Diferentsiaalvõrrandi kalkulaatori detaillahendus. Lihtsamate esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendamine

I. Tavalised diferentsiaalvõrrandid

1.1. Põhimõisted ja määratlused

Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja x, vajalik funktsioon y ja selle tuletised või diferentsiaalid.

Sümboolselt kirjutatakse diferentsiaalvõrrand järgmiselt:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse tavaliseks, kui vajalik funktsioon sõltub ühest sõltumatust muutujast.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamine nimetatakse funktsiooniks, mis muudab selle võrrandi identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles võrrandis sisalduva kõrgeima tuletise järjekord

Näited.

1. Vaatleme esimest järku diferentsiaalvõrrandit

Selle võrrandi lahenduseks on funktsioon y = 5 ln x. Tõepoolest, asendamine y" võrrandisse, saame identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon y = 5 ln x– on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

2. Vaatleme teist järku diferentsiaalvõrrandit y" - 5a" + 6y = 0. Funktsioon on selle võrrandi lahendus.

Tõesti,.

Asendades need avaldised võrrandisse, saame: , – identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Diferentsiaalvõrrandite integreerimine on diferentsiaalvõrrandite lahenduste leidmise protsess.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend nimetatakse vormi funktsiooniks , mis sisaldab sama palju sõltumatuid suvalisi konstante kui võrrandi järjekord.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend on lahendus, mis saadakse suvaliste konstantide erinevate arvväärtuste üldlahendusest. Suvaliste konstantide väärtused leitakse argumendi ja funktsiooni teatud algväärtuste juures.

Diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse graafikut nimetatakse integraalkõver.

Näited

1. Leidke konkreetne lahendus esimest järku diferentsiaalvõrrandile

xdx + ydy = 0, Kui y= 4 kl x = 3.

Lahendus. Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame

kommenteerida. Integreerimise tulemusena saadud suvalist konstanti C saab esitada mis tahes kujul, mis sobib edasiste teisenduste jaoks. Sel juhul on ringi kanoonilist võrrandit arvesse võttes mugav esitada suvaline konstant C kujul .

- diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Võrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele y = 4 kl x = 3 leitakse üldisest, asendades üldlahendiga algtingimused: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Asendades üldlahendisse C=5, saame x 2 + y 2 = 5 2 .

See on eriline lahendus diferentsiaalvõrrandile, mis on saadud üldlahendusest antud algtingimustes.

2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Selle võrrandi lahenduseks on mis tahes funktsioon kujul , kus C on suvaline konstant. Tõepoolest, asendades võrranditesse , saame: , .

Järelikult on sellel diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendusi, kuna konstandi C erinevate väärtuste korral määrab võrdsus võrrandi erinevad lahendid.

Näiteks saate otsese asendamise abil kontrollida, kas funktsioonid toimivad on võrrandi lahendid.

Probleem, mille puhul peate leidma võrrandile konkreetse lahenduse y" = f(x,y) esialgset tingimust rahuldama y(x 0) = y 0, nimetatakse Cauchy probleemiks.

Võrrandi lahendamine y" = f(x,y), mis vastab esialgsele tingimusele, y(x 0) = y 0, nimetatakse Cauchy probleemi lahenduseks.

Cauchy probleemi lahendusel on lihtne geomeetriline tähendus. Tõepoolest, nende määratluste kohaselt Cauchy probleemi lahendamiseks y" = f(x,y) arvestades seda y(x 0) = y 0, tähendab võrrandi integraalkõvera leidmist y" = f(x,y) mis läbib antud punkti M 0 (x 0,y 0).

II. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

2.1. Põhimõisted

Esimest järku diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand F(x,y,y") = 0.

Esimest järku diferentsiaalvõrrand sisaldab esimest tuletist ja ei sisalda kõrgemat järku tuletisi.

Võrrand y" = f(x,y) nimetatakse esimest järku võrrandiks, mis on lahendatud tuletise suhtes.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on vormi funktsioon, mis sisaldab ühte suvalist konstanti.

Näide. Mõelge esimest järku diferentsiaalvõrrandile.

Selle võrrandi lahendus on funktsioon.

Tõepoolest, asendades selle võrrandi selle väärtusega, saame

see on 3x = 3x

Seetõttu on funktsioon mis tahes konstandi C võrrandi üldine lahendus.

Leidke sellele võrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust y(1)=1 Algtingimuste asendamine x = 1, y = 1 võrrandi üldlahendisse, saame kust C=0.

Seega saame konkreetse lahenduse üldisest, asendades selle võrrandi tulemuseks oleva väärtuse C=0- privaatne lahendus.

2.2. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on järgmise kujuga võrrand: y"=f(x)g(y) või diferentsiaalide kaudu, kus f(x) Ja g(y)– määratud funktsioonid.

Nende jaoks y, mille jaoks võrrand y"=f(x)g(y) on võrdne võrrandiga, milles muutuja y on olemas ainult vasakul küljel ja muutuja x on ainult paremal küljel. Nad ütlevad: "Eq. y"=f(x)g(y Eraldame muutujad."

Vormi võrrand nimetatakse eraldatud muutuja võrrandiks.

Võrrandi mõlema poole integreerimine Kõrval x, saame G(y) = F(x) + C on võrrandi üldlahend, kus G(y) Ja F(x)– mõned antiderivaadid vastavalt funktsioonide ja f(x), C suvaline konstant.

Algoritm eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

Näide 1

Lahenda võrrand y" = xy

Lahendus. Funktsiooni tuletis y" asendada see

eraldame muutujad

Integreerime võrdsuse mõlemad pooled:

Näide 2

2yy" = 1-3x2, Kui y 0 = 3 juures x 0 = 1

See on eraldatud muutuja võrrand. Kujutleme seda diferentsiaalides. Selleks kirjutame selle võrrandi ümber kujul Siit

Integreerides viimase võrdsuse mõlemad pooled, leiame

Algväärtuste asendamine x 0 = 1, y 0 = 3 me leiame KOOS 9=1-1+C, st. C = 9.

Seetõttu on vajalik osaline integraal või

Näide 3

Kirjutage punkti läbiva kõvera võrrand M(2;-3) ja millel on nurkkoefitsiendiga puutuja

Lahendus. Vastavalt seisundile

See on eraldatavate muutujatega võrrand. Jagades muutujad, saame:

Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame:

Kasutades algtingimusi, x = 2 Ja y = -3 me leiame C:

Seetõttu on nõutaval võrrandil vorm

2.3. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand y" = f(x)y + g(x)

Kus f(x) Ja g(x)- mõned täpsustatud funktsioonid.

Kui g(x)=0 siis nimetatakse lineaarset diferentsiaalvõrrandit homogeenseks ja selle kuju on: y" = f(x)y

Kui siis võrrand y" = f(x)y + g(x) nimetatakse heterogeenseks.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y on antud valemiga: kus KOOS– suvaline konstant.

Eelkõige siis, kui C = 0, siis on lahendus y = 0 Kui lineaarsel homogeensel võrrandil on vorm y" = ky Kus k on mingi konstant, siis on selle üldlahend kujul: .

Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y + g(x) on antud valemiga ,

need. on võrdne vastava lineaarse homogeense võrrandi üldlahendi ja selle võrrandi konkreetse lahendi summaga.

Vormide lineaarse mittehomogeense võrrandi jaoks y" = kx + b,

Kus k Ja b- mõned arvud ja konkreetne lahendus on konstantne funktsioon. Seetõttu on üldlahendusel vorm .

Näide. Lahenda võrrand y" + 2a +3 = 0

Lahendus. Esitame võrrandit kujul y" = -2y - 3 Kus k = -2, b = -3Üldine lahendus on antud valemiga.

Seetõttu kus C on suvaline konstant.

2.4. Esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamine Bernoulli meetodil

Üldise lahenduse leidmine esimest järku lineaarsele diferentsiaalvõrrandile y" = f(x)y + g(x) taandub kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks asendamise abil y=uv, Kus u Ja v- tundmatud funktsioonid x. Seda lahendusmeetodit nimetatakse Bernoulli meetodiks.

Algoritm esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

y" = f(x)y + g(x)

1. Sisestage asendus y=uv.

2. Eristage seda võrdsust y" = u"v + uv"

3. Asendus y Ja y" sellesse võrrandisse: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) või u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Rühmitage võrrandi liikmed nii, et u võtke see sulgudest välja:

5. Leia funktsioon sulust, võrdsustades selle nulliga

See on eraldatav võrrand:

Jagame muutujad ja saame:

Kus . .

6. Asendage saadud väärtus v võrrandisse (alates 4. sammust):

ja leidke funktsioon See on eraldatavate muutujatega võrrand:

7. Kirjutage üldlahendus kujul: , st. .

Näide 1

Leidke võrrandile konkreetne lahendus y" = -2y +3 = 0 Kui y=1 juures x = 0

Lahendus. Lahendame selle asendamise abil y=uv,.y" = u"v + uv"

Asendamine y Ja y" sellesse võrrandisse saame

Rühmitades võrrandi vasakule küljele teise ja kolmanda liikme, võtame välja ühisteguri u sulgudest välja

Võrdsustame sulgudes oleva avaldise nulliga ja pärast saadud võrrandi lahendamist leiame funktsiooni v = v(x)

Saame eraldatud muutujatega võrrandi. Integreerime selle võrrandi mõlemad pooled: Leia funktsioon v:

Asendame saadud väärtuse v võrrandisse saame:

See on eraldatud muutuja võrrand. Integreerime võrrandi mõlemad pooled: Leiame funktsiooni u = u(x,c) Leiame üldise lahenduse: Leiame võrrandile konkreetse lahenduse, mis vastab algtingimustele y = 1 juures x = 0:

III. Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

3.1. Põhimõisted ja määratlused

Teist järku diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis sisaldab mitte kõrgemat kui teist järku tuletisi. Üldjuhul kirjutatakse teist järku diferentsiaalvõrrand järgmiselt: F(x,y,y,y") = 0

Teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon vormist , mis sisaldab kahte suvalist konstanti C 1 Ja C 2.

Teist järku diferentsiaalvõrrandi erilahendus on lahendus, mis saadakse suvaliste konstantide teatud väärtuste üldlahendusest C 1 Ja C 2.

3.2. Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid koos konstantsed koefitsiendid.

Teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientidega nimetatakse vormi võrrandiks y" + py" +qy = 0, Kus lk Ja q- konstantsed väärtused.

Algoritm homogeensete konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks

1. Kirjutage diferentsiaalvõrrand järgmisel kujul: y" + py" +qy = 0.

2. Loo selle karakteristlik võrrand, tähistades y" läbi r 2, y" läbi r, y 1-s: r 2 + pr + q = 0

Diferentsiaalvõrrandite lahendamine. Tänu meie veebiteenusele saate lahendada mis tahes tüüpi ja keerukusega diferentsiaalvõrrandeid: ebahomogeenseid, homogeenseid, mittelineaarseid, lineaarseid, esimest, teist järku, eraldatavate või mitteeraldatavate muutujatega jne. Saate diferentsiaalvõrrandite lahenduse analüütilisel kujul koos üksikasjaliku kirjeldusega. Paljud inimesed on huvitatud: miks on vaja diferentsiaalvõrrandeid Internetis lahendada? Seda tüüpi võrrandid on väga levinud matemaatikas ja füüsikas, kus on võimatu lahendada paljusid ülesandeid ilma diferentsiaalvõrrandi arvutamiseta. Diferentsiaalvõrrandid on levinud ka majanduses, meditsiinis, bioloogias, keemias ja teistes teadustes. Sellise võrrandi lahendamine veebis lihtsustab oluliselt teie ülesandeid, annab teile võimaluse materjalist paremini aru saada ja ennast proovile panna. Diferentsiaalvõrrandite Internetis lahendamise eelised. Kaasaegne matemaatikateenuse veebisait võimaldab teil Internetis lahendada mis tahes keerukusega diferentsiaalvõrrandeid. Nagu teate, on diferentsiaalvõrrandite tüüpe suur hulk ja igaühel neist on oma lahendusmeetodid. Meie teenusest leiate Internetist lahendusi mis tahes järjestuse ja tüüpi diferentsiaalvõrranditele. Lahenduse saamiseks soovitame sisestada algandmed ja vajutada nuppu “Lahendus”. Vead teenuse töös on välistatud, seega võite olla 100% kindel, et saite õige vastuse. Lahendage meie teenusega diferentsiaalvõrrandeid. Lahendage diferentsiaalvõrrandeid võrgus. Vaikimisi on sellises võrrandis funktsioon y muutuja x funktsioon. Kuid saate määrata ka oma muutuja tähistuse. Näiteks kui määrate diferentsiaalvõrrandis y(t), määrab meie teenus automaatselt, et y on muutuja t funktsioon. Kogu diferentsiaalvõrrandi järjekord sõltub võrrandis oleva funktsiooni tuletise maksimaalsest järjestusest. Sellise võrrandi lahendamine tähendab soovitud funktsiooni leidmist. Meie teenus aitab teil lahendada diferentsiaalvõrrandeid võrgus. Võrrandi lahendamiseks ei pea te palju pingutama. Peate lihtsalt sisestama võrrandi vasak ja parem pool nõutavatele väljadele ja klõpsama nuppu "Lahendus". Sisestamisel tuleb funktsiooni tuletist tähistada apostroofiga. Mõne sekundiga saate diferentsiaalvõrrandi üksikasjaliku valmislahenduse. Meie teenus on täiesti tasuta. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid. Kui diferentsiaalvõrrandis on vasakul pool y-st sõltuv avaldis ja paremal pool x-ist sõltuv avaldis, siis nimetatakse sellist diferentsiaalvõrrandit eraldatavate muutujatega. Vasak pool võib sisaldada y tuletist, seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendus on y funktsiooni kujul, mis on väljendatud võrrandi parema poole integraali kaudu. Kui vasakul pool on y funktsiooni diferentsiaal, siis sel juhul on võrrandi mõlemad pooled integreeritud. Kui diferentsiaalvõrrandi muutujaid ei eraldata, tuleb need eraldatud diferentsiaalvõrrandi saamiseks eraldada. Lineaarne diferentsiaalvõrrand. Diferentsiaalvõrrandit, mille funktsioon ja kõik selle tuletised on esimesel astmel, nimetatakse lineaarseks. Võrrandi üldvorm: y’+a1(x)y=f(x). f(x) ja a1(x) on x pidevad funktsioonid. Seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendamine taandub kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi integreerimisele. Diferentsiaalvõrrandi järjekord. Diferentsiaalvõrrand võib olla esimest, teist, n-ndat järku. Diferentsiaalvõrrandi järjekord määrab selles sisalduva kõrgeima tuletise järjekorra. Meie teenuses saate Internetis lahendada diferentsiaalvõrrandeid esimese, teise, kolmanda jne jaoks. tellida. Võrrandi lahenduseks on mis tahes funktsioon y=f(x), asendades selle võrrandis, saad identiteedi. Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse integreerimiseks. Cauchy probleem. Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile endale on antud ka algtingimus y(x0)=y0, siis nimetatakse seda Cauchy probleemiks. Võrrandi lahendile lisatakse indikaatorid y0 ja x0 ning määratakse suvalise konstandi C väärtus ning seejärel määratakse võrrandi konkreetne lahendus sellel C väärtusel. See on Cauchy probleemi lahendus. Cauchy probleemi nimetatakse ka piirtingimuste probleemiks, mis on füüsikas ja mehaanikas väga levinud. Samuti on võimalus seada Cauchy ülesanne ehk kõigi võrrandi võimalike lahenduste hulgast valida jagatis, mis vastab etteantud algtingimustele.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Näited lahendustest.
Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandid (DE). Need kaks sõna tekitavad tavainimesel tavaliselt hirmu. Diferentsiaalvõrrandid näivad olevat paljude õpilaste jaoks üle jõu käivad ja raskesti omandatavad. Uuuuuu... diferentsiaalvõrrandid, kuidas ma seda kõike üle elan?!

See arvamus ja suhtumine on põhimõtteliselt vale, sest tegelikult DIFERENTSIVÕRRADID – SEE ON LIHTNE JA ISEGI LÕBUS. Mida peate teadma ja oskama, et õppida diferentsiaalvõrrandeid lahendama? Difuuside edukaks õppimiseks peate oskama hästi integreerida ja eristada. Mida paremini teemasid õpitakse Ühe muutuja funktsiooni tuletis Ja Määramatu integraal, seda lihtsam on diferentsiaalvõrranditest aru saada. Ütlen veel, kui sul on enam-vähem korralik lõimumisoskus, siis on teema peaaegu läbitud! Mida rohkem eri tüüpi integraale saate lahendada, seda parem. Miks? Peate palju integreerima. Ja eristada. Samuti väga soovitadaõppida leidma.

95% juhtudest sisaldavad testitööd kolme tüüpi esimese järgu diferentsiaalvõrrandeid: eraldatavad võrrandid mida me selles õppetükis vaatleme; homogeensed võrrandid Ja lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Neil, kes hakkavad difuusoreid õppima, soovitan teil lugeda õppetükke täpselt selles järjekorras ja pärast kahe esimese artikli lugemist ei tee haiget oma oskusi täiendavas töötoas kinnistada - võrrandid taandades homogeenseks.

On olemas veelgi haruldasemaid diferentsiaalvõrrandi tüüpe: diferentsiaalvõrrandid, Bernoulli võrrandid ja mõned teised. Kahest viimasest tüübist kõige olulisemad on summaarsete diferentsiaalide võrrandid, kuna lisaks sellele diferentsiaalvõrrandile kaalun uut materjali - osaline integratsioon.

Kui teil on jäänud vaid päev või kaks, See ülikiireks valmistamiseks Seal on välkkursus pdf formaadis.

Niisiis, maamärgid on paika pandud – lähme:

Kõigepealt meenutagem tavalisi algebralisi võrrandeid. Need sisaldavad muutujaid ja numbreid. Lihtsaim näide:. Mida tähendab tavalise võrrandi lahendamine? See tähendab leidmist numbrite komplekt, mis vastavad sellele võrrandile. On lihtne märgata, et laste võrrandil on üks juur: . Lõbu pärast kontrollime leitud juurt ja asendame selle võrrandiga:

– saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et lahendus leiti õigesti.

Difuusorid on disainitud umbes samamoodi!

Diferentsiaalvõrrand esimene tellimusüldiselt sisaldab:
1) sõltumatu muutuja;
2) sõltuv muutuja (funktsioon);
3) funktsiooni esimene tuletis: .

Mõnes esimest järku võrrandis ei pruugi olla "x" ja/või "y", kuid see pole oluline - oluline juhtimisruumi minema oli esimene tuletis ja ei olnud kõrgema järgu tuletised – jne.

Mida tähendab ? Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab leidmist kõigi funktsioonide komplekt, mis vastavad sellele võrrandile. Sellisel funktsioonide komplektil on sageli vorm (– suvaline konstant), mida nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Näide 1

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Täis laskemoon. Kust alustada lahendus?

Kõigepealt tuleb tuletis veidi teistsugusel kujul ümber kirjutada. Tuletame meelde tülikat määratlust, mis ilmselt tundus paljudele naeruväärne ja ebavajalik. See kehtib hajutites!

Teises etapis vaatame, kas see on võimalik eraldi muutujad? Mida tähendab muutujate eraldamine? Jämedalt öeldes, vasakul pool me peame lahkuma ainult "kreeklased", A paremal pool korraldada ainult "X". Muutujate jagamine toimub “kooli” manipulatsioonide abil: sulgudest välja võtmine, terminite ülekandmine osast osasse märgivahetusega, tegurite ülekandmine osast osasse proportsioonireegli järgi jne.

Diferentsiaalid ja on täielikud kordistajad ja aktiivsed vaenutegevuses osalejad. Vaatlusaluses näites on muutujad kergesti eraldatavad, visates tegurid vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud. Vasakul pool on ainult "Y", paremal - ainult "X".

Järgmine etapp - diferentsiaalvõrrandi integreerimine. See on lihtne, paneme integraalid mõlemale poole:

Muidugi peame võtma integraalid. Sel juhul on need tabelid:

Nagu mäletame, määratakse igale antiderivaadile konstant. Siin on kaks integraali, kuid konstandi kirjutamisest piisab üks kord (kuna konstant + konstant on ikkagi võrdne teise konstandiga). Enamikul juhtudel asetatakse see paremale küljele.

Rangelt võttes loetakse diferentsiaalvõrrand pärast integraalide võtmist lahendatuks. Ainus asi on see, et meie "y" ei väljendata "x" kaudu, see tähendab, et lahendus on esitatud implitsiitses vormi. Diferentsiaalvõrrandi lahendust kaudsel kujul nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldintegraal. See tähendab, et see on üldine integraal.

Vastus sellisel kujul on üsna vastuvõetav, kuid kas on paremat võimalust? Proovime saada ühine otsus.

Palun, mäleta esimest tehnikat, on see väga levinud ja seda kasutatakse sageli praktilistes ülesannetes: kui pärast integreerimist ilmub paremale poole logaritm, siis on paljudel juhtudel (aga mitte alati!) soovitatav kirjutada ka konstant logaritmi alla.

See on, SELLE ASEMEL kirjed kirjutatakse tavaliselt .

Miks see vajalik on? Ja selleks, et "mängu" väljendamine oleks lihtsam. Logaritmide omaduse kasutamine . Sel juhul:

Nüüd saab logaritme ja mooduleid eemaldada:

Funktsioon on selgelt esitatud. See on üldine lahendus.

Vastus: ühine otsus: .

Paljude diferentsiaalvõrrandite vastuseid on üsna lihtne kontrollida. Meie puhul tehakse seda üsna lihtsalt, võtame leitud lahenduse ja eristame seda:

Seejärel asendame tuletise algse võrrandiga:

– saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et üldlahend rahuldab võrrandit, mida oli vaja kontrollida.

Kui annate konstantse erinevad väärtused, võite saada lõpmatu arvu privaatsed lahendused diferentsiaalvõrrand. On selge, et mis tahes funktsioonid , jne. rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Mõnikord nimetatakse üldist lahendust funktsioonide perekond. Selles näites üldlahendus on lineaarsete funktsioonide perekond või täpsemalt otsese proportsionaalsuse perekond.

Pärast esimese näite põhjalikku läbivaatamist on asjakohane vastata mitmele naiivsele küsimusele diferentsiaalvõrrandite kohta:

1)Selles näites saime muutujad eraldada. Kas seda saab alati teha? Ei mitte alati. Ja veelgi sagedamini ei saa muutujaid eraldada. Näiteks sisse homogeensed esimest järku võrrandid, peate selle esmalt välja vahetama. Teist tüüpi võrrandites, näiteks esimest järku lineaarses mittehomogeenses võrrandis, peate üldlahenduse leidmiseks kasutama erinevaid tehnikaid ja meetodeid. Eraldatavate muutujatega võrrandid, mida käsitleme esimeses õppetükis, on kõige lihtsamad diferentsiaalvõrrandid.

2) Kas diferentsiaalvõrrandit on alati võimalik integreerida? Ei mitte alati. Väga lihtne on välja mõelda “väljamõeldud” võrrand, mida ei saa integreerida, lisaks on integraale, mida ei saa võtta. Kuid selliseid DE-sid saab ligikaudu lahendada spetsiaalsete meetodite abil. D'Alembert ja Cauchy garanteerivad... ...uh, varitsevad veel. Et just praegu palju lugeda, lisasin peaaegu "teisest maailmast".

3) Selles näites saime lahenduse üldintegraali kujul . Kas üldintegraalist on alati võimalik leida üldlahend, st väljendada "y" eksplitsiitselt? Ei mitte alati. Näiteks: . No kuidas saab siin "kreeka keelt" väljendada?! Sellistel juhtudel tuleks vastus kirjutada üldise integraalina. Lisaks on mõnikord võimalik leida üldine lahendus, kuid see on nii kohmakalt ja kohmakalt kirjutatud, et parem on jätta vastus üldise integraali kujul

4) ... ehk praegu piisab. Esimeses näites, millega me kokku puutusime veel üks oluline punkt, kuid selleks, et mitte katta "mannekeenid" uue teabe laviiniga, jätan selle järgmise õppetunnini.

Ärgem kiirustagem. Veel üks lihtne kaugjuhtimispult ja teine ​​tüüpiline lahendus:

Näide 2

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust

Lahendus: vastavalt seisukorrale tuleb leida privaatne lahendus DE, mis vastab antud algtingimusele. Seda küsimuse sõnastust nimetatakse ka Cauchy probleem.

Kõigepealt leiame üldise lahenduse. Võrrandis pole muutujat “x”, kuid see ei tohiks segadusse ajada, peaasi, et sellel oleks esimene tuletis.

Kirjutame tuletise nõutud kujul ümber:

Ilmselgelt saab muutujaid eraldada, poisid vasakule, tüdrukud paremale:

Integreerime võrrandi:

Üldine integraal saadakse. Siin joonistasin konstandi tärniga, tõsiasi on see, et varsti muutub see teiseks konstandiks.

Nüüd proovime muuta üldise integraali üldlahenduseks (väljendage "y" selgesõnaliselt). Meenutagem vanu häid asju kooliajast: . Sel juhul:

Indikaatori konstant näeb kuidagi ebakosher välja, nii et see on tavaliselt maa peale toodud. Üksikasjalikult see juhtub nii. Kasutades kraadide omadust, kirjutame funktsiooni ümber järgmiselt:

Kui on konstant, siis on ka mingi konstant, nimetame selle ümber tähega:

Pidage meeles, et konstandi "lammutamine" on teine ​​tehnika, mida kasutatakse sageli diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Seega on üldine lahendus: . See on kena eksponentsiaalsete funktsioonide perekond.

Viimases etapis peate leidma konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele. See on ka lihtne.

Mis on ülesanne? Vaja korjata selline konstandi väärtus, et tingimus oleks täidetud.

Seda saab vormindada erineval viisil, kuid see on ilmselt kõige selgem viis. Üldlahenduses asendame "X" asemel nulliga ja "Y" asemel kahega:



See on,

Standardse disaini versioon:

Nüüd asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendiga:
– see on konkreetne lahendus, mida me vajame.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollime. Privaatse lahenduse kontrollimine hõlmab kahte etappi:

Kõigepealt peate kontrollima, kas leitud lahendus vastab tõesti algtingimustele? "X" asemel asendame nulliga ja vaatame, mis juhtub:
– jah, sa said tõesti kahe, mis tähendab, et esialgne tingimus on täidetud.

Teine etapp on juba tuttav. Võtame saadud konkreetse lahenduse ja leiame tuletise:

Asendame algsesse võrrandisse:

– saavutatakse õige võrdsus.

Järeldus: konkreetne lahendus leiti õigesti.

Liigume edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 3

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Lahendus: Kirjutame tuletise ümber meile vajalikul kujul:

Hindame, kas muutujaid on võimalik eraldada? Saab. Liigume teise liikme märgivahetusega paremale:

Ja me kanname kordajad üle vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud, integreerime mõlemad osad:

Pean teid hoiatama, et kohtupäev läheneb. Kui sa pole hästi õppinud määramatud integraalid, on lahendanud vähe näiteid, siis pole enam kuhugi minna – peate need nüüd selgeks tegema.

Vasaku külje integraali on lihtne leida Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine eelmisel aastal:

Paremal pool on meil logaritm ja minu esimese tehnilise soovituse kohaselt tuleks logaritmi alla kirjutada ka konstant.

Nüüd proovime üldist integraali lihtsustada. Kuna meil on ainult logaritmid, siis on täiesti võimalik (ja vajalik) neist lahti saada. Kasutades tuntud omadused"Pakime" logaritme nii palju kui võimalik. Panen selle väga üksikasjalikult kirja:

Pakend on viimistletud barbaarselt räbaldunud:

Kas on võimalik väljendada "mängu"? Saab. Mõlemad osad on vaja ruudukujuliseks muuta.

Kuid te ei pea seda tegema.

Kolmas tehniline nõuanne: kui üldlahenduse saamiseks on vaja tõsta võimule või juurduda, siis Enamikel juhtudel peaksite nendest tegevustest hoiduma ja jätma vastuse üldise integraali kujul. Fakt on see, et üldine lahendus näeb lihtsalt kohutav välja - suurte juurte, siltide ja muu prügiga.

Seetõttu kirjutame vastuse üldise integraali kujul. Heaks tavaks peetakse selle esitamist kujul , st paremale küljele jätke võimalusel ainult konstant. Seda pole vaja teha, kuid alati on kasulik professorile meeldida ;-)

Vastus:üldine integraal:

! Märge: Mis tahes võrrandi üldintegraali saab kirjutada rohkem kui ühel viisil. Seega, kui teie tulemus ei kattu varem teadaoleva vastusega, ei tähenda see, et lahendasite võrrandi valesti.

Üldintegraali on ka üsna lihtne kontrollida, peaasi, et leiaks kaudselt määratud funktsiooni tuletis. Eristagem vastust:

Korrutame mõlemad terminid järgmisega:

Ja jagage:

Algne diferentsiaalvõrrand on saadud täpselt, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 4

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust. Tehke kontroll.

See on näide, mille saate ise lahendada.

Lubage mul teile meelde tuletada, et algoritm koosneb kahest etapist:
1) üldlahenduse leidmine;
2) vajaliku konkreetse lahenduse leidmine.

Kontrollimine toimub samuti kahes etapis (vt näidist näites nr 2), peate:
1) veenduma, et leitud lahendus vastab algtingimusele;
2) kontrollida, kas konkreetne lahendus üldiselt rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Näide 5

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus , mis rahuldab esialgset tingimust. Tehke kontroll.

Lahendus: Esiteks leiame üldlahenduse. See võrrand sisaldab juba valmis diferentsiaale ja seetõttu on lahendus lihtsustatud. Eraldame muutujad:

Integreerime võrrandi:

Vasakpoolne integraal on tabelikujuline, parempoolne integraal on võetud meetod funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmiseks:

Üldine integraal on saadud, kas üldlahendust on võimalik edukalt väljendada? Saab. Me riputame logaritmid mõlemale küljele. Kuna need on positiivsed, pole moodulmärgid vajalikud:

(Loodan, et kõik saavad transformatsioonist aru, selliseid asju peaks juba teadma)

Seega on üldine lahendus järgmine:

Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele.
Üldlahenduses asendame “X” asemel nulli ja “Y” asemel kahe logaritmi:

Tuntum disain:

Asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendiga.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollige: kõigepealt kontrollime, kas esialgne tingimus on täidetud:
- kõik on hästi.

Nüüd kontrollime, kas leitud konkreetne lahendus diferentsiaalvõrrandit üldse rahuldab. Tuletise leidmine:

Vaatame algset võrrandit: – see esitatakse diferentsiaalidena. Kontrollimiseks on kaks võimalust. Diferentsiaali leitud tuletisest on võimalik väljendada:

Asendame leitud konkreetse lahenduse ja saadud diferentsiaali algse võrrandiga :

Kasutame põhilogaritmilist identiteeti:

Saavutatakse õige võrdsus, mis tähendab, et konkreetne lahendus leiti õigesti.

Teine kontrollimeetod on peegeldatud ja tuttavam: võrrandist Avaldame tuletist, selleks jagame kõik tükid järgmisega:

Ja teisendatud DE-sse asendame saadud osalahendi ja leitud tuletise. Lihtsustamise tulemusel tuleks saavutada ka õige võrdsus.

Näide 6

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Esitage vastus üldise integraali kujul.

See on näide, mida saate ise lahendada, lõpetage lahendus ja vastake tunni lõpus.

Millised raskused seisavad ees eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel?

1) Alati pole (eriti „teekannu“ puhul) ilmne, et muutujaid saab eraldada. Vaatleme tingimuslikku näidet: . Siin tuleb sulgudest välja võtta tegurid: ja eraldada juured: . On selge, mida edasi teha.

2) Integratsiooni endaga seotud raskused. Integraalid ei ole sageli kõige lihtsamad ja kui leidmise oskustes on vigu määramatu integraal, siis on see paljude difuusoritega keeruline. Lisaks on kogumike ja koolituskäsiraamatute koostajate seas populaarne loogika “kuna diferentsiaalvõrrand on lihtne, siis olgu integraalid vähemalt keerulisemad”.

3) Teisendused konstandiga. Nagu kõik on märganud, saab diferentsiaalvõrrandites konstandiga üsna vabalt hakkama ja mõni teisendus pole algajale alati selge. Vaatame veel ühte tingimuslikku näidet: . Soovitav on kõik selles sisalduvad terminid korrutada 2-ga: . Saadud konstant on ka mingi konstant, mida saab tähistada järgmiselt: . Jah, ja kuna paremal pool on logaritm, siis on soovitatav konstant ümber kirjutada teise konstandi kujul: .

Probleem on selles, et nad sageli ei näe vaeva indeksite pärast ja kasutavad sama tähte. Selle tulemusena on otsuse protokoll järgmisel kujul:

Missugune ketserlus? Seal on vigu! Rangelt võttes jah. Sisulisest küljest aga vigu ei esine, sest muutujakonstandi teisendamise tulemusena saadakse ikkagi muutuvkonstant.

Või teine ​​näide, oletame, et võrrandi lahendamise käigus saadakse üldintegraal. See vastus näeb kole välja, seetõttu on soovitatav iga termini märki muuta: . Vormiliselt on siin veel üks viga – see tuleks kirjutada paremale. Kuid mitteametlikult antakse mõista, et "miinus ce" on ikkagi konstant ( mis võib sama lihtsalt võtta mis tahes tähenduse!), seega pole miinuse panemine mõttekas ja võite kasutada sama tähte.

Püüan vältida hoolimatut lähenemist ja siiski määran konstantidele nende teisendamisel erinevad indeksid.

Näide 7

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Tehke kontroll.

Lahendus: See võrrand võimaldab muutujaid eraldada. Eraldame muutujad:

Integreerime:

Siin ei ole vaja konstanti defineerida logaritmina, sest sellest ei tule midagi kasulikku.

Vastus:üldine integraal:

Kontrollige: eristage vastust (kaudne funktsioon):

Murdudest vabaneme, korrutades mõlemad terminid arvuga:

Saadud on algne diferentsiaalvõrrand, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 8

Leidke DE konkreetne lahendus.
,

See on näide, mille saate ise lahendada. Ainus vihje on see, et siit saate üldise integraali ja õigemini öeldes peate leidma mitte konkreetse lahenduse, vaid osaline integraal. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

See veebikalkulaator võimaldab teil diferentsiaalvõrrandeid võrgus lahendada. Piisab, kui sisestate oma võrrandi vastavale väljale, tähistades apostroofiga funktsiooni tuletist, ja klõpsake nuppu "Lahenda võrrand". diferentsiaalvõrrandi lahendamine täiesti tasuta. Samuti saate määratleda Cauchy probleemi, et valida kogu võimalike lahenduste hulgast jagatis, mis vastab antud algtingimustele. Cauchy probleem sisestatakse eraldi väljale.

Diferentsiaalvõrrand

Vaikimisi funktsioon võrrandis y on muutuja funktsioon x. Kui aga kirjutate võrrandisse näiteks y(t), tunneb kalkulaator selle automaatselt ära y muutujast on funktsioon t. Kalkulaatori abil saate lahendada diferentsiaalvõrrandeid mis tahes keerukuse ja tüübiga: homogeensed ja ebahomogeensed, lineaarsed või mittelineaarsed, esimest või teist ja kõrgemat järku, eraldatavate või mitteeraldatavate muutujatega võrrandid jne. Lahenduse erinevus. võrrand on esitatud analüütilisel kujul ja sellel on üksikasjalik kirjeldus. Diferentsiaalvõrrandid on füüsikas ja matemaatikas väga levinud. Ilma neid arvutamata on paljude ülesannete lahendamine võimatu (eriti matemaatilises füüsikas).

Diferentsiaalvõrrandite lahendamise üks etappe on funktsioonide integreerimine. Diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks on olemas standardmeetodid. Võrrandid on vaja taandada eraldatavate muutujatega y ja x vormiks ning eraldatud funktsioonid eraldi integreerida. Selleks tuleb mõnikord teha teatud asendus.

Tavaline diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja, selle muutuja tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi (või diferentsiaale).

Diferentsiaalvõrrandi järjekord nimetatakse selles sisalduva kõrgeima tuletise järguks.

Lisaks tavalistele uuritakse ka osadiferentsiaalvõrrandeid. Need on võrrandid, mis seostavad sõltumatuid muutujaid, nende muutujate tundmatut funktsiooni ja selle osalisi tuletisi samade muutujate suhtes. Kuid me kaalume ainult tavalised diferentsiaalvõrrandid ja seetõttu jätame lühiduse huvides sõna "tavaline".

Diferentsiaalvõrrandite näited:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Võrrand (1) on neljandat järku, võrrand (2) on kolmandat järku, võrrandid (3) ja (4) on teist järku, võrrand (5) on esimest järku.

Diferentsiaalvõrrand n järjekord ei pea tingimata sisaldama selgesõnalist funktsiooni, kõiki selle tuletisi esimesest kuni n-th järk ja sõltumatu muutuja. See ei tohi selgesõnaliselt sisaldada teatud järjestuste tuletisi, funktsiooni ega sõltumatut muutujat.

Näiteks võrrandis (1) puuduvad selgelt kolmandat ja teist järku tuletised, samuti funktsioon; võrrandis (2) - teist järku tuletis ja funktsioon; võrrandis (4) - sõltumatu muutuja; võrrandis (5) - funktsioonid. Ainult võrrand (3) sisaldab eksplitsiitselt kõiki tuletisi, funktsiooni ja sõltumatut muutujat.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamine kutsutakse iga funktsioon y = f(x), kui võrrandisse asendada, muutub see identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni.

Näide 1. Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujul . Lahendus on leida funktsioon selle tuletisest. Algfunktsioon, nagu on teada integraalarvutusest, on antiderivaat, s.o.

Seda see on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus . Muutumine selles C, saame erinevaid lahendusi. Saime teada, et esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv lahendusi.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend n järjekord on selle lahendus, mis on sõnaselgelt väljendatud tundmatu funktsiooni suhtes ja sisaldab n sõltumatud suvalised konstandid, st.

Näite 1 diferentsiaalvõrrandi lahendus on üldine.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse lahendust, kus suvalistele konstantidele antakse konkreetsed arvväärtused.

Näide 2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus ja konkreetne lahendus .

Lahendus. Integreerime võrrandi mõlemad pooled mitu korda, mis on võrdne diferentsiaalvõrrandi järjekorraga.

,

.

Selle tulemusena saime üldise lahenduse -

antud kolmandat järku diferentsiaalvõrrandist.

Nüüd leiame konkreetse lahenduse kindlaksmääratud tingimustel. Selleks asendage suvaliste koefitsientide asemel nende väärtused ja hankige

.

Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile on algtingimus antud kujul , siis sellist ülesannet nn. Cauchy probleem . Asendage väärtused ja võrrandi üldlahendisse ning leidke suvalise konstandi väärtus C, ja seejärel leitud väärtuse võrrandi konkreetne lahend C. See on lahendus Cauchy probleemile.

Näide 3. Lahendage näite 1 diferentsiaalvõrrandi Cauchy ülesanne objektiga .

Lahendus. Asendame algtingimuse väärtused üldlahendusega y = 3, x= 1. Saame

Kirjutame selle esimest järku diferentsiaalvõrrandi Cauchy probleemi lahenduse:

Diferentsiaalvõrrandite, ka kõige lihtsamate, lahendamine nõuab häid integreerimis- ja tuletamisoskusi, sealhulgas keerulisi funktsioone. Seda võib näha järgmises näites.

Näide 4. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Lahendus. Võrrand on kirjutatud sellisel kujul, et saate kohe integreerida mõlemad pooled.

.

Rakendame integreerimise meetodit muutuja muutmise teel (asendamine). Las siis olla.

Kohustuslik võtta dx ja nüüd - tähelepanu - teeme seda vastavalt kompleksfunktsiooni eristamise reeglitele, kuna x ja seal on keeruline funktsioon (“õun” on ruutjuure eraldamine või, mis on sama asi, astmeni “pooleks” tõstmine ja “hakkliha” on juure all olev väljend):

Leiame integraali:

Tulles tagasi muutuja juurde x, saame:

.

See on selle esimese astme diferentsiaalvõrrandi üldine lahendus.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole vaja mitte ainult kõrgema matemaatika eelmiste osade oskusi, vaid ka alg-, see tähendab koolimatemaatika oskusi. Nagu juba mainitud, ei pruugi mis tahes järku diferentsiaalvõrrandis olla sõltumatut muutujat, see tähendab muutujat x. Seda probleemi aitavad lahendada koolist saadud teadmised proportsioonide kohta, mis pole koolist unustatud (olenevalt aga kes). See on järgmine näide.