Fælles multiplum af tal. Sådan finder du det mindste fælles multiplum af to tal

Matematiske udtryk og opgaver kræver en masse yderligere viden. NOC er en af ​​de vigtigste, især ofte brugt i emnet. Emnet studeres i gymnasiet, mens det ikke er specielt svært at forstå materiale, vil det ikke være svært for en person, der er fortrolig med potenser og multiplikationstabellen at vælge de nødvendige tal og find resultatet.

Definition

Et fælles multiplum er et tal, der kan opdeles fuldstændigt i to tal på samme tid (a og b). Oftest fås dette tal ved at gange de oprindelige tal a og b. Tallet skal være deleligt med begge tal på én gang, uden afvigelser.

NOC er et kort navn, som er taget fra de første bogstaver.

Måder at få et nummer på

For at finde LCM er metoden til at multiplicere tal ikke altid egnet, den er meget bedre egnet til simple et- eller to-cifrede tal. Det er sædvanligt at opdele i faktorer, jo større antal, jo flere faktorer vil der være.

Eksempel #1

For det enkleste eksempel tager skolerne normalt simple, et- eller to-cifrede tal. For eksempel skal du løse følgende opgave, finde det mindste fælles multiplum af tallene 7 og 3, løsningen er ret enkel, bare gange dem. Som et resultat er der tallet 21, der er simpelthen ikke noget mindre tal.

Eksempel #2

Den anden mulighed er meget sværere. Tallene 300 og 1260 er angivet, det er obligatorisk at finde LCM. For at løse opgaven antages følgende handlinger:

Dekomponering af det første og andet tal i de enkleste faktorer. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Første etape er afsluttet.

Den anden fase involverer at arbejde med de allerede opnåede data. Hvert af de modtagne tal skal deltage i beregningen af ​​det endelige resultat. For hver faktor tages det største antal forekomster fra de oprindelige tal. LCM er et almindeligt tal, så faktorerne fra tallene skal gentages i det til det sidste, også dem der findes i én kopi. Begge begyndelsestal har i deres sammensætning tallene 2, 3 og 5, i forskellige grader, 7 er kun i ét tilfælde.

For at beregne det endelige resultat skal du tage hvert tal i den største af deres repræsenterede potenser ind i ligningen. Det er kun tilbage at gange og få svaret, med den korrekte udfyldning passer opgaven i to trin uden forklaring:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) kr = 6300.

Det er hele opgaven, hvis du forsøger at beregne det ønskede tal ved at gange, så vil svaret bestemt ikke være korrekt, da 300 * 1260 = 378.000.

Undersøgelse:

6300 / 300 = 21 - sandt;

6300 / 1260 = 5 er korrekt.

Rigtigheden af ​​resultatet bestemmes ved at kontrollere - dividere LCM med begge oprindelige tal, hvis tallet er et heltal i begge tilfælde, så er svaret korrekt.

Hvad betyder NOC i matematik

Som du ved, er der ikke en eneste ubrugelig funktion i matematik, denne er ingen undtagelse. Det mest almindelige formål med dette tal er at bringe brøker til en fællesnævner. Hvad man normalt studerer i 5-6 klassetrin på gymnasiet. Det er også en fælles divisor for alle multipla, hvis sådanne forhold er i problemet. Et sådant udtryk kan finde et multiplum ikke kun af to tal, men også af et meget større tal - tre, fem og så videre. Jo flere tal - jo flere handlinger i opgaven, men kompleksiteten af ​​dette øges ikke.

For eksempel, givet tallene 250, 600 og 1500, skal du finde deres samlede LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - dette eksempel beskriver faktoriseringen i detaljer uden reduktion.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

For at komponere et udtryk er det nødvendigt at nævne alle faktorerne, i dette tilfælde er der givet 2, 5, 3 - for alle disse tal er det nødvendigt at bestemme den maksimale grad.

Bemærk: alle multiplikatorer skal bringes til fuld forenkling, hvis det er muligt, nedbrydes til niveau med enkeltcifrede.

Undersøgelse:

1) 3000 / 250 = 12 - sandt;

2) 3000 / 600 = 5 - sandt;

3) 3000 / 1500 = 2 er korrekt.

Denne metode kræver ingen tricks eller geniale niveauevner, alt er enkelt og klart.

Anden måde

I matematik hænger meget sammen, meget kan løses på to eller flere måder, det samme gælder for at finde det mindste fælles multiplum, LCM. Følgende metode kan bruges i tilfælde af simple tocifrede og enkeltcifrede tal. Der kompileres en tabel, hvor multiplikatoren indtastes lodret, multiplikatoren vandret, og produktet er angivet i de krydsende celler i kolonnen. Du kan afspejle tabellen ved hjælp af en linje, et tal tages, og resultaterne af at gange dette tal med heltal er skrevet i en række, fra 1 til uendeligt, nogle gange er 3-5 point nok, det andet og efterfølgende tal udsættes til den samme beregningsproces. Alt sker indtil et fælles multiplum er fundet.

Givet tallene 30, 35, 42, skal du finde den LCM, der forbinder alle tallene:

1) Multipler af 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 osv.

2) Multipler af 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 osv.

3) Multipler af 42: 84, 126, 168, 210, 252 osv.

Det er bemærkelsesværdigt, at alle tallene er ret forskellige, det eneste almindelige tal blandt dem er 210, så det bliver LCM. Blandt de processer, der er forbundet med denne beregning, er der også den største fælles divisor, som er beregnet efter lignende principper og ofte støder på i naboproblemer. Forskellen er lille, men signifikant nok, LCM involverer beregningen af ​​et tal, der er deleligt med alle givne begyndelsesværdier, og GCD antager beregningen af ​​den største værdi, som de initiale tal divideres med.

Lad os begynde at studere det mindste fælles multiplum af to eller flere tal. I afsnittet vil vi give en definition af begrebet, overveje et teorem, der etablerer en sammenhæng mellem det mindste fælles multiplum og den største fælles divisor, og give eksempler på løsning af problemer.

Fælles multipla - definition, eksempler

I dette emne vil vi kun være interesseret i fælles multipla af heltal bortset fra nul.

Definition 1

Fælles multiplum af heltal er et heltal, der er et multiplum af alle givne tal. Faktisk er det et hvilket som helst heltal, der kan divideres med et hvilket som helst af de givne tal.

Definitionen af ​​fælles multipla refererer til to, tre eller flere heltal.

Eksempel 1

Ifølge definitionen givet ovenfor for tallet 12 er de fælles multipla 3 og 2. Også tallet 12 vil være et fælles multiplum af tallene 2, 3 og 4. Tallene 12 og -12 er fælles multipla af tallene ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Samtidig vil det fælles multiplum for tallene 2 og 3 være tallene 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 og et antal af eventuelle andre.

Hvis vi tager tal, der er delelige med det første tal i et par og ikke deleligt med det andet, så vil sådanne tal ikke være fælles multipla. Så for tallene 2 og 3 vil tallene 16 , − 27 , 5009 , 27001 ikke være fælles multipla.

0 er et fælles multiplum af ethvert sæt af ikke-nul heltal.

Hvis vi husker egenskaben delelighed med hensyn til modsatte tal, så viser det sig, at nogle heltal k vil være et fælles multiplum af disse tal på samme måde som tallet - k. Det betyder, at fælles divisorer kan være enten positive eller negative.

Er det muligt at finde en LCM for alle numre?

Det fælles multiplum kan findes for alle heltal.

Eksempel 2

Antag, at vi er givet k heltal a 1 , a 2 , … , a k. Det tal, vi får under multiplikationen af ​​tal a 1 a 2 … a k i henhold til delelighedsegenskaben vil den blive divideret med hver af de faktorer, der var inkluderet i det originale produkt. Det betyder, at produktet af tallene a 1 , a 2 , … , a k er det mindste fælles multiplum af disse tal.

Hvor mange fælles multipla kan disse heltal have?

En gruppe af heltal kan have et stort antal fælles multipla. Faktisk er deres antal uendeligt.

Eksempel 3

Antag, at vi har et eller andet tal k . Så vil produktet af tallene k · z , hvor z er et heltal, være et fælles multiplum af tallene k og z . Givet at antallet af tal er uendeligt, så er antallet af fælles multipla uendeligt.

Least Common Multiple (LCM) - definition, symbol og eksempler

Genkald begrebet det mindste tal fra et givet sæt tal, som vi overvejede i afsnittet Sammenligning af heltal. Med dette koncept i tankerne, lad os formulere definitionen af ​​det mindste fælles multiplum, som har den største praktiske værdi blandt alle fælles multipla.

Definition 2

Mindste fælles multiplum af givne heltal er det mindst positive fælles multiplum af disse tal.

Det mindste fælles multiplum findes for et hvilket som helst antal givne tal. Forkortelsen NOK er den mest brugte til at betegne et begreb i referencelitteraturen. Stenografi for mindste fælles multiplum for tal a 1 , a 2 , … , a k vil ligne LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Eksempel 4

Det mindste fælles multiplum af 6 og 7 er 42. De der. LCM(6, 7) = 42. Det mindste fælles multiplum af fire tal - 2 , 12 , 15 og 3 vil være lig med 60 . Stenografi vil være LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Ikke for alle grupper af givne tal er det mindste fælles multiplum indlysende. Ofte skal det beregnes.

Forholdet mellem NOC og NOD

Det mindste fælles multiplum og den største fælles divisor er relaterede. Forholdet mellem begreber fastlægges af teoremet.

Sætning 1

Det mindste fælles multiplum af to positive heltal a og b er lig med produktet af tallene a og b divideret med den største fælles divisor af tallene a og b , det vil sige LCM (a, b) = a b: gcd (a , b) .

Bevis 1

Antag, at vi har et tal M, som er et multiplum af tallene a og b . Hvis tallet M er deleligt med a , er der også et heltal z , hvorunder ligestillingen M = a k. Ifølge definitionen af ​​delelighed, hvis M også er delelig med b, så en k divideret med b.

Hvis vi introducerer en ny notation for gcd (a , b) som d, så kan vi bruge ligestillingen a = a 1 d og b = b1 · d. I dette tilfælde vil begge ligheder være coprimtal.

Det har vi allerede fastslået ovenfor en k divideret med b. Nu kan denne betingelse skrives som følger:
en 1 d k divideret med b 1 d, hvilket svarer til betingelsen en 1 k divideret med b 1 i henhold til delelighedens egenskaber.

Ifølge egenskaben af ​​relativt primtal, hvis en 1 og b 1 er indbyrdes primtal, en 1 ikke deleligt med b 1 til trods for at en 1 k divideret med b 1, derefter b 1 skal dele k.

I dette tilfælde vil det være passende at antage, at der er et tal t, for hvilket k = b 1 t, og siden b1=b:d, derefter k = b: d t.

Nu i stedet for k sat i ligestilling M = a k formens udtryk b:d t. Det giver os mulighed for at komme til ligestilling M = a b: d t. På t=1 vi kan få det mindst positive fælles multiplum af a og b , lige a b: d, forudsat at tallene a og b positiv.

Så vi har bevist, at LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Etablering af en forbindelse mellem LCM og GCD giver dig mulighed for at finde det mindste fælles multiplum gennem den største fælles divisor af to eller flere givne tal.

Definition 3

Sætningen har to vigtige konsekvenser:

• multipla af det mindste fælles multiplum af to tal er det samme som fælles multipla af disse to tal;
• det mindste fælles multiplum af positive positive tal a og b er lig med deres produkt.

Det er ikke svært at underbygge disse to fakta. Ethvert fælles multiplum af M-tal a og b er defineret ved ligheden M = LCM (a, b) t for en eller anden heltalsværdi t. Da a og b er coprime, så er gcd (a, b) = 1, derfor er LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Mindste fælles multiplum af tre eller flere tal

For at finde det mindste fælles multiplum af flere tal, skal du successivt finde LCM af to tal.

Sætning 2

Lad os lade som om a 1 , a 2 , … , a k er nogle positive heltal. For at beregne LCM m k disse tal skal vi sekventielt beregne m2 = LCM(a1, a2), m3 = NOC(m2, a3), …, mk = NOC(m k-1, a k).

Bevis 2

Den første konsekvens af den første sætning diskuteret i dette emne vil hjælpe os med at bevise rigtigheden af ​​den anden sætning. Begrundelse er bygget i henhold til følgende algoritme:

• fælles multipla af tal en 1 og en 2 falder sammen med multipla af deres LCM, faktisk falder de sammen med multipla af tallet m2;
• fælles multipla af tal en 1, en 2 og en 3 m2 og en 3 m 3;
• fælles multipla af tal a 1 , a 2 , … , a k falder sammen med fælles multipla af tal m k - 1 og en k falder derfor sammen med multipla af tallet m k;
• skyldes, at det mindste positive multiplum af tallet m k er selve tallet m k, derefter det mindste fælles multiplum af tallene a 1 , a 2 , … , a k er m k.

Så vi har bevist teoremet.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Tilbage frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisningen af ​​dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke det fulde omfang af præsentationen. Hvis du er interesseret i dette arbejde, bedes du downloade den fulde version.

Med begreberne den største fælles divisor (GCD) og den mindste fælles multiplum (LCM) mødes gymnasieelever i sjette klasse. Dette emne er altid svært at mestre. Børn forveksler ofte disse begreber, forstår ikke, hvorfor de skal studeres. For nylig er der i den populærvidenskabelige litteratur separate udtalelser om, at dette materiale bør udelukkes fra skolens læseplan. Jeg tror, ​​at dette ikke er helt sandt, og det er nødvendigt at studere det, hvis ikke i klasseværelset, så under fritidstimer i klasseværelset i skolekomponenten, da det bidrager til udviklingen af ​​skolebørns logiske tænkning, hvilket øger hastighed af beregningsoperationer, og evnen til at løse problemer ved hjælp af smukke metoder.

Når vi studerer emnet "Addition og subtraktion af brøker med forskellige nævnere" lærer vi børn at finde fællesnævneren for to eller flere tal. For eksempel skal du tilføje brøkerne 1/3 og 1/5. Elever kan nemt finde et tal, der er deleligt uden en rest med 3 og 5. Dette tal er 15. Faktisk, hvis tallene er små, så er deres fællesnævner let at finde, når man kender multiplikationstabellen godt. En af gutterne bemærker, at dette tal er produktet af tallene 3 og 5. Børnene har den opfattelse, at man på denne måde altid kan finde en fællesnævner for tal. Træk for eksempel brøkerne 7/18 og 5/24 fra. Lad os finde produktet af tallene 18 og 24. Det er lig med 432. Vi har allerede modtaget et stort antal, og hvis der skal foretages yderligere beregninger (især for eksempler for alle handlinger), så stiger sandsynligheden for en fejl. Men det fundne mindste fælles multiplum af tallene (LCM), som i dette tilfælde svarer til den mindste fællesnævner (LCD) - tallet 72 - vil i høj grad lette beregningerne og føre til en hurtigere løsning af eksemplet, og derved spare tid afsat til at udføre denne opgave, som spiller en vigtig rolle i udførelsen af ​​den afsluttende test, kontrolarbejde, især under den endelige certificering.

Når du studerer emnet "Reduktion af brøker", kan du flytte successivt ved at dividere brøkens tæller og nævner med det samme naturlige tal, ved at bruge tegnene på delelighed af tal, og til sidst opnå en irreducerbar brøk. For eksempel skal du reducere fraktionen 128/344. Vi dividerer først brøkens tæller og nævner med tallet 2, vi får brøken 64/172. Endnu en gang dividerer vi tælleren og nævneren af ​​den resulterende brøk med 2, vi får brøken 32/86. Divider endnu en gang brøkens tæller og nævner med 2, vi får den irreducerbare brøk 16/43. Men brøkreduktion kan gøres meget lettere, hvis vi finder den største fælles divisor af tallene 128 og 344. GCD (128, 344) = 8. Dividerer vi brøkens tæller og nævner med dette tal, får vi straks en irreducerbar brøk.

Vis børn forskellige måder at finde den største fælles divisor (GCD) og mindste fælles multiplum (LCM) af tal. I simple tilfælde er det praktisk at finde den største fælles divisor (GCD) og mindste fælles multiplum (LCM) af tal ved simpel opregning. Efterhånden som tallene bliver større, kan primfaktorer bruges. Sjette klasses lærebog (forfatter N.Ya. Vilenkin) viser følgende metode til at finde den største fælles divisor (GCD) af tal. Lad os opdele tallene i primfaktorer:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Derefter, fra de faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af ​​et af disse tal, overstreger vi dem, der ikke er inkluderet i udvidelsen af ​​det andet tal. Produktet af de resterende faktorer vil være den største fælles divisor af disse tal. I dette tilfælde er dette tal 8. Ud fra min egen erfaring var jeg overbevist om, at det er mere forståeligt for børn, hvis vi understreger de samme faktorer i udvidelser af tal, og så i en af ​​udvidelserne finder vi produktet af det understregede faktorer. Dette er den største fælles divisor af disse tal. I sjette klasse er børn aktive og nysgerrige. Du kan indstille dem til følgende opgave: Prøv at finde den største fælles divisor af tallene 343 og 287 på den beskrevne måde. Det er ikke umiddelbart klart, hvordan de skal indregnes i primfaktorer. Og her kan du fortælle dem om den vidunderlige metode, opfundet af de gamle grækere, som giver dig mulighed for at søge efter den største fælles divisor (GCD) uden at nedbrydes i prime faktorer. Denne metode til at finde den største fælles divisor blev først beskrevet i Euklids elementer. Det kaldes Euklids algoritme. Det består af følgende: Del først det største tal med det mindre. Hvis der er en rest, skal du dividere det mindste tal med resten. Hvis resten opnås igen, divider du den første rest med den anden. Så fortsæt med at dividere, indtil resten er nul. Den sidste divisor er den største fælles divisor (GCD) af disse tal.

Lad os vende tilbage til vores eksempel og for klarhedens skyld skrive løsningen i form af en tabel.

Så gcd(344.287) = 7

Og hvordan finder man det mindste fælles multiplum (LCM) af de samme tal? Er der en måde til dette, som ikke kræver en foreløbig dekomponering af disse tal til primfaktorer? Det viser sig, at der er det, og det er en meget simpel en. Vi skal gange disse tal og dividere produktet med den største fælles divisor (GCD), vi fandt. I dette eksempel er produktet af tallene 98441. Divider det med 7 og få tallet 14063. LCM(343,287) = 14063.

Et af de svære emner i matematik er løsningen af ​​ordproblemer. Det er nødvendigt at vise eleverne, hvordan man ved at bruge begreberne "Greatest Common Divisor (GCD)" og "Least Common Multiple (LCM)" kan løse problemer, som nogle gange er svære at løse på den sædvanlige måde. Her er det hensigtsmæssigt sammen med eleverne at overveje gamle og underholdende opgaver, der udvikler børns nysgerrighed og øger interessen for at studere dette emne, sammen med de opgaver, som forfatterne til skolebogen har foreslået. Dygtig besiddelse af disse begreber giver eleverne mulighed for at se en smuk løsning på et ikke-standardproblem. Og hvis barnets humør stiger efter at have løst et godt problem, er dette et tegn på vellykket arbejde.

Studiet på skolen af ​​sådanne begreber som "Greatest Common Divisor (GCD)" og "Least Common Multiple (LCD)" af tal.

Giver dig mulighed for at spare tid tildelt til udførelsen af ​​arbejdet, hvilket fører til en betydelig stigning i mængden af ​​afsluttede opgaver;

Øger hastigheden og nøjagtigheden af ​​aritmetiske operationer, hvilket fører til en betydelig reduktion i antallet af tilladte beregningsfejl;

Giver dig mulighed for at finde smukke måder at løse ikke-standard tekstproblemer på;

Udvikler elevernes nysgerrighed, udvider deres horisont;

Skaber forudsætningerne for uddannelse af en alsidig kreativ personlighed.

Det største naturlige tal, som tallene a og b er delelige med uden rest, kaldes største fælles divisor disse tal. Angiv GCD(a, b).

Overvej at finde GCD'en ved at bruge eksemplet med to naturlige tal 18 og 60:

324 , 111 og 432

Lad os opdele tallene i primfaktorer:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Slet fra det første nummer, hvis faktorer ikke er i det andet og tredje tal, får vi:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Som et resultat af GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Finde GCD med Euklids algoritme

Den anden måde at finde den største fælles divisor ved hjælp af Euklids algoritme. Euklids algoritme er den mest effektive måde at finde GCD, ved at bruge det skal du hele tiden finde resten af ​​delingen af ​​tal og anvende tilbagevendende formel.

Tilbagevendende formel for GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), hvor a mod b er resten af ​​at dividere a med b.

Euklids algoritme

Eksempel Find den største fælles divisor af tal 7920 og 594

Lad os finde GCD( 7920 , 594 ) ved hjælp af Euclid-algoritmen, vil vi beregne resten af ​​divisionen ved hjælp af en lommeregner.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Som et resultat får vi GCD( 7920 , 594 ) = 198

Mindste fælles multiplum

For at finde en fællesnævner, når du adderer og trækker brøker med forskellige nævnere, skal du kende og kunne beregne mindste fælles multiplum(NOC).

Et multiplum af tallet "a" er et tal, der i sig selv er deleligt med tallet "a" uden en rest.

Tal, der er multipla af 8 (det vil sige, disse tal vil blive divideret med 8 uden en rest): disse er tallene 16, 24, 32 ...

Multipler af 9: 18, 27, 36, 45...

Der er uendeligt mange multipla af et givet tal a, i modsætning til divisorerne af samme tal. Divisorer - et endeligt tal.

Et fælles multiplum af to naturlige tal er et tal, der er ligeligt deleligt med begge disse tal..

Mindste fælles multiplum(LCM) af to eller flere naturlige tal er det mindste naturlige tal, der i sig selv er deleligt med hvert af disse tal.

Sådan finder du NOC

LCM kan findes og skrives på to måder.

Den første måde at finde LCM

Denne metode bruges normalt til små tal.

1. Vi skriver multiplerne for hvert af tallene på en linje, indtil der er et multiplum, der er ens for begge tal.
2. Et multiplum af tallet "a" er angivet med et stort bogstav "K".

Eksempel. Find LCM 6 og 8.

Den anden måde at finde LCM på

Denne metode er praktisk at bruge til at finde LCM for tre eller flere numre.

Antallet af identiske faktorer i udvidelser af tal kan være forskellige.

Du kan også formalisere at finde det mindste fælles multiplum (LCM) som følger. Lad os finde LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Som vi kan se fra udvidelsen af ​​tal, er alle faktorer på 12 inkluderet i udvidelsen af ​​24 (den største af tallene), så vi tilføjer kun en 2 fra udvidelsen af ​​tallet 16 til LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Svar: LCM (12, 16, 24) = 48

Særlige tilfælde af at finde NOC'er

For eksempel, LCM(60; 15) = 60
Da coprimtal ikke har nogen fælles primtal divisorer, er deres mindste fælles multiplum lig med produktet af disse tal.

På vores side kan du også bruge en speciel lommeregner til at finde det mindste fælles multiplum online for at tjekke dine beregninger.

Hvis et naturligt tal kun er deleligt med 1 og sig selv, så kaldes det primtal.

Ethvert naturligt tal er altid deleligt med 1 og sig selv.

Tallet 2 er det mindste primtal. Dette er det eneste lige primtal, resten af ​​primtallene er ulige.

Der er mange primtal, og det første blandt dem er tallet 2. Der er dog ikke noget sidste primtal. I afsnittet "Til undersøgelse" kan du downloade en tabel med primtal op til 997.

Men mange naturlige tal er ligeligt delelige med andre naturlige tal.

• tallet 12 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
• 36 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

De tal, som tallet er ligeligt deleligt med (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kaldes tallets divisorer.

Divisor for et naturligt tal a er et sådant naturligt tal, der deler det givne tal "a" uden en rest.

Et naturligt tal, der har mere end to faktorer, kaldes et sammensat tal.

Bemærk, at tallene 12 og 36 har fælles divisorer. Disse er tal: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største divisor af disse tal er 12.

Den fælles divisor for to givne tal "a" og "b" er det tal, som begge givne tal "a" og "b" divideres med uden rest.

Største fælles deler(GCD) af to givne tal "a" og "b" er det største tal, som begge tal "a" og "b" er delelige med uden en rest.

Kort fortalt er den største fælles divisor af tallene "a" og "b" skrevet som følger:

Eksempel: gcd (12; 36) = 12 .

Divisorerne af tal i løsningsposten er angivet med et stort bogstav "D".

Tallene 7 og 9 har kun én fælles divisor - tallet 1. Sådanne numre kaldes coprimtal.

Coprime tal er naturlige tal, der kun har én fælles divisor - tallet 1. Deres GCD er 1.

Sådan finder du den største fælles divisor

For at finde gcd'en for to eller flere naturlige tal skal du bruge:

• nedbryde tallenes divisorer i primfaktorer;

Beregninger skrives bekvemt ved hjælp af en lodret streg. Til venstre for linjen skal du først skrive udbyttet ned, til højre - divisoren. Længere i venstre kolonne skriver vi ned værdierne for privat.

Lad os forklare med det samme med et eksempel. Lad os faktorisere tallene 28 og 64 til primfaktorer.

Understreg de samme primfaktorer i begge tal.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Vi finder produktet af identiske primfaktorer og skriver svaret ned;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Svar: GCD (28; 64) = 4

Du kan arrangere placeringen af ​​GCD på to måder: i en kolonne (som det blev gjort ovenfor) eller "i en linje".

Den første måde at skrive GCD på

Find GCD 48 og 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Den anden måde at skrive GCD på

Lad os nu skrive GCD-søgeløsningen på en linje. Find GCD 10 og 15.

På vores informationsside kan du også finde den største fælles divisor online ved hjælp af hjælpeprogrammet til at kontrollere dine beregninger.

At finde det mindste fælles multiplum, metoder, eksempler på at finde LCM.

Materialet præsenteret nedenfor er en logisk fortsættelse af teorien fra artiklen under overskriften LCM - Least Common Multiple, definition, eksempler, forhold mellem LCM og GCD. Her vil vi tale om finde det mindste fælles multiplum (LCM), og vær særlig opmærksom på at løse eksempler. Lad os først vise, hvordan LCM af to tal beregnes i form af GCD for disse tal. Overvej derefter at finde det mindste fælles multiplum ved at faktorisere tal i primfaktorer. Derefter vil vi fokusere på at finde LCM for tre eller flere tal, og også være opmærksomme på beregningen af ​​LCM for negative tal.

Sidenavigation.

Beregning af det mindste fælles multiplum (LCM) gennem gcd

En måde at finde det mindste fælles multiplum på er baseret på forholdet mellem LCM og GCD. Det eksisterende forhold mellem LCM og GCD giver dig mulighed for at beregne det mindste fælles multiplum af to positive heltal gennem den kendte største fælles divisor. Den tilsvarende formel har formen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Overvej eksempler på at finde LCM i henhold til ovenstående formel.

Find det mindste fælles multiplum af de to tal 126 og 70 .

I dette eksempel a=126, b=70. Lad os bruge linket mellem LCM og GCD, som er udtrykt ved formlen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Det vil sige, at vi først skal finde den største fælles divisor af tallene 70 og 126, hvorefter vi kan beregne LCM for disse tal efter den skrevne formel.

Find gcd(126, 70) ved hjælp af Euklids algoritme: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , derfor gcd(126, 70)=14 .

Nu finder vi det påkrævede mindste fælles multiplum: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Hvad er LCM(68, 34)?

Da 68 er ligeligt deleligt med 34, så er gcd(68, 34)=34. Nu beregner vi det mindste fælles multiplum: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Bemærk, at det foregående eksempel passer til følgende regel for at finde LCM for positive heltal a og b: hvis tallet a er deleligt med b , så er det mindste fælles multiplum af disse tal a .

Find LCM ved at faktorisere tal i primfaktorer

En anden måde at finde det mindste fælles multiplum på er baseret på at faktorisere tal til primfaktorer. Hvis vi laver et produkt af alle primfaktorer af disse tal, hvorefter vi fra dette produkt udelukker alle almindelige primfaktorer, der er til stede i udvidelserne af disse tal, så vil det resulterende produkt være lig med det mindste fælles multiplum af disse tal.

Den annoncerede regel for at finde LCM følger af ligheden LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Faktisk er produktet af tallene a og b lig med produktet af alle de faktorer, der er involveret i udvidelsen af ​​tallene a og b. Til gengæld er gcd(a, b) lig med produktet af alle primfaktorer, der samtidig er til stede i udvidelserne af tallene a og b (som er beskrevet i afsnittet om at finde gcd'en ved hjælp af dekomponering af tal til primfaktorer ).

Lad os tage et eksempel. Lad os vide, at 75=3 5 5 og 210=2 3 5 7 . Sammensæt produktet af alle faktorer i disse udvidelser: 2 3 3 5 5 5 7 . Nu udelukker vi fra dette produkt alle de faktorer, der er til stede både i udvidelsen af ​​tallet 75 og i udvidelsen af ​​tallet 210 (sådanne faktorer er 3 og 5), så vil produktet have formen 2 3 5 5 7 . Værdien af ​​dette produkt er lig med det mindste fælles multiplum af 75 og 210 , det vil sige LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Efter at have faktoreret tallene 441 og 700 til primfaktorer, skal du finde det mindste fælles multiplum af disse tal.

Lad os opdele tallene 441 og 700 i primfaktorer:

Vi får 441=3 3 7 7 og 700=2 2 5 5 7 .

Lad os nu lave et produkt af alle de faktorer, der er involveret i udvidelsen af ​​disse tal: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Lad os udelukke fra dette produkt alle de faktorer, der er til stede samtidigt i begge udvidelser (der er kun én sådan faktor - dette er tallet 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Så LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441; 700)= 44 100 .

Reglen for at finde LCM ved hjælp af dekomponering af tal til primfaktorer kan formuleres lidt anderledes. Hvis vi lægger de manglende faktorer fra udvidelsen af ​​tallet b til faktorerne fra udvidelsen af ​​tallet a, så vil værdien af ​​det resulterende produkt være lig med det mindste fælles multiplum af tallene a og b.

Lad os f.eks. tage alle de samme tal 75 og 210, deres udvidelser til primfaktorer er som følger: 75=3 5 5 og 210=2 3 5 7 . Til faktorerne 3, 5 og 5 fra dekomponeringen af ​​tallet 75, tilføjer vi de manglende faktorer 2 og 7 fra dekomponeringen af ​​tallet 210, vi får produktet 2 3 5 5 7 , hvis værdi er LCM(75) , 210).

Find det mindste fælles multiplum af 84 og 648.

Vi opnår først nedbrydningen af ​​tallene 84 og 648 til primfaktorer. De ligner 84=2 2 3 7 og 648=2 2 2 3 3 3 3 . Til faktorerne 2 , 2 , 3 og 7 fra dekomponeringen af ​​tallet 84 lægger vi de manglende faktorer 2 , 3 , 3 og 3 fra dekomponeringen af ​​tallet 648 , vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 , hvilket er lig med 4 536 . Således er det ønskede mindste fælles multiplum af tallene 84 og 648 4.536.

Finde LCM for tre eller flere tal

Det mindste fælles multiplum af tre eller flere tal kan findes ved successivt at finde LCM af to tal. Genkald den tilsvarende sætning, som giver en måde at finde LCM for tre eller flere tal.

Lad positive heltal a 1 , a 2 , …, a k være givet, det mindste fælles multiplum m k af disse tal findes i den sekventielle beregning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(m k−1, a k) .

Overvej anvendelsen af ​​denne sætning på eksemplet med at finde det mindste fælles multiplum af fire tal.

Find LCM for de fire tal 140, 9, 54 og 250.

Først finder vi m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . For at gøre dette, ved hjælp af den euklidiske algoritme, bestemmer vi gcd(140, 9) , vi har 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , derfor gcd( 140, 9)=1, hvorfra LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Det vil sige, m 2 = 1 260 .

Nu finder vi m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Lad os beregne det gennem gcd(1 260, 54) , som også bestemmes af Euklids algoritme: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Derefter gcd(1 260, 54)=18, hvorfra LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Det vil sige m 3 \u003d 3 780.

Det er tilbage at finde m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . For at gøre dette finder vi GCD(3 780, 250) ved hjælp af Euklid-algoritmen: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Derfor er gcd(3 780, 250)=10, derfor LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Det vil sige m 4 \u003d 94 500.

Så det mindste fælles multiplum af de oprindelige fire tal er 94.500.

LCM(140; 9; 54; 250)=94500 .

I mange tilfælde findes det mindste fælles multiplum af tre eller flere tal bekvemt ved at bruge primfaktoriseringer af givne tal. I dette tilfælde skal følgende regel følges. Det mindste fælles multiplum af flere tal er lig med produktet, som er sammensat som følger: de manglende faktorer fra udvidelsen af ​​det andet tal lægges til alle faktorerne fra udvidelsen af ​​det første tal, de manglende faktorer fra udvidelsen af det tredje tal lægges til de opnåede faktorer, og så videre.

Overvej et eksempel på at finde det mindste fælles multiplum ved hjælp af dekomponering af tal i primfaktorer.

Find det mindste fælles multiplum af fem tal 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Først opnår vi dekomponeringer af disse tal i primtal: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 er et primtal, det falder sammen med dets dekomponering i primtal) og 143=11 13 .

For at finde LCM for disse tal skal du til faktorerne for det første tal 84 (de er 2 , 2 , 3 og 7) tilføje de manglende faktorer fra udvidelsen af ​​det andet tal 6 . Udvidelsen af ​​tallet 6 indeholder ikke manglende faktorer, da både 2 og 3 allerede er til stede i udvidelsen af ​​det første tal 84 . Ud over faktorerne 2, 2, 3 og 7 tilføjer vi de manglende faktorer 2 og 2 fra udvidelsen af ​​det tredje tal 48, vi får et sæt af faktorer 2, 2, 2, 2, 3 og 7. Der er ingen grund til at tilføje faktorer til dette sæt i næste trin, da 7 allerede er indeholdt i det. Til sidst til faktorerne 2 , 2 , 2 , 2 , 3 og 7 tilføjer vi de manglende faktorer 11 og 13 fra udvidelsen af ​​tallet 143 . Vi får produktet 2 2 2 2 3 7 11 13, som er lig med 48 048.

Derfor er LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.

Find det mindste fælles multiplum af negative tal

Nogle gange er der opgaver, hvor du skal finde det mindste fælles multiplum af tal, blandt hvilke et, flere eller alle tal er negative. I disse tilfælde skal alle negative tal erstattes af deres modsatte tal, hvorefter LCM for positive tal skal findes. Dette er måden at finde LCM for negative tal. For eksempel LCM(54, −34)=LCM(54, 34) og LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Vi kan gøre dette, fordi mængden af ​​multipla af a er det samme som mængden af ​​multipla af −a (a og −a er modsatte tal). Lad b være et eller andet multiplum af a , så er b deleligt med a , og delelighedsbegrebet hævder eksistensen af ​​et sådant heltal q, at b=a q . Men ligheden b=(−a)·(−q) vil også være sand, hvilket i kraft af samme delelighedsbegreb betyder, at b er delelig med −a , det vil sige b er et multiplum af −a . Det omvendte udsagn er også sandt: hvis b er et eller andet multiplum af −a , så er b også et multiplum af a .

Find det mindste fælles multiplum af de negative tal −145 og −45.

Lad os erstatte de negative tal −145 og −45 med deres modsatte tal 145 og 45 . Vi har LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Efter at have bestemt gcd(145, 45)=5 (for eksempel ved hjælp af Euklid-algoritmen), beregner vi LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Således er det mindste fælles multiplum af de negative heltal -145 og -45 1.305 .

www.cleverstudents.ru

Vi fortsætter med at studere division. I denne lektion vil vi se på begreber som f.eks GCD og NOC.

GCD er den største fælles divisor.

NOC er det mindste fælles multiplum.

Emnet er ret kedeligt, men det er nødvendigt at forstå det. Uden at forstå dette emne, vil du ikke være i stand til at arbejde effektivt med brøker, som er en reel hindring i matematik.

Største fælles deler

Definition. Største fælles divisor af tal -en og b -en og b opdelt uden rest.

For at forstå denne definition godt, erstatter vi i stedet for variabler -en og b to vilkårlige tal, for eksempel, i stedet for en variabel -en erstatte tallet 12, og i stedet for variablen b nummer 9. Lad os nu prøve at læse denne definition:

Største fælles divisor af tal 12 og 9 er det største tal, hvormed 12 og 9 opdelt uden rest.

Det fremgår tydeligt af definitionen, at vi taler om en fælles divisor af tallene 12 og 9, og denne divisor er den største af alle eksisterende divisorer. Denne største fælles divisor (gcd) skal findes.

For at finde den største fælles divisor af to tal bruges tre metoder. Den første metode er ret tidskrævende, men den giver dig mulighed for at forstå essensen af ​​emnet godt og føle hele dets betydning.

Den anden og tredje metode er ret enkel og gør det muligt hurtigt at finde GCD'en. Vi vil overveje alle tre metoder. Og hvad du skal anvende i praksis - du vælger.

Den første måde er at finde alle mulige divisorer af to tal og vælge den største af dem. Lad os overveje denne metode i følgende eksempel: find den største fælles divisor af tallene 12 og 9.

Først finder vi alle mulige divisorer af tallet 12. For at gøre dette deler vi 12 i alle divisorer i området fra 1 til 12. Hvis divisoren tillader os at dividere 12 uden en rest, så fremhæver vi den med blåt og lave en passende forklaring i parentes.

12: 1 = 12
(12 divideret med 1 uden en rest, så 1 er en divisor af 12)

12: 2 = 6
(12 divideret med 2 uden en rest, så 2 er en divisor af 12)

12: 3 = 4
(12 divideret med 3 uden en rest, så 3 er en divisor af 12)

12: 4 = 3
(12 divideret med 4 uden en rest, så 4 er en divisor af 12)

12:5 = 2 (2 tilbage)
(12 er ikke divideret med 5 uden en rest, så 5 er ikke en divisor af 12)

12: 6 = 2
(12 divideret med 6 uden en rest, så 6 er en divisor af 12)

12: 7 = 1 (5 tilbage)
(12 er ikke divideret med 7 uden en rest, så 7 er ikke en divisor af 12)

12: 8 = 1 (4 tilbage)
(12 er ikke divideret med 8 uden en rest, så 8 er ikke en divisor af 12)

12:9 = 1 (3 tilbage)
(12 er ikke divideret med 9 uden en rest, så 9 er ikke en divisor af 12)

12: 10 = 1 (2 tilbage)
(12 er ikke divideret med 10 uden en rest, så 10 er ikke en divisor af 12)

12:11 = 1 (1 tilbage)
(12 er ikke divideret med 11 uden en rest, så 11 er ikke en divisor af 12)

12: 12 = 1
(12 divideret med 12 uden en rest, så 12 er en divisor af 12)

Lad os nu finde divisorerne for tallet 9. For at gøre dette skal du kontrollere alle divisorerne fra 1 til 9

9: 1 = 9
(9 divideret med 1 uden en rest, så 1 er en divisor af 9)

9: 2 = 4 (1 tilbage)
(9 er ikke divideret med 2 uden en rest, så 2 er ikke en divisor af 9)

9: 3 = 3
(9 divideret med 3 uden en rest, så 3 er en divisor af 9)

9: 4 = 2 (1 tilbage)
(9 er ikke divideret med 4 uden en rest, så 4 er ikke en divisor af 9)

9:5 = 1 (4 tilbage)
(9 er ikke divideret med 5 uden en rest, så 5 er ikke en divisor af 9)

9: 6 = 1 (3 tilbage)
(9 dividerede ikke med 6 uden en rest, så 6 er ikke en divisor af 9)

9:7 = 1 (2 tilbage)
(9 er ikke divideret med 7 uden en rest, så 7 er ikke en divisor af 9)

9:8 = 1 (1 tilbage)
(9 er ikke divideret med 8 uden en rest, så 8 er ikke en divisor af 9)

9: 9 = 1
(9 divideret med 9 uden en rest, så 9 er en divisor af 9)

Skriv nu divisorerne for begge tal. Tallene fremhævet med blåt er divisorerne. Lad os skrive dem ud:

Når du har skrevet divisorerne ud, kan du med det samme bestemme, hvilken der er den største og mest almindelige.

Per definition er den største fælles divisor af 12 og 9 det tal, som 12 og 9 er lige delelige med. Den største og fælles divisor af tallene 12 og 9 er tallet 3

Både tallet 12 og tallet 9 er delelige med 3 uden en rest:

Så gcd (12 og 9) = 3

Den anden måde at finde GCD på

Overvej nu den anden måde at finde den største fælles divisor. Essensen af ​​denne metode er at dekomponere begge tal i primfaktorer og gange de almindelige.

Eksempel 1. Find GCD af numrene 24 og 18

Lad os først indregne begge tal i primfaktorer:

Nu multiplicerer vi deres fælles faktorer. For ikke at blive forvirret, kan de fælles faktorer understreges.

Vi ser på nedbrydningen af ​​tallet 24. Dets første faktor er 2. Vi leder efter den samme faktor i dekomponeringen af ​​tallet 18 og ser, at det også er der. Vi understreger begge to:

Igen ser vi på nedbrydningen af ​​tallet 24. Dets anden faktor er også 2. Vi leder efter den samme faktor i dekomponeringen af ​​tallet 18 og ser, at det ikke er der for anden gang. Så fremhæver vi ikke noget.

De næste to i udvidelsen af ​​tallet 24 mangler også i udvidelsen af ​​tallet 18.

Vi går videre til den sidste faktor i nedbrydningen af ​​tallet 24. Dette er faktoren 3. Vi leder efter den samme faktor i dekomponeringen af ​​tallet 18 og ser, at den også er der. Vi lægger vægt på begge tre:

Så de fælles faktorer for tallene 24 og 18 er faktorerne 2 og 3. For at få GCD skal disse faktorer ganges:

Så gcd (24 og 18) = 6

Den tredje måde at finde GCD på

Overvej nu den tredje måde at finde den største fælles divisor på. Essensen af ​​denne metode ligger i det faktum, at tallene, der skal søges efter den største fælles divisor, dekomponeres i primfaktorer. Derefter slettes faktorer, der ikke er inkluderet i udvidelsen af ​​det andet tal, fra udvidelsen af ​​det første tal. De resterende tal i den første udvidelse ganges og får GCD.

Lad os for eksempel finde GCD for tallene 28 og 16 på denne måde. Først og fremmest dekomponerer vi disse tal i primfaktorer:

Vi har to udvidelser: og

Nu, fra udvidelsen af ​​det første tal, sletter vi de faktorer, der ikke er inkluderet i udvidelsen af ​​det andet tal. Udvidelsen af ​​det andet tal inkluderer ikke syv. Vi sletter det fra den første udvidelse:

Nu multiplicerer vi de resterende faktorer og får GCD:

Tallet 4 er den største fælles divisor af tallene 28 og 16. Begge disse tal er delelige med 4 uden en rest:

Eksempel 2 Find GCD med tallene 100 og 40

Udregning af tallet 100

Udregning af tallet 40

Vi har to udvidelser:

Nu, fra udvidelsen af ​​det første tal, sletter vi de faktorer, der ikke er inkluderet i udvidelsen af ​​det andet tal. Udvidelsen af ​​det andet tal inkluderer ikke en femmer (der er kun en femmer). Vi sletter det fra den første nedbrydning

Gang de resterende tal:

Vi fik svaret 20. Så tallet 20 er den største fælles divisor af tallene 100 og 40. Disse to tal er delelige med 20 uden en rest:

GCD (100 og 40) = 20.

Eksempel 3 Find gcd'en for tallene 72 og 128

Udregning af tallet 72

Udregning af tallet 128

2×2×2×2×2×2×2

Nu, fra udvidelsen af ​​det første tal, sletter vi de faktorer, der ikke er inkluderet i udvidelsen af ​​det andet tal. Udvidelsen af ​​det andet nummer inkluderer ikke to trillinger (der er slet ingen). Vi sletter dem fra den første udvidelse:

Vi fik svaret 8. Så tallet 8 er den største fælles divisor af tallene 72 og 128. Disse to tal er delelige med 8 uden en rest:

GCD (72 og 128) = 8

Finde GCD for flere numre

Den største fælles divisor kan findes for flere tal, og ikke kun for to. Til dette opdeles tallene, der skal findes for den største fælles divisor, i primfaktorer, hvorefter produktet af de fælles primfaktorer for disse tal findes.

Lad os for eksempel finde GCD for tallene 18, 24 og 36

Faktorer tallet 18

Med hensyn til tallet 24

Faktorer tallet 36

Vi har tre udvidelser:

Nu udvælger og understreger vi de fælles faktorer i disse tal. Fælles faktorer skal indgå i alle tre tal:

Vi ser, at de fælles faktorer for tallene 18, 24 og 36 er faktorer 2 og 3. Ved at gange disse faktorer får vi den GCD, vi leder efter:

Vi fik svaret 6. Så tallet 6 er den største fælles divisor af tallene 18, 24 og 36. Disse tre tal er delelige med 6 uden en rest:

GCD (18, 24 og 36) = 6

Eksempel 2 Find gcd for numrene 12, 24, 36 og 42

Lad os faktorisere hvert tal. Så finder vi produktet af de fælles faktorer for disse tal.

Faktorer tallet 12

Faktorer tallet 42

Vi har fire udvidelser:

Nu udvælger og understreger vi de fælles faktorer i disse tal. Fælles faktorer skal indgå i alle fire tal:

Vi ser, at de fælles faktorer for tallene 12, 24, 36 og 42 er faktorerne 2 og 3. Ved at gange disse faktorer får vi den GCD, vi leder efter:

Vi fik svaret 6. Så tallet 6 er den største fælles divisor af tallene 12, 24, 36 og 42. Disse tal er delelige med 6 uden en rest:

gcd(12, 24, 36 og 42) = 6

Fra forrige lektion ved vi, at hvis et tal divideres med et andet uden en rest, kaldes det et multiplum af dette tal.

Det viser sig, at et multiplum kan være fælles for flere tal. Og nu vil vi være interesserede i et multiplum af to tal, mens det skal være så lille som muligt.

Definition. Mindste fælles multiplum (LCM) af tal -en og b- -en og b -en og nummer b.

Definitionen indeholder to variable -en og b. Lad os erstatte to vilkårlige tal med disse variable. For eksempel i stedet for en variabel -en erstatte tallet 9, og i stedet for variablen b lad os erstatte tallet 12. Lad os nu prøve at læse definitionen:

Mindste fælles multiplum (LCM) af tal 9 og 12 - er det mindste tal, der er et multiplum af 9 og 12 . Det er med andre ord så lille et tal, der uden rest er deleligt med tallet 9 og på nummeret 12 .

Det fremgår tydeligt af definitionen, at LCM er det mindste tal, der er deleligt uden en rest med 9 og 12. Denne LCM skal findes.

Der er to måder at finde det mindste fælles multiplum (LCM). Den første måde er, at du kan nedskrive de første multipla af to tal, og så vælge blandt disse multipla et sådant tal, der vil være fælles for både tal og små. Lad os anvende denne metode.

Lad os først og fremmest finde de første multipla for tallet 9. For at finde multipla for 9 skal du gange disse ni gange med tallene fra 1 til 9. De svar, du får, vil være multipla af tallet 9. Så, Lad os begynde. Multipler vil blive fremhævet med rødt:

Nu finder vi multipla for tallet 12. For at gøre dette gange vi 12 med alle tallene 1 til 12 på skift.

Lad os fortsætte diskussionen om det mindste fælles multiplum, som vi startede i afsnittet LCM - Mindste fælles multiplum, definition, eksempler. I dette emne vil vi se på måder at finde LCM for tre tal eller mere, vi vil analysere spørgsmålet om, hvordan man finder LCM for et negativt tal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Beregning af det mindste fælles multiplum (LCM) gennem gcd

Vi har allerede etableret forholdet mellem det mindste fælles multiplum og den største fælles divisor. Lad os nu lære, hvordan man definerer LCM gennem GCD. Lad os først finde ud af, hvordan man gør dette for positive tal.

Definition 1

Du kan finde det mindste fælles multiplum gennem den største fælles divisor ved at bruge formlen LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Eksempel 1

Det er nødvendigt at finde LCM for tallene 126 og 70.

Løsning

Lad os tage a = 126 , b = 70 . Erstat værdierne i formlen for at beregne det mindste fælles multiplum gennem den største fælles divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Finder GCD for tallene 70 og 126. Til dette har vi brug for Euklids-algoritmen: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , derfor gcd (126 , 70) = 14 .

Lad os beregne LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Svar: LCM (126, 70) = 630.

Eksempel 2

Find nok for tallene 68 og 34.

Løsning

GCD i dette tilfælde er let at finde, da 68 er deleligt med 34. Beregn det mindste fælles multiplum ved hjælp af formlen: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Svar: LCM(68; 34) = 68.

I dette eksempel brugte vi reglen til at finde det mindste fælles multiplum af positive heltal a og b: hvis det første tal er deleligt med det andet, så vil LCM af disse tal være lig med det første tal.

Find LCM ved at faktorisere tal i primfaktorer

Lad os nu se på en måde at finde LCM på, som er baseret på dekomponering af tal i primfaktorer.

Definition 2

For at finde det mindste fælles multiplum skal vi udføre en række enkle trin:

• vi udgør produktet af alle primfaktorer af tal, som vi skal finde LCM for;
• vi udelukker alle primære faktorer fra deres opnåede produkter;
• produktet opnået efter eliminering af de fælles primfaktorer vil være lig med LCM for de givne tal.

Denne måde at finde det mindste fælles multiplum på er baseret på ligheden LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Hvis man ser på formlen, bliver det klart: produktet af tallene a og b er lig med produktet af alle faktorer, der er involveret i udvidelsen af ​​disse to tal. I dette tilfælde er GCD af to tal lig med produktet af alle primfaktorer, der er til stede samtidigt i faktoriseringerne af disse to tal.

Eksempel 3

Vi har to numre 75 og 210. Vi kan udregne dem på denne måde: 75 = 3 5 5 og 210 = 2 3 5 7. Hvis du laver produktet af alle faktorerne af de to oprindelige tal, får du: 2 3 3 5 5 5 7.

Hvis vi ekskluderer de faktorer, der er fælles for både tallene 3 og 5, får vi et produkt af følgende form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dette produkt vil være vores LCM for numrene 75 og 210.

Eksempel 4

Find LCM af tal 441 og 700 , dekomponerer begge tal i primfaktorer.

Løsning

Lad os finde alle primfaktorerne for tallene givet i betingelsen:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Vi får to talkæder: 441 = 3 3 7 7 og 700 = 2 2 5 5 7 .

Produktet af alle de faktorer, der deltog i udvidelsen af ​​disse tal, vil se sådan ud: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Lad os finde de fælles faktorer. Dette tal er 7. Vi udelukker det fra det generelle produkt: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det viser sig, at NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Svar: LCM (441, 700) = 44 100.

Lad os give endnu en formulering af metoden til at finde LCM ved at dekomponere tal i primfaktorer.

Definition 3

Tidligere udelukkede vi fra det samlede antal faktorer, der er fælles for begge tal. Nu vil vi gøre det anderledes:

• Lad os opdele begge tal i primfaktorer:
• læg til produktet af primfaktorerne for det første tal de manglende faktorer af det andet tal;
• vi får produktet, som vil være den ønskede LCM af to numre.

Eksempel 5

Lad os gå tilbage til tallene 75 og 210, som vi allerede ledte efter LCM i et af de foregående eksempler. Lad os opdele dem i simple faktorer: 75 = 3 5 5 og 210 = 2 3 5 7. Til produktet af faktor 3, 5 og 5 nummer 75 tilføj de manglende faktorer 2 og 7 nummer 210. Vi får: 2 3 5 5 7 . Dette er LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 6

Det er nødvendigt at beregne LCM for tallene 84 og 648.

Løsning

Lad os dekomponere tallene fra betingelsen i primfaktorer: 84 = 2 2 3 7 og 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Tilføj til produktet af faktorerne 2 , 2 , 3 og 7 tal 84 mangler faktorer 2 , 3 , 3 og
3 nummer 648. Vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Dette er det mindste fælles multiplum af 84 og 648.

Svar: LCM (84, 648) = 4536.

Finde LCM for tre eller flere tal

Uanset hvor mange tal vi har med at gøre, vil algoritmen for vores handlinger altid være den samme: Vi vil sekventielt finde LCM for to tal. Der er et teorem for denne sag.

Sætning 1

Antag, at vi har heltal a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k af disse tal findes i sekventiel beregning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Lad os nu se på, hvordan teoremet kan anvendes på specifikke problemer.

Eksempel 7

Du skal beregne det mindste fælles multiplum af de fire tal 140 , 9 , 54 og 250 .

Løsning

Lad os introducere notationen: en 1 \u003d 140, en 2 \u003d 9, en 3 \u003d 54, en 4 \u003d 250.

Lad os starte med at beregne m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Lad os bruge den euklidiske algoritme til at beregne GCD for tallene 140 og 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Vi får: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Derfor er m 2 = 1 260 .

Lad os nu beregne efter den samme algoritme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . I løbet af beregningerne får vi m 3 = 3 780.

Det er tilbage for os at beregne m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Vi handler efter samme algoritme. Vi får m 4 \u003d 94 500.

LCM for de fire numre fra eksempelbetingelsen er 94500.

Svar: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Som du kan se, er beregningerne enkle, men ret besværlige. For at spare tid kan du gå den anden vej.

Definition 4

Vi tilbyder dig følgende handlingsalgoritme:

• nedbryde alle tal i primfaktorer;
• til produktet af faktorerne i det første tal, læg de manglende faktorer fra produktet af det andet tal;
• til produktet opnået i det foregående trin tilføjer vi de manglende faktorer af det tredje nummer osv.;
• det resulterende produkt vil være det mindste fælles multiplum af alle tal fra betingelsen.

Eksempel 8

Det er nødvendigt at finde LCM af fem tal 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Løsning

Lad os dekomponere alle fem tal i primfaktorer: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Primtal, som er tallet 7, kan ikke indregnes i primtal. Sådanne tal falder sammen med deres nedbrydning til primfaktorer.

Lad os nu tage produktet af primfaktorerne 2, 2, 3 og 7 af tallet 84 og tilføje de manglende faktorer af det andet tal. Vi har dekomponeret tallet 6 i 2 og 3. Disse faktorer er allerede i produktet af det første tal. Derfor undlader vi dem.

Vi fortsætter med at tilføje de manglende multiplikatorer. Vi vender os til tallet 48, fra produktet af primfaktorer, hvoraf vi tager 2 og 2. Derefter tilføjer vi en simpel faktor på 7 fra det fjerde tal og faktorer på 11 og 13 af det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dette er det mindste fælles multiplum af de fem oprindelige tal.

Svar: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Find det mindste fælles multiplum af negative tal

For at finde det mindste fælles multiplum af negative tal, skal disse tal først erstattes af tal med det modsatte fortegn, og derefter skal beregningerne udføres ved hjælp af ovenstående algoritmer.

Eksempel 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) og LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Sådanne handlinger er tilladte på grund af det faktum, at hvis det accepteres, at -en og − a- modsatte tal
derefter sættet af multipler -en falder sammen med mængden af ​​multipla af et tal − a.

Eksempel 10

Det er nødvendigt at beregne LCM for negative tal − 145 og − 45 .

Løsning

Lad os ændre tallene − 145 og − 45 til deres modsatte tal 145 og 45 . I henhold til algoritmen beregner vi nu LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, efter at have bestemt GCD'en ved hjælp af Euclid-algoritmen.

Vi får, at LCM af tal − 145 og − 45 lige med 1 305 .

Svar: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter