Vidunderlige grænser for dummies. Den anden bemærkelsesværdige grænse: eksempler på at finde, problemer og detaljerede løsninger

Bevis:

Lad os først bevise sætningen for sekvensens tilfælde

Ifølge Newtons binomiale formel:

Forudsat at vi får

Af denne lighed (1) følger det, at når n stiger, stiger antallet af positive led på højre side. Derudover, når n stiger, falder tallet, så værdierne er stigende. Derfor rækkefølgen stigende, og (2)*Vi viser, at det er begrænset. Erstat hver parentes på højre side af ligheden med en, højre side vil stige, og vi får uligheden

Lad os styrke den resulterende ulighed, erstatte 3,4,5, ..., der står i nævnerne af brøkerne, med tallet 2: Vi finder summen i parentes ved hjælp af formlen for summen af ​​led i en geometrisk progression: Derfor (3)*

Så sekvensen er afgrænset ovenfra, og ulighederne (2) og (3) er opfyldt: Derfor, baseret på Weierstrass-sætningen (kriterium for konvergens af en sekvens), sekvensen monotont øges og er begrænset, hvilket betyder, at den har en grænse, angivet med bogstavet e. De der.

Ved at vide, at den anden bemærkelsesværdige grænse er sand for naturlige værdier af x, beviser vi den anden bemærkelsesværdige grænse for reelle x, det vil sige, vi beviser, at . Lad os overveje to tilfælde:

1. Lad hver værdi af x være indesluttet mellem to positive heltal: ,hvor er den heltallige del af x. => =>

Hvis, så Derfor, i henhold til grænsen Vi har

Baseret på kriteriet (om grænsen for en mellemfunktion) for eksistensen af ​​grænser

2. Lad . Lad os så lave substitutionen − x = t

Det følger af disse to sager for rigtig x.

Konsekvenser:

9 .) Sammenligning af infinitesimals. Sætningen om at erstatte infinitesimaler med ækvivalente i grænsen og sætningen om hoveddelen af ​​infinitesimaler.

Lad funktionerne a( x) og b( x) – b.m. på x ® x 0 .

DEFINITIONER.

1)a( x) hedder infinitesimal højere orden end b (x) Hvis

Skriv ned: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) Og b( x)hedder infinitesimals af samme orden, hvis

hvor CÎℝ og C¹ 0 .

Skriv ned: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) Og b( x) hedder tilsvarende , Hvis

Skriv ned: a( x) ~ b( x).

4)a( x) kaldes infinitesimal af orden k relativ
helt uendeligt lille b( x), hvis uendeligt lille en( x)Og(b( x))k har samme rækkefølge, dvs. Hvis

hvor CÎℝ og C¹ 0 .

SÆTNING 6 (om at erstatte infinitesimals med tilsvarende).

Lade en( x), b( x), en 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. ved x ® x 0 . Hvis en( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

At

Bevis: Lad en ( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Derefter

SÆTNING 7 (om hoveddelen af ​​infinitesimalen).

Lade en( x)Og b( x)– b.m. ved x ® x 0 , og b( x)– b.m. højere orden end en( x).

= , a siden b( x) – højere orden end en( x), så, dvs. fra det er klart, at en( x) + b( x) ~ a( x)

10) Kontinuitet af en funktion i et punkt (i sproget epsilon-delta, geometriske grænser) Ensidig kontinuitet. Kontinuitet på et interval, på et segment. Egenskaber ved kontinuerlige funktioner.

1. Grundlæggende definitioner

Lade f(x) er defineret i et eller andet område af punktet x 0 .

DEFINITION 1. Funktion f(x) hedder kontinuerlig på et punkt x 0 hvis ligestillingen er sand

Noter.

1) I kraft af sætning 5 §3 kan lighed (1) skrives på formen

Tilstand (2) – definition af kontinuitet af en funktion på et punkt i sproget med ensidige grænser.

2) Ligestilling (1) kan også skrives som:

De siger: "hvis en funktion er kontinuert i et punkt x 0, så kan fortegnet for grænsen og funktionen byttes."

DEFINITION 2 (i e-d sprog).

Funktion f(x) hedder kontinuerlig på et punkt x 0 Hvis"e>0 $d>0 sådan, Hvad

hvis x OU( x 0 , d) (dvs. | x – x 0 | < d),

derefter f(x)ÎU( f(x 0), e) (dvs. | f(x) – f(x 0) | < e).

Lade x, x 0 Î D(f) (x 0 - fast, x - vilkårlig)

Lad os betegne: D x= x – x 0 – argumentstigning

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – stigning af funktion ved pointx 0

DEFINITION 3 (geometrisk).

Funktion f(x) på hedder kontinuerlig på et punkt x 0 hvis på dette tidspunkt en infinitesimal stigning i argumentet svarer til en infinitesimal stigning i funktionen, dvs.

Lad funktionen f(x) er defineret på intervallet [ x 0 ; x 0 + d) (på intervallet ( x 0 – d; x 0 ]).

DEFINITION. Funktion f(x) hedder kontinuerlig på et punkt x 0 til højre (venstre ), hvis ligestillingen er sand

Det er indlysende f(x) er kontinuerlig på punktet x 0 Û f(x) er kontinuerlig på punktet x 0 højre og venstre.

DEFINITION. Funktion f(x) hedder kontinuerlig i et interval e ( -en; b) hvis den er kontinuerlig på hvert punkt i dette interval.

Funktion f(x) kaldes kontinuert på segmentet [-en; b] hvis den er kontinuerlig i intervallet (-en; b) og har envejskontinuitet ved grænsepunkterne(dvs. kontinuerlig på punktet -en til højre, ved punktet b- venstre).

11) Brydepunkter, deres klassificering

DEFINITION. Hvis funktion f(x) defineret i et eller andet område af punkt x 0 , men er altså ikke kontinuerlig på dette tidspunkt f(x) kaldet diskontinuerlig i punkt x 0 , og selve punktet x 0 kaldet knækpunktet funktioner f(x) .

Noter.

1) f(x) kan defineres i et ufuldstændigt område af punktet x 0 .

Overvej derefter den tilsvarende ensidige kontinuitet af funktionen.

2) Ud fra definitionen af ​​Þ-punkt x 0 er knækpunktet for funktionen f(x) i to tilfælde:

a) U( x 0 , d)О D(f) , men for f(x) lighed holder ikke

b) U * ( x 0 , d)О D(f) .

For elementære funktioner er kun tilfælde b) muligt.

Lade x 0 – funktionsbrudpunkt f(x) .

DEFINITION. Punkt x 0 hedder brudpunkt jeg På en måde hvis funktion f(x)har endelige grænser til venstre og højre på dette tidspunkt.

Hvis disse grænser er ens, så punkt x 0 hedder aftageligt knækpunkt , Ellers - springpunkt .

DEFINITION. Punkt x 0 hedder brudpunkt II På en måde hvis mindst en af ​​funktionens ensidige grænser f(x)på dette tidspunkt er lige¥ eller eksisterer ikke.

12) Egenskaber for funktioner kontinuerlige på et interval (sætninger af Weierstrass (uden bevis) og Cauchy

Weierstrass' sætning

Lad da funktionen f(x) være kontinuert på intervallet

1)f(x)er begrænset til

2) f(x) tager sin mindste og største værdi på intervallet

Definition: Værdien af ​​funktionen m=f kaldes den mindste, hvis m≤f(x) for enhver x€ D(f).

Værdien af ​​funktionen m=f siges at være størst, hvis m≥f(x) for enhver x € D(f).

Funktionen kan antage den mindste/største værdi på flere punkter i segmentet.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchys sætning.

Lad funktionen f(x) være kontinuert på segmentet og x være tallet indeholdt mellem f(a) og f(b), så er der mindst et punkt x 0 € sådan at f(x 0)= g

Fra ovenstående artikel kan du finde ud af, hvad grænsen er, og hvad det spises med – det er MEGET vigtigt. Hvorfor? Du forstår måske ikke, hvad determinanter er og løser dem med succes; du forstår måske slet ikke, hvad en derivat er, og finder dem med et "A". Men hvis du ikke forstår, hvad en grænse er, så vil det være svært at løse praktiske opgaver. Det vil også være en god idé at sætte dig ind i prøveløsningerne og mine designanbefalinger. Al information præsenteres i en enkel og tilgængelig form.

Og til formålet med denne lektion skal vi bruge følgende undervisningsmateriale: Vidunderlige grænser Og Trigonometriske formler. De kan findes på siden. Det er bedst at printe manualerne ud - det er meget mere praktisk, og desuden skal du ofte henvise til dem offline.

Hvad er så specielt ved bemærkelsesværdige grænser? Det bemærkelsesværdige ved disse grænser er, at de blev bevist af de største hjerner hos berømte matematikere, og taknemmelige efterkommere behøver ikke at lide under forfærdelige grænser med en bunke trigonometriske funktioner, logaritmer, potenser. Det vil sige, at når vi skal finde grænserne, vil vi bruge færdige resultater, der er bevist teoretisk.

Der er flere vidunderlige grænser, men i praksis har deltidsstuderende i 95% af tilfældene to vidunderlige grænser: Den første vidunderlige grænse, Anden vidunderlige grænse. Det skal bemærkes, at det er historisk etablerede navne, og når de for eksempel taler om "den første bemærkelsesværdige grænse", mener de med dette en meget specifik ting, og ikke en tilfældig grænse taget fra loftet.

Den første vidunderlige grænse

Overvej følgende grænse: (i stedet for det indfødte bogstav "han" vil jeg bruge det græske bogstav "alfa", dette er mere bekvemt med hensyn til at præsentere materialet).

I henhold til vores regel for at finde grænser (se artiklen Grænser. Eksempler på løsninger) vi forsøger at erstatte nul i funktionen: i tælleren får vi nul (sinus af nul er nul), og i nævneren er der naturligvis også nul. Vi står således med en formusikkerhed, som heldigvis ikke skal oplyses. I løbet af matematisk analyse er det bevist, at:

Dette matematiske faktum kaldes Den første vidunderlige grænse. Jeg vil ikke give et analytisk bevis for grænsen, men vi vil se på dens geometriske betydning i lektionen om infinitesimale funktioner.

Ofte i praktiske opgaver kan funktioner arrangeres anderledes, dette ændrer ikke noget:

- den samme første vidunderlige grænse.

Men du kan ikke selv omarrangere tælleren og nævneren! Hvis der er angivet en grænse i formen , så skal den løses i samme form uden at omarrangere noget.

I praksis kan ikke kun en variabel, men også en elementær funktion eller en kompleks funktion fungere som en parameter. Det eneste vigtige er, at det har en tendens til nul.

Eksempler:
, , ,

Her , , , , og alt er godt - den første vidunderlige grænse er gældende.

Men følgende indlæg er kætteri:

Hvorfor? Fordi polynomiet ikke har en tendens til nul, har det en tendens til fem.

Forresten et hurtigt spørgsmål: hvad er grænsen? ? Svaret kan findes i slutningen af ​​lektionen.

I praksis er alt ikke så glat, næsten aldrig tilbydes en studerende at løse en gratis grænse og få et let beståelse. Hmmm... jeg skriver disse linjer, og en meget vigtig tanke kom til at tænke på - det er trods alt bedre at huske "gratis" matematiske definitioner og formler udenad, dette kan give uvurderlig hjælp i testen, når spørgsmålet vil afgøres mellem "to" og "tre", og læreren beslutter sig for at stille eleven et simpelt spørgsmål eller tilbyde at løse et simpelt eksempel ("måske ved han(e) hvad?!").

Lad os gå videre til at overveje praktiske eksempler:

Eksempel 1

Find grænsen

Hvis vi bemærker en sinus i grænsen, så burde dette straks få os til at tænke over muligheden for at anvende den første bemærkelsesværdige grænse.

Først forsøger vi at erstatte 0 i udtrykket under grænsetegnet (vi gør dette mentalt eller i et udkast):

Så vi har en usikkerhed om formen sørg for at angive i at træffe en beslutning. Udtrykket under grænsetegnet ligner den første vidunderlige grænse, men det er ikke ligefrem det, det er under sinus, men i nævneren.

I sådanne tilfælde skal vi selv organisere den første bemærkelsesværdige grænse ved hjælp af en kunstig teknik. Begrundelsen kunne være som følger: "under sinus har vi , hvilket betyder, at vi også skal ind i nævneren."
Og dette gøres meget enkelt:

Det vil sige, at nævneren er kunstigt ganget i dette tilfælde med 7 og divideret med de samme syv. Nu har vores optagelse fået en velkendt form.
Når opgaven er tegnet i hånden, er det tilrådeligt at markere den første bemærkelsesværdige grænse med en simpel blyant:

Hvad skete der? Faktisk blev vores omkredsede udtryk til en enhed og forsvandt i værket:

Nu er der kun tilbage at slippe af med den tre-etagers fraktion:

Hvem har glemt forenklingen af ​​brøker på flere niveauer, opdater venligst materialet i opslagsbogen Hot formler for skole matematik kursus .

Parat. Endeligt svar:

Hvis du ikke ønsker at bruge blyantmærker, så kan løsningen skrives sådan:

“

Lad os bruge den første vidunderlige grænse

“

Eksempel 2

Find grænsen

Igen ser vi en brøk og en sinus i grænsen. Lad os prøve at erstatte nul i tælleren og nævneren:

Vi har faktisk usikkerhed, og derfor er vi nødt til at prøve at organisere den første vidunderlige grænse. Ved lektionen Grænser. Eksempler på løsninger vi overvejede reglen om, at når vi har usikkerhed, skal vi faktorisere tælleren og nævneren. Her er det det samme, vi repræsenterer graderne som et produkt (multiplikatorer):

I lighed med det foregående eksempel tegner vi en blyant rundt om de bemærkelsesværdige grænser (her er der to af dem) og angiver, at de har en tendens til enhed:

Faktisk er svaret klar:

I de følgende eksempler vil jeg ikke lave kunst i Paint, jeg tænker på, hvordan man korrekt tegner en løsning i en notesbog - du forstår allerede.

Eksempel 3

Find grænsen

Vi erstatter nul i udtrykket under grænsetegnet:

Der er opnået en usikkerhed, som skal oplyses. Hvis der er en tangent i grænsen, så konverteres den næsten altid til sinus og cosinus ved hjælp af den velkendte trigonometriske formel (de gør i øvrigt nogenlunde det samme med cotangens, se metodisk materiale Hot trigonometriske formler På siden Matematiske formler, tabeller og referencematerialer).

I dette tilfælde:

Cosinus af nul er lig med én, og det er nemt at slippe af med det (glem ikke at markere, at det har tendens til én):

Så hvis cosinus i grænsen er en MULTIPLIER, så skal den groft sagt omdannes til en enhed, som forsvinder i produktet.

Her viste alt sig enklere, uden nogen form for multiplikationer og divisioner. Den første bemærkelsesværdige grænse bliver også til en og forsvinder i produktet:

Som et resultat opnås uendelighed, og dette sker.

Eksempel 4

Find grænsen

Lad os prøve at erstatte nul i tælleren og nævneren:

Usikkerheden opnås (cosinus af nul, som vi husker, er lig med en)

Vi bruger den trigonometriske formel. Tage til efterretning! Af en eller anden grund er grænser ved brug af denne formel meget almindelige.

Lad os flytte de konstante faktorer ud over grænseikonet:

Lad os organisere den første vidunderlige grænse:

Her har vi kun én bemærkelsesværdig grænse, som bliver til én og forsvinder i produktet:

Lad os slippe af med den tre-etagers struktur:

Grænsen er faktisk løst, vi angiver, at den resterende sinus har en tendens til nul:

Eksempel 5

Find grænsen

Dette eksempel er mere kompliceret, prøv at finde ud af det selv:

Nogle grænser kan reduceres til den 1. bemærkelsesværdige grænse ved at ændre en variabel, det kan du læse om lidt senere i artiklen Metoder til at løse grænser.

Anden vidunderlige grænse

I teorien om matematisk analyse er det blevet bevist, at:

Dette faktum kaldes anden vidunderlig grænse.

Reference: er et irrationelt tal.

Parameteren kan ikke kun være en variabel, men også en kompleks funktion. Det eneste vigtige er, at den stræber efter uendelighed.

Eksempel 6

Find grænsen

Når udtrykket under grænsetegnet er i en grad, er dette det første tegn på, at du skal prøve at anvende den anden vidunderlige grænse.

Men først, som altid, forsøger vi at erstatte et uendeligt stort tal i udtrykket, princippet, hvorved dette gøres, diskuteres i lektionen Grænser. Eksempler på løsninger.

Det er let at bemærke, at når bunden af ​​graden er , og eksponenten er , det vil sige, at der er usikkerhed om formen:

Denne usikkerhed afsløres netop ved hjælp af den anden bemærkelsesværdige grænse. Men som det ofte sker, ligger den anden vidunderlige grænse ikke på et sølvfad, og den skal organiseres kunstigt. Du kan ræsonnere som følger: I dette eksempel er parameteren , hvilket betyder, at vi også skal organisere i indikatoren. For at gøre dette hæver vi basen til magten, og for at udtrykket ikke ændrer sig, hæver vi det til magten:

Når opgaven er udført i hånden, markerer vi med en blyant:

Næsten alt er klar, den frygtelige grad er blevet til et pænt brev:

I dette tilfælde flytter vi selve grænseikonet til indikatoren:

Eksempel 7

Find grænsen

Opmærksomhed! Denne type grænse forekommer meget ofte, læs venligst dette eksempel meget omhyggeligt.

Lad os prøve at erstatte et uendeligt stort tal i udtrykket under grænsetegnet:

Resultatet er usikkerhed. Men den anden bemærkelsesværdige grænse gælder for formens usikkerhed. Hvad skal man gøre? Vi er nødt til at konvertere gradens basis. Vi ræsonnerer sådan: i nævneren har vi , hvilket betyder, at vi i tælleren også skal organisere .

Formlen for den anden bemærkelsesværdige grænse er lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. En anden skriveform ser sådan ud: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Når vi taler om den anden bemærkelsesværdige grænse, er vi nødt til at forholde os til usikkerheden på formen 1 ∞, dvs. enhed i uendelig grad.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lad os overveje problemer, hvor evnen til at beregne den anden bemærkelsesværdige grænse vil være nyttig.

Eksempel 1

Find grænsen lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Løsning

Lad os erstatte den nødvendige formel og udføre beregningerne.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Vores svar viste sig at være et til uendelighedens magt. Til at bestemme løsningsmetoden bruger vi usikkerhedstabellen. Lad os vælge den anden bemærkelsesværdige grænse og foretage en ændring af variabler.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Hvis x → ∞, så t → - ∞.

Lad os se, hvad vi fik efter udskiftningen:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = grænse t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Svar: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Eksempel 2

Beregn grænsen lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Løsning

Lad os erstatte uendelighed og få følgende.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

I svaret fik vi igen det samme som i den forrige opgave, derfor kan vi igen bruge den anden bemærkelsesværdige grænse. Dernæst skal vi vælge hele delen i bunden af ​​strømfunktionen:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Herefter antager grænsen følgende form:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Udskift variabler. Lad os antage, at t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; hvis x → ∞, så t → ∞.

Derefter skriver vi ned, hvad vi fik i den oprindelige grænse:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

For at udføre denne transformation brugte vi de grundlæggende egenskaber ved grænser og kræfter.

Svar: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Eksempel 3

Beregn grænsen lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5.

Løsning

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Derefter skal vi transformere funktionen for at anvende den anden store grænse. Vi fik følgende:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Da vi nu har de samme eksponenter i brøkens tæller og nævner (lig med seks), vil grænsen for brøken ved uendelig være lig med forholdet mellem disse koefficienter ved højere potenser.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Ved at erstatte t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 får vi en anden bemærkelsesværdig grænse. Betyder hvad:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Svar: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

konklusioner

Usikkerhed 1 ∞, dvs. enhed til en uendelig potens er en magtlovsusikkerhed, derfor kan den afsløres ved hjælp af reglerne for at finde grænserne for eksponentielle potensfunktioner.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Lad os nu, med en rolig sjæl, gå videre til at overveje vidunderlige grænser.
ligner .

I stedet for variablen x kan forskellige funktioner være til stede, det vigtigste er, at de har en tendens til 0.

Det er nødvendigt at beregne grænsen

Som du kan se, er denne grænse meget lig den første bemærkelsesværdige, men det er ikke helt sandt. Generelt, hvis du bemærker synd i grænsen, så bør du straks tænke over, om det er muligt at bruge den første bemærkelsesværdige grænse.

I henhold til vores regel nr. 1 erstatter vi nul i stedet for x:

Vi får usikkerhed.

Lad os nu prøve at organisere den første vidunderlige grænse selv. For at gøre dette, lad os lave en simpel kombination:

Så vi organiserer tælleren og nævneren for at fremhæve 7x. Nu er den velkendte bemærkelsesværdige grænse allerede dukket op. Det er tilrådeligt at fremhæve det, når du beslutter dig:

Lad os erstatte løsningen med det første bemærkelsesværdige eksempel og få:

Forenkling af brøken:

Svar: 7/3.

Som du kan se, er alt meget enkelt.

Ligner , hvor e = 2,718281828... er et irrationelt tal.

Forskellige funktioner kan være til stede i stedet for variablen x, det vigtigste er, at de har en tendens til .

Det er nødvendigt at beregne grænsen

Her ser vi tilstedeværelsen af ​​en grad under tegnet af en grænse, hvilket betyder, at det er muligt at bruge en anden bemærkelsesværdig grænse.

Som altid vil vi bruge regel nr. 1 - erstatte x i stedet for:

Det kan ses, at ved x er gradens basis , og eksponenten er 4x > , dvs. får vi en usikkerhed på formen:

Lad os bruge den anden vidunderlige grænse til at afsløre vores usikkerhed, men først skal vi organisere den. Som du kan se, skal vi opnå tilstedeværelse i indikatoren, for hvilken vi hæver basen til styrken 3x og samtidig til styrken 1/3x, så udtrykket ikke ændres:

Glem ikke at fremhæve vores vidunderlige grænse:

Det er, hvad de virkelig er vidunderlige grænser!
Hvis du stadig har spørgsmål vedr den første og anden vidunderlige grænse, så er du velkommen til at spørge dem i kommentarerne.
Vi vil svare alle så meget som muligt.

Du kan også arbejde sammen med en lærer om dette emne.
Vi er glade for at kunne tilbyde dig tjenesterne ved at vælge en kvalificeret vejleder i din by. Vores partnere vil hurtigt udvælge en god lærer til dig på favorable vilkår.

Ikke nok information? - Du kan !

Du kan skrive matematiske beregninger i notesblokke. Det er meget mere behageligt at skrive individuelt i notesbøger med et logo (http://www.blocnot.ru).

Denne artikel: "Den anden bemærkelsesværdige grænse" er afsat til offentliggørelsen inden for grænserne af usikkerhederne i formularen:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ og $ ^\infty $.

Sådanne usikkerheder kan også afsløres ved hjælp af logaritmen af ​​den eksponentielle funktion, men dette er en anden løsningsmetode, som vil blive dækket i en anden artikel.

Formel og konsekvenser

Formel den anden bemærkelsesværdige grænse er skrevet som følger: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( hvor ) e \ca. 2,718 $$

Det følger af formlen konsekvenser, som er meget praktiske at bruge til at løse eksempler med grænser: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( hvor ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Det er værd at bemærke, at den anden bemærkelsesværdige grænse ikke altid kan anvendes på en eksponentiel funktion, men kun i tilfælde, hvor basen har en tendens til enhed. For at gøre dette skal du først mentalt beregne grænsen for basen og derefter drage konklusioner. Alt dette vil blive diskuteret i eksempler på løsninger.

Eksempler på løsninger

Lad os se på eksempler på løsninger, der bruger den direkte formel og dens konsekvenser. Vi vil også analysere tilfælde, hvor formlen ikke er nødvendig. Det er nok kun at skrive et klart svar ned.

Lad os undersøge tilfælde, hvor problemet ligner den anden bemærkelsesværdige grænse, men kan løses uden det.

I artiklen: "Den anden bemærkelsesværdige grænse: eksempler på løsninger" blev formlen, dens konsekvenser analyseret, og almindelige typer problemer om dette emne blev givet.