

danner en uendeligt aftagende geometrisk progression, derefter sekvensen

for enhver form en uendeligt aftagende geometrisk progression. Holder denne påstand for

Udled en formel for produktet af vilkårene for en geometrisk progression.