Järjekorrasüsteemide analüütilised mudelid. Squeak: Modeling Queuing Systems

Viimastel aastakümnetel on erinevates rahvamajanduse valdkondades tekkinud vajadus lahendada järjekorrasüsteemide toimimisega seotud tõenäosusprobleeme. Sellised süsteemid on näiteks telefonikeskjaamad, remonditöökojad, jaemüügiettevõtted, piletikassad jne. Iga järjekorrasüsteemi ülesanne on teenindada sinna sisenevate nõudmiste voogu (abonentide kõned, poodi tulevad kliendid, nõuded töökojas teha jne).
Reaalsete järjekorrasüsteemide mudeleid uurivat matemaatilist distsipliini nimetatakse järjekorrateooriaks. Järjekorrateooria ülesandeks on tuvastada järjekorrasüsteemi tulemusnäitajate (päringu teenindamise tõenäosus; teenindatud päringute arvu matemaatiline ootus jne) sõltuvus sisendnäitajatest (päringu arv). süsteemis olevad seadmed, päringute sissetuleva voo parameetrid jne .) selliseid sõltuvusi on võimalik valemi kujul tuvastada ainult lihtsate järjekorrasüsteemide jaoks. Reaalsete süsteemide uurimine toimub nende toimimise imiteerimise või modelleerimisega arvutis statistilise testimise meetodil.
Järjekorrasüsteem loetakse määratletuks, kui:
1) sissetulev nõuete voog ehk teisisõnu jaotusseadus, mis iseloomustab nõuete süsteemi sisenemise ajahetki. Nõuete algpõhjust nimetatakse allikaks. Järgnevalt nõustume eeldama, et allikal on piiramatu arv nõudeid ja nõuded on homogeensed, st erinevad ainult süsteemi ilmumise hetkede poolest;
2) salvestusseadmest ja teenindusüksusest koosnev teenindussüsteem. Viimane tähistab ühte või mitut teenindusseadet, mida nimetame edaspidi seadmeteks. Iga taotlus peab saabuma ühte seadmesse, et seda saaks teenindada. Võib juhtuda, et nõuded peavad ootama, kuni seadmed muutuvad kättesaadavaks. Sel juhul asuvad päringud mahajäämuses, moodustades ühe või mitu järjekorda. Oletame, et päringu edastamine salvestusseadmest teenindussõlme toimub koheselt;
3) iga seadme poolt päringu teenindamise aeg, mis on juhuslik suurus ja mida iseloomustab kindel jaotusseadus;
4) ootamise distsipliin ehk reeglistik, mis reguleerib süsteemis samal ajahetkel paiknevate nõuete hulka. Süsteemi, milles taotlus lükatakse tagasi, kui kõik serverid on hõivatud, nimetatakse ootevabaks süsteemiks. Kui päring leiab, et kõik seadmed on hõivatud, pannakse see järjekorda ja ootab kuni
kuni üks seadmetest saadavale ei tule, nimetatakse sellist süsteemi puhtaks ootesüsteemiks. Segajärjekorrasüsteemiks nimetatakse süsteemi, milles kõik seadmed hõivatuks tunnistav nõudlus seatakse järjekorda ainult siis, kui päringute arv süsteemis ei ületa teatud taset (vastasel juhul läheb nõudlus kaotsi);
5) teenindusdistsipliin, s.o reeglistik, mille järgi valitakse teenindusjärjekorrast nõue. Praktikas kasutatakse kõige sagedamini järgmisi reegleid:
- avaldusi võetakse kätte kättetoimetamise järjekorras;
- taotlusi võetakse kätte vastavalt keeldumise saamise miinimumajale;
- taotlusi võetakse kätte juhuslikus järjekorras vastavalt kindlaksmääratud tõenäosustele;
6) järjekorradistsipliin, s.o. reeglistik, mille järgi päring eelistab üht või teist järjekorda (kui neid on mitu) ja asub valitud järjekorras. Näiteks võib sissetulev päring toimuda lühimas järjekorras; selles järjekorras võib see asuda viimasena (sellist järjekorda nimetatakse tellituks) või minna teenindusse ka väljaspool korda. Võimalikud on ka muud variandid.

Järjekorrasüsteemide simulatsioonmodelleerimine

1 Väliskujundus

2 Sisekujundus - üksikute elementide disain
süsteemid

3 Juhusliku päringuvoo teostuste moodustamine

5 QS modelleerimise näide
Kaaluge järgmist süsteemi:
1 Nõuded saabuvad juhuslikel aegadel, koos
kahe järjestikuse nõude vahelisel ajaintervallil Q on parameetriga eksponentsiaalne seadus mina, st jaotusfunktsioonil on vorm
>0. (11) Teenindussüsteem koosneb identsetest nummerdatud seadmetest.
3 Aeg T umbes bsl - juhuslik muutuja, millel on segmendil ühtne jaotusseadus.
4 Süsteem ilma ootamiseta, st. taotlus, mis leiab, et kõik seadmed on hõivatud, lahkub süsteemist.
5 Teenindusdistsipliin on järgmine: kui k-nda päringu saabumise hetkel on esimene server vaba, siis alustab ta päringu teenindamist; kui see seade on hõivatud ja teine ​​on vaba, siis teenindab päringut teine ​​seade jne.
On vaja hinnata matemaatilisi ootusi süsteemi poolt aja T ajal teenindatud ja tagasilükatud päringute arvu kohta.
Algseks arvutusmomendiks valime esimese nõude saabumise hetke T1=0. Tutvustame järgmist tähistust: Tk on k-nda päringu saabumise hetk; ti on i-nda seadme poolt päringu teenindamise lõpetamise hetk, i=1, 2, 3, ...,s.
Oletame, et hetkel T 1 on kõik seadmed vabad.
Esimene nõudlus saabub seadmesse 1. Selle seadme teenindusaeg jaguneb segmendis ühtlaselt. Seetõttu leiame valemi abil selle aja tobsl konkreetse väärtuse
(12)
kus r on juhusliku suuruse R väärtus, mis on segmendis ühtlaselt jaotunud. Seade 1 on hõivatud aja t umbes bsl. Seetõttu tuleks seadme 1 päringu teenindamise lõpu ajahetke t 1 pidada võrdseks: t 1 = T1+ t o bsl.
Seejärel lisage üks esitatud päringute loendurile ja jätkake järgmise päringu kaalumisega.
Oletame, et k nõudeid on juba arvestatud. Määrame (k+1)-nda nõudluse saabumise hetke T k+1. Selleks leiame järjestikuste nõuete vahelise ajaintervalli väärtuse t. Kuna sellel intervallil on eksponentsiaalseadus, siis
12
x = - in r (13)
| Ll
kus r on juhusliku suuruse R järgmine väärtus. Siis (k+1)-nda nõude saabumise hetk: T k +1 = Tk+ T.
Kas esimene seade on praegu vaba? Sellele küsimusele vastamiseks peate kontrollima tingimust ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>T k +1, siis esimene seade hetkel T k +1 on hõivatud. Sel juhul kontrollime, kas teine ​​seade on vaba. Kui tingimus i 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, siis kontrollime tingimust 1з<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >T k +1, siis hetkel T k +1 on kõik seadmed hõivatud. Sel juhul lisame rikete loendurile ühe ja liigume edasi järgmise nõude juurde. Iga kord, pärast T k +1 arvutamist, on vaja kontrollida rakendamise lõpu tingimust: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
Korrates sellist testi n korda (kasutades erinevat r-i) ja keskmistades katsetulemusi, määrame esitatud taotluste arvu ja tagasilükatud taotluste arvu matemaatiliste ootuste hinnangud:
(14)
(Ji
n j = 1
kus (n obsl) j ja (n otk) j on n obsl ja n otk väärtused j-ndas katses.
13

Kasutatud allikate loetelu
1 Emelyanov A.A. Majandusprotsesside simulatsioonmodelleerimine [Tekst]: Õpik. käsiraamat ülikoolidele / A.A. Emelyanov, E.A. Vlasova, R.V. arvasin. - M.: Rahandus ja statistika, 2002. - 368 lk.
2 Buslenko, N.P. Keeruliste süsteemide modelleerimine [Tekst]/ N.P. Buslenko. - M.: Nauka, 1978. - 399 lk.
3 Nõukogude B.Ya. Süsteemide modelleerimine [Tekst]: Õpik. ülikoolidele / B.Ya. Sovetov, S.A. Jakovlev. -M. : Kõrgem kool, 1985. - 271 lk.
4 Nõukogude B.Ya. Süsteemide modelleerimine [Tekst]: Laboratoorsed praktilised tööd: Proc. juhend ülikoolidele erialal: "Automaatne infotöötlus- ja juhtimissüsteem." / B.Ya. Sovetov, S.A. Jakovlev. -M. : Kõrgem kool, 1989. - 80 lk.
5 Maksimey I.V. Simulatsiooni modelleerimine arvutis [Tekst]/ Maksimey, I.V. -M: RAADIO JA SIDE, 1988. - 231 lk.
6 Ventzel E.S. Tõenäosusteooria [Tekst]: õpik. ülikoolidele / E.S. Vent värav.- M.: Kõrgem. kool, 2001. - 575 lk.
7 Gmurman, V.E. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika [Tekst]: õpik. toetus / V.E. Gmurman.- M.: Kõrgem. kool, 2001. - 479 lk.
Lisa A
(nõutud)
Arvutamise ja graafilise töö ligikaudsed teemad
1 Kiirabis töötab ainult üks arst. Patsiendi ravi kestus
ja patsientide vastuvõtu vahelised ajaintervallid on juhuslikud muutujad, mis on jaotatud vastavalt Poissoni seadusele. Vigastuste raskusastme alusel jagatakse patsiendid kolme kategooriasse, mis tahes kategooria patsiendi vastuvõtt on võrdse tõenäosusjaotusega juhuslik sündmus. Arst tegeleb esmalt kõige raskemate vigastustega patsientidega (nende saamise järjekorras), seejärel nende puudumisel keskmise raskusega patsientidega ja alles seejärel kergemate vigastustega patsientidega. Modelleerige protsess ja hinnake iga kategooria patsientide keskmisi ooteaegu.
2 Linna mootorsõidukipargis on kaks remonditsooni. Esimene teenindab lühi- ja keskmise kestusega remonti, teine ​​- keskmist ja pikka. Rikete ilmnemisel toimetatakse sõidukid parki; tarnete vaheline ajavahemik on juhuslik Poissoni muutuja. Remondi kestus on normaaljaotuse seadusega juhuslik suurus. Modelleerige kirjeldatud süsteem. Hinnake vastavalt lühi-, kesk- ja pikaajalist remonti vajavate sõidukite keskmisi ooteaegu järjekorras.
3 Ühe kontroller-kassapidajaga minimarket teenindab kliente, kelle sissetulev voog järgib Poissoni seadust parameetriga 20 klienti/tund. Viige läbi kirjeldatud protsessi simulatsioon ja määrake kontrolleri - kassapidaja seisaku tõenäosus, järjekorra pikkus, keskmine klientide arv minimarketis, keskmine teeninduse ooteaeg, klientide keskmine tööaeg. minimarketi ja hindab selle tööd.
4 ATS võtab vastu kaugkõnede päringuid. Kliendivoog on Poisson. Keskmiselt laekub tunnis 13 avaldust. Leidke keskmine taotluste arv päevas, keskmine aeg taotluste ilmumise vahel. Telefonijaam kogeb tõrkeid, kui poole tunni jooksul saabub üle 50 päringu. Leidke jaama rikke tõenäosus.
5 Teenindusjaam saab kõige lihtsama
jooksvad päringud intensiivsusega 1 auto 2 tunni kohta.. Hoovis ei tohi järjekorras olla rohkem kui 3 autot. Keskmine remondiaeg on 2 tundi. Hinnake ühise turukorralduse toimimist ja töötage välja soovitused teenuse parandamiseks.
6 Üks kuduja teenindab kangastelgede rühma, teostades vajadusel lühiajalist sekkumist, mille kestus on juhuslik suurus. Simuleeri kirjeldatud olukorda. Kui suur on kahe masina korraga seisaku tõenäosus? Kui pikk on ühe masina keskmine seisakuaeg?
7 Kaugtelefonijaamas teenindavad kaks telefonioperaatorit ühist tellimuste järjekorda. Järgmise tellimuse teenindab telefonioperaator, kes sai esimesena kättesaadavaks. Kui mõlemad on tellimuse vastuvõtmise ajal hõivatud, siis kõne tühistatakse. Modelleerige protsessi, võttes sisendvoogudeks Poissoni.
8 Kiirabis töötab kaks arsti. Ravi kestus on valus
ja patsientide vastuvõttude vahelised ajavahemikud on juhuslikud muutujad, mis on jaotatud vastavalt Poissoni seadusele. Vigastuste raskusastme järgi jaotatakse patsiendid kolme kategooriasse, ükskõik millise kategooria patsiendi vastuvõtt on juhuslik sündmus, mille jaotus on sama tõenäoline. Arst tegeleb esmalt kõige raskemate vigastustega patsientidega (vastuvõtu järjekorras), seejärel nende puudumisel keskmise raskusega patsientidega ja alles seejärel kergemate vigastustega patsientidega. Modelleerige protsess ja hinnake iga kategooria patsientide keskmisi ooteaegu.
9 Kaugtelefoni keskjaamas teenindas kaks telefonioperaatorit
luua üldine tellimuste järjekord. Järgmise tellimuse teenindab see telefonioperaator,
kes end esimesena vabastas. Kui mõlemad on tellimuse saabumise ajal hõivatud, tekib järjekord. Modelleerige protsessi, võttes sisendvoogudeks Poissoni.
10 Andmeedastussüsteemis vahetatakse andmepakette sõlmede A ja B vahel duplekssidekanali kaudu. Abonentidelt saabuvad paketid süsteemipunktidesse 10 ± 3 ms intervalliga. Paketi edastamine võtab aega 10 ms. Punktidel on puhverregistrid, mis võivad salvestada kahte paketti, sealhulgas edastatava. Kui pakett saabub siis, kui registrid on hõivatud, tagatakse süsteemipunktidele juurdepääs satelliidi poolduplekssideliinile, mis edastab andmepaketid 10 ± 5 ms jooksul. Kui satelliidi liin on hõivatud, lükatakse pakett tagasi. Modelleerida infovahetust andmeedastussüsteemis 1 minut. Määrake satelliidiliini kõnede sagedus ja selle koormus. Võimalike rikete korral määrata süsteemi tõrkevabaks tööks vajalike puhverregistrite maht.
11 Olgu ühe sisendiga telefonikeskjaamas kasutusel tavapärane süsteem: kui abonent on hõivatud, siis järjekorda ei teki ja tuleb uuesti helistada. Simuleerige olukorda: kolm abonenti proovivad helistada sama numbri omanikule ja kui see õnnestub, vestlevad temaga mõnda aega (juhusliku kestusega). Kui suur on tõenäosus, et keegi, kes proovib helistada, ei saa seda teatud aja jooksul teha T.
12 Kaubandusettevõte plaanib täita telefoni teel kaupade ostutellimusi, mille jaoks on vaja paigaldada vastav mini-PBX mitme telefoniaparaadiga. Kui tellimus saabub siis, kui kõik liinid on hõivatud, keeldutakse kliendist. Kui ilmumise saamise hetkel on vähemalt üks rida vaba, siis lülitub sellele reale ja vormistatakse tellimus. Sissetulevate taotluste voo intensiivsus on 30 tellimust tunnis. Taotluse keskmine menetlusaeg on 5 minutit. Määrake optimaalne teeninduskanalite arv, et tagada QS-i statsionaarne töö.
13 Iseteeninduspoes on 6 kontrollerit - kassapidajat. Sissetulev klientide voog järgib Poissoni seadust intensiivsusega 120 inimest/tunnis. Üks kassapidaja suudab teenindada 40 inimest tunnis. Määrake kassapidaja jõudeoleku tõenäosus, keskmine klientide arv järjekorras, keskmine ooteaeg, keskmine hõivatud kassapidajate arv. Hinnake QS-i tööd.
14 Iseteeninduspood saab Poissoni voolu intensiivsusega 200 klienti tunnis. Päeva jooksul teenindavad neid 3 kassakontrolöri intensiivsusega 90 klienti tunnis. Sissetuleva klientide voo intensiivsus tipptundidel kasvab 400 kliendini tunnis ja madalseisu ajal 100 kliendini tunnis. Määrake kaupluses järjekorra tekkimise tõenäosus ja keskmine järjekorra pikkus ööpäeva jooksul, samuti vajalik kassapidajate arv tipp- ja väljaspool tipptundi, tagades järjekorra ühepikkuse ja tekkimise tõenäosuse nagu nominaalrežiimis.
15 Keskmine iseteeninduskaupluse maksekeskusesse saabuvate klientide arv on 100 inimest/tunnis. Kassiir suudab teenindada 60 inimest tunnis. Modelleerige protsess ja määrake, kui palju kassapidajaid on vaja, et järjekorra tõenäosus ei ületaks 0,6.
16 Simuleerida järjekorda poes ühe müüjaga juhuslike suuruste võrdsete jaotusseaduste alusel: klientide saabumine ja teenuse kestus (mõne fikseeritud parameetrite komplektiga). Saavutage stabiilsed omadused: ostja järjekorras ootamise keskmised väärtused ja müüja jõudeaeg ostjate saabumist oodates. Hinnake nende usaldusväärsust.
17 Simuleerida poes järjekorda ühe müüjaga juhuslike muutujate jaotuse Poissoni seaduste järgi: klientide saabumine ja teenuse kestus (mõningate fikseeritud parameetritega). Saavutage stabiilsed omadused: ostja järjekorras ootamise keskmised väärtused ja müüja jõudeaeg ostjate saabumist oodates. Hinnake nende usaldusväärsust.
18 Looge bensiinijaama mudel. Leia piletiteenuste kvaliteedinäitajad. Määrake loendurite arv, et järjekord ei suureneks.
19 Keskmine iseteeninduskaupluse maksekeskusesse saabuvate klientide arv on 60 inimest tunnis. Kassiir suudab teenindada 35 inimest tunnis. Modelleerige protsess ja määrake, kui palju kassapidajaid on vaja, et järjekorra tõenäosus ei ületaks 0,6.
20 Töötada välja n peatusega bussimarsruudi mudel. Määrake QS-i kasutamise jõudlusnäitajad.

Moskva Riiklik Tehnikaülikool

nime saanud N.E. Bauman (Kaluga filiaal)

Kõrgema matemaatika osakond

Kursuse töö

kursusel "Operatsiooniuuringud"

Järjekorrasüsteemi simulatsioonmodelleerimine

Tööülesanne: Koostage simulatsioonimudel ja arvutage välja järjekorrasüsteemi (QS) toimivusnäitajad järgmiste tunnustega:

Teeninduskanalite arv n; maksimaalne järjekorra pikkus t;

Süsteemi sisenevate rakenduste voog on kõige lihtsam keskmise intensiivsusega λ ja eksponentsiaalse ajajaotuse seadusega rakenduste vastuvõtmise vahel;

Süsteemis teenindatavate päringute voog on lihtsaim keskmise intensiivsusega µ ja teenindusaja eksponentsiaalse jaotusseadusega.

Võrrelge leitud indikaatori väärtusi tulemustega. mis saadakse süsteemi olekute tõenäosuste Kolmogorovi võrrandi arvulisel lahendamisel. QS parameetrite väärtused on toodud tabelis.

Sissejuhatus

Peatükk 1. Ühise turukorralduse peamised omadused ja nende tõhususe näitajad

1.1 Markovi juhusliku protsessi kontseptsioon

1.2 Sündmuste vood

1.3 Kolmogorovi võrrandid

1.4 Lõplikud tõenäosused ja QS olekugraafik

1.5 QS tulemusnäitajad

1.6 Simulatsioonimodelleerimise põhimõisted

1.7 Simulatsioonimudelite konstrueerimine

Peatükk 2. QS analüütiline modelleerimine

2.1 Süsteemi olekugraafik ja Kolmogorovi võrrandid

2.2 Süsteemi efektiivsusnäitajate arvutamine lõpptõenäosuste alusel

Peatükk 3. QS-i simulatsioonimodelleerimine

3.1 QS-i simulatsioonimeetodi algoritm (samm-sammuline lähenemine)

3.2 Programmi vooskeem

3.3 QS efektiivsusnäitajate arvutamine selle simulatsiooni modelleerimise tulemuste põhjal

3.4 Tulemuste statistiline töötlemine ja nende võrdlemine analüütilise modelleerimise tulemustega

Järeldus

Kirjandus

Lisa 1

Toiminguid uurides kohtab sarnaste probleemide lahendamisel sageli korduvkasutuseks mõeldud süsteeme. Tekkivaid protsesse nimetatakse teenindusprotsessideks ja süsteeme järjekorrasüsteemideks (QS).

Iga QS koosneb teatud arvust teenindusüksustest (instrumendid, seadmed, punktid, jaamad), mida nimetatakse teeninduskanaliteks. Kanaliteks võivad olla sideliinid, tööpunktid, arvutid, müüjad jne. Kanalite arvu järgi jagunevad QS süsteemid ühe- ja mitmekanalilisteks.

Taotlused võetakse QS-i tavaliselt vastu mitte regulaarselt, vaid juhuslikult, moodustades nn juhusliku taotluste voo (nõuded). Ka rakenduste teenus jätkub mõnda aega juhuslikult. Rakenduste voo ja teenindusaja juhuslik iseloom toob kaasa asjaolu, et QS on ebaühtlaselt koormatud: mõnel ajaperioodil koguneb väga palju rakendusi (need kas satuvad järjekorda või jätavad QS-i teenindamata), teistel perioodidel QS töötab alakoormusega või on tühikäigul.

Järjekorrateooria aineks on matemaatiliste mudelite konstrueerimine, mis seovad QS etteantud töötingimused (kanalite arv, nende tootlikkus, päringute voo iseloom jne) QS jõudlusnäitajatega, kirjeldades selle võimekust. päringute vooga toimetulemiseks.

QS-i tõhususe indikaatoritena kasutatakse järgmisi näitajaid:

Süsteemi absoluutne võimsus (A), s.o. keskmine kättetoimetatud taotluste arv ajaühikus;

Suhteline võimsus (Q), s.o. süsteemi poolt teenindatavate saabunud rakenduste keskmine osakaal;

Teenuse tõrkepäringu tõenäosus (

Keskmine hõivatud kanalite arv (k);

Keskmine ühise turukorralduse taotluste arv (

Keskmine aeg, mil rakendus süsteemis viibib (

Järjekorras olevate rakenduste keskmine arv (

Keskmine aeg, mille rakendus järjekorras veedab (

Keskmine esitatud rakenduste arv ajaühikus;

Keskmine teenuse ooteaeg;

Tõenäosus, et järjekorras olevate rakenduste arv ületab teatud väärtuse jne.

QS jaguneb 2 põhitüüpi: tõrgetega QS ja ootamisega (järjekorraga) QS. Keeldumisega QS-is saab keeldumise ajal vastu võetud taotlus, kui kõik kanalid on hõivatud, lahkub QS-ist ega osale edasises teenindusprotsessis (näiteks taotlus telefonivestluseks ajal, mil kõik kanalid on hõivatud, saab keeldumise ja jätab QS-i esitamata) . Ootel QS-is ei lahku taotlus, mis saabub ajal, mil kõik kanalid on hõivatud, vaid satub teenindusjärjekorda.

Üks QS-i efektiivsusnäitajate arvutamise meetodeid on simulatsioonimeetod. Arvutisimulatsiooni praktiline kasutamine hõlmab sobiva matemaatilise mudeli konstrueerimist, mis võtab arvesse määramatuse tegureid, dünaamilisi omadusi ja kogu uuritava süsteemi elementide vaheliste seoste kompleksi. Süsteemi töö simulatsioonimodelleerimine algab mingi kindla algolekuga. Erinevate juhuslike sündmuste rakendamise tõttu läheb süsteemimudel järgnevatel aegadel üle oma muudesse võimalikesse olekutesse. See evolutsiooniline protsess jätkub kuni planeerimisperioodi viimase hetkeni, s.o. kuni simulatsiooni viimase punktini.

Olgu mingi süsteem, mis aja jooksul suvaliselt oma olekut muudab. Sel juhul ütlevad nad, et süsteemis toimub juhuslik protsess.

Protsessi nimetatakse diskreetse oleku protsessiks, kui selle olekud

QS-i tööprotsess on diskreetsete olekute ja pideva ajaga juhuslik protsess.

Juhuslikku protsessi nimetatakse Markoviks või juhuslikuks protsessiks ilma järelmõjuta, kui mis tahes ajahetkel

1.2 Sündmuste vood

Sündmuste voog on homogeensete sündmuste jada, mis järgneb juhuslikul ajal üksteise järel.

Voogu iseloomustab intensiivsus λ – sündmuste esinemissagedus või QS-i sisenevate sündmuste keskmine arv ajaühikus.

Sündmuste voogu nimetatakse regulaarseks, kui sündmused järgnevad üksteisele teatud võrdsete ajavahemike järel.

Sündmuste voogu nimetatakse statsionaarseks, kui selle tõenäosuslikud omadused ei sõltu ajast. Eelkõige on statsionaarse voolu intensiivsus konstantne väärtus:

Sündmuste voogu nimetatakse tavaliseks, kui selle toimumise tõenäosus jääb väikesesse ajavahemikku

Sündmuste voogu nimetatakse järelmõjudeta vooks, kui see toimub mis tahes kahe mittekattuva ajavahemiku jooksul

SISSEJUHATUS

I PEATÜKK. JÄRJEKOHA TEENUSTE PROBLEEMIDE SÕNASTAMINE

1.1 Järjekorrateooria üldkontseptsioon

1.2 Järjekorrasüsteemide modelleerimine

1.3 QS olekugraafikud

1.4 Juhuslikud protsessid

II peatükk. JÄRJESÜSTEEMIDE KIRJELDUSED

2.1 Kolmogorovi võrrandid

2.2 "sünd - surm" protsessid

2.3 Järjekorraülesannete majanduslik ja matemaatiline formuleerimine

III peatükk. JÄRJESÜSTEEMIDE MUDELID

3.1 Ühe kanaliga QS teenuse keelamisega

3.2 Mitme kanaliga QS teenuse keelamisega

3.3 Mitmefaasilise turismiteenuste süsteemi mudel

3.4 Ühe kanaliga QS piiratud järjekorra pikkusega

3.5 Ühe kanaliga QS piiramatu järjekorraga

3.6 Piiratud järjekorra pikkusega mitme kanaliga QS

3.7 Mitme kanaliga QS piiramatu järjekorraga

3.8 Supermarketite järjekorrasüsteemi analüüs

KOKKUVÕTE

Sissejuhatus

Praegu on ilmunud suur hulk kirjandust, mis on pühendatud otseselt järjekorra teooriale, selle matemaatiliste aspektide arendamisele, aga ka selle erinevatele rakendusvaldkondadele - sõjandus, meditsiin, transport, kaubandus, lennundus jne.

Järjekordade teooria põhineb tõenäosusteoorial ja matemaatilisel statistikal. Järjekorrateooria esialgne areng on seotud Taani teadlase A.K. Erlang (1878-1929), oma töödega telefonikeskjaamade projekteerimise ja käitamise alal.

Järjekordade teooria on rakendusmatemaatika valdkond, mis tegeleb tootmis-, teenindus- ja juhtimissüsteemide protsesside analüüsiga, kus homogeensed sündmused korduvad palju kordi, näiteks tarbijateenuste ettevõtetes; teabe vastuvõtmise, töötlemise ja edastamise süsteemides; automaatsed tootmisliinid jne. Suure panuse selle teooria väljatöötamisse andsid vene matemaatikud A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel et al.

Järjekorrateooria teemaks on tuvastada sõltuvused päringute voo olemuse, teeninduskanalite arvu, üksiku kanali jõudluse ja efektiivse teenuse vahel, et leida nende protsesside haldamiseks parimad viisid. Järjekorrateooria probleemid on optimeerimist iseloomustavad ja hõlmavad lõppkokkuvõttes majanduslikku aspekti süsteemi valikuvõimaluse määramisel, mis tagab minimaalsed kogukulud, mis tulenevad teenuse ootamisest, teeninduse aja ja ressursside kaotusest ning teeninduskanalite seisakutest.

Äritegevuses ei ole järjekorra teooria rakendamine veel soovitud jaotust leidnud.

Seda eelkõige ülesannete püstitamise keerukusest, äritegevuse sisu sügava mõistmise vajadusest, aga ka usaldusväärsetest ja täpsetest töövahenditest, mis võimaldavad arvutada erinevaid variante juhtimisotsuste tagajärgede kohta äritegevuses.

Peatükk I . Järjekorraülesannete seadmine

1.1 Järjekorrateooria üldkontseptsioon

Massiteenuste olemus erinevates valdkondades on väga peen ja keeruline. Kaubandustegevus on seotud paljude toimingute sooritamisega liikumise etappides, näiteks kaubamassiga tootmissfäärist tarbimissfääri. Sellised toimingud on kaupade laadimine, transport, mahalaadimine, ladustamine, töötlemine, pakendamine ja müük. Lisaks sellistele põhitoimingutele kaasneb kauba liikumise protsessiga suur hulk eel-, ettevalmistavaid, saate-, paralleel- ja järgnevaid toiminguid maksedokumentide, konteinerite, raha, autode, klientide jms.

Loetletud äritegevuse fragmente iseloomustab kaupade, raha ja külastajate massiline saabumine juhuslikel aegadel, seejärel nende järjestikune teenindamine (nõudmiste, päringute, taotluste rahuldamine) vastavate toimingute sooritamise teel, mille täitmise aeg on samuti juhuslik. Kõik see tekitab töös ebaühtlust, tekitab alakoormusi, seisakuid ja ülekoormusi äritegevuses. Järjekorrad valmistavad palju tüli näiteks kohvikute, sööklate, restoranide külastajatele või kaubaladude autojuhtidele, kes ootavad mahalaadimist, pealelaadimist või paberimajandust. Sellega seoses tekivad ülesanded analüüsida olemasolevaid võimalusi kogu toimingukomplekti teostamiseks, näiteks supermarketi, restorani müügipõrandal või omatoodete tootmise töökodades, et hinnata nende tööd, tuvastada nõrgad lülid. ja reservid, et lõpuks välja töötada soovitused, mille eesmärk on suurendada äritegevuse tõhusust.

Lisaks tekivad muud ülesanded, mis on seotud uue säästliku, ratsionaalse võimaluse loomise, korraldamise ja planeerimisega paljude toimingute tegemiseks kauplemisplatsil, kondiitriäris, kõikidel teenindustasanditel restoranis, kohvikus, sööklas, planeerimisosakonnas, raamatupidamises, personaliosakond jne.

Massiteenuste korraldamise ülesanded tekivad peaaegu kõigis inimtegevuse valdkondades, näiteks müüjad teenindavad kliente kauplustes, teenindavad külastajaid avalikes toitlustusasutustes, teenindavad kliente tarbijateenuste ettevõtetes, pakuvad telefonivestlusi telefonijaamas, osutavad arstiabi. patsiendid kliinikus jne. Kõigi ülaltoodud näidete puhul on vajadus rahuldada suure hulga tarbijate vajadusi.

Loetletud probleeme saab edukalt lahendada spetsiaalselt selleks otstarbeks loodud järjekorrateooria (QST) meetodite ja mudelite abil. See teooria selgitab, et on vaja teenindada kedagi või midagi, mis on määratletud mõistega "teenusetaotlus (nõudlus)" ja teenindustoiminguid teostab keegi või miski, mida nimetatakse teeninduskanaliteks (sõlmedeks). Päringute rolli äritegevuses mängivad kaubad, külastajad, raha, audiitorid, dokumendid ning teeninduskanalite rolli müüjad, administraatorid, kokad, kondiitrid, kelnerid, kassapidajad, kaubaeksperdid, laadurid, kaubandustehnika jne. Oluline on märkida, et näiteks ühes teostuses on roogade valmistamise protsessis olev kokk teeninduskanaliks, teises aga toimib ta teenusetaotlusena, näiteks tootmisjuhile kauba vastuvõtmiseks.

Rakendused, tulenevalt tohutust teeninduskviitungite arvust, moodustavad vooge, mida nimetatakse sissetulevaks enne hooldustoimingute tegemist ja pärast võimalikku hoolduse alguse ootamist, s.o. ooteaeg järjekorras vormi teenuse vood kanalites ja seejärel moodustatakse väljuv päringute voog. Üldiselt moodustab sissetuleva päringuvoo, järjekorra, teeninduskanalite ja väljamineva päringuvoo elementide kombinatsioon lihtsaima ühe kanaliga järjekorrasüsteemi - QS.

Süsteemi mõistetakse omavahel seotud süsteemide kogumina. sihipäraselt interakteeruvad osad (elemendid). Sellised lihtsad QS-id äritegevuses on näiteks kaupade vastuvõtmise ja töötlemise kohad, klientide maksekeskused kauplustes, kohvikud, sööklad, majandusteadlaste, raamatupidajate, kaupmeeste, kokkade jne töökohad.

Teenindusprotseduur loetakse lõppenuks, kui teenusepäring süsteemist lahkub. Teenindusprotseduuri rakendamiseks vajaliku ajaintervalli kestus sõltub peamiselt teenusetaotluse olemusest, teenindussüsteemi enda olekust ja teeninduskanalist.

Tõepoolest, ostja supermarketis viibimise kestus sõltub ühelt poolt ostja isiklikest omadustest, tema soovidest, kaubavalikust, mida ta kavatseb osta, ja teiselt poolt vormist. teeninduse korralduse ja teeninduspersonali mõju, mis võib oluliselt mõjutada ostja viibimist supermarketis ja teeninduse intensiivsust. Näiteks kassapidajate-kontrolöride poolt kassaaparaadis töötamise “pime” meetodi valdamine võimaldas suurendada maksesõlmede läbilaskevõimet 1,3 korda ja säästa igas kassaaparaadis klientidega arveldamiseks kuluvat aega rohkem kui 1,5 tunni võrra. päeva kohta. Ühtse maksekeskuse kasutuselevõtt supermarketis annab ostjale käegakatsutavat kasu. Seega kui traditsioonilise makseviisiga oli ühe kliendi teenindamiseks aega keskmiselt 1,5 minutit, siis ühtse makseühiku kasutuselevõtuga 67 sekundit. Neist 44 sekundit kulub sektsioonis ostu sooritamisele ja 23 sekundit otse ostude eest tasumisele. Kui ostja sooritab mitu ostu erinevates osades, siis ajakadu väheneb kahe ostu ostmisel 1,4 korda, kolm 1,9 korda, viis 2,9 korda.

Taotluste teenindamise all peame silmas vajaduse rahuldamise protsessi. Teenused on oma olemuselt mitmekesised. Kõigis näidetes nõuavad aga saadud päringud mõne seadme teenindust. Mõnel juhul osutab teenust üks inimene (ostjat teenindab üks müüja, mõnel - inimeste rühm (patsiendi teenindamine kliiniku arstliku komisjoni poolt) ja mõnel juhul tehniliste seadmete abil. (vahuvee, võileibade müük automaatide kaudu.) Teenustaotluste kogumit nimetatakse teeninduskanaliks.

Kui teeninduskanalid on võimelised rahuldama identseid taotlusi, nimetatakse teeninduskanaleid homogeenseteks. Homogeensete teeninduskanalite kogumit nimetatakse teenindussüsteemiks.

Järjekorrasüsteem saab juhuslikel aegadel suure hulga päringuid, mille teenindamise kestus on samuti juhuslik suurus. Rakenduste järjestikust saabumist teenindussüsteemi nimetatakse sissetulevateks rakenduste vooks ja teenindussüsteemist väljuvate rakenduste jada väljaminevaks vooluks.

Teenuse toimingute kestuse jaotuse juhuslikkus koos teenusetaotluste vastuvõtmise juhuslikkusega viib selleni, et teeninduskanalites toimub juhuslik protsess, mida "saab kutsuda (analoogiliselt päringute sisendvoog) teenusepäringute voog või lihtsalt teenuse voog.

Pange tähele, et teenindussüsteemi sisenevad rakendused võivad sealt lahkuda ilma hoolduseta. Näiteks kui klient ei leia poest soovitud toodet, lahkub ta kauplusest ilma, et teda teenindataks. Ostja võib ka poest lahkuda, kui soovitud toode on saadaval, kuid järjekord on pikk ja ostjal pole aega.

Järjekorrateooria tegeleb järjekorraga seotud protsesside uurimisega ja tüüpiliste järjekorraprobleemide lahendamise meetodite väljatöötamisega.

Teenindussüsteemi efektiivsuse uurimisel mängivad olulist rolli erinevad viisid teenusekanalite asukoha määramiseks süsteemis.

Teeninduskanalite paralleelse paigutuse korral saab päringu teenindada mis tahes tasuta kanaliga. Sellise teenindussüsteemi näiteks on iseteeninduskauplustes asuv maksekeskus, kus teeninduskanalite arv ühtib kassapidajate-kontrolöride arvuga.

Praktikas teenindavad ühte päringut sageli järjestikku mitu teeninduskanalit. Sel juhul alustab järgmine teeninduskanal tööd päringu teenindamisega pärast seda, kui eelmine kanal on oma töö lõpetanud. Sellistes süsteemides on teenindusprotsess mitmefaasiline, päringu teenindamist ühe kanali kaudu nimetatakse teenindusfaasiks. Näiteks kui iseteeninduspoes on osakonnad müüjatega, teenindavad kliente esmalt müüjad ja seejärel kassapidajad-kontrolörid.

Teenindussüsteemi korraldus sõltub inimese tahtest. Järjekorrateoorias ei mõisteta süsteemi toimimise kvaliteeti mitte sellena, kui hästi teenust teostatakse, vaid seda, kui täis on teenindussüsteem, kas teeninduskanalid on jõude või tekib järjekord.

Kaubandustegevuses seavad järjekorrasüsteemi sisenevad rakendused kõrgeid nõudmisi ka teenuse kvaliteedile tervikuna, mis ei sisalda mitte ainult ajalooliselt välja kujunenud ja järjekorra teoorias otseselt arvestatavate tunnuste loetelu, vaid ka täiendavaid tunnuseid, mis on iseloomulikud. äritegevuse spetsiifikat, sealhulgas eelkõige individuaalseid hooldusprotseduure, mille taseme nõuded on nüüdseks kõvasti tõusnud. Sellega seoses on vaja arvesse võtta ka äritegevuse näitajaid.

Teenindussüsteemi toimivust iseloomustavad järgmised näitajad. Nagu teenuse alguse ooteaeg, järjekorra pikkus, teenusest keeldumise saamise võimalus, teeninduskanalite seisaku võimalus, teenuse maksumus ja lõppkokkuvõttes rahulolu teenuse kvaliteediga, mis ka sisaldab äritegevuse näitajaid. Teenindussüsteemi töökvaliteedi parandamiseks on vaja kindlaks määrata, kuidas jaotada sissetulevad päringud teeninduskanalite vahel, mitu teeninduskanalit peaks olema saadaval, kuidas korraldada või rühmitada teeninduskanaleid või teenindusseadmeid äritegevuse parandamiseks. Nende probleemide lahendamiseks on tõhus modelleerimismeetod, mis hõlmab ja ühendab erinevate teaduste, sealhulgas matemaatika saavutusi.

1.2 Järjekorrasüsteemide modelleerimine

QS-i üleminekud ühest olekust teise toimuvad väga spetsiifiliste sündmuste – taotluste vastuvõtmise ja teenindamise – mõjul. Juhuslikul ajal üksteise järel aset leidev sündmuste jada moodustab nn sündmuste voo. Selliste voogude näideteks äritegevuses on erineva iseloomuga vood – kaubad, raha, dokumendid, transport, kliendid, ostjad, telefonikõned, läbirääkimised. Süsteemi käitumist ei määra tavaliselt mitte üks, vaid mitu sündmuste voogu. Näiteks klienditeeninduse kaupluses määrab klientide voog ja teenindusvoog; nendes voogudes on klientide ilmumise hetked, järjekorras ooteaeg ja iga kliendi teenindamiseks kulunud aeg juhuslikud.

Sel juhul on voogude peamiseks iseloomulikuks tunnuseks aja tõenäosuslik jaotus naabersündmuste vahel. On erinevaid vooge, mis erinevad oma omaduste poolest.

Sündmuste voogu nimetatakse regulaarseks, kui sündmused järgnevad üksteisele etteantud ja rangelt määratletud ajavahemike järel. See vool on ideaalne ja seda kohtab praktikas väga harva. Sagedamini esineb ebakorrapäraseid voolusid, millel puudub korrapärasuse omadus.

Sündmuste voogu nimetatakse statsionaarseks, kui suvalise arvu sündmuste sattumise tõenäosus ajaintervalli sõltub ainult selle intervalli pikkusest ja ei sõltu sellest, kui kaugel see intervall asub aja algusest. Voo statsionaarsus tähendab, et selle tõenäosuslikud omadused on ajast sõltumatud, eelkõige on sellise voo intensiivsus sündmuste keskmine arv ajaühikus ja jääb konstantseks väärtuseks. Praktikas saab voogusid statsionaarseks pidada vaid teatud piiratud aja jooksul. Tavaliselt muutub klientide voog näiteks kaupluses tööpäeva jooksul oluliselt. Siiski on võimalik kindlaks teha teatud ajavahemikud, mille jooksul võib seda voolu pidada statsionaarseks ja püsiva intensiivsusega.

Sündmuste voogu nimetatakse tagajärgedeta vooluks, kui ühte suvaliselt valitud ajavahemikku sattuvate sündmuste arv ei sõltu teise, samuti meelevaldselt valitud intervalli langevate sündmuste arvust, eeldusel, et need intervallid ei ristu üksteisega . Tagajärjeta voolus toimuvad sündmused üksteisest sõltumatult järjestikustel aegadel. Näiteks võib poodi sisenevate klientide voogu pidada tagajärgedeta vooks, kuna igaühe tulekut määranud põhjused ei ole seotud teiste klientide jaoks sarnaste põhjustega.

Sündmuste voogu nimetatakse tavaliseks, kui kahe või enama sündmuse korraga toimumise tõenäosus väga lühikese aja jooksul on tühine võrreldes ainult ühe sündmuse toimumise tõenäosusega. Tavalises voos toimuvad sündmused ükshaaval, mitte kaks või enam korda. Kui voolul on samaaegselt statsionaarsuse, tavalisuse ja tagajärgede puudumise omadused, siis nimetatakse sellist voogu sündmuste lihtsaimaks (või Poissoni) vooluks. Sellise voo mõju süsteemidele matemaatiline kirjeldus osutub kõige lihtsamaks. Seetõttu mängib teiste olemasolevate voogude seas erilist rolli eelkõige kõige lihtsam voog.

Vaatleme ajateljel teatud ajavahemikku t. Oletame, et sellesse intervalli juhusliku sündmuse sattumise tõenäosus on p ja võimalike sündmuste koguarv on n. Tavalise sündmustevoo omaduse olemasolul peaks tõenäosus p olema piisavalt väike väärtus, ja ma peaks olema piisavalt suur arv, kuna kaalutakse massinähtusi. Nendel tingimustel saate teatud arvu sündmuste m tõenäosuse arvutamiseks ajavahemikus t kasutada Poissoni valemit:

P m, n = a m_e -a; (m = 0, n),

kus väärtus a = pr on sündmuste keskmine arv, mis langevad ajaperioodi t, mida saab määrata sündmuste voo X intensiivsuse kaudu järgmiselt: a= λ τ

Voolu intensiivsuse mõõde X on sündmuste keskmine arv ajaühikus. N ja λ, p ja τ vahel on järgmine seos:

kus t on kogu ajavahemik, mille jooksul sündmuste voo toimimist vaadeldakse.

Sellises voos on vaja kindlaks määrata ajaintervalli T jaotus sündmuste vahel. Kuna tegemist on juhusliku muutujaga, siis leiame selle jaotusfunktsiooni. Nagu tõenäosusteooriast teada, on kumulatiivne jaotusfunktsioon F(t) tõenäosus, et väärtus T on väiksem kui aeg t.

Tingimuse kohaselt ei tohiks aja T jooksul toimuda ühtegi sündmust ja ajaintervalli t jooksul peaks ilmnema vähemalt üks sündmus. Selle tõenäosuse arvutamisel kasutatakse vastupidise sündmuse tõenäosust ajavahemikus (0; t), kus sündmust ei toimunud, s.t. m = 0, siis

F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0

Väikese ∆t korral on võimalik saada ligikaudne valem, mis saadakse funktsiooni e - Xt asendamisel ainult kahe ∆t astme laienemise liikmega, seejärel vähemalt ühe sündmuse toimumise tõenäosusega väikese aja jooksul. ∆t on

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Saame kahe järjestikuse sündmuse vahelise ajaintervalli jaotustiheduse, eristades F(t) aja suhtes,

f(t)= λe- λ t,t≥0

Saadud jaotustihedusfunktsiooni kasutades saab saada juhusliku suuruse T arvkarakteristikud: matemaatiline ootus M (T), dispersioon D (T) ja standardhälve σ (T).

M(T)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/λ2; σ(T)=1/λ.

Siit saame teha järgmise järelduse: keskmine ajavahemik T mis tahes kahe naabersündmuse vahel kõige lihtsamas voolus on keskmiselt 1/λ ja selle standardhälve on samuti võrdne 1/λ, λ kus on voolu, st. keskmine sündmuste arv ajaühikus. Selliste omadustega juhusliku suuruse M(T) = T jaotusseadust nimetatakse eksponentsiaalseks (või eksponentsiaalseks) ja väärtus λ on selle eksponentsiaalseaduse parameeter. Seega on kõige lihtsama voo korral naabersündmuste vahelise ajaintervalli matemaatiline ootus võrdne selle standardhälbega. Sel juhul määrab Poissoni seadusega tõenäosus, et ajavahemikul t saadud teenusetaotluste arv võrdub k-ga:

P k (t)=(λt) k / k! *e -λ t,

kus λ on päringute voo intensiivsus, QS-i sündmuste keskmine arv ajaühikus, näiteks [inimene/min; hõõruda / tund; tšekid/tund; dokument/päev; kg / tund; t./aastas].

Sellise päringute voo korral jaotatakse aeg kahe naaberpäringu T vahel eksponentsiaalselt tõenäosustihedusega:

ƒ(t)= λe - λ t.

Juhuslikku ooteaega teenuse algusjärjekorras t och võib pidada ka eksponentsiaalselt jaotunud:

ƒ (t och) = V*e - v t och,

kus v on järjekorra läbimise voo intensiivsus, mis on määratud teenusest mööduvate rakenduste keskmise arvu järgi ajaühikus:

kus T och on keskmine teenuse ooteaeg järjekorras.

Päringute väljundvoog on seotud teenusevooga kanalis, kus teenuse kestus t obs on samuti juhuslik suurus ja järgib paljudel juhtudel tõenäosustihedusega eksponentsiaalset jaotusseadust:

ƒ(t obs) = µ*e µ t obs,

kus µ on teenusevoo intensiivsus, st. keskmine teenindatud päringute arv ajaühiku kohta:

µ=1/t obs [inimene/min; hõõruda / tund; tšekid/tund; dokument/päev; kg / tund; t./aasta] ,

kus t obs on keskmine aeg taotluste teenindamiseks.

Näitajaid λ ja µ kombineeriva QS-i oluline omadus on koormuse intensiivsus: ρ= λ/ µ, mis näitab teeninduskanali päringu sisend- ja väljundvoogude koordineerimise astet ning määrab järjekorra stabiilsuse. süsteem.

Lisaks kõige lihtsama sündmustevoo mõistele on sageli vaja kasutada ka teist tüüpi voogude mõisteid. Sündmuste voogu nimetatakse Palmi vooks, kui selles voos on ajavahemikud järjestikuste sündmuste T 1, T 2, ..., T k ..., T n vahel sõltumatud, identse jaotusega juhuslikud muutujad, kuid erinevalt kõige lihtsamast voolu, ei pruugi need jaotuda vastavalt eksponentsiaalseadusele. Lihtsaim voog on Palmi voolu erijuhtum.

Palmivoolu oluline erijuhtum on nn Erlangi vool.

See voog saadakse kõige lihtsama voolu "hõrendamisel". See “hõrenemine” viiakse läbi, valides sündmused kindla reegli järgi lihtsaimast voost.

Näiteks nõustudes võtma arvesse ainult iga teist sündmust, mis moodustab kõige lihtsama voo, saame teist järku Erlangi voo. Kui võtta ainult iga kolmas sündmus, siis tekib kolmandat järku Erlangi voog jne.

Erlangi vooge on võimalik saada mis tahes k-ndat järku. Ilmselgelt on kõige lihtsam voog esimest järku Erlangi voog.

Igasugune järjekorrasüsteemi uurimine algab teenindatava sisu uurimisega, seega saabuvate rakenduste voo ja selle omaduste uurimisega.

Kuna ajahetked t ja päringute vastuvõtmise ajaintervallid τ, siis teenindustoimingute kestus t obs ja ooteaeg järjekorras t och, samuti järjekorra pikkus l och on juhuslikud muutujad, siis QS oleku karakteristikud on oma olemuselt tõenäosuslikud ning nende kirjeldamiseks on vaja rakendada järjekorrateooria meetodeid ja mudeleid.

Eespool loetletud karakteristikud k, τ, λ, L och, T och, v, t obs, µ, p, P k on kõige levinumad QS-i puhul, mis on tavaliselt vaid mingi osa sihtfunktsioonist, kuna see on samuti vajalik. võtta arvesse äritegevuse näitajaid.

1.3 QS olekugraafikud

Diskreetsete olekute ja pideva ajaga juhuslike protsesside analüüsimisel on mugav kasutada CMO võimalike olekute skemaatilise esituse varianti (joonis 6.2.1) graafiku kujul koos selle võimalike püsiolekute märgistusega. . QS-i olekud on tavaliselt kujutatud kas ristkülikute või ringidena ning ühest olekust teise ülemineku võimalikud suunad on orienteeritud neid olekuid ühendavate nooltega. Näiteks ajalehekioskis juhusliku teenindusprotsessi ühe kanaliga süsteemi märgistatud olekugraafik on näidatud joonisel fig. 1.3.

Riis. 1.3. Märgistatud QS-i olekugraafik

Süsteem võib olla ühes kolmest olekust: S 0 - kanal on vaba, jõude, S 1 - kanal on hõivatud teenindusega, S 2 - kanal on hõivatud teenindusega ja üks päring on järjekorras. Süsteemi üleminek olekust S 0 olekusse S l toimub lihtsa päringuvoo mõjul intensiivsusega λ 01 ning olekust S l olekusse S 0 viiakse süsteem üle teenusevooga intensiivsusega λ 01 . Teenindussüsteemi olekugraafikut, mille vooluintensiivsused on näidatud noolte juures, nimetatakse märgistatuks. Kuna süsteemi olemasolu ühes või teises olekus on tõenäosuslik, siis tõenäosust: p i (t), et süsteem on ajahetkel t olekus S i, nimetatakse QS-i i-nda oleku tõenäosuseks ja määratakse sissetulevate teenusepäringute arv k.

Süsteemis toimuv juhuslik protsess seisneb selles, et juhuslikel aegadel t 0, t 1, t 2,..., t k,..., t n satub süsteem järjestikku ühte või teise varem teadaolevasse diskreetsesse olekusse. Nagu nii. juhuslikku sündmuste jada nimetatakse Markovi ahelaks, kui iga sammu puhul ei sõltu ühest olekust S t mis tahes teise Sj ülemineku tõenäosus sellest, millal ja kuidas süsteem olekusse S t üle läks. Markovi ahelat kirjeldatakse olekute tõenäosuse abil ja need moodustavad tervikliku sündmuste rühma, seega on nende summa võrdne ühega. Kui ülemineku tõenäosus ei sõltu arvust k, siis nimetatakse Markovi ahelat homogeenseks. Teades teenindussüsteemi algseisundit, saab leida olekute tõenäosused k-arvu teenusepäringute mis tahes väärtuse jaoks.

1.4 Juhuslikud protsessid

QS-i üleminek ühest olekust teise toimub juhuslikult ja on juhuslik protsess. QS-i toimimine on diskreetsete olekutega juhuslik protsess, kuna selle võimalikud olekud ajas saab eelnevalt loetleda. Veelgi enam, üleminek ühest olekust teise toimub järsult, juhuslikel aegadel, mistõttu seda nimetatakse pideva ajaga protsessiks. Seega on QS-i toimimine diskreetsete olekutega ja pidev protsess juhuslikult; aega. Näiteks Moskvas asuvas Kristalli ettevõttes hulgimüügiklientide teenindamise protsessis saab eelnevalt registreerida kõik võimalikud algloomade seisundid. CMO, mis sisalduvad kogu kommertsteenuste tsüklis alates lepingu sõlmimisest alkohoolsete jookide tarnimise, maksmise, paberimajanduse, toodete väljastamise ja vastuvõtmise, täiendava pealelaadimise ja valmistoodete laost väljaviimise hetkest.

Paljudest juhuslike protsesside sortidest on äritegevuses kõige levinumad need protsessid, mille puhul protsessi omadused sõltuvad igal ajal ainult selle olekust praegusel hetkel ja ei sõltu eelajaloost - minevikust. . Näiteks Kristalli tehasest alkoholitoodete kättesaamise võimalus sõltub selle saadavusest valmistoodangu laos, s.o. selle seisukord hetkel ja ei sõltu sellest, millal ja kuidas teised ostjad need tooted varem kätte said ja ära viisid.

Selliseid juhuslikke protsesse nimetatakse tagajärgedeta protsessideks ehk Markovi protsessideks, mille puhul kindla oleviku olemasolu korral QS-i tulevane olek minevikust ei sõltu. Süsteemis toimuvat juhuslikku protsessi nimetatakse Markovi juhuslikuks protsessiks või tagajärgedeta protsessiks, kui sellel on järgmine omadus: iga ajahetke t 0 korral süsteemi Si mis tahes oleku t > t 0 tõenäosus. , - tulevikus (t>t Q ) sõltub ainult oma olekust olevikus (at = t 0 juures) ja ei sõltu sellest, millal ja kuidas süsteem sellesse olekusse jõudis, s.t. selle tõttu, kuidas protsess minevikus arenes.

Markovi juhuslikud protsessid jagunevad kahte klassi: diskreetsete ja pidevate olekutega protsessid. Diskreetsete olekutega protsess toimub süsteemides, millel on vaid mõned fikseeritud olekud, mille vahel on teatud, varem teadmata ajahetkedel võimalikud hüppelaadsed üleminekud. Vaatleme näidet diskreetsete olekutega protsessist. Firma kontoris on kaks telefoni. Selle teenindussüsteemi jaoks on võimalikud järgmised olekud: S o -telefonid on tasuta; S l - üks telefonidest on hõivatud; S 2 – mõlemad telefonid on hõivatud.

Selles süsteemis toimuv protsess seisneb selles, et süsteem hüppab juhuslikult ühest diskreetsest olekust teise.

Pidevate olekutega protsesse iseloomustab pidev sujuv üleminek ühest olekust teise. Need protsessid on tüüpilisemad tehnilistele seadmetele kui majandusobjektidele, kus tavaliselt saame vaid ligikaudselt rääkida protsessi järjepidevusest (näiteks kaubavaru pidev tarbimine), samas kui tegelikult on protsess alati diskreetne. . Seetõttu käsitleme edaspidi ainult diskreetsete olekutega protsesse.

Diskreetsete olekutega Markovi juhuslikud protsessid jagunevad omakorda diskreetse ajaga ja pideva ajaga protsessideks. Esimesel juhul toimuvad üleminekud ühest olekust teise ainult teatud, eelnevalt fikseeritud ajahetkedel, samas kui nende hetkede vahelistel intervallidel säilitab süsteem oma oleku. Teisel juhul võib süsteemi üleminek olekust olekusse toimuda igal juhuslikul ajahetkel.

Praktikas on pideva ajaga protsessid palju tavalisemad, kuna süsteemi üleminekud ühest olekust teise toimuvad tavaliselt mitte mis tahes kindlatel ajahetkedel, vaid suvalistel ajahetkedel.

Pideva ajaga protsesside kirjeldamiseks kasutatakse mudelit süsteemi diskreetsete olekutega nn Markovi ahela või pideva Markovi ahela kujul.

Peatükk II . Järjekorrasüsteeme kirjeldavad võrrandid

2.1 Kolmogorovi võrrandid

Vaatleme Markovi juhusliku protsessi matemaatilist kirjeldust süsteemi S o , S l , S 2 diskreetsete olekutega (vt joonis 6.2.1) ja pideva ajaga. Usume, et kõik järjekorrasüsteemi üleminekud olekust S i olekusse Sj toimuvad lihtsate sündmuste voogude mõjul intensiivsusega λ ij ja vastupidine üleminek teise voo λ ij mõjul. Tutvustame tähistust pi kui tõenäosust, et hetkel t on süsteem olekus S i . Iga ajahetke t jaoks on õiglane kirjutada üles normaliseerimistingimus - kõigi olekute tõenäosuste summa on võrdne 1-ga:

Σp i (t) = p 0 (t) + p 1 (t) + p 2 (t) = 1

Analüüsime süsteemi ajahetkel t, määrates väikese ajakasvu Δt, ja leiame tõenäosuse p 1 (t+ Δt), et süsteem hetkel (t+ Δt) on olekus S 1, mida on võimalik saavutada erinevatel viisidel:

a) süsteem hetkel t tõenäosusega p 1 (t) oli olekus S 1 ja väikese ajapikendusega Δt ei läinud kordagi teise naaberolekusse - ei S 0 ega bS 2 . Süsteemi saab olekust S 1 eemaldada intensiivsusega (λ 10 + λ 12) koguvooluga, kuna kõige lihtsamate voolude superpositsioon on ühtlasi ka kõige lihtsam voog. Selle põhjal on olekust S 1 väljumise tõenäosus lühikese aja jooksul Δt ligikaudu võrdne (λ 10 +λ 12)* Δt. Siis on tõenäosus sellest olekust mitte lahkuda . Selle kohaselt on tõenäosus, et süsteem jääb tõenäosuse korrutusteoreemi alusel olekusse Si, võrdne:

p 1 (t);

b) süsteem oli naaberolekus S o ja lühikese aja jooksul läks Δt üle olekusse S o Süsteemi üleminek toimub voolu λ 01 mõjul tõenäosusega ligikaudu λ 01 Δt

Tõenäosus, et süsteem on selles versioonis olekus S 1, on võrdne p o (t)λ 01 Δt;

c) süsteem oli S 2 olekus ja aja jooksul Δt läks S 1 olekusse intensiivsusega λ 21 voolu mõjul, mille tõenäosus oli ligikaudu võrdne λ 21 Δt. Tõenäosus, et süsteem on olekus S 1, on võrdne p 2 (t) λ 21 Δt.

Rakendades nende valikute jaoks tõenäosuse liitmise teoreemi, saame avaldise:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt,

mida saab kirjutada erinevalt:

p 2 (t+Δt)-p 1 (t)/ Δt= p o (t)λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12).

Minnes piirini Δt-> 0, muutuvad ligikaudsed võrrandid täpseteks ja siis saame esimest järku tuletise

dp 2 /dt = p 0 λ 01 + p 2 λ 21 - p 1 ( λ 10 + λ 12),

mis on diferentsiaalvõrrand.

Arutledes sarnaselt kõigi teiste süsteemi olekute kohta, saame diferentsiaalvõrrandisüsteemi, mida nimetatakse A.N võrranditeks. Kolmogorov:

dp 0 /dt = p 1 λ 10,

dp 1 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 + λ 12),

dp 2 /dt = p 1 λ 12 + p 2 λ 21.

Kolmogorovi võrrandite koostamiseks kehtivad üldreeglid.

Kolmogorovi võrrandid võimaldavad arvutada kõik QS S i olekute tõenäosused aja p i (t) funktsioonina. Juhuslike protsesside teoorias on näidatud, et kui süsteemi olekute arv on lõplik ja igast neist on võimalik minna mis tahes teise olekusse, siis on olekute piiravad (lõplikud) tõenäosused, mis näitavad keskmine suhteline väärtus aja jooksul, mil süsteem selles olekus viibib. Kui oleku S 0 piirtõenäosus on võrdne p 0 = 0,2, siis on süsteem seega keskmiselt 20% ajast ehk 1/5 tööajast olekus S o . Näiteks teenusetaotluste puudumisel k = 0, p 0 = 0,2,; Seetõttu on süsteem S o olekus keskmiselt 2 tundi päevas ja on jõude, kui tööpäev on 10 tundi.

Kuna süsteemi piiravad tõenäosused on konstantsed, asendades Kolmogorovi võrrandites vastavad tuletised nullväärtustega, saame QS-i statsionaarset režiimi kirjeldava lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi. Selline võrrandisüsteem koostatakse QS olekute tähistatud graafiku järgi järgmiste reeglite järgi: võrrandis olevast võrdusmärgist vasakul on vaadeldava oleku Si maksimaalne tõenäosus p i, mis on korrutatud kõigi väljastavate voogude koguintensiivsusega. (väljaminevad nooled) antud oleku Si süsteem ja võrdusmärgist paremal - kõigi süsteemi olekusse sisenevate (sissetulevate noolte) voolude intensiivsuse korrutised nende olekute tõenäosusega alates millest need vood alguse saavad. Sellise süsteemi lahendamiseks on vaja lisada veel üks võrrand, mis määrab normaliseerimistingimuse, kuna QS-i kõigi olekute tõenäosuste summa on võrdne 1: n

Näiteks QS-i puhul, millel on kolme olekuga märgistatud graafik S o , S 1 , S 2 Joon. 6.2.1. toodud reegli alusel koostatud Kolmogorovi võrrandisüsteem on järgmisel kujul:

Olekule S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

Olekule S 1 → p 1 (λ 10 + λ 12) = p 0 λ 01 + p 2 λ 21

Olekule S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p 0 +p 1 +p 2 =1

dp 4 (t)/dt = λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t),

p 1 (t) + p 2 (t) + p 3 (t) + p 4 (t) = 1.

Peame nendele võrranditele lisama algtingimused. Näiteks kui t = 0 korral on süsteem S olekus S 1, siis saab algtingimused kirjutada järgmiselt:

p 1 (0) = 1, p 2 (0) = p 3 (0) = p 4 (0) = 0.

Üleminekud QS olekute vahel toimuvad taotluste vastuvõtmise ja nende teenindamise mõjul. Üleminekutõenäosuse, kui sündmuste voog on kõige lihtsam, määrab sündmuse toimumise tõenäosus aja Δt jooksul, s.o. üleminekutõenäosuse elemendi λ ij Δt väärtus, kus λ ij on sündmuste voo intensiivsus, mis viivad süsteemi olekust i olekusse i (piki vastavat noolt olekugraafikul).

Kui kõik süsteemi ühest olekust teise viivad sündmuste vood on kõige lihtsamad, siis süsteemis toimuv protsess on Markovi juhuslik protsess, s.t. protsess ilma tagajärgedeta. Sel juhul on süsteemi käitumine üsna lihtne, määratud juhul, kui kõigi nende lihtsaimate sündmuste voogude intensiivsus on teada. Näiteks kui süsteemis toimub pideva ajaga Markovi juhuslik protsess, siis kirjutades olekutõenäosuste jaoks Kolmogorovi võrrandite süsteemi ja integreerides selle süsteemi etteantud algtingimustel, saame kõik olekutõenäosused aja funktsioonina:

p i (t), p 2 (t),…, p n (t) .

Paljudel juhtudel selgub praktikas, et olekutõenäosused aja funktsioonina käituvad nii, et

lim p i (t) = p i (i = 1,2,…,n); t→∞

sõltumata algtingimuste tüübist. Sel juhul ütlevad nad, et süsteemi olekute t->∞ korral on piiravad tõenäosused ja süsteemis on kehtestatud teatud piirav statsionaarne režiim. Sel juhul muudab süsteem oma olekuid juhuslikult, kuid kõik need olekud esinevad teatud konstantse tõenäosusega, mille määrab keskmine aeg, mil süsteem igas olekus viibib.

Oleku p i piiravat tõenäosust on võimalik arvutada, kui kõik süsteemi tuletised on seatud võrdseks 0-ga, kuna Kolmogorovi võrrandites t-> ∞ ajal sõltuvus kaob. Seejärel muutub diferentsiaalvõrrandi süsteem Tavaliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemiks, mis koos normaliseerimistingimusega võimaldab välja arvutada kõik olekute piiravad tõenäosused.

2.2 Protsessid "sünd - surm"

Homogeensete Markovi protsesside hulgas on juhuslike protsesside klass, mida kasutatakse laialdaselt matemaatiliste mudelite koostamisel demograafia, bioloogia, meditsiini (epidemioloogia), majanduse ja äritegevuse valdkondades. Need on niinimetatud "sünni-surma" protsessid, Markovi protsessid järgmise kujuga stohhastiliste olekugraafikutega:

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Riis. 2.1 Sünni-surma protsessi märgistatud graafik

See graafik kordab üldtuntud bioloogilist tõlgendust: väärtus λ k peegeldab teatud populatsiooni uue esindaja, näiteks küülikute sündide arvu ja praegune populatsiooni maht on võrdne k-ga; väärtus μ on selle populatsiooni ühe esindaja suremus (müügimäär), kui praegune rahvastiku maht on võrdne k-ga. Eelkõige võib populatsioon olla piiramatu (Markovi protsessi olekute arv n on lõpmatu, kuid loendatav), intensiivsus λ võib olla võrdne nulliga (taassünni võimaluseta populatsioon), näiteks kui küülikud lõpetavad paljunemise.

Markovi "sünni-surma" protsessi jaoks, mida kirjeldab joonisel fig 1 näidatud stohhastiline graafik. 2.1, leiame lõpliku jaotuse. Kasutades võrrandite koostamise reegleid süsteemi oleku S 1, S 2, S 3,… S k,…, S n piirtõenäosuste lõplikule arvule n, koostame iga oleku jaoks vastavad võrrandid:

olekule S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1;

olekule S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2, mis, võttes arvesse eelmist oleku võrrandit S 0, saab teisendada kujule λ 1 p 1 = μ 1 p 2.

Samamoodi saate luua võrrandeid süsteemi ülejäänud olekute jaoks S 2, S 3,..., S k,..., S n. Selle tulemusena saame järgmise võrrandisüsteemi:

Selle võrrandisüsteemi lahendamisel on võimalik saada avaldised, mis määravad järjekorrasüsteemi lõppseisundid:

Tuleb märkida, et olekute p 1, p 2, p 3,..., p n lõpptõenäosuste määramise valemid sisaldavad termineid, mis on osa p 0 määrava avaldise summast. Nende terminite lugejad sisaldavad kõigi intensiivsuste korrutisi, mis seisavad olekugraafiku noolte juures, mis suunduvad vasakult paremale vaadeldavasse olekusse S k, ja nimetajad on kõikide intensiivsuste korrutised, mis seisavad paremalt vasakule suunduvate noolte juures. vaadeldav olek S k, st. μ 0, μ 1, μ 2, μ 3,… μ k. Sellega seoses kirjutame need mudelid kompaktsemal kujul:

k=1,n

2.3 Järjekorraülesannete majanduslik ja matemaatiline sõnastamine

Probleemi õige või edukaim majanduslik ja matemaatiline sõnastus määrab suuresti ära soovituste kasulikkuse äritegevuse järjekorrasüsteemide täiustamiseks.

Sellega seoses on vaja hoolikalt jälgida süsteemis toimuvat protsessi, otsida ja tuvastada olulisi seoseid, sõnastada probleem, tõsta esile eesmärk, määrata indikaatorid ja tuua välja majanduslikud kriteeriumid QS töö hindamiseks. Sel juhul võivad kõige üldisemaks, terviklikumaks näitajaks olla ühelt poolt äritegevuse kui teenindussüsteemi QS-i kulud ja teiselt poolt rakenduste kulud, mis võivad olla erineva iseloomuga. füüsiline sisu.

K. Marx pidas efektiivsuse suurendamist igal tegevusalal lõpuks aja kokkuhoidmiseks ja pidas seda üheks kõige olulisemaks majandusseaduseks. Ta kirjutas, et esimeseks kollektiivtootmisel põhinevaks majandusseaduseks jääb aja kokkuhoid, aga ka planeeritud tööaja jaotus erinevate tootmisharude vahel. See seadus avaldub kõigis sotsiaalse tegevuse valdkondades.

Kaupade, sh kommertssfääri sisenevate vahendite puhul on efektiivsuse kriteerium seotud kaupade ringluse aja ja kiirusega ning määrab panka rahavoo intensiivsuse. Ringluse aeg ja kiirus, mis on äritegevuse majandusnäitajad, iseloomustavad laoseisudesse investeeritud vahendite kasutamise efektiivsust. Varude käive peegeldab keskmise laoseisu keskmist müügikiirust. Käibe ja laoseisu näitajad on tihedalt seotud tuntud mudelitega. Seega on võimalik jälgida ja tuvastada nende ja teiste äritegevuse näitajate seost ajatunnustega.

Järelikult koosneb äriettevõtte või -organisatsiooni tegevuse efektiivsus üksikute teenindustoimingute tegemiseks kulutatud ajasummast, elanikkonna jaoks aga reisimiseks, poe, söökla, kohviku, restorani külastamiseks, teeninduse alguse ootamiseks, tutvumiseks kulutatud ajast. menüüga, toodete valimisega, arvestusega jne. Läbiviidud uuringud elanikkonna ajakulu struktuuri kohta näitavad, et oluline osa ajast kulutatakse ebaratsionaalselt. Pange tähele, et äritegevuse eesmärk on lõppkokkuvõttes inimeste vajaduste rahuldamine. Seetõttu peavad QS-i modelleerimise jõupingutused hõlmama iga elementaarse hooldustoimingu ajaanalüüsi. Sobivate meetodite abil tuleks luua mudelid QS-indikaatorite ühendamiseks. See tingib vajaduse siduda majanduslikes ja matemaatilistes mudelites kõige üldisemad ja tuntumad majandusnäitajad nagu käive, kasum, turustuskulud, kasumlikkus jt täiendava tekkiva näitajate rühmaga, mis on määratud teenusesüsteemide spetsiifikast ja kasutusele võetud. järjekorrateooria spetsiifika järgi.

Näiteks riketega QS-indikaatorite tunnused on järgmised: ooteaeg rakenduste jaoks järjekorras T och =0, kuna oma olemuselt on sellistes süsteemides järjekorra olemasolu võimatu, siis L och =0 ja seega ka tõenäosus selle tekkest P och =0. Päringute arvu k alusel määratakse süsteemi töörežiim ja olek: k=0-ga – tühikäigukanalid, 1-ga n – hooldus ja rike. Selliste QS-i näitajad on teenuse keelamise tõenäosus P keeldumine, teenuse P obs tõenäosus, kanali keskmine seisakuaeg t pr, keskmine hõivatud n h ja vabade kanalite arv n st, keskmine teenuse t obs, absoluutne läbilaskevõime A.

Piiramatu ootega QS-i puhul on iseloomulik, et päringu teenindamise tõenäosus on P obs = 1, kuna järjekorra pikkus ja teeninduse alustamise ooteaeg ei ole piiratud, s.t. formaalselt L och →∞ ja T och →∞. Süsteemides on võimalikud järgmised töörežiimid: k=0 korral jälgitakse teeninduskanalite seisakuid, 1 korral n – teenindus ja järjekord. Sellise QS-i sellise efektiivsuse näitajad on keskmine rakenduste arv järjekorras L och, keskmine rakenduste arv süsteemis k, rakenduse keskmine süsteemis viibimise aeg T cm, absoluutne läbilaskevõime A.

Piiratud järjekorra pikkusega ootamisega QS-is, kui rakenduste arv süsteemis on k = 0, siis on kanalite seisak, 1 n+m - teenindus, järjekord ja keeldumine teenuse ootel. Sellise QS tõhususe indikaatorid on teenuse keelamise tõenäosus P keeldumine - teenuse P obs tõenäosus, keskmine taotluste arv järjekorras L och, keskmine taotluste arv süsteemis L cm, keskmine viibimisaeg rakendus süsteemis T cm, absoluutne läbilaskevõime A.

Seega võib järjekorrasüsteemide tunnuste loetelu esitada järgmiselt: keskmine teenindusaeg – t obs; keskmine ooteaeg järjekorras – T och; keskmine viibimine SMO-s – T smo; keskmine järjekorra pikkus - L och; keskmine rakenduste arv SMO- L smo; teeninduskanalite arv – n; rakenduste sisendvoo intensiivsus – λ; teenuse intensiivsus – μ; koormuse intensiivsus – ρ; koormustegur – α; suhteline läbilaskevõime – Q; absoluutne läbilaskevõime – A; seisakute osakaal QS-is – P 0 ; kättetoimetatud rakenduste osakaal – R obs; kadunud päringute osakaal – P avatud, keskmine hõivatud kanalite arv – n з; keskmine tasuta kanalite arv - n St; kanali koormustegur – Кз; kanalite keskmine seisakuaeg - t pr.

Tuleb märkida, et mõnikord piisab kuni kümne võtmeindikaatori kasutamisest nõrkuste tuvastamiseks ja soovituste väljatöötamiseks QS parandamiseks.

Seda seostatakse sageli koordineeritud tööahela või QS komplektide probleemide lahendamisega.

Näiteks äritegevuses on vaja arvestada ka ÜMO majandusnäitajaid: kogukulud - C; ringluskulud - C io, tarbimiskulud - C ip, ühe rakenduse teenindamise kulud - C 1, rakenduse väljumisega seotud kaod - C y1, kanali töökulud - C k, kanali seisakukulud - C pr, kapitaliinvesteeringud - C ülempiir, vähendatud aastakulud – C pr, jooksvad kulud – C tek, ühise turukorralduse tulu ajaühiku kohta – D 1

Ülesannete püstitamise käigus on vaja välja tuua QS-i näitajate omavahelised seosed, mis nende põhilise kuuluvuse järgi võib jagada kahte rühma: esimene on seotud IO käitlemise kuludega, mille määravad teenindusega hõivatud kanalite arv, QS-i ülalpidamise kulud, teenuse intensiivsus, kanalite koormuse aste, nende efektiivsuskasutus, QS-i võimsus jne; teise rühma näitajaid määravad teenuse eest vastuvõetud SIP-rakenduste kulud, mis moodustavad sissetuleva voo, tunnevad teenuse tõhusust ja on seotud selliste näitajatega nagu järjekorra pikkus, teenuse ooteaeg, teenusest keeldumise tõenäosus, taotluse teenindussüsteemis viibimise aeg jne.

Need näitajate rühmad on selles mõttes vastuolulised, et ühe grupi näitajate parandamine, näiteks järjekorra pikkuse või järjekorras ooteaja vähendamine teeninduskanalite (kelnerid, kokad, kandjad, kassapidajad) arvu suurendamise kaudu on seotud. grupi näitajate halvenemisega, kuna see võib põhjustada teeninduskanalite seisakuid, nende hoolduskulusid jne. Seoses sellise teenindusülesannete vormistamisega on üsna loomulik püüda koostada QS selliselt, et luua mõistlik kompromiss päringute endi täitmise ja süsteemi võimaluste täieliku ärakasutamise vahel. Selleks on vaja valida üldistatud, terviklik QS-i efektiivsuse näitaja, mis hõlmab samaaegselt mõlema rühma nõudeid ja võimalusi. Sellise näitajana saab valida majandusliku efektiivsuse kriteeriumi, mis hõlmab nii ringluse kulusid C io kui ka rakenduste kulusid C ip, millel on optimaalne väärtus minimaalsete kogukuludega C. Selle põhjal saab sihtfunktsiooni määrata. probleemi saab kirjutada järgmiselt:

C= (C io + C ip) → min

Kuna ringluskulud sisaldavad kulusid, mis on seotud QS - C ex toimimise ja teeninduskanalite seisakutega - C pr, ning rakenduste kulud sisaldavad kahjusid, mis on seotud teenindamata rakenduste lahkumisega - C nz ja järjekorras püsimisega - C och, siis saab sihtfunktsiooni neid näitajaid arvesse võttes ümber kirjutada järgmiselt:

C=((C pr n st +C ex n h)+C och R obs λ(T och +t obs)+C alates R avatud λ)→ min.

Olenevalt ülesandest võivad muutujad ehk juhitavad indikaatorid olla järgmised: teeninduskanalite arv, teeninduskanalite korraldus (paralleelsed, järjestikused, segatud), järjekorra distsipliin, teenindustaotluste prioriteetsus, kanalite vastastikune abi jne. ülesandes olevad näitajad ilmuvad haldamata, mis on tavaliselt lähteandmed. Eesmärkfunktsiooni efektiivsuse kriteeriumina võib olla ka käive, kasum või tulu, näiteks kasumlikkus, siis leitakse QS-i kontrollitavate näitajate optimaalsed väärtused ilmselgelt juba maksimeerimise ajal, nagu ka eelmises versioonis. .

Mõnel juhul peaksite sihtfunktsiooni kirjutamiseks kasutama teist võimalust:

C=(C ex n z +C pr (n-n z)+C avatud *P avatud *λ+C süsteem * n z )→ min

Näiteks võib üldiseks kriteeriumiks valida ettevõtete klienditeeninduse kultuuritaseme, seejärel saab sihtfunktsiooni esitada järgmise mudeliga:

K ob =[(Z pu *K y)+(Z pv *K v)+(Z pv *K d)+(Z pz *K z)+(Z piki *K 0)+(Z kt *K kt )]*K mp,

kus Zpu on tootevaliku jätkusuutlikkuse näitaja olulisus;

K y - tootevaliku stabiilsustegur;

Z pv – kaupade müügi progressiivsete meetodite kasutuselevõtu näitaja olulisus;

K in – kaupade müügi progressiivsete meetodite kasutuselevõtu koefitsient;

Zp – lisateenuse näitaja olulisus;

K d - lisateenistuse koefitsient;

Z pz - ostu lõpetamise näitaja olulisus;

Kz - ostu sooritamise määr;

3 - teenuse ootele kulunud aja näitaja olulisus;

K about – teeninduse ootele kulunud aja näitaja;

Z kt – meeskonna töö kvaliteedi näitaja olulisus;

Ккт – meeskonna töö kvaliteedi koefitsient;

Kmp on klientide arvates teeninduskultuuri näitaja;

QS-i analüüsimiseks saate valida kvaliteedikvaliteedi hindamiseks muid kriteeriume. Näiteks riketega süsteemide selliseks kriteeriumiks saab valida rikke tõenäosuse P, mille väärtus ei ületaks etteantud väärtust. Näiteks nõue R avatud<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

Pärast sihtfunktsiooni konstrueerimist on vaja kindlaks määrata probleemi lahendamise tingimused, leida piirangud, määrata indikaatorite algväärtused, tuvastada kontrollimatud näitajad, koostada või valida mudelite komplekt analüüsitava tüübi kõigi näitajate suhte jaoks. QS-ist, et lõpuks leida kontrollitavate näitajate optimaalsed väärtused, näiteks kokkade, ettekandjate, kassapidajate, laadurite, laoruumi mahtude jne arv.

Peatükk III . Järjekorrasüsteemide mudelid

3.1 Ühe kanaliga QS teenuse keelamisega

Analüüsime lihtsat ühekanalilist teenusetõrgetega QS-i, mis saab Poissoni päringute voo intensiivsusega λ ja teenindamine toimub Poissoni voo mõjul intensiivsusega μ.

Ühe kanaliga QS n=1 toimimist saab esitada märgistatud olekugraafiku kujul (3.1).

QS-i üleminekud ühest olekust S 0 teise S1 toimuvad intensiivsusega λ päringute sisendvoo mõjul ja vastupidine üleminek intensiivsusega μ teenusevoo mõjul.

S 0 – teeninduskanal on vaba; S 1 – kanal on teenusega hõivatud;

Riis. 3.1 Ühe kanaliga QS-i märgistatud olekugraafik

Kirjutame kolmogorovi diferentsiaalvõrrandite süsteemi olekutõenäosuste jaoks vastavalt ülaltoodud reeglitele:

Kust saame diferentsiaalvõrrandi oleku S 0 tõenäosuse p 0 (t) määramiseks:

Seda võrrandit saab algtingimustel lahendada eeldusel, et süsteem oli hetkel t=0 olekus S 0, siis p 0 (0)=1, p 1 (0)=0.

Sel juhul võimaldab diferentsiaalnivelleerimise lahendus määrata tõenäosuse, et kanal on vaba ega ole teenusega hõivatud:

Siis on lihtne saada avaldist kanali hõivatuse tõenäosuse määramise tõenäosuse kohta:

Tõenäosus p 0 (t) väheneb aja jooksul ja piirides, kui t→∞ kaldub väärtusele

ja tõenäosus p 1 (t) suureneb samal ajal 0-st, kaldudes piiris t→∞ väärtuseni

Need tõenäosuspiirid saab otse esitatud Kolmogorovi võrranditest

Funktsioonid p 0 (t) ja p 1 (t) määravad ühekanalilises QS-is siirdeprotsessi ja kirjeldavad QS-i eksponentsiaalse lähenemise protsessi selle piirseisundile vaadeldavale süsteemile iseloomuliku ajakonstandiga.

Praktika jaoks piisava täpsusega võime eeldada, et üleminekuprotsess QS-is lõpeb aja jooksul, mis on võrdne 3τ-ga.

Tõenäosus p 0 (t) määrab QS suhtelise võimsuse, mis määrab teenindatud rakenduste osakaalu ajaühikus sissetulevate rakenduste koguarvu suhtes.

Tõepoolest, p 0 (t) on tõenäosus, et ajal t saabunud päring võetakse kättetoimetamiseks vastu. Kokku saabub ajaühikus keskmiselt λ rakendusi ja teenindatakse λр 0 rakendust.

Seejärel määratakse teenindatud rakenduste osakaal kogu rakenduste voo suhtes väärtuse järgi

Piirväärtuses t→∞, praktiliselt juba t>3τ korral on suhtelise läbilaskevõime väärtus võrdne

Absoluutne läbilaskevõime, mis määrab ajaühikus esitatud päringute arvu limiidis t→∞, on võrdne:

Seega on tagasilükatud taotluste osakaal samadel piiravatel tingimustel:

ja esitamata rakenduste koguarv on võrdne

Teenuse keelamisega ühekanalilised QS-id on näiteks: kaupluse tellimislaud, autotranspordiettevõtte juhtimisruum, laokontor, äriettevõtte juhtkontor, kellega suheldakse telefoni teel.

3.2 Mitme kanaliga QS teenuse keelamisega

Äritegevuses on mitme kanaliga QS-i näideteks mitme telefonikanaliga äriettevõtete kontorid; Moskva autokauplustes odavaimate autode kättesaadavuse tasuta kasutajatoel on 7 telefoninumbrit ja nagu teada, on see väga raske helistada ja abi saada.

Järelikult kaotavad autokauplused kliente, võimalust suurendada müüdud autode arvu ja müügitulu, käivet ja kasumit.

Reisipakette müüvatel reisifirmadel on kaks, kolm, neli või enam kanalit, näiteks Express-Line.

Vaatleme mitme kanaliga QS-i teenuse keelamisega joonisel fig. 3.2, mille sisendiks on Poissoni päringute voog intensiivsusega λ.

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Riis. 3.2. Riketega mitmekanalilise QS-i märgistatud olekugraafik

Iga kanali teenusevoo intensiivsus on μ. QS-i päringute arvu põhjal määratakse selle olekud S k, mis on esitatud märgistatud graafiku kujul:

S 0 – kõik kanalid on vabad k=0,

S 1 – ainult üks kanal on hõivatud, k=1,

S 2 – ainult kaks kanalit on hõivatud, k=2,

S k – k kanalit on hõivatud,

S n – kõik n kanalit on hõivatud, k= n.

Mitmekanalilise QS olekud muutuvad järsult juhuslikel aegadel. Üleminek ühest olekust, näiteks S 0 olekusse S 1, toimub intensiivsusega λ päringute sisendvoo mõjul ja vastupidi - intensiivsusega μ teenindustaotluste voo mõjul. Süsteemi üleminekuks olekust S k olekusse S k -1 ei ole vahet, milline kanal vabastatakse, seetõttu on QS-i ülekandva sündmuste voo intensiivsus kμ, seega on sündmuste voog, mis kannab süsteemi S-st üle. n kuni S n -1 on intensiivsusega nμ . Nii on sõnastatud klassikaline Erlangi probleem, mis on saanud nime Taani inseneri, matemaatiku ja järjekorrateooria rajaja järgi.

QS-is toimuv juhuslik protsess on "sünd-surm" protsessi erijuht ja seda kirjeldab Erlangi diferentsiaalvõrrandi süsteem, mis võimaldab saada avaldisi vaadeldava süsteemi oleku piiravate tõenäosuste kohta, nimetatakse Erlangi valemiteks:

.

Arvutades n-kanalilise QS riketega p 0, p 1, p 2, ..., p k,..., p n kõik olekute tõenäosused, saate leida teenindussüsteemi tunnused.

Teenuse keelamise tõenäosuse määrab tõenäosus, et sissetulev teenusepäring leiab, et kõik n kanalit on hõivatud, süsteem on S n olekus:

k=n.

Riketega süsteemides moodustavad rikke- ja hooldussündmused täieliku sündmuste rühma, nii et

P avatud + P obs = 1

Selle põhjal määratakse suhteline läbilaskevõime valemiga

Q = P obs = 1-P avatud = 1-P n

QS-i absoluutvõimsust saab määrata valemiga

Teenuse osutamise tõenäosus või esitatud päringute osakaal määrab QS suhtelise võimsuse, mida saab määrata mõne muu valemi abil:

Selle avaldise põhjal saate määrata teenuses olevate päringute keskmise arvu või, mis on sama, teenuse poolt hõivatud kanalite keskmise arvu

Kanalite täituvus teenuste lõikes määratakse hõivatud kanalite keskmise arvu ja nende koguarvu suhtega

Tõenäosus, et teenus on hõivatud kanalite poolt, mis võtab arvesse keskmist hõivatud aega t hõivatud ja jõudeaega t pr kanalid, määratakse järgmiselt:

Selle avaldise järgi saate määrata kanalite keskmise seisakuaja

Keskmine aeg, mille jooksul päring püsib süsteemis stabiilses olekus, määratakse Little'i valemiga

T smo = n s /λ.

3.3 Mitmefaasilise turismiteenuste süsteemi mudel

Reaalses elus näeb turismiteenuste süsteem välja palju keerulisem, mistõttu on vaja probleemi sõnastust üksikasjalikult kirjeldada, võttes arvesse nii klientide kui reisibüroode soove ja nõudmisi.

Reisibüroo efektiivsuse tõstmiseks on vaja modelleerida potentsiaalse kliendi üldist käitumist tegevuse algusest kuni selle lõpuni. Põhijärjekorrasüsteemide vahelise seose struktuur koosneb tegelikult erinevat tüüpi QS-idest (joonis 3.3).

Otsi valiku valikulahendust

Makselend Exodus

Riis. 3.3 Mitmefaasilise turismiteenuste süsteemi mudel

Puhkusele minevate turistide massilise teenindamise seisukohast on probleemiks täpselt taotleja vajadustele vastava puhkusekoha (ekskursiooni) määramine, mis vastab tema tervislikule ja rahalisele võimalusele ning ettekujutustele puhkusest üldiselt. Selles saavad teda abistada reisibürood, mille otsimine toimub tavaliselt SMO r reklaamsõnumitest, seejärel saab pärast ettevõtte valimist telefoni teel SMO t konsultatsioone, pärast rahuldavat vestlust jõuab ta reisibüroosse. ja saab üksikasjalikumaid konsultatsioone isiklikult referendiga, seejärel maksab reisi eest ja saab lennufirmalt teenuse CMO lennu ja lõpuks teeninduse CMO hotellis 0 0 . Ettevõtte QS-i töö parandamise soovituste edasine väljatöötamine on seotud klientidega telefoni teel peetavate läbirääkimiste professionaalse sisu muutumisega. Selleks on vaja süvendada assistendi ja klientide vahelise dialoogi täpsustamisega seotud analüüsi, kuna iga telefonivestlus ei vii vautšeri ostu lepingu sõlmimiseni. Teenindusülesande vormistamine viitas vajadusele moodustada täielik (vajalik ja piisav) loetelu äritehingu eseme tunnustest ja nende täpsetest tähendustest. Seejärel järjestatakse need omadused näiteks paarisvõrdluse meetodil ja asetatakse dialoogi nende tähtsuse järgi, näiteks: aastaaeg (talv), kuu (jaanuar), kliima (kuiv), õhutemperatuur (+ 25 °C), õhuniiskus (40%), geograafiline asukoht (ekvaatorile lähemal), lennuaeg (kuni 5 tundi), ümberistumine, riik (Egiptus), linn (Hurghada), meri (punane), merevee temperatuur ( +23°C), hotelliaste ( 4 tärni, töötav konditsioneer, toas šampooni garantii), kaugus merest (kuni 300 m), kaugus kauplustest (lähedal), kaugus diskodest ja muudest müraallikatest ( kaugemal, vaikus hotellis magades), toit (rootsi laud - hommiku-, õhtusöök, menüü muutuste sagedus nädalas), hotellid (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), ekskursioonid (Kairo, Luxor, korallisaared, sukeldumine), meelelahutussaated, spordimängud, ekskursiooni hind, makseviis, kindlustuse sisu, mida kaasa võtta, mida osta kohapeal, garantiid, trahvid.

On veel üks väga oluline, kliendile kasulik näitaja, mida tähelepanelik lugeja kutsutakse iseseisvalt paika panema. Seejärel saab loetletud karakteristikute x i paarilise võrdlemise meetodil moodustada n x n võrdlusmaatriksi, mille elemendid täidetakse järjestikku ridade kaupa vastavalt järgmisele reeglile:

0, kui tunnus on vähem oluline,

ja ij = 1, kui tunnus on samaväärne,

2, kui tunnus on domineeriv.

Pärast seda määratakse rea S i =∑a ij iga indikaatori hinnangute summade väärtused, iga karakteristiku kaal M i = S i /n 2 ja vastavalt integraali kriteerium. mille alusel on võimalik valemi järgi valida reisibüroo, ekskursioon või hotell

F = ∑ M i * x i -» max.

Selle protseduuri võimalike vigade kõrvaldamiseks võetakse näiteks 5-palline hindamisskaala tunnuste gradatsiooniga B i (x i) vastavalt põhimõttele halvem (B i = 1 punkt) - parem (B i = 5). punktid). Näiteks mida kallim tuur, seda halvem, mida odavam, seda parem. Selle põhjal on eesmärgifunktsioonil erinev vorm:

F b = ∑ M i * B i * x i -> max.

Seega on võimalik matemaatiliste meetodite ja mudelite kasutamisele, kasutades formaliseerimise eeliseid, täpsemalt ja objektiivsemalt sõnastada ülesannete püstitus ning oluliselt parandada QS-i tulemuslikkust äritegevuses eesmärkide saavutamiseks.

3.4 Ühe kanaliga QS piiratud järjekorra pikkusega

Kommertstegevuses on rohkem levinud QS koos ootamisega (järjekorraga).

Vaatleme lihtsat ühekanalilist piiratud järjekorraga QS-i, milles järjekorra kohtade arv m on fikseeritud väärtus. Järelikult ei võeta vastu taotlust, mis saabus ajal, mil kõik kohad järjekorras on hõivatud, teenindamiseks, ei liitu järjekorda ja lahkub süsteemist.

Selle QS-i graafik on näidatud joonisel fig. 3.4 ja langeb kokku joonisel fig. 2.1 kirjeldades "sünni-surma" protsessi, selle erinevusega, et ainult ühe kanali olemasolul.

μ μμμ... μ

Riis. 3.4. Teeninduse "sünd-surm" protsessi märgistatud graafik; kõik teenusevoogude intensiivsused on võrdsed

QS olekuid saab esitada järgmiselt:

S 0 - teeninduskanal on tasuta,

S, - teeninduskanal on hõivatud, kuid järjekorda pole,

S 2 - teeninduskanal on hõivatud, järjekorras on üks päring,

S 3 - teeninduskanal on hõivatud, järjekorras on kaks päringut,

S m +1 - teeninduskanal on hõivatud, kõik m kohta järjekorras on hõivatud, kõik järgnevad taotlused lükatakse tagasi.

Juhusliku QS-protsessi kirjeldamiseks võite kasutada eelnevalt kirjeldatud reegleid ja valemeid. Kirjutame avaldised, mis määravad olekute piiravad tõenäosused:

p 1 = ρ * ρ o

p 2 =ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p 0 = -1

P 0 avaldise saab sel juhul kirjutada lihtsamalt, kasutades asjaolu, et nimetaja sisaldab p suhtes geomeetrilist progressiooni, siis pärast sobivaid teisendusi saame:

ρ= (1- ρ )

See valem kehtib kõigi p jaoks peale 1, kuid kui p = 1, siis p 0 = 1/(t + 2) ja kõik muud tõenäosused on samuti võrdsed 1/(t + 2). Kui eeldame, et m = 0, siis liigume ühe kanaliga QS-i arvestamiselt ootamisega juba vaadeldud ühe kanaliga QS-ile koos teenuse keelamisega. Tõepoolest, piirtõenäosuse p 0 avaldis juhul m = 0 on kujul:

p o = μ / (λ+μ)

Ja juhul λ = μ on selle väärtus p 0 = 1 / 2.

Määrame ühe kanaliga QS-i peamised omadused koos ootamisega: suhteline ja absoluutne läbilaskevõime, ebaõnnestumise tõenäosus, samuti keskmine järjekorra pikkus ja keskmine ooteaeg järjekorras olevale rakendusele.

Taotlus lükatakse tagasi, kui see saabub ajal, mil QS on juba olekus S m +1 ja seetõttu on kõik kohad järjekorras hõivatud ja üks kanal teenindab. Seetõttu määratakse ebaõnnestumise tõenäosus tõenäosusega esinemine

Osariigid S m +1:

P avatud = p m +1 = ρ m +1 * p 0

Suhteline läbilaskevõime ehk ajaühikus saabuvate teenindatavate päringute osakaal määratakse avaldisega

Q = 1- p avatud = 1- ρ m+1 * p 0

absoluutne läbilaskevõime on:

Teenuse järjekorras väga seisvate rakenduste keskmine arv L määratakse juhusliku suuruse k matemaatilise ootusega - järjekorras seisvate rakenduste arv

Juhuslik muutuja võtab ainult järgmised täisarvud:

1 - järjekorras on üks rakendus,

2 - järjekorras on kaks rakendust,

t-kõik kohad järjekorras on hõivatud

Nende väärtuste tõenäosused määratakse olekute vastavate tõenäosustega, alustades olekust S 2. Diskreetse juhusliku suuruse k jaotusseadus on kujutatud järgmiselt:

Selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus on:

L och = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1

Üldjuhul saab p ≠1 korral selle summa teisendada geomeetriliste progressioonimudelite abil mugavamale kujule:

Lp = p 2 * 1- p m* (m-m*p+1)* lk 0

Erijuhul, kui p = 1, kui kõik tõenäosused p k on võrdsed, saab kasutada arvurea liikmete summa avaldist

1+2+3+ m = m ( m +1)

Siis saame valemi

L’och = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p=1).

Sarnaseid põhjendusi ja teisendusi kasutades saab näidata, et keskmine ooteaeg päringu teenindamiseks järjekorras määratakse Little'i valemitega

T och = L och /A (p ≠ 1 puhul) ja T 1 och = L’ och /A (p = 1 puhul).

See tulemus, kui selgub, et T och ~ 1/ λ, võib tunduda kummaline: rakenduste voo intensiivsuse suurenemisega näib järjekorra pikkus pikenevat ja keskmine ooteaeg väheneb. Siiski tuleb meeles pidada, et esiteks on L och väärtus λ ja μ funktsioon ning teiseks on vaadeldaval QS-il piiratud järjekorra pikkus, mis ei ületa m rakendust.

Taotlus, mille QS sai ajal, mil kõik kanalid on hõivatud, lükatakse tagasi ja seetõttu on selle ooteaeg QS-is null. See viib üldjuhul (p ≠ 1 puhul) T vähenemiseni λ suurenemisega, kuna selliste taotluste osakaal suureneb λ suurenedes.

Kui loobuda järjekorra pikkuse piirangust, s.o. tend m-> →∞, siis juhud lk< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k =р k * (1 - р)

Piisavalt suure k korral kipub tõenäosus p k olema null. Seetõttu on suhteline läbilaskevõime Q = 1 ja absoluutne läbilaskevõime võrdub A -λ Q - λ, seega teenindatakse kõiki sissetulevaid päringuid ja järjekorra keskmine pikkus on võrdne:

L och = lk 2 1-p

ja keskmine ooteaeg Little'i valemi järgi

T och = L och /A

Limiidis lk<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

QS-i ühe tunnusena kasutatakse päringu QS-is viibimise keskmist aega T cm, sealhulgas keskmist järjekorras viibimise aega ja keskmist teenindusaega. See väärtus arvutatakse Little'i valemite abil: kui järjekorra pikkus on piiratud, võrdub keskmine rakenduste arv järjekorras:

L cm= m +1 ;2

T smo= L smo; p ≠1 juures

Siis on päringu järjekorrasüsteemis viibimise keskmine aeg (nii järjekorras kui ka teenuses) võrdne:

T smo= m +1 p ≠1 2μ juures

3.5 Ühe kanaliga QS piiramatu järjekorraga

Näiteks äritegevuses tegutseb kommertsdirektor piiramatu ootamisega ühe kanaliga ühise turundajana, kuna ta on reeglina sunnitud teenindama erinevat laadi taotlusi: dokumente, telefonivestlusi, kohtumisi ja vestlusi alluvate, organisatsioonide esindajatega. maksuinspektsioonile, politseile, kaubaekspertidele, turundajatele, tootetarnijatele ja kauba-finantssfääri probleemide lahendamisele suure finantsvastutusega, mis on seotud taotluste kohustusliku täitmisega, mis mõnikord ootavad kannatamatult oma nõuete täitmist, ja ebaõige teenindamise vead on reeglina majanduslikult väga olulised.

Samal ajal moodustavad müügiks (teenindamiseks) imporditud kaubad laos viibides teeninduse (müügi) järjekorra.

Järjekorra pikkus on müügiks mõeldud kaupade arv. Sellises olukorras toimivad müüjad kaupu teenindavate kanalitena. Kui müügiks mõeldud kaupade hulk on suur, siis antud juhul on tegemist tüüpilise ootamisega QS-i juhtumiga.

Vaatleme lihtsaimat ühe kanaliga QS-i, millel on teenuse ootamine, mis võtab vastu Poissoni päringute voo intensiivsusega λ ja teenuse intensiivsusega µ.

Veelgi enam, taotlus, mis saabus ajal, mil kanal on teenindusega hõivatud, pannakse järjekorda ja ootab teenust.

Sellise süsteemi märgistatud olekugraafik on näidatud joonisel fig. 3.5

Võimalike olekute arv on lõpmatu:

Kanal on tasuta, järjekorda pole, ;

Kanal on teenusega hõivatud, järjekorda pole, ;

Kanal hõivatud, üks taotlus järjekorras, ;

Kanal on hõivatud, rakendus on järjekorras.

Piiramatu järjekorraga QS-i olekute tõenäosuse hindamise mudelid saab piiramatu järjekorraga QS-i jaoks eraldatud valemitest, minnes piirini m→∞:

Riis. 3.5 Ühekanalilise QS-i olekugraafik piiramatu järjekorraga.

Tuleb märkida, et QS-i puhul, mille järjekorra pikkus on valemis piiratud

on geomeetriline progressioon esimese liikmega 1 ja nimetajaga . Selline jada on lõpmatu arvu terminite summa juures . See summa läheneb, kui progresseerumine, mis väheneb lõpmatult kell , mis määrab QS-i püsiseisundi töörežiimi, järjekorraga kell võib aja jooksul kasvada lõpmatuseni.

Kuna vaadeldavas QS-is ei ole järjekorra pikkusele piiranguid, saab iga päringu teenindada, seega vastavalt suhteline läbilaskevõime ja absoluutne läbilaskevõime

Tõenäosus, et k rakendust on järjekorras, on:

;

Keskmine taotluste arv järjekorras –

Keskmine rakenduste arv süsteemis –

;

Keskmine aeg, mil rakendus süsteemis viibib –

;

Keskmine aeg, mil rakendus süsteemis viibib, on

.

Kui ühe kanaliga QS-is koos ootamisega on vastuvõetud päringute intensiivsus suurem kui teenuse intensiivsus, suureneb järjekord pidevalt. Sellega seoses on suurim huvi stabiilsete QS-süsteemide analüüs, mis töötavad statsionaarses režiimis kell.

3.6 Piiratud järjekorra pikkusega mitme kanaliga QS

Vaatleme mitme kanaliga QS-i, mille sisend võtab vastu Poissoni intensiivsusega päringute voo ja iga kanali teenuse intensiivsus on , maksimaalne võimalik kohtade arv järjekorras on m-ga piiratud. QS-i diskreetsed olekud määratakse süsteemi poolt vastuvõetud registreeritavate rakenduste arvu järgi.

Kõik kanalid on tasuta;

Ainult üks kanal (ükskõik milline) on hõivatud;

Ainult kaks kanalit (kõik) on hõivatud;

Kõik kanalid on hõivatud.

Kuigi QS on üheski neist olekutest, pole järjekorda. Kui kõik teeninduskanalid on hõivatud, moodustavad järgnevad päringud järjekorra, määrates seeläbi süsteemi edasise oleku:

Kõik kanalid on hõivatud ja üks rakendus on järjekorras,

Kõik kanalid on hõivatud ja kaks päringut on järjekorras,

Kõik kanalid ja kõik kohad järjekorras on hõivatud,

M kohaga piiratud järjekorraga n-kanaliga QS olekugraafik joonisel 3.6.

Riis. 3.6 N-kanaliga QS-i olekugraafik järjekorra pikkuse piiranguga m

QS-i ülemineku suure arvuga olekusse määrab sissetulevate päringute voog intensiivsusega , samas kui tingimuse kohaselt osalevad nende päringute teenindamises iga kanali jaoks võrdse teenusevoo intensiivsusega identsed kanalid. Sel juhul suureneb teenusevoo koguintensiivsus uute kanalite ühendamisel kuni olekuni, mil kõik n kanalit on hõivatud. Järjekorra ilmumisel suureneb teenuse intensiivsus veelgi, kuna see on juba saavutanud maksimaalse väärtuse, mis on võrdne .

Kirjutame üles olekute piiravate tõenäosuste avaldised:

Avaldist for saab teisendada, kasutades nimetajaga terminite summa geomeetrilise progressiooni valemit:

Järjekorra moodustamine on võimalik siis, kui äsja saabunud rakendus leiab süsteemist vähemalt nõuded, s.o. kui süsteemis on nõuded. Need sündmused on sõltumatud, seega on tõenäosus, et kõik kanalid on hõivatud, võrdne vastavate tõenäosuste summaga. Seetõttu on järjekorra tekkimise tõenäosus:

Teenuse keelamise tõenäosus ilmneb siis, kui kõik kanalid ja kõik kohad järjekorras on hõivatud:

Suhteline läbilaskevõime on võrdne:

Absoluutne läbilaskevõime -

Keskmine hõivatud kanalite arv –

Keskmine jõudeoleku kanalite arv –

Kanali hõivatuse (kasutus) tegur –

Kanali seisaku suhe –

Keskmine taotluste arv järjekorras –

Kui , võtab see valem teistsuguse kuju -

Keskmine ooteaeg järjekorras määratakse Little'i valemitega -

Rakenduse keskmine QS-is viibimise aeg, nagu ka ühe kanaliga QS-i puhul, on keskmise teenindusaja võrra pikem kui keskmine ooteaeg järjekorras, mis on võrdne , kuna rakendust teenindab alati ainult üks kanal:

3.7 Mitme kanaliga QS piiramatu järjekorraga

Vaatleme mitme kanaliga QS-i ooteaja ja piiramatu järjekorra pikkusega, mis võtab vastu intensiivsusega päringute voo ja millel on iga kanali teenuse intensiivsus. Märgistatud olekugraafik on näidatud joonisel 3.7. Sellel on lõpmatu arv olekuid:

S - kõik kanalid on vabad, k=0;

S - üks kanal on hõivatud, ülejäänud on vabad, k=1;

S - kaks kanalit on hõivatud, ülejäänud on vabad, k=2;

S - kõik n kanalit on hõivatud, k=n, järjekord puudub;

S - kõik n kanalit on hõivatud, üks päring on järjekorras, k=n+1,

S – kõik n kanalit on hõivatud, r rakendust on järjekorras, k=n+r,

Olekutõenäosused saame piiratud järjekorraga mitmekanalilise QS-i valemitest, kui minnakse üle piirini punktis m. Tuleb märkida, et avaldise p geomeetrilise progressiooni summa lahkneb koormustasemel p/n>1, järjekord suureneb määramatult ja p/n juures<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Järjekorda pole

Joonis 3.7 Mitme kanaliga QS-i märgistatud olekugraafik

piiramatu järjekorraga

mille jaoks defineerime olekute piiravate tõenäosuste avaldised:

Kuna sellistes süsteemides ei saa olla teenuse keelamist, on läbilaskevõime omadused võrdsed:

keskmine taotluste arv järjekorras –

keskmine ooteaeg järjekorras –

keskmine ühise turukorralduse taotluste arv –

Tõenäosus, et QS on olekus, kui päringuid pole ja ükski kanal pole hõivatud, määrab avaldis

See tõenäosus määrab teenusekanali seisakuaja keskmise protsendi. Tõenäosus, et olete hõivatud k päringu teenindamisega –

Selle põhjal on võimalik määrata tõenäosus või aja proportsioon, mil teenus on hõivatud kõigis kanalites

Kui kõik kanalid on juba teenindusega hõivatud, määrab oleku tõenäosus avaldisega

Järjekorras olemise tõenäosus on võrdne tõenäosusega leida kõik kanalid, mis on juba teenusega hõivatud

Järjekorras olevate ja ootavate teenuste keskmine arv on:

Keskmine rakenduse ooteaeg järjekorras Little’i valemi järgi: ja süsteemis

teenuse poolt hõivatud kanalite keskmine arv:

keskmine tasuta kanalite arv:

teeninduskanali täituvus:

Oluline on märkida, et parameeter iseloomustab sisendvoo koordineerimise astet, näiteks kaupluses olevaid kliente teenusevoo intensiivsusega. Teenindusprotsess on stabiilne, kui süsteemis pikeneb aga keskmine järjekorra pikkus ja klientide keskmine ooteaeg teenuse alustamiseks ning seetõttu töötab teenindussüsteem ebastabiilselt.

3.8 Supermarketite järjekorrasüsteemi analüüs

Kaubandustegevuse üheks oluliseks ülesandeks on massiteenuste kaubanduse ja tehnoloogilise protsessi ratsionaalne korraldamine, näiteks supermarketis. Eelkõige ei ole jaemüügipunkti kassa võimsuse määramine lihtne ülesanne. Sellised majanduslikud ja organisatsioonilised näitajad nagu käibekoormus 1 m 2 kaubanduspinna kohta, ettevõtte läbilaskevõime, klientide kaupluses veedetud aeg, samuti kauplemispõranda tehnoloogilise lahenduse taseme näitajad: iseteenindustsoonide ja maksekeskuse alad, paigaldus- ja eksponeerimisalade koefitsiendid, paljuski määratud kassa läbilaskevõimega. Sel juhul kahe teenindustsooni (faasi) läbilaskevõime: iseteenindustsoon ja asustussõlme tsoon (joonis 4.1).

Sissetuleva kliendivoo intensiivsus;

Klientide iseteenindusalasse saabumise intensiivsus;

Maksekeskusesse saabuvate klientide intensiivsus;

Teenuse voo intensiivsus.

Joon.4.1. Kahefaasilise QS-süsteemi mudel supermarketi kauplemispõrandale

Arvelduskeskuse põhiülesanne on tagada müügipinnal klientide kõrge läbilaskevõime ja luua mugav klienditeenindus. Arvutussõlme läbilaskevõimet mõjutavad tegurid võib jagada kahte rühma:

1) majanduslikud ja organisatsioonilised tegurid: rahalise vastutuse süsteem supermarketis; ühe ostu keskmine maksumus ja struktuur;

2) kassa organisatsiooniline struktuur;

3) tehnilised ja tehnoloogilised tegurid: kasutatavate kassaaparaatide ja kassaaparaatide tüübid; kassapidaja kasutatav klienditeenindustehnoloogia; kassa võimsuse vastavus kliendivoogude intensiivsusele.

Loetletud tegurite gruppidest avaldab suurimat mõju kassaaparaadi organisatsiooniline struktuur ja kassa võimsuse vastavus kliendivoogude intensiivsusele.

Vaatleme teenindussüsteemi mõlemat etappi:

1) klientide kaubavalik iseteeninduspiirkonnas;

2) klienditeenindus asustuspiirkonnas. Sissetulev klientide voog siseneb iseteeninduse faasi ja ostja valib iseseisvalt endale vajalikud tooteüksused, moodustades need üheks ostuks. Veelgi enam, selle faasi aeg sõltub sellest, kuidas tootetsoonid omavahel paiknevad, milline esikülg neil on, kui palju aega kulub ostjal konkreetse toote valikule, milline on ostu struktuur jne.

Iseteenindusalast väljaminev klientide voog on samal ajal kassaalasse sisenev voog, mis sisaldab järjestikku ostja järjekorras ootamist ja seejärel kassapidaja poolt teenindamist. Kassaaparaati võib käsitleda kui kahjudega teenindussüsteemi või kui ootamisega teenindussüsteemi.

Kuid ei esimene ega teine ​​vaadeldav süsteem ei võimalda meil tõesti kirjeldada teenindusprotsessi supermarketi kassas järgmistel põhjustel:

esimese variandi puhul nõuab kassaplokk, mille võimsus projekteeritakse kadudega süsteemi jaoks, olulisi nii kapitaliinvesteeringuid kui ka jooksvaid kulusid kassakontrollerite ülalpidamiseks;

teise variandi puhul toob kassaaparaat, mille võimsus on kavandatud ootustega süsteemile, klientidele, kes ootavad teenindust, suure ajaraiskamise. Samas tipptundidel kassaala “üle” ja klientide järjekord “voolab” iseteenindusalasse, mis rikub tavalisi tingimusi teistele klientidele kauba valikul.

Sellega seoses on soovitav käsitleda teenuse teist etappi kui piiratud järjekorraga süsteemi, mis on vahepealne ootega süsteemi ja kadudega süsteemi vahel. Eeldatakse, et süsteemis ei saa korraga olla rohkem kui L ja L=n+m, kus n on kassades teenindatavate klientide arv, m on järjekorras seisvate klientide arv ja mis tahes m+1 rakendus jätab süsteemi teenindamata.

See tingimus võimaldab ühelt poolt piirata kassaala pindala, võttes arvesse maksimaalset lubatud järjekorra pikkust, ja teisest küljest piirata aega, kui kaua kliendid kassas teenindust ootavad. kassa, st. võtta arvesse tarbija tarbimiskulusid.

Probleemi sellisel kujul püstitamise paikapidavust kinnitavad supermarketite kliendivoogude uuringud, mille tulemused on toodud tabelis. 4.1, mille analüüsimisel ilmnes tihe seos keskmise pika kassajärjekorra ja ostude sooritamata jätnud klientide arvu vahel.

Supermarketi kassa korraldamisel on veel üks oluline funktsioon, mis mõjutab oluliselt selle läbilaskevõimet: kiirkassade olemasolu (ühe või kahe ostu jaoks). Supermarketite klientide voo struktuuri uuring sularahateenuse liikide lõikes näitab, et käibevoog on 12,9% (tabel 4.2).

Teenindusprotsessi matemaatilise mudeli lõplikuks koostamiseks, võttes arvesse ülaltoodud tegureid, on vaja määrata juhuslike suuruste jaotusfunktsioonid, samuti sissetulevaid ja väljaminevaid kliendivooge kirjeldavad juhuslikud protsessid:

1) funktsioon jaotada klientidele aega kaupade valimiseks iseteeninduspiirkonnas;

2) tavakassade ja kiirkassade kassapidaja tööaja jaotamise funktsioon;

3) juhuslik protsess, mis kirjeldab sissetulevat klientide voogu teenuse esimeses etapis;

4) tavakassade ja kiirkassade teise faasi teenuse sissetulevat voogu kirjeldav juhuslik protsess.

Järjekorrasüsteemi karakteristikute arvutamiseks on mugav kasutada mudeleid, kui järjekorrasüsteemi sissetulev päringute voog on lihtne Poissoni voog ning päringute teenindusaeg jaotub eksponentsiaalseaduse järgi.

Kassapiirkonna klientide voo uuring näitas, et selle jaoks saab kasutada Poissoni voogu.

Kassapidajate klientide teenindamise aja jaotusfunktsioon on eksponentsiaalne, see eeldus ei too kaasa suuri vigu.

Kahtlemata pakub huvi supermarketi kassa kliendivoo teenindamise tunnuste analüüs, mis on arvutatud kolme süsteemi jaoks: kadudega, ootega ja segatüüpi.

Kassaaparaadi klienditeenindusprotsessi parameetrite arvutused viidi läbi äriettevõtte jaoks, mille müügipind on S = 650, tuginedes järgmistele andmetele.

Eesmärkfunktsiooni saab kirjutada müügitulu seose (kriteeriumi) üldkujul QS-i omadustest:

kus - kassa koosneb =7 tavakassast ja =2 kiirkassast,

Klienditeeninduse intensiivsus tavakassade valdkonnas on 0,823 inimest/min;

Kassaaparaatide koormusintensiivsus tavakassade piirkonnas on 6,65,

Klienditeeninduse intensiivsus kiirkassa alas on 2,18 inimest/min;

Tavakassade alasse siseneva voolu intensiivsus on 5,47 inimest/min.

Kiirkassa ala kassaaparaatide koormuse intensiivsus on 1,63,

Kiirkassa alasse siseneva voolu intensiivsus on 3,55 inimest/min;

QS-mudeli puhul, mille järjekorra pikkusele on piirang vastavalt kassa projekteeritud alale, eeldatakse, et ühe kassa juures järjekorras seisvate klientide maksimaalne lubatud arv on m = 10 klienti.

Tuleb märkida, et taotluste kadumise tõenäosuse ja klientide kassas ooteaja suhteliselt väikeste absoluutväärtuste saamiseks peavad olema täidetud järgmised tingimused:

Tabelis 6.6.3 on toodud QS-i toimimise kvaliteedinäitajate tulemused arvutussõlme piirkonnas.

Arvutused tehti tööpäeva kiireima perioodi kohta 17-21 tundi. Just sel perioodil, nagu uuringutulemused näitavad, moodustab umbes 50% ühepäevasest ostjate voolust.

Tabelis toodud andmetest. 4.3 järeldub, et kui arvutamiseks valiti:

1) keeldumistega mudel, siis peaks 22,6% tavakassaga teenindatavate klientide voost ja vastavalt 33,6% kiirkassaga teenindatavate klientide voost lahkuma ostmata;

2) ootusega mudel, siis ei tohiks arveldussõlmes tellimusi kaduda;

Tabel 4.3 Kassaala klientide järjekorrasüsteemi omadused

3) järjekorra pikkuse piiranguga mudel, siis väljub kauplemisplatsilt oste tegemata vaid 0,12% tavakassaga teenindatavate klientide voost ja 1,8% kiirkassaga teenindatavate klientide voost. Järelikult võimaldab järjekorra pikkuse piiranguga mudel täpsemalt ja realistlikumalt kirjeldada klientide teenindamise protsessi kassapiirkonnas.

Huvitav on kassaaparaadi võimsuse võrdlev arvutus nii kiirkassaga kui ka ilma. Tabelis Tabelis 4.4 on toodud kolme standardsuurusega supermarketite kassateenindussüsteemi omadused, mis on arvutatud iseteeninduspoodide mudelite abil, mille järjekorra pikkuse piirang tööpäeva kõige tihedamal perioodil on 17–21 tundi.

Selle tabeli andmete analüüs näitab, et teguri “Kliendivoo struktuur sularahateenuse liikide kaupa” arvestamata jätmine tehnoloogilise projekteerimise etapis võib viia maksekeskuse pindala suurenemiseni 22-33 võrra. % ja sellest tulenevalt jaemüügi- ja tehnoloogiliste seadmete paigaldus- ja näitusepindade ning müügipõrandale paigutatud kaubamassi vähenemine.

Kassaaparaadi võimsuse määramise probleem on omavahel seotud tunnuste ahel. Seega vähendab selle võimsuse suurendamine klientide teenuse ooteaega, vähendab vajaduste kadumise ja sellest tulenevalt ka käibe vähenemise tõenäosust. Koos sellega on vaja vastavalt vähendada iseteeninduspinda, kaubandus- ja tehnoloogiliste seadmete esikülge ning kaubavarusid müügiplatsil. Samal ajal suurenevad kassapidajate palgakulud ja täiendavate töökohtade varustus. Sellepärast

on vaja läbi viia optimeerimisarvutused. Vaatleme 650 m2 jaemüügipinnaga supermarketi kassa teenindussüsteemi omadusi, mis on arvutatud QS-mudelite abil, mille järjekorra pikkus on piiratud kassa erinevate võimsuste jaoks tabelis. 4.5.

Tabeli andmete analüüsi põhjal. 4.5 võib järeldada, et kassade arvu kasvades pikeneb klientide ooteaeg järjekorras ja siis teatud aja möödudes see järsult langeb. Klientide ooteaja graafiku muudatuse olemus on selge, kui arvestada samaaegselt kahjunõude kaotamise tõenäosuse muutumist, on üsna ilmne, et kui kassa võimsus on liiga väike, siis enam kui 85% klientidest jäta teenindamata ja ülejäänud kliente teenindatakse väga lühikese aja jooksul. Mida suurem on kassaaparaadi võimsus, seda suurem on tõenäosus, et kliendid jäävad teenindust oodates kaduma, mis tähendab, et vastavalt pikeneb ka nende ooteaeg järjekorras. Seejärel vähenevad ootused ja kahjumite tõenäosus järsult.

Supermarketi puhul, mille müügipind on 650, jääb see tavakassa ala piirmäär 6 ja 7 kassa vahele. 7 kassaga on keskmine ooteaeg 2,66 minutit ning avalduste kaotamise tõenäosus väga väike - 0,1%. Seega, mis võimaldab teil saada massilise klienditeeninduse minimaalsed kogukulud.

Järeldus

Tabeli andmete analüüsi põhjal. 4.5 saame järeldada, et kassade arvu kasvades pikeneb klientide ooteaeg järjekorras. Ja siis pärast teatud hetke langeb see järsult. Klientide ooteaja graafiku muudatuse olemus on selge, kui arvestada samaaegselt nõuete kaotamise tõenäosuse muutumist, on üsna ilmne, et kui kassa võimsus on liiga väike, siis enam kui 85% klientidest jäta teenindamata ja ülejäänud kliente teenindatakse väga lühikese aja jooksul. Mida suurem on kassaaparaadi võimsus. Kahjudest ilmajäämise tõenäosus väheneb ja sellest tulenevalt seda suurem hulk kliente jääb nende teenust ootama, mis tähendab, et vastavalt pikeneb ka nende järjekorras seismise aeg. Kui arvutussõlm ületab oma optimaalse võimsuse, väheneb latentsusaeg ja kadude tõenäosus järsult.

Supermarketi jaoks, mille müügipind on 650 ruutmeetrit. meetrit, jääb see tavakassade pindala piirang 6-8 kassa vahele. 7 kassaga on keskmine ooteaeg 2,66 minutit ning avalduste kaotamise tõenäosus väga väike - 0,1%. Seega on ülesandeks valida selline kassaaparaadi võimsus, mis võimaldaks minimaalsed kogukulud massklienditeeninduseks.

Sellega seoses on probleemi lahendamise järgmiseks etapiks kassa võimsuse optimeerimine lähtuvalt erinevat tüüpi QS mudelite kasutamisest, võttes arvesse kogukulusid ja ülaltoodud tegureid.

Inimtegevuse praktikas hõivavad suure koha järjekorraprotsessid, mis tekivad sarnaste probleemide lahendamisel taaskasutatavaks kasutamiseks mõeldud süsteemides. Selliseid süsteeme nimetatakse järjekorrasüsteemideks (QS). Sellised süsteemid on näiteks telefonisüsteemid, arvutisüsteemid, autotransport, lennundus, remonditeenuste süsteemid, kauplused, piletikassad jne.

Iga süsteem koosneb teatud arvust teenindusüksustest (instrumendid, seadmed, seadmed, punktid, jaamad), mida nimetatakse teeninduskanaliteks Kanalite arvu alusel jagunevad QS-süsteemid ühe- ja mitmekanalilisteks. ühe kanaliga järjekorrasüsteemist on kujutatud joonisel 6.2.

Rakendused süsteemi tavaliselt ei saabu regulaarselt, vaid juhuslikult, moodustades juhusliku rakenduste voo (nõuded). Iga päringu teenindamine võib võtta kas teatud aja või sagedamini määramata aja. Juhuslik olemus toob kaasa asjaolu, et QS on ebaühtlaselt koormatud: mõnel ajaperioodil koguneb väga suur hulk rakendusi (need kas satuvad järjekorda või jätavad QS-i teenindamata), samal ajal kui teistel perioodidel töötab QS alakoormusega või on jõude. .

Riis. 6.2.

Järjekorrasüsteemide uurimise eesmärk on analüüsida nende toimimise kvaliteeti ja välja selgitada võimalused selle parandamiseks. Lisaks on mõistel "toimimise kvaliteet" igal üksikjuhul oma konkreetne tähendus ja seda väljendatakse mitmesugustes kvantitatiivsetes näitajates. Näiteks sellised kvantitatiivsed näitajad nagu teenindusjärjekorra suurus, keskmine teenindusaeg, teeninduse ootamine või päringu leidmine teenindussüsteemis, teenindusseadmete seisakud; kindlustunne, et kõiki süsteemi saabunud päringuid teenindatakse.

Järjekorrasüsteemi toimimise kvaliteedi all ei mõisteta seega konkreetse töö tegelikku kvaliteeti, mille kohta on päring saadud, vaid teenusevajaduse rahuldamise astet.

Järjekorrateooria aineks on matemaatiliste mudelite konstrueerimine, mis seovad QS etteantud töötingimused (kanalite arv, nende tootlikkus, päringute voo iseloom jne) QS jõudlusnäitajatega, kirjeldades selle võimekust. päringute vooga toimetulemiseks.

Järjekorrasüsteemide klassifikatsioon

Esimene funktsioon, mis võimaldab meil järjekorda seadmise ülesandeid klassifitseerida, on teenindussüsteemi poolt vastuvõetud päringute käitumine ajal, mil kõik masinad on hõivatud.

Mõnel juhul ei saa päring, mis siseneb süsteemi ajal, mil kõik seadmed on hõivatud, oodata nende vabastamist ja jätab süsteemi teenindamata, s.t. nõue on antud teenindussüsteemi jaoks kadunud. Selliseid teenindussüsteeme nimetatakse kadudega süsteemideks ja nende põhjal sõnastatud probleeme nimetatakse kadudega süsteemide teenindusprobleemideks.

Kui süsteemi sisenenud päring satub järjekorda ja ootab seadme vabanemist, siis selliseid süsteeme nimetatakse ootavateks süsteemideks ja vastavaid ülesandeid hooldustoiminguteks ootega süsteemides. Ootega QS jaguneb erinevateks tüüpideks olenevalt järjekorra korraldusest: piiratud või piiramatu järjekorra pikkusega, piiratud ooteajaga jne.

QS-id erinevad ka nõuete arvu poolest, mis võivad samaaegselt teenindussüsteemis olla. Esiletõstmine:

• 1) piiratud nõuetevooga süsteemid;
• 2) piiramatu nõuetevooga süsteemid.

Sõltuvalt teenuse sisemise korralduse vormidest süsteemis eristatakse järgmist:

• 1) tellitud hooldusega süsteemid;
• 2) häiritud teenindusega süsteemid.

QS-i uurimise oluline etapp on uuritavat protsessi iseloomustavate kriteeriumide valik. Valik sõltub uuritavate probleemide tüübist ja lahenduse eesmärgist.

Enamasti on praktikas süsteeme, kus nõuete voog on kõige lihtsama ja teenindusaeg järgib eksponentsiaalse jaotuse seadust. Need süsteemid on kõige täiuslikumalt välja töötatud järjekorrateoorias.

Ettevõtluskeskkonnas on tüüpilised ülesanded, millel on ootamine, piiratud arv servereid, piiratud päringute voog ja tellimata teenus.

Eeldused päringuvoo Poissoni olemuse ja teenindusaja eksponentsiaalse jaotuse kohta võimaldavad rakendada Markovi aparaati järjekorrateoorias. Füüsilises süsteemis toimuvat protsessi nimetatakse Markovi protsessiks (või protsessiks ilma järelmõjuta), kui igal ajahetkel sõltub süsteemi mis tahes oleku tõenäosus tulevikus ainult süsteemi hetkeseisust ja ei sõltu sellest, kuidas süsteem sellesse olekusse jõudis.

Vaatleme lõpliku diskreetse olekukogumiga QS-i (joonis 2). Määratleme oleku kui QS oleku, mis vastab hetkel hõivatud kanalite olemasolule. Sel juhul saab süsteem sobivatel diskreetsetel ajahetkedel oma olekut diskreetselt muuta. Kui QS-sisendisse saabub üks päring, muudab süsteem uneolekut,

ja kui süsteemist lahkub üks päring ja ühe kanali vastav väljalase – alates kuni.

Riis. 2. QS olekute ja üleminekute skeem

QS-i tüüpiline näide on mitme teenindava serveriga telekommunikatsioonisüsteem. Sellise QS-i sisendisse saabunud rakendust saab kas teenindada, järjekorda panna või teenusest keelduda. Sellega seoses jagunevad QS-id kahte põhitüüpi: a) riketega QS; b) SMO ootustega.

Tõrgetega süsteemides lükatakse taotlus, mis saabus hetkel, kui kõik teeninduskanalid on hõivatud, koheselt tagasi, lahkub süsteemist ega osale edasises teenindusprotsessis.

Ootamisega süsteemides ei lahku päring, mis leiab, et kõik kanalid on hõivatud, süsteemist, vaid satub järjekorda ja ootab, kuni mõni kanal vabaneb.

Järjekorrasüsteemide klassifitseerimistunnused.

Järjekorrasüsteemides on kolm peamist etappi, mille iga rakendus läbib:

1) rakenduse ilmumine süsteemi sissepääsu juurde;

2) järjekorra läbimine;

3) teenindusprotsess, mille järel rakendus süsteemist lahkub.

Iga etapp hõlmab teatud omadusi, mida tuleks enne matemaatiliste mudelite loomist arutada.

Sisestusomadused:

1) taotluste arv sissepääsu juures (rahvastiku suurus);

2) päringute teenindussüsteemi vastuvõtmise viis;

3) kliendi käitumine.

Taotluste arv sissepääsu juures. Potentsiaalsete rakenduste arvu (populatsiooni suurust) võib pidada kas lõpmatuks (piiramatu populatsioon) või lõplikuks (piiratud populatsioon). Kui süsteemisisendisse saabunud taotluste arv alates teenindusprotsessi algusest kuni mis tahes ajahetkeni moodustab vaid väikese osa potentsiaalsest klientide arvust, loetakse sisendpopulatsioon piiramatuks. Näited piiramata populatsioonidest: autod, mis läbivad kontrollpunkte kiirteedel, ostjad supermarketis jne. Enamik sisenemisjärjekorra mudeleid arvestab piiramatuid populatsioone.

Kui süsteemi sisenevate taotluste arv on võrreldav juba järjekorrasüsteemis olevate taotluste arvuga, loetakse populatsioon Piiratuks. Näide piiratud elanikkonnast: arvutid, mis kuuluvad konkreetsele organisatsioonile ja saadetakse hooldustöökotta.

Taotluste teenindussüsteemi vastuvõtmise viis. Soovid võivad teenindussüsteemi siseneda kindla ajakava alusel (näiteks üks patsient hambaarsti vastuvõtule iga 15 minuti järel, üks auto konveieril iga 20 minuti järel) või juhuslikult. Klientide esinemisi peetakse juhuslikeks, kui need on üksteisest sõltumatud ja on kindlasti ettearvamatud. Sageli saab järjekorraprobleemide korral esinemiste arvu ajaühiku kohta hinnata Poissoni tõenäosusjaotuse abil. Teatud saabumismääraga (näiteks kaks klienti tunnis või neli veokit minutis)

Diskreetset Poissoni jaotust kirjeldatakse järgmise valemiga:

Kus P(x) - sissepääsu tõenäosus X rakendused ajaühiku kohta;

X - rakenduste arv ajaühiku kohta;

L on taotluste keskmine arv ajaühikus (taotluste laekumise määr);

E = 2,7182 - naturaallogaritmi alus.

Vastavad tõenäosusväärtused P(x) saab kergesti määrata Poissoni jaotustabeli abil. Kui näiteks avalduste keskmine laekumise määr on kaks klienti tunnis, siis tõenäosus, et tunni jooksul ei laeku süsteemi mitte ühtegi avaldust, on 0,135, ühe avalduse laekumise tõenäosus on umbes 0,27 ja tõenäosus. kahest on samuti umbes 0,27 , kolm rakendust võivad ilmuda tõenäosusega 0,18, neli - umbes 0,09 jne. Tõenäosus, et tunni jooksul saabub süsteemi 9 või enam rakendust, on nullilähedane.

Praktikas ei allu rakenduste ilmumise tõenäosused muidugi alati Poissoni jaotusele (neil võib olla mõni muu jaotus). Seetõttu on vaja eeluuringuid, et kontrollida, kas Poissoni jaotus võib olla hea ligikaudne väärtus.

Kliendi käitumine . Enamik järjekorramudeleid põhinevad eeldusel, et kliendi käitumine on standardne, st iga süsteemi sisenev klient siseneb järjekorda, ootab teenindust ega lahku süsteemist enne, kui see on teenindatud. Ehk siis klient (inimene või masin), kes liitub järjekorda, ootab, kuni teda teenindatakse ja ei lahku järjekorrast ega liigu ühest järjekorrast teise.

Elu on palju keerulisem. Praktikas saavad kliendid järjekorrast lahkuda

sest see osutus liiga pikaks. Võib tekkida teine ​​olukord: kliendid ootavad oma järjekorda, kuid jätavad mingil põhjusel teenindamata. Need juhtumid on ka järjekorrateooria teemaks.

Järjekorra omadused:

2) teeninduseeskiri.

Järjekorra pikkus . Pikkus võib, aga ei pruugi olla piiratud. Järjekorra (järjekorra) pikkus on piiratud, kui see mingil põhjusel (näiteks füüsiliste piirangute tõttu) ei saa lõputult suureneda. Kui järjekord saavutab oma maksimaalse suuruse, siis järgmist päringut süsteemile ei lubata ja toimub keeldumine. Järjekorra pikkus ei ole piiratud, Kui järjekorras saab olla suvaline arv rakendusi. Näiteks autode rivi tanklas.

Teenuse reegel . Enamik reaalseid süsteeme kasutab "esimene sisse, esimene välja" reeglit. (FIFO - esimene sisse, esimene välja). Mõnel juhul, näiteks haigla kiirabis, võidakse lisaks sellele reeglile määrata erinevaid prioriteete . Südameinfarktiga kriitilises seisundis patsient saab tõenäoliselt eelistatumat abi kui murtud sõrmega patsient. Arvutiprogrammide käitamise järjekord on teine ​​näide hoolduse prioriteedist.