Ühtse riigieksami koolitusülesanded tuletisinstrumentide kohta. Tuletiste rakendamine eksamiülesannetes

Tuletise geomeetriline tähendus X Y 0 puutuja α k – sirge nurkkoefitsient (puutuja) Tuletise geomeetriline tähendus: kui funktsiooni y = f(x) graafikule saab tõmmata puutuja abstsissiga punktis. , y-teljega mitteparalleelne, siis väljendab see puutuja nurkkoefitsienti, s.o. Kuna, siis on võrdsus tõene: sirgjoone võrrand

X y Kui α 0. Kui α > 90°, siis k 90°, siis k 90°, siis k 90°, siis k 90°, siis k title="х y Kui α 0. Kui α > 90°, siis k

X y Ülesanne 1. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis, mille abstsiss on -1. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x =

Y x x0x Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0. Vastus: -0,25

Joonisel on kujutatud intervallil (-6;6) defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik. Leia funktsiooni f(x) suurenemise intervallid. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa. B =...

Funktsiooni tuletis on üks raskemaid teemasid kooli õppekavas. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluses matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Kumb kasvab teie arvates kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Graafik näitab kõike korraga, kas pole? Kostja sissetulek kasvas kuue kuuga enam kui kahekordseks. Ja ka Grisha sissetulek kasvas, kuid veidi. Ja Matvey sissetulek vähenes nullini. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, st tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulude tuletisinstrument on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt hindame lihtsalt funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

See, mida me tegelikult vaatame, on see, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub, kui x muutub? Ilmselgelt võivad sama funktsiooni erinevates punktides olla erinevad tuletisväärtused - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame teile, kuidas seda graafiku abil leida.

Mõne funktsiooni graafik on koostatud. Võtame punkti, millel on abstsiss. Joonistame selles punktis funktsiooni graafiku puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik ülespoole tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja nurga puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutujanurga puutujaga.

Pange tähele, et puutuja kaldenurgaks võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on antud jaotises graafikuga üks ühine punkt ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime selle üles. Peame meeles, et täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega. Kolmnurgast:

Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid probleeme leidub sageli matemaatika ühtsel riigieksamil numbri all.

On veel üks oluline suhe. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See võrdub sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu on tuletis võrdne puutujanurga puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb ja erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Punkti joonestatud graafiku puutuja moodustab teravnurga; positiivse telje suunaga. See tähendab, et punkti tuletis on positiivne.

Sel hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et punktides (maksimaalne punkt) ja (minimaalne punkt) on puutuja horisontaalne. Seetõttu on puutuja puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.

Punkt – maksimumpunkt. Sel hetkel asendatakse funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti null, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saame funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon suureneb.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon väheneb.

Maksimumpunktis on tuletis null ja muudab märgi plussmärgist miinusmärgiks.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi “miinus” asemel “pluss”.

Kirjutame need järeldused tabeli kujul:

Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik, et funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See on nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes – ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see jääb positiivseks, nagu oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Tunni tüüp: kordamine ja üldistamine.

Tunni formaat:õppetund-konsultatsioon.

Tunni eesmärgid:

• hariv: korrata ja üldistada teoreetilisi teadmisi teemadel: “Tuletise geomeetriline tähendus” ja “Tuletise rakendamine funktsioonide uurimisel”; kaaluma kõiki B8-probleeme, mis ilmnesid matemaatika ühtsel riigieksamil; anda õpilastele võimalus oma teadmisi proovile panna iseseisvalt ülesandeid lahendades; õpetada täitma eksamivastuse vormi;
• arenev: edendada suhtlemise kui teaduslike teadmiste, semantilise mälu ja vabatahtliku tähelepanu meetodi arengut; selliste võtmepädevuste kujunemine nagu võrdlemine, kõrvutamine, objektide klassifitseerimine, õppeülesande lahendamise adekvaatsete viiside määramine etteantud algoritmide alusel, oskus ebakindlates olukordades iseseisvalt tegutseda, oma tegevust jälgida ja hinnata, põhjuseid leida ja kõrvaldada. raskustest;
• hariv: arendada õpilaste suhtluspädevusi (suhtluskultuur, grupitöövõime); soodustada eneseharimise vajaduse kujunemist.

Tehnoloogiad: arendav haridus, IKT.

Õppemeetodid: verbaalne, visuaalne, praktiline, problemaatiline.

Töö vormid: individuaalne, frontaalne, rühm.

Hariduslik ja metoodiline tugi:

1. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus 11. klass: õpik. Üldhariduse jaoks Asutused: põhi- ja profiil. tasemed / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); toimetanud A. B. Žižtšenko. – 4. väljaanne. – M.: Haridus, 2011.

2. Ühtne riigieksam: 3000 ülesannet koos vastustega matemaatikas. Kõik rühma B / A.L ülesanded. Semenov, I.V. Jaštšenko ja teised; toimetanud A.L. Semjonova, I.V. Jaštšenko. – M.: Kirjastus “Exam”, 2011.

3. Ava tegumipank.

Tunni varustus ja materjalid: projektor, ekraan, arvuti igale õpilasele, millele on paigaldatud esitlus, kõigile õpilastele memo väljatrükk (1. lisa) ja tulemusleht ( Lisa 2) .

Esialgne ettevalmistus tunniks: kodutööna palutakse õpilastel korrata õpiku teoreetilist materjali teemadel: „Tuletise geomeetriline tähendus“, „Tuletise rakendamine funktsioonide uurimisel“; Klass on jagatud rühmadesse (igaüks 4 inimest), millest igaühes on erineva tasemega õpilased.

Tunni selgitus: Seda õppetundi õpetatakse 11. klassis ühtseks riigieksamiks kordamise ja ettevalmistamise etapis. Tund on suunatud teoreetilise materjali kordamisele ja üldistamisele, selle rakendamisele eksamiülesannete lahendamisel. Tunni kestus - 1,5 tundi .

See tund ei ole õpikule lisatud, seega saab seda õpetada mis tahes õppematerjaliga töötades. Selle õppetunni saab jagada ka kaheks eraldi õppetunniks ja anda läbitud teemade lõputundidena.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

II. Eesmärkide seadmise õppetund.

III. Kordamine teemal “Tuletiste geomeetriline tähendus”.

Suuline frontaaltöö projektoriga (slaidid nr 3-7)

Töö rühmades: ülesannete lahendamine vihjete, vastustega, õpetaja konsultatsiooniga (slaidid nr 8-17)

IV. Iseseisev töö 1.

Õpilased töötavad individuaalselt arvutis (slaidid nr 18-26) ja sisestavad oma vastused hindamislehele. Vajadusel saab konsulteerida õpetajaga, kuid sellisel juhul kaotab õpilane 0,5 punkti. Kui õpilane lõpetab töö varem, saab ta valida täiendavate ülesannete lahendamise kogumikust, lk 242, 306-324 (lisaülesandeid hinnatakse eraldi).

V. Vastastikune kontrollimine.

Õpilased vahetavad hindamislehti, kontrollivad sõbra tööd ja määravad punkte (slaid nr 27)

VI. Teadmiste korrigeerimine.

VII. Kordus teemal “Tuletise rakendamine funktsioonide uurimisel”

Suuline frontaaltöö projektoriga (slaidid nr 28-30)

Töö rühmades: ülesannete lahendamine vihjete, vastustega, õpetaja konsultatsiooniga (slaidid nr 31-33)

VIII. Iseseisev töö 2.

Õpilased töötavad individuaalselt arvutis (slaidid nr 34-46) ja sisestavad vastused vastusevormile. Vajadusel saab konsulteerida õpetajaga, kuid sellisel juhul kaotab õpilane 0,5 punkti. Kui õpilane lõpetab töö varem, saab ta valida täiendavate ülesannete lahendamise kogumikust, lk 243-305 (lisaülesandeid hinnatakse eraldi).

IX. Eksperthinnang.

Õpilased vahetavad hindamislehti, kontrollivad sõbra tööd ja jagavad punkte (slaid nr 47).

X. Teadmiste korrigeerimine.

Õpilased töötavad uuesti oma rühmades, arutavad lahendust ja parandavad vigu.

XI. Kokkuvõtteid tehes.

Iga õpilane arvutab oma punktid ja paneb hindamislehele hinde.

Õpilased esitavad õpetajale hindamislehe ja lisaprobleemide lahendused.

Iga õpilane saab memo (slaid nr 53-54).

XII. Peegeldus.

Õpilastel palutakse oma teadmisi hinnata, valides ühe järgmistest fraasidest:

• Mul õnnestus!!!
• Peame lahendama veel paar näidet.
• No kes selle matemaatika välja mõtles!

XIII. Kodutöö.

Kodutöödeks palutakse õpilastel valida ülesanded kogumikust lk 242-334, samuti avatud ülesannete pangast.

Kujutagem ette künklikku ala läbivat sirget teed. See tähendab, et see läheb üles ja alla, kuid ei pööra paremale ega vasakule. Kui telg on suunatud horisontaalselt piki teed ja vertikaalselt, on teejoon väga sarnane mõne pideva funktsiooni graafikuga:

Telg on teatud nullkõrguse tase, mida me kasutame sellena.

Mööda sellist teed edasi liikudes liigume ka üles või alla. Võime ka öelda: kui argument muutub (liikumine mööda abstsisstellge), muutub funktsiooni väärtus (liikumine mööda ordinaattelge). Mõelgem nüüd sellele, kuidas määrata meie tee “järsust”? Mis väärtus see võiks olla? See on väga lihtne: kui palju kõrgus teatud vahemaa võrra edasi liikudes muutub. Tõepoolest, erinevatel teelõikudel, liikudes edasi (piki x-telge) ühe kilomeetri võrra, tõuseme või langeme merepinna suhtes (mööda y-telge) erineva arvu meetreid.

Tähistame edusamme (loe "delta x").

Kreeka tähte (delta) kasutatakse matemaatikas tavaliselt eesliitena, mis tähendab "muutust". See tähendab, et see on koguse muutus, - muutus; mis see siis on? See on õige, suurusjärgu muutus.

Tähtis: avaldis on üks tervik, üks muutuja. Ärge kunagi eraldage "delta" tähest "x" või mis tahes muust tähest! See tähendab näiteks.

Niisiis, oleme liikunud edasi, horisontaalselt, võrra. Kui võrrelda tee joont funktsiooni graafikuga, siis kuidas tähistada tõusu? Kindlasti,. See tähendab, et edasi liikudes tõuseme kõrgemale.

Väärtust on lihtne välja arvutada: kui alguses olime kõrgusel ja peale liikumist avastasime end kõrguselt, siis. Kui lõpp-punkt on alguspunktist madalam, on see negatiivne - see tähendab, et me ei tõuse, vaid laskume.

Pöördume tagasi "järsuse" juurde: see on väärtus, mis näitab, kui palju (järsult) kõrgus ühe kaugusühiku võrra edasi liikudes suureneb:

Oletame, et mõnel teelõigul kilomeetri võrra edasi liikudes tõuseb tee kilomeetri võrra ülespoole. Siis on selle koha kalle võrdne. Ja kui tee m edasi liikudes km võrra langeks? Siis on kalle võrdne.

Vaatame nüüd ühe mäe tippu. Kui võtta lõigu algus pool kilomeetrit enne tippu ja lõpp pool kilomeetrit pärast seda, on näha, et kõrgus on peaaegu sama.

See tähendab, et meie loogika kohaselt selgub, et kalle on siin peaaegu võrdne nulliga, mis ilmselgelt pole tõsi. Veidi üle kilomeetri võib palju muutuda. Järsu adekvaatsemaks ja täpsemaks hindamiseks on vaja arvestada väiksemate aladega. Näiteks kui mõõta kõrguse muutust ühe meetri liigutamisel, on tulemus palju täpsem. Kuid isegi sellest täpsusest ei pruugi meile piisata - kui tee keskel on post, siis saame sellest lihtsalt mööda minna. Millise vahemaa peaksime siis valima? Sentimeeter? Millimeeter? Vähem on parem!

Reaalses elus on kauguste mõõtmine millimeetri täpsusega enam kui piisav. Kuid matemaatikud püüdlevad alati täiuslikkuse poole. Seetõttu leiutati kontseptsioon lõpmatult väike, see tähendab, et absoluutväärtus on väiksem kui suvaline arv, mida saame nimetada. Näiteks ütlete: triljondik! Kui palju vähem? Ja jagate selle arvu - ja see on veelgi väiksem. Ja nii edasi. Kui tahame kirjutada, et suurus on lõpmata väike, kirjutame nii: (loeme “x kipub nulli”). On väga oluline mõista et see arv ei ole null! Aga sellele väga lähedal. See tähendab, et saate sellega jagada.

Lõpmatu väikesele vastandmõiste on lõpmata suur (). Tõenäoliselt olete sellega juba kokku puutunud, kui töötasite ebavõrdsuse kallal: see arv on mooduli võrra suurem kui ükski number, mida võite ette kujutada. Kui leiate suurima võimaliku arvu, korrutage see lihtsalt kahega ja saate veelgi suurema arvu. Ja lõpmatus on veelgi suurem kui see, mis juhtub. Tegelikult on lõpmata suur ja lõpmatult väike teineteise pöördväärtus, st at ja vastupidi: at.

Nüüd pöördume tagasi oma tee juurde. Ideaalselt arvutatud kalle on tee lõpmatu väikese lõigu jaoks arvutatud kalle, see tähendab:

Märgin, et lõpmata väikese nihke korral on ka kõrguse muutus lõpmatult väike. Kuid lubage mul teile meelde tuletada, et lõpmata väike ei tähenda nulliga võrdset. Kui jagada lõpmata väikesed arvud üksteisega, saab täiesti tavalise arvu, näiteks . See tähendab, et üks väike väärtus võib olla täpselt kordi suurem kui teine.

Milleks see kõik on? Tee, järsk... Me ei lähe autorallile, vaid õpetame matemaatikat. Ja matemaatikas on kõik täpselt sama, ainult kutsutakse teisiti.

Tuletise mõiste

Funktsiooni tuletis on funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral.

Järk-järgult matemaatikas kutsuvad nad muutust. Nimetatakse seda, kuivõrd argument () muutub piki telge liikudes argumentide juurdekasv ja tähistatakse seda, kui palju on funktsioon (kõrgus) muutunud piki telge kauguse võrra edasi liikudes funktsiooni juurdekasv ja on määratud.

Seega on funktsiooni tuletis suhe millal. Tuletist tähistame funktsiooniga sama tähega, ainult algarvuga üleval paremal: või lihtsalt. Niisiis, kirjutame tuletisvalemi järgmiste tähiste abil:

Sarnaselt teele on siin, kui funktsioon suureneb, on tuletis positiivne ja kui see väheneb, on see negatiivne.

Kas tuletis võib olla võrdne nulliga? Kindlasti. Näiteks kui sõidame tasasel horisontaalsel teel, on järsus null. Ja see on tõsi, kõrgus ei muutu üldse. Nii on ka tuletisega: konstantse funktsiooni tuletis (konstant) on võrdne nulliga:

kuna sellise funktsiooni juurdekasv on võrdne nulliga mis tahes.

Meenutagem näidet mäe otsast. Selgus, et lõigu otsad oli võimalik paigutada tipu vastaskülgedele nii, et otste kõrgus osutub samaks, see tähendab, et segment on teljega paralleelne:

Kuid suured segmendid on märk ebatäpsest mõõtmisest. Tõstame oma lõigu endaga paralleelselt üles, siis selle pikkus väheneb.

Lõpuks, kui oleme tipule lõpmatult lähedal, muutub lõigu pikkus lõpmatult väikeseks. Kuid samal ajal jäi see teljega paralleelseks, see tähendab, et kõrguste erinevus selle otstes on võrdne nulliga (see ei kipu, kuid on võrdne). Seega tuletis

Seda võib mõista nii: kui seisame kõige tipus, muudab väike nihe vasakule või paremale meie kõrgust tühiselt.

Sellel on ka puhtalgebraline seletus: tipust vasakul funktsioon suureneb, paremal aga väheneb. Nagu me varem teada saime, on funktsiooni suurenemisel tuletis positiivne ja kui see väheneb, siis negatiivne. Aga see muutub sujuvalt, ilma hüpeteta (kuna tee ei muuda kuskil järsult kallet). Seetõttu peavad olema negatiivsed ja positiivsed väärtused. See on koht, kus funktsioon ei suurene ega vähene – tipupunktis.

Sama kehtib ka küna kohta (ala, kus vasakpoolne funktsioon väheneb ja parempoolne funktsioon suureneb):

Natuke juurdekasvu kohta.

Seega muudame argumendi suuruseks. Millisest väärtusest me muudame? Mis sellest (vaidlusest) nüüd on saanud? Saame valida mis tahes punkti ja nüüd tantsime sellest.

Vaatleme koordinaadiga punkti. Funktsiooni väärtus selles on võrdne. Seejärel teeme sama juurdekasvu: suurendame koordinaati võrra. Mis on nüüd argument? Väga lihtne: . Mis on funktsiooni väärtus praegu? Kuhu läheb argument, läheb ka funktsioon: . Aga funktsiooni juurdekasv? Ei midagi uut: see on ikkagi summa, mille võrra funktsioon on muutunud:

Harjutage juurdekasvu leidmist:

1. Leia funktsiooni juurdekasv punktis, kus argumendi juurdekasv on võrdne.
2. Sama kehtib ka funktsiooni kohta punktis.

Lahendused:

Erinevates punktides sama argumendi juurdekasvuga on funktsiooni juurdekasv erinev. See tähendab, et tuletis igas punktis on erinev (me arutasime seda kohe alguses - tee järskus on erinevates punktides erinev). Seetõttu peame tuletise kirjutamisel näitama, millisel hetkel:

Toitefunktsioon.

Võimsusfunktsioon on funktsioon, mille argument on mingil määral (loogiline, eks?).

Pealegi - mis tahes määral: .

Lihtsaim juhtum on siis, kui eksponents on:

Leiame selle tuletise ühest punktist. Tuletagem meelde tuletise määratlust:

Nii et argument muutub väärtusest kuni. Mis on funktsiooni juurdekasv?

Kasv on see. Kuid funktsioon mis tahes punktis on võrdne selle argumendiga. Sellepärast:

Tuletis on võrdne:

Tuletis on võrdne:

b) Vaatleme nüüd ruutfunktsiooni (): .

Nüüd meenutagem seda. See tähendab, et juurdekasvu väärtuse võib tähelepanuta jätta, kuna see on lõpmata väike ja seetõttu teise termini taustal tähtsusetu:

Niisiis, me leidsime veel ühe reegli:

c) Jätkame loogilist seeriat: .

Seda avaldist saab lihtsustada mitmel viisil: avage esimene sulg, kasutades summa kuubi lühendatud korrutamise valemit, või faktoristage kogu avaldis kuubikute erinevuse valemi abil. Proovige seda ise teha, kasutades mõnda soovitatud meetodit.

Niisiis, sain järgmise:

Ja jälle meenutagem seda. See tähendab, et võime tähelepanuta jätta kõik terminid, mis sisaldavad:

Saame: .

d) Sarnased reeglid on saadaval suurte võimsuste jaoks:

e) Selgub, et seda reeglit saab üldistada suvalise astendajaga astmefunktsiooni jaoks, isegi mitte täisarvuga:

Reegli saab sõnastada sõnadega: "aste tuuakse koefitsiendina ette ja seejärel vähendatakse võrra."

Tõestame seda reeglit hiljem (peaaegu päris lõpus). Vaatame nüüd mõnda näidet. Leidke funktsioonide tuletis:

1. (kahel viisil: valemiga ja kasutades tuletise definitsiooni – funktsiooni juurdekasvu arvutades);

Trigonomeetrilised funktsioonid.

Siin kasutame ühte fakti kõrgemast matemaatikast:

Väljendiga.

Tõestust saate teada instituudi esimesel kursusel (ja sinna saamiseks peate hästi sooritama ühtse riigieksami). Nüüd näitan seda lihtsalt graafiliselt:

Näeme, et kui funktsiooni pole olemas, lõigatakse graafik punkt välja. Kuid mida lähemal väärtusele, seda lähemal on see funktsioon.

Lisaks saate seda reeglit kontrollida kalkulaatori abil. Jah, jah, ärge kartke, kasutage kalkulaatorit, me ei ole veel ühtsel riigieksamil.

Niisiis, proovime: ;

Ärge unustage lülitada oma kalkulaatorit radiaanirežiimile!

jne. Näeme, et mida väiksem, seda lähemal on suhtarvu väärtus.

a) Mõelge funktsioonile. Nagu tavaliselt, leiame selle juurdekasvu:

Muudame siinuste erinevuse korrutiseks. Selleks kasutame valemit (pidage meeles teemat ""): .

Nüüd tuletis:

Teeme asendus: . Siis on see ka lõpmatu väikese arvu korral: . Avaldis jaoks on järgmine:

Ja nüüd meenutame seda väljendiga. Ja mis siis, kui lõpmata väikest suurust saab summas (st at) tähelepanuta jätta.

Niisiis, saame järgmise reegli: siinuse tuletis on võrdne koosinusega:

Need on põhituletised (“tabelikujulised”). Siin on need ühes loendis:

Hiljem lisame neile veel mõned, kuid need on kõige olulisemad, kuna neid kasutatakse kõige sagedamini.

Harjuta:

1. Leia funktsiooni tuletis punktis;
2. Leia funktsiooni tuletis.

Lahendused:

Eksponent ja naturaallogaritm.

Matemaatikas on funktsioon, mille tuletis mis tahes väärtuse jaoks on samaaegselt võrdne funktsiooni enda väärtusega. Seda nimetatakse eksponendiks ja see on eksponentsiaalne funktsioon

Selle funktsiooni alus - konstant - on lõpmatu kümnendmurd, see tähendab irratsionaalne arv (näiteks). Seda nimetatakse "Euleri numbriks", mistõttu on see tähistatud tähega.

Niisiis, reegel:

Väga lihtne meelde jätta.

Noh, ärme lähe kaugele, mõelgem kohe pöördfunktsioonile. Milline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon? Logaritm:

Meie puhul on aluseks number:

Sellist logaritmi (see tähendab logaritmi alusega) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.

Millega see on võrdne? Muidugi, .

Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:

Näited:

1. Leia funktsiooni tuletis.
2. Mis on funktsiooni tuletis?

Vastused: Eksponent- ja naturaallogaritm on tuletise vaatenurgast ainulaadselt lihtsad funktsioonid. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, pärast diferentseerimisreeglite läbimist.

Eristamise reeglid

Mille reeglid? Jälle uus termin, jälle?!...

Eristumine on tuletise leidmise protsess.

See on kõik. Kuidas veel ühe sõnaga seda protsessi nimetada? Mitte tuletis... Matemaatikud nimetavad diferentsiaali funktsiooni samaks juurdekasvuks at. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.

Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:

Kokku on 5 reeglit.

Konstant võetakse tuletismärgist välja.

Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.

Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .

Tõestame seda. Las see olla või lihtsam.

Näited.

Leidke funktsioonide tuletised:

1. punktis;
2. punktis;
3. punktis;
4. punktis.

Lahendused:

Toote tuletis

Siin on kõik sarnane: tutvustame uut funktsiooni ja leiame selle juurdekasvu:

Tuletis:

Näited:

1. Leia funktsioonide ja tuletised;
2. Leia funktsiooni tuletis punktis.

Lahendused:

Eksponentfunktsiooni tuletis

Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponente (kas olete juba unustanud, mis see on?).

Niisiis, kus on mõni number.

Me juba teame funktsiooni tuletist, seega proovime oma funktsiooni taandada uuele alusele:

Selleks kasutame lihtsat reeglit: . Seejärel:

Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.

Juhtus?

Siin kontrollige ennast:

Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisele: nii nagu see oli, jääb see samaks, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.

Näited:
Leidke funktsioonide tuletised:

Vastused:

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:

Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:

Peame selle logaritmi taandama baasini. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:

Alles nüüd kirjutame selle asemel:

Nimetaja on lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis saadakse väga lihtsalt:

Eksponentsiaalsete ja logaritmiliste funktsioonide tuletisi ei leidu ühtsest riigieksamist peaaegu kunagi, kuid nende tundmine ei ole üleliigne.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Mis on "keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega arctangent. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui te peate logaritmi keeruliseks, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik on korras), kuid matemaatilisest vaatenurgast ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".

Kujutage ette väikest konveieri: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine ​​seob selle paelaga. Tulemuseks on komposiitobjekt: paelaga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidised toimingud vastupidises järjekorras.

Loome sarnase matemaatilise konveieri: kõigepealt leiame arvu koosinuse ja seejärel ruudustage saadud arv. Niisiis, meile antakse number (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks sooritame esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise toimingu esimese toiminguga.

Saame hõlpsasti teha samu samme vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust: . Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Keeruliste funktsioonide oluline tunnus: toimingute järjekorra muutumisel muutub funktsioon.

Teisisõnu, kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine ​​funktsioon: .

Esimese näitena .

Teine näide: (sama asi). .

Tegevust, mida me viimati teeme, nimetatakse "väline" funktsioon, ja esmalt sooritatud toiming – vastavalt "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).

Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:

Vastused: Sise- ja välisfunktsioonide eraldamine on väga sarnane muutujate muutmisega: näiteks funktsioonis

Muudame muutujaid ja saame funktsiooni.

Noh, nüüd eraldame oma šokolaaditahvli ja otsime tuletise. Protseduur on alati vastupidine: kõigepealt otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Seoses algse näitega näeb see välja järgmine:

Veel üks näide:

Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

Tundub lihtne, eks?

Kontrollime näidetega:

DERIVAAT. LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral:

Põhilised tuletised:

Eristamise reeglid:

Konstant võetakse tuletismärgist välja:

Summa tuletis:

Toote tuletis:

Jagatise tuletis:

Kompleksfunktsiooni tuletis:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

1. Defineerime "sisemise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
2. Defineerime "välise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
3. Korrutame esimese ja teise punkti tulemused.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled niigi parem kui valdav enamus oma eakaaslastest.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Ühtse riigieksami eduka sooritamise, eelarvega kõrgkooli astumise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Lihtsalt ärge piirduge teooriaga.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Te vajate mõlemat.

Otsige üles probleemid ja lahendage need!

Sirge y=3x+2 puutub funktsiooni y=-12x^2+bx-10 graafikuga. Leidke b, arvestades, et puutujapunkti abstsiss on väiksem kui null.

Lahendus

Olgu x_0 funktsiooni y=-12x^2+bx-10 graafikul oleva punkti abstsiss, mida selle graafiku puutuja läbib.

Tuletise väärtus punktis x_0 on võrdne puutuja kaldega, st y"(x_0)=-24x_0+b=3. Teisest küljest kuulub puutujapunkt samaaegselt mõlemale puutepunkti graafikule. funktsioon ja puutuja ehk -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Saame võrrandisüsteemi \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(juhtumid)

Selle süsteemi lahendamisel saame x_0^2=1, mis tähendab kas x_0=-1 või x_0=1. Abstsisstingimuse järgi on puutujapunktid väiksemad kui null, seega x_0=-1, siis b=3+24x_0=-21.

Vastus

Seisund

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik (mis on kolmest sirgest lõigust koosnev katkendjoon). Arvutage joonise abil F(9)-F(5), kus F(x) on funktsiooni f(x) üks antituletistest.

Lahendus

Newtoni-Leibnizi valemi järgi on erinevus F(9)-F(5), kus F(x) on üks funktsiooni f(x) antiderivaatidest, võrdne kõverjoonelise trapetsi piiratud pindalaga. funktsiooni y=f(x) graafiku järgi sirged y=0 , x=9 ja x=5. Graafikult teeme kindlaks, et näidatud kõver trapets on trapets, mille alused on 4 ja 3 ning kõrgus 3.

Selle pindala on võrdne \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Kulabukhova.

Seisund

Joonisel on graafik y=f"(x) - funktsiooni f(x) tuletis, mis on defineeritud intervallil (-4; 10). Leia kahaneva funktsiooni f(x) intervallid. Teie vastuses märkige neist suurimate pikkus.

Lahendus

Teatavasti väheneb funktsioon f(x) nendel intervallidel, mille igas punktis tuletis f"(x) on väiksem kui null. Arvestades, et on vaja leida neist suurima pikkus, on kolm sellist intervalli. loomulikult eristub joonisest: (-4; -2) (0; 3);

Neist suurima (5; 9) pikkus on 4.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Kulabukhova.

Seisund

Joonisel on graafik y=f"(x) - funktsiooni f(x) tuletis, mis on defineeritud intervallil (-8; 7). Leia funktsiooni f(x) kuuluvate maksimumpunktide arv. intervall [-6; -2].

Lahendus

Graafik näitab, et funktsiooni f(x) tuletis f"(x) muudab märgi plussist miinusesse (sellistes punktides on maksimum) täpselt ühes punktis (vahemikus -5 kuni -4) intervallist [ -6; -2 ] Seetõttu on intervallis täpselt üks maksimumpunkt [-6;

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Kulabukhova.

Seisund

Joonisel on kujutatud intervallil (-2; 8) defineeritud funktsiooni y=f(x) graafik. Määrake punktide arv, milles funktsiooni f(x) tuletis on 0.

Lahendus

Tuletise võrdsus punktis nulliga tähendab, et selles punktis joonestatud funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne Ox-teljega. Seetõttu leiame punktid, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne Ox-teljega. Sellel diagrammil on sellised punktid äärmuspunktid (maksimaalsed või miinimumpunktid). Nagu näete, on 5 äärmuspunkti.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Kulabukhova.

Seisund

Sirge y=-3x+4 on paralleelne funktsiooni y=-x^2+5x-7 graafiku puutujaga. Leidke puutujapunkti abstsiss.

Lahendus

Funktsiooni y=-x^2+5x-7 graafiku sirge nurkkoefitsient suvalises punktis x_0 võrdub y"(x_0). Aga y"=-2x+5, mis tähendab y" (x_0)=-2x_0+5. nurga koefitsient y=-3x+4 on võrdne -3-ga. Seetõttu leiame väärtuse x_0 -2x_0 +5=-3.

Saame: x_0 = 4.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Kulabukhova.

Seisund

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja abstsissile on märgitud punktid -6, -1, 1, 4. Millises neist punktidest on tuletis väikseim? Palun märkige see punkt oma vastuses.