Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne i ligningen af ​​hvilken. Eksempler

Lad os gå videre til at overveje anvendelser af integralregning. I denne lektion vil vi se på det typiske og mest almindelige problem med at beregne arealet af en plan figur ved hjælp af et bestemt integral. Lad endelig alle dem, der søger mening i højere matematik, finde den. Man ved aldrig. I det virkelige liv bliver du nødt til at tilnærme et dacha-plot ved hjælp af elementære funktioner og finde dets område ved hjælp af et bestemt integral.

For at mestre materialet med succes skal du:

1) Forstå det ubestemte integral i det mindste på et mellemniveau. Dummies bør derfor først gøre sig bekendt med lektien om Han.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz formlen og beregne det bestemte integral. Du kan etablere varme venskabelige relationer med bestemte integraler på siden Definite Integral. Eksempler på løsninger. Opgaven "beregn arealet ved hjælp af et bestemt integral" involverer altid at konstruere en tegning, så din viden og tegnefærdigheder vil også være et vigtigt emne. Du skal som minimum kunne konstruere en lige linje, parabel og hyperbel.

Lad os starte med en buet trapez. En buet trapez er en flad figur afgrænset af grafen for en funktion y = f(x), akse OKSE og linjer x = -en; x = b.

Arealet af en buet trapez er numerisk lig med et bestemt integral

Ethvert bestemt integral (der findes) har en meget god geometrisk betydning. I lektionen Definite Integral. Eksempler på løsninger vi sagde, at et bestemt integral er et tal. Og nu er det tid til at sige endnu et nyttigt faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det bestemte integral AREA. Det vil sige, at et bestemt integral (hvis det findes) geometrisk svarer til arealet af en bestemt figur. Overvej det bestemte integral

Integrand

definerer en kurve på planet (den kan tegnes, hvis det ønskes), og selve det bestemte integral er numerisk lig med arealet af den tilsvarende kurvelineære trapez.

Eksempel 1

, , , .

Dette er en typisk opgavebeskrivelse. Det vigtigste punkt i beslutningen er opbygningen af ​​tegningen. Desuden skal tegningen være opbygget KORREKT.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rækkefølge: For det første er det bedre at konstruere alle de rette linjer (hvis nogen) og først derefter - parabler, hyperbler og grafer for andre funktioner. Teknikken med punktvis konstruktion kan findes i referencematerialet Grafer og egenskaber ved elementære funktioner. Der kan du også finde meget nyttigt materiale til vores lektion - hvordan man hurtigt bygger en parabel.

I dette problem kan løsningen se sådan ud.

Lad os tegne tegningen (bemærk, at ligningen y= 0 angiver aksen OKSE):

Vi vil ikke skygge for den buede trapez; her er det tydeligt, hvilket område vi taler om. Løsningen fortsætter således:

På segmentet [-2; 1] funktionsgraf y = x 2 + 2 placeret over aksen OKSE, Derfor:

Svar: .

Hvem har vanskeligheder med at beregne det bestemte integral og anvende Newton-Leibniz formlen

,

Der henvises til foredraget Definite Integral. Eksempler på løsninger. Når opgaven er afsluttet, er det altid nyttigt at se på tegningen og finde ud af, om svaret er rigtigt. I dette tilfælde tæller vi antallet af celler i tegningen "efter øjet" - ja, der vil være omkring 9, det ser ud til at være sandt. Det er helt klart, at hvis vi for eksempel fik svaret: 20 kvadratenheder, så er det åbenlyst, at der er begået en fejl et eller andet sted - 20 celler passer åbenbart ikke ind i den pågældende figur, højst et dusin. Hvis svaret er negativt, så blev opgaven også løst forkert.

Eksempel 2

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer xy = 4, x = 2, x= 4 og akse OKSE.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Hvad skal man gøre, hvis en buet trapez er placeret under aksen OKSE?

Eksempel 3

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer y = e-x, x= 1 og koordinatakser.

Løsning: Lad os lave en tegning:

Hvis en buet trapez er helt placeret under aksen OKSE, så kan dens areal findes ved hjælp af formlen:

I dette tilfælde:

.

Opmærksomhed! De to typer opgaver må ikke forveksles:

1) Hvis du bliver bedt om blot at løse et bestemt integral uden nogen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du bliver bedt om at finde arealet af en figur ved hjælp af et bestemt integral, så er arealet altid positivt! Derfor optræder minus i den netop omtalte formel.

I praksis er figuren oftest placeret i både det øvre og nedre halvplan, og derfor går vi fra de simpleste skoleproblemer videre til mere meningsfulde eksempler.

Eksempel 4

Find arealet af en plan figur afgrænset af linjer y = 2x – x 2 , y = -x.

Løsning: Først skal du lave en tegning. Når vi konstruerer en tegning i arealproblemer, er vi mest interesserede i linjers skæringspunkter. Lad os finde skæringspunkterne for parablen y = 2x – x 2 og lige y = -x. Dette kan gøres på to måder. Den første metode er analytisk. Vi løser ligningen:

Det betyder, at den nedre grænse for integration -en= 0, øvre grænse for integration b= 3. Det er ofte mere rentabelt og hurtigere at konstruere linjer punkt for punkt, og grænserne for integration bliver tydelige "af sig selv." Ikke desto mindre skal den analytiske metode til at finde grænser stadig nogle gange bruges, hvis f.eks. grafen er stor nok, eller den detaljerede konstruktion ikke afslørede grænserne for integration (de kan være brøkdele eller irrationelle). Lad os vende tilbage til vores opgave: det er mere rationelt først at konstruere en lige linje og først derefter en parabel. Lad os lave tegningen:

Lad os gentage, at når man konstruerer punktvis, bestemmes grænserne for integration oftest "automatisk".

Og nu arbejdsformlen:

Hvis på segmentet [ -en; b] en eller anden kontinuerlig funktion f(x) er større end eller lig med en eller anden kontinuerlig funktion g(x), så kan arealet af den tilsvarende figur findes ved hjælp af formlen:

Her behøver du ikke længere tænke på, hvor figuren er placeret - over aksen eller under aksen, men det vigtige er, hvilken graf der er HØJERE (i forhold til en anden graf), og hvilken der er UNDER.

I det undersøgte eksempel er det indlysende, at parablen på segmentet er placeret over den rette linje, og derfor fra 2 x – x 2 skal trækkes fra - x.

Den færdige løsning kan se sådan ud:

Den ønskede figur er begrænset af en parabel y = 2x – x 2 ovenpå og lige y = -x under.

På segment 2 x – x 2 ≥ -x. Ifølge den tilsvarende formel:

Svar: .

Faktisk er skoleformlen for arealet af en buet trapez i det nederste halvplan (se eksempel nr. 3) et specialtilfælde af formlen

.

Fordi aksen OKSE givet af ligningen y= 0, og grafen for funktionen g(x) placeret under aksen OKSE, At

.

Og nu et par eksempler til din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Find arealet af en figur afgrænset af linjer

Når man løser problemer, der involverer beregning af areal ved hjælp af et bestemt integral, sker der nogle gange en sjov hændelse. Tegningen blev udført korrekt, beregningerne var korrekte, men på grund af skødesløshed ... blev området med den forkerte figur fundet.

Eksempel 7

Lad os først lave en tegning:

Figuren, hvis område vi skal finde, er skraveret i blåt (se nøje på tilstanden - hvor er figuren begrænset!). Men i praksis, på grund af uopmærksomhed, beslutter folk ofte, at de skal finde det område af figuren, der er skraveret i grønt!

Dette eksempel er også nyttigt, fordi det beregner arealet af en figur ved hjælp af to bestemte integraler. Virkelig:

1) På segmentet [-1; 1] over aksen OKSE grafen er placeret lige y = x+1;

2) På et segment over aksen OKSE grafen for en hyperbel er lokaliseret y = (2/x).

Det er helt indlysende, at områderne kan (og bør) tilføjes, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer

Lad os præsentere ligningerne i "skole"-form

og lav en punkt-for-punkt tegning:

Fra tegningen er det tydeligt, at vores øvre grænse er "god": b = 1.

Men hvad er den nedre grænse?! Det er klart, at dette ikke er et heltal, men hvad er det?

Måske, -en=(-1/3)? Men hvor er garantien for, at tegningen er lavet med perfekt nøjagtighed, det kan det godt vise sig -en=(-1/4). Hvad hvis vi byggede grafen forkert?

I sådanne tilfælde skal du bruge ekstra tid og afklare grænserne for integration analytisk.

Lad os finde skæringspunkterne for graferne

For at gøre dette løser vi ligningen:

.

Derfor, -en=(-1/3).

Den videre løsning er triviel. Det vigtigste er ikke at blive forvirret i udskiftninger og tegn. Beregningerne her er ikke de enkleste. På segmentet

, ,

efter den passende formel:

Svar:

For at afslutte lektionen, lad os se på to mere vanskelige opgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer

Løsning: Lad os afbilde denne figur på tegningen.

For at konstruere en punkt-for-punkt-tegning skal du kende udseendet af en sinusoid. Generelt er det nyttigt at kende graferne for alle elementære funktioner samt nogle sinusværdier. De kan findes i tabellen over værdier af trigonometriske funktioner. I nogle tilfælde (for eksempel i dette tilfælde) er det muligt at konstruere en skematisk tegning, hvorpå graferne og grænserne for integration skal vises grundlæggende korrekt.

Der er ingen problemer med grænserne for integration her; de følger direkte af betingelsen:

– "x" skifter fra nul til "pi". Lad os tage en yderligere beslutning:

På et segment, grafen for en funktion y= synd 3 x placeret over aksen OKSE, Derfor:

(1) Du kan se, hvordan sinus og cosinus er integreret i ulige potenser i lektionen Integraler af trigonometriske funktioner. Vi kniber den ene sinus af.

(2) Vi bruger den trigonometriske hovedidentitet i formularen

(3) Lad os ændre variablen t=cos x, så: er placeret over aksen, derfor:

.

.

Bemærk: bemærk, hvordan integralet af tangentkuben tages; en følge af den grundlæggende trigonometriske identitet bruges her

.

Hvordan indsætter man matematiske formler på en hjemmeside?

Hvis du nogensinde har brug for at tilføje en eller to matematiske formler til en webside, så er den nemmeste måde at gøre dette på som beskrevet i artiklen: matematiske formler indsættes nemt på webstedet i form af billeder, der automatisk genereres af Wolfram Alpha . Ud over enkelhed vil denne universelle metode hjælpe med at forbedre webstedets synlighed i søgemaskiner. Det har virket i lang tid (og, tror jeg, vil virke for evigt), men er allerede moralsk forældet.

Hvis du jævnligt bruger matematiske formler på dit websted, så anbefaler jeg, at du bruger MathJax - et særligt JavaScript-bibliotek, der viser matematisk notation i webbrowsere, der bruger MathML, LaTeX eller ASCIIMathML markup.

Der er to måder at begynde at bruge MathJax på: (1) ved hjælp af en simpel kode, kan du hurtigt forbinde et MathJax script til dit websted, som automatisk indlæses fra en ekstern server på det rigtige tidspunkt (liste over servere); (2) download MathJax-scriptet fra en fjernserver til din server og tilslut det til alle sider på dit websted. Den anden metode - mere kompleks og tidskrævende - vil fremskynde indlæsningen af ​​dit websteds sider, og hvis den overordnede MathJax-server bliver midlertidigt utilgængelig af en eller anden grund, vil dette ikke påvirke dit eget websted på nogen måde. På trods af disse fordele valgte jeg den første metode, da den er enklere, hurtigere og ikke kræver tekniske færdigheder. Følg mit eksempel, og på kun 5 minutter vil du være i stand til at bruge alle funktionerne i MathJax på dit websted.

Du kan forbinde MathJax-biblioteksscriptet fra en ekstern server ved hjælp af to kodemuligheder taget fra MathJax hovedwebsted eller på dokumentationssiden:

En af disse kodemuligheder skal kopieres og indsættes i koden på din webside, helst mellem tags og eller umiddelbart efter tagget. Ifølge den første mulighed indlæses MathJax hurtigere og sænker siden mindre. Men den anden mulighed overvåger og indlæser automatisk de nyeste versioner af MathJax. Hvis du indsætter den første kode, skal den opdateres med jævne mellemrum. Hvis du indsætter den anden kode, indlæses siderne langsommere, men du behøver ikke konstant at overvåge MathJax-opdateringer.

Den nemmeste måde at forbinde MathJax på er i Blogger eller WordPress: Tilføj en widget, der er designet til at indsætte tredjeparts JavaScript-kode i webstedets kontrolpanel, kopier den første eller anden version af downloadkoden præsenteret ovenfor ind i den, og placer widgetten tættere på til begyndelsen af ​​skabelonen (det er i øvrigt slet ikke nødvendigt, da MathJax-scriptet indlæses asynkront). Det er alt. Lær nu markup-syntaksen for MathML, LaTeX og ASCIIMathML, og du er klar til at indsætte matematiske formler på dit websteds websider.

Enhver fraktal er konstrueret efter en bestemt regel, som konsekvent anvendes et ubegrænset antal gange. Hver sådan tid kaldes en iteration.

Den iterative algoritme til at konstruere en Menger-svamp er ret enkel: den originale terning med side 1 er opdelt af planer parallelt med dens flader i 27 lige store terninger. En central terning og 6 terninger støder op til den langs fladerne fjernes fra den. Resultatet er et sæt bestående af de resterende 20 mindre terninger. Gør vi det samme med hver af disse terninger, får vi et sæt bestående af 400 mindre terninger. Hvis vi fortsætter denne proces i det uendelige, får vi en Menger-svamp.

Anvendelse af integralet til løsning af anvendte problemer

Arealberegning

Det bestemte integral af en kontinuert ikke-negativ funktion f(x) er numerisk lig med arealet af en krumt trapez afgrænset af kurven y = f(x), O x-aksen og de rette linjer x = a og x = b. I overensstemmelse hermed er arealformlen skrevet som følger:

Lad os se på nogle eksempler på beregning af arealer af plane figurer.

Opgave nr. 1. Beregn arealet afgrænset af linjerne y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Løsning. Lad os konstruere en figur, hvis areal vi skal beregne.

y = x 2 + 1 er en parabel, hvis grene er rettet opad, og parablen er forskudt opad med en enhed i forhold til O y-aksen (figur 1).

Figur 1. Graf over funktionen y = x 2 + 1

Opgave nr. 2. Beregn arealet afgrænset af linjerne y = x 2 – 1, y = 0 i området fra 0 til 1.

Løsning. Grafen for denne funktion er en parabel af grene, der er rettet opad, og parablen er forskudt i forhold til O y-aksen nedad med én enhed (Figur 2).

Figur 2. Graf over funktionen y = x 2 – 1

Opgave nr. 3. Lav en tegning og beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne

y = 8 + 2x – x 2 og y = 2x – 4.

Løsning. Den første af disse to linjer er en parabel med sine grene rettet nedad, da koefficienten for x 2 er negativ, og den anden linje er en ret linje, der skærer begge koordinatakser.

For at konstruere en parabel finder vi koordinaterne for dens toppunkt: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisse af toppunktet; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 er dens ordinat, N(1;9) er toppunktet.

Lad os nu finde skæringspunkterne for parablen og den rette linje ved at løse ligningssystemet:

Sæt lighedstegn mellem højre side af en ligning, hvis venstre side er ens.

Vi får 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 eller x 2 – 12 = 0, hvorfra .

Så punkterne er skæringspunkterne for en parabel og en lige linje (figur 1).

Figur 3 Grafer over funktionerne y = 8 + 2x – x 2 og y = 2x – 4

Lad os konstruere en ret linje y = 2x – 4. Den går gennem punkterne (0;-4), (2;0) på koordinatakserne.

For at konstruere en parabel kan man også bruge dens skæringspunkter med 0x-aksen, det vil sige rødderne af ligningen 8 + 2x – x 2 = 0 eller x 2 – 2x – 8 = 0. Ved at bruge Vietas sætning er det nemt for at finde dens rødder: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figur 3 viser en figur (parabolsk segment M 1 N M 2) afgrænset af disse linjer.

Den anden del af problemet er at finde arealet af denne figur. Dens areal kan findes ved hjælp af et bestemt integral ifølge formlen .

I forhold til denne betingelse får vi integralet:

2 Beregning af volumenet af et rotationslegeme

Det volumen af ​​legemet opnået ved rotationen af ​​kurven y = f(x) omkring O x-aksen beregnes ved hjælp af formlen:

Når man roterer rundt om O y-aksen, ser formlen sådan ud:

Opgave nr. 4. Bestem volumenet af legemet opnået fra rotationen af ​​en buet trapez afgrænset af rette linjer x = 0 x = 3 og kurve y = omkring O x-aksen.

Løsning. Lad os tegne et billede (Figur 4).

Figur 4. Graf over funktionen y =

Den nødvendige lydstyrke er

Opgave nr. 5. Beregn volumenet af legemet opnået ved rotationen af ​​en buet trapez afgrænset af kurven y = x 2 og rette linjer y = 0 og y = 4 omkring O y-aksen.

Løsning. Vi har:

Gennemgå spørgsmål

Lad os gå videre til at overveje anvendelser af integralregning. I denne lektion vil vi analysere det typiske og mest almindelige problem - hvordan man beregner arealet af en plan figur ved hjælp af et bestemt integral. Til sidst, dem, der leder efter mening i højere matematik - må de finde den. Man ved aldrig. I det virkelige liv bliver du nødt til at tilnærme et dacha-plot ved hjælp af elementære funktioner og finde dets område ved hjælp af et bestemt integral.

For at mestre materialet med succes skal du:

1) Forstå det ubestemte integral i det mindste på et mellemniveau. Dummies bør derfor først sætte sig ind i lektionen Not.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz formlen og beregne det bestemte integral. Du kan etablere varme venskabelige relationer med bestemte integraler på siden Definite Integral. Eksempler på løsninger.

Faktisk, for at finde arealet af en figur, behøver du ikke så meget viden om det ubestemte og bestemte integral. Opgaven "beregn arealet ved hjælp af et bestemt integral" involverer altid at konstruere en tegning, så din viden og færdigheder i at konstruere tegninger vil være et meget mere presserende spørgsmål. I denne henseende er det nyttigt at genopfriske din hukommelse om graferne for grundlæggende elementære funktioner og som minimum at være i stand til at konstruere en lige linje, parabel og hyperbel. Dette kan gøres (for mange er det nødvendigt) ved hjælp af metodologisk materiale og en artikel om geometriske transformationer af grafer.

Egentlig har alle været bekendt med opgaven med at finde området ved hjælp af et decideret integral siden skolen, og vi kommer ikke meget længere end til skolepensum. Denne artikel eksisterede måske slet ikke, men faktum er, at problemet opstår i 99 tilfælde ud af 100, når en elev lider af en hadet skole og entusiastisk mestrer et kursus i højere matematik.

Materialerne til denne workshop præsenteres enkelt, detaljeret og med et minimum af teori.

Lad os starte med en buet trapez.

En buet trapez er en flad figur afgrænset af en akse, rette linjer og grafen for en funktion kontinuerlig på et segment, der ikke skifter fortegn på dette interval. Lad denne figur være placeret ikke mindre x-akse:

Så er arealet af den buede trapez numerisk lig med det bestemte integral. Ethvert bestemt integral (der findes) har en meget god geometrisk betydning. I lektionen Definite Integral. Eksempler på løsninger Jeg sagde, at et bestemt integral er et tal. Og nu er det tid til at sige endnu et nyttigt faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det bestemte integral AREA.

Det vil sige, at et bestemt integral (hvis det findes) geometrisk svarer til arealet af en bestemt figur. Overvej for eksempel det bestemte integral. Integranden definerer en kurve på planet, der er placeret over aksen (de, der ønsker det, kan lave en tegning), og selve det bestemte integral er numerisk lig med arealet af den tilsvarende kurvelineære trapez.

Eksempel 1

Dette er en typisk opgavebeskrivelse. Det første og vigtigste punkt i beslutningen er tegning. Desuden skal tegningen være opbygget KORREKT.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rækkefølge: For det første er det bedre at konstruere alle de rette linjer (hvis nogen) og først derefter - parabler, hyperbler og grafer for andre funktioner. Det er mere rentabelt at konstruere grafer af funktioner punktvis; teknikken til punktvis konstruktion kan findes i referencematerialet Grafer og egenskaber ved elementære funktioner. Der kan du også finde meget nyttigt materiale til vores lektion - hvordan man hurtigt bygger en parabel.

I dette problem kan løsningen se sådan ud.
Lad os tegne tegningen (bemærk, at ligningen definerer aksen):

Jeg vil ikke skygge for den buede trapez; det er tydeligt her, hvilket område vi taler om. Løsningen fortsætter således:

På segmentet er grafen for funktionen placeret over aksen, derfor:

Svar:

Hvem har vanskeligheder med at beregne det bestemte integral og anvende Newton-Leibniz formlen , se foredraget Definite Integral. Eksempler på løsninger.

Når opgaven er afsluttet, er det altid nyttigt at se på tegningen og finde ud af, om svaret er rigtigt. I dette tilfælde tæller vi antallet af celler i tegningen "efter øjet" - ja, der vil være omkring 9, det ser ud til at være sandt. Det er helt klart, at hvis vi for eksempel fik svaret: 20 kvadratenheder, så er det åbenlyst, at der er begået en fejl et eller andet sted - 20 celler passer åbenbart ikke ind i den pågældende figur, højst et dusin. Hvis svaret er negativt, så blev opgaven også løst forkert.

Eksempel 2

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer , , og akse

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Hvad skal man gøre, hvis en buet trapez er placeret under aksen?

Eksempel 3

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjer og koordinatakser.

Løsning: Lad os lave en tegning:

Hvis den buede trapez er placeret under aksen (eller i det mindste ikke højere givet akse), så kan dens areal findes ved hjælp af formlen:
I dette tilfælde:

Opmærksomhed! De to typer opgaver må ikke forveksles:

1) Hvis du bliver bedt om blot at løse et bestemt integral uden nogen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du bliver bedt om at finde arealet af en figur ved hjælp af et bestemt integral, så er arealet altid positivt! Derfor optræder minus i den netop omtalte formel.

I praksis er figuren oftest placeret i både det øvre og nedre halvplan, og derfor går vi fra de simpleste skoleproblemer videre til mere meningsfulde eksempler.

Eksempel 4

Find arealet af en plan figur afgrænset af linjerne, .

Løsning: Først skal du lave en tegning. Generelt set er vi mest interesserede i linjers skæringspunkter, når vi konstruerer en tegning i arealproblemer. Lad os finde skæringspunkterne for parablen og den rette linje. Dette kan gøres på to måder. Den første metode er analytisk. Vi løser ligningen:

Det betyder, at den nedre grænse for integration er, den øvre grænse for integration er.
Det er bedre, hvis det er muligt, ikke at bruge denne metode.

Det er meget mere rentabelt og hurtigere at konstruere linjer punkt for punkt, og grænserne for integration bliver tydelige "af sig selv." Teknikken til punktvis konstruktion for forskellige grafer er beskrevet detaljeret i hjælpen Grafer og egenskaber ved elementære funktioner. Ikke desto mindre skal den analytiske metode til at finde grænser stadig nogle gange bruges, hvis f.eks. grafen er stor nok, eller den detaljerede konstruktion ikke afslørede grænserne for integration (de kan være brøkdele eller irrationelle). Og vi vil også overveje et sådant eksempel.

Lad os vende tilbage til vores opgave: det er mere rationelt først at konstruere en lige linje og først derefter en parabel. Lad os lave tegningen:

Jeg gentager, at når man konstruerer punktvis, finder man oftest grænserne for integration ud "automatisk".

Og nu arbejdsformlen: Hvis en eller anden kontinuert funktion på et segment er større end eller lig med en kontinuert funktion, så kan arealet af figuren begrænset af graferne for disse funktioner og rette linjer findes ved hjælp af formlen:

Her behøver du ikke længere tænke på, hvor figuren er placeret - over aksen eller under aksen, og groft sagt er det vigtigt, hvilken graf der er HØJERE (i forhold til en anden graf), og hvilken der er UNDER.

I det undersøgte eksempel er det indlysende, at parablen på segmentet er placeret over den rette linje, og derfor er det nødvendigt at trække fra

Den færdige løsning kan se sådan ud:

Den ønskede figur er begrænset af en parabel over og en lige linje nedenunder.
På segmentet ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Faktisk er skoleformlen for arealet af en buet trapez i det nederste halvplan (se simpelt eksempel nr. 3) et specialtilfælde af formlen . Da aksen er specificeret af ligningen, og grafen for funktionen er placeret ikke højereøkser altså

Og nu et par eksempler til din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Find arealet af figuren afgrænset af linjerne, .

Når man løser problemer, der involverer beregning af areal ved hjælp af et bestemt integral, sker der nogle gange en sjov hændelse. Tegningen blev lavet korrekt, beregningerne var korrekte, men på grund af skødesløshed ... området med den forkerte figur blev fundet, det er præcis sådan, din ydmyge tjener gik galt flere gange. Her er en sag fra det virkelige liv:

Eksempel 7

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne , , , .

Løsning: Lad os først lave en tegning:

...Eh, tegningen blev lort, men alt ser ud til at være læseligt.

Figuren, hvis område vi skal finde, er skraveret i blåt (se nøje på tilstanden - hvor er figuren begrænset!). Men i praksis, på grund af uopmærksomhed, opstår der ofte en "fejl", som du skal bruge for at finde området af en figur, der er skraveret i grønt!

Dette eksempel er også nyttigt, fordi det beregner arealet af en figur ved hjælp af to bestemte integraler. Virkelig:

1) På segmentet over aksen er der en graf over en ret linje;

2) På segmentet over aksen er der en graf over en hyperbel.

Det er helt indlysende, at områderne kan (og bør) tilføjes, derfor:

Svar:

Lad os gå videre til en anden meningsfuld opgave.

Eksempel 8

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer,
Lad os præsentere ligningerne i "skole" form og lave en punkt-for-punkt tegning:

Af tegningen fremgår det tydeligt, at vores øvre grænse er "god": .
Men hvad er den nedre grænse?! Det er klart, at dette ikke er et heltal, men hvad er det? Måske ? Men hvor er garantien for, at tegningen er lavet med perfekt nøjagtighed, det kan godt vise sig, at... Eller roden. Hvad hvis vi byggede grafen forkert?

I sådanne tilfælde skal du bruge ekstra tid og afklare grænserne for integration analytisk.

Lad os finde skæringspunkterne for en ret linje og en parabel.
For at gøre dette løser vi ligningen:


,

Virkelig,.

Den yderligere løsning er triviel, det vigtigste er ikke at blive forvirret i substitutioner og tegn; beregningerne her er ikke de enkleste.

På segmentet , ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Nå, for at afslutte lektionen, lad os se på to mere vanskelige opgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne, ,

Løsning: Lad os afbilde denne figur på tegningen.

For fanden, jeg glemte at underskrive tidsplanen, og undskyld, jeg ville ikke lave billedet om. Ikke en tegnedag, kort sagt, i dag er dagen =)

For punkt-for-punkt konstruktion skal du kende udseendet af sinusoiden (og generelt er det nyttigt at kende graferne for alle elementære funktioner), såvel som nogle værdier af sinusen, de kan findes i den trigonometriske tabel. I nogle tilfælde (som i dette tilfælde) er det muligt at konstruere en skematisk tegning, hvorpå graferne og grænserne for integration skal vises grundlæggende korrekt.

Der er ingen problemer med grænserne for integration her; de følger direkte af betingelsen: "x" skifter fra nul til "pi". Lad os tage en yderligere beslutning:

På segmentet er grafen for funktionen placeret over aksen, derfor:

I denne artikel lærer du, hvordan du finder arealet af en figur afgrænset af linjer ved hjælp af integralberegninger. For første gang støder vi på formuleringen af ​​et sådant problem i gymnasiet, når vi netop har afsluttet studiet af bestemte integraler, og det er tid til at begynde den geometriske fortolkning af den erhvervede viden i praksis.

Så hvad kræves der for succesfuldt at løse problemet med at finde arealet af en figur ved hjælp af integraler:

• Evne til at lave kompetente tegninger;
• Evne til at løse et bestemt integral ved hjælp af den velkendte Newton-Leibniz formel;
• Evnen til at "se" en mere rentabel løsningsmulighed - dvs. forstå, hvordan det vil være mere bekvemt at udføre integration i et eller andet tilfælde? Langs x-aksen (OX) eller y-aksen (OY)?
• Nå, hvor ville vi være uden korrekte beregninger?) Dette inkluderer forståelse af, hvordan man løser den anden type integraler og korrekte numeriske beregninger.

Algoritme til at løse problemet med at beregne arealet af en figur afgrænset af linjer:

1. Vi bygger en tegning. Det er tilrådeligt at gøre dette på et ternet stykke papir, i stor skala. Vi underskriver navnet på denne funktion med en blyant over hver graf. Signering af graferne sker udelukkende for at lette yderligere beregninger. Efter at have modtaget en graf over den ønskede figur, vil det i de fleste tilfælde umiddelbart være klart, hvilke grænser for integration der vil blive brugt. Dermed løser vi problemet grafisk. Det sker dog, at grænseværdierne er brøkdele eller irrationelle. Derfor kan du foretage yderligere beregninger, gå til trin to.

2. Hvis grænserne for integration ikke er eksplicit specificeret, så finder vi grafernes skæringspunkter med hinanden og ser, om vores grafiske løsning falder sammen med den analytiske.

3. Dernæst skal du analysere tegningen. Afhængigt af hvordan funktionsgraferne er arrangeret, er der forskellige tilgange til at finde arealet af en figur. Lad os se på forskellige eksempler på at finde arealet af en figur ved hjælp af integraler.

3.1. Den mest klassiske og enkleste version af problemet er, når du skal finde området af en buet trapez. Hvad er en buet trapez? Dette er en flad figur begrænset af x-aksen (y = 0), rette linjer x = a, x = b og enhver kurve, der er kontinuert i intervallet fra a til b. Desuden er denne figur ikke-negativ og er placeret ikke under x-aksen. I dette tilfælde er arealet af den krumlinjede trapez numerisk lig med et bestemt integral, beregnet ved hjælp af Newton-Leibniz-formlen:

Eksempel 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Hvilke linjer er figuren afgrænset af? Vi har en parabel y = x2 - 3x + 3, som er placeret over OX-aksen, den er ikke-negativ, fordi alle punkter i denne parabel har positive værdier. Dernæst gives de rette linjer x = 1 og x = 3, som løber parallelt med op-amp'ens akse og er grænselinjerne for figuren til venstre og højre. Nå, y = 0, som også er x-aksen, som begrænser figuren nedefra. Den resulterende figur er skraveret, som det kan ses fra figuren til venstre. I dette tilfælde kan du straks begynde at løse problemet. Foran os er et simpelt eksempel på en buet trapez, som vi så løser ved hjælp af Newton-Leibniz formlen.

3.2. I det foregående afsnit 3.1 undersøgte vi tilfældet, hvor en buet trapez er placeret over x-aksen. Overvej nu tilfældet, når betingelserne for problemet er de samme, bortset fra at funktionen ligger under x-aksen. Et minus tilføjes til standard Newton-Leibniz-formlen. Vi vil overveje, hvordan man løser et sådant problem nedenfor.

Eksempel 2. Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

I dette eksempel har vi en parabel y = x2 + 6x + 2, som stammer fra under OX-aksen, rette linjer x = -4, x = -1, y = 0. Her begrænser y = 0 det ønskede tal fra oven. De rette linjer x = -4 og x = -1 er de grænser, inden for hvilke det bestemte integral vil blive beregnet. Princippet om at løse problemet med at finde arealet af en figur falder næsten fuldstændig sammen med eksempel nummer 1. Den eneste forskel er, at den givne funktion ikke er positiv og også er kontinuerlig i intervallet [-4; -1] . Hvad mener du med ikke positiv? Som det fremgår af figuren, har den figur, der ligger inden for de givne x'er, udelukkende "negative" koordinater, hvilket er det, vi skal se og huske, når vi løser problemet. Vi leder efter arealet af figuren ved hjælp af Newton-Leibniz-formlen, kun med et minustegn i begyndelsen.

Artiklen er ikke færdig.