Mehaaniliste võnkumiste teooria. Mehaaniliste süsteemide võnketeooria alused

Oleme juba käsitlenud klassikalise mehaanika päritolu, materjalide tugevust ja elastsuse teooriat. Mehaanika kõige olulisem komponent on ka vibratsioonide teooria. Vibratsioon on masinate ja konstruktsioonide hävimise peamine põhjus. Juba 1950. aastate lõpuks. 80% seadmeõnnetustest toimus suurenenud vibratsiooni tõttu. Kõikumised avaldavad kahjulikku mõju ka masinate tööga seotud inimestele. Need võivad põhjustada ka juhtimissüsteemide rikke.

Sellest kõigest hoolimata tekkis võnketeooria iseseisva teadusena alles 19. sajandi vahetusel. Masinate ja mehhanismide arvutused aga kuni alguseni XX sajandil peeti staatilises keskkonnas. Masinaehituse areng, aurumasinate võimsuse ja kiiruse kasv nende massi vähendamisel, uut tüüpi mootorite - sisepõlemismootorite ja auruturbiinide - tekkimine tõi kaasa vajaduse teha dünaamilisi koormusi arvestavaid tugevusarvutusi. Reeglina tekkisid tehnikas uued probleemid võnketeoorias suurenenud vibratsioonist tingitud õnnetuste või isegi katastroofide mõjul.

Võnkumine on liikumine või oleku muutus, millel on teatud kordusaste.

Võnkumisteooria võib jagada nelja perioodi.

maperiood- võnketeooria tekkimine teoreetilise mehaanika raames (16. sajandi lõpp - 18. sajandi lõpp). Seda perioodi iseloomustab dünaamika tekkimine ja areng Galileo, Huygensi, Newtoni, Alemberti, Euleri, D. Bernoulli ja Lagrange'i töödes.

Leonhard Euler sai võnkumisteooria rajajaks. 1737. aastal alustas L. Euler Peterburi Teaduste Akadeemia tellimusel laeva tasakaalu ja liikumise uurimist ning 1749. aastal ilmus Peterburis tema raamat "Laevateadus". Just selles Euleri töös pandi alus staatilise stabiilsuse teooriale ja võnketeooriale.

Jean Leron d "Alembert käsitles oma arvukates töödes üksikuid probleeme, nagu keha väikesed võnked ümber massikeskme ja ümber pöörlemistelje seoses Maa pretsessiooni ja nutatsiooni probleemiga, pendli võnkumised. , ujuvkeha, vedrud jne. Kuid üldteooria Kõhklus d "Alamber ei loonud.

Vibratsiooniteooria meetodite kõige olulisem rakendus oli traadi väändejäikuse eksperimentaalne määramine, mille viis läbi Charles Coulomb. Empiiriliselt tuvastas Coulomb ka selles ülesandes väikeste võnkumiste isokronismi omaduse. Vibratsiooni sumbumist uurides jõudis see suur eksperimenteerija järeldusele, et selle peamiseks põhjuseks ei ole õhutakistus, vaid traadimaterjali sisehõõrdumisest tulenevad kaod.

Suure panuse võnketeooria alustesse andis L. Euler, kes pani aluse staatilise stabiilsuse teooriale ja väikeste võnkumiste teooriale, d "Alembert, D. Bernoulli ja Lagrange. Oma töödes on võnkumiste perioodi ja sageduse mõisted, kujunes võnkumiste vorm, kasutusele tuli mõiste väikesed võnkumised , sõnastati lahenduste superpositsiooni põhimõte, lahendust püüti laiendada trigonomeetriliseks jadaks.

Võnketeooria esimesteks ülesanneteks olid pendli ja nööri võnkeprobleemid. Pendli võnkumisest oleme juba rääkinud – selle ülesande lahendamise praktiline tulemus oli Huygensi kella leiutamine.

Mis puudutab stringide vibratsiooni probleemi, siis see on üks olulisemaid probleeme matemaatika ja mehaanika arengu ajaloos. Vaatleme seda üksikasjalikumalt.

akustiline keel see on ideaalne sile, õhuke ja painduv piiratud pikkusega kõvast materjalist niit, mis on venitatud kahe fikseeritud punkti vahele. Kaasaegses tõlgenduses on pikkusega stringi põikivõnke probleem l taandub diferentsiaalvõrrandi (1) lahenduse leidmisele osatuletistes. Siin x on stringi punkti koordinaat piki pikkust ja y- selle põikisuunaline nihe; H- nööride pinge - selle jooksev mass. a on laine kiirus. Sarnane võrrand kirjeldab ka õhusamba pikisuunalisi võnkumisi torus.

Sel juhul tuleb määrata stringipunktide sirgjoonest kõrvalekallete esialgne jaotus ja nende kiirused, s.o. võrrand (1) peab vastama algtingimustele (2) ja piirtingimustele (3).

Esimesed fundamentaalsed stringide vibratsiooni eksperimentaalsed uuringud viisid läbi Hollandi matemaatik ja mehaanik Isaac Beckmann (1614–1618) ja M. Mersenne, kes tegid kindlaks rea seaduspärasusi ja avaldasid oma tulemused 1636. aastal “Konsonantside raamatus”:

Mersenne’i seaduspärasusi kinnitas teoreetiliselt 1715. aastal Newtoni õpilane Brooke Taylor. Ta käsitleb stringi kui materiaalsete punktide süsteemi ja teeb järgmised eeldused: kõik stringi punktid läbivad samaaegselt oma tasakaaluasendit (kattuvad teljega x) ja igale punktile mõjuv jõud on võrdeline selle nihkega y telje kohta x. See tähendab, et see taandab probleemi ühe vabadusastmega süsteemiks – võrrandiks (4). Taylor sai õigesti esimese loomuliku sageduse (põhitooni) - (5).

D "Alembert rakendas 1747. aastal selle ülesande jaoks dünaamika probleemi taandamise meetodit staatika probleemile (põhimõte d" Alembert) ja sai homogeense stringi vibratsioonide diferentsiaalvõrrandi osatuletistes (1) - esimene võrrand matemaatiline füüsika. Ta otsis selle võrrandi lahendust kahe suvalise funktsiooni summana (6)

kus ja on perioodi 2 perioodilised funktsioonid l. Funktsioonide vormi küsimuse selgitamisel ja d'Alembert võtab arvesse piirtingimusi (1.2), eeldades, et kell
string langeb kokku teljega x. Tähendus on
ei ole ülesande avalduses täpsustatud.

Euler käsitleb erijuhtumit, kui
pael kaldutakse tasakaaluasendist kõrvale ja vabastatakse ilma algkiiruseta. On hädavajalik, et Euler ei sea stringi algkujule mingeid piiranguid, s.t. ei nõua, et seda saaks analüütiliselt esitada, arvestades mis tahes kõverat, mida "saab käsitsi joonistada". Autori saadud lõpptulemus: kui
stringi kuju kirjeldab võrrand
, siis näevad võnked välja sellised (7). Euler muutis oma seisukohti funktsiooni mõiste kohta, erinevalt varasemast ideest, et see oli ainult analüütiline väljend. Nii laiendati analüüsis uuritavate funktsioonide klassi ja Euler jõudis järeldusele, et "kuna iga funktsioon defineerib teatud sirge, on ka vastupidi - kõverjooned saab taandada funktsioonideks".

d "Alembert ja Euler" abil saadud lahendid esindavad stringide vibratsiooni seadust kahe teineteise poole jooksva laine kujul. Samas ei olnud nad ühel meelel paindejoont defineeriva funktsiooni vormis.

D. Bernoulli läks keele võnkeid uurides teist teed, lõhkudes nööri materiaalseteks punktideks, mille arvu ta pidas lõpmatuks. Ta tutvustab süsteemi lihtsa harmoonilise võnkumise mõistet, s.o. selline selle liikumine, mille käigus kõik süsteemi punktid võnguvad sünkroonselt sama sagedusega, kuid erineva amplituudiga. Helisevate kehadega tehtud katsed viisid D. Bernoulli mõttele, et keelpilli kõige üldisem liikumine seisneb kõigi talle kättesaadavate liigutuste samaaegses sooritamises. See on nn lahenduste superpositsioon. Nii sai ta 1753. aastal füüsikalistest kaalutlustest lähtuvalt stringide vibratsioonide üldlahenduse, esitades selle osalahenduste summana, millest igaühe puhul paindub keel tunnuskõvera kujul (8).

Selles seerias on esimene võnkevorm pool sinusoid, teine ​​on terve sinusoid, kolmas koosneb kolmest poolsinusoidist jne. Nende amplituudid on esitatud aja funktsioonidena ja sisuliselt on need vaadeldava süsteemi üldistatud koordinaadid. D. Bernoulli lahenduse kohaselt on stringi liikumine harmooniliste võngete lõputu jada perioodidega
. Sel juhul on sõlmede (fikseeritud punktide) arv omasagedusest ühe võrra väiksem. Piirades seeria (8) lõpliku arvu liikmetega, saame kontiinumsüsteemi jaoks lõpliku arvu võrrandeid.

D. Bernoulli lahendus sisaldab aga ebatäpsust – see ei võta arvesse, et iga võnkeharmooniku faasinihe on erinev.

D. Bernoulli, esitades lahenduse trigonomeetrilise jada kujul, kasutas lahenduse superpositsiooni ja laiendamise põhimõtet tervikliku funktsioonide süsteemi osas. Ta uskus õigustatult, et valemi (8) erinevate terminite abil on võimalik selgitada harmoonilisi toone, mida keel oma põhitooniga samaaegselt väljastab. Ta pidas seda üldiseks seaduseks, mis kehtib iga väikest vibratsiooni tekitava kehasüsteemi kohta. Füüsiline motivatsioon ei saa aga asendada matemaatilist tõestust, mida siis ei esitatud. Seetõttu ei mõistnud kolleegid D. Bernoulli lahendusi, kuigi juba 1737. aastal C. A. Clairaut kasutas funktsioonide laiendamist järjestikku.

18. sajandi juhtivate teadlaste seas tekkis kaks erinevat viisi stringide vibratsiooni probleemi lahendamiseks. tormiline poleemika - "vaidlus stringi üle". See vaidlus puudutas peamiselt küsimusi ülesande vastuvõetavate lahenduste vormi, funktsiooni analüütilise esituse kohta ja selle kohta, kas suvalist funktsiooni on võimalik esitada trigonomeetrilise jada kujul. Analüüsi üks olulisemaid mõisteid, funktsiooni mõiste, töötati välja "stringivaidluses".

D "Alamber ja Euler ei nõustunud, et D. Bernoulli pakutud lahendus võiks olla üldine. Eelkõige ei saanud Euler nõustuda sellega, et see jada võiks kujutada mis tahes "vabalt tõmmatud kõverat", kuna ta ise määratles nüüd funktsiooni mõiste.

Vaidlusse sattunud Joseph Louis Lagrange murdis nööri väikesteks samapikkusteks kaaredeks, mille keskele oli koondatud mass, ja uuris lõpliku arvu vabadusastmetega tavaliste diferentsiaalvõrrandisüsteemi lahendusi. Piirini minnes sai Lagrange D. Bernoulli omaga analoogse tulemuse, postuleerimata siiski eelnevalt, et üldlahend peab olema konkreetsete lahendite lõpmatu summa. Samas täpsustab ta D. Bernoulli lahendit, viies selle kujule (9), ning tuletab ka valemid selle rea koefitsientide määramiseks. Kuigi analüütilise mehaanika rajaja lahendus ei vasta kõigile matemaatilise ranguse nõuetele, oli see märgatav samm edasi.

Mis puudutab lahenduse laiendamist trigonomeetrilisteks jadateks, siis arvas Lagrange, et seeria lahkneb suvalistes algtingimustes. 40 aasta pärast, 1807. aastal, leidis J. Fourier taas funktsiooni laiendamise kolmandat korda trigonomeetriliseks jadaks ja näitas, kuidas seda saab ülesande lahendamiseks kasutada, kinnitades sellega D. Bernoulli lahenduse õigsust. Täielik analüütiline tõestus Fourier' teoreemile ühe väärtusega perioodilise funktsiooni laiendamise kohta trigonomeetrilises jadas on esitatud Todgenteri integraalarvutuses ja Thomsoni (Lord Kelvin) ja Taiti "Loodusfilosoofia traktaadis".

Venitatud nööri vabade vibratsioonide uurimine kestis Beckmanni töö põhjal kaks sajandit. See probleem oli võimas stiimul matemaatika arengule. Arvestades kontiinuumsüsteemide võnkumisi, lõid Euler, d "Alembert ja D. Bernoulli uue distsipliini – matemaatilise füüsika. Füüsika matematiseerimine ehk esitamine läbi uue analüüsi on Euleri suurim teene, tänu millele rajati teaduses uued teed. Tulemuste loogiline areng Euler ja Fourier oli funktsiooni tuntud Lobachevsky ja Lejeune Dirichlet definitsioon, mis põhines kahe hulga üks-ühele vastavuse ideel.Dirichlet tõestas ka laiendamise võimalust. osade kaupa pidevate ja monotoonsete funktsioonide Fourier' jadaks.Saadi ka ühemõõtmeline lainevõrrand ja selle kahe lahendi võrdsus, mis kinnitas matemaatiliselt vibratsiooni ja lainete vahelist seost.Asjaolu, et vibreeriv string tekitab heli, ajendas teadlasi mõelda heli levimisprotsessi ja keelevibratsiooni protsessi identiteedile. Selgus ka piir- ja lähtetingimuste kõige olulisem roll selliste probleemide puhul. Mehaanika arengu seisukohalt oli oluline tulemus d "Alemberti printsiibi kasutamine liikumisdiferentsiaalvõrrandite kirjutamisel ja võnketeooria jaoks mängis see ülesanne ka väga olulist rolli, nimelt rakendati lahenduse superpositsiooni ja laiendamise põhimõtet võnke loomulike režiimide osas. , sõnastati võnketeooria põhimõisted - võnkumiste omasagedus ja moodus.

Stringi vabade vibratsioonide kohta saadud tulemused olid aluseks kontiinumsüsteemide vibratsiooniteooria loomisele. Ebahomogeensete stringide, membraanide ja varraste vibratsiooni edasine uurimine nõudis spetsiaalsete meetodite leidmist lihtsamate teist ja neljandat järku hüperboolvõrrandite lahendamiseks.

Venitatud nööri vabade vibratsioonide probleem huvitas teadlasi, muidugi mitte selle praktilise rakendamise pärast, nende võngete seadused olid ühel või teisel määral teada muusikariistu valmistanud käsitöölistele. Sellest annavad tunnistust selliste meistrite nagu Amati, Stradivari, Guarneri jt ületamatud keelpillid, kelle meistriteosed loodi juba 17. sajandil. Selle probleemiga tegelenud suurimate teadlaste huvid seisnesid tõenäoliselt soovis tuua juba olemasolevatele stringi vibratsiooni seadustele matemaatiline alus. Selles küsimuses avaldus iga teaduse traditsiooniline tee, alustades juba teadaolevaid fakte selgitava teooria loomisest, et seejärel leida ja uurida tundmatuid nähtusi.

IIperiood - analüütiline(18. sajandi lõpp – 19. sajandi lõpp). Kõige olulisema sammu mehaanika arengus tegi Lagrange, kes lõi uue teaduse – analüütilise mehaanika. Teise perioodi algust võnketeooria arengus seostatakse Lagrange’i töödega. 1788. aastal Pariisis ilmunud raamatus Analüütiline mehaanika võttis Lagrange kokku kõik 18. sajandil mehaanikas tehtu ja sõnastas uue lähenemise selle probleemide lahendamisele. Tasakaaluõpetuses loobus ta staatika geomeetrilistest meetoditest ja pakkus välja võimalike nihkete printsiibi (Lagrange'i printsiip). Dünaamikas sai Lagrange, rakendades samaaegselt d põhimõtet "Alembert ja võimalike nihkete printsiipi", dünaamika üldise variatsioonivõrrandi, mida nimetatakse ka d põhimõtteks Alembert - Lagrange. Lõpuks võttis ta kasutusele üldistatud koordinaatide mõiste ja sai liikumisvõrrandid kõige mugavamal kujul - teist tüüpi Lagrange'i võrrandid.

Need võrrandid said aluseks konstantsete koefitsientidega lineaarsete diferentsiaalvõrranditega kirjeldatud väikeste võnkumiste teooria loomisel. Lineaarsus on mehaanilisele süsteemile harva omane ja enamikul juhtudel on selle lihtsustamise tulemus. Arvestades väikeseid kõikumisi tasakaaluasendi lähedal, mis viiakse läbi madalatel kiirustel, on võimalik üldistatud koordinaatide ja kiiruste suhtes liikumisvõrrandites teist ja kõrgemat järku liikmed kõrvale jätta.

Teist tüüpi Lagrange'i võrrandite rakendamine konservatiivsete süsteemide jaoks

saame süsteemi kätte s konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

, (11)

kus ma ja C on vastavalt inertsi ja jäikuse maatriksid, mille komponendid on inertsiaal- ja elastsuskoefitsiendid.

Konkreetset lahendust (11) otsitakse vormis

ja kirjeldab monoharmoonset võnkerežiimi sagedusega k, mis on kõigi üldistatud koordinaatide puhul sama. Diferentseerimine (12) kaks korda suhtes t ja asendades tulemuse võrranditega (11), saame lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi amplituudide leidmiseks maatriksi kujul

. (13)

Kuna süsteemi võnkumiste ajal ei saa kõik amplituudid olla võrdsed nulliga, on determinant võrdne nulliga

. (14)

Sagedusvõrrandit (14) nimetati ilmalikuks võrrandiks, kuna seda käsitlesid esimest korda Lagrange ja Laplace planeetide orbiitide elementide ilmalike häirete teoorias. See on võrrand s-th aste võrreldes , on selle juurte arv võrdne süsteemi vabadusastmete arvuga. Need juured on tavaliselt järjestatud kasvavas järjekorras, samas kui nad moodustavad omasageduste spektri. Igale juurele vastab vormi (12) konkreetsele lahendusele, hulgale s amplituudid esindavad lainekuju ja üldine lahendus on nende lahenduste summa.

Lagrange esitas D. Bernoulli väite, et diskreetsete punktide süsteemi üldine võnkuv liikumine seisneb kõigi selle harmooniliste võnkumiste samaaegses täitmises, matemaatilise teoreemi kujul, kasutades selleks loodud diferentsiaalvõrrandite konstantsete koefitsientidega integreerimise teooriat. Euleri poolt 18. sajandi 40. aastatel. ja saavutused d "Alembert, kes näitas, kuidas selliste võrrandite süsteemid on integreeritud. Samal ajal oli vaja tõestada, et ilmaliku võrrandi juured on reaalsed, positiivsed ega ole üksteisega võrdsed.

Nii sai Lagrange raamatus "Analüütiline mehaanika" sageduste võrrandi üldisel kujul. Samas kordab ta d "Alemberti poolt 1761. aastal tehtud viga, et ilmaliku võrrandi mitu juurt vastavad ebastabiilsele lahendile, kuna väidetavalt esinevad sel juhul ilmalikud või ilmalikud terminid lahenduses, mis sisaldab t mitte siinuse ega koosinuse märgi all. Sellega seoses arvasid nii d'Alembert kui ka Lagrange, et sagedusvõrrandil ei saa olla mitut juurt (d'Alembert-Lagrange'i paradoks). Piisas, et Lagrange arvestas vähemalt sfäärilise pendli või varda võnkumisega, mille ristlõige on näiteks ümmargune või kandiline, veendumaks, et konservatiivsetes mehaanilistes süsteemides on võimalik mitu sagedust. Analüütilise mehaanika esimeses väljaandes tehtud viga korrati Lagrange'i eluajal ilmunud teises (1812) ja kolmandas (1853) väljaandes. Alemberti ja Lagrange'i teaduslik autoriteet oli nii kõrge, et seda viga kordasid nii Laplace kui ka Poisson ning selle parandasid alles peaaegu 100 aastat üksteisest sõltumatult 1858. aastal K. Weierstrass ja 1859. aastal Osip Ivanovitš Somov. kes andis suure panuse diskreetsete süsteemide võnketeooria väljatöötamisse.

Seega on takistuseta lineaarse süsteemi vabavõnkumiste sageduste ja režiimide määramiseks vaja lahendada ilmalik võrrand (13). Viiendast kõrgema astme võrranditel pole aga analüütilist lahendust.

Probleemiks polnud mitte ainult ilmaliku võrrandi lahendamine, vaid suuremal määral ka selle koostamine, kuna laiendatud determinandil (13) on
terminid, näiteks 20 vabadusastmega süsteemi puhul on terminite arv 2,4 10 18 ja aeg, mis kulub sellise determinandi avamiseks 1970. aastate võimsaimal arvutil, mis teeb 1 miljon toimingut sekundis, on umbes 1,5 miljonit aastat ja kaasaegse arvuti puhul "ainult" paarsada aastat.

Lineaaralgebra ülesandeks võib pidada ka vabavõnkumiste sageduste ja režiimide määramise ülesannet ja lahendada numbriliselt. Võrdsuse (13) ümberkirjutamine kui

, (14)

pange tähele, et veeru maatriks on maatriksi omavektor

, (15)

a oma tähendus.

Omaväärtuste ja vektorite probleemi lahendamine on arvulise analüüsi üks atraktiivsemaid probleeme. Samal ajal on võimatu välja pakkuda ühtset algoritmi kõigi praktikas esinevate probleemide lahendamiseks. Algoritmi valik sõltub maatriksi tüübist ja ka sellest, kas on vaja määrata kõik omaväärtused või ainult väikseim (suurim) või antud arvule lähedane. 1846. aastal pakkus Carl Gustav Jacob Jacobi välja iteratiivse rotatsiooni meetodi täieliku omaväärtuse probleemi lahendamiseks. Meetod põhineb sellisel lõpmatul elementaarpöörete jadal, mis piirväärtuses muudab maatriksi (15) diagonaaliks. Saadud maatriksi diagonaalelemendid on soovitud omaväärtused. Sel juhul on omaväärtuste määramiseks vajalik
aritmeetilised tehted ja omavektorite jaoks
operatsioonid. Sellega seoses meetod XIX sajandil. ei leidnud rakendust ja unustati enam kui sajaks aastaks.

Järgmine oluline samm võnketeooria arendamisel oli Rayleighi töö, eriti tema fundamentaalne teos Theory of Sound. Selles raamatus käsitleb Rayleigh mehaanika, akustika ja elektrisüsteemide võnkumisnähtusi ühtsest vaatenurgast. Rayleigh omab mitmeid võnkumiste lineaarteooria põhiteoreeme (statsionaarsuse ja omasageduste omaduste teoreeme). Rayleigh sõnastas ka vastastikkuse põhimõtte. Analoogiliselt kineetilise ja potentsiaalse energiaga tutvustas ta hajutavat funktsiooni, sai nimeks Rayleigh ja see esindab poole väiksemat energia hajumise kiirust.

Raamatus Theory of Sound pakub Rayleigh ka ligikaudse meetodi konservatiivse süsteemi esimese omasageduse määramiseks

, (16)

kus
. Sel juhul kasutatakse potentsiaalsete ja kineetilise energia maksimaalsete väärtuste arvutamiseks mingit vibratsiooni. Kui see langeb kokku süsteemi esimese režiimiga, saame esimese omasageduse täpse väärtuse, vastasel juhul on see väärtus alati ülehinnatud. Meetod annab praktikas täiesti vastuvõetava täpsuse, kui võtta esimeseks vibratsiooniviisiks süsteemi staatiline deformatsioon.

Nii kujunes juba 19. sajandil Somovi ja Rayleighi töödes tehnika teist tüüpi Lagrange'i võrrandite abil diskreetsete mehaaniliste süsteemide väikeseid võnkuvaid liikumisi kirjeldavate diferentsiaalvõrrandite koostamiseks.

kus üldistatud jõus
funktsioonidega kaetud peavad olema kõik jõutegurid, välja arvatud elastsed ja dissipatiivsed R ja P.

Lagrange'i võrrandid (17) maatrikskujul, mis kirjeldavad mehaanilise süsteemi sundvibratsiooni pärast kõigi funktsioonide asendamist näevad välja järgmised

. (18)

Siin on summutusmaatriks ja
on vastavalt üldistatud koordinaatide, kiiruste ja kiirenduste veeruvektorid. Selle võrrandi üldlahendus koosneb vabadest ja kaasnevatest võnkumistest, mis on alati summutatud, ja sundvõnkumistest, mis toimuvad häiriva jõu sagedusel. Me piirdume vaid konkreetse lahenduse kaalumisega, mis vastab sundvõnkumisele. Ergutusena käsitles Rayleigh üldistatud jõude, mis muutuvad harmoonilise seaduse järgi. Paljud panid selle valiku põhjuseks vaadeldava juhtumi lihtsuse, kuid Rayleigh annab veenvama seletuse – laiendamine Fourier’ seerias.

Seega rohkem kui kahe vabadusastmega mehaanilise süsteemi puhul tekitab võrrandisüsteemi lahendamine teatud raskusi, mis süsteemi järjestuse kasvades laviinina suurenevad. Isegi viie kuni kuue vabadusastmega ei saa sundvõnkumiste probleemi klassikalisel viisil käsitsi lahendada.

Mehaaniliste süsteemide võnketeoorias on erilist rolli mänginud diskreetsete süsteemide väikesed (lineaarsed) võnkumised. Lineaarsüsteemide jaoks välja töötatud spektriteooria ei nõua isegi diferentsiaalvõrrandite koostamist ning lahenduse saamiseks saab kohe kirjutada lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme. Kuigi meetodid omavektorite ja omaväärtuste määramiseks (Jacobi) ning lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (Gauss) lahendamiseks töötati välja 19. sajandi keskel, jäi nende praktiline rakendamine isegi väikese vabadusastmega süsteemide jaoks välja. küsimusest. Seetõttu töötati enne piisavalt võimsate arvutite tulekut välja palju erinevaid meetodeid lineaarsete mehaaniliste süsteemide vabade ja sunnitud võnkumiste probleemi lahendamiseks. Nende probleemidega tegelesid paljud silmapaistvad teadlased - matemaatikud ja mehaanikud, neid käsitletakse allpool. Võimsa arvutustehnoloogia tulek võimaldas mitte ainult lahendada suuremahulisi lineaarülesandeid sekundi murdosaga, vaid ka automatiseerida võrrandisüsteemide koostamise protsessi.

Seega XVIII sajandi jooksul. lõpliku arvu vabadusastmetega süsteemide väikeste võnkumiste ja pidevate elastsete süsteemide võnkumiste teoorias töötati välja põhilised füüsikalised skeemid ning selgitati probleemide matemaatiliseks analüüsiks hädavajalikke põhimõtteid. Mehaaniliste võnkumiste teooria kui iseseisva teaduse loomiseks ei piisanud aga ühtsest lähenemisest dünaamika probleemide lahendamisele ning puudusid ka tehnilised nõudmised selle kiiremaks arendamiseks.

Suurtööstuse kasv 18. sajandi lõpus ja 19. sajandi alguses, mille põhjustas aurumasina laialdane kasutuselevõtt, viis rakendusmehaanika eraldumiseni omaette distsipliiniks. Kuid kuni 19. sajandi lõpuni viidi tugevusarvutused läbi staatilise koostisega, kuna masinad olid endiselt väikese võimsusega ja aeglaselt liikuvad.

19. sajandi lõpuks muutus kiiruste suurenemisega ja masinate mõõtmete vähenemisega vibratsiooni tähelepanuta jätta. Arvukad õnnetused, mis tekkisid vibratsiooni ajal tekkinud resonantsi või väsimuse katkemisest, sundisid insenere pöörama tähelepanu võnkeprotsessidele. Sellel perioodil tekkinud probleemidest tuleb märkida järgmist: sildade kokkuvarisemine mööduvatest rongidest, võlli väändvõnked ja laevakerede vibratsioonid, mida erutavad tasakaalustamata masinate liikuvate osade inertsjõud.

IIIperiood– rakendusliku võnketeooria kujunemine ja areng (1900–1960ndad). Masinaehituse arendamine, vedurite ja laevade täiustamine, auru- ja gaasiturbiinide, kiirete sisepõlemismootorite, autode, lennukite jne tekkimine. nõudis masinaosade pingete täpsemat analüüsi. Seda tingisid metalli säästlikuma kasutamise nõuded. Konstruktsioonide kergemaks muutmine on tekitanud vibratsiooniprobleeme, mis saavad masina tugevuse küsimustes järjest määravamaks. 20. sajandi alguses näitavad arvukad õnnetused veenvalt, milliseid katastroofilisi tagajärgi võib vibratsiooni eiramine või nende teadmatus kaasa tuua.

Uue tehnoloogia tulek seab reeglina võnketeooriale uusi probleeme. Nii 30ndatel ja 40ndatel. tekkisid uued probleemid, nagu varisemise laperdus ja shimmyd lennunduses, pöörlevate võllide painde- ja painde-väändevõnked jne, mis nõudsid uute vibratsiooni arvutamise meetodite väljatöötamist. 1920. aastate lõpus hakati esmalt füüsikas ja seejärel mehaanikas uurima mittelineaarseid võnkumisi. Seoses automaatjuhtimissüsteemide väljatöötamisega ja muude tehniliste nõudmistega on alates 1930. aastatest laialdaselt arendatud ja rakendatud liikumisstabiilsuse teooriat, mille aluseks oli A. M. Ljapunovi doktoritöö “Liikumise stabiilsuse üldprobleem”.

Analüütilise lahenduse puudumine ühelt poolt võnketeooria probleemidele, isegi lineaarses sõnastuses, ja teiselt poolt arvutitehnoloogia probleemidele on viinud paljude erinevate arvuliste lahendusmeetodite väljatöötamiseni. neid.

Vajadus teostada vibratsiooniarvutusi erinevat tüüpi seadmete jaoks viis 1930. aastatel ilmumiseni esimesed vibratsiooniteooria koolitused.

Üleminek IVperiood(1960. aastate algus – praegune) seostatakse teaduse ja tehnoloogilise revolutsiooni ajastuga ning seda iseloomustab uue tehnoloogia, eeskätt lennunduse ja kosmose, robotsüsteemide tekkimine. Lisaks tõi energeetika, transpordi jm areng esikohale dünaamilise tugevuse ja töökindluse probleemid. Selle põhjuseks on töökiiruste suurenemine ja materjalikulu vähenemine koos sooviga suurendada masinate ressurssi. Võnkumisteoorias lahendatakse järjest rohkem ülesandeid mittelineaarses sõnastuses. Kontiinuumsüsteemide võnkumiste vallas tekivad lennunduse ja kosmosetehnoloogia nõuete mõjul probleemid plaatide ja kestade dünaamikas.

Suurimat mõju võnketeooria arengule sellel perioodil avaldab elektroonikaarvutustehnoloogia tekkimine ja kiire areng, mis viis võnkumiste arvutamise numbriliste meetodite väljatöötamiseni.

võnkuv liikumine Nimetatakse igasugust liikumist või olekumuutust, mida iseloomustab selle liikumise või oleku määravate füüsikaliste suuruste väärtuste ajaline kordusaste. Kõikumised on iseloomulikud kõikidele loodusnähtustele: tähtede impulsside kiirgus; Päikesesüsteemi planeedid pöörlevad suure perioodilisusega; tuuled erutavad veepinnal vibratsioone ja laineid; iga elusorganismi sees toimuvad pidevalt erinevad rütmiliselt korduvad protsessid, näiteks lööb inimese süda hämmastavalt kindlalt.

Füüsikas eristatakse vibratsioone mehaanilised ja elektromagnetiline. Helina tajutava õhu tiheduse ja rõhu mehaaniliste kõikumiste, aga ka valgusena tajutavate elektri- ja magnetväljade väga kiirete kõikumiste abil saame suurel hulgal otsest teavet maailma kohta. meie ümber. Mehaanikas võnkuva liikumise näideteks võivad olla pendlite, nööride, sildade jne vibratsioon.

Kõikumisi nimetatakse perioodiline, kui võnkeprotsessis muutuvate füüsikaliste suuruste väärtusi korratakse korrapäraste ajavahemike järel. Lihtsaim perioodiliste võnkumiste tüüp on harmoonilised võnkumised. Võnkumisi nimetatakse harmoonilisteks, milles võnkesuuruse muutumine ajas toimub vastavalt siinuse (või koosinuse) seadusele:

kus x on nihe tasakaaluasendist;

A - võnkeamplituud - maksimaalne nihe tasakaaluasendist;

- tsükliline sagedus;

- võnke algfaas;

- võnkefaas; see määrab nihke igal ajahetkel, st. määrab võnkesüsteemi seisundi.

Väärtuse A rangelt harmooniliste võnkumiste korral ja ei sõltu ajast.

Tsükliline sagedus on seotud võnkeperioodi T ja sagedusega suhe:

(2)

Periood T võnkumisi nimetatakse väikseimaks ajaperioodiks, mille järel korratakse kõigi võnkumisi iseloomustavate füüsikaliste suuruste väärtusi.

Sagedus võnkumisi nimetatakse täielike võnkumiste arvuks ajaühikus, mõõdetuna hertsides (1 Hz = 1
).

Tsükliline sagedus arvuliselt võrdne 2-s tehtud võnkumiste arvuga sekundit.

Võnkumist, mis tekib süsteemis, mis ei allu muutuvate välisjõudude mõjule selle süsteemi mis tahes esialgse kõrvalekalde tulemusena stabiilsest tasakaaluseisundist, nimetatakse nn. tasuta(või oma).

Kui süsteem on konservatiivne, siis võnkumiste käigus energia hajumist ei toimu. Sel juhul nimetatakse vaba vibratsiooni summutamata.

Kiirus punktide kõikumised on defineeritud kui aja nihke tuletis:

(3)

Kiirendus võnkepunkt on võrdne kiiruse tuletisega aja suhtes:

(4)

Võrrand (4) näitab, et kiirendus harmooniliste võnkumiste ajal on muutuv, seetõttu on võnkumine tingitud muutuva jõu toimest.

Newtoni teine ​​seadus lubab kirjutada üldsõnaliselt seose jõu F ja kiirenduse vahel massiga materiaalse punkti sirgjooneliste harmooniliste võnkudega
:

kus
, (6)

k on elastsustegur.

Seega on harmoonilisi vibratsioone tekitav jõud võrdeline nihkega ja suunatud nihkele. Sellega seoses saame anda harmoonilise võnkumise dünaamilise definitsiooni: harmooniliseks võnkumiseks nimetatakse võnkumist, mis on põhjustatud jõust, mis on otseselt võrdeline nihkega x ja on suunatud nihke vastu.

Taastav jõud võib olla näiteks elastsusjõud. Nimetatakse elastsusjõududest erineva iseloomuga jõude, aga ka rahuldavat tingimust (5). kvaasielastne.

Piki x-telge sirgjooneliste võnkumiste korral kiirendus võrdub:

.

Selle avaldise asendamine kiirendusega ja tugevuse tähendus
Newtoni teise seadusesse saame sirgjooneliste harmooniliste võnkumiste põhivõrrand:

või
(7)

Selle võrrandi lahendus on võrrand (1).

Vibratsiooniteooria kursuse programm üliõpilastele 4 FACI kursus

Distsipliin põhineb selliste teadusharude tulemustel nagu klassikaline üldalgebra, tavaliste diferentsiaalvõrrandite teooria, teoreetiline mehaanika, kompleksmuutuja funktsioonide teooria. Distsipliini uurimise eripäraks on matemaatilise analüüsi ja muude sellega seotud matemaatiliste distsipliinide aparaadi sagedane kasutamine, praktiliselt oluliste näidete kasutamine teoreetilise mehaanika, füüsika, elektrotehnika, akustika ainevaldkonnast.

1. Liikumise kvalitatiivne analüüs ühe vabadusastmega konservatiivses süsteemis

• Faasitasandi meetod
• Võnkeperioodi sõltuvus amplituudist. Pehmed ja kõvad süsteemid

2. Duffing võrrand

• Duffingi võrrandi üldlahenduse avaldis elliptilistes funktsioonides

3. Kvaasilineaarsed süsteemid

• Van der Pol muutujad
• Keskmistamise meetod

4. Lõõgastavad vibratsioonid

• Van der Poli võrrand
• Eraldi häiritud diferentsiaalvõrrandisüsteemid

5. Üldvormi mittelineaarsete autonoomsete süsteemide dünaamika ühe vabadusastmega

• Dünaamilise süsteemi "kareduse" mõiste
• Dünaamiliste süsteemide hargnemised

6. Floquet' teooria elemendid

• Perioodiliste koefitsientidega diferentsiaalvõrrandi lineaarsete süsteemide normaallahendused ja kordajad
• Parameetriline resonants

7. Hilli võrrand

• Hill-tüüpi võrrandi lahenduste käitumise analüüs Floquet' teooria rakendamise illustratsiooniks perioodiliste koefitsientidega lineaarsete Hamiltoni süsteemide puhul
• Mathieu võrrand kui Hill-tüüpi võrrandi erijuht. Ines-Strett diagramm

8. Sundvõnkumised mittelineaarse taastava jõuga süsteemis

• Seos võnkumiste amplituudi ja süsteemile rakendatava liikumapaneva jõu suuruse vahel
• Liikumisviisi muutmine liikumapaneva jõu sageduse muutmisel. "Dünaamilise" hüstereesi mõiste

9. Adiabaatilised invariandid

• Tegevusnurga muutujad
• Adiabaatiliste invariantide säilimine liikumise olemuse kvalitatiivse muutuse korral

10. Mitmemõõtmeliste dünaamiliste süsteemide dünaamika

• Ergoodsuse ja segunemise mõiste dünaamilistes süsteemides
• Poincaré kaardistamine

11. Lorentzi võrrandid. kummaline ligitõmbaja

• Lorentzi võrrandid kui termokonvektsiooni mudel
• Lorentzi võrrandite lahendite bifurkatsioonid. Üleminek kaosesse
• Kummalise atraktori fraktalstruktuur

12. Ühemõõtmelised kaardistused. Feigenbaumi mitmekülgsus

• Ruutkaardistamine – lihtsaim mittelineaarne kaardistamine
• Kaardistuste perioodilised orbiidid. Perioodiliste orbiitide hargnemised

Kirjandus (peamine)

1. Moisejev N.N. Mittelineaarse mehaanika asümptootilised meetodid. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovitš M.I., Trubetskov D.I. Sissejuhatus võnkumiste ja lainete teooriasse. Ed. 2. Uurimiskeskus "Regulaarne ja kaootiline dünaamika", 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asümptootilised meetodid mittelineaarsete võnkumiste teoorias. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Sissejuhatus mittelineaarsete võnkumiste teooriasse. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mihhailov A.S. Sissejuhatus sünergiasse. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kiritšenko N.A. Võnkumised, lained, struktuurid .. - M .: Fizmatlit, 2003.

Kirjandus (täiendav)

7. Žuravlev V.F., Klimov D.M. Rakendusmeetodid võnkumisteoorias. Kirjastus "Teadus", 1988.

8. Stoker J. Mittelineaarsed vibratsioonid mehaanilistes ja elektrisüsteemides. - M .: Väliskirjandus, 1952.

9. V. M. Staržinski, Mittelineaarsete võnkumiste rakendusmeetodid. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Mittelineaarsed võnkumised füüsikalistes süsteemides. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Vibratsioonide teooria. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Raamat tutvustab lugejale raadiotehnikas, optilistes ja muudes süsteemides toimuvate võnkeprotsesside üldisi omadusi ning erinevaid kvalitatiivseid ja kvantitatiivseid meetodeid nende uurimiseks. Märkimisväärset tähelepanu pööratakse parameetriliste, isevõnkuvate ja muude mittelineaarsete võnkesüsteemide arvestamisele.
Raamatus kirjeldatud võnkesüsteemide ja protsesside uurimine on antud võnketeooria tuntud meetoditega ilma meetodite endi üksikasjaliku tutvustamise ja põhjendamiseta. Põhitähelepanu pööratakse uuritud reaalsete süsteemide võnkemudelite põhijoonte selgitamisele kõige adekvaatsemate analüüsimeetodite abil.

Vabavõnkumised mittelineaarse induktiivsusega ahelas.
Vaatleme nüüd teist näidet elektrilisest mittelineaarsest konservatiivsest süsteemist, nimelt vooluringist, mille induktiivsus sõltub seda läbivast voolust. Sellel juhtumil pole illustreerivat ja lihtsat mitterelativistlikku mehaanilist analoogi, kuna iseinduktsiooni sõltuvus voolust on mehaanika jaoks samaväärne massi sõltuvuse kiirusest.

Seda tüüpi elektrisüsteeme kohtame siis, kui induktiivpoolides kasutatakse ferromagnetilisest materjalist südamikke. Sellistel juhtudel on iga antud südamiku puhul võimalik saada seos magnetiseeriva välja ja magnetinduktsiooni voo vahel. Seda sõltuvust kujutavat kõverat nimetatakse magnetiseerimiskõveraks. Kui jätame hüstereesi nähtuse tähelepanuta, saab selle ligikaudset kulgu kujutada joonisel fig. 1.13. Kuna välja H suurus on võrdeline mähises voolava vooluga, saab voolu joonistada vastaval skaalal otse abstsissteljele.

Laadige mugavas vormingus tasuta alla e-raamat, vaadake ja lugege:
Laadige alla raamat "Võnkumisteooria alused", Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, kiire ja tasuta allalaadimine.

• Teoreetilise füüsika põhimõtted, Mehaanika, väljateooria, kvantmehaanika elemendid, Medvedev B.V., 2007
• Füüsika kursus, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruwell E.R., Medvedev D.A.
• Tehniline termodünaamika soojusülekande ja hüdraulika põhitõdedega, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988