Visuel guide (2019). Geometriske figurer

Her er samlet grundlæggende information om pyramiderne og relaterede formler og begreber. Alle studeres med en vejleder i matematik som forberedelse til eksamen.

Overvej et plan, en polygon ligger i det og et punkt S ikke ligger i det. Forbind S med alle hjørner af polygonen. Det resulterende polyeder kaldes en pyramide. Segmenterne kaldes laterale kanter. Polygonen kaldes basen, og punktet S kaldes toppen af pyramiden. Afhængigt af tallet n kaldes pyramiden trekantet (n=3), firkantet (n=4), femkantet (n=5) og så videre. Alternativt navn til den trekantede pyramide - tetraeder. Højden af en pyramide er vinkelret trukket fra dens top til grundplanet.

En pyramide kaldes korrekt if en regulær polygon, og bunden af pyramidens højde (bunden af vinkelret) er dens centrum.

Underviserens kommentar:
Forveksle ikke begrebet "almindelig pyramide" og "regelmæssig tetraeder". I en regulær pyramide er sidekanterne ikke nødvendigvis lig med basens kanter, men i en regulær tetraeder er alle 6 kanter ens. Dette er hans definition. Det er let at bevise, at ligheden indebærer, at polygonens centrum P med en højdebase, så et regulært tetraeder er en regulær pyramide.

Hvad er et apotem?
Apotemet for en pyramide er højden af dens sideflade. Hvis pyramiden er regulær, så er alle dens apotemer ens. Det omvendte er ikke sandt.

Matematikunderviser om sin terminologi: arbejde med pyramider er 80% bygget gennem to typer trekanter:
1) Indeholder apotem SK og højde SP
2) Indeholder sidekanten SA og dens fremspring PA

For at forenkle referencer til disse trekanter er det mere bekvemt for en matematikvejleder at nævne den første af dem apotemisk, og andet kystnære. Desværre finder du ikke denne terminologi i nogen af lærebøgerne, og læreren skal introducere den ensidigt.

Formel for pyramidevolumen:
1) , hvor er arealet af bunden af pyramiden, og er højden af pyramiden
2) , hvor er radius af den indskrevne kugle, og er det samlede overfladeareal af pyramiden.
3) , hvor MN er afstanden mellem to krydsende kanter, og er arealet af parallelogrammet dannet af midtpunkterne af de fire resterende kanter.

Pyramidehøjdebaseegenskab:

Punkt P (se figur) falder sammen med midten af den indskrevne cirkel ved bunden af pyramiden, hvis en af følgende betingelser er opfyldt:
1) Alle apotemer er lige
2) Alle sideflader er lige skråtstillede mod bunden
3) Alle apotemer er lige tilbøjelige til pyramidens højde
4) Pyramidens højde hælder lige meget til alle sideflader

Matematikvejleders kommentar: bemærk at alle punkter er forenet af en fælles egenskab: på en eller anden måde deltager sideflader overalt (apotemer er deres elementer). Derfor kan vejlederen tilbyde en mindre præcis, men mere bekvem formulering til memorering: punktet P falder sammen med midten af den indskrevne cirkel, bunden af pyramiden, hvis der er lige information om dens sideflader. For at bevise det, er det tilstrækkeligt at vise, at alle apotemiske trekanter er lige store.

Punktet P falder sammen med midten af den omskrevne cirkel nær bunden af pyramiden, hvis en af de tre betingelser er sand:
1) Alle sidekanter er ens
2) Alle sideribber er lige skråtstillede mod bunden
3) Alle sideribber er lige skråtstillede i forhold til højden

Studerende støder på begrebet en pyramide længe før de studerer geometri. Skyld skylden på de berømte store egyptiske vidundere i verden. Derfor, når de starter studiet af dette vidunderlige polyeder, forestiller de fleste studerende det allerede tydeligt. Alle de ovennævnte seværdigheder er i den rigtige form. Hvad højre pyramide, og hvilke egenskaber den har og vil blive diskuteret yderligere.

I kontakt med

Definition

Der er mange definitioner af en pyramide. Siden oldtiden har det været meget populært.

For eksempel definerede Euklid det som en solid figur, der består af planer, som, startende fra en, konvergerer på et bestemt punkt.

Heron gav en mere præcis formulering. Han insisterede på, at det var en figur, der har en base og planer i form af trekanter, konvergerer på et tidspunkt.

Baseret på den moderne fortolkning præsenteres pyramiden som et rumligt polyeder, bestående af en vis k-gon og k flade trekantede figurer, der har ét fælles punkt.

Lad os se nærmere, Hvilke elementer består den af?

k-gon betragtes som grundlaget for figuren;
3-vinklede figurer rager frem som siderne af sidedelen;
den øverste del, hvorfra sideelementerne stammer, kaldes toppen;
alle segmenter, der forbinder toppunktet, kaldes kanter;
hvis en lige linje sænkes fra toppen til figurens plan i en vinkel på 90 grader, så er dens del indesluttet i det indre rum pyramidens højde;
i ethvert sideelement til siden af vores polyeder kan du tegne en vinkelret kaldet apotem.

Antallet af kanter beregnes ved hjælp af formlen 2*k, hvor k er antallet af sider af k-gonen. Hvor mange flader et polyeder som en pyramide har, kan bestemmes ved udtrykket k + 1.

Vigtig! En regulær formet pyramide er en stereometrisk figur, hvis basisplan er en k-gon med lige sider.

Grundlæggende egenskaber

Korrekt pyramide har mange egenskaber som er unikke for hende. Lad os liste dem:

Basen er en figur af den rigtige form.
Pyramidens kanter, der begrænser sideelementerne, har lige store numeriske værdier.
Sideelementerne er ligebenede trekanter.
Basen af figurens højde falder ind i midten af polygonen, mens den samtidig er det indskrevne og beskrevne midtpunkt.
Alle sideribber hælder til grundplanet i samme vinkel.
Alle sideflader har samme hældningsvinkel i forhold til bunden.

Takket være alle de anførte egenskaber er udførelsen af elementberegninger meget forenklet. Ud fra ovenstående egenskaber er vi opmærksomme på to tegn:

I det tilfælde, hvor polygonen passer ind i en cirkel, vil sidefladerne have lige store vinkler med basen.
Når man beskriver en cirkel omkring en polygon, vil alle pyramidens kanter, der udgår fra toppunktet, have samme længde og lige store vinkler med basen.

Pladsen er baseret

Almindelig firkantet pyramide - et polyeder baseret på en firkant.

Den har fire sideflader, som er ligebenede i udseende.

På et fly er en firkant afbildet, men de er baseret på alle egenskaberne for en regulær firkant.

For eksempel, hvis det er nødvendigt at forbinde siden af et kvadrat med dets diagonal, så bruges følgende formel: diagonalen er lig med produktet af siden af kvadratet og kvadratroden af to.

Baseret på en regulær trekant

En regulær trekantet pyramide er et polyeder, hvis base er en regulær 3-gon.

Hvis basen er en regulær trekant, og sidekanterne er lig med basens kanter, så er en sådan figur kaldet et tetraeder.

Alle flader af et tetraeder er ligesidede 3-goner. I dette tilfælde skal du kende nogle punkter og ikke spilde tid på dem, når du beregner:

hældningsvinklen af ribberne til enhver base er 60 grader;
værdien af alle indre flader er også 60 grader;
ethvert ansigt kan fungere som en base;
tegnet inde i figuren er lige store elementer.

Udsnit af et polyeder

I enhver polyeder der er flere typer sektioner fly. I et skolegeometrikursus arbejder de ofte med to:

aksial;
parallelt grundlag.

Et aksialt snit opnås ved at skære et polyeder med et plan, der passerer gennem toppunktet, sidekanterne og aksen. I dette tilfælde er aksen højden trukket fra toppunktet. Skæreplanet er begrænset af skæringslinjerne med alle flader, hvilket resulterer i en trekant.

Opmærksomhed! I en regulær pyramide er den aksiale sektion en ligebenet trekant.

Hvis skæreplanet løber parallelt med basen, så er resultatet den anden mulighed. I dette tilfælde har vi i sammenhæng med en figur, der ligner basen.

For eksempel, hvis basen er en firkant, så vil sektionen parallelt med basen også være en firkant, kun af en mindre størrelse.

Ved løsning af problemer under denne tilstand bruges tegn og egenskaber for lighed mellem figurer, baseret på Thales-sætningen. Først og fremmest er det nødvendigt at bestemme lighedskoefficienten.

Hvis flyet er trukket parallelt med bunden, og det afskærer den øvre del af polyhedronen, opnås en regelmæssig afkortet pyramide i den nederste del. Så siges baserne af det trunkerede polyeder at være lignende polygoner. I dette tilfælde er sidefladerne ligebenede trapezoider. Den aksiale sektion er også ligebenet.

For at bestemme højden af et afkortet polyhedron er det nødvendigt at tegne højden i et aksialt snit, det vil sige i en trapez.

Overfladearealer

De vigtigste geometriske problemer, der skal løses i skolens geometrikursus er at finde overfladeareal og rumfang af en pyramide.

Der er to typer overfladearealer:

område af sideelementer;
hele overfladearealet.

Af selve titlen fremgår det tydeligt, hvad det handler om. Sidefladen omfatter kun sideelementerne. Heraf følger, at for at finde det, skal du blot tilføje områderne af sideplanerne, det vil sige områderne af ligebenede 3-goner. Lad os prøve at udlede formlen for arealet af sideelementerne:

Arealet af en ligebenet 3-gon er Str=1/2(aL), hvor a er siden af basen, L er apotem.
Antallet af sideplaner afhænger af typen af k-gon ved bunden. For eksempel har en regulær firkantet pyramide fire laterale planer. Derfor er det nødvendigt at sammenlægge arealerne af fire figurer Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Udtrykket er forenklet på denne måde, fordi værdien 4a=POS, hvor POS er omkredsen af basen. Og udtrykket 1/2 * Rosn er dens semi-perimeter.
Så vi konkluderer, at arealet af sideelementerne i en regulær pyramide er lig med produktet af halvperimeteren af basen og apotemet: Sside \u003d Rosn * L.

Arealet af pyramidens fulde overflade består af summen af arealerne af sideplanerne og bunden: Sp.p. = Sside + Sbase.

Med hensyn til arealet af basen, her bruges formlen i henhold til typen af polygon.

Volumen af en regulær pyramide er lig med produktet af grundplanets areal og højden divideret med tre: V=1/3*Sbase*H, hvor H er polyederens højde.

Hvad er en regulær pyramide i geometri

Egenskaber ved en regulær firkantet pyramide

apotem- højden af sidefladen af en regulær pyramide, som er trukket fra dens top (derudover er apotemet længden af vinkelret, som er sænket fra midten af en regulær polygon til 1 af dens sider);
sideflader (ASB, BSC, CSD, DSA) - trekanter, der konvergerer i toppen;
side ribben ( SOM , BS , CS , D.S. ) - fælles sider af sidefladerne;
toppen af pyramiden (v. S) - et punkt, der forbinder sidekanterne, og som ikke ligger i bundens plan;
højde ( SÅ ) - et segment af vinkelret, som er trukket gennem toppen af pyramiden til planet af dets base (enderne af et sådant segment vil være toppen af pyramiden og bunden af vinkelret);
diagonalt snit af en pyramide- sektion af pyramiden, som passerer gennem toppen og diagonalen af basen;
grundlag (ABCD) er en polygon, som toppen af pyramiden ikke hører til.

pyramide egenskaber.

1. Når alle sidekanter har samme størrelse, så:

nær bunden af pyramiden er det let at beskrive en cirkel, mens toppen af pyramiden vil blive projiceret ind i midten af denne cirkel;
sideribber danner lige store vinkler med basisplanet;
desuden er det omvendt også sandt, dvs. når sidekanterne danner lige store vinkler med grundplanet, eller når en cirkel kan beskrives nær bunden af pyramiden og toppen af pyramiden vil blive projiceret ind i midten af denne cirkel, så har alle pyramidens sidekanter samme størrelse.

2. Når sidefladerne har en hældningsvinkel til bundens plan med samme værdi, så:

nær bunden af pyramiden er det let at beskrive en cirkel, mens toppen af pyramiden vil blive projiceret ind i midten af denne cirkel;
højderne af sidefladerne er lige lange;
arealet af sidefladen er lig med ½ produktet af basens omkreds og højden af sidefladen.

3. En kugle kan beskrives nær pyramiden, hvis bunden af pyramiden er en polygon, som en cirkel kan beskrives omkring (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse). Kuglens centrum vil være skæringspunktet for de fly, der passerer gennem midtpunkterne af pyramidens kanter vinkelret på dem. Fra denne sætning konkluderer vi, at en kugle kan beskrives både omkring enhver trekantet og omkring enhver regulær pyramide.

4. En kugle kan indskrives i en pyramide, hvis halveringsfladen af pyramidens indre dihedrale vinkler skærer hinanden i 1. punkt (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse). Dette punkt bliver kuglens centrum.

Den enkleste pyramide.

Ifølge antallet af hjørner af bunden af pyramiden er de opdelt i trekantede, firkantede og så videre.

Pyramiden vil trekantet, firkantet, og så videre, når bunden af pyramiden er en trekant, en firkant og så videre. En trekantet pyramide er et tetraeder - et tetraeder. Firkantet - pentahedron og så videre.

Vigtige bemærkninger!
1. Hvis du i stedet for formler ser abracadabra, skal du rydde cachen. Hvordan du gør det i din browser er skrevet her:
2. Før du begynder at læse artiklen, skal du være opmærksom på vores navigator for den mest nyttige ressource til

Hvad er en pyramide?

Hvordan ser hun ud?

Du kan se: ved pyramiden nedenfor (de siger " ved basen"") en polygon, og alle hjørnerne af denne polygon er forbundet til et eller andet punkt i rummet (dette punkt kaldes " vertex»).

Hele denne struktur har sideflader, side ribben og basis ribben. Endnu en gang, lad os tegne en pyramide sammen med alle disse navne:

Nogle pyramider kan se meget mærkelige ud, men de er stadig pyramider.

Her f.eks. ret "skrå" pyramide.

Og lidt mere om navnene: hvis der er en trekant i bunden af pyramiden, så hedder pyramiden trekantet;

På samme tid det punkt, hvor det faldt højde, Hedder højde base. Bemærk, at i de "skæve" pyramider højde kan endda være uden for pyramiden. Sådan her:

Og der er ikke noget forfærdeligt i dette. Det ligner en stump trekant.

Korrekt pyramide.

Mange svære ord? Lad os dechifrere: "I bunden - korrekt" - dette er forståeligt. Og husk nu, at en regulær polygon har et centrum - et punkt, der er midten af og , og .

Nå, og ordene "toppen projiceres ind i midten af basen" betyder, at bunden af højden falder nøjagtigt ind i midten af basen. Se hvor glat og sød det ser ud højre pyramide.

Sekskantet: ved basen - en regulær sekskant, toppunktet projiceres ind i midten af basen.

firkantet: ved bunden - en firkant, toppen er projiceret til skæringspunktet for diagonalerne på denne firkant.

trekantet: ved bunden er en regulær trekant, toppunktet projiceres til skæringspunktet for højderne (de er også medianer og halveringslinjer) af denne trekant.

Højst vigtige egenskaber ved en almindelig pyramide:

I den rigtige pyramide

alle sidekanter er ens.
alle sideflader er ligebenede trekanter og alle disse trekanter er lige store.

Pyramidevolumen

Hovedformlen for pyramidens volumen:

Hvor kom det præcist fra? Dette er ikke så simpelt, og først skal du bare huske, at pyramiden og keglen har volumen i formlen, men cylinderen har ikke.

Lad os nu beregne volumen af de mest populære pyramider.

Lad siden af basen være ens, og sidekanten ens. Jeg skal finde og.

Dette er arealet af en retvinklet trekant.

Lad os huske, hvordan man søger efter dette område. Vi bruger arealformlen:

Vi har "" - dette, og "" - også dette, eh.

Lad os nu finde.

Ifølge Pythagoras sætning for

Hvad nytter det? Dette er radius af den omskrevne cirkel i, fordi pyramidekorrekt og dermed centrum.

Siden - skæringspunktet og medianen også.

(Pythagores sætning for)

Erstat i formlen for.

Lad os sætte alt ind i volumenformlen:

Opmærksomhed: hvis du har et regulært tetraeder (dvs.), så er formlen:

Lad siden af basen være ens, og sidekanten ens.

Der er ingen grund til at søge her; fordi i bunden er en firkant, og derfor.

Lad os finde. Ifølge Pythagoras sætning for

Ved vi det? Næsten. Se:

(det så vi ved at anmelde).

Erstat i formlen for:

Og nu erstatter vi og ind i volumenformlen.

Lad siden af basen være lige, og sidekanten.

Hvordan finder man? Se, en sekskant består af nøjagtig seks identiske regulære trekanter. Vi har allerede søgt efter arealet af en regulær trekant ved beregning af rumfanget af en regulær trekantet pyramide, her bruger vi den fundne formel.

Lad os nu finde (dette).

Ifølge Pythagoras sætning for

Men hvad betyder det? Det er enkelt, fordi (og alle andre også) har ret.

Vi erstatter:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDE. KORT OM DE VIGTIGSTE

En pyramide er et polyeder, der består af en hvilken som helst flad polygon (), et punkt, der ikke ligger i bundens plan (toppen af pyramiden) og alle segmenter, der forbinder toppen af pyramiden med bundens punkter (sidekanter). ).

En vinkelret faldt fra toppen af pyramiden til bundens plan.

Korrekt pyramide- en pyramide, som har en regulær polygon i bunden, og toppen af pyramiden er projiceret ind i midten af bunden.

Egenskab for en almindelig pyramide:

I en almindelig pyramide er alle sidekanter lige store.
Alle sideflader er ligebenede trekanter, og alle disse trekanter er lige store.

Volumen af pyramiden:

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, så er du meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du har læst til ende, så er du i de 5%!

Nu det vigtigste.

Du har fundet ud af teorien om dette emne. Og jeg gentager, det er ... det er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For en vellykket beståelse af eksamen, for optagelse på instituttet på budgettet og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige en ting ...

Folk, der har fået en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke har fået den. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi der åbner sig mange flere muligheder, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre til eksamen og i sidste ende være ... gladere?

FYLD DIN HÅND, LØS PROBLEMER OM DETTE EMNE.

På eksamen bliver du ikke spurgt om teori.

Du får brug for løse problemer til tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MASSER!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke klare det i tide.

Det er ligesom i sport - du skal gentage mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find en samling hvor som helst du vil nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (ikke nødvendigt), og vi anbefaler dem bestemt.

For at få en hånd med ved hjælp af vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, som du lige nu læser.

Hvordan? Der er to muligheder:

Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i denne artikel -
Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i selvstudiet - Køb en lærebog - 499 rubler

Ja, vi har 99 sådanne artikler i lærebogen og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i hele webstedets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke med teori.

"Forstået" og "Jeg ved, hvordan man løser" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs!

firkantet pyramide Et polyeder kaldes et polyeder, hvis basis er en firkant, og alle sideflader er identiske ligebenede trekanter.

Dette polyeder har mange forskellige egenskaber:

Dens laterale ribber og tilstødende dihedrale vinkler er lig med hinanden;
Områderne af sidefladerne er de samme;
Ved bunden af en regulær firkantet pyramide ligger en firkant;
Højden faldet fra toppen af pyramiden skærer skæringspunktet for basens diagonaler.

Alle disse egenskaber gør det nemt at finde. Men ganske ofte, ud over det, er det nødvendigt at beregne volumenet af polyederet. For at gøre dette skal du anvende formlen for volumenet af en firkantet pyramide:

Det vil sige, at pyramidens volumen er lig med en tredjedel af produktet af pyramidens højde og arealet af basen. Da det er lig med produktet af dets lige sider, indtaster vi straks kvadratarealformlen i volumenudtrykket.
Overvej et eksempel på beregning af rumfanget af en firkantet pyramide.

Lad en firkantet pyramide angives, ved hvis basis ligger en firkant med en side a = 6 cm Pyramidens sideflade er b = 8 cm Find pyramidens rumfang.

For at finde volumen af et givet polyeder skal vi bruge længden af dets højde. Derfor finder vi det ved at anvende Pythagoras sætning. Lad os først beregne længden af diagonalen. I den blå trekant vil det være hypotenusen. Det er også værd at huske, at kvadratets diagonaler er lig med hinanden og er opdelt i halvdelen ved skæringspunktet:

Fra den røde trekant finder vi nu den højde, vi skal bruge h. Det vil være lig med:

Erstat de nødvendige værdier og find pyramidens højde:

Nu, når vi kender højden, kan vi erstatte alle værdierne i formlen for pyramidens volumen og beregne den nødvendige værdi:

Det er sådan, at vi ved at kende nogle få simple formler var i stand til at beregne volumenet af en regulær firkantet pyramide. Glem ikke, at denne værdi måles i kubikenheder.