Resumé: Kvadratiske ligninger og ligninger af højere orden. Fra andengradsligningers og andengradsligningers historie i det gamle Babylon

Kopyevskaya landdistriktsskole

10 måder at løse kvadratiske ligninger på

Leder: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematiklærer

s. Kopyevo, 2007

1. Historie om udviklingen af andengradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i oldtidens Babylon

1.2 Hvordan Diophantus kompilerede og løste andengradsligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i Indien

1.4 Kvadratiske ligninger i al-Khwarizmi

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundreder

1.6 Om Vietas sætning

2. Metoder til løsning af andengradsligninger

Konklusion

Litteratur

1. Historie om udviklingen af andengradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i oldtidens Babylon

Ved hjælp af moderne algebraisk notation kan vi sige, at der i deres kileskriftstekster ud over ufuldstændige tekster er sådanne, for eksempel komplette andengradsligninger:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

På trods af det høje udviklingsniveau af algebra i Babylon, mangler kileskriftsteksterne konceptet om et negativt tal og generelle metoder til løsning af andengradsligninger.

1.2 Hvordan Diophantus kompilerede og løste andengradsligninger.

Diophantus' Aritmetik indeholder ikke en systematisk udlægning af algebra, men den indeholder en systematisk række af problemer, ledsaget af forklaringer og løst ved at formulere ligninger af forskellige grader.

Når han kompilerer ligninger, vælger Diophantus dygtigt ukendte for at forenkle løsningen.

Her er for eksempel en af hans opgaver.

Opgave 11."Find to tal, vel vidende at deres sum er 20 og deres produkt er 96"

Diophantus argumenterer som følger: det følger af problemets betingelse, at de ønskede tal ikke er ens, da hvis de var ens, så ville deres produkt ikke være lig med 96, men med 100. Således vil et af dem være mere end halvdelen af deres sum, dvs. 10+x, den anden er mindre, dvs. 10'erne. Forskellen mellem dem 2x .

Derfor ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Et af de ønskede tal er 12 , Andet 8 . Afgørelse x = -2 thi Diophantus findes ikke, da græsk matematik kun kendte positive tal.

Hvis vi løser dette problem ved at vælge et af de ønskede tal som det ukendte, så kommer vi til løsningen af ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det er tydeligt, at Diophantus forenkler løsningen ved at vælge den halve forskel af de ønskede tal som det ukendte; han formår at reducere problemet til at løse en ufuldstændig andengradsligning (1).

1.3 Kvadratiske ligninger i Indien

Problemer for andengradsligninger findes allerede i den astronomiske kanal "Aryabhattam", udarbejdet i 499 af den indiske matematiker og astronom Aryabhatta. En anden indisk videnskabsmand, Brahmagupta (7. århundrede), skitserede den generelle regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

I ligning (1) er koefficienterne, bortset fra -en, kan også være negativ. Brahmaguptas styre falder i det væsentlige sammen med vores.

I det gamle Indien var offentlige konkurrencer om at løse vanskelige problemer almindelige. I en af de gamle indiske bøger siges følgende om sådanne konkurrencer: "Som solen overstråler stjernerne med sin glans, således vil en lærd person overstråle en andens herlighed ved offentlige møder, der foreslår og løser algebraiske problemer." Opgaver var ofte klædt i poetisk form.

Her er et af problemerne med den berømte indiske matematiker fra det XII århundrede. Bhaskara.

Opgave 13.

"En frisk flok aber og tolv i vinstokke ...

Efter at have spist kraft, havde det sjovt. De begyndte at hoppe, hænge ...

Del otte af dem på en firkant Hvor mange aber var der,

Hygge på engen. Siger du mig, i denne flok?

Bhaskaras løsning indikerer, at han kendte til to-værdien af rødderne til andengradsligninger (fig. 3).

Ligningen svarende til opgave 13 er:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dække af:

x 2 - 64x = -768

og for at fuldføre venstre side af denne ligning til et kvadrat, tilføjer han til begge sider 32 2 , får derefter:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger i al-Khorezmi

Al-Khorezmis algebraiske afhandling giver en klassificering af lineære og andengradsligninger. Forfatteren lister 6 typer ligninger, der udtrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lig med rødder", dvs. akse 2 + c = b X.

2) "Kvadrater er lig med tal", dvs. akse 2 = s.

3) "Rødderne er lig med tallet", dvs. ah = s.

4) "Kvadrater og tal er lig med rødder", dvs. akse 2 + c = b X.

5) "Kvadrater og rødder er lig med tallet", dvs. ah 2+ bx = s.

6) "Rødder og tal er lig med kvadrater", dvs. bx + c \u003d akse 2.

al-Khorezmi tager, som alle matematikere før det 17. århundrede, ikke højde for nulløsningen, sandsynligvis fordi den ikke betyder noget i konkrete praktiske problemer. Når man løser komplette andengradsligninger, opstiller al-Khorezmi reglerne for løsning og derefter geometriske beviser ved hjælp af særlige numeriske eksempler.

Opgave 14."Kvadratet og tallet 21 er lig med 10 rødder. Find roden" (forudsat roden af ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning lyder sådan her: divider antallet af rødder i to, du får 5, gange 5 med sig selv, træk 21 fra produktet, 4 bliver tilbage. Tag roden af 4, du får 2. Træk 2 fra 5, du få 3, vil dette være den ønskede rod. Eller tilføj 2 til 5, hvilket vil give 7, dette er også en rod.

Treatise al - Khorezmi er den første bog, der er kommet ned til os, hvor klassificeringen af andengradsligninger er systematisk angivet og formler for deres løsning er givet.

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundreder

Formler til løsning af andengradsligninger på modellen af al - Khorezmi i Europa blev først fremsat i "Abakusbogen", skrevet i 1202 af den italienske matematiker Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrige værk, som afspejler indflydelsen fra matematikken, både landene i islam og det antikke Grækenland, er kendetegnet ved både fuldstændighed og klarhed i præsentationen. Forfatteren udviklede selvstændigt nogle nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa, der nærmede sig indførelsen af negative tal. Hans bog bidrog til udbredelsen af algebraisk viden ikke kun i Italien, men også i Tyskland, Frankrig og andre europæiske lande. Mange opgaver fra "Bogen om Abacus" gik over i næsten alle europæiske lærebøger fra det 16. - 17. århundrede. og dels XVIII.

Den generelle regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form:

x 2+ bx = med,

for alle mulige kombinationer af tegn for koefficienterne b , med blev først formuleret i Europa i 1544 af M. Stiefel.

Vieta har en generel afledning af formlen til løsning af en andengradsligning, men Vieta genkendte kun positive rødder. De italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blandt de første i det 16. århundrede. Tag i betragtning, ud over positive og negative rødder. Kun i det XVII århundrede. Takket være arbejdet fra Girard, Descartes, Newton og andre videnskabsmænd får måden at løse andengradsligninger på et moderne udseende.

1.6 Om Vietas sætning

Sætningen, der udtrykker forholdet mellem koefficienterne for en andengradsligning og dens rødder, der bærer navnet Vieta, blev formuleret af ham for første gang i 1591 som følger: "Hvis B + D ganget med EN - EN 2 , lige med BD, derefter EN lige med PÅ og lige D ».

For at forstå Vieta skal man huske det MEN, som enhver vokal, betød for ham det ukendte (vor x), vokalerne PÅ, D- koefficienter for det ukendte. På moderne algebras sprog betyder Vietas formulering ovenfor: hvis

(et + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Ved at udtrykke forholdet mellem ligningernes rødder og koefficienter ved hjælp af generelle formler skrevet ved hjælp af symboler, etablerede Viet ensartethed i metoderne til at løse ligninger. Men symbolikken i Vieta er stadig langt fra sin moderne form. Han genkendte ikke negative tal, og derfor overvejede han, når han løste ligninger, kun tilfælde, hvor alle rødder er positive.

2. Metoder til løsning af andengradsligninger

Kvadratiske ligninger er det grundlag, som algebraens majestætiske bygning hviler på. Kvadratiske ligninger er meget brugt til at løse trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrationelle og transcendentale ligninger og uligheder. Vi ved alle, hvordan man løser andengradsligninger fra skole (8. klasse) til eksamen.

Ministeriet for undervisning og videnskab i Republikken Tatarstan

Kommunal budgetuddannelsesinstitution

"Usad gymnasiet

Vysokogorsky kommunale distrikt i Republikken Tatarstan

Forskning:

"Historie Hændelsefirkant ligninger»

Færdiggjort af: Andreeva Ekaterina,

8B klasse elev

Tilsynsførende:

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

matematiklærer

Introduktion

Hvem ønsker at være begrænset til nuet

uden viden om fortiden,

han vil aldrig forstå.

G.V. Leibniz

Ligninger i skoleforløbet i matematik indtager en førende plads, men ingen af ligningstyperne har fundet så bred anvendelse som andengradsligninger.

Ligningen af anden grad eller andengradsligninger, var folk i stand til at løse selv i det gamle Babylon i det II årtusinde f.Kr. Problemer, der fører til andengradsligninger, diskuteres i mange gamle matematiske manuskripter og afhandlinger. Og i øjeblikket løses mange problemer med algebra, geometri, fysik også ved hjælp af andengradsligninger. Ved at løse dem finder folk svar på forskellige spørgsmål om videnskab og teknologi.

Mål denne undersøgelse - at studere historien om fremkomsten af andengradsligninger.

For at nå dette mål er det nødvendigt at løse følgende opgaver:

Studer den videnskabelige litteratur om emnet.
Spor historien om fremkomsten af andengradsligninger.

Studieobjekt: andengradsligninger.

Undersøgelsens emne: historien om fremkomsten af andengradsligninger.

Emnets relevans :

Folk har løst andengradsligninger siden oldtiden. Jeg ville vide historien om oprindelsen af andengradsligninger.
I skolebøger er der ingen information om historien om fremkomsten af andengradsligninger.

Forskningsmetoder:

Arbejde med pædagogisk og populærvidenskabelig litteratur.
Observation, sammenligning, analyse.

Den videnskabelige værdi af arbejdet ligger efter min mening i, at dette materiale kan være interessant for skolebørn, der er glade for matematik, og lærere i valgfri klasser.

Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon.

I det gamle Babylon var behovet for at løse ligninger ikke kun af første, men også af anden grad forårsaget af behovet for at løse problemer relateret til at finde områder med jord og jordarbejder af militær karakter, såvel som udviklingen af astronomi og matematikken selv.

Ved hjælp af moderne algebraisk notation kan vi sige, at der i deres kileskriftstekster ud over ufuldstændige tekster er sådanne, for eksempel komplette andengradsligninger:

x 2 - x \u003d 14,5

På trods af det høje udviklingsniveau af algebra i Babylon, mangler kileskriftsteksterne konceptet om et negativt tal og generelle metoder til løsning af andengradsligninger.

Et eksempel taget fra en af lertavlerne fra denne periode.

"Arealet af summen af to kvadrater er 1000. Siden af et af kvadraterne er siden af det andet kvadrat minus 10. Hvad er siderne af kvadraterne?"

Dette fører til ligninger, hvis løsning reduceres til at løse en andengradsligning, der har en positiv rod.

Faktisk er løsningen i kileskriftsteksten begrænset, som i alle østlige problemer, til en simpel opregning af trinene i beregningen, der er nødvendige for at løse den kvadratiske ligning:

"Kvadrat 10; dette giver 100; trække 100 fra 1000; det giver 900" etc

Hvordan Diophantus kompilerede og løste andengradsligninger

Diophantus præsenterer en af de sværeste gåder i videnskabens historie. Han var en af de mest originale antikke græske matematikere var Diophantus af Alexandria, hvis værker var af stor betydning for algebra og talteori. Indtil videre er hverken fødselsåret eller dødsdatoen for Diophantus blevet afklaret. Den periode, hvor Diophantus kunne have levet, er et halvt årtusinde! Det menes, at han levede i det 3. århundrede e.Kr. Men Diophantus' bopæl er velkendt - dette er det berømte Alexandria, centrum for videnskabelig tankegang i den hellenistiske verden.

Af Diophantus' værker er det vigtigste Aritmetik, hvoraf 13 bøger kun 6 har overlevet til denne dag.

Når han kompilerer ligninger, vælger Diophantus dygtigt ukendte for at forenkle løsningen.

Her er for eksempel en af hans opgaver.

Opgave: "Find to tal, vel vidende at deres sum er 20 og deres produkt er 96"

Derfor ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Et af de ønskede tal er 12 , Andet 8 . Afgørelse x = -2 thi Diophantus findes ikke, da græsk matematik kun kendte positive tal.

Hvis vi løser dette problem ved at vælge et af de ønskede tal som det ukendte, så kommer vi til løsningen af ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Kvadratiske ligninger fra Diophantus aritmetik:

12x2+x=1
630x2 +73x=6.

Selv i oldtiden var Indien berømt for sin viden inden for astronomi, grammatik og andre videnskaber.

Indiske videnskabsmænd har opnået den største succes inden for matematik. De var grundlæggerne af aritmetik og algebra, i hvis udvikling de gik længere end grækerne.

Problemer for andengradsligninger findes allerede i den astronomiske afhandling "Aryabhattiam", udarbejdet i 499. Indisk matematiker og astronom Aryabhatta. En anden indisk videnskabsmand, Brahmagupta (7. århundrede), skitserede den generelle regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form: ax 2 +bx=c, a>0.

Brahmaguptas styre falder i det væsentlige sammen med vores.
I det gamle Indien var offentlige konkurrencer almindelige
i at løse svære problemer. I en af de gamle indiske bøger siges følgende om sådanne konkurrencer: "Ligesom solen overstråler stjernerne med sin glans, sådan vil en lærd person overstråle en andens herlighed ved offentlige møder, der foreslår og løser algebraiske problemer."

Opgaver var ofte klædt i poetisk form.
Her er et af problemerne med den berømte indiske matematiker fra det XII århundrede. Bhaskara:

« Frisk flok aber,

Spise godt, have det sjovt.

Den ottende del af dem er firkantet,

Hygge på engen.

Og tolv i vinstokke ...

De begyndte at hoppe, hænge ...

Hvor mange aber var der

Siger du mig, i denne flok?

Bhaskaras løsning indikerer, at han var klar over to-værdien af rødderne af andengradsligninger.

Ligningen svarende til problemet

Bhaskara skriver som x 2 - 64x \u003d -768, og for at fuldføre venstre side af denne ligning til en firkant skal du tilføje 32 2 til begge dele og derefter få:

x 2 -64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Kvadratiske ligninger i Kina (1. årtusinde f.Kr.).

De første kinesiske skrevne monumenter, der er kommet ned til os, går tilbage til Shang-æraen (XVIII-XII århundreder f.Kr.). Og allerede på spådommelige knogler fra det XIV århundrede. f.Kr e. fundet i Henan, er notationen af tal bevaret. Men den sande blomstring af videnskab begyndte efter i det XII århundrede. f.Kr e. Kina blev erobret af Zhou-nomaderne. I løbet af disse år opstod kinesisk matematik og astronomi og nåede fantastiske højder. De første nøjagtige kalendere og matematiklærebøger dukkede op. Desværre tillod "udryddelsen af bøger" af kejser Qin Shi Huang (Shi Huangdi) ikke de tidlige bøger at nå os, men de dannede højst sandsynligt grundlaget for efterfølgende værker.

"Matematik i ni bøger" er det første matematiske værk fra en række klassiske værker i det gamle Kina, et bemærkelsesværdigt monument fra det gamle Kina under det tidlige Han-dynasti (206 f.Kr. - 7 e.Kr.). Dette essay indeholder et mangfoldigt og rigt matematisk materiale, herunder andengradsligninger.

Kinesisk opgave: "Der er et reservoir med en side på 10 chi. I midten af den vokser siv, som rager op over vandet i 1 chi. Hvis du trækker sivet til kysten, så rører det bare ved det. Spørgsmålet er: hvad er dybden af vandet, og hvad er længden af sivene?

(x + 1) 2 \u003d x 2 +5 2,

x 2 + 2x + 1 \u003d x 2 +25,

Svar: 12chi; 13 timer.

Al-Khwarizmis kvadratiske ligninger

"Jeg har samlet en kort bog om algebra- og almukabala-regningen, der indeholder enkle og komplekse aritmetiske spørgsmål, for dette er nødvendigt for mennesker." Al-Khwarizmi Muhammad bin Musa.

Al-Khwarizmi (Usbekistan) er bedst kendt for sin "Book of Complementation and Contradiction" ("Al-kitab al mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala"), fra hvis navn ordet "algebra" kommer fra . Denne afhandling er den første bog, der er kommet ned til os, hvor klassificeringen af andengradsligninger systematisk præsenteres og formler for deres løsning er givet.

I den teoretiske del af sin afhandling giver al-Khwarizmi en klassifikation af ligninger af 1. og 2. grad og identificerer seks af deres typer:

1) "Kvadrater er lig med rødder", dvs. akse 2 = bx. (eksempel:)

2) "Kvadrater er lig med et tal", dvs. akse 2 \u003d s. (eksempel:)

3) "Rødderne er lig med antallet", dvs. økse \u003d c. (eksempel:)

4) "Kvadrater og tal er lig med rødder", dvs. ax 2 + c = bx. (eksempel:)

5) "Kvadrater og rødder er lig med tallet", dvs. akse 2 + bx \u003d c.

6) "Rødder og tal er lig med kvadrater", dvs. bx + c == akse 2. (eksempel:)

For al-Khwarizmi, som undgik brugen af negative tal, er vilkårene for hver af disse ligninger addender, ikke subtraktioner. I dette tilfælde tages der naturligvis ikke højde for ligninger, der ikke har positive løsninger. Forfatteren skitserer metoderne til at løse disse ligninger ved at bruge metoderne fra al-jabr og al-muqabala. Hans beslutning er naturligvis ikke helt sammenfaldende med vores. For ikke at nævne det faktum, at det er rent retorisk, skal det for eksempel bemærkes, at når man løser en ufuldstændig andengradsligning af den første type, tager al-Khwarizmi, ligesom alle matematikere før det 17. århundrede, ikke højde for nulpunktet løsning, sandsynligvis fordi det i konkrete praktiske opgaver er ligegyldigt. Når man løser komplette andengradsligninger, opstiller al-Khwarizmi reglerne for at løse dem ved hjælp af særlige numeriske eksempler og derefter deres geometriske beviser.

Lad os tage et eksempel.

"Kvadratet og tallet 21 er lig med 10 rødder. Find roden"(forudsat roden af ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning lyder sådan her: "Del antallet af rødder i to, du får 5, gange 5 med sig selv, træk 21 fra produktet, 4 er tilbage. Tag roden af 4, du får 2. Træk 2 fra 5, du får 3, vil dette være den ønskede rod . Eller tilføj 2 til 5, hvilket vil give 7, dette er også en rod.

Al-Khwarizmis berømte ligning: "En kvadrat og ti rødder er lig med 39." x 2 + 10x= 39 (IX århundrede). I sin afhandling skriver han: ”Reglen er denne: Hvis du fordobler antallet af rødder, får du fem i denne opgave. Føj det til niogtredive, det er fireogtres. Tag en rod fra dette, der bliver otte, og træk halvdelen af antallet af rødder fra dette, dvs. fem, der vil være tre: dette vil være roden af kvadratet, som du ledte efter "

Kvadratiske ligninger i Europa XII-XVII århundreder.

Former til løsning af andengradsligninger på modellen af Al-Khwarizmi i Europa blev først beskrevet i "Abacusbogen", skrevet i 1202. Den italienske matematiker Leonard Fibonacci. Forfatteren udviklede selvstændigt nogle nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa, der nærmede sig indførelsen af negative tal.

Denne bog bidrog til udbredelsen af algebraisk viden ikke kun i Italien, men også i Tyskland, Frankrig og andre europæiske lande. Mange opgaver fra denne bog blev overført til næsten alle europæiske lærebøger i det 14.-17. århundrede. Den generelle regel for løsning af kvadratiske ligninger reduceret til formen x 2 + bx \u003d c med alle mulige kombinationer af tegn og koefficienter b, c blev formuleret i Europa i 1544 af M. Stiefel.

Vieta har en generel afledning af formlen til løsning af en andengradsligning, men Vieta genkendte kun positive rødder. De italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blandt de første i det 16. århundrede. tage højde for, ud over positive og negative rødder. Kun i det XVII århundrede. takket være værker af Girard, Descartes, Newton og andre videnskabsmænd får metoden til løsning af andengradsligninger et moderne udseende.

Konklusion.

Kvadratiske ligninger er det grundlag, som algebraens majestætiske bygning hviler på. Forskellige ligninger, både andengradsligninger og ligninger af højere grader, blev løst af vores fjerne forfædre. Disse ligninger blev løst i de mest forskellige og fjerntliggende lande. Behovet for ligninger var stort. Ligningerne blev brugt i byggeriet, i militære anliggender og i hverdagssituationer.

I dag er evnen til at løse andengradsligninger afgørende for alle. Evnen til hurtigt, rationelt og korrekt at løse andengradsligninger letter passagen af mange emner i matematikkurset. Kvadratiske ligninger løses ikke kun i matematiktimerne, men også i fysik, kemi, datalogitimer. De fleste praktiske problemer i den virkelige verden kommer også ned til at løse andengradsligninger.

Litteratur

Bashmakova I. G. Diophantine og Diophantine Ligninger. Moskva: Nauka, 1972.
Berezkina E.I. Matematik i det gamle Kina - M.: Nauka, 1980
Pichurin L.F. Bag siderne i lærebogen i algebra: Bog. for studerende

7-9 celler. mellemskole - M.: Oplysning, 1990

Glazer G. I. Matematikkens historie i skole VII - VIII klasse. En guide til lærere. - M.: Oplysning, 1982.

Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon Behovet for at løse ligninger ikke kun af første, men også af anden grad selv i oldtiden var forårsaget af behovet for at løse problemer i forbindelse med at finde områder med jord og jordarbejder af militær karakter, samt med selve udviklingen af astronomi og matematik. Babylonierne vidste, hvordan man løser andengradsligninger omkring 2000 år før vores tro. Ved hjælp af moderne algebraisk notation kan vi sige, at der i deres kileskriftstekster ud over ufuldstændige tekster er sådanne f.eks. komplette andengradsligninger: regler. Næsten alle de hidtil fundne kileskriftstekster giver kun problemer med løsninger angivet i form af opskrifter, uden angivelse af, hvordan de er fundet. På trods af det høje udviklingsniveau af algebra i Babylonien er begrebet et negativt tal og generelle metoder til løsning af andengradsligninger fraværende i kileskriftstekster.

Hvordan Diophantus kompilerede og løste andengradsligningerne "Find to tal, vel vidende at deres sum er 20, og produktet er 96" Diophantus argumenterer som følger: Det følger af problemets betingelse, at de ønskede tal ikke er ens, fordi hvis de var lige store, så ville deres produkt ikke være 96, men 100. En af dem vil således være mere end halvdelen af deres sum, dvs. 10+X, den anden er mindre, dvs. 10-X. Forskellen mellem dem er 2X Derfor X=2. Et af de ønskede tal er 12, det andet er 8. Løsningen X = -2 for Diophantus findes ikke, da græsk matematik kun kendte positive tal. LIGNING: eller andet:

Andengradsligninger i Indien Problemer med andengradsligninger findes også i den astronomiske afhandling "Aryabhattam", udarbejdet i 499 af den indiske matematiker og astronom Aryabhatta. En anden indisk videnskabsmand, Brahmagupta, skitserede den generelle regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form: ax ² +bx=c, a>0 Del otte af dem på en firkant havde jeg det sjovt i lysningen. Og tolv langs lianerne ... De begyndte at hoppe hængende ... Hvor mange aber var du fortælle mig, i denne flok ?. Ligningen svarende til problemet: Baskara skriver under dække: Komplementerede venstre side til en firkant, 0 Et af problemerne for den berømte indiske matematiker fra det 12. århundrede Bhaskara En flok sprælske aber Efter at have spist af hjertens lyst havde de det sjovt. Del otte af dem på en firkant havde jeg det sjovt i lysningen. Og tolv langs lianerne ... De begyndte at hoppe hængende ... Hvor mange aber var du fortælle mig, i denne flok ?. Ligningen svarende til problemet: Baskara skriver under dække: Suppleret venstre side til en firkant, ">

Kvadratiske ligninger i det antikke Asien Sådan løste den centralasiatiske videnskabsmand al-Khwarizmi denne ligning: Han skrev: "Reglen er denne: fordoble antallet af rødder, x = 2x 5, få fem i denne opgave, gang 5 med dette lig til det vil det være femogtyve, 5 5=25 læg dette til niogtredive, det bliver fireogtres, 64 tag roden af dette, det bliver otte, 8 og træk halvdelen af antallet af rødder fra dette , dvs. fem, 8-5 forbliver 3, dette vil være roden af det kvadrat, du søgte." Hvad med den anden rod? Den anden rod blev ikke fundet, da negative tal ikke var kendt. x x = 39

Kvadratiske ligninger i Europa XIII-XVII århundreder. Den generelle regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form x2 + in + c = 0 blev først formuleret i Europa af Stiefel i 1544. Formlerne til løsning af andengradsligninger i Europa blev først angivet i 1202 af den italienske matematiker Leonard Fibonacci. Vieta har en generel afledning af formlen til løsning af en andengradsligning, men Vieta genkendte kun positive rødder. Først i det 17. århundrede takket være værker af Descartes, Newton og andre videnskabsmænd antager metoden til løsning af andengradsligninger en moderne form

Om Vietas sætning Sætningen, der udtrykker forholdet mellem koefficienterne for en andengradsligning og dens rødder, som bærer navnet Vieta, blev formuleret af ham for første gang i 1591. Som følger: "Hvis B + D ganget med A-A er lig med til BD, så er A lig med B og lig med D. For at forstå Vieta skal det huskes, at A, ligesom enhver vokal, betød det ukendte (vores x), mens vokalerne B, D er koefficienter for det ukendte. På sproget i moderne algebra betyder ovenstående formulering af Vieta: Hvis den givne andengradsligning x 2 +px + q \u003d 0 har reelle rødder, så er deres sum lig med -p, og produktet er lig med q, at er, x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (summen af rødderne af den givne andengradsligning er lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig til den frie periode).

Faktoriseringsmetoden er at bringe en generel andengradsligning til formen: A(x)·B(x)=0, hvor A(x) og B(x) er polynomier i forhold til x. Formål: At tage den fælles faktor ud af parentes; Brug af forkortede multiplikationsformler; grupperingsmetode. Måder: Eksempel:

Rødderne af andengradsligningen: Hvis D>0, hvis D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="(!LANG: Kvadratrødder: If D>0, If D"> title="Rødderne af andengradsligningen: Hvis D>0, hvis D"> !}

X 1 og x 2 er rødderne af ligningen Løsning af ligninger ved hjælp af Vieta-sætningen X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10, hvilket betyder, at rødderne har forskellige fortegn X 1 + X 2 \u003d - 3, hvilket betyder, at roden er større i absolut værdi - negativ Ved valg finder vi rødderne: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 For eksempel:

0, ifølge sætningen omvendt til Vieta-sætningen, får vi rødderne: 5;6, derefter vender vi tilbage til rødderne af den oprindelige ligning: 2,5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsning af ligningen "title =" (!LANG: Løs ligningen: 2x 2 - 11x +15 = 0. Lad os overføre koefficienten 2 til det frie led y 2 - 11y +30 = 0. D> 0, iflg. til sætningen, det omvendte af Vietas sætning, får vi rødderne: 5;6, så vender vi tilbage til rødderne af den oprindelige ligning: 2.5; 3. Svar: 2.5; 3. Løsning af ligningen" class="link_thumb"> 14 !} Løs ligningen: 2x x +15 \u003d 0. Lad os overføre koefficienten 2 til det frie led y y +30 \u003d 0. D> 0, ifølge sætningen, det inverse af Vieta-sætningen, får vi rødderne: 5 6, så vender vi tilbage til rødderne af den oprindelige ligning: 2, 5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsning af ligninger ved metoden "overførsel" 0, ifølge sætningen omvendt til Vieta-sætningen, får vi rødderne: 5;6, derefter vender vi tilbage til rødderne af den oprindelige ligning: 2,5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsningen af ligningen "\u003e 0, ifølge sætningen, det omvendte af Vietas sætning, får vi rødderne: 5; 6, så vender vi tilbage til rødderne af den oprindelige ligning: 2.5; 3. Svar: 2.5 3. Løsning af ligningerne ved hjælp af "overførselsmetoden" > 0, ifølge sætningen omvendt til Vieta-sætningen, får vi rødderne: 5;6, derefter vender vi tilbage til rødderne af den oprindelige ligning: 2,5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsning af ligningen "title =" (!LANG: Løs ligningen: 2x 2 - 11x +15 = 0. Lad os overføre koefficienten 2 til det frie led y 2 - 11y +30 = 0. D> 0, iflg. til sætningen, det omvendte af Vietas sætning, får vi rødderne: 5;6, så vender vi tilbage til rødderne af den oprindelige ligning: 2.5; 3. Svar: 2.5; 3. Løsning af ligningen"> title="Løs ligningen: 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. Lad os overføre koefficienten 2 til det frie led y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0, ifølge sætningen, det inverse af Vieta-sætningen, vi få rødderne: 5, 6, så vender vi tilbage til rødderne af de oprindelige ligninger: 2,5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsning af ligningen"> !}

Hvis i andengradsligningen a + b + c \u003d 0, så er en af rødderne lig med 1, og den anden ifølge Vieta-sætningen er lig med den anden ifølge Vieta-sætningen er If i andengradsligningen a + c \u003d b, så er en af rødderne lig med (-1), og den anden, ifølge Vietas sætning, er lig med Eksempel: Egenskaber for koefficienterne for andengradsligningen 137x x - 157 = 0. a = 137 , b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, Svar: 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, Svar: 1;

Grafisk måde at løse en andengradsligning på Uden at bruge formler kan en andengradsligning løses grafisk. Lad os løse ligningen For at gøre dette vil vi bygge to grafer: X Y X 01 Y012 Svar: Abscissen af grafernes skæringspunkter og vil være ligningens rødder. Hvis graferne skærer hinanden i to punkter, har ligningen to rødder. Hvis graferne skærer hinanden i et punkt, har ligningen én rod. Hvis graferne ikke skærer hinanden, har ligningen ingen rødder. 1)y=x2 2)y=x+1

Løsning af andengradsligninger ved hjælp af et nomogram Dette er en gammel og ufortjent glemt metode til løsning af andengradsligninger, placeret på s. 83 "Fire-værdi matematiske tabeller" Bradis V.M. Tabel XXII. Nomogram til løsning af ligningen Dette nomogram gør det muligt, uden at løse en andengradsligning, at bestemme ligningens rødder ved dens koefficienter. For ligningen giver nomogrammet rødderne

Geometrisk måde at løse andengradsligninger på I oldtiden, hvor geometri var mere udviklet end algebra, blev andengradsligninger løst ikke algebraisk, men geometrisk. Og her, for eksempel, hvordan de gamle grækere løste ligningen: eller Udtryk og geometrisk giver det samme kvadrat, og den oprindelige ligning er den samme ligning. Hvor får vi hvad, eller

Konklusion Disse beslutningsmetoder fortjener opmærksomhed, da de ikke alle er afspejlet i skolebøger i matematik; at beherske disse teknikker vil hjælpe eleverne med at spare tid og løse ligninger effektivt; behovet for en hurtig løsning skyldes brugen af et testsystem for optagelsesprøver;

INTRODUKTION

Ligninger i algebras skoleforløb indtager en førende plads. Der afsættes mere tid til deres studier end til noget andet emne på skolens matematikkursus. Ligningsteoriens styrke er, at den ikke kun har teoretisk betydning for viden om naturlove, men også tjener specifikke praktiske formål. De fleste problemer om rumlige former og kvantitative relationer i den virkelige verden kommer ned til at løse forskellige typer ligninger. Ved at mestre måderne at løse dem på, finder folk svar på forskellige spørgsmål fra videnskab og teknologi (transport, landbrug, industri, kommunikation osv.). Ligeledes for dannelsen af evnen til at løse ligninger er elevens selvstændige arbejde med at lære at løse ligninger af stor betydning. Når man studerer ethvert emne, kan ligninger bruges som et effektivt middel til at konsolidere, uddybe, gentage og udvide teoretisk viden til udvikling af kreative matematiske aktiviteter hos elever.

I den moderne verden er ligninger meget udbredt i forskellige grene af matematikken til at løse vigtige anvendte problemer. Dette emne er kendetegnet ved en stor præsentationsdybde og rigdommen af de forbindelser, der er etableret med dets hjælp til læring, den logiske gyldighed af præsentationen. Derfor indtager den en enestående position i ligningslinjen. Studerende begynder at studere emnet "Square trinomials" efter at have allerede akkumuleret en vis erfaring, idet de ejer et ret stort lager af algebraiske og generelle matematiske begreber, begreber og færdigheder. I vid udstrækning er det på materialet af dette emne, at det er nødvendigt at syntetisere materialet relateret til ligninger, for at implementere principperne om historicisme og tilgængelighed.

Relevans Emnet er behovet for at implementere historicismens principper og manglen på materiale til implementering heraf om emnet "Løsning af andengradsligninger".

Forskningsproblem: identifikation af historisk materiale til at lære at løse andengradsligninger.

Objektiv: dannelse af ideer om at arbejde med andengradsligninger i matematiktimer, udvælgelse af et sæt lektioner med elementer af historicisme om emnet "Kvadratiske ligninger".

Studieobjekt: løsning af andengradsligninger i 8. klasse ved hjælp af elementer fra historicisme.

Undersøgelsesemne: andengradsligninger og udvikling af lektioner om at lære at løse andengradsligninger ved hjælp af historiske materialer.

Opgaver:

udføre en analyse af videnskabelig og metodisk litteratur om forskningsproblemet;

analysere skolebøger og fremhæve stedet for at lære at løse andengradsligninger i dem;

hente et sæt lektioner om løsning af andengradsligninger ved hjælp af historiske materialer.

Forskningsmetoder:

analyse af litteratur om emnet "Løsning af andengradsligninger";

observation af elever under en lektion om emnet "Løsning af andengradsligninger";

valg af materiale: lektioner om emnet "Løsning af andengradsligninger" vha. historisk reference.

§ 1. Fra andengradsligningers tilblivelseshistorie

Algebra opstod i forbindelse med løsning af forskellige problemer ved hjælp af ligninger. Normalt i problemer er det påkrævet at finde en eller flere ukendte, mens man kender resultaterne af nogle handlinger udført på de ønskede og givne mængder. Sådanne problemer reduceres til at løse en eller et system af flere ligninger, til at finde de ønskede ved hjælp af algebraiske operationer på givne størrelser. Algebra studerer de generelle egenskaber af handlinger på mængder.

Nogle algebraiske teknikker til løsning af lineære og kvadratiske ligninger var kendt så tidligt som for 4000 år siden i det gamle Babylon.

Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for at løse ligninger ikke kun af første, men også af anden grad i oldtiden var forårsaget af behovet for at løse problemer i forbindelse med at finde områder med jord og jordarbejder af militær karakter, såvel som udviklingen af astronomi og matematikken selv. Babylonierne vidste, hvordan man løser andengradsligninger omkring 2000 f.Kr. Ved hjælp af moderne algebraisk notation kan vi sige, at der i deres kileskriftstekster ud over ufuldstændige tekster er sådanne, for eksempel komplette andengradsligninger:

Reglen for løsning af disse ligninger, der er angivet i de babylonske tekster, falder i det væsentlige sammen med den moderne, men det vides ikke, hvordan babylonierne kom til denne regel. Næsten alle de hidtil fundne kileskriftstekster giver kun problemer med løsninger angivet i form af opskrifter, uden angivelse af, hvordan de er fundet. På trods af det høje udviklingsniveau af algebra i Babylon, mangler kileskriftsteksterne konceptet om et negativt tal og generelle metoder til løsning af andengradsligninger.

Når han kompilerer ligninger, vælger Diophantus dygtigt ukendte for at forenkle løsningen.

Her er for eksempel en af hans opgaver.

Opgave 2. "Find to tal, vel vidende at deres sum er 20, og deres produkt er 96."

Diophantus argumenterer som følger: det følger af problemets betingelse, at de ønskede tal ikke er ens, da hvis de var ens, så ville deres produkt ikke være lig med 96, men med 100. Således vil et af dem være mere end halvdelen af deres sum, dvs.
. Den anden er mindre, dvs.
. Forskellen mellem dem
. Derfor ligningen:

Herfra
. Et af de ønskede tal er 12, det andet er 8. Løsning
thi Diophantus findes ikke, da græsk matematik kun kendte positive tal.

Hvis vi løser dette problem ved at vælge et af de ukendte tal som det ukendte, så kan vi komme til løsningen af ligningen:

Kvadratiske ligninger i Indien

Problemer med andengradsligninger findes allerede i den astronomiske afhandling "Aryabhattam", udarbejdet i 499 af den indiske matematiker og astronom Aryabhatta. En anden indisk videnskabsmand, Brahmagupta (7. århundrede), skitserede den generelle regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form:

(1)

I ligning (1) kan koefficienter være negative. Brahmaguptas styre falder i det væsentlige sammen med vores.

I Indien var offentlige konkurrencer om at løse vanskelige problemer almindelige. I en af de gamle indiske bøger siges følgende om sådanne konkurrencer: "Som solen overstråler stjernerne med sin glans, således vil en lærd person overstråle herligheden i offentlige møder, der foreslår og løser algebraiske problemer." Opgaver var ofte klædt i poetisk form.

Her er et af problemerne med den berømte indiske matematiker fra det XII århundrede. Bhaskara.

Bhaskaras løsning indikerer, at forfatteren var klar over to-værdien af rødderne af andengradsligninger.

Ligningen svarende til opgave 3 er:

Bhaskara skriver under dække af:

og for at fuldføre venstre side af denne ligning til kvadratet, tilføjer han 322 til begge sider og får derefter:

Al-Khwarizmis kvadratiske ligninger

Al-Khwarizmis algebraiske afhandling giver en klassificering af lineære og andengradsligninger. Forfatteren lister 6 typer ligninger, der udtrykker dem som følger:

For Al-Khwarizmi, som undgik brugen af negative tal, er vilkårene for hver af disse ligninger addender, ikke subtraktioner. I dette tilfælde tages der naturligvis ikke højde for ligninger, der ikke har positive løsninger. Forfatteren skitserer metoderne til at løse disse ligninger ved at bruge metoderne fra al-jabr og al-muqabala. Hans beslutning er naturligvis ikke helt sammenfaldende med vores. For ikke at nævne det faktum, at det er rent retorisk, skal det for eksempel bemærkes, at når man løser en ufuldstændig andengradsligning af den første type, tager Al-Khwarizmi, ligesom alle matematikere før det 17. århundrede, ikke højde for nulpunktet løsning, sandsynligvis fordi det i konkrete praktiske opgaver er ligegyldigt. Når man løser komplette andengradsligninger, opstiller Al-Khwarizmi reglerne for at løse dem ved hjælp af særlige numeriske eksempler og derefter deres geometriske beviser.

Lad os tage et eksempel.

Opgave 4. “Kvadratet og tallet 21 er lig med 10 rødder. Find roden "(betyder roden af ligningen
).

Løsning: divider antallet af rødder i to, du får 5, gange 5 med sig selv, træk 21 fra produktet, 4 er tilbage. Tag roden af 4, du får 2. Træk 2 fra 5, du får 3, dette bliver den ønskede rod. Eller tilføj 2 til 5, hvilket vil give 7, dette er også en rod.

Al-Khwarizmis afhandling er den første bog, der er kommet ned til os, hvor klassifikationen af andengradsligninger systematisk præsenteres og formler for deres løsning gives.

Kvadratiske ligninger i EuropaXII- XVIIi.

Denne bog bidrog til udbredelsen af algebraisk viden ikke kun i Italien, men også i Tyskland, Frankrig og andre europæiske lande. Mange opgaver fra denne bog blev overført til næsten alle europæiske lærebøger i det 14.-17. århundrede. Generel regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form
med alle mulige kombinationer af tegn og koefficienter b, c, blev formuleret i Europa i 1544 af M. Stiefel.

Vieta har en generel afledning af formlen til løsning af en andengradsligning, men Vieta genkendte kun positive rødder. De italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blandt de første i det 16. århundrede. tage højde for, ud over positive og negative rødder. Kun i det XVII århundrede. takket være værker af Girard, Descartes, Newton og andre videnskabsmænd antager metoden til løsning af andengradsligninger en moderne form.

Oprindelsen af algebraiske metoder til løsning af praktiske problemer er forbundet med videnskaben i den antikke verden. Som det er kendt fra matematikkens historie, havde en væsentlig del af problemerne af matematisk karakter, løst af egyptiske, sumeriske, babylonske skriftlærde-computere (XX-VI århundreder f.Kr.), en beregnet karakter. Men selv dengang, fra tid til anden, opstod der problemer, hvor den ønskede værdi af en mængde blev specificeret af nogle indirekte forhold, der fra vores moderne synspunkt krævede formuleringen af en ligning eller et ligningssystem. Oprindeligt blev aritmetiske metoder brugt til at løse sådanne problemer. Senere begyndte begyndelsen af algebraiske repræsentationer at dannes. For eksempel var babylonske regnemaskiner i stand til at løse problemer, der set fra moderne klassifikationssynspunkt er reduceret til ligninger af anden grad. Der blev skabt en metode til løsning af tekstproblemer, som senere tjente som grundlag for at fremhæve den algebraiske komponent og dens uafhængige undersøgelse.

Denne undersøgelse blev allerede udført i en anden æra, først af arabiske matematikere (VI-X århundreder e.Kr.), som udpegede karakteristiske handlinger, hvorved ligninger blev reduceret til en standardform, reduktion af lignende udtryk, overførsel af termer fra en del af ligning til en anden med et fortegnsskifte. Og så af de europæiske matematikere fra renæssancen, som et resultat af en lang søgning, skabte de sproget i moderne algebra, brugen af bogstaver, indførelse af symboler til aritmetiske operationer, parenteser osv. Ved skiftet til den 16. 17. århundrede. Algebra som en specifik del af matematikken, som har sit eget fag, metode, anvendelsesområder, er allerede blevet dannet. Dens videre udvikling, op til vor tid, bestod i at forbedre metoderne, udvide anvendelsesområdet, afklare begreberne og deres forbindelser med begreberne i andre grene af matematikken.

Så i lyset af vigtigheden og omfanget af det materiale, der er forbundet med begrebet en ligning, er dets undersøgelse i den moderne matematikmetodologi forbundet med tre hovedområder for dets forekomst og funktion.

Fra andengradsligningers historie.

a) Kvadratiske ligninger i oldtidens Babylon

Behovet for at løse ligninger ikke kun af første, men også af anden grad, tilbage i oldtiden, var forårsaget af behovet for at løse problemer i forbindelse med at finde områder med jord og jordarbejder af militær karakter, samt til udviklingen af astronomi og matematik selv. Kvadratiske ligninger var i stand til at løse omkring 2000 f.Kr. babyloniere. Ved at anvende moderne algebraisk notation kan vi sige, at der i deres kileskriftstekster ud over ufuldstændige tekster er sådanne, for eksempel komplette andengradsligninger:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Reglen for løsning af disse ligninger, der er fremsat i de babylonske tekster, falder i det væsentlige sammen med den moderne, men det vides ikke, hvordan babylonierne kom til denne regel. Næsten alle de hidtil fundne kileskriftstekster giver kun problemer med løsninger angivet i form af opskrifter, uden angivelse af, hvordan de er fundet.

På trods af det høje udviklingsniveau af algebra i Babylon, mangler kileskriftsteksterne konceptet om et negativt tal og generelle metoder til løsning af andengradsligninger.

I "Aritmetik" Diophantus er der ingen systematisk præsentation af algebra, men den indeholder en systematiseret række af problemer, ledsaget af forklaringer og løst ved at kompilere ligninger af forskellige grader.

Når han kompilerer ligninger, vælger Diophantus dygtigt ukendte for at forenkle løsningen.

Her er for eksempel en af hans opgaver.

Opgave 2. "Find to tal, vel vidende at deres sum er 20 og deres produkt er 96."

Diophantus argumenterer som følger: det følger af problemets betingelse, at de ønskede tal ikke er ens, da hvis de var ens, så ville deres produkt ikke være 96, men 100. Således vil et af dem være mere end halvdelen af deres sum, dvs. .10 + x. Den anden er mindre, dvs. 10 - x. Forskellen mellem dem er 2x. Derfor ligningen:

(10+x)(10-x)=96,

eller

100 -x 2 = 96.

Derfor er x = 2. Et af de ønskede tal er 12, det andet er 8. Løsningen x = - 2 for Diophantus eksisterer ikke, da græsk matematik kun kendte positive tal.

Hvis vi løser dette problem ved at vælge et af de ukendte tal som et ukendt, så kan vi komme til løsningen af ligningen:

Problemer med andengradsligninger findes allerede i den astronomiske kanal "Aryabhattayam", udarbejdet i 499 af den indiske matematiker og astronom Aryabahatta. En anden indisk videnskabsmand, Brahmagupta (7. århundrede), skitserede den generelle regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form

Åh 2 + bx = c, a > 0

I ligningen er koefficienterne , undtagen -en, kan være negativ. Brahmaguptas styre falder i det væsentlige sammen med vores.

Her er et af problemerne med den berømte indiske matematiker fra det XII århundrede. Bhaskara.

Opgave 3.

Bhaskaras løsning indikerer, at forfatteren var klar over to-værdien af rødderne af andengradsligninger.

Ligningen svarende til opgave 3 er:

Bhaskara skriver under dække af:

x 2 - 64x = - 768

og for at fuldføre venstre side af denne ligning til kvadratet, tilføjer du 32 2 til begge sider og får derefter:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khwarizmis andengradsligninger

Al-Khwarizmis algebraiske afhandling giver en klassificering af lineære og andengradsligninger. Forfatteren lister 6 typer ligninger, der udtrykker dem som følger:

"Kvadraterne er lig med rødderne", dvs. ax 2 = bx.
"Kvadrater er lig med tal", dvs. akse 2 = c.
"Rødderne er lig med tallet", dvs. ax = c.
"Kvadrater og tal er lig med rødder", dvs. ax 2 + c \u003d bx.
"Kvadrater og rødder er lig med tallet", dvs. ax 2 + bx \u003d c.
"Rødder og tal er lig med kvadrater", dvs. bx + c == ax 2.

For Al-Khwarizmi, som undgik brugen af negative tal, er vilkårene for hver af disse ligninger addender, ikke subtraktioner. I dette tilfælde tages der naturligvis ikke højde for ligninger, der ikke har positive løsninger. Forfatteren opstiller metoder til at løse disse ligninger ved at bruge metoderne fra al-jabr og al-muqabala. Hans beslutning er naturligvis ikke helt sammenfaldende med vores. For ikke at nævne det faktum, at det er rent retorisk, skal det for eksempel bemærkes, at når man løser en ufuldstændig andengradsligning af den første type, tager Al-Khwarizmi, ligesom alle matematikere før det 17. århundrede, ikke højde for nulpunktet løsning, sandsynligvis fordi det i konkrete praktiske opgaver er ligegyldigt. Når man løser komplette andengradsligninger, opstiller Al-Khwarizmi reglerne for at løse dem ved hjælp af særlige numeriske eksempler og derefter deres geometriske beviser.

Lad os tage et eksempel.

Opgave 4. “Kvadratet og tallet 21 er lig med 10 rødder. Find roden "(hvilket betyder roden af ligningen x 2 + 21 \u003d 10x).

Al-Khwarizmis afhandling er den første bog, der er kommet ned til os, hvor klassifikationen af andengradsligninger systematisk præsenteres og formler for deres løsning gives.

d) Kvadratiske ligninger i Europa XIII-XVII århundreder.

Formler til løsning af andengradsligninger på modellen af al-Khwarizmi i Europa blev først fremsat i "Abakusbogen", skrevet i 1202 af den italienske matematiker Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrige værk, som afspejler indflydelsen fra matematikken fra både islams lande og det antikke Grækenland, er kendetegnet ved både fuldstændighed og klarhed i præsentationen. Forfatteren udviklede selvstændigt nogle nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa, der nærmede sig indførelsen af negative tal. Hans bog bidrog til udbredelsen af algebraisk viden ikke kun i Italien, men også i Tyskland, Frankrig og andre europæiske lande. Mange opgaver fra Abacusbogen gik over i næsten alle europæiske lærebøger i det 16.-17. århundrede. og dels XVIII.

Generel regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form

x 2 + bx \u003d c,

for alle mulige kombinationer af tegn for koefficienterne b, med blev først formuleret i Europa i 1544 af M. Stiefel.

Vieta har en generel afledning af formlen til løsning af en andengradsligning, dog genkendte Vieta kun positive rødder. De italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blandt de første i det 16. århundrede. Tag i betragtning, ud over positive og negative rødder. Kun i det XVII århundrede. takket være værker af Girard, Descartes, Newton og andre videnskabsmænd får metoden til løsning af andengradsligninger et moderne udseende.

Oprindelsen af algebraiske metoder til løsning af praktiske problemer er forbundet med videnskaben i den antikke verden. Som det er kendt fra matematikkens historie, havde en væsentlig del af problemerne af matematisk karakter, løst af egyptiske, sumeriske, babylonske skriftlærde-computere (XX-VI århundreder f.Kr.), en beregnet karakter. Men selv dengang opstod der fra tid til anden problemer, hvor den ønskede værdi af en størrelse blev fastsat af nogle indirekte betingelser, der fra vores moderne synspunkt krævede formuleringen af en ligning eller et ligningssystem. Oprindeligt blev aritmetiske metoder brugt til at løse sådanne problemer. Senere begyndte begyndelsen af algebraiske repræsentationer at dannes. For eksempel var babylonske regnemaskiner i stand til at løse problemer, der set fra moderne klassifikationssynspunkt er reduceret til ligninger af anden grad. Der blev skabt en metode til løsning af tekstproblemer, som senere tjente som grundlag for at fremhæve den algebraiske komponent og dens uafhængige undersøgelse.

Denne undersøgelse blev allerede udført i en anden æra, først af arabiske matematikere (VI-X århundreder e.Kr.), som udpegede karakteristiske handlinger, hvorved ligninger blev reduceret til en standardform, reduktion af lignende udtryk, overførsel af termer fra en del af ligning til en anden med et fortegnsskifte. Og så af de europæiske matematikere fra renæssancen, som et resultat af en lang søgning, skabte de sproget i moderne algebra, brugen af bogstaver, indførelse af symboler til aritmetiske operationer, parenteser osv. Ved skiftet til den 16. 17. århundrede. algebra som en specifik del af matematikken, der har sit eget fag, metode, anvendelsesområder, er allerede blevet dannet. Dens videre udvikling, op til vor tid, bestod i at forbedre metoderne, udvide anvendelsesområdet, afklare begreberne og deres forbindelser med begreberne i andre grene af matematikken.

Så i lyset af vigtigheden og omfanget af det materiale, der er forbundet med ligningsbegrebet, er dets undersøgelse i den moderne matematikmetodologi forbundet med tre hovedområder for dets forekomst og funktion.