Afledt med online parameter. Afledt af en parametrisk defineret funktion

Lad os overveje definitionen af en linje på planet, hvor variablerne x, y er funktioner af den tredje variabel t (kaldet parameteren):

For enhver værdi t fra et eller andet interval svarer visse værdier x og y, og, deraf et vist punkt M(x, y) af planet. Hvornår t løber gennem alle værdier fra et givet interval, derefter punktet M (x, y) beskriver en eller anden linje L. Ligninger (2.2) kaldes parametriske ligninger for linjen L.

Hvis funktionen x = φ(t) har en invers t = Ф(x), og substituerer dette udtryk i ligningen y = g(t), får vi y = g(Ф(x)), som specificerer y som funktion af x. I dette tilfælde siges ligning (2.2) at definere funktionen y parametrisk.

Eksempel 1 Lade M (x, y) er et vilkårligt punkt i radiuscirklen R og centreret ved oprindelsen. Lade t- vinklen mellem aksen Okse og radius OM(Se figur 2.3). Derefter x, y udtrykt igennem t:

Ligninger (2.3) er parametriske ligninger for cirklen. Lad os udelukke parameteren t fra ligningerne (2.3). For at gøre dette kvadraterer vi hver af ligningerne og lægger dem sammen, vi får: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) eller x 2 + y 2 \u003d R 2 - cirkelligningen i det kartesiske koordinatsystem. Den definerer to funktioner: Hver af disse funktioner er givet af parametriske ligninger (2.3), men for den første funktion , og for den anden .

Eksempel 2. Parametriske ligninger

definere en ellipse med halvakser a, b(Fig. 2.4). Eliminering af parameteren fra ligningerne t, får vi den kanoniske ligning for ellipsen:

Eksempel 3. En cykloid er en linje beskrevet af et punkt, der ligger på en cirkel, hvis denne cirkel ruller uden at glide langs en ret linje (fig. 2.5). Lad os introducere de parametriske ligninger for cykloiden. Lad den rullende cirkels radius være -en, prik M, der beskriver cykloiden, faldt i begyndelsen af bevægelsen sammen med oprindelsen.

Lad os bestemme koordinaterne x, y point M efter at cirklen har roteret gennem en vinkel t
(fig. 2.5), t = ÐMCB. Buens længde MB lig med længden af segmentet OB, da cirklen ruller uden at glide, så

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - pris).

Så de parametriske ligninger for cycloiden opnås:

Ved ændring af parameter t fra 0 til 2π cirklen drejes en omdrejning, mens punktet M beskriver en bue af cycloiden. Ligninger (2.5) definerer y som funktion af x. Selvom funktionen x = a(t - sint) har en omvendt funktion, men den udtrykkes ikke i form af elementære funktioner, så funktionen y = f(x) er ikke udtrykt i form af elementære funktioner.

Overvej differentieringen af funktionen givet parametrisk ved ligninger (2.2). Funktionen x = φ(t) på et bestemt ændringsinterval t har en invers funktion t = Ф(x), derefter y = g(Ф(x)). Lade x = φ(t), y = g(t) har derivater, og x"t≠0. Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion y"x=y"t×t"x. Baseret på den omvendte funktionsdifferentieringsregel, derfor:

Den resulterende formel (2.6) gør det muligt at finde den afledede for en funktion givet parametrisk.

Eksempel 4. Lad funktionen y, kommer an på x, er indstillet parametrisk:

Løsning. .
Eksempel 5 Find Slope k tangent til cykloiden i punktet M 0 svarende til værdien af parameteren.
Løsning. Fra cykloidligningerne: y" t = asint, x" t = a(1 - pris), derfor

Hældningen af en tangent i et punkt M0 lig med værdien ved t 0 \u003d π / 4:

FUNKTIONSDIFFERENTIEL

Lad funktionen være på et punkt x0 har et derivat. Per definition:
derfor ved grænsens egenskaber (afsnit 1.8), hvor -en er uendelig lille kl ∆x → 0. Herfra

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Som Δx → 0 er det andet led i lighed (2.7) en uendeligt lille højere orden i sammenligning med , derfor er Δy og f "(x 0) × Δx ækvivalente, infinitesimale (for f "(x 0) ≠ 0).

Tilvæksten af funktionen Δy består således af to led, hvoraf den første f "(x 0) × Δx er hoveddel inkrementer Δy, lineær i forhold til Δx (for f "(x 0) ≠ 0).

Differential funktionen f(x) i punktet x 0 kaldes hoveddelen af funktionens tilvækst og betegnes: D y eller df(x0). Følgelig,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Eksempel 1 Find differentialet for en funktion D y og stigningen af funktionen Δy for funktionen y \u003d x 2, når:
1) vilkårlig x og Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

Løsning

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Hvis x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, så Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Vi skriver ligestilling (2.7) i formen:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Tilvæksten Δy afviger fra differentialet D y til en infinitesimal højere orden sammenlignet med Δx, derfor bruges i omtrentlige beregninger den omtrentlige lighed Δy ≈ dy, hvis Δx er tilstrækkelig lille.

I betragtning af at Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), får vi en omtrentlig formel:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Eksempel 2. Beregn ca.

Løsning. Overveje:

Ved hjælp af formel (2.10) får vi:

Derfor ≈ 2,025.

Overvej den geometriske betydning af differentialet df(x0)(Fig. 2.6).

Tegn en tangent til grafen for funktionen y = f (x) i punktet M 0 (x0, f (x 0)), lad φ være vinklen mellem tangenten KM0 og aksen Ox, derefter f "(x 0) ) = tgφ. Fra ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Men PN er stigningen af tangentordinaten, når x ændres fra x 0 til x 0 + Δx.

Derfor er differentialet for funktionen f(x) i punktet x 0 lig med inkrementet af tangentordinaten.

Lad os finde differentialet for funktionen
y=x. Da (x)" = 1, så er dx = 1 × Δx = Δx. Vi antager, at differentialet for den uafhængige variabel x er lig med dens tilvækst, dvs. dx = Δx.

Hvis x er et vilkårligt tal, så får vi fra lighed (2.8) df(x) = f "(x)dx, hvorfra .
Således er den afledede for funktionen y = f(x) lig med forholdet mellem dens differential og argumentets differentiale.

Overvej egenskaberne af differentialet af en funktion.

Hvis u(x), v(x) er differentiable funktioner, er følgende formler gyldige:

For at bevise disse formler bruges afledte formler for summen, produktet og kvotienten. Lad os for eksempel bevise formel (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Overvej differentialet for en kompleks funktion: y = f(x), x = φ(t), dvs. y = f(φ(t)).

Så dy = y" t dt, men y" t = y" x ×x" t , så dy = y" x x" t dt. Overvejer,

at x" t = dx, får vi dy = y" x dx =f "(x)dx.

Således har differentialet for en kompleks funktion y \u003d f (x), hvor x \u003d φ (t), formen dy \u003d f "(x) dx, det samme som når x er en uafhængig variabel. Denne egenskab Hedder form invariant differential en.

Anstreng dig ikke, også i dette afsnit er alt ganske enkelt. Du kan nedskrive den generelle formel for en parametrisk givet funktion, men for at gøre det klart, vil jeg straks nedskrive et specifikt eksempel. På parametrisk form er funktionen givet af to ligninger:. Ofte skrives ligninger ikke under krøllede klammer, men sekventielt:,.

En variabel kaldes en parameter og kan tage værdier fra "minus uendeligt" til "plus uendeligt". Overvej for eksempel værdien og indsæt den i begge ligninger: . Eller menneskeligt: "hvis x er lig med fire, så er y lig med en." Du kan markere et punkt på koordinatplanet, og dette punkt vil svare til parameterens værdi. På samme måde kan du finde et punkt for enhver værdi af parameteren "te". Med hensyn til den "almindelige" funktion, for de amerikanske indianere af en parametrisk givet funktion, respekteres alle rettigheder også: du kan plotte en graf, finde afledte, og så videre. Hvis der i øvrigt er behov for at bygge en graf over en parametrisk givet funktion, så download mit geometriske program på siden Matematiske formler og tabeller.

I de enkleste tilfælde er det muligt at repræsentere funktionen eksplicit. Vi udtrykker parameteren fra den første ligning: og indsæt det i den anden ligning: . Resultatet er en almindelig kubisk funktion.

I mere "alvorlige" tilfælde virker sådan et trick ikke. Men det betyder ikke noget, fordi der er en formel til at finde den afledede af en parametrisk funktion:

Vi finder den afledede af "spilleren med hensyn til variablen te":

Alle reglerne for differentiering og tabellen over afledte er selvfølgelig gyldige for bogstavet, således, der er ingen nyhed i processen med at finde derivater. Bare mentalt erstatte alle "x"'erne i tabellen med bogstavet "te".

Vi finder den afledede af "x med hensyn til variablen te":

Nu er det kun tilbage at erstatte de fundne derivater i vores formel:

Parat. Den afledte afhænger ligesom selve funktionen også af parameteren .

Med hensyn til notationen, i stedet for at skrive i formlen, kunne man simpelthen skrive den uden et underskrift, da dette er den "almindelige" afledte "ved x". Men der er altid en variant i litteraturen, så jeg vil ikke afvige fra standarden.

Eksempel 6

Vi bruger formlen

I dette tilfælde:

På denne måde:

Et træk ved at finde den afledede af en parametrisk funktion er det faktum, at ved hvert trin er det fordelagtigt at forenkle resultatet så meget som muligt. Så i det betragtede eksempel, da jeg fandt, åbnede jeg beslagene under roden (selvom jeg måske ikke havde gjort dette). Der er en stor chance for, at når du erstatter og ind i formlen, vil mange ting være godt reduceret. Selvom der selvfølgelig er eksempler med klodsede svar.

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion givet parametrisk

Dette er et gør-det-selv eksempel.

I artiklen De enkleste typiske problemer med et derivat vi overvejede eksempler, hvor det var nødvendigt at finde den anden afledede af en funktion. For en parametrisk givet funktion kan du også finde den anden afledede, og den findes ved følgende formel: . Det er helt indlysende, at for at finde den anden afledede, skal man først finde den første afledede.

Eksempel 8

Find den første og anden afledede af en funktion givet parametrisk

Lad os først finde den første afledte.
Vi bruger formlen

I dette tilfælde:

Erstatter de fundne derivater i formlen. For nemheds skyld bruger vi den trigonometriske formel:

Jeg bemærkede, at i problemet med at finde den afledede af en parametrisk funktion, er man ganske ofte nødt til at bruge for at forenkle trigonometriske formler . Husk dem eller hav dem ved hånden, og gå ikke glip af muligheden for at forenkle hvert mellemresultat og svar. Hvorfor? Nu skal vi tage den afledte af , og det er klart bedre end at finde den afledte af .

Lad os finde den anden afledede.
Vi bruger formlen:.

Lad os se på vores formel. Nævneren er allerede fundet i det foregående trin. Det er tilbage at finde tælleren - den afledede af den første afledte med hensyn til variablen "te":

Det er tilbage at bruge formlen:

For at konsolidere materialet giver jeg et par flere eksempler på en selvstændig løsning.

Eksempel 9

Eksempel 10

Find og for en funktion defineret parametrisk

Ønsker dig succes!

Jeg håber, at denne lektion var nyttig, og nu kan du nemt finde afledte af implicitte funktioner og parametriske funktioner

Løsninger og svar:

Eksempel 3: Løsning:

På denne måde:

Hidtil har vi betragtet ligningerne for linjer på planet, som direkte relaterer de aktuelle koordinater til punkterne på disse linjer. Der bruges dog ofte en anden måde at angive linjen på, hvor de aktuelle koordinater betragtes som funktioner af en tredje variabel.

Lad to funktioner af en variabel være givet

overvejet for de samme værdier af t. Så svarer enhver af disse værdier af t til en vis værdi og en vis værdi af y, og følgelig til et bestemt punkt. Når variablen t løber gennem alle værdier fra funktionernes domæne (73), beskriver punktet en linie C i planet. Ligninger (73) kaldes parametriske ligninger for denne linje, og variablen kaldes en parameter.

Antag, at funktionen har en invers funktion Ved at erstatte denne funktion med den anden af ligning (73), får vi ligningen

udtrykke y som en funktion

Lad os blive enige om at sige, at denne funktion er givet parametrisk af ligninger (73). Overgangen fra disse ligninger til ligning (74) kaldes eliminering af parameteren. Når man betragter funktioner defineret parametrisk, er udelukkelsen af parameteren ikke kun ikke nødvendig, men heller ikke altid praktisk mulig.

I mange tilfælde er det meget mere bekvemt, givet forskellige værdier af parameteren, derefter at beregne de tilsvarende værdier af argumentet og funktionen y ved hjælp af formler (73).

Overvej eksempler.

Eksempel 1. Lad være et vilkårligt punkt i en cirkel centreret ved origo og radius R. De kartesiske koordinater x og y for dette punkt er udtrykt i termer af dets polære radius og polære vinkel, som vi her betegner med t, som følger ( se kap. I, § 3, punkt 3):

Ligninger (75) kaldes parametriske ligninger for cirklen. Parameteren i dem er den polære vinkel, som varierer fra 0 til.

Hvis ligning (75) kvadreres og tilføjes led for led, så elimineres parameteren på grund af identiteten, og cirkelligningen i det kartesiske koordinatsystem opnås, som bestemmer to elementære funktioner:

Hver af disse funktioner er specificeret parametrisk ved ligning (75), men intervallerne for parametervariation for disse funktioner er forskellige. For den første; grafen for denne funktion er den øverste halvcirkel. For den anden funktion er dens graf den nederste halvcirkel.

Eksempel 2. Overvej en ellipse på samme tid

og en cirkel centreret ved origo og radius a (fig. 138).

Til hvert punkt M af ellipsen knytter vi et punkt N i cirklen, som har samme abscisse som punktet M, og er placeret med det på samme side af Ox-aksen. Positionen af punktet N, og dermed punktet M, er fuldstændig bestemt af punktets polære vinkel t. I dette tilfælde får vi for deres fælles abscisse følgende udtryk: x \u003d a. Vi finder ordinaten i punktet M fra ellipseligningen:

Tegnet er valgt, fordi ordinaten i punktet M og ordinaten i punktet N skal have samme fortegn.

Således opnås følgende parametriske ligninger for ellipsen:

Her ændres parameteren t fra 0 til .

Eksempel 3. Betragt en cirkel med centrum i punktet a) og radius a, som naturligvis rører x-aksen ved origo (fig. 139). Antag, at det er denne cirkel, der ruller uden at glide langs x-aksen. Så beskriver punktet M i cirklen, som i det første øjeblik faldt sammen med oprindelsen, en linje, som kaldes en cykloid.

Vi udleder de parametriske ligninger for cykloiden, idet vi tager som parameter t rotationsvinklen for cirklen MSW, når dens faste punkt flyttes fra position O til position M. Så får vi for koordinaterne og y for punktet M følgende udtryk:

På grund af det faktum, at cirklen ruller langs aksen uden at glide, er længden af segmentet OB lig med længden af buen VM. Da længden af VM-buen er lig med produktet af radius a og midtervinklen t, så . Derfor . Men derfor

Disse ligninger er de parametriske ligninger for cykloiden. Når parameteren t ændres fra 0 til cirklen, vil den lave en hel omdrejning. Punkt M vil beskrive en bue af cykloiden.

Udelukkelsen af parameteren t fører her til besværlige udtryk og er praktisk talt upraktisk.

Den parametriske definition af linjer bruges især ofte i mekanik, og tiden spiller rollen som en parameter.

Eksempel 4. Lad os bestemme banen for et projektil affyret fra en pistol med en begyndelseshastighed i en vinkel a i forhold til horisonten. Luftmodstand og projektildimensioner, der betragtes som et materialepunkt, forsømmes.

Lad os vælge et koordinatsystem. For oprindelsen af koordinater tager vi udgangspunktet for projektilet fra mundingen. Lad os rette Ox-aksen vandret, og Oy-aksen - lodret, og placere dem i samme plan med pistolens munding. Hvis der ikke var nogen tyngdekraft, ville projektilet bevæge sig langs en ret linje og danne en vinkel a med Ox-aksen, og på tidspunktet t ville det have tilbagelagt banen. Koordinaterne for projektilet på tidspunktet t ville være henholdsvis ens: . På grund af jordens tyngdekraft skal projektilet i dette øjeblik sænke lodret med en værdi. Derfor er projektilets koordinater i virkeligheden på tidspunktet t bestemt af formlerne:

Disse ligninger er konstanter. Når t ændres, vil koordinaterne for projektilbanepunktet også ændre sig. Ligningerne er parametriske ligninger for projektilbanen, hvor parameteren er tid

Udtrykke fra den første ligning og indsætte den i

den anden ligning, får vi ligningen for projektilbanen på formen Dette er ligningen for en parabel.

Den afledede af en funktion givet implicit.
Afledt af en parametrisk defineret funktion

I denne artikel vil vi overveje to mere typiske opgaver, som ofte findes i test i højere matematik. For at kunne mestre materialet med succes er det nødvendigt at være i stand til at finde derivater på mindst et gennemsnitligt niveau. Du kan lære at finde derivater praktisk talt fra bunden i to grundlæggende lektioner og Afledt af en kompleks funktion. Hvis alt er i orden med differentieringsevner, så lad os gå.

Afledt af en funktion defineret implicit

Eller kort sagt den afledte af en implicit funktion. Hvad er en implicit funktion? Lad os først huske selve definitionen af en funktion af en variabel:

Funktion af en variabel er reglen om, at hver værdi af den uafhængige variabel svarer til én og kun én værdi af funktionen.

Variablen kaldes uafhængige variabel eller argument.
Variablen kaldes afhængig variabel eller fungere .

Indtil videre har vi overvejet funktioner defineret i eksplicit form. Hvad betyder det? Lad os arrangere en debriefing om specifikke eksempler.

Overvej funktionen

Vi ser, at til venstre har vi et ensomt "y", og til højre - kun x'er. Altså funktionen eksplicit udtrykt i den uafhængige variabel.

Lad os overveje en anden funktion:

Her er variablerne og placeret "blandet". Og umuligt på nogen måde udtrykke "Y" kun gennem "X". Hvad er disse metoder? Overførsel af udtryk fra del til del med ændring af fortegn, parentes, kastefaktorer i henhold til proportionsreglen osv. Omskriv ligheden og forsøg at udtrykke "y" eksplicit:. Du kan vride og vende ligningen i timevis, men du vil ikke lykkes.

Tillad mig at introducere: - et eksempel implicit funktion.

I løbet af matematisk analyse blev det bevist, at den implicitte funktion eksisterer(men ikke altid), den har en graf (ligesom en "normal" funktion). Det er det samme for en implicit funktion. eksisterer første afledte, anden afledte osv. Som de siger, respekteres alle seksuelle minoriteters rettigheder.

Og i denne lektion vil vi lære, hvordan man finder den afledede af en funktion givet implicit. Det er ikke så svært! Alle differentieringsregler, tabellen over afledte elementære funktioner forbliver i kraft. Forskellen ligger i et ejendommeligt punkt, som vi vil overveje lige nu.

Ja, og jeg vil fortælle dig den gode nyhed - opgaverne diskuteret nedenfor udføres i henhold til en ret stiv og klar algoritme uden en sten foran tre spor.

Eksempel 1

1) På den første fase hænger vi streger på begge dele:

2) Vi bruger reglerne for linearitet for den afledte (de to første regler i lektionen Hvordan finder man derivatet? Løsningseksempler):

3) Direkte differentiering.
Hvordan man differentierer og fuldstændigt forståeligt. Hvad skal man gøre, hvor der er "leg" under slagene?

- bare til skændsel, den afledede af en funktion er lig med dens afledte: .

Hvordan man differentierer
Her har vi kompleks funktion. Hvorfor? Det ser ud til, at der under sinus kun er ét bogstav "Y". Men faktum er, at kun et bogstav "y" - ER EN FUNKTION I SELV(se definitionen i begyndelsen af lektionen). Således er sinus en ekstern funktion, er en intern funktion. Vi bruger reglen om differentiering af en kompleks funktion :

Produktet er differentierbart efter den sædvanlige regel :

Bemærk, at det også er en kompleks funktion, ethvert "twist legetøj" er en kompleks funktion:

Designet af selve løsningen skal se sådan ud:

Hvis der er parenteser, skal du åbne dem:

4) På venstre side samler vi de termer, hvor der er et "y" med et streg. På højre side - vi overfører alt andet:

5) På venstre side tager vi den afledte ud af parentes:

6) Og ifølge proportionsreglen sætter vi disse parenteser i nævneren på højre side:

Det afledte er fundet. Parat.

Det er interessant at bemærke, at enhver funktion kan omskrives implicit. For eksempel funktionen kan omskrives sådan her: . Og differentier det i henhold til den netop betragtede algoritme. Faktisk er sætningerne "implicit funktion" og "implicit funktion" forskellige i en semantisk nuance. Udtrykket "implicit defineret funktion" er mere generel og korrekt, - denne funktion er givet implicit, men her kan du udtrykke "y" og præsentere funktionen eksplicit. Udtrykket "implicit funktion" betyder en "klassisk" implicit funktion, når "y" ikke kan udtrykkes.

Den anden måde at løse

Opmærksomhed! Du kan kun gøre dig bekendt med den anden metode, hvis du ved, hvordan du trygt kan finde partielle derivater. Calculus begyndere og dummies tak læs ikke og spring ikke dette afsnit over, ellers bliver hovedet fuldstændig rod.

Find den afledede af den implicitte funktion på den anden måde.

Vi flytter alle udtryk til venstre side:

Og overvej en funktion af to variable:

Så kan vores afledte findes ved formlen
Lad os finde partielle derivater:

På denne måde:

Den anden løsning giver dig mulighed for at udføre en kontrol. Men det er uønsket at udarbejde en endelig version af opgaven for ham, da partielle derivater mestres senere, og en studerende, der studerer emnet "Afledt af en funktion af en variabel", bør ikke kende delvise derivater.

Lad os se på nogle flere eksempler.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion givet implicit

Vi hænger streger på begge dele:

Vi bruger linearitetsreglerne:

At finde derivater:

Udvider alle parenteser:

Vi overfører alle udtryk med til venstre side, resten - til højre side:

Endeligt svar:

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion givet implicit

Fuld løsning og designprøve i slutningen af lektionen.

Det er ikke ualmindeligt, at brøker opstår efter differentiering. I sådanne tilfælde skal fraktioner kasseres. Lad os se på yderligere to eksempler.

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion givet implicit

Vi afslutter begge dele under streger og bruger linearitetsreglen:

Vi differentierer ved at bruge reglen om differentiering af en kompleks funktion og reglen om differentiering af kvotienten :

Udvidelse af beslag:

Nu skal vi af med fraktionen. Dette kan gøres senere, men det er mere rationelt at gøre det med det samme. Brøkens nævner er . Formere sig på den . I detaljer vil det se sådan ud:

Nogle gange efter differentiering vises 2-3 fraktioner. Hvis vi for eksempel havde en brøk mere, så skulle operationen gentages - gange hvert led i hver del på den

På venstre side sætter vi det ud af parentes:

Endeligt svar:

Eksempel 5

Find den afledede af en funktion givet implicit

Dette er et gør-det-selv eksempel. Det eneste i det, før du slipper af med brøken, skal du først slippe af med den tre-etagers struktur af selve brøken. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Afledt af en parametrisk defineret funktion

Variablen kaldes en parameter og kan tage værdier fra "minus uendelig" til "plus uendelig". Overvej for eksempel værdien og indsæt den i begge ligninger: . Eller menneskeligt: "hvis x er lig med fire, så er y lig med en." Du kan markere et punkt på koordinatplanet, og dette punkt vil svare til parameterens værdi. På samme måde kan du finde et punkt for enhver værdi af parameteren "te". Med hensyn til den "almindelige" funktion, for de amerikanske indianere af en parametrisk givet funktion, respekteres alle rettigheder også: du kan plotte en graf, finde afledte, og så videre. Hvis der i øvrigt er behov for at bygge en graf over en parametrisk givet funktion, kan du bruge mit program.

I mere "alvorlige" tilfælde virker sådan et trick ikke. Men det betyder ikke noget, fordi der er en formel til at finde den afledede af en parametrisk funktion:

Vi finder den afledede af "spilleren med hensyn til variablen te":

Vi finder den afledede af "x med hensyn til variablen te":