Sammenligning i matematik - hvordan bestemmer man hvilket af tallene der er større eller mindre. Sammenligning af negative tal: regel, eksempler

Matematiktime i 6 I klasseværelset

Emne: "Sammenligning af positive og negative tal"

Lektionstype: lektion sætter et læringsproblem

Arbejdsformer: individuel, frontal, dampbad, gruppe.

Undervisningsmetoder: verbal, visuel, praktisk, problematisk.

Udstyr: computer, multimedieprojektor.

Lektionens mål:

Kognitiv: formuler en regel for sammenligning af tal med forskellige tegn, lær hvordan du omsætter den i praksis.

Meta-emner, herunder:

Regulatorisk: at sætte en læringsopgave baseret på sammenhængen mellem, hvad der allerede er kendt og lært af eleverne, og hvad der stadig er ukendt; bestemme rækkefølgen af ​​handlinger for at løse problemet; rette resultatet under hensyntagen til vurderingen fra eleven, læreren, kammeraterne; forstå kvaliteten og niveauet af assimilering af materialet.

Kommunikativ: at lære proaktivt samarbejde i søgen efter en løsning på problemet; lære at udtrykke deres tanker med tilstrækkelig fuldstændighed og nøjagtighed i overensstemmelse med kommunikationens opgaver og betingelser.

Under timerne

Motivering.

Vi arbejder videre med positive og negative tal. Vi har kendt positive tal i lang tid, først lærte vi at sammenligne dem og derefter udføre forskellige handlinger: addition, subtraktion, multiplikation og division. Tror du, det er muligt at udføre de samme operationer med negative tal som med positive? (svar). Hvad vil du gerne lære i klassen i dag?

Målopnåelse: Udled en regel til at sammenligne tal med forskellige fortegn, og lær hvordan du anvender den.

Opdatering af grundlæggende viden.

Opgaver til mundtlig arbejde:

Definer et modul.

Hvad er tegnet for tallene placeret på koordinatlinjen til højre for nul? Til venstre for nul?

Find modulet for tallet 6,8; -3,5; 18.11; 0,03; -12.3

Redegørelse for uddannelsesopgaven.

Sammenlign moduler af tal

1. Hvordan sammenligner man tal ved hjælp af en koordinatlinje?

   Punkt A på koordinatlinjen er placeret til venstre for punkt B. Hvilket punkts koordinat er størst?

   Hvilket punkt på koordinatlinjen er placeret til venstre?

   1. A(0,6) eller B(3,11)

Løsning.

For at fuldføre den næste opgave vil vi dele op i 5 grupper á 6 personer. Hver gruppe skal sammenligne tallene og besvare spørgsmålene.

1. 2. 2 og -11

   3. -15 og 16

Primær fastgørelse.

Nævn fem forskellige tal

stor 0;

mindre 0;

mindre -5;

stor -3;

stor -11, men mindre -3

Mellem hvilke tilstødende heltal er tallet 3,8; nummer -8,9

Skriv ned alle de heltal, der er placeret på koordinatlinjen mellem tallene -2,5 og 6; mellem tallene -17,3 og -8,1

Skriv tallene i rækkefølge aftagende -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Opsætning af lektier. punkt 29, lær reglen for sammenligning af positive og negative tal, udfyld nr. 995, 996, 997, 999, 1000

Refleksion af læringsaktiviteter i klasseværelset.

1. Hvilke mål satte vi ved lektionen i dag, besvarede vi alle de stillede spørgsmål?

   Hvordan sammenligner du positive og negative tal?

   Hvordan sammenligner man to negative tal?

   Udfyld venligst vurderingskortene til dagens lektion.

Sammenlign tal ved hjælp af en koordinatlinje:

2. 2 og -11

3. -15 og 16

Giv svar på følgende spørgsmål:

Sammenlign to positive tal

Sammenlign positivt tal med nul

Sammenlign negativt tal med nul

Sammenlign positive og negative tal

Sammenlign to negative tal

Negative tal er tal med et minustegn (-), for eksempel -1, -2, -3. Læser som: minus en, minus to, minus tre.

Eksempel på applikation negative tal er et termometer, der viser temperaturen på kroppen, luften, jorden eller vand. Om vinteren, når det er meget koldt udenfor, er temperaturen negativ (eller, som folk siger, "minus").

For eksempel -10 grader koldt:

De sædvanlige tal, som vi overvejede tidligere, såsom 1, 2, 3, kaldes positive. Positive tal er tal med et plustegn (+).

Når man skriver positive tal, skrives + tegnet ikke ned, hvorfor vi ser tallene 1, 2, 3, som vi kender til. Men man skal huske på, at disse positive tal ser sådan ud: +1, + 2, +3.

Dette er en lige linje, hvorpå alle tal er placeret: både negative og positive. Som følger:

Her er vist tal fra -5 til 5. Faktisk er koordinatlinjen uendelig. Figuren viser kun et lille fragment af det.

Tallene på koordinatlinjen er markeret som prikker. På figuren er den fede sorte prik udgangspunktet. Nedtællingen starter fra nul. Til venstre for referencepunktet er negative tal markeret, og til højre positive tal.

Koordinatlinjen fortsætter i det uendelige på begge sider. Uendelighed i matematik er angivet med symbolet ∞. Den negative retning vil blive angivet med symbolet −∞, og den positive med symbolet +∞. Så kan vi sige, at alle tal fra minus uendelig til plus uendelig er placeret på koordinatlinjen:

Hvert punkt på koordinatlinjen har sit eget navn og koordinat. Navn er et hvilket som helst latinsk bogstav. Koordinere er et tal, der angiver positionen af ​​et punkt på denne linje. Kort sagt er koordinaten det samme tal, som vi ønsker at markere på koordinatlinjen.

For eksempel lyder punkt A(2) som "punkt A med koordinat 2" og vil blive angivet på koordinatlinjen som følger:

Her EN er punktets navn, 2 er punktets koordinat EN.

Eksempel 2 Punkt B(4) lyder som "punkt B ved koordinat 4"

Her B er punktets navn, 4 er punktets koordinat b.

Eksempel 3 Punktet M(−3) læses som "punkt M med koordinat minus tre" og vil blive angivet på koordinatlinjen som følger:

Her M er navnet på punktet, −3 er koordinaten til punktet M .

Point kan angives med alle bogstaver. Men det er generelt accepteret at betegne dem med store latinske bogstaver. Desuden begyndelsen af ​​rapporten, som ellers hedder oprindelse normalt angivet med stort O

Det er let at se, at negative tal ligger til venstre for oprindelsen, og positive tal til højre.

Der er sætninger som "jo mere til venstre, jo mindre" og "jo mere til højre, jo mere". Du har sikkert allerede gættet, hvad vi taler om. For hvert skridt til venstre vil tallet falde nedad. Og for hvert trin til højre vil antallet stige. Pilen, der peger til højre, angiver den positive retning for optællingen.

Sammenligning af negative og positive tal

Regel 1 Ethvert negativt tal er mindre end ethvert positivt tal.

Lad os f.eks. sammenligne to tal: −5 og 3. Minus fem mindre end tre, på trods af at de fem fanger opmærksomheden i første omgang, som et tal større end tre.

Dette skyldes, at −5 er negativ og 3 er positiv. På koordinatlinjen kan du se, hvor tallene −5 og 3 er placeret

Det kan ses, at −5 ligger til venstre og 3 til højre. Og det sagde vi "jo mere til venstre, jo mindre" . Og reglen siger, at ethvert negativt tal er mindre end ethvert positivt tal. Derfor følger det

−5 < 3

"Minus fem er mindre end tre"

Regel 2 Af de to negative tal er det mindste det, der er placeret til venstre på koordinatlinjen.

Lad os for eksempel sammenligne tallene -4 og -1. minus fire mindre end minus en.

Dette skyldes igen, at −4 på koordinatlinjen er placeret mere til venstre end −1

Det kan ses, at -4 ligger til venstre og -1 til højre. Og det sagde vi "jo mere til venstre, jo mindre" . Og reglen siger, at af to negative tal er det, der er placeret til venstre på koordinatlinjen, mindre. Derfor følger det

Minus fire er mindre end minus en

Regel 3 Nul er større end ethvert negativt tal.

Lad os f.eks. sammenligne 0 og −3. Nul mere end minus tre. Dette skyldes, at på koordinatlinjen er 0 placeret til højre end −3

Det kan ses, at 0 ligger til højre og −3 til venstre. Og det sagde vi "jo mere til højre, jo mere" . Og reglen siger, at nul er større end ethvert negativt tal. Derfor følger det

Nul er større end minus tre

Regel 4 Nul er mindre end ethvert positivt tal.

Sammenlign f.eks. 0 og 4. Nul mindre end 4. I princippet er dette klart og sandt. Men vi vil prøve at se det med vores egne øjne, igen på koordinatlinjen:

Det kan ses, at på koordinatlinjen er 0 placeret til venstre og 4 til højre. Og det sagde vi "jo mere til venstre, jo mindre" . Og reglen siger, at nul er mindre end ethvert positivt tal. Derfor følger det

Nul er mindre end fire

Kunne du lide lektionen?
Tilmeld dig vores nye Vkontakte-gruppe og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner

§ 1 Sammenligning af positive tal

I denne lektion vil vi huske, hvordan man sammenligner positive tal og ser på at sammenligne negative tal.

Lad os starte med opgaven. Om dagen var lufttemperaturen +7 grader, om aftenen faldt den til +2 grader, om natten blev den -2 grader, og om morgenen faldt den til -7 grader. Hvordan ændrede lufttemperaturen sig?

Problemet handler om at sænke, dvs. om faldet i temperaturen. Det betyder, at den endelige temperaturværdi i hvert tilfælde er mindre end den oprindelige, og derfor 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Lad os betegne tallene 7, 2, -2, -7 på koordinatlinjen. Husk på, at på koordinatlinjen er et større positivt tal placeret til højre.

Lad os se på negative tal, tallet -2 er til højre end -7, dvs. for negative tal på koordinatlinjen bevares den samme rækkefølge: når punktet flyttes til højre, øges dets koordinat, og når punktet flyttes til venstre, falder dets koordinat.

Vi kan konkludere: Ethvert positivt tal er større end nul og større end ethvert negativt tal. 1 > 0; 12 > -2,5. Ethvert negativt tal er mindre end nul og mindre end ethvert positivt tal. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Det er praktisk at sammenligne rationelle tal (det vil sige alle heltal og brøktal) ved hjælp af modulet.

Positive tal er placeret på koordinatlinjen i stigende rækkefølge fra origo, hvilket betyder, at jo længere tallet er fra origo, jo større er længden af ​​segmentet fra nul til tallet, dvs. sit modul. Derfor, af to positive tal, er den, hvis modul er større, større.

§ 2 Sammenligning af negative tal

Når man sammenligner to negative tal, vil det største være placeret til højre, det vil sige tættere på oprindelsen. Det betyder, at dens modul (længden af ​​segmentet fra nul til et tal) vil være mindre. Af to negative tal er det ene med det mindste modul større.

For eksempel. Lad os sammenligne tallene -1 og -5. Punktet svarende til tallet -1 er placeret tættere på origo end punktet svarende til tallet -5. Så længden af ​​segmentet fra 0 til -1 eller modulet af tallet -1 er mindre end længden af ​​segmentet fra 0 til -5 eller modulet af tallet -5, hvilket betyder, at tallet -1 er større end tallet -5.

Vi drager konklusioner:

Når du sammenligner rationelle tal, skal du være opmærksom på:

Tegn: Et negativt tal er altid mindre end et positivt tal og nul;

På placeringen på koordinatlinjen: jo mere til højre, jo mere;

På moduler: for positive tal er modulet større, og tallet er større, for negative tal er modulet større, og tallet er mindre.

Liste over brugt litteratur:

1. Matematik.6. klasse: lektionsplaner til lærebogen af ​​I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // forfatter-kompilator L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matematik. 6. klasse: en lærebog for studerende på uddannelsesinstitutioner. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matematik. 6. klasse: en lærebog for studerende på uddannelsesinstitutioner. /N.Ja. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Matematikhåndbog - http://lyudmilanik.com.ua
5. Håndbog for elever i gymnasiet http://shkolo.ru

Første niveau

Sammenligning af tal. Omfattende vejledning (2019)

Ved løsning af ligninger og uligheder, samt problemer med moduler, er det nødvendigt at lokalisere de fundne rødder på den reelle linje. Som du ved, kan de fundne rødder være forskellige. De kan være sådan:, eller de kan være sådan:,.

Derfor, hvis tallene ikke er rationelle, men irrationelle (hvis du har glemt, hvad det er, se i emnet), eller er komplekse matematiske udtryk, så er det meget problematisk at placere dem på tallinjen. Desuden kan lommeregnere ikke bruges til eksamen, og en omtrentlig udregning giver ikke 100% garanti for, at et tal er mindre end et andet (hvad nu hvis der er forskel på de sammenlignede tal?).

Selvfølgelig ved du, at positive tal altid er større end negative, og at hvis vi repræsenterer en talakse, så vil de største tal være til højre end de mindste, når de sammenlignes: ; ; etc.

Men er det altid så nemt? Hvor på tallinjen markerer vi .

Hvordan sammenligner man dem for eksempel med et tal? Det er der, gnisten er...)

Til at begynde med, lad os tale i generelle vendinger om hvordan og hvad man skal sammenligne.

Vigtigt: det er ønskeligt at lave transformationer på en sådan måde, at ulighedstegnet ikke ændres! Det vil sige, i løbet af transformationer er det uønsket at gange med et negativt tal, og det er forbudt kvadrat, hvis en af ​​delene er negativ.

Brøksammenligning

Så vi skal sammenligne to brøker: og.

Der er flere muligheder for, hvordan du gør dette.

Mulighed 1. Bring brøker til en fællesnævner.

Lad os skrive det som en almindelig brøk:

- (som du kan se, reducerede jeg også med tæller og nævner).

Nu skal vi sammenligne brøker:

Nu kan vi fortsætte med at sammenligne også på to måder. Vi kan:

1. bare reducere alt til en fællesnævner, og præsentere begge brøker som uægte (tælleren er større end nævneren):

   Hvilket tal er størst? Det er rigtigt, den, hvis tæller er større, altså den første.

2. "kasser" (antag, at vi har trukket en fra hver brøk, og forholdet mellem brøker og hinanden har ikke ændret sig), og vi vil sammenligne brøkerne:

   Vi bringer dem også til en fællesnævner:

   Vi fik nøjagtig det samme resultat som i det foregående tilfælde - det første tal er større end det andet:

   Lad os også tjekke, om vi har trukket en korrekt fra? Lad os beregne forskellen i tælleren i den første beregning og den anden:
   1)
   2)

Så vi så på, hvordan man sammenligner brøker, og bringer dem til en fællesnævner. Lad os gå videre til en anden metode - at sammenligne brøker ved at bringe dem til en fælles ... tæller.

Mulighed 2. Sammenligning af brøker ved at reducere til en fælles tæller.

Ja Ja. Dette er ikke en tastefejl. I skolen læres denne metode sjældent til nogen, men meget ofte er den meget praktisk. For at du hurtigt forstår dens essens, vil jeg kun stille dig ét spørgsmål - "i hvilke tilfælde er værdien af ​​fraktionen den største?" Selvfølgelig vil du sige "når tælleren er så stor som muligt, og nævneren er så lille som muligt."

For eksempel vil du helt sikkert sige, at Sandt? Og hvis vi skal sammenligne sådanne brøker: Jeg tror også, at du straks vil sætte tegnet korrekt, fordi de i det første tilfælde er opdelt i dele, og i det andet i hele, hvilket betyder, at i det andet tilfælde er stykkerne meget små, og derfor:. Som du kan se, er nævnerne forskellige her, men tællerne er de samme. Men for at sammenligne disse to brøker behøver du ikke finde en fællesnævner. Selvom ... find det og se, om sammenligningstegnet stadig er forkert?

Men tegnet er det samme.

Lad os vende tilbage til vores oprindelige opgave - at sammenligne og. Vi vil sammenligne og Vi bringer disse brøker ikke til en fællesnævner, men til en fælles tæller. Til dette er det enkelt tæller og nævner gange den første brøk med. Vi får:

og. Hvilken fraktion er størst? Det er rigtigt, den første.

Mulighed 3. Sammenligning af brøker ved hjælp af subtraktion.

Hvordan sammenligner man brøker ved hjælp af subtraktion? Ja, meget simpelt. Vi trækker en anden fra en brøkdel. Hvis resultatet er positivt, så er den første fraktion (reduceret) større end den anden (fratrukket), og hvis negativ, så omvendt.

I vores tilfælde, lad os prøve at trække den første brøk fra den anden: .

Som du allerede har forstået, oversætter vi også til en almindelig brøk og får det samme resultat -. Vores udtryk bliver:

Yderligere er vi stadig nødt til at ty til reduktion til en fællesnævner. Spørgsmålet er hvordan: på den første måde konvertere brøker til ukorrekte, eller på den anden måde, som om du "fjerner" enheden? Denne handling har i øvrigt en fuldstændig matematisk begrundelse. Se:

Jeg kan bedre lide den anden mulighed, da det bliver mange gange nemmere at gange i tælleren, når man reducerer til en fællesnævner.

Vi bringer til en fællesnævner:

Det vigtigste her er ikke at blive forvirret over hvilket tal og hvor vi trækker fra. Se omhyggeligt på forløbet af løsningen og forveksle ikke skiltene ved et uheld. Vi trak det første fra det andet tal og fik et negativt svar, så? .. Det er rigtigt, det første tal er større end det andet.

Forstået? Prøv at sammenligne brøker:

Stop, stop. Skynd dig ikke at bringe til en fællesnævner eller trække fra. Se: det kan nemt konverteres til en decimalbrøk. Hvor meget bliver det? Korrekt. Hvad ender med at blive mere?

Dette er en anden mulighed - at sammenligne brøker ved at reducere til en decimal.

Mulighed 4. Sammenligning af brøker ved hjælp af division.

Ja Ja. Og så er det også muligt. Logikken er enkel: Når vi dividerer et større tal med et mindre, får vi et tal større end et i svaret, og hvis vi dividerer et mindre tal med et større, så falder svaret på intervallet fra til.

For at huske denne regel skal du sammenligne to primtal, for eksempel og. Ved du hvad mere er? Lad os nu dividere med. Vores svar er. Derfor er teorien korrekt. Hvis vi dividerer med, er det, vi får, mindre end én, hvilket igen bekræfter, hvad der faktisk er mindre.

Lad os prøve at anvende denne regel på almindelige brøker. Sammenligne:

Divider den første brøk med den anden:

Lad os forkorte efterhånden.

Resultatet er mindre, så udbyttet er mindre end divisor, det vil sige:

Vi har analyseret alle mulige muligheder for at sammenligne brøker. Som du kan se er der 5 af dem:

• reduktion til en fællesnævner;
• reduktion til en fælles tæller;
• reduktion til form af en decimalbrøk;
• subtraktion;
• division.

Klar til at træne? Sammenlign brøker på den bedste måde:

Lad os sammenligne svarene:

1. (- konverter til decimal)
2. (divider en brøkdel med en anden og reducer med tæller og nævner)
3. (vælg hele delen og sammenlign brøker efter princippet om samme tæller)
4. (divider en brøkdel med en anden og reducer med tæller og nævner).

2. Sammenligning af grader

Forestil dig nu, at vi ikke kun skal sammenligne tal, men udtryk, hvor der er en grad ().

Du kan selvfølgelig sagtens sætte et skilt:

Når alt kommer til alt, hvis vi erstatter graden med multiplikation, får vi:

Fra dette lille og primitive eksempel følger reglen:

Prøv nu at sammenligne følgende: . Du kan også nemt sætte et skilt:

For hvis vi erstatter eksponentiering med multiplikation...

Generelt forstår man alt, og det er slet ikke svært.

Vanskeligheder opstår kun, når graderne sammenlignes med forskellige baser og indikatorer. I dette tilfælde er det nødvendigt at forsøge at bringe til et fælles grundlag. For eksempel:

Selvfølgelig ved du, at dette derfor udtrykket har formen:

Lad os åbne parenteserne og sammenligne, hvad der sker:

Et noget særligt tilfælde er, når bunden af ​​graden () er mindre end én.

Hvis, så af to grader eller mere, den, hvis indikator er mindre.

Lad os prøve at bevise denne regel. Lade.

Vi introducerer et naturligt tal som forskellen mellem og.

Logisk, ikke?

Lad os nu være opmærksomme på tilstanden - .

Henholdsvis: . Følgelig, .

For eksempel:

Som du forstår, overvejede vi tilfældet, når magtgrundlaget er ens. Lad os nu se, hvornår basen er i området fra til, men eksponenterne er ens. Alt er meget enkelt her.

Lad os huske, hvordan man sammenligner dette med et eksempel:

Selvfølgelig regnede du hurtigt ud:

Derfor, når du støder på lignende problemer til sammenligning, skal du huske på et simpelt lignende eksempel, som du hurtigt kan beregne, og ud fra dette eksempel, sæt tegn ned i et mere komplekst.

Når du udfører transformationer, skal du huske, at hvis du multiplicerer, adderer, subtraherer eller dividerer, så skal alle handlinger udføres på både venstre og højre side (hvis du gange med, så skal du gange begge).

Derudover er der tidspunkter, hvor det simpelthen er urentabelt at udføre manipulationer. For eksempel skal du sammenligne. I dette tilfælde er det ikke så svært at hæve til en magt og arrangere tegnet baseret på dette:

Lad os øve. Sammenlign grader:

Klar til at sammenligne svar? Det er hvad jeg gjorde:

1. - det samme som
2. - det samme som
3. - det samme som
4. - det samme som

3. Sammenligning af tal med en rod

Lad os starte med hvad er rødder? Kan du huske denne post?

Roden af ​​et reelt tal er et tal, som lighed gælder for.

Rødder ulige grader findes for negative og positive tal, og selv rødder- Kun for positivt.

Værdien af ​​roden er ofte en uendelig decimal, hvilket gør det svært at beregne den nøjagtigt, så det er vigtigt at kunne sammenligne rødder.

Hvis du har glemt, hvad det er, og hvad det spises med -. Hvis du husker alt, så lad os lære at sammenligne rødderne trin for trin.

Lad os sige, at vi skal sammenligne:

For at sammenligne disse to rødder behøver du ikke lave nogen beregninger, bare analysere selve begrebet "rod". Har du hvad jeg taler om? Ja, om dette: ellers kan det skrives som tredje potens af et tal, lig med rodudtrykket.

Hvad mere? eller? Dette kan du selvfølgelig sammenligne uden besvær. Jo større tal vi hæver til en potens, jo større vil værdien være.

Så. Lad os få reglen.

Hvis røddernes eksponenter er de samme (i vores tilfælde er det det), så er det nødvendigt at sammenligne rodudtrykkene (og) - jo større rodnummer, jo større værdi af roden med lige store indikatorer.

Svært at huske? Så husk bare et eksempel og. Det mere?

Eksponenterne for rødderne er de samme, da roden er kvadratisk. Grundudtrykket for et tal () er større end et andet (), hvilket betyder, at reglen virkelig er sand.

Men hvad nu hvis de radikale udtryk er de samme, men graderne af rødderne er forskellige? For eksempel: .

Det er også helt klart, at når man udtrækker en rod af større grad, vil man få et mindre antal. Lad os tage for eksempel:

Angiv værdien af ​​den første rod som, og den anden - som, derefter:

Du kan nemt se, at der burde være mere i disse ligninger, derfor:

Hvis rodudtrykkene er de samme(i vores tilfælde), og røddernes eksponenter er forskellige(i vores tilfælde er dette og), så er det nødvendigt at sammenligne eksponenterne(og) - jo større eksponent, jo mindre er det givne udtryk.

Prøv at sammenligne følgende rødder:

Lad os sammenligne resultaterne?

Vi har med succes håndteret dette :). Et andet spørgsmål opstår: hvad nu hvis vi alle er forskellige? Og graden, og det radikale udtryk? Ikke alt er så svært, vi skal bare ... "slippe" af med roden. Ja Ja. Slip af med det.)

Hvis vi har forskellige grader og radikale udtryk, er det nødvendigt at finde det mindste fælles multiplum (læs afsnittet om) for grundeksponenterne og hæve begge udtryk til en potens lig med det mindste fælles multiplum.

At vi alle er i ord og i ord. Her er et eksempel:

1. Vi ser på indikatorerne for rødderne - og. Deres mindste fælles multiplum er .
2. Lad os hæve begge udtryk til en magt:
3. Lad os transformere udtrykket og udvide parenteserne (flere detaljer i kapitlet):
4. Lad os overveje, hvad vi har gjort, og sætte et tegn:

4. Sammenligning af logaritmer

Så langsomt men sikkert nærmede vi os spørgsmålet om, hvordan man sammenligner logaritmer. Hvis du ikke kan huske, hvilken slags dyr dette er, råder jeg dig til først at læse teorien fra afsnittet. Læs? Så svar på nogle vigtige spørgsmål:

1. Hvad er argumentet for logaritmen, og hvad er dens base?
2. Hvad bestemmer om en funktion er stigende eller faldende?

Hvis du husker alt og lærte det godt - lad os komme i gang!

For at sammenligne logaritmer med hinanden skal du kun kende 3 tricks:

• reduktion til samme base;
• støbning til det samme argument;
• sammenligning med det tredje tal.

Først skal du være opmærksom på basen af ​​logaritmen. Du husker, at hvis den er mindre, så falder funktionen, og hvis den er større, så øges den. Det er det, vores domme vil blive baseret på.

Overvej at sammenligne logaritmer, der allerede er blevet reduceret til samme base eller argument.

Til at begynde med, lad os forenkle problemet: lad de sammenlignede logaritmer ind lige grunde. Derefter:

1. Funktionen, når den øges i intervallet fra, betyder per definition derefter ("direkte sammenligning").
2. Eksempel:- grundene er de samme, henholdsvis vi sammenligner argumenterne: , derfor:
3. Funktionen, at, falder på intervallet fra, hvilket betyder per definition derefter ("omvendt sammenligning"). - grundlerne er henholdsvis ens, vi sammenligner argumenterne: dog vil fortegnet for logaritmerne være “omvendt”, da funktionen falder: .

Overvej nu de tilfælde, hvor grundlagene er forskellige, men argumenterne er de samme.

1. Basen er større.
   • . I dette tilfælde bruger vi "omvendt sammenligning". For eksempel: - argumenterne er de samme, og. Vi sammenligner baserne: dog vil tegnet for logaritmerne være "omvendt":
2. Base a er midt imellem.
   • . I dette tilfælde bruger vi "direkte sammenligning". For eksempel:
   • . I dette tilfælde bruger vi "omvendt sammenligning". For eksempel:

Lad os skrive alt i en generel tabelform:

Derfor, som du allerede har forstået, når vi sammenligner logaritmer, skal vi bringe til den samme base eller argument. Vi kommer til den samme base ved at bruge formlen til at flytte fra en base til en anden.

Du kan også sammenligne logaritmer med et tredje tal og ud fra dette udlede, hvad der er mindre og hvad der er mere. Tænk for eksempel på, hvordan man sammenligner disse to logaritmer?

Et lille tip - til sammenligning vil logaritmen hjælpe dig meget, hvis argument vil være ens.

Tanke? Lad os beslutte sammen.

Vi kan nemt sammenligne disse to logaritmer med dig:

Ved du ikke hvordan? Se ovenfor. Vi har lige skiltet det ad. Hvilket skilt vil være der? Korrekt:

Jeg er enig?

Lad os sammenligne med hinanden:

Du bør få følgende:

Kombiner nu alle vores konklusioner til én. sket?

5. Sammenligning af trigonometriske udtryk.

Hvad er sinus, cosinus, tangens, cotangens? Hvad er enhedscirklen til, og hvordan finder man værdien af ​​trigonometriske funktioner på den? Hvis du ikke kender svarene på disse spørgsmål, anbefaler jeg stærkt, at du læser teorien om dette emne. Og hvis du ved det, så er det ikke svært for dig at sammenligne trigonometriske udtryk med hinanden!

Lad os genopfriske vores hukommelse lidt. Lad os tegne en trigonometrisk enhedscirkel og en trekant indskrevet i den. Klarede du dig? Marker nu på hvilken side vi har cosinus, og på hvilken sinus, ved hjælp af trekantens sider. (Selvfølgelig husker du, at sinus er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen, og cosinus for den tilstødende?). Tegnede du? Fremragende! Den sidste hånd - læg hvor vi skal have den, hvor og så videre. lægge ned? Pyha) Sammenlign hvad der skete med mig og dig.

Pyha! Lad os nu begynde sammenligningen!

Antag, at vi skal sammenligne og . Tegn disse vinkler ved hjælp af hints i boksene (hvor vi har markeret hvor), og læg punkterne ud på enhedscirklen. Klarede du dig? Det var det, jeg gjorde.

Lad os nu sænke vinkelret fra de punkter, vi markerede på cirklen til aksen ... Hvilken? Hvilken akse viser værdien af ​​sinus? Korrekt,. Her er hvad du skal få:

Ser man på denne figur, som er større: eller? Selvfølgelig, fordi pointen er over pointen.

På samme måde sammenligner vi værdien af ​​cosinus. Vi sænker kun vinkelret ned på aksen ... Højre, . Følgelig ser vi på hvilket punkt der er til højre (nå, eller højere, som i tilfældet med sines), så er værdien større.

Du ved sikkert allerede, hvordan man sammenligner tangenter, ikke? Alt du behøver at vide er, hvad der er tangent. Så hvad er tangent?) Det er rigtigt, forholdet mellem sinus og cosinus.

For at sammenligne tangenterne tegner vi også en vinkel, som i det foregående tilfælde. Lad os sige, at vi skal sammenligne:

Tegnede du? Nu markerer vi også værdierne af sinus på koordinataksen. Noteret? Og angiv nu værdierne af cosinus på koordinatlinjen. sket? Lad os sammenligne:

Analyser nu, hvad du har skrevet. - vi deler et stort segment op i et lille. Svaret vil være en værdi, der er nøjagtig større end én. Ret?

Og når vi deler den lille med den store. Svaret vil være et tal, der er præcis mindre end et.

Så værdien af ​​hvilket trigonometrisk udtryk er størst?

Korrekt:

Som du nu forstår, er sammenligningen af ​​cotangenter den samme, kun omvendt: vi ser på, hvordan de segmenter, der definerer cosinus og sinus, forholder sig til hinanden.

Prøv selv at sammenligne følgende trigonometriske udtryk:

Eksempler.

Svar.

SAMMENLIGNING AF TAL. GENNEMSNIVEAU.

Hvilket af tallene er størst: eller? Svaret er indlysende. Og nu: eller? Ikke så indlysende længere, vel? Og så: eller?

Ofte skal du vide, hvilket af de numeriske udtryk der er størst. For eksempel, når du løser en ulighed, skal du sætte punkter på aksen i den rigtige rækkefølge.

Nu vil jeg lære dig at sammenligne sådanne tal.

Hvis du har brug for at sammenligne tal og sæt et tegn imellem dem (afledt af det latinske ord Versus eller forkortet vs. - imod):. Dette tegn erstatter det ukendte ulighedstegn (). Yderligere vil vi udføre identiske transformationer, indtil det bliver klart, hvilket tegn der skal sættes mellem tallene.

Essensen af ​​at sammenligne tal er som følger: vi behandler tegnet, som om det var en form for ulighedstegn. Og med udtrykket kan vi gøre alt, hvad vi normalt gør med uligheder:

• tilføje et hvilket som helst tal til begge dele (og subtrahere, selvfølgelig kan vi også)
• "flyt alt i én retning", dvs. træk et af de sammenlignede udtryk fra begge dele. I stedet for det subtraherede udtryk forbliver: .
• gange eller dividere med det samme tal. Hvis dette tal er negativt, vendes ulighedstegnet: .
• Hæv begge sider til samme kraft. Hvis denne magt er lige, skal du sørge for, at begge dele har samme fortegn; hvis begge dele er positive, ændres tegnet ikke, når det hæves til en potens, og hvis de er negative, så ændres det til det modsatte.
• tage roden af ​​samme grad fra begge dele. Hvis vi udtrækker roden af ​​en lige grad, skal du først sikre dig, at begge udtryk er ikke-negative.
• andre tilsvarende transformationer.

Vigtigt: det er ønskeligt at lave transformationer på en sådan måde, at ulighedstegnet ikke ændres! Det vil sige, at det i løbet af transformationer er uønsket at gange med et negativt tal, og det er umuligt at kvadrere, hvis en af ​​delene er negativ.

Lad os se på et par typiske situationer.

1. Eksponentiering.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Da begge sider af uligheden er positive, kan vi firkante for at slippe af med roden:

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Også her kan vi kvadratisk, men det vil kun hjælpe os af med kvadratroden. Her er det nødvendigt at hæve i en sådan grad, at begge rødder forsvinder. Det betyder, at eksponenten for denne grad skal være delelig med både (graden af ​​den første rod) og med. Dette tal er, så vi hæver det til th potens:

2. Multiplikation med konjugatet.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Multiplicer og divider hver forskel med den konjugerede sum:

Det er klart, at nævneren på højre side er større end nævneren til venstre. Derfor er den højre brøk mindre end den venstre:

3. Subtraktion

Lad os huske det.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Selvfølgelig kunne vi kvadre alt, omgruppere og igen kvadrere. Men du kan gøre noget smartere:

Det kan ses, at hvert led på venstre side er mindre end hvert led på højre side.

Følgelig er summen af ​​alle led på venstre side mindre end summen af ​​alle led på højre side.

Men vær forsigtig! Vi blev spurgt mere...

Højre side er større.

Eksempel.

Sammenlign tal og.

Løsning.

Husk trigonometriformlerne:

Lad os tjekke i hvilke kvartaler punkterne og ligge på den trigonometriske cirkel.

4. Division.

Her bruger vi også en simpel regel: .

Med eller, altså.

Når tegnet ændres: .

Eksempel.

Foretag en sammenligning:.

Løsning.

5. Sammenlign tallene med det tredje tal

Hvis og, så (lov om transitivitet).

Eksempel.

Sammenligne.

Løsning.

Lad os sammenligne tallene ikke med hinanden, men med tallet.

Det er indlysende.

På den anden side, .

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Begge tal er større, men mindre. Vælg et tal, så det er større end det ene, men mindre end det andet. For eksempel, . Lad os tjekke:

6. Hvad skal man gøre med logaritmer?

Ikke noget specielt. Hvordan man slipper af med logaritmer er beskrevet detaljeret i emnet. De grundlæggende regler er:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \venstrehøjrepil (\rm( ))\venstre[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \kile (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kile y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Vi kan også tilføje en regel om logaritmer med forskellige baser og det samme argument:

Det kan forklares som følger: Jo større basen er, jo mindre skal den hæves for at få den samme. Hvis basen er mindre, er det modsatte sandt, da den tilsvarende funktion er monotont aftagende.

Eksempel.

Sammenlign tal: i.

Løsning.

I henhold til ovenstående regler:

Og nu den avancerede formel.

Reglen for sammenligning af logaritmer kan også skrives kortere:

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Eksempel.

Sammenlign hvilket af tallene der er størst: .

Løsning.

SAMMENLIGNING AF TAL. KORT OM HOVEDVEJLEDNINGEN

1. Eksponentiering

Hvis begge sider af uligheden er positive, kan de kvadreres for at slippe af med roden

2. Multiplikation med konjugatet

Et konjugat er en multiplikator, der supplerer udtrykket til formlen for forskellen mellem kvadrater: - konjuger for og omvendt, fordi .

3. Subtraktion

4. Division

På eller altså

Når tegnet ændres:

5. Sammenligning med det tredje tal

Hvis og så

6. Sammenligning af logaritmer

Grundlæggende regler.

Definition 1. Hvis to tal 1) -en og b når man dividerer med s give den samme rest r, så kaldes sådanne tal ækvidistant eller sammenlignelig i modulo s.

Udmelding 1. Lade s et positivt tal. Derefter et hvilket som helst tal -en altid og desuden på en unik måde kan repræsenteres i formen

Men disse tal kan fås ved at spørge r lig med 0, 1, 2,..., s-1. følgelig sp+r=a tager alle mulige heltalsværdier.

Lad os vise, at denne fremstilling er unik. Lad os lade som om s kan repræsenteres på to måder a=sp+r og a=s 1 s+r en . Derefter

(2)

Fordi r 1 tager et af tallene 0,1, ..., s−1, derefter den absolutte værdi r 1 −r mindre s. Men af ​​(2) følger det r 1 −r mange s. følgelig r 1 =r og s 1 =s.

Nummer r hedder minus tal -en modulo s(med andre ord nummeret r kaldes resten af ​​divisionen af ​​et tal -en på den s).

Udmelding 2. Hvis to tal -en og b sammenlignelig modulo s, derefter a−b divideret med s.

Virkelig. Hvis to tal -en og b sammenlignelig modulo s, så når divideret med s har den samme rest s. Derefter

divideret med s, fordi højre side af ligning (3) divideres med s.

Udmelding 3. Hvis forskellen på to tal er delelig med s, så er disse tal sammenlignelige modulo s.

Bevis. Betegn med r og r 1 rest fra division -en og b på den s. Derefter

Eksempler 25≡39 (mod 7), -18≡14 (mod 4).

Det følger af det første eksempel, at 25, når de divideres med 7, giver den samme rest som 39. Faktisk, 25=3 7+4 (resten 4). 39=3 7+4 (resten 4). Når du overvejer det andet eksempel, skal du huske på, at resten skal være et ikke-negativt tal, der er mindre end modulet (dvs. 4). Så kan vi skrive: −18=−5 4+2 (resten 2), 14=3 4+2 (resten 2). Derfor efterlader −18, når de divideres med 4, en rest af 2, og 14, når de divideres med 4, efterlader en rest af 2.

Egenskaber ved Modulo-sammenligninger

Ejendom 1. For enhver -en og s altid

sammenligning er ikke altid nødvendig

hvor λ er den største fælles divisor af tal m og s.

Bevis. Lade λ største fælles divisor af tal m og s. Derefter

Fordi m(a−b) divideret med k, derefter

følgelig

og m er en af ​​divisorerne af tallet s, derefter

hvor h=pqs.

Bemærk, at vi kan tillade sammenligninger i negative moduler, dvs. sammenligning a≡b mod( s) betyder i dette tilfælde, at forskellen a−b divideret med s. Alle egenskaber for sammenligninger forbliver gyldige for negative moduler.