Kuinka laskea geometrisen progression summa. Aritmeettinen ja geometrinen progressio

Jos jokainen luonnollinen luku n vastaa reaalilukua a n , sitten he sanovat, että annettu numerosarja :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Joten numeerinen sarja on luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen jäsen , numero a 2 — sekvenssin toinen jäsen , numero a 3 — kolmas jne. Määrä a n nimeltään sekvenssin n:s jäsen , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

kahdelta naapurijäseneltä a n ja a n +1 jäsensekvenssit a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), a a n — Edellinen (kohti a n +1 ).

Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.

Usein sekvenssi on annettu n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivisten parittomien lukujen sarja voidaan antaa kaavalla

a n= 2n- 1,

ja vuorottelujärjestys 1 ja -1 -kaava

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, toisin sanoen kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

jos a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numerosarjan seitsemän ensimmäistä jäsentä asetetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen ja loputon .

Sarjaa kutsutaan perimmäinen jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroisten luonnollisten lukujen sarja:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Alkunumerojärjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Sarjaa kutsutaan lisääntyy , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.

Sarjaa kutsutaan hiipumassa , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on nouseva sekvenssi;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on laskeva sekvenssi. ◄

Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene lukumäärän kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

missä d - joku numero.

Näin ollen tietyn aritmeettisen progression seuraavan ja edellisen jäsenen välinen ero on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen progression ero.

Aritmeettisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja erotus.

Esimerkiksi,

jos a 1 = 3, d = 4 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Siten,

◄

Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression -th jäsen löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sitten ilmeisesti

mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen progression jäsenten summasta, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle yhtälö on totta:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kuten

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

ensimmäinen n aritmeettisen progression jäsenet on yhtä suuri kuin puolen ääritermien summan tulo termien lukumäärällä:

Tästä seuraa erityisesti, että jos on tarpeen summata ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos aritmeettinen progressio annetaan, niin suuret a 1 , a n, d, n jaS n yhdistää kaksi kaavaa:

Siksi, jos näistä kolmen suuren arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen progressio on monotoninen sarja. Jossa:

• jos d > 0 , silloin se kasvaa;
• jos d < 0 , silloin se pienenee;
• jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.

Geometrinen eteneminen

geometrinen eteneminen kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

missä q ≠ 0 - joku numero.

Siten tämän geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

jos b 1 = 1, q = -3 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n -termi löytyy kaavasta:

b n = b 1 · q n -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jokainen geometrisen progression jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska myös päinvastainen on totta, seuraava väite pätee:

luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

Todistakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Siten,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

joka todistaa vaaditun väitteen. ◄

Ota huomioon, että n Geometrisen progression termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös mikä tahansa aikaisempi termi b k , jolle riittää käyttää kaavaa

b n = b k · q n - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

minkä tahansa geometrisen progression jäsenen neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän etenemisen siitä yhtä kaukana olevien jäsenten tulo.

Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kuten

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n geometrisen progression jäseniä nimittäjällä q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan

S n= Huom. 1

Huomaa, että jos meidän on laskettava ehdot yhteen

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos geometrinen progressio annetaan, niin suureet b 1 , b n, q, n ja S n yhdistää kaksi kaavaa:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuusominaisuudet :

• eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Jos q< 0 , silloin geometrinen eteneminen on etumerkkivuorottelua: sen parittomilla termeillä on sama etumerkki kuin ensimmäisellä termillä ja parillisilla termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.

Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi kuin 1 , eli

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole vähenevä sarja. Tämä sopii tapaukseen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on merkki-vuorotteleva. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä numero, johon ensimmäisen summa on n etenemisen kannalta rajoittamattoman määrän kasvun kanssa n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan ​​kaavalla

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde

Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Tarkastellaan vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , sitten

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä q , sitten

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa kirjaudu aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa lg 6 . ◄

Geometrinen progressio on uudenlainen lukujono, johon meidän on tutustuttava. Onnistuneelle tuttavuudelle ei ole haittaa ainakin tietää ja ymmärtää. Silloin geometrisen etenemisen kanssa ei ole ongelmia.)

Mikä on geometrinen progressio? Geometrisen etenemisen käsite.

Aloitamme kiertueen tuttuun tapaan ala-asteella. Kirjoitan keskeneräisen numerosarjan:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Pystytkö nappaamaan kuvion ja kertomaan, mitkä numerot tulevat seuraavaksi? Pippuri on kirkas, luvut 100000, 1000000 ja niin edelleen menevät pidemmälle. Jopa ilman paljon henkistä stressiä, kaikki on selvää, eikö?)

OK. Toinen esimerkki. Kirjoitan seuraavan sarjan:

1, 2, 4, 8, 16, …

Voitko kertoa, mitkä numerot tulevat seuraavaksi numeron 16 ja nimen jälkeen kahdeksas sarjan jäsen? Jos arvasit, että se olisi numero 128, niin hyvin. Puolet taistelusta on siis ymmärryksessä merkitys ja avainkohdat geometrinen eteneminen on jo tehty. Voit kasvaa edelleen.)

Ja nyt siirrymme taas aistimuksista tiukkaan matematiikkaan.

Geometrisen etenemisen tärkeimmät hetket.

Avainhetki #1

Geometrinen eteneminen on numerosarja. Kuten myös eteneminen. Ei mitään hankalaa. Järjestin juuri tämän sarjan eri tavalla. Siksi sillä on tietysti toinen nimi, kyllä...

Avainhetki #2

Toisen avainkohdan kohdalla kysymys on hankalampi. Palataanpa hieman taaksepäin ja muistetaan aritmeettisen progression keskeinen ominaisuus. Tässä se on: jokainen jäsen on erilainen kuin edellinen samalla määrällä.

Onko mahdollista muotoilla samanlainen avainominaisuus geometriselle progressiolle? Ajattele hieman... Katso annettuja esimerkkejä. Arvasinko? Joo! Geometrisessa progressiossa (mikä tahansa!) jokainen sen jäsen eroaa edellisestä yhtä monta kertaa. Aina!

Ensimmäisessä esimerkissä tämä luku on kymmenen. Riippumatta siitä, minkä sekvenssin termin otat, se on suurempi kuin edellinen kymmenen kertaa.

Toisessa esimerkissä tämä on kaksi: jokainen jäsen on suurempi kuin edellinen. kahdesti.

Juuri tässä avainkohdassa geometrinen eteneminen eroaa aritmeettisesta. Aritmeettisessa progressiossa jokainen seuraava termi saadaan lisäämällä sama arvo kuin edellisellä termillä. Ja täällä - kertolasku edellisellä kaudella samalla määrällä. Siinä se ero.)

Avainhetki #3

Tämä avainkohta on täysin identtinen aritmeettisen progression kanssa. Nimittäin: jokainen geometrisen progression jäsen on paikallaan. Kaikki on täsmälleen sama kuin aritmeettisessa etenemisessä ja kommentit ovat mielestäni tarpeettomia. On ensimmäinen termi, on sata ja ensimmäinen ja niin edelleen. Järjestetään ainakin kaksi jäsentä uudelleen - kuvio (ja sen mukana geometrinen eteneminen) katoaa. Jäljelle jää vain numerosarja ilman logiikkaa.

Siinä kaikki. Se on koko geometrisen etenemisen pointti.

Termit ja nimitykset.

Ja nyt, kun olemme käsitelleet geometrisen etenemisen merkityksen ja avainkohdat, voimme siirtyä teoriaan. Muuten, mitä on teoria ymmärtämättä sen merkitystä, eikö niin?

Mikä on geometrinen progressio?

Miten geometrinen progressio kirjoitetaan yleisesti? Ei ongelmaa! Jokainen etenemisen jäsen kirjoitetaan myös kirjeenä. Vain aritmeettiseen progressioon käytetään yleensä kirjainta "a", geometriselle kirjaimelle "b". Jäsennumero, kuten tavallista, on merkitty alempi oikea indeksi. Itse etenemisen jäsenet luetellaan yksinkertaisesti pilkuilla tai puolipisteillä erotettuina.

Kuten tämä:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Lyhyesti, tällainen eteneminen kirjoitetaan seuraavasti: (b n) .

Tai näin, rajallisille edistyksille:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Tai lyhyesti sanottuna:

(b n), n=30 .

Se on itse asiassa kaikki nimitykset. Kaikki on sama, vain kirjain on erilainen, kyllä.) Ja nyt mennään suoraan määritelmään.

Geometrisen progression määritelmä.

Geometrinen progressio on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on nollasta poikkeava ja jokainen seuraava termi on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Siinä koko määritelmä. Suurin osa sanoista ja lauseista ovat sinulle selkeitä ja tuttuja. Ellei tietenkään ymmärrä geometrisen etenemisen merkitystä "sormilla" ja yleensä. Mutta on myös muutamia uusia lauseita, joihin haluaisin kiinnittää erityistä huomiota.

Ensin sanat: "jonka ensimmäinen kausi eroaa nollasta".

Tätä ensimmäisen kauden rajoitusta ei otettu käyttöön sattumalta. Mitä luulet tapahtuvan, jos ensimmäinen kausi b 1 osoittautuu nollaksi? Mikä on toinen termi, jos jokainen termi on suurempi kuin edellinen saman monta kertaa? Sanotaanko kolme kertaa? Katsotaanpa... Kerro ensimmäinen termi (eli 0) kolmella ja saat... nolla! Ja kolmas jäsen? Myös nolla! Ja neljäs termi on myös nolla! Jne…

Saamme vain pussin sämpylöitä nollien sarjana:

0, 0, 0, 0, …

Tietysti sellaisella sarjalla on oikeus elämään, mutta sillä ei ole käytännön merkitystä. Kaikki on niin selvää. Jokainen sen jäsenistä on nolla. Minkä tahansa jäsenmäärän summa on myös nolla... Mitä mielenkiintoista sillä voi tehdä? Ei mitään…

Seuraavat avainsanat: "kerrottu samalla nollasta poikkeavalla luvulla".

Tällä samalla numerolla on myös oma erikoisnimi - geometrisen progression nimittäjä. Aloitetaan seurustelu.)

Geometrisen progression nimittäjä.

Kaikki on yksinkertaista.

Geometrisen progression nimittäjä on nollasta poikkeava luku (tai arvo), joka osoittaa kuinka monta kertaajokainen etenemisen jäsen enemmän kuin edellinen.

Jälleen, analogisesti aritmeettisen progression kanssa, avainsana, johon on kiinnitettävä huomiota tässä määritelmässä, on sana "lisää". Se tarkoittaa, että jokainen geometrisen progression termi saadaan kertolasku juuri tähän nimittäjään edellinen jäsen.

Minä selitän.

Lasketaan vaikka toinen jäsen otettavaksi ensimmäinen jäsen ja moninkertaistaa sen nimittäjään. Laskemiseen kymmenes jäsen otettavaksi yhdeksäs jäsen ja moninkertaistaa sen nimittäjään.

Itse geometrisen progression nimittäjä voi olla mikä tahansa. Ehdottomasti kuka tahansa! Kokonaisluku, murtoluku, positiivinen, negatiivinen, irrationaalinen - kaikki. Paitsi nolla. Tästä sana "ei-nolla" määritelmässä kertoo meille. Miksi tätä sanaa tarvitaan täällä - siitä lisää myöhemmin.

Geometrisen progression nimittäjä yleensä merkitty kirjaimella q.

Kuinka löytää tämä q? Ei ongelmaa! Meidän on otettava mikä tahansa etenemisen termi ja jakaa edellisellä lukukaudella. Jako on murto-osa. Tästä syystä nimi - "etenemisen nimittäjä". Nimittäjä, se yleensä istuu murto-osassa, kyllä...) Vaikka loogisesti ajatellen arvo q pitäisi kutsua yksityinen geometrinen progressio, samanlainen kuin ero aritmeettista progressiota varten. Mutta suostui soittamaan nimittäjä. Emmekä myöskään keksi pyörää uudelleen.)

Määritellään esimerkiksi arvo q tälle geometriselle progressiolle:

2, 6, 18, 54, …

Kaikki on alkeellista. Me otamme minkä tahansa sekvenssi numero. Mitä haluamme, sen otamme. Paitsi aivan ensimmäinen. Esimerkiksi 18. Ja jakaa edellinen numero. Eli klo 6.

Saamme:

q = 18/6 = 3

Siinä kaikki. Tämä on oikea vastaus. Tietylle geometriselle progressiolle nimittäjä on kolme.

Etsitään nimittäjä q toiselle geometriselle progressiolle. Esimerkiksi näin:

1, -2, 4, -8, 16, …

Aivan sama. Mitä merkkejä jäsenillä itsellään onkaan, otamme silti vastaan minkä tahansa järjestysnumero (esimerkiksi 16) ja jaa edellinen numero(eli -8).

Saamme:

d = 16/(-8) = -2

Ja siinä se.) Tällä kertaa etenemisen nimittäjä osoittautui negatiiviseksi. Miinus kaksi. Se tapahtuu.)

Otetaan tämä eteneminen:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Ja jälleen, riippumatta sekvenssin numerotyypistä (parilliset kokonaisluvut, parilliset, jopa negatiiviset, jopa irrationaaliset), otamme minkä tahansa luvun (esimerkiksi 1/9) ja jaamme edellisellä numerolla (1/3). Murtolukujen toimintasääntöjen mukaan tietysti.

Saamme:

Siinä kaikki.) Tässä nimittäjä osoittautui murtoluvuksi: q = 1/3.

Mutta sellainen "eteneminen" kuin sinä?

3, 3, 3, 3, 3, …

Ilmeisesti täällä q = 1 . Muodollisesti tämä on myös geometrinen progressio, vain kanssa samat jäsenet.) Mutta tällaiset edistysaskeleet eivät ole mielenkiintoisia opiskelun ja käytännön soveltamisen kannalta. Aivan kuten eteneminen kiinteillä nollia. Siksi emme ota niitä huomioon.

Kuten näet, etenemisen nimittäjä voi olla mikä tahansa - kokonaisluku, murtoluku, positiivinen, negatiivinen - mikä tahansa! Se ei voi olla vain nolla. Etkö arvannut miksi?

No, katsotaanpa tiettyä esimerkkiä, mitä tapahtuu, jos otamme sen nimittäjänä q nolla.) Olkaamme esimerkiksi b 1 = 2 , a q = 0 . Mikä sitten on toinen kausi?

Me uskomme:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Ja kolmas jäsen?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Geometristen progressioiden tyypit ja käyttäytyminen.

Kun kaikki oli enemmän tai vähemmän selvää: jos etenemisen ero d on positiivinen, eteneminen lisääntyy. Jos ero on negatiivinen, eteneminen vähenee. Vaihtoehtoja on vain kaksi. Kolmatta ei ole.)

Mutta geometrisen progression käyttäytymisellä kaikki on paljon mielenkiintoisempaa ja monipuolisempaa!)

Heti kun jäsenet käyttäytyvät täällä: he kasvavat ja laskevat, ja loputtomasti lähestyvät nollaa ja jopa vaihtavat merkkejä, ryntäen vuorotellen joko "plussaan" tai "miinukseen"! Ja kaikessa tässä monimuotoisuudessa täytyy pystyä ymmärtämään hyvin, kyllä ​​...

Ymmärrämmekö?) Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta.

Nimittäjä on positiivinen ( q >0)

Positiivisella nimittäjällä ensinnäkin geometrisen progression jäsenet voivat mennä sisään plus ääretön(eli kasvaa loputtomasti) ja voi mennä miinus ääretön(eli vähentää loputtomasti). Olemme jo tottuneet tällaiseen etenemiskäyttäytymiseen.

Esimerkiksi:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Täällä kaikki on yksinkertaista. Jokainen etenemisen jäsen on enemmän kuin edellinen. Ja jokainen jäsen saa kertolasku edellinen jäsen päällä positiivinen numero +2 (esim. q = 2 ). Tällaisen etenemisen käyttäytyminen on ilmeistä: kaikki etenemisen jäsenet kasvavat loputtomasti ja menevät avaruuteen. Plus ääretön...

Tässä nyt eteneminen:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Tässäkin saadaan jokainen etenemisen termi kertolasku edellinen jäsen päällä positiivinen numero +2. Mutta tällaisen etenemisen käyttäytyminen on jo suoraan päinvastainen: jokainen etenemisen jäsen saadaan vähemmän kuin edellinen, ja kaikki sen termit pienenevät loputtomasti miinus äärettömyyteen.

Ajatelkaamme nyt: mitä yhteistä näillä kahdella etenemisellä on? Aivan oikein, nimittäjä! Siellä sun täällä q = +2 . Positiivinen luku. Kakkonen. Ja täällä käyttäytymistä Nämä kaksi kehitystä ovat pohjimmiltaan erilaisia! Etkö arvannut miksi? Joo! Kyse on kaikesta ensimmäinen jäsen! Hän, kuten sanotaan, on se, joka tilaa musiikin.) Katso itse.

Ensimmäisessä tapauksessa etenemisen ensimmäinen termi positiivinen(+1) ja siten kaikki myöhemmät termit, jotka saadaan kertomalla positiivinen nimittäjä q = +2 , tulee myös positiivinen.

Mutta toisessa tapauksessa ensimmäinen termi negatiivinen(-yksi). Siksi kaikki seuraavat etenemisen jäsenet saadaan kertomalla positiivinen q = +2 , myös hankitaan negatiivinen."Miinus" ja "plus" antaa aina "miinus", kyllä.)

Kuten näette, toisin kuin aritmeettinen progressio, geometrinen progressio voi käyttäytyä täysin eri tavoin, ei vain riippuen nimittäjästäq, mutta myös riippuen ensimmäisestä jäsenestä lähtien, Joo.)

Muista: geometrisen progression käyttäytyminen määräytyy yksilöllisesti sen ensimmäisen jäsenen mukaan b 1 ja nimittäjäq .

Ja nyt aloitamme vähemmän tuttujen, mutta paljon mielenkiintoisempien tapausten analysoinnin!

Otetaan esimerkiksi seuraava järjestys:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Tämä sarja on myös geometrinen progressio! Jokainen tämän etenemisen jäsen saadaan myös kertolasku edellinen lukukausi, samalla numerolla. Vain numero on murtoluku: q = +1/2 . Tai +0,5 . Ja (tärkeä!) numero, pienempi:q = 1/2<1.

Mitä mielenkiintoista tässä geometrisessa etenemisessä on? Minne sen jäsenet ovat menossa? Katsotaanpa:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Mikä tässä on kiinnostavaa? Ensinnäkin progression jäsenten väheneminen on välittömästi silmiinpistävää: jokainen sen jäsen pienempi täsmälleen edellinen 2 kertaa. Tai geometrisen progression määritelmän mukaan jokainen termi lisää Edellinen 1/2 kertaa, koska etenemisen nimittäjä q = 1/2 . Ja kertomalla positiivisella luvulla, joka on pienempi kuin yksi, tulos yleensä pienenee, kyllä ​​...

Mitä lisää voidaan nähdä tämän kehityksen käyttäytymisessä? Häviävätkö sen jäsenet? rajoittamaton, menee miinus äärettömyyteen? Ei! Ne katoavat erityisellä tavalla. Aluksi ne vähenevät melko nopeasti ja sitten yhä hitaammin. Ja koko ajan pysyen positiivinen. Vaikka hyvin, hyvin pieni. Ja mihin he pyrkivät? Etkö arvannut? Joo! Niillä on tapana olla nolla!) Ja huomioi, etenemisemme jäsenet koskaan tavoita! Vain äärettömän lähellä häntä. Se on erittäin tärkeää.)

Samanlainen tilanne tulee olemaan seuraavassa etenemisessä:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Tässä b 1 = -1 , a q = 1/2 . Kaikki on ennallaan, vain nyt jäsenet lähestyvät nollaa toiselta puolelta, alhaalta. Pysyminen koko ajan negatiivinen.)

Sellainen geometrinen eteneminen, jonka jäsenet lähestyy nollaa loputtomiin.(ei väliä, positiivisella tai negatiivisella puolella), matematiikassa sillä on erityinen nimi - loputtomasti pienenevä geometrinen progressio. Tämä kehitys on niin mielenkiintoinen ja epätavallinen, että se tulee olemaankin erillinen oppitunti .)

Olemme siis harkinneet kaikkea mahdollista positiivinen nimittäjiä on sekä suuria että pienempiä. Emme pidä itse nimittäjänä edellä mainituista syistä (muistakaa esimerkki kolmoisjonon kanssa...)

Yhteenvetona:

positiivinenja enemmän kuin yksi (q>1), sitten etenemisen jäsenet:

a) kasvaa loputtomasti (josb 1 >0);

b) pienentää loputtomasti (josb 1 <0).

Jos geometrisen progression nimittäjä positiivinen ja vähemmän kuin yksi (0< q<1), то члены прогрессии:

a) äärettömän lähellä nollaa edellä(josb 1 >0);

b) äärettömän lähellä nollaa alhaalta(josb 1 <0).

Nyt on vielä pohdittava tapausta negatiivinen nimittäjä.

Nimittäjä on negatiivinen ( q <0)

Emme mene pitkälle esimerkkinä. Miksi itse asiassa takkuinen isoäiti ?!) Olkoon esimerkiksi etenemisen ensimmäinen jäsen b 1 = 1 , ja ota nimittäjä q = -2.

Saamme seuraavan sekvenssin:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Ja niin edelleen.) Jokainen etenemisen termi saadaan kertolasku edellinen jäsen päällä negatiivinen luku-2. Tässä tapauksessa kaikki jäsenet parittomissa paikoissa (ensimmäinen, kolmas, viides jne.) ovat positiivinen, ja parillisissa paikoissa (toinen, neljäs jne.) - negatiivinen. Kyltit ovat tiukasti limitettyinä. Plus-miinus-plus-miinus ... Tällaista geometrista etenemistä kutsutaan - kasvava merkki vuorotellen.

Minne sen jäsenet ovat menossa? Eikä missään.) Kyllä, absoluuttisena arvona (eli modulo) etenemisemme ehdot kasvavat loputtomasti (siis nimi "kasvava"). Mutta samaan aikaan jokainen etenemisen jäsen heittää sen vuorotellen lämpöön ja sitten kylmään. Joko plussa tai miinus. Meidän etenemisemme vaihtelee... Lisäksi vaihteluväli kasvaa nopeasti joka askeleella, kyllä.) Siksi etenemisen jäsenten pyrkimykset mennä jonnekin erityisesti tässä ei. Ei plus äärettömyyteen, miinus äärettömyyteen eikä nollaan - ei missään.

Tarkastellaan nyt jotain murto-osaa nollan ja miinus yhden välillä.

Antaa olla esimerkiksi b 1 = 1 , a q = -1/2.

Sitten saadaan edistyminen:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Ja taas meillä on vuorotellen merkkejä! Mutta toisin kuin edellisessä esimerkissä, tässä on jo selvä taipumus termien lähestyä nollaa.) Vain tällä kertaa termimme lähestyvät nollaa ei tiukasti ylhäältä tai alhaalta, vaan taas epäröi. Otetaan vuorotellen joko positiivisia tai negatiivisia arvoja. Mutta samalla he moduulit ovat tulossa yhä lähemmäksi vaalittua nollaa.)

Tätä geometrista etenemistä kutsutaan äärettömästi laskeva vuorotteleva merkki.

Miksi nämä kaksi esimerkkiä ovat kiinnostavia? Ja se, että molemmissa tapauksissa tapahtuu vuorottelevat hahmot! Tällainen siru on tyypillinen vain eteneville negatiivisella nimittäjällä, kyllä.) Siksi, jos jossain tehtävässä näet geometrisen progression vuorottelevilla jäsenillä, tiedät jo varmasti, että sen nimittäjä on 100 % negatiivinen etkä erehdy merkissä.)

Muuten, negatiivisen nimittäjän tapauksessa ensimmäisen termin merkki ei vaikuta itse etenemisen käyttäytymiseen ollenkaan. Olipa etenemisen ensimmäisen jäsenen merkki mikä tahansa, jäsenten vuorottelun merkki havaitaan joka tapauksessa. Koko kysymys on vain missä paikoissa(parillinen tai pariton) jäsenillä on tietyt merkit.

Muistaa:

Jos geometrisen progression nimittäjä negatiivinen , silloin etenemisen ehtojen merkit ovat aina vaihtoehtoinen.

Samalla jäsenet itse:

a) kasvaa loputtomastimodulo, josq<-1;

b) lähestyy nollaa äärettömästi, jos -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Siinä kaikki. Kaikki tyypilliset tapaukset analysoidaan.)

Kun jäsensin erilaisia ​​esimerkkejä geometrisista progressioista, käytin ajoittain sanoja: "tapua nollaan", "taipumus plus äärettömyyteen", taipumus miinus äärettömyyteen... Ei hätää.) Nämä puheen käännökset (ja erityiset esimerkit) ovat vain alustavaa tutustumista käyttäytymistä erilaisia ​​numerosarjoja. Esimerkki geometrisestä etenemisestä.

Miksi meidän edes tarvitsee tietää etenemiskäyttäytyminen? Mitä väliä sillä on minne hän menee? Nollaan, plus äärettömyyteen, miinus äärettömyyteen... Mitä me välitämme tästä?

Asia on siinä, että jo yliopistossa korkeamman matematiikan aikana tarvitset kykyä työskennellä erilaisten numeeristen sekvenssien kanssa (millä tahansa, ei vain progressioilla!) Ja kykyä kuvitella tarkalleen kuinka tämä tai tuo sekvenssi käyttäytyy - kasvaako se on rajatonta, laskeeko se, suuntautuuko se tiettyyn numeroon (eikä välttämättä nollaan) tai ei edes yleensä mihinkään... Tälle aiheelle on omistettu kokonainen osio matemaattinen analyysi - rajateoria. Hieman tarkemmin konsepti numerosarjan raja. Erittäin mielenkiintoinen aihe! On järkevää mennä yliopistoon ja selvittää se.)

Joitakin esimerkkejä tästä osiosta (sekvenssit, joilla on raja) ja erityisesti loputtomasti pienenevä geometrinen progressio alkaa oppia koulussa. Tottuu.)

Lisäksi kyky tutkia sekvenssien käyttäytymistä hyvin tulevaisuudessa vaikuttaa suuresti käsiin ja on erittäin hyödyllinen toimintotutkimus. Kaikkein monipuolisin. Mutta kyky työskennellä pätevästi funktioiden kanssa (laskea johdannaisia, tutkia niitä kokonaan, rakentaa niiden kaavioita) nostaa jo dramaattisesti matemaattista tasoasi! Epäillä? Ei tarvetta. Muista myös sanani.)

Katsotaanpa elämän geometrista etenemistä?

Ympärillämme olevassa elämässä kohtaamme eksponentiaalista etenemistä hyvin, hyvin usein. Tietämättään.)

Esimerkiksi erilaiset mikro-organismit, jotka ympäröivät meitä kaikkialla valtavia määriä ja joita emme edes näe ilman mikroskooppia, lisääntyvät tarkasti geometrisesti.

Oletetaan, että yksi bakteeri lisääntyy jakautumalla puoliksi ja antaa jälkeläisiä kahdessa bakteerissa. Jokainen niistä puolestaan ​​​​jautuu kertomalla myös puoliksi, jolloin saadaan yhteinen 4 bakteerin jälkeläinen. Seuraava sukupolvi antaa 8 bakteeria, sitten 16 bakteeria, 32, 64 ja niin edelleen. Jokaisella peräkkäisellä sukupolvella bakteerien määrä kaksinkertaistuu. Tyypillinen esimerkki geometrisesta etenemisestä.)

Myös jotkut hyönteiset - kirvat, kärpäset - lisääntyvät eksponentiaalisesti. Ja toisinaan kanejakin.)

Toinen esimerkki geometrisesta etenemisestä, joka on lähempänä jokapäiväistä elämää, on ns korkoa korolle. Tällainen mielenkiintoinen ilmiö löytyy usein pankkitalletuksista ja sitä kutsutaan korkojen pääomittaminen. Mikä se on?

Itse olet tietysti vielä nuori. Opiskelet koulussa, et hae pankkiin. Mutta vanhempasi ovat aikuisia ja itsenäisiä ihmisiä. He menevät töihin, ansaitsevat rahaa päivittäiseen leipäänsä ja laittavat osan rahoista pankkiin säästäen.)

Oletetaan, että isäsi haluaa säästää tietyn summan rahaa perhelomaa varten Turkissa ja laittaa pankkiin 50 000 ruplaa 10 % vuodessa kolmen vuoden ajaksi. vuotuisella korolla. Lisäksi talletuksella ei voi tehdä mitään koko tämän ajanjakson aikana. Et voi täydentää talletusta etkä nostaa rahaa tililtä. Mitä voittoa hän saa näiden kolmen vuoden aikana?

Ensinnäkin sinun on selvitettävä, mikä on 10 % vuodessa. Se tarkoittaa sitä Vuodessa Pankki lisää 10 % alkuperäiseen talletussummaan. Mistä? Tietenkin alkaen alkuperäinen talletussumma.

Laske tilin summa vuodessa. Jos alkuperäinen talletussumma oli 50 000 ruplaa (eli 100%), kuinka paljon korkoa tilille tulee vuodessa? Juuri niin, 110%! Alkaen 50 000 ruplaa.

Joten katsomme 110% 50 000 ruplasta:

50 000 1,1 \u003d 55 000 ruplaa.

Toivon, että ymmärrät, että 110 %:n löytäminen arvosta tarkoittaa tämän arvon kertomista luvulla 1,1? Jos et ymmärrä miksi näin on, muista viides ja kuudes luokka. Nimittäin - prosenttiosuuksien suhde murto-osien ja osien kanssa.)

Näin ollen ensimmäisen vuoden korotus on 5000 ruplaa.

Kuinka paljon rahaa tilillä on kahden vuoden kuluttua? 60 000 ruplaa? Valitettavasti (tai pikemminkin onneksi) se ei ole niin yksinkertaista. Koronpääoman koko temppu on se, että jokaisen uuden koronkertymän yhteydessä nämä samat korot otetaan jo huomioon uudesta määrästä! Häneltä, joka jo on tilillä Tällä hetkellä. Ja edelliseltä ajalta kertynyt korko lisätään alkuperäiseen talletuksen määrään ja siten he itse osallistuvat uuden koron laskemiseen! Eli niistä tulee täysi osa kokonaistiliä. tai yleistä iso alkukirjain. Siksi nimi - korkojen pääomittaminen.

Se on taloudessa. Ja matematiikassa tällaisia ​​prosentteja kutsutaan korkoa korolle. Tai prosenttia prosentista.) Heidän temppunsa on, että peräkkäisessä laskennassa prosenttiosuudet lasketaan joka kerta uudesta arvosta. Ei alkuperäisestä...

Siksi summan laskemiseksi läpi kaksi vuotta, meidän on laskettava 110 % tilillä olevasta summasta Vuodessa. Eli jo 55 000 ruplasta.

Pidämme 110% 55 000 ruplasta:

55 000 1,1 \u003d 60 500 ruplaa.

Tämä tarkoittaa, että prosentuaalinen korotus toisena vuonna on jo 5 500 ruplaa ja kahdelle vuodelle 10 500 ruplaa.

Nyt voit jo arvata, että kolmen vuoden kuluttua tilillä oleva summa on 110% 60 500 ruplasta. Se on taas 110% edellisestä (viime vuodesta) määriä.

Tässä harkitsemme:

60500 1,1 \u003d 66550 ruplaa.

Ja nyt rakennamme rahasummamme vuosien järjestyksessä:

50000;

55 000 = 50 000 1,1;

60 500 = 55 000 1,1 = (50 000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

Niin miten? Miksei geometrinen progressio? Ensimmäinen jäsen b 1 = 50000 , ja nimittäjä q = 1,1 . Jokainen termi on tiukasti 1,1 kertaa suurempi kuin edellinen. Kaikki on tiukasti määritelmän mukaista.)

Ja kuinka monta ylimääräistä prosenttibonusta isäsi "pudottaa", kun hänen 50 000 ruplaansa olivat pankkitilillä kolmen vuoden ajan?

Me uskomme:

66550 - 50000 = 16550 ruplaa

Se on tietysti huono. Mutta tämä on jos panoksen alkuperäinen määrä on pieni. Entä jos on enemmän? Sano, ei 50, vaan 200 tuhatta ruplaa? Sitten kolmen vuoden korotus on jo 66 200 ruplaa (jos lasket). Mikä on jo erittäin hyvä.) Entä jos panos on vielä suurempi? Sitä se on...

Johtopäätös: mitä suurempi alkupanos on, sitä kannattavammaksi korkopääomasta tulee. Tästä syystä pankit tarjoavat korkopääomitettuja talletuksia pitkiä aikoja. Sanotaan vaikka viisi vuotta.

Myös kaikenlaiset pahat taudit kuten influenssa, tuhkarokko ja vielä kauheammat sairaudet (sama SARS 2000-luvun alussa tai rutto keskiajalla) haluavat levitä eksponentiaalisesti. Tästä syystä epidemioiden laajuus, kyllä ​​...) Ja kaikki johtuu siitä, että geometrinen eteneminen koko positiivinen nimittäjä (q>1) - asia, joka kasvaa erittäin nopeasti! Muista bakteerien lisääntyminen: yhdestä bakteerista saadaan kaksi, kahdesta - neljästä, neljästä - kahdeksan ja niin edelleen ... Kaikkien infektioiden leviämisen kanssa kaikki on sama.)

Geometrisen etenemisen yksinkertaisimmat tehtävät.

Aloitetaan, kuten aina, yksinkertaisesta ongelmasta. Puhtaasti tarkoituksen ymmärtämiseksi.

1. Tiedetään, että geometrisen progression toinen termi on 6 ja nimittäjä -0,5. Etsi ensimmäinen, kolmas ja neljäs termi.

Joten meille on annettu loputon geometrinen progressio, hyvin tunnettu toinen jäsen tämä eteneminen:

b2 = 6

Lisäksi tiedämme myös etenemisen nimittäjä:

q = -0,5

Ja sinun täytyy löytää ensimmäinen, kolmas ja neljäs tämän kehityksen jäseniä.

Täällä näyttelemme. Kirjoitamme sarjan muistiin tehtävän tilanteen mukaan. Suoraan yleisesti ottaen, kun toinen jäsen on kuusi:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Aloitetaan nyt etsiminen. Aloitamme, kuten aina, yksinkertaisimmasta. Voit laskea esimerkiksi kolmannen termin b 3? Voi! Tiedämme jo (suoraan geometrisen progression mielessä), että kolmas termi (b 3) enemmän kuin sekunti (b 2 ) sisään "q" kerran!

Joten kirjoitamme:

b 3 =b 2 · q

Korvaamme kuusi tässä lausekkeessa sen sijaan b 2 ja sen sijaan -0,5 q ja ajattelemme. Ja miinusta ei tietenkään jätetä huomiotta ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Kuten tämä. Kolmas termi osoittautui negatiiviseksi. Ei ihme: nimittäjämme q- negatiivinen. Ja plus kerrottuna miinuksella, se on tietysti miinus.)

Tarkastelemme nyt etenemisen seuraavaa, neljättä termiä:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Neljäs lukukausi on taas plussalla. Viides termi on jälleen miinuksella, kuudes plussalla ja niin edelleen. Merkit - vaihtoehtoinen!

Joten kolmas ja neljäs jäsen löydettiin. Tuloksena on seuraava järjestys:

b1; 6; -3; 1,5; …

Nyt on jäljellä löytää ensimmäinen termi b 1 tunnetun toisen mukaan. Tätä varten astumme toiseen suuntaan, vasemmalle. Tämä tarkoittaa, että tässä tapauksessa meidän ei tarvitse kertoa etenemisen toista termiä nimittäjällä, vaan Jaa.

Jaamme ja saamme:

Siinä kaikki.) Vastaus ongelmaan on seuraava:

-12; 6; -3; 1,5; …

Kuten näet, ratkaisuperiaate on sama kuin kohdassa . Me tiedämme minkä tahansa jäsen ja nimittäjä geometrinen progressio - voimme löytää minkä tahansa muun termin. Mitä tahansa haluamme, löydämme sellaisen.) Ainoa ero on, että yhteenlasku / vähennys korvataan kerto- ja jakolaskulla.

Muista: jos tiedämme ainakin yhden geometrisen etenemisen jäsenen ja nimittäjän, voimme aina löytää minkä tahansa muun tämän etenemisen jäsenen.

Perinteen mukaan seuraava tehtävä on OGE:n todellisesta versiosta:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Niin miten? Tällä kertaa ei ole ensimmäistä termiä, ei nimittäjää q, annetaan vain numerosarja ... Jotain tuttua, eikö? Joo! Samanlainen ongelma on jo käsitelty aritmeettisessa progressiossa!

Täällä emme ole peloissamme. Aivan sama. Käännä pääsi ja muista geometrisen etenemisen alkeellinen merkitys. Katsomme huolellisesti sarjaamme ja selvitämme, mitkä kolmen pääosan (ensimmäinen jäsen, nimittäjä, jäsennumero) geometrisen etenemisen parametrit ovat piilossa siinä.

Jäsennumerot? Ei ole jäsennumeroita, kyllä... Mutta niitä on neljä peräkkäin numeroita. Mitä tämä sana tarkoittaa, en näe järkeä selittää tässä vaiheessa.) Onko niitä kaksi viereiset tunnetut numerot? On! Nämä ovat 6 ja 1.2. Joten voimme löytää etenemisen nimittäjä. Otetaan siis luku 1.2 ja jaetaan edelliseen numeroon. kuudelle.

Saamme:

Saamme:

x= 150 0,2 = 30

Vastaus: x = 30 .

Kuten näet, kaikki on melko yksinkertaista. Suurin vaikeus on vain laskelmissa. Se on erityisen vaikeaa negatiivisten ja murto-osien nimittäjien tapauksessa. Joten ne, joilla on ongelmia, toista aritmetiikka! Kuinka työskennellä murtolukujen kanssa, kuinka työskennellä negatiivisten lukujen kanssa ja niin edelleen... Muuten hidastut armottomasti täällä.

Muutetaan nyt hieman ongelmaa. Nyt siitä tulee mielenkiintoista! Poistetaan viimeinen numero 1.2 siitä. Ratkaistaan ​​tämä ongelma nyt:

3. Useita peräkkäisiä geometrisen progression termejä kirjoitetaan:

…; 150; X; 6; …

Etsi etenemisen termi, joka on merkitty kirjaimella x.

Kaikki on sama, vain kaksi naapuria kuuluisa meillä ei ole enää progression jäseniä. Tämä on suurin ongelma. Koska suuruus q kahden vierekkäisen termin kautta voimme jo helposti määrittää emme voi. Onko meillä mahdollisuus vastata haasteeseen? Varmasti!

kirjoitetaan tuntematon termi " x"Suoraan geometrisen progression mielessä! Yleisesti ottaen.

Kyllä kyllä! Suoraan tuntemattomalla nimittäjällä!

Toisaalta x:lle voimme kirjoittaa seuraavan suhteen:

x= 150q

Toisaalta meillä on täysi oikeus maalata sama X läpi Seuraava jäsen, kuuden kautta! Jaa kuusi nimittäjällä.

Kuten tämä:

x = 6/ q

Ilmeisesti nyt voimme rinnastaa nämä molemmat suhteet. Koska me ilmaisemme sama arvo (x), mutta kaksi eri tavoilla.

Saamme yhtälön:

Kerrotaan kaikki q, yksinkertaistamalla, vähentämällä, saamme yhtälön:

q 2 \u003d 1/25

Ratkaisemme ja saamme:

q = ±1/5 = ±0,2

Oho! Nimittäjä on kaksinkertainen! +0,2 ja -0,2. Ja kumpi valita? Umpikuja?

Rauhoittaa! Kyllä, ongelma todellakin on kaksi ratkaisua! Ei siinä mitään vikaa. Sitä tapahtuu.) Et ole yllättynyt, kun saat esimerkiksi kaksi juuria ratkaisemalla tavallisen? Täällä on sama tarina.)

varten q = +0,2 saamme:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

Ja varten q = -0,2 tahtoa:

X = 150 (-0,2) = -30

Saamme kaksinkertaisen vastauksen: x = 30; x = -30.

Mitä tämä mielenkiintoinen tosiasia tarkoittaa? Ja mitä on olemassa kaksi etenemistä, tyydyttää ongelman tilanteen!

Kuten nämä:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Molemmat ovat sopivia.) Mikä on mielestäsi vastausten jakautumisen syy? Juuri siksi, että kuuden jälkeen tulee tietty etenemisen jäsen (1,2). Ja kun tiedetään vain geometrisen progression edellinen (n-1) ja myöhempi (n+1) jäsen, emme voi enää yksiselitteisesti sanoa mitään niiden välissä olevasta n:nnestä jäsenestä. Vaihtoehtoja on kaksi - plus ja miinus.

Mutta sillä ei ole väliä. Yleensä geometrisen etenemisen tehtävissä on lisätietoa, joka antaa yksiselitteisen vastauksen. Sanotaanpa sanat: "merkkien vuorotteleva eteneminen" tai "edistyminen positiivisella nimittäjällä" ja niin edelleen... Juuri näiden sanojen pitäisi toimia vihjeenä, mikä plus- vai miinusmerkki tulisi valita lopullista vastausta tehtäessä. Jos tällaista tietoa ei ole, niin - kyllä, tehtävällä on kaksi ratkaisua.)

Ja nyt päätämme itse.

4. Selvitä, onko luku 20 geometrisen progression jäsen:

4 ; 6; 9; …

5. Vaihteleva geometrinen progressio annetaan:

…; 5; x ; 45; …

Etsi kirjaimen osoittama etenemisen termi x .

6. Etsi geometrisen progression neljäs positiivinen termi:

625; -250; 100; …

7. Geometrisen progression toinen termi on -360 ja sen viides termi on 23.04. Etsi tämän etenemisen ensimmäinen termi.

Vastaukset (sekaisin): -15; 900; Ei; 2.56.

Onnittelut, jos kaikki sujui!

Jotain ei sovi? Onko jossain kaksoisvastaus? Luemme toimeksiannon ehdot huolellisesti!

Eikö viimeinen palapeli toimi? Ei siinä mitään monimutkaista.) Työskentelemme suoraan geometrisen progression merkityksen mukaan. No, voit piirtää kuvan. Se auttaa.)

Kuten näet, kaikki on alkeellista. Jos eteneminen on lyhyt. Entä jos se on pitkä? Vai onko halutun jäsenen määrä kovin suuri? Haluaisin analogisesti aritmeettisen progression kanssa jollain tavalla saada kätevän kaavan, jonka avulla se on helppo löytää minkä tahansa minkä tahansa geometrisen progression jäsen hänen numeronsa mukaan. Kertomatta monta, monta kertaa q. Ja on olemassa sellainen kaava!) Yksityiskohdat - seuraavassa oppitunnissa.

Ajatellaanpa sarjaa.

7 28 112 448 1792...

On täysin selvää, että minkä tahansa sen elementin arvo on täsmälleen neljä kertaa suurempi kuin edellinen. Tämä sarja on siis jatkoa.

Geometrinen progressio on ääretön lukujono, jonka pääominaisuus on, että seuraava luku saadaan edellisestä kertomalla jollain tietyllä luvulla. Tämä ilmaistaan ​​seuraavalla kaavalla.

a z +1 =a z q, missä z on valitun elementin numero.

Vastaavasti z ∈ N.

Geometrisen progression opiskeluaika koulussa on luokka 9. Esimerkit auttavat sinua ymmärtämään käsitteen:

0.25 0.125 0.0625...

Tämän kaavan perusteella etenemisen nimittäjä löytyy seuraavasti:

q tai b z eivät voi olla nolla. Myöskään etenemisen jokaisen elementin ei tulisi olla nolla.

Näin ollen sarjan seuraavan luvun selvittämiseksi sinun on kerrottava viimeinen q:lla.

Määrittääksesi tämän etenemisen, sinun on määritettävä sen ensimmäinen elementti ja nimittäjä. Sen jälkeen on mahdollista löytää mikä tahansa myöhemmistä ehdoista ja niiden summa.

Lajikkeet

Riippuen q:stä ja a 1:stä, tämä eteneminen on jaettu useisiin tyyppeihin:

• Jos sekä a 1 että q ovat suurempia kuin yksi, niin tällainen sarja on geometrinen progressio, joka kasvaa jokaisella seuraavalla elementillä. Alla on esimerkki tällaisesta.

Esimerkki: a 1 =3, q=2 - molemmat parametrit ovat suurempia kuin yksi.

Sitten numeerinen sekvenssi voidaan kirjoittaa näin:

3 6 12 24 48 ...

• Jos |q| vähemmän kuin yksi, eli kertominen sillä vastaa jakoa, niin eteneminen samoilla ehdoilla on laskeva geometrinen progressio. Alla on esimerkki tällaisesta.

Esimerkki: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 on suurempi kuin yksi, q on pienempi.

Sitten numeerinen sekvenssi voidaan kirjoittaa seuraavasti:

6 2 2/3 ... - mikä tahansa elementti on 3 kertaa suurempi kuin sitä seuraava elementti.

• Merkkimuuttuja. Jos q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Esimerkki: a 1 = -3 , q = -2 - molemmat parametrit ovat pienempiä kuin nolla.

Sitten sarja voidaan kirjoittaa näin:

3, 6, -12, 24,...

Kaavat

Geometristen progressioiden kätevää käyttöä varten on olemassa monia kaavoja:

• Z:nnen jäsenen kaava. Voit laskea tietyn luvun alaisen elementin laskematta edellisiä lukuja.

Esimerkki:q = 3, a 1 = 4. Progression neljäs elementti on laskettava.

Päätös:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Niiden ensimmäisten alkioiden summa, joiden numero on z. Voit laskea sekvenssin kaikkien elementtien summana zmukaan lukien.

Koska (1-q) on nimittäjässä, sitten (1 - q)≠ 0, joten q ei ole yhtä suuri kuin 1.

Huomaa: jos q=1, niin eteneminen olisi sarja äärettömästi toistuvaa lukua.

Geometrisen progression summa, esimerkkejä:a 1 = 2, q= -2. Laske S 5 .

Päätös:S 5 = 22 - laskenta kaavalla.

• Määrä, jos |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Esimerkki:a 1 = 2 , q= 0,5. Etsi summa.

Päätös:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Jotkut ominaisuudet:

• tyypillinen ominaisuus. Jos seuraava ehto suoritettu mille tahansaz, niin annettu numerosarja on geometrinen progressio:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Lisäksi minkä tahansa geometrisen progression luvun neliö saadaan laskemalla yhteen minkä tahansa kahden muun luvun neliöt tietyssä sarjassa, jos ne ovat yhtä kaukana tästä elementistä.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , missäton näiden numeroiden välinen etäisyys.

• Elementiteroavat qkerran.
• Myös etenemisalkioiden logaritmit muodostavat etenemisen, mutta jo aritmeettisen, eli jokainen niistä on tietyn luvun verran suurempi kuin edellinen.

Esimerkkejä joistakin klassisista ongelmista

Ymmärtääksesi paremmin, mitä geometrinen progressio on, esimerkit, joissa on ratkaisu arvosanalle 9, voivat auttaa.

• Ehdot:a 1 = 3, a 3 = 48. Etsiq.

Ratkaisu: jokainen seuraava elementti on suurempi kuin edellinenq kerran.Jotkut elementit on ilmaistava muiden kautta nimittäjällä.

Siten,a 3 = q 2 · a 1

Vaihdossaq= 4

• Ehdot:a 2 = 6, a 3 = 12. Laske S 6 .

Päätös:Tätä varten riittää, kun etsit q, ensimmäinen alkio, ja korvaat sen kaavaan.

a 3 = q· a 2 , siis,q= 2

a 2 = q a 1,Siksi a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Etsi etenemisen neljäs elementti.

Ratkaisu: tätä varten riittää, että ilmaistaan ​​neljäs elementti ensimmäisen ja nimittäjän kautta.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Sovellusesimerkki:

• Pankin asiakas teki 10 000 ruplan talletuksen, jonka ehdoilla asiakas lisää joka vuosi siitä 6% pääomaan. Kuinka paljon rahaa tilillä on 4 vuoden kuluttua?

Ratkaisu: Alkuperäinen määrä on 10 tuhatta ruplaa. Joten vuosi sijoituksen jälkeen tilillä on 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Vastaavasti tilillä oleva summa toisen vuoden jälkeen ilmaistaan ​​seuraavasti:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

Eli joka vuosi määrä kasvaa 1,06-kertaiseksi. Tämä tarkoittaa, että tilin varojen määrän selvittämiseksi 4 vuoden kuluttua riittää, kun etsitään progression neljäs elementti, jonka antaa ensimmäinen elementti, joka on yhtä suuri kuin 10 tuhatta, ja nimittäjä, joka on yhtä suuri kuin 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Esimerkkejä tehtävistä summan laskemiseksi:

Useissa ongelmissa käytetään geometrista progressiota. Esimerkki summan löytämisestä voidaan antaa seuraavasti:

a 1 = 4, q= 2, laskeS5.

Ratkaisu: kaikki laskennassa tarvittavat tiedot ovat tiedossa, sinun tarvitsee vain korvata ne kaavassa.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Laske kuuden ensimmäisen alkion summa.

Päätös:

Geom. progressio, jokainen seuraava alkio on q kertaa suurempi kuin edellinen, eli summan laskemiseksi sinun on tiedettävä elementtia 1 ja nimittäjäq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samoin meidän on löydettäväa 1 , tietäena 2 jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrinen progressio on aritmetiikan ohella tärkeä lukusarja, jota opiskellaan koulun algebran kurssilla 9. luokalla. Tässä artikkelissa tarkastelemme geometrisen progression nimittäjää ja sitä, kuinka sen arvo vaikuttaa sen ominaisuuksiin.

Geometrisen progression määritelmä

Aluksi annamme tämän numerosarjan määritelmän. Geometrinen progressio on rationaalilukujen sarja, joka muodostetaan kertomalla sen ensimmäinen elementti peräkkäin vakioluvulla, jota kutsutaan nimittäjäksi.

Esimerkiksi sarjojen 3, 6, 12, 24, ... luvut ovat geometrista progressiota, koska jos kerromme 3:n (ensimmäinen alkio) kahdella, saamme 6. Jos kerromme 6:lla 2, saamme 12 ja niin edelleen.

Tarkasteltavana olevan sekvenssin jäseniä merkitään yleensä symbolilla ai, jossa i on sarjan alkion numeroa osoittava kokonaisluku.

Yllä oleva progression määritelmä voidaan kirjoittaa matematiikan kielellä seuraavasti: an = bn-1 * a1, missä b on nimittäjä. Tämä kaava on helppo tarkistaa: jos n = 1, niin b1-1 = 1, ja saamme a1 = a1. Jos n = 2, niin an = b * a1, ja taas päästään tarkasteltavan lukusarjan määritelmään. Samanlaista päättelyä voidaan jatkaa suurille n:n arvoille.

Geometrisen progression nimittäjä

Numero b määrittää täysin, mikä merkki koko numerosarjassa on. Nimittäjä b voi olla positiivinen, negatiivinen tai suurempi tai pienempi kuin yksi. Kaikki yllä olevat vaihtoehdot johtavat erilaisiin sarjoihin:

• b > 1. On olemassa kasvava sarja rationaalilukuja. Esimerkiksi 1, 2, 4, 8, ... Jos elementti a1 on negatiivinen, niin koko sarja kasvaa vain modulo, mutta pienenee ottaen huomioon lukujen etumerkki.
• b = 1. Usein tällaista tapausta ei kutsuta progressioksi, koska on olemassa tavallinen sarja identtisiä rationaalilukuja. Esimerkiksi -4, -4, -4.

Summan kaava

Ennen kuin ryhdytään tarkastelemaan erityisongelmia tarkasteltavana olevan etenemistyypin nimittäjällä, sen ensimmäisen n elementin summalle tulee antaa tärkeä kaava. Kaava on: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Voit saada tämän lausekkeen itse, jos otat huomioon etenemisen jäsenten rekursiivisen sarjan. Huomaa myös, että yllä olevassa kaavassa riittää, että tietää vain ensimmäinen alkio ja nimittäjä, jotta voidaan löytää mielivaltaisen määrän termejä.

Taatusti laskeva sarja

Yllä oli selitys mitä se on. Nyt, kun tiedämme Sn:n kaavan, sovelletaan sitä tähän numerosarjaan. Koska mikä tahansa luku, jonka moduuli ei ylitä 1, pyrkii nollaan suuriin potenssiin nostettaessa, eli b∞ => 0, jos -1

Koska erotus (1 - b) on aina positiivinen nimittäjän arvosta riippumatta, niin äärettömästi pienenevän geometrisen progression S∞ summan etumerkki määräytyy yksiselitteisesti sen ensimmäisen alkion a1 etumerkillä.

Nyt tarkastelemme useita ongelmia, joissa näytämme kuinka soveltaa hankittua tietoa tiettyihin lukuihin.

Tehtävä numero 1. Etenemisen tuntemattomien elementtien ja summan laskeminen

Jos geometrinen progressio on annettu, progression nimittäjä on 2 ja sen ensimmäinen alkio on 3. Mikä on sen 7. ja 10. termi ja mikä on sen seitsemän alkuelementin summa?

Ongelman ehto on melko yksinkertainen ja edellyttää yllä olevien kaavojen suoraa käyttöä. Joten laskettaessa elementtiä numerolla n käytämme lauseketta an = bn-1 * a1. 7. elementille saamme: a7 = b6 * a1, korvaamalla tunnetut tiedot, saadaan: a7 = 26 * 3 = 192. Teemme samoin 10. jäsenelle: a10 = 29 * 3 = 1536.

Käytämme hyvin tunnettua kaavaa summalle ja määritämme tämän arvon sarjan 7 ensimmäiselle elementille. Meillä on: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tehtävä numero 2. Etenemisen mielivaltaisten elementtien summan määrittäminen

Olkoon -2 eksponentiaalisen progression bn-1 * 4 nimittäjä, missä n on kokonaisluku. On tarpeen määrittää summa tämän sarjan 5. - 10. elementistä, mukaan lukien.

Esitettyä ongelmaa ei voida ratkaista suoraan tunnetuilla kaavoilla. Se voidaan ratkaista kahdella eri tavalla. Täydellisyyden vuoksi esittelemme molemmat.

Menetelmä 1. Sen idea on yksinkertainen: sinun on laskettava ensimmäisten termien kaksi vastaavaa summaa ja vähennettävä sitten toinen yhdestä. Laske pienempi summa: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nyt lasketaan iso summa: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Huomaa, että viimeisessä lausekkeessa summattiin vain 4 termiä, koska viides sisältyy jo summaan, joka on laskettava tehtävän tilanteen mukaan. Lopuksi otamme eron: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Menetelmä 2. Ennen lukujen korvaamista ja laskemista saadaan kaava kyseessä olevan sarjan termien m ja n väliselle summalle. Toimimme täsmälleen samalla tavalla kuin menetelmässä 1, vain työskentelemme ensin summan symbolisen esityksen kanssa. Meillä on: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Voit korvata tunnetut luvut tuloksena olevaan lausekkeeseen ja laskea lopputuloksen: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tehtävä numero 3. Mikä on nimittäjä?

Olkoon a1 = 2, etsi geometrisen progression nimittäjä, jos sen ääretön summa on 3 ja tiedetään, että tämä on pienenevä lukusarja.

Ongelman tilanteen mukaan ei ole vaikea arvata, millä kaavalla se tulisi ratkaista. Tietysti loputtomasti pienenevän etenemisen summana. Meillä on: S∞ = a1 / (1 - b). Mistä ilmaistaan ​​nimittäjä: b = 1 - a1 / S∞. On vielä korvattava tunnetut arvot ja hankittava tarvittava luku: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 tai -0,333 (3). Voimme tarkistaa tämän tuloksen kvalitatiivisesti, jos muistamme, että tämän tyyppiselle sekvenssille moduuli b ei saa ylittää arvoa 1. Kuten näette, |-1 / 3|

Tehtävä numero 4. Numerosarjan palauttaminen

Olkoon lukusarjan 2 alkiota, esim. 5. on 30 ja 10. on 60. Näistä tiedoista on palautettava koko sarja tietäen, että se täyttää geometrisen progression ominaisuudet.

Ongelman ratkaisemiseksi sinun on ensin kirjoitettava vastaava lauseke jokaiselle tunnetulle jäsenelle. Meillä on: a5 = b4 * a1 ja a10 = b9 * a1. Nyt jaamme toisen lausekkeen ensimmäisellä, saamme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Tästä määritetään nimittäjä ottamalla viidennen asteen juure tehtävän ehdosta tunnettujen jäsenten suhteesta, b = 1,148698. Korvaamme tuloksena olevan luvun johonkin tunnetun elementin lausekkeesta, saamme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Siten olemme löytäneet, mikä on progression bn nimittäjä ja geometrinen progressio bn-1 * 17.2304966 = an, missä b = 1.148698.

Missä geometrisia progressioita käytetään?

Jos tätä numeerista sarjaa ei sovellettaisi käytännössä, sen tutkiminen pelkistyisi puhtaasti teoreettiseksi mielenkiinnon kohteeksi. Mutta sellainen sovellus on olemassa.

Alla on lueteltu kolme kuuluisinta esimerkkiä:

• Zenonin paradoksi, jossa ketterä Akhilleus ei saa kiinni hidasta kilpikonnaa, ratkaistaan ​​käyttämällä käsitettä loputtomasti pienenevä numerosarja.
• Jos vehnänjyviä asetetaan shakkilaudan jokaiseen soluun siten, että 1 jyvä sijoitetaan 1. soluun, 2 - 2., 3 - 3. ja niin edelleen, tarvitaan 18446744073709551615 jyviä kaikkien solujen täyttämiseen. hallitus!
• Pelissä "Tower of Hanoi" levyjen järjestämiseksi tangosta toiseen on suoritettava 2n - 1 toimintoa, eli niiden lukumäärä kasvaa eksponentiaalisesti käytettyjen levyjen lukumäärästä n.

Tarkastellaan nyt kysymystä äärettömän geometrisen progression summauksesta. Kutsutaan tietyn äärettömän progression osasummaa sen ensimmäisten termien summaksi. Merkitse osasumma symbolilla

Jokaiselle äärettömälle edistymiselle

sen osasummista voidaan muodostaa (myös ääretön) jono

Olkoon sekvenssillä, jolla on rajoittamaton lisäys, raja

Tässä tapauksessa lukua S, eli etenemisen osasummien rajaa, kutsutaan äärettömän etenemisen summaksi. Osoitamme, että äärettömällä pienenevällä geometrisella progressiolla on aina summa, ja johdetaan tälle summalle kaava (voimme myös osoittaa, että äärettömälle progressiolle ei ole summaa, ei ole olemassa).

Kirjoitamme osasumman lausekkeen progression jäsenten summaksi kaavan (91.1) mukaisesti ja tarkastelemme osasumman rajaa kohdassa

Kohdan 89 lauseesta tiedetään, että alenevalla progressiolla ; siksi erorajalausetta soveltamalla löydämme

(sääntöä käytetään myös tässä: vakiotekijä otetaan pois rajan merkistä). Olemassaolo todistetaan ja samalla saadaan kaava äärettömästi pienenevän geometrisen progression summalle:

Tasa-arvo (92.1) voidaan kirjoittaa myös muodossa

Tässä saattaa tuntua paradoksaalliselta, että hyvin määritelty äärellinen arvo annetaan äärettömän termijoukon summalle.

Tämän tilanteen selittämiseksi voidaan antaa selkeä kuva. Tarkastellaan neliötä, jonka sivu on yhtä suuri (kuva 72). Jaamme tämän neliön vaakasuoralla viivalla kahteen yhtä suureen osaan ja levitämme yläosan alempaan niin, että muodostuu suorakulmio, jossa on sivut 2 ja . Sen jälkeen jaamme jälleen tämän suorakulmion oikean puolen vaakaviivalla ja kiinnitämme yläosan alempaan (kuten kuvassa 72). Jatkamme tätä prosessia, muutamme jatkuvasti alkuperäistä neliötä, jonka pinta-ala on 1, samankokoisiksi hahmoiksi (joka on portaikko, jossa on ohennetut portaat).

Tämän prosessin äärettömän jatkuessa neliön koko pinta-ala hajoaa äärettömään määrään termejä - suorakulmioiden pinta-alat, joiden kanta on 1 ja korkeus. Suorakulmioiden pinta-alat muodostavat vain äärettömän pienenevän etenemisen, sen summa

eli odotetusti on yhtä suuri kuin neliön pinta-ala.

Esimerkki. Etsi seuraavien äärettömän etenemisen summat:

Ratkaisu, a) Huomaa, että tämä eteneminen Siten kaavan (92.2) avulla löydämme

b) Tässä se tarkoittaa, että samalla kaavalla (92.2) meillä on

c) Havaitsemme, että tämä eteneminen Näin ollen tällä progressiolla ei ole summaa.

Luvussa 5 on esitetty äärettömästi pienenevän etenemisen termien summan kaavan soveltaminen jaksollisen desimaaliluvun muuntamiseen tavalliseksi murtoluvuksi.

Harjoitukset

1. Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa on 3/5 ja sen neljän ensimmäisen termin summa on 13/27. Etsi etenemisen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

2. Etsi neljä numeroa, jotka muodostavat vuorottelevan geometrisen progression, jossa toinen termi on 35:llä pienempi kuin ensimmäinen ja kolmas on 560:lla suurempi kuin neljäs.

3. Näytä mitä jos -sarja

muodostaa äärettömästi pienenevän geometrisen progression, sitten sekvenssin

mille tahansa muodolle äärettömästi pienenevä geometrinen progressio. Päteekö tämä väite

Johda kaava geometrisen progression termien tulolle.