Tasapinnaga risti asetsev kahetahuline nurk. Dihedraalne nurk

ESIMENE PEATÜKK SIRG JA LENKID

V. DIHEDRALIKUD NURGAD, TÄISNURK TASANDIGA,
KAHE RISTUVA PAREMA SIRG NURK, POLÜKEEDNURgad

Dihedraalsed nurgad

38. Mõisted. Nimetatakse tasapinna seda osa, mis asub sellel tasapinnal asuva sirge ühel küljel poollennuk. Kahest ühest sirgest (AB) väljuvast pooltasandist (P ja Q, joon. 26) moodustatud kujundit nimetatakse kahetahuline nurk. Otsest AB nimetatakse serv ja pooltasandid P ja Q - peod või servad kahetahuline nurk.

Sellist nurka tähistatakse tavaliselt kahe tähega, mis on asetatud selle servale (dihedraalnurk AB). Kuid kui ühes servas on mitu kahetahulist nurka, tähistatakse neist igaüks nelja tähega, millest kaks keskmist on servas ja kaks välimist külgedel (näiteks kahetahuline nurk SCDR) (joonis 1). 27).

Kui suvalisest punktist D tõmmatakse igale tahule servaga risti olevad servad AB (joon. 28), siis nende poolt moodustatud nurka CDE nimetatakse nn. lineaarne nurk kahetahuline nurk.

Lineaarnurga suurus ei sõltu selle tipu asukohast serval. Seega on lineaarnurgad CDE ja C 1 D 1 E 1 võrdsed, kuna nende küljed on vastavalt paralleelsed ja samas suunas.

Lineaarnurga tasand on servaga risti, kuna see sisaldab kahte sellega risti olevat joont. Seetõttu piisab lineaarnurga saamiseks, kui lõikuda antud kahetahulise nurga tahk servaga risti oleva tasapinnaga ja arvestada saadud nurgaga sellel tasapinnal.

39. Dihedraalnurkade võrdsus ja ebavõrdsus. Kaks kahetahulist nurka loetakse võrdseks, kui neid saab sisestamisel kombineerida; vastasel juhul moodustab see, kumba kahetahulise nurga peetakse väiksemaks, osa teisest nurgast.

Nagu nurgad planimeetrias, võivad ka kahetahulised nurgad olla külgnev, vertikaalne jne.

Kui kaks kõrvuti asetsevat kahetahulist nurka on üksteisega võrdsed, nimetatakse neid kumbagi parem kahetahuline nurk.

Teoreemid. 1) Võrdsed kahetahulised nurgad vastavad võrdsetele lineaarnurkadele.

2) Suurem kahetahuline nurk vastab suuremale lineaarnurgale.

Olgu PABQ ja P 1 A 1 B 1 Q 1 (joonis 29) kaks kahetahulist nurka. Nurga A 1 B 1 sisestame nurka AB nii, et serv A 1 B 1 langeb kokku servaga AB ja tahk P 1 tahuga P.

Kui need kahetahulised nurgad on võrdsed, siis tahk Q 1 ühtib tahuga Q; kui nurk A 1 B 1 on väiksem kui nurk AB, siis tahk Q 1 võtab mingi positsiooni kahetahulise nurga sees, näiteks Q 2.

Olles seda märganud, võtame ühisel serval mõne punkti B ja joonestame seda läbiva, servaga risti oleva tasapinna R. Selle tasandi lõikepunktist kahetahuliste nurkade tahkudega saadakse lineaarnurgad. On selge, et kui kahetahulised nurgad langevad kokku, on neil sama lineaarnurk CBD; kui kahetahulised nurgad ei lange kokku, kui näiteks tahk Q 1 võtab positsiooni Q 2, siis on suuremal kahetahulisel nurgal suurem lineaarnurk (nimelt: / CBD > / C 2 BD).

40. Pöördeteoreemid. 1) Võrdsed lineaarnurgad vastavad võrdsetele kahetahulistele nurkadele.

2) Suurem lineaarnurk vastab suuremale kahetahulisele nurgale .

Neid teoreeme saab kergesti tõestada vastuoluga.

41. Tagajärjed. 1) Täisnurkne kahetahuline nurk vastab sirgjoonelisele nurgale ja vastupidi.

Olgu (joonis 30) kahetahuline nurk PABQ sirge. See tähendab, et see on võrdne külgneva nurgaga QABP 1. Kuid sel juhul on lineaarnurgad CDE ja CDE 1 samuti võrdsed; ja kuna need on kõrvuti, peab igaüks neist olema sirge. Ja vastupidi, kui kõrvuti asetsevad lineaarnurgad CDE ja CDE 1 on võrdsed, siis külgnevad kahetahulised nurgad on võrdsed, st igaüks neist peab olema sirge.

2) Kõik täisnurksed kahetahulised nurgad on võrdsed, sest nende lineaarnurgad on võrdsed .

Samuti on lihtne tõestada, et:

3) Vertikaalsed kahetahulised nurgad on võrdsed.

4) Dihedral nurgad vastavalt paralleelsete ja identsete (või vastassuunaliste) servadega on võrdsed.

5) Kui me võtame kahetahuliste nurkade ühikuks kahetahulise nurga, mis vastab joonnurkade ühikule, siis võime öelda, et kahetahulist nurka mõõdetakse selle joonnurgaga.

Tunni eesmärk: kahetahulise nurga ja selle lineaarnurga mõiste tutvustamine.

Ülesanded:

Hariduslik: kaaluda ülesandeid nende mõistete rakendamisel, arendada tasanditevahelise nurga leidmise konstruktiivset oskust;

Arenguline: õpilaste loova mõtlemise arendamine, õpilaste isiklik eneseareng, õpilaste kõne arendamine;

Hariduslik: vaimse töö kultuuri, suhtlemiskultuuri, refleksioonikultuuri kasvatamine.

Tunni tüüp: õppetund uute teadmiste õppimiseks

Õppemeetodid: selgitav ja näitlik

Varustus: arvuti, interaktiivne tahvel.

Kirjandus:

Geomeetria. 10-11 klass: õpik. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jne] – 18. trükk. – M.: Haridus, 2009. – 255 lk.

Tunniplaan:

Organisatsioonihetk (2 min)

Teadmiste värskendamine (5 min)

Uue materjali õppimine (12 min)

Õpitud materjali tugevdamine (21 min)

Kodutöö (2 min)

Kokkuvõte (3 min)

Tundide ajal:

1. Organisatsioonimoment.

Sisaldab õpetaja klassi tervitamist, ruumi ettevalmistamist tunniks ja puudujate kontrollimist.

2. Algteadmiste uuendamine.

Õpetaja: Viimases tunnis kirjutasite iseseisva töö. Üldiselt oli töö hästi kirjutatud. Nüüd kordame seda natuke. Kuidas nimetatakse nurka tasapinnas?

Õpilane: Nurk tasapinnal on kujund, mille moodustavad kaks ühest punktist lähtuvat kiirt.

Õpetaja: Kuidas nimetatakse joonte vahelist nurka ruumis?

Õpilane: Nurk kahe ruumis ristuva sirge vahel on nende sirgete kiirte poolt moodustatud nurkadest väikseim nende ristumispunktis oleva tipuga.

Õpilane: Ristumisjoonte vaheline nurk on nurk andmetega paralleelsete lõikejoonte vahel.

Õpetaja: Kuidas nimetatakse nurka sirgjoone ja tasandi vahel?

Õpilane: Nurk sirge ja tasapinna vahelNimetatakse mis tahes nurka sirgjoone ja selle sellele tasapinnale projektsiooni vahel.

3. Uue materjali õppimine.

Õpetaja: Stereomeetrias vaadeldakse koos selliste nurkadega teist tüüpi nurki - kahetahulisi nurki. Tõenäoliselt arvasite juba ära, mis on tänase tunni teema, nii et avage vihikud, kirjutage üles tänane kuupäev ja tunni teema.

Kirjutage tahvlile ja vihikutesse:

10.12.14.

Dihedraalne nurk.

Õpetaja : kahetahulise nurga mõiste tutvustamiseks tuleks meeles pidada, et iga antud tasapinnal tõmmatud sirge jagab selle tasandi kaheks pooltasandiks(Joonis 1, a)

Õpetaja : Kujutame ette, et oleme tasapinna painutanud piki sirgjoont nii, et kaks piiriga pooltasapinda ei asu enam samal tasapinnal (joonis 1, b). Saadud joonis on kahetahuline nurk. Dihedraalnurk on kujund, mille moodustavad sirgjoon ja kaks ühise piiriga pooltasapinda, mis ei kuulu samasse tasapinda. Pooltasapindu, mis moodustavad kahetahulise nurga, nimetatakse selle tahkudeks. Dihedraalnurgal on kaks külge, sellest ka nimi kahetahulise nurga nimi. Sirget – pooltasandite ühist piiri – nimetatakse kahetahulise nurga servaks. Kirjuta määratlus vihikusse.

Dihedraalnurk on kujund, mille moodustavad sirgjoon ja kaks ühise piiriga pooltasapinda, mis ei kuulu samasse tasapinda.

Õpetaja : Igapäevaelus kohtame sageli objekte, millel on kahetahulise nurga kuju. Too näiteid.

Üliõpilane : Poolavatud kaust.

Üliõpilane : Toa sein on koos põrandaga.

Üliõpilane : Hoonete viilkatused.

Õpetaja : Õige. Ja selliseid näiteid on tohutult palju.

Õpetaja : Nagu teate, mõõdetakse tasapinna nurki kraadides. Tõenäoliselt on teil küsimus, kuidas mõõdetakse kahetahulisi nurki? Seda tehakse järgmiselt.Märgime kahetahulise nurga servale mõne punkti ja joonistame igale tahule sellest punktist servaga risti oleva kiir. Nende kiirte poolt moodustatud nurka nimetatakse kahetahulise nurga lineaarnurgaks. Tehke märkmikusse joonis.

Kirjutage tahvlile ja vihikutesse.

KOHTA ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- kahetahuline nurk,∠ AOB– kahetahulise nurga lineaarnurk.

Õpetaja : Kõik kahetahulise nurga lineaarnurgad on võrdsed. Tehke endale veel üks selline joonistus.

Õpetaja : Tõestame seda. Vaatleme kahte lineaarset nurka AOB jaPQR. Kiired OA jaQPlamavad samal näol ja on ristiOQ, mis tähendab, et need on kaasrežisseeritud. Samamoodi on kiired OB jaQRkaasrežissöör. Tähendab,∠ AOB= ∠ PQR(nagu joondatud külgedega nurgad).

Õpetaja : Noh, nüüd on vastus meie küsimusele, kuidas mõõdetakse kahetahulist nurka.Dihedraalnurga kraadimõõt on selle lineaarnurga kraadimõõt. Joonista leheküljel 48 olevast õpikust uuesti terava, täis- ja nüri kahetahulise nurga kujutised.

4. Õpitud materjali koondamine.

Õpetaja : Tehke ülesannete jaoks joonised.

№ 1 . Antud: ΔABC, AC = BC, AB asub tasapinnalα, CD ⊥ α, C∉ α. Konstrueerige kahetahulise nurga lineaarnurkCABD.

Üliõpilane : Lahendus:C.M. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - otsitud.

№ 2. Antud: ΔABC, ∠ C= 90°, eKr asub tasapinnalα, JSC⊥ α, A∈ α.

Ehitage kahetahulise nurga lineaarnurkABCO.

Üliõpilane : Lahendus:AB ⊥ B.C., JSC⊥ BC tähendab OS-i⊥ Päike.∠ ACO - otsitud.

№ 3 . Antud: ΔABC, ∠ C = 90°, AB asub tasapinnalα, CD⊥ α, C∉ α. Ehitadalineaarne kahetahuline nurkDABC.

Üliõpilane : Lahendus: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB tähendab∠ DKC - otsitud.

№ 4 . Arvestades:DABC- tetraeeder,TEE⊥ ABC.Koostage kahetahulise nurga lineaarnurkABCD.

Üliõpilane : Lahendus:DM ⊥ päike,TEE ⊥ VS tähendab OM-i⊥ Päike;∠ OMD - otsitud.

5. Kokkuvõtete tegemine.

Õpetaja: Mida uut sa täna tunnis õppisid?

Õpilased : Mida nimetatakse kahetahuliseks nurgaks, lineaarnurgaks, kuidas mõõdetakse kahetahulist nurka.

Õpetaja : Mida nad kordasid?

Õpilased : Mida nimetatakse nurgaks tasapinnal; nurk sirgjoonte vahel.

6.Kodutöö.

Kirjutage tahvlile ja päevikusse: punkt 22, nr 167, nr 170.

ÕPPETUNNI TEKST:

Planimeetrias on peamised objektid jooned, lõigud, kiired ja punktid. Ühest punktist lähtuvad kiired moodustavad ühe oma geomeetrilistest kujunditest – nurga.

Teame, et lineaarnurka mõõdetakse kraadides ja radiaanides.

Stereomeetrias liidetakse objektidele tasapind. Figuuri, mis on moodustatud sirgjoonest a ja kahest ühise piiriga a pooltasapinnast, mis geomeetrias ei kuulu samale tasapinnale, nimetatakse kahetahuliseks nurgaks. Pooltasandid on kahetahulise nurga tahud. Sirgjoon a on kahetahulise nurga serv.

Dihedraalnurka, nagu ka lineaarset nurka, saab nimetada, mõõta ja konstrueerida. Seda peame selles õppetükis välja selgitama.

Leiame kahetahulise nurga ABCD tetraeedri mudelil.

Kahenurkset serva AB nimetatakse CABD-ks, kus punktid C ja D kuuluvad nurga erinevate külgede külge ja serva AB nimetatakse keskele.

Meie ümber on üsna palju objekte, mille elemente on kahetahulise nurga kujul.

Paljudes linnades paigaldatakse parkidesse spetsiaalsed leppimiseks mõeldud pingid. Pink on valmistatud kahe kaldtasandina, mis lähenevad keskpunkti poole.

Majade ehitamisel kasutatakse sageli nn viilkatust. Sellel majal on katus tehtud 90-kraadise kahetahulise nurga kujul.

Dihedraalset nurka mõõdetakse ka kraadides või radiaanides, aga kuidas seda mõõta.

Huvitav on märkida, et majade katused toetuvad sarikatele. Ja sarikakate moodustab etteantud nurga all kaks katusekalle.

Kanname pildi joonisele. Joonisel kahetahulise nurga leidmiseks märgitakse selle servale punkt B. Sellest punktist tõmmatakse nurga servaga risti kaks kiirt BA ja BC. Nende kiirte poolt moodustatud nurka ABC nimetatakse lineaarseks kahetahuliseks nurgaks.

Kahenurkse nurga kraadimõõt on võrdne selle lineaarnurga astmega.

Mõõdame nurka AOB.

Antud kahetahulise nurga kraadimõõt on kuuskümmend kraadi.

Kahenurkse nurga jaoks saab tõmmata lõpmatu arvu lineaarnurki, on oluline teada, et need kõik on võrdsed.

Vaatleme kahte lineaarset nurka AOB ja A1O1B1. Kiired OA ja O1A1 asuvad samal pinnal ja on risti sirgjoonega OO1, seega on nad kaassuunalised. Talad OB ja O1B1 on samuti ühiselt suunatud. Seetõttu on nurk AOB võrdne nurgaga A1O1B1 kui nurkade kaassuunalised küljed.

Seega iseloomustab kahetahulist nurka lineaarnurk ja lineaarnurgad on teravad, nürid ja täisnurgad. Vaatleme kahetahuliste nurkade mudeleid.

Nürinurk on siis, kui selle lineaarnurk on vahemikus 90–180 kraadi.

Täisnurk, kui selle lineaarnurk on 90 kraadi.

Teravnurk, kui selle lineaarnurk on 0 kuni 90 kraadi.

Tõestame lineaarnurga üht olulist omadust.

Lineaarnurga tasand on risti kahetahulise nurga servaga.

Olgu nurk AOB antud kahetahulise nurga lineaarnurk. Konstruktsiooni järgi on kiired AO ja OB risti sirgjoonega a.

Tasapind AOB läbib kahte ristuvat sirget AO ja OB vastavalt teoreemile: Tasapind läbib kahte ristuvat sirget ja ainult ühte.

Sirg a on risti kahe sellel tasapinnal paikneva lõikuva sirgega, mis tähendab, et sirge ja tasandi ristuvuse alusel on sirge a risti tasapinnaga AOB.

Ülesannete lahendamiseks on oluline osata konstrueerida antud kahetahulise nurga lineaarnurka. Koostage tetraeedri ABCD jaoks kahetahulise nurga lineaarnurk servaga AB.

Jutt käib kahetahulisest nurgast, mille moodustab esiteks serv AB, üks tahk ABD ja teine ​​tahk ABC.

Siin on üks viis selle ehitamiseks.

Joonistame risti punktist D tasapinnale ABC. Tuletame meelde, et tetraeedris langeb risti põhi kokku tetraeedri põhjas oleva sissekirjutatud ringi keskpunktiga.

Joonistame punktist D risti servaga AB kaldjoone, märgime kaldjoone aluseks punkti N.

Kolmnurgas DMN on lõik NM kallutatud DN projektsioon tasapinnale ABC. Kolme risti teoreemi kohaselt on serv AB projektsiooniga NM risti.

See tähendab, et nurga DNM küljed on risti servaga AB, mis tähendab, et konstrueeritud nurk DNM on soovitud lineaarnurk.

Vaatleme näidet kahetahulise nurga arvutamise ülesande lahendamisest.

Võrdhaarne kolmnurk ABC ja korrapärane kolmnurk ADB ei asu samal tasapinnal. Lõik CD on tasandiga ADB risti. Leia kahetahuline nurk DABC, kui AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

DABC kahetahuline nurk on võrdne selle lineaarnurgaga. Ehitame selle nurga.

Joonistame kalde CM risti servaga AB, kuna kolmnurk ACB on võrdhaarne, siis langeb punkt M kokku serva AB keskkohaga.

Sirge CD on risti tasapinnaga ADB, mis tähendab, et see on risti sellel tasapinnal asuva sirgjoonega DM. Ja segment MD on kallutatud CM projektsioon tasapinnale ADV.

Sirge AB on konstruktsiooni järgi risti kaldega CM, mis tähendab, et kolme risti teoreemi järgi on see projektsiooniga MD.

Seega leitakse servale AB kaks risti CM ja DM. See tähendab, et nad moodustavad kahetahulise nurga DABC lineaarnurga CMD. Ja kõik, mida me tegema peame, on see õigest kolmnurgast CDM üles leida.

Seega on segment SM võrdhaarse kolmnurga ACB mediaan ja kõrgus, siis Pythagorase teoreemi järgi on jalg SM võrdne 4 cm.

Täisnurksest kolmnurgast DMB on Pythagorase teoreemi järgi jalg DM võrdne kolme kahe juurega.

Nurga koosinus täisnurksest kolmnurgast on võrdne külgneva jala MD ja hüpotenuusi CM suhtega ja võrdub kolme juurega kolm korda kaks. See tähendab, et nurk CMD on 30 kraadi.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas administratiivsed, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kadumise, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Kahe erineva tasandi vahelise nurga suurust saab määrata tasandite mis tahes suhtelise asukoha jaoks.

Triviaalne juhtum, kui tasapinnad on paralleelsed. Siis loetakse nendevaheline nurk nulliks.

Mittetriviaalne juhtum, kui tasapinnad ristuvad. See juhtum on edasise arutelu objektiks. Kõigepealt vajame kahetahulise nurga mõistet.

9.1 Dihedraalnurk

Dihedraalnurk on kaks pooltasapinda, millel on ühine sirgjoon (mida nimetatakse kahetahulise nurga servaks). Joonisel fig. 50 kujutab kahetahulist nurka, mille moodustavad pooltasandid ja; selle kahetahulise nurga serv on nendele pooltasanditele ühine sirgjoon a.

Riis. 50. Dihedraalnurk

Dihedraalnurka saab mõõta kraadides või radiaanides ühes sõnas, sisestage kahetahulise nurga nurga väärtus. Seda tehakse järgmiselt.

Pooltasapindade ja moodustatud kahetahulise nurga servale võtame suvalise punkti M. Joonestame vastavalt nendel pooltasanditel paiknevad ja servaga risti olevad kiired MA ja MB (joonis 51).

Riis. 51. Lineaarne kahetahuline nurk

Saadud nurk AMB on kahetahulise nurga lineaarnurk. Nurk " = \AMB on täpselt meie kahetahulise nurga nurk.

Definitsioon. Kahenurga nurga suurus on antud kahetahulise nurga lineaarnurga suurus.

Kõik kahetahulise nurga lineaarnurgad on üksteisega võrdsed (need saadakse ju üksteisest paralleelse nihkega). Seetõttu on see määratlus õige: väärtus " ei sõltu punkti M konkreetsest valikust kahetahulise nurga serval.

9.2 Tasapindadevahelise nurga määramine

Kui kaks tasapinda ristuvad, saadakse neli kahetahulist nurka. Kui need kõik on ühesuurused (igaüks 90), nimetatakse tasapindu risti; Tasapindade vaheline nurk on siis 90.

Kui kõik kahetahulised nurgad ei ole ühesugused (st on kaks teravat ja kaks nüri), siis on tasandite vaheline nurk terava kahetahulise nurga väärtus (joonis 52).

Riis. 52. Tasapindadevaheline nurk

9.3 Näited probleemide lahendamisest

Vaatame kolme probleemi. Esimene on lihtne, teine ​​ja kolmas on matemaatika ühtsel riigieksamil ligikaudu tasemel C2.

Ülesanne 1. Leidke nurk korrapärase tetraeedri kahe tahu vahel.

Lahendus. Olgu ABCD korrapärane tetraeeder. Joonistame vastavate tahkude mediaanid AM ja DM, samuti tetraeedri kõrguse DH (joonis 53).

Riis. 53. Ülesande 1 juurde

Kuna AM ja DM on mediaanid, on need ka võrdkülgsete kolmnurkade ABC ja DBC kõrgused. Seetõttu nurk " = \AMD on tahkude ABC ja DBC poolt moodustatud kahetahulise nurga lineaarnurk. Leiame selle kolmnurgast DHM:

Vastus: arccos 1 3 .

Ülesanne 2. Korrapärase nelinurkse püramiidi SABCD (tipuga S) külgserv on võrdne aluse küljega. Punkt K on serva SA keskpunkt. Leidke tasapindade vaheline nurk

Lahendus. Sirg BC on paralleelne AD-ga ja seega paralleelne tasapinnaga ADS. Seetõttu lõikub tasapind KBC tasapinnaga ADS piki sirget KL, mis on paralleelne BC-ga (joonis 54).

Riis. 54. Ülesande 2 juurde

Sel juhul on KL paralleelne joonega AD; seetõttu on KL kolmnurga ADS keskjoon ja punkt L on DS keskpunkt.

Leiame püramiidi kõrguse SO. Olgu N väärtuse DO keskmine. Siis on LN kolmnurga DOS keskjoon ja seega LN k SO. See tähendab, et LN on tasandiga ABC risti.

Punktist N langetame risti NM sirgele BC. Sirge NM on kallutatud LM projektsioon ABC tasapinnale. Kolme perpendikulaari teoreemist järeldub siis, et LM on samuti risti BC-ga.

Seega on nurk " = \LMN pooltasapindade KBC ja ABC poolt moodustatud kahetahulise nurga lineaarnurk. Seda nurka otsime täisnurksest kolmnurgast LMN.

Olgu püramiidi serv võrdne a-ga. Kõigepealt leiame püramiidi kõrguse:

Lahendus. Olgu L sirgete A1 K ja AB lõikepunkt. Seejärel lõikub tasapind A1 KC tasapinnaga ABC piki sirget CL (joonis 55).

A C

Riis. 55. Ülesande 3 juurde

Kolmnurgad A1 B1 K ja KBL on jala- ja teravnurga poolest võrdsed. Seetõttu on teised jalad võrdsed: A1 B1 = BL.

Mõelge kolmnurgale ACL. Selles BA = BC = BL. Nurk CBL on 120; seega \BCL = 30 . Samuti \BCA = 60 . Seetõttu \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Niisiis, LC? AC. Kuid joon AC on sirge A1 C projektsioon tasapinnale ABC. Kolme perpendikulaari teoreemi põhjal järeldame, et LC ? A1 C.

Seega on nurk A1 CA pooltasapindade A1 KC ja ABC poolt moodustatud kahetahulise nurga lineaarnurk. See on soovitud nurk. Võrdhaarsest täisnurksest kolmnurgast A1 AC näeme, et see võrdub 45-ga.