Et prisme kaldes lige hvis. Volumen og overfladeareal af et regulært firkantet prisme

En gren af ​​matematikken, der studerer egenskaberne af forskellige former (punkter, linjer, vinkler, todimensionelle og tredimensionelle objekter), deres størrelse og relative position. Af hensyn til undervisningen er geometri opdelt i planimetri og solid geometri. AT … … Collier Encyclopedia

Geometri af rum med dimension større end tre; udtrykket anvendes på de rum, hvis geometri oprindeligt blev udviklet til tre dimensioner og først derefter generaliseret til antallet af dimensioner n> 3, primært euklidisk rum, ... ... Matematisk encyklopædi

N-dimensional euklidisk geometri er en generalisering af euklidisk geometri til et rum med flere dimensioner. Selvom det fysiske rum er tredimensionelt, og de menneskelige sanser er designet til at opfatte tre dimensioner, er N dimensionelt ... ... Wikipedia

Dette udtryk har andre betydninger, se Pyramidatsu (betydninger). Der er sat spørgsmålstegn ved pålideligheden af ​​dette afsnit af artiklen. Det er nødvendigt at verificere nøjagtigheden af ​​de fakta, der er angivet i dette afsnit. Der kan være forklaringer på diskussionssiden ... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) teknologi brugt til modellering af faste stoffer. Strukturel blokgeometri er ofte, men ikke altid, en modelleringsteknik i 3D-grafik og CAD. Det giver dig mulighed for at skabe en kompleks scene eller ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) er en teknologi, der bruges til at modellere faste stoffer. Strukturel blokgeometri er ofte, men ikke altid, en modelleringsteknik i 3D-grafik og CAD. Hun ... ... Wikipedia

Dette udtryk har andre betydninger, se Omfang (betydninger). Volumen er en additiv funktion af et sæt (mål), der karakteriserer kapaciteten af ​​et område af rummet, som det optager. I første omgang opstod det og blev anvendt uden strenge ... ... Wikipedia

Terningtype Regelmæssig polyeder Ansigt firkantet Hjørnepunkter Kanter Ansigter ... Wikipedia

Volumen er en additiv funktion af et sæt (mål), der karakteriserer kapaciteten af ​​et område af rummet, som det optager. Oprindeligt opstod det og blev anvendt uden en streng definition i forhold til tredimensionelle kroppe af tredimensionelt euklidisk rum. ... ... Wikipedia

En del af rummet afgrænset af en samling af et endeligt antal plane polygoner (se GEOMETRI) forbundet på en sådan måde, at hver side af en polygon er en side af nøjagtig en anden polygon (kaldet ... ... Collier Encyclopedia

Bøger

• Et sæt borde. Geometri. 10. klasse. 14 tabeller + metode, . Bordene er trykt på tykt polygrafisk karton, der måler 680 x 980 mm. Sættet indeholder en brochure med metodiske anbefalinger til lærere. Studiealbum med 14 ark.…

Definition 1. Prismatisk overflade
Sætning 1. På parallelle snit af en prismatisk overflade
Definition 2. Vinkelret snit af en prismatisk overflade
Definition 3. Prisme
Definition 4. Prismehøjde
Definition 5. Direkte prisme
Sætning 2. Arealet af prismets laterale overflade

Parallelepiped:
Definition 6. Parallelepiped
Sætning 3. Om skæringspunktet mellem diagonalerne i et parallelepipedum
Definition 7. Højre parallelepipedum
Definition 8. Rektangulær parallelepipedum
Definition 9. Dimensioner af et parallelepipedum
Definition 10. Terning
Definition 11. Rhombohedron
Sætning 4. På diagonalerne af et rektangulært parallelepipedum
Sætning 5. Volumen af ​​et prisme
Sætning 6. Volumen af ​​et lige prisme
Sætning 7. Volumen af ​​et rektangulært parallelepipedum

prisme kaldes et polyeder, hvor to flader (baser) ligger i parallelle planer, og de kanter, der ikke ligger i disse flader, er parallelle med hinanden.
Andre ansigter end baser kaldes tværgående.
Siderne af sidefladerne og baserne kaldes prisme kanter, kaldes enderne af kanterne toppen af ​​prismet. Sideribber kaldet kanter, der ikke hører til baserne. Foreningen af ​​sideflader kaldes sidefladen af ​​prismet, og foreningen af ​​alle ansigter kaldes prismets fulde overflade. Prisme højde kaldet vinkelret faldet fra punktet af den øverste base til planet for den nedre base eller længden af ​​denne vinkelret. lige prisme kaldet et prisme, hvor sidekanterne er vinkelrette på basernes planer. Korrekt kaldet et lige prisme (fig. 3), ved hvis basis ligger en regulær polygon.

Betegnelser:
l - sideribben;
P - base omkreds;
S o - basisareal;
H - højde;
P ^ - omkredsen af ​​den vinkelrette sektion;
S b - sideoverfladeareal;
V - volumen;
S p - arealet af prismets samlede overflade.

Definition 2 . Et vinkelret udsnit af en prismatisk overflade er et udsnit af denne overflade i et plan vinkelret på dens kanter. Baseret på den foregående sætning vil alle vinkelrette sektioner af den samme prismatiske overflade være ens polygoner.

Definition 3 . Et prisme er et polyeder afgrænset af en prismatisk overflade og to planer parallelt med hinanden (men ikke parallelle med kanterne af den prismatiske overflade)
De ansigter, der ligger i disse sidste planer, kaldes prisme baser; ansigter, der tilhører en prismatisk overflade - sideflader; kanter af den prismatiske overflade - sidekanter af prismet. I kraft af den foregående sætning er prismets baser lige mange polygoner. Alle sideflader af prismet parallelogrammer; alle sidekanter er lige hinanden.
Det er indlysende, at hvis bunden af ​​prismet ABCDE og en af ​​kanterne AA" er angivet i størrelse og retning, så er det muligt at konstruere et prisme ved at tegne kanterne BB", CC", .., lig og parallel med kanten AA".

Definition 4 . Højden af ​​et prisme er afstanden mellem planerne af dets baser (HH").

Definition 5 . Et prisme kaldes en ret linje, hvis dets baser er vinkelrette sektioner af en prismatisk overflade. I dette tilfælde er prismets højde selvfølgelig dens side rib; sidekanter vil rektangler.
Prismer kan klassificeres efter antallet af sideflader, svarende til antallet af sider af polygonen, der tjener som dens base. Prismer kan således være trekantede, firkantede, femkantede osv.

Sætning 2 . Arealet af prismets laterale overflade er lig med produktet af den laterale kant og omkredsen af ​​den vinkelrette sektion.
Lad ABCDEA"B"C"D"E" være det givne prisme og abcde være dets vinkelrette snit, således at segmenterne ab, bc, .. er vinkelrette på dets sidekanter. Forsiden ABA"B" er et parallelogram; dets areal er lig med produktet af basen AA " til en højde, der matcher ab; arealet af fladen BCV "C" er lig med produktet af basen BB" med højden bc osv. Derfor er sidefladen (dvs. summen af ​​arealerne af sidefladerne) lig med produktet af sidekanten, med andre ord den samlede længde af segmenterne AA", BB", .., med summen ab+bc+cd+de+ea.

Prisme. Parallelepiped

prisme kaldes et polyeder, hvis to flader er lige store n-goner (grunde) , liggende i parallelle planer, og de resterende n flader er parallelogrammer (sidekanter) . Side rib prisme er den side af sidefladen, der ikke hører til basen.

Et prisme, hvis sidekanter er vinkelrette på basernes planer, kaldes lige prisme (fig. 1). Hvis sidekanterne ikke er vinkelrette på basernes planer, så kaldes prismet skrå . Korrekt Et prisme er et lige prisme, hvis baser er regulære polygoner.

Højde prisme kaldes afstanden mellem basernes planer. Diagonal Et prisme er et segment, der forbinder to hjørner, der ikke hører til den samme flade. diagonalt snit Et udsnit af et prisme ved et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke hører til den samme flade, kaldes. Vinkelret snit kaldes prismets snit af et plan vinkelret på prismets sidekant.

Sideoverfladeareal prisme er summen af ​​arealerne af alle sideflader. Fuld overflade summen af ​​arealerne af alle prismets flader kaldes (dvs. summen af ​​arealerne af sidefladerne og arealerne af baserne).

For et vilkårligt prisme er formlerne sande:

hvor l er længden af ​​sideribben;

H- højde;

P

Q

S side

S fuld

S hoved er arealet af baserne;

V er rumfanget af prismet.

For et lige prisme er følgende formler sande:

hvor s- omkredsen af ​​basen;

l er længden af ​​sideribben;

H- højde.

Parallelepiped Et prisme, hvis basis er et parallelogram, kaldes. Et parallelepipedum, hvis sidekanter er vinkelrette på bunden, kaldes direkte (Fig. 2). Hvis sidekanterne ikke er vinkelrette på baserne, kaldes parallelepipedet skrå . Et ret parallelepipedum, hvis basis er et rektangel, kaldes rektangulær. Et rektangulært parallelepipedum, hvor alle kanter er lige, kaldes terning.

Ansigterne på et parallelepipedum, der ikke har fælles hjørner, kaldes modsatte . Længderne af kanter, der udgår fra et toppunkt kaldes målinger parallelepipedum. Da kassen er et prisme, er dens hovedelementer defineret på samme måde, som de er defineret for prismer.

Sætninger.

1. Parallepipedets diagonaler skærer hinanden i et punkt og halverer det.

2. I et rektangulært parallelepipedum er kvadratet af længden af ​​diagonalen lig med summen af ​​kvadraterne af dens tre dimensioner:

3. Alle fire diagonaler i et rektangulært parallelepipedum er lig med hinanden.

For et vilkårligt parallelepipedum er følgende formler sande:

hvor l er længden af ​​sideribben;

H- højde;

P er omkredsen af ​​det vinkelrette snit;

Q– Areal med vinkelret snit;

S side er det laterale overfladeareal;

S fuld er det samlede overfladeareal;

S hoved er arealet af baserne;

V er rumfanget af prismet.

For et højre parallelepipedum er følgende formler sande:

hvor s- omkredsen af ​​basen;

l er længden af ​​sideribben;

H er højden af ​​højre parallelepipedum.

For et rektangulært parallelepipedum er følgende formler sande:

(3)

hvor s- omkredsen af ​​basen;

H- højde;

d- diagonal;

a,b,c– målinger af et parallelepipedum.

De korrekte formler for en terning er:

hvor -en er længden af ​​ribben;

d er terningens diagonal.

Eksempel 1 Diagonalen af ​​en rektangulær kuboid er 33 dm, og dens mål er relateret til 2:6: 9. Find cuboidens mål.

Løsning. For at finde dimensionerne af parallelepipedet bruger vi formel (3), dvs. den kendsgerning, at kvadratet af hypotenusen af ​​en kuboid er lig med summen af ​​kvadraterne af dens dimensioner. Betegn med k proportionalitetskoefficient. Så vil dimensionerne af parallelepipedet være lig med 2 k, 6k og 9 k. Vi skriver formel (3) for problemdataene:

Løsning af denne ligning for k, vi får:

Derfor er dimensionerne af parallelepipedet 6 dm, 18 dm og 27 dm.

Svar: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Eksempel 2 Find rumfanget af et skrånende trekantet prisme, hvis basis er en ligesidet trekant med en side på 8 cm, hvis sidekanten er lig med siden af ​​basen og hælder i en vinkel på 60º i forhold til basen.

Løsning . Lad os lave en tegning (fig. 3).

For at finde volumen af ​​et skrå prisme, skal du kende arealet af bits base og højde. Arealet af bunden af ​​dette prisme er arealet af en ligesidet trekant med en side på 8 cm. Lad os beregne det:

Højden af ​​et prisme er afstanden mellem dets baser. Fra toppen MEN 1 af den øverste base sænker vi vinkelret på den nederste bases plan MEN 1 D. Dens længde vil være prismets højde. Overvej D MEN 1 AD: da dette er sideribbens hældningsvinkel MEN 1 MEN til basisplanet MEN 1 MEN= 8 cm. Fra denne trekant finder vi MEN 1 D:

Nu beregner vi volumen ved hjælp af formel (1):

Svar: 192 cm3.

Eksempel 3 Sidekanten af ​​et regulært sekskantet prisme er 14 cm. Arealet af den største diagonale sektion er 168 cm 2. Find det samlede overfladeareal af prismet.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 4)

Det største diagonale snit er et rektangel AA 1 DD 1 , da diagonalen AD regulær sekskant ABCDEF er den største. For at beregne det laterale overfladeareal af et prisme er det nødvendigt at kende siden af ​​basen og længden af ​​den laterale ribbe.

Ved at kende arealet af det diagonale snit (rektangel) finder vi basens diagonal.

Siden da

Siden da AB= 6 cm.

Så er omkredsen af ​​basen:

Find arealet af prismets sideflade:

Arealet af en regulær sekskant med en side på 6 cm er:

Find prismets samlede overfladeareal:

Svar:

Eksempel 4 Basen af ​​et højre parallelepipedum er en rombe. Arealerne af diagonale sektioner er 300 cm 2 og 875 cm 2. Find arealet af sidefladen af ​​parallelepipediet.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 5).

Betegn siden af ​​rhombus ved -en, diagonalerne af romben d 1 og d 2, højden af ​​kassen h. For at finde det laterale overfladeareal af et lige parallelepipedum er det nødvendigt at gange omkredsen af ​​basen med højden: (formel (2)). Base omkreds p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, fordi ABCD- rombe. H = AA 1 = h. At. Skal finde -en og h.

Overvej diagonale sektioner. AA 1 SS 1 - et rektangel, hvis ene side er diagonalen af ​​en rombe AC = d 1, anden sidekant AA 1 = h, derefter

Tilsvarende for afsnittet BB 1 DD 1 får vi:

Ved at bruge egenskaben af ​​et parallelogram, således at summen af ​​kvadraterne af diagonalerne er lig med summen af ​​kvadraterne på alle dets sider, får vi ligheden Vi får følgende.

Forskellige prismer er forskellige fra hinanden. Samtidig har de meget til fælles. For at finde arealet af bunden af ​​et prisme skal du finde ud af, hvilken slags det ser ud.

Generel teori

Et prisme er ethvert polyeder, hvis sider har form af et parallelogram. Desuden kan ethvert polyeder være ved sin base - fra en trekant til en n-gon. Desuden er prismets baser altid lig med hinanden. Hvad gælder ikke sidefladerne - de kan variere betydeligt i størrelse.

Når man løser problemer, er det ikke kun området af prismebunden, der stødes på. Det kan være nødvendigt at kende sidefladen, det vil sige alle flader, der ikke er baser. Den fulde overflade vil allerede være foreningen af ​​alle de ansigter, der udgør prismet.

Nogle gange optræder højder i opgaver. Det er vinkelret på baserne. Diagonalen af ​​et polyeder er et segment, der parvis forbinder to spidser, der ikke hører til den samme flade.

Det skal bemærkes, at arealet af bunden af ​​et lige eller skrå prisme ikke afhænger af vinklen mellem dem og sidefladerne. Hvis de har de samme figurer i de øvre og nedre flader, vil deres områder være lige store.

trekantet prisme

Den har i bunden en figur med tre spidser, det vil sige en trekant. Det er kendt for at være anderledes. Hvis det så er nok at huske, at dets område er bestemt af halvdelen af ​​produktet af benene.

Matematisk notation ser således ud: S = ½ av.

For at finde ud af området af basen i en generel form er formlerne nyttige: Heron og den, hvor halvdelen af ​​siden tages til højden, der er trukket til den.

Den første formel skal skrives således: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Denne post indeholder en semi-perimeter (p), det vil sige summen af ​​tre sider divideret med to.

For det andet: S = ½ n a * a.

Hvis du vil kende arealet af bunden af ​​et trekantet prisme, som er regelmæssigt, viser trekanten sig at være ligesidet. Den har sin egen formel: S = ¼ a 2 * √3.

firkantet prisme

Dens base er en hvilken som helst af de kendte firkanter. Det kan være et rektangel eller et kvadrat, et parallelepipedum eller en rombe. I hvert tilfælde skal du bruge din egen formel for at beregne arealet af bunden af ​​prismet.

Hvis grundfladen er et rektangel, så bestemmes dens areal som følger: S = av, hvor a, b er rektanglets sider.

Når det kommer til et firkantet prisme, beregnes basisarealet af et regulært prisme ved hjælp af formlen for et kvadrat. For det er ham, der ligger i basen. S \u003d en 2.

I det tilfælde, hvor basen er et parallelepipedum, vil følgende lighed være nødvendig: S \u003d a * n a. Det sker, at en side af et parallelepipedum og en af ​​vinklerne er givet. Derefter, for at beregne højden, skal du bruge en ekstra formel: na \u003d b * sin A. Desuden er vinklen A støder op til siden "b", og højden er na modsat denne vinkel.

Hvis en rombe ligger i bunden af ​​prismet, vil den samme formel være nødvendig for at bestemme dens areal som for et parallelogram (da det er et særligt tilfælde af det). Men du kan også bruge denne: S = ½ d 1 d 2. Her er d 1 og d 2 to diagonaler af romben.

Regelmæssigt femkantet prisme

Dette tilfælde involverer opdeling af polygonen i trekanter, hvis områder er nemmere at finde ud af. Selvom det sker, at figurerne kan være med et andet antal hjørner.

Da bunden af ​​prismet er en regulær femkant, kan den opdeles i fem ligesidede trekanter. Så er arealet af prismets basis lig med arealet af en sådan trekant (formlen kan ses ovenfor), ganget med fem.

Regelmæssigt sekskantet prisme

Ifølge princippet beskrevet for et femkantet prisme er det muligt at opdele grundsekskanten i 6 ligesidede trekanter. Formlen for arealet af bunden af ​​et sådant prisme ligner den foregående. Kun i det skal ganges med seks.

Formlen vil se sådan ud: S = 3/2 og 2 * √3.

Opgaver

Nr. 1. En regulær lige linje er givet. Dens diagonal er 22 cm, højden af ​​polyhedron er 14 cm. Beregn arealet af prismets basis og hele overfladen.

Løsning. Grundlaget for et prisme er et kvadrat, men dets side kendes ikke. Du kan finde dens værdi fra kvadratets diagonal (x), som er relateret til prismets diagonal (d) og dets højde (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. På den anden side er dette segment "x" hypotenusen i en trekant, hvis ben er lig med siden af ​​kvadratet. Det vil sige x 2 \u003d a 2 + a 2. Således viser det sig, at en 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Erstat tallet 22 i stedet for d, og erstat "n" med dets værdi - 14, det viser sig, at siden af ​​firkanten er 12 cm. Nu er det nemt at finde ud af grundarealet: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

For at finde ud af arealet af hele overfladen skal du tilføje to gange værdien af ​​basisarealet og firdoble siden. Sidstnævnte er let at finde ved formlen for et rektangel: gange højden af ​​polyederet og siden af ​​basen. Det vil sige 14 og 12, dette tal vil være lig med 168 cm 2. Prismets samlede overfladeareal viser sig at være 960 cm 2 .

Svar. Prismets grundareal er 144 cm2. Hele overfladen - 960 cm 2 .

nr. 2. Dana Ved bunden ligger en trekant med en side på 6 cm. I dette tilfælde er diagonalen på sidefladen 10 cm. Beregn arealerne: bunden og sidefladen.

Løsning. Da prismet er regelmæssigt, er dets base en ligesidet trekant. Derfor viser dens areal sig at være lig med 6 i kvadrat gange ¼ og kvadratroden af ​​3. En simpel beregning fører til resultatet: 9√3 cm 2. Dette er arealet af en base af prismet.

Alle sideflader er ens og er rektangler med sider på 6 og 10 cm. For at beregne deres arealer er det nok at gange disse tal. Gang dem derefter med tre, fordi prismet har præcis så mange sideflader. Derefter vikles området af sidefladen 180 cm 2 .

Svar. Områder: base - 9√3 cm 2, sideflade af prismet - 180 cm 2.

Definition.

Dette er en sekskant, hvis grundflader er to lige store kvadrater, og sidefladerne er lige store rektangler.

Side rib er den fælles side af to tilstødende sideflader

Prisme højde er et linjestykke vinkelret på prismets basis

Prisme diagonal- et segment, der forbinder to hjørner af baserne, som ikke hører til den samme flade

Diagonalt plan- et plan, der passerer gennem prismets diagonal og dets sidekanter

Diagonalt snit- grænserne for skæringspunktet mellem prismet og diagonalplanet. Den diagonale sektion af et regulært firkantet prisme er et rektangel

Vinkelret snit (ortogonalt snit)- dette er skæringspunktet mellem et prisme og et plan tegnet vinkelret på dets sidekanter

Elementer af et regulært firkantet prisme

Figuren viser to regulære firkantede prismer, som er markeret med de tilsvarende bogstaver:

• Baserne ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er lige store og parallelle med hinanden
• Sideflader AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C og CC 1 D 1 D, som hver er et rektangel
• Lateral overflade - summen af ​​arealerne af alle prismets sideflader
• Samlet overflade - summen af ​​arealer af alle baser og sideflader (summen af ​​arealet af sideoverfladen og baser)
• Sideribber AA 1 , BB 1 , CC 1 og DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Basisdiagonal BD
• Diagonal snit BB 1 D 1 D
• Vinkelret snit A 2 B 2 C 2 D 2 .

Egenskaber for et regulært firkantet prisme

• Baserne er to lige store firkanter
• Baserne er parallelle med hinanden
• Siderne er rektangler.
• Sideflader er ens med hinanden
• Sideflader er vinkelrette på baserne
• Sideribber er parallelle med hinanden og lige store
• Vinkelret snit vinkelret på alle sideribber og parallelt med baserne
• Vinkler i vinkelret snit - højre
• Den diagonale sektion af et regulært firkantet prisme er et rektangel
• Vinkelret (ortogonalt snit) parallelt med baserne

Formler til et regulært firkantet prisme

Instruktioner til løsning af problemer

Korrekt prisme- et prisme, ved hvis basis ligger en regulær polygon, og sidekanterne er vinkelrette på basens planer. Det vil sige, at et regulært firkantet prisme indeholder ved sin base firkant. (se ovenfor egenskaberne for et regulært firkantet prisme) Bemærk. Dette er en del af lektionen med opgaver i geometri (afsnit solid geometri - prisme). Her er de opgaver, der giver problemer med at løse. Hvis du skal løse et problem i geometri, som ikke er her - skriv om det i forummet. For at angive handlingen med at udtrække en kvadratrod ved løsning af problemer, bruges symbolet√ .

En opgave.

Diagonalen af ​​et regulært prisme danner en retvinklet trekant med basens diagonal og prismets højde. Følgelig vil diagonalen af ​​et givet regulært firkantet prisme ifølge Pythagoras sætning være lig med:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Svar: 22 cm

En opgave

Løsning.
Da bunden af ​​et regulært firkantet prisme er et kvadrat, så findes siden af ​​bunden (betegnet som a) af Pythagoras sætning:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Højden af ​​sidefladen (betegnet som h) vil da være lig med:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Det samlede overfladeareal vil være lig med summen af ​​det laterale overfladeareal og to gange basisarealet

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Svar: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.