Kuinka ratkaista lausekkeet negatiivisilla eksponenteilla. Tutkinto - ominaisuudet, säännöt, toiminnot ja kaavat

Negatiiviseen potenssiin nostaminen on yksi matematiikan peruselementeistä, jota usein kohdataan algebrallisten ongelmien ratkaisemisessa. Alla on yksityiskohtainen ohje.

Kuinka nostaa negatiivinen voima - teoria

Kun otamme luvun tavalliseen potenssiin, kerromme sen arvon useita kertoja. Esimerkiksi 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Negatiivinen murtoluku on päinvastoin. Kaavan mukainen yleinen muoto on seuraava: a -n = 1/a n . Siten, jos haluat nostaa luvun negatiiviseen potenssiin, sinun on jaettava yksi annetulla luvulla, mutta jo positiiviseen potenssiin.

Kuinka nostaa negatiiviseen potenssiin - esimerkkejä tavallisista numeroista

Yllä oleva sääntö mielessä, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Vastaus: 4-2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Vastaus on -4 -2 = 1/16.

Mutta miksi vastaus ensimmäisessä ja toisessa esimerkissä on sama? Tosiasia on, että kun negatiivinen luku nostetaan parilliseen potenssiin (2, 4, 6 jne.), merkistä tulee positiivinen. Jos aste olisi parillinen, miinus säilyy:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kuinka nostaa negatiiviseen potenssiin - numerot 0 - 1

Muista, että kun luku välillä 0 ja 1 nostetaan positiiviseksi potenssiksi, arvo pienenee tehon kasvaessa. Joten esimerkiksi 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Esimerkki 3: Laske 0,5 -2
Ratkaisu: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Vastaus: 0,5 -2 = 4

Jäsentäminen (toimintojen järjestys):

• Muunna desimaaliluku 0,5 murtoluvuksi 1/2. Se on helpompaa.
  Nosta 1/2 negatiiviseen potenssiin. 1/(2) -2 . Jaa 1 luvulla 1/(2) 2, saa 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Esimerkki 4: Laske 0,5 -3
Ratkaisu: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Esimerkki 5: Laske -0,5 -3
Ratkaisu: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Vastaus: -0,5 -3 = -8

Neljännen ja viidennen esimerkin perusteella teemme useita johtopäätöksiä:

• Positiiviselle luvulle alueella 0-1 (esimerkki 4), korotettuna negatiiviseen potenssiin, parillinen tai pariton aste ei ole tärkeä, lausekkeen arvo on positiivinen. Tässä tapauksessa mitä suurempi aste, sitä suurempi arvo.
• Negatiivinen luku välillä 0 ja 1 (esimerkki 5), korotettu negatiiviseen potenssiin, parillinen tai pariton aste ei ole tärkeä, lausekkeen arvo on negatiivinen. Tässä tapauksessa mitä korkeampi aste, sitä pienempi arvo.

Kuinka nostaa negatiiviseen potenssiin - potenssi murtolukuna

Tämän tyyppiset lausekkeet ovat muodossa: a -m/n, jossa a on tavallinen luku, m on asteen osoittaja, n on asteen nimittäjä.

Harkitse esimerkkiä:
Laske: 8 -1/3

Ratkaisu (toimien järjestys):

• Muista sääntö luvun nostamisesta negatiiviseen potenssiin. Saamme: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Huomaa, että nimittäjä on 8 murto-osaan. Yleinen murto-osuuden laskentatapa on seuraava: a m/n = n √8 m .
• Siten 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Saamme kahdeksan kuutiojuuren, joka on 2. Tämän perusteella 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Vastaus: 8 -1/3 = 2

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Tutkinto negatiivisella indikaattorilla. Määritelmä ja esimerkkejä ongelmanratkaisusta"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 8
Käsikirja oppikirjaan Muravina G.K. Käsikirja oppikirjaan Alimova Sh.A.

Asteen määrittäminen negatiivisella eksponentilla

Tiedämme hyvin, että mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi. $a^0=1$, $a≠0$.
Herää kysymys, mitä tapahtuu, jos nostat luvun negatiiviseen potenssiin? Mikä esimerkiksi olisi luku $2^(-2)$?
Ensimmäiset tämän kysymyksen esittäneet matemaatikot päättivät, että pyörää ei kannata keksiä uudelleen, ja oli hyvä, että kaikki asteiden ominaisuudet säilyvät samoina. Eli kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, eksponentit laskevat yhteen.
Tarkastellaan tätä tapausta: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Saimme, että tällaisten lukujen tulon pitäisi antaa yhtenäisyys. Tuloksen yksikkö saadaan kertomalla käänteisluvut, eli $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Tällainen päättely johti seuraavaan määritelmään.
Määritelmä. Jos $n$ on luonnollinen luku ja $а≠0$, niin seuraava yhtälö pätee: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Tärkeä usein käytetty identiteetti: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Erityisesti $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Ratkaisuesimerkkejä

Päätös.
Tarkastellaan jokaista termiä erikseen.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Suorita vielä yhteen- ja vähennysoperaatiot: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Vastaus: $6\frac(1)(4)$.

Esimerkki 2
Ilmaise annettu luku alkuluvun $\frac(1)(729)$ potenssina.

Päätös.
Ilmeisesti $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Mutta 729 ei ole 9:ään päättyvä alkuluku. Voimme olettaa, että tämä luku on kolmen potenssi. Jaetaan 729 peräkkäin kolmella.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Kuusi operaatiota on suoritettu, mikä tarkoittaa: $729=3^6$.
Tehtäväämme varten:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Vastaus: $3^(-6)$.

Esimerkki 3. Ilmaise lauseke potenssina: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Päätös. Ensimmäinen operaatio tehdään aina hakasulkujen sisällä, sitten kertolasku $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Vastaus: $a$.

Esimerkki 4. Todista henkilöllisyys:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Päätös.
Harkitse vasemmalla puolella jokaista suluissa olevaa tekijää erikseen.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Siirrytään murto-osaan, jolla jaamme.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Tehdään jako.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Saimme oikean henkilöllisyyden, joka oli todistettava.

Oppitunnin lopussa kirjoitamme jälleen asteittaisten toimien säännöt, tässä eksponentti on kokonaisluku.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitset? Miksi sinun täytyy käyttää aikaa niiden tutkimiseen?

Lue tämä artikkeli, jos haluat oppia kaiken tutkinnoista, niiden tarkoituksesta ja tietojesi käyttämisestä jokapäiväisessä elämässä.

Ja tietysti tutkintojen tunteminen vie sinut lähemmäksi onnistuneesti OGE- tai Unified State -tutkintoa ja pääsyä unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos näet kaavojen sijaan hölynpölyä, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL+F5 (Windows) tai Cmd+R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on sama matemaattinen operaatio kuin yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmiskielellä käyttäen hyvin yksinkertaisia ​​esimerkkejä. Kiinnittää huomiota. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama esimerkki colan kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla: . Matemaatikot ovat ovelia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain kuvioita ja sitten keksivät tavan "laskea" ne nopeammin. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä kolapulloja, ja he keksivät tekniikan nimeltä kertolasku. Samaa mieltä, sitä pidetään helpommin ja nopeampana kuin.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, kovemmin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Ja mitä muita hankalia laskentatemppuja laiskot matemaatikot keksivät? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Jos sinun on kerrottava luku itsellään viisi kertaa, matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen potenssiin. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kahdesta viiteen potenssi on. Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat mielessään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Tätä varten tarvitset vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, se tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista tutkintoa kutsutaan neliö- numerot ja kolmas kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Kuvittele neliönmuotoinen allas, jonka mitat ovat metrejä metreinä. Allas on takapihallasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... allas ilman pohjaa! Altaan pohja on tarpeen peittää laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan pinta-ala.

Voit yksinkertaisesti laskea sormea ​​työntämällä, että altaan pohja koostuu kuutioista metri metriltä. Jos laattasi ovat metri metriltä, ​​tarvitset kappaleita. Se on helppoa... Mutta missä näit sellaisen laatan? Laatta on mieluummin cm cm. Ja sitten sinua piinaa "sormella laskeminen". Sitten sinun on kerrottava. Joten altaan pohjan yhdelle puolelle sovitamme laatat (palat) ja toiselle myös laatat. Kerrottuna, saat laatat ().

Huomasitko, että kerroimme saman luvun itsellään määrittääksemme altaan pohjan alueen? Mitä se tarkoittaa? Koska sama luku kerrotaan, voimme käyttää eksponentiotekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi lukua, sinun täytyy silti kertoa ne tai nostaa ne potenssiin. Mutta jos niitä on paljon, niin potenssiin nostaminen on paljon helpompaa ja myös laskuvirheitä tulee vähemmän. Kokeen kannalta tämä on erittäin tärkeää).
Joten, kolmekymmentä toiseen asteeseen on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen luvun toinen potenssi voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA jonkin luvun toinen potenssi. Neliö on kuva luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Tässä on sinulle tehtävä, laske kuinka monta ruutua on shakkilaudalla käyttämällä numeroruutua ... Toisella puolella soluja ja myös toisella. Niiden lukumäärän laskemiseksi sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jossa on sivu, voit laittaa kahdeksan. Hanki soluja. () Siis?

Esimerkki tosielämästä #3

Nyt kuutio tai luvun kolmas potenssi. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava tilavuus. (Muuten tilavuudet ja nesteet mitataan kuutiometreissä. Odottamatonta, eikö?) Piirrä allas: metrin kokoinen ja metrin syvä pohja ja yritä laskea kuinka monta metri kerrallaan kuutiota altaaseen tulee.

Osoita vain sormella ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä… kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme… Kuinka paljon siitä tuli? Etkö eksynyt? Onko vaikeaa laskea sormella? Jotta! Otetaan esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikot ovat, jos he tekevät sen liian helpoksi. Supistettiin kaikki yhteen toimintoon. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Ja mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten sen, minkä kerran laskit sormella, he tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin:

Jää vain muistaa astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, saadaksesi sinut vihdoin vakuuttuneeksi siitä, että tutkinnot ovat loaferien ja ovelien ihmisten keksimiä elämänongelmiensa ratkaisemiseksi, eikä ongelmien luomiseksi sinulle, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Esimerkki tosielämästä #4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset toisen miljoonan jokaista miljoonaa kohden. Toisin sanoen jokainen miljoonasta jokaisen vuoden alussa tuplaantuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuosien kuluttua? Jos nyt istut ja "lasket sormella", olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - mitä tapahtui, kahdella lisää, kolmantena vuonna ... Stop! Huomasit, että luku kerrotaan itsellään kerran. Joten kahdesta viiteen potenssiin on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja se, joka laskee nopeammin, saa nämä miljoonat... Kannattaako muistaa lukujen asteet, mitä mieltä olet?

Esimerkki tosielämästä #5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi lisää jokaista miljoonaa kohden. Se on hieno eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuodessa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kerrotaan itsestään kertaa. Neljäs teho on siis miljoona. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kolmesta neljänteen potenssi on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla luvun arvoon, teet elämästäsi paljon helpompaa. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei menisi sekaisin

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on luvun tehon "huipussa". Ei tieteellinen, mutta selkeä ja helppo muistaa...

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on kuva varmuuden vuoksi.

No, yleisesti ottaen, yleistääksesi ja muistaaksemme paremmin ... Tutkinto, jonka kanta on "" ja indikaattori "", luetaan "asteena" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

Luultavasti jo arvasit: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä, joita käytetään laskettaessa kohteita listattaessa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme kohteita, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano "kolmasosa" tai "nolla piste viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä nämä luvut mielestäsi ovat?

Numerot, kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuja. Yleisesti ottaen kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisten lukujen vastakohtaiset luvut (eli miinusmerkillä otettuja) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - silloin kun ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset ("miinus") luvut tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti osoittamaan velkoja: jos sinulla on puhelimesi saldo ruplissa, tämä tarkoittaa, että olet velkaa operaattorille ruplaa.

Kaikki murtoluvut ovat rationaalilukuja. Miten ne syntyivät, luuletko? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi-isämme huomasivat, että heillä ei ollut tarpeeksi luonnollisia lukuja mittaamaan pituutta, painoa, pinta-alaa jne. Ja he keksivät rationaalisia lukuja… Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna ääretön desimaaliluku. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
2. Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsellään:
3. Luvun kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkinnon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan mikä on ja ?

A-priory:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme tekijöitä tekijöihin, ja tulos on tekijöitä.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun aste, jossa on eksponentti, eli: , joka oli todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Päätös:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Päätös: On tärkeää huomata se säännössämme välttämättä täytyy olla sama syy!
Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

vain voimatuotteille!

Älä missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

2. eli -luvun potenssi

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta se ei todellakaan ole totta.

Negatiivinen tutkinto

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero. Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia.

Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? MUTTA? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme, niin se käy.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoituksista

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus! Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne vaihdettaisiin, sääntöä voitaisiin soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

koko nimeämme luonnolliset luvut, niiden vastakohdat (eli otettuna merkillä "") ja luvun.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysymme itseltämme: miksi näin on?

Harkitse pohjan tehoa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun ja saimme saman kuin se oli -. Millä luvulla pitää kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen on oltava yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot nollan itsellään, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa luvun nollaasteeseen, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä on totuus tästä? Matemaatikko päätti olla puuttumatta asiaan ja kieltäytyi nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sen nollatehoon.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi kokonaisluvut sisältävät negatiivisia lukuja. Ymmärtääksemme, mikä negatiivinen aste on, tehdään samoin kuin viime kerralla: kerrotaan jokin normaaliluku samalla negatiivisessa asteessa:

Täältä on jo helppo ilmaista haluttu:

Laajennamme nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku negatiiviselle potenssille on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille. Mutta samaan aikaan kanta ei voi olla tyhjä:(koska sitä ei voi jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Lauseketta ei ole määritetty tapaukselle. Jos sitten.

II. Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi: .

III. Luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiiviseen potenssiin, on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille: .

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Tiedän, tiedän, luvut ovat pelottavia, mutta tentissä pitää olla valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisu, jos et pystynyt ratkaisemaan sitä, niin opit käsittelemään niitä helposti kokeessa!

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" lukujen valikoiman laajentamista.

Harkitse nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat lisäksi kokonaislukuja.

Ymmärtääkseen mikä on "murto-aste" Tarkastellaanpa murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muista nyt sääntö "asteesta asteeseen":

Mikä luku täytyy nostaa potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri.

Toisin sanoen th asteen juuri on eksponentioinnin käänteisoperaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tätä erikoistapausta voidaan jatkaa: .

Lisää nyt osoittaja: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännöllä:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida erottaa juuria.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​​​lukuja ei voida nostaa murto-osaan, jolla on parillinen nimittäjä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Luku voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtoina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, ja nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta heti kun kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, saamme jälleen ongelmia: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen kantaeksponentti murto-osalla.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Potenssit, joissa on rationaalinen eksponentti, ovat erittäin hyödyllisiä juurilla olevien lausekkeiden muuntamiseen, esimerkiksi:

5 esimerkkiä harjoituksista

Analyysi 5 esimerkistä koulutusta varten

No, nyt - vaikein. Nyt analysoimme aste irrationaalisella eksponentilla.

Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteilla, lukuun ottamatta

Itse asiassa irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja;

...nolla teho- tämä on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse numero ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "valmistelu numero”, nimittäin numero;

...negatiivinen kokonaisluku eksponentti- On kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

MINNE OLEMME VARMUKSIA, ETTÄ MENET! (jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavallisesta säännöstä tutkinnon nostamiseksi asteeksi:

Katso nyt tulos. Muistuttaako hän sinua jostain? Muistamme kaavan neliöiden eron lyhentämiseksi:

Tässä tapauksessa,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Tuomme eksponenttimurtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Ei mitään erikoista, käytämme tavanomaisia ​​asteiden ominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määritelmä

Aste on muodon ilmaisu: , jossa:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n = 1, 2, 3,...)

Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin n tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:

Potentti kokonaislukueksponentilla (0, ±1, ±2,...)

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku määrä:

erektio nollatehoon:

Lauseke on epämääräinen, koska toisaalta missä tahansa asteessa on tämä, ja toisaalta mikä tahansa luku :nteen asteeseen asti on tämä.

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku määrä:

(koska sitä ei voi jakaa).

Vielä kerran nollasta: lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Tutkinnon ominaisuudet

Ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yritetään ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistakaamme ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

A-priory:

Joten tämän lausekkeen oikealla puolella saadaan seuraava tuote:

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Päätös : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Päätös : On tärkeää huomata, että säännössämme välttämättä pitää olla samat perusteet. Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

Toinen tärkeä huomautus: tämä sääntö - vain voimatuotteille!

Minun ei missään tapauksessa pidä kirjoittaa niin.

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Järjestetään se uudelleen näin:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun -:s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaan:!

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta se ei todellakaan ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mitä pitäisi olla indikaattori tutkinnon. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero .

Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia. Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? MUTTA? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme (:lla), saamme -.

Ja niin edelleen loputtomiin: jokaisen seuraavan kertolaskun yhteydessä merkki muuttuu. Voit muotoilla nämä yksinkertaiset säännöt:

1. jopa tutkinto, - numero positiivinen.
2. Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
3. Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
4. Nolla mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

onnistuitko? Tässä vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Tässä sinun on selvitettävä, kumpi on vähemmän: vai? Jos muistat sen, se tulee selväksi, mikä tarkoittaa, että kanta on pienempi kuin nolla. Eli sovelletaan sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme muistiin asteiden määritelmät ja jaamme ne toisiinsa, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin analysoimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

Ratkaisut :

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus!

Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne käännetään, voitaisiin soveltaa sääntöä 3. Mutta miten tämä tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Jos kerrot sen, mikään ei muutu, eikö niin? Mutta nyt se näyttää tältä:

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä. Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan! Sitä ei voi korvata muuttamalla vain yhtä meille sopimatonta miinusta!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Eli nyt viimeinen sääntö:

Kuinka aiomme todistaa sen? Tietysti, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

No, nyt avataan sulut. Kuinka monta kirjainta tulee olemaan? kertaa kertoimilla - miltä se näyttää? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: yhteensä oli kertoimia. Eli se on määritelmän mukaan luvun potenssi, jossa on eksponentti:

Esimerkki:

Aste irrationaalisella eksponentilla

Keskitason tutkintotietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella indikaattorilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella, poikkeuksella - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli , irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja; nollaasteen luku on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse luku ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "numeron valmistelu", nimittäin numero; aste, jolla on kokonaisluku negatiivinen indikaattori - on ikään kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

On äärimmäisen vaikeaa kuvitella astetta irrationaalisen eksponentin kanssa (kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista avaruutta). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen objekti, jonka matemaatikot ovat luoneet laajentaakseen asteen käsitteen koko lukuavaruuteen.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, jos näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme parhaamme päästä eroon siitä! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Vastaukset:

1. Muista neliöiden kaava. Vastaus:.
2. Tuomme murtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi: .
3. Ei mitään erikoista, käytämme asteiden tavanomaisia ​​ominaisuuksia:

OSION YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Tutkinto kutsutaan lausekkeeksi muodossa: , jossa:

Aste kokonaislukueksponentilla

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

astetta, jonka indikaattori on negatiivinen ja murtoluku.

Aste irrationaalisella eksponentilla

eksponentti, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Tutkinnon ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

• Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa tutkinto, - numero positiivinen.
• Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
• Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa teho.
• Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri.

NYT SINULLA ON SANA...

Mitä pidät artikkelista? Kerro minulle alla olevissa kommenteissa, piditkö siitä vai et.

Kerro meille kokemuksistasi tehoominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!

Tämän materiaalin puitteissa analysoimme, mikä on luvun potenssi. Perusmääritelmien lisäksi muotoillaan mitkä ovat luonnollisen, kokonaisluvun, rationaalisen ja irrationaalisen eksponentin asteet. Kuten aina, kaikki käsitteet havainnollistetaan esimerkein tehtävästä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ensin muotoillaan tutkinnon perusmääritelmä luonnollisella eksponentilla. Tätä varten meidän on muistettava kertolaskujen perussäännöt. Selvitetään etukäteen, että otamme toistaiseksi reaaliluvun perustana (merkitkäämme sitä kirjaimella a) ja indikaattorina - luonnollista lukua (merkitty kirjaimella n).

Määritelmä 1

A:n potenssi luonnollisella eksponentilla n on n:nnen tekijöiden, joista jokainen on yhtä suuri kuin luku a, tulo. Tutkinto on kirjoitettu näin: a n, ja kaavan muodossa sen koostumus voidaan esittää seuraavasti:

Jos eksponentti on esimerkiksi 1 ja kanta on a, a:n ensimmäinen potenssi kirjoitetaan muodossa a 1. Koska a on tekijän arvo ja 1 on tekijöiden lukumäärä, voimme päätellä, että a 1 = a.

Yleisesti voidaan sanoa, että tutkinto on kätevä tapa kirjoittaa suuri määrä yhtäläisiä tekijöitä. Joten, muistiinpano lomakkeesta 8 8 8 8 voidaan vähentää 8 4 . Samalla tavalla tuote auttaa meitä välttämään useiden termien kirjoittamista (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; olemme jo analysoineet tätä luonnollisten lukujen kertomiselle omistetussa artikkelissa.

Kuinka lukea tutkintotodistus oikein? Yleisesti hyväksytty vaihtoehto on "a n:n potenssiin". Tai voit sanoa "a:n n:s potenssi" tai "n:s potenssi". Jos esimerkiksi esimerkissä on merkintä 8 12 , voimme lukea "8 12. potenssiin", "8 12:n potenssiin" tai "8:n 12. potenssiin".

Numeron toisella ja kolmannella asteikolla on omat vakiintuneet nimensä: neliö ja kuutio. Jos näemme esimerkiksi luvun 7 toisen potenssin (7 2), voimme sanoa "7 neliö" tai "luvun 7 neliö". Samoin kolmas tutkinto luetaan näin: 5 3 on "luvun 5 kuutio" tai "5 kuutio". On kuitenkin mahdollista käyttää myös vakiosanamuotoa "toisessa / kolmannessa asteessa", tämä ei ole virhe.

Esimerkki 1

Katsotaanpa esimerkkiä tutkinnosta, jossa on luonnollinen indikaattori: for 5 7 viisi on perusta ja seitsemän indikaattori.

Kantaluvun ei tarvitse olla kokonaisluku: asteelle (4 , 32) 9 kanta on murto-osa 4, 32 ja eksponentti on yhdeksän. Kiinnitä huomiota suluihin: tällainen merkintä tehdään kaikille asteille, joiden kanta poikkeaa luonnollisista luvuista.

Esimerkiksi: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Mihin kiinnikkeet ovat? Ne auttavat välttämään virheitä laskelmissa. Oletetaan, että meillä on kaksi merkintää: (− 2) 3 ja − 2 3 . Ensimmäinen niistä tarkoittaa negatiivista lukua miinus kaksi, korotettuna potenssiin, jonka luonnollinen eksponentti on kolme; toinen on asteen vastakkaista arvoa vastaava luku 2 3 .

Joskus kirjoista löytyy hieman erilainen luvun asteen kirjoitusasu - a^n(jossa a on kanta ja n on eksponentti). Joten 4^9 on sama kuin 4 9 . Jos n on moninumeroinen luku, se on suljettu suluissa. Esimerkiksi 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Mutta käytämme merkintää a n kuin yleisempää.

Asteen arvon laskeminen luonnollisella eksponentilla on helppo arvata sen määritelmästä: sinun tarvitsee vain kertoa n:s määrä kertoja. Kirjoitimme tästä lisää toisessa artikkelissa.

Asteen käsite on toisen matemaattisen käsitteen - luvun juuren - vastakohta. Jos tunnemme eksponentin ja eksponentin arvon, voimme laskea sen kantaluvun. Tutkinnolla on tiettyjä erityisominaisuuksia, joista on hyötyä erillisessä materiaalissa analysoimien ongelmien ratkaisemisessa.

Eksponentit voivat sisältää luonnollisten lukujen lisäksi yleensä mitä tahansa kokonaislukuarvoja, myös negatiivisia ykkösiä ja nollia, koska ne kuuluvat myös kokonaislukujen joukkoon.

Määritelmä 2

Positiivisella kokonaislukueksponentilla varustetun luvun aste voidaan näyttää kaavana: .

Lisäksi n on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku.

Käsitellään nolla-asteen käsitettä. Tätä varten käytämme lähestymistapaa, joka ottaa huomioon osamäärän ominaisuuden potenssien kanssa, joilla on sama kanta. Se on muotoiltu näin:

Määritelmä 3

Tasa-arvo a m: a n = a m − n on totta seuraavissa olosuhteissa: m ja n ovat luonnollisia lukuja, m< n , a ≠ 0 .

Viimeinen ehto on tärkeä, koska se välttää jakamisen nollalla. Jos m:n ja n:n arvot ovat yhtä suuret, saamme seuraavan tuloksen: a n: a n = a n − n = a 0

Mutta samalla a n: a n = 1 - yhtäläisten lukujen osamäärä a n ja a. Osoittautuu, että minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun nollaaste on yhtä suuri kuin yksi.

Tällainen todistus ei kuitenkaan sovellu nollasta potenssiin nolla. Tätä varten tarvitsemme toisen voimien ominaisuuden - yhtäläisten voimien tuotteiden ominaisuuden. Se näyttää tältä: a m a n = a m + n .

Jos n on 0, niin a m a 0 = a m(tämä tasa-arvo myös todistaa sen meille a 0 = 1). Mutta jos ja on myös yhtä suuri kuin nolla, yhtäläisyytemme saa muodon 0 m 0 0 = 0 m, Se pätee mille tahansa n:n luonnolliselle arvolle, eikä sillä ole väliä mikä tarkalleen asteen arvo on 0 0 , eli se voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa luku, eikä tämä vaikuta yhtälön pätevyyteen. Siksi lomakkeen tietue 0 0 sillä ei ole omaa erityistä merkitystään, emmekä anna sitä sille.

Haluttaessa se on helppo tarkistaa a 0 = 1 konvergoi tutkinto-ominaisuuden kanssa (a m) n = a m n edellyttäen, että asteen kanta ei ole nolla. Siten minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, aste on yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkki 2

Katsotaanpa esimerkkiä tietyillä numeroilla: Joten, 5 0 -yksikkö, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , ja arvo 0 0 määrittelemätön.

Nollaasteen jälkeen meidän on vielä selvitettävä, mikä negatiivinen aste on. Tätä varten tarvitsemme saman emäksisten potenssien tulon ominaisuuden, jota olemme jo käyttäneet edellä: a m · a n = a m + n.

Esitetään ehto: m = − n , jolloin a ei saa olla nolla. Tästä seuraa, että a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Osoittautuu, että n ja a-n meillä on vastavuoroiset luvut.

Seurauksena on, että a - negatiivinen kokonaisluku on vain murto-osa 1 a n .

Tämä muotoilu vahvistaa, että negatiivisen kokonaislukueksponentin asteelle ovat voimassa kaikki samat ominaisuudet kuin luonnollisella eksponentilla (edellyttäen, että kanta ei ole nolla).

Esimerkki 3

Potentti a negatiivisella kokonaisluvulla n voidaan esittää murto-osana 1 a n . Siten a - n = 1 a n ehdon alla a ≠ 0 ja n on mikä tahansa luonnollinen luku.

Havainnollistetaan ideaamme konkreettisilla esimerkeillä:

Esimerkki 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Kappaleen viimeisessä osassa yritämme kuvata kaiken sanotun selkeästi yhdellä kaavalla:

Määritelmä 4

A:n potenssi luonnollisella eksponentilla z on: a z = a z, e c ja z on positiivinen kokonaisluku 1, z = 0 ja a ≠ 0, (jos z = 0 ja a = 0, saadaan 0 0, arvot lauseke 0 0 ei ole määritetty)   1 a z , jos z on negatiivinen kokonaisluku ja a ≠ 0 ( jos z on negatiivinen kokonaisluku ja a = 0 saamme 0 z , se on a n d e n t i o n )

Mitä ovat asteet rationaalisen eksponentin kanssa

Olemme analysoineet tapauksia, joissa eksponentti on kokonaisluku. Voit kuitenkin nostaa luvun myös potenssiin, kun sen eksponentti on murtoluku. Tätä kutsutaan asteeksi, jolla on rationaalinen eksponentti. Tässä alajaksossa todistamme, että sillä on samat ominaisuudet kuin muilla potenssilla.

Mitä ovat rationaaliset luvut? Niiden joukko sisältää sekä kokonais- että murtolukuja, kun taas murtoluvut voidaan esittää tavallisina murtolukuina (sekä positiivisina että negatiivisina). Muotoilemme luvun a asteen määritelmän murto-eksponentilla m / n, jossa n on luonnollinen luku ja m on kokonaisluku.

Meillä on jokin aste murto-eksponentilla a m n . Jotta tehoominaisuus pysyisi asteessa, yhtälön a m n n = a m n · n = a m on oltava tosi.

Kun otetaan huomioon n:nnen juuren määritelmä ja että a m n n = a m, voimme hyväksyä ehdon a m n = a m n, jos a m n on järkevä annetuille m:n, n:n ja a:n arvoille.

Yllä olevat kokonaislukueksponentin asteen ominaisuudet ovat tosia ehdolla a m n = a m n .

Pääjohtopäätös päättelystämme on seuraava: jonkin luvun a aste murto-eksponentilla m / n on n:nnen asteen juuri luvusta a potenssiin m. Tämä on totta, jos annetuille m:n, n:n ja a:n arvoille lauseke a m n on järkevä.

1. Voimme rajoittaa asteen kannan arvoa: ota a, joka m:n positiivisilla arvoilla on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 ja negatiivisilla arvoilla se on ehdottomasti pienempi (koska m ≤ 0 saamme 0 m, mutta tätä tutkintoa ei ole määritelty). Tässä tapauksessa asteen määritelmä murto-eksponentilla näyttää tältä:

Jollekin positiiviselle luvulle a murto-eksponentti m/n on m potenssiin korotetun a:n n:s juuri. Kaavan muodossa tämä voidaan esittää seuraavasti:

Nollakantaiselle asteelle tämä ehto sopii myös, mutta vain jos sen eksponentti on positiivinen luku.

Potentti, jonka kantanolla ja positiivinen murto-eksponentti m/n voidaan ilmaista seuraavasti

0 m n = 0 m n = 0 positiivisen kokonaisluvun m ja luonnollisen n ehdolla.

Negatiivinen suhde m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Huomioikaa yksi seikka. Koska olemme ottaneet käyttöön ehdon, että a on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, olemme hylänneet joitain tapauksia.

Lauseke a m n on joskus edelleen järkevä joillekin a:n negatiivisille arvoille ja joillekin negatiivisille m:n arvoille. Eli merkinnät ovat oikein (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , joissa kanta on negatiivinen.

2. Toinen lähestymistapa on tarkastella erikseen juuria a m n parillisella ja paritolla eksponenteilla. Sitten on esitettävä vielä yksi ehto: astetta a, jonka eksponenttissa on pelkistyvä tavallinen murtoluku, pidetään asteena a, jonka eksponentissa on vastaava redusoitumaton murto-osa. Myöhemmin selitämme, miksi tarvitsemme tätä ehtoa ja miksi se on niin tärkeä. Näin ollen, jos meillä on tietue a m · k n · k , voimme pienentää sen arvoon a m n ja yksinkertaistaa laskelmia.

Jos n on pariton luku ja m on positiivinen ja a on mikä tahansa ei-negatiivinen luku, niin m n on järkevä. Ei-negatiivisen a:n ehto on välttämätön, koska parillisen asteen juuria ei eroteta negatiivisesta luvusta. Jos m:n arvo on positiivinen, niin a voi olla sekä negatiivinen että nolla, koska Pariton juuri voidaan ottaa mistä tahansa reaaliluvusta.

Yhdistetään kaikki määritelmän yläpuolella olevat tiedot yhteen merkintään:

Tässä m/n tarkoittaa redusoitumatonta murto-osaa, m on mikä tahansa kokonaisluku ja n on mikä tahansa luonnollinen luku.

Määritelmä 5

Minkä tahansa tavallisen pelkistetyn murto-osan m · k n · k kohdalla aste voidaan korvata a m n :llä.

A:n aste pelkistymättömällä murto-eksponentilla m / n – voidaan ilmaista muodossa m n seuraavissa tapauksissa: - millä tahansa todellisella a:lla positiiviset kokonaisluvut m ja parittomat luonnonarvot n. Esimerkki: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Kaikille nollasta poikkeaville reaaliarvoille a negatiiviset kokonaislukuarvot m ja parittomat arvot n, esimerkiksi 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 27

Kaikille ei-negatiivisille a:n positiiviset kokonaislukuarvot m ja jopa n, esimerkiksi 2 1 4 = 2 1 4, (5 , 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18 .

Jokaiselle positiiviselle a , negatiivinen kokonaisluku m ja parillinen n , esimerkiksi 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Muiden arvojen tapauksessa astelukua ei määritetä. Esimerkkejä tällaisista tehoista: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Selitätään nyt yllä mainitun ehdon tärkeys: miksi murto-osa korvataan pelkistyvällä eksponentilla, kun murto-osa on pelkistymätön. Jos emme olisi tehneet tätä, tällaiset tilanteet olisivat osoittautuneet esimerkiksi 6/10 = 3/5. Silloin (- 1) 6 10 = - 1 3 5 pitäisi olla totta, mutta - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ja (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Ensimmäiseksi antamamme murto-eksponentin tutkinnon määritelmä on kätevämpi soveltaa käytännössä kuin toista, joten jatkamme sen käyttöä.

Määritelmä 6

Näin ollen positiivisen luvun a potenssi, jonka eksponentti on murto-osa m / n, määritellään 0 m n = 0 m n = 0 . Negatiivinen tapauksessa a merkinnällä a m n ei ole mitään järkeä. Nollan aste positiivisille murtolukueksponenteille m/n on määritelty 0 m n = 0 m n = 0 , negatiivisille murto-eksponenteille emme määrittele nolla-astetta.

Päätelmissä todetaan, että mikä tahansa murtoluku voidaan kirjoittaa sekä sekalukuna että desimaalimurtolukuna: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Laskettaessa eksponentti on parempi korvata tavallisella murtoluvulla ja sitten käyttää asteen määritelmää murto-osalla. Yllä olevista esimerkeistä saamme:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mitä ovat asteet, joissa on irrationaalinen ja todellinen eksponentti

Mitä ovat todelliset luvut? Niiden joukko sisältää sekä rationaalisia että irrationaalisia lukuja. Siksi, jotta voimme ymmärtää, mikä on aste, jolla on todellinen eksponentti, meidän on määritettävä asteet rationaalisilla ja irrationaalisilla eksponenteilla. Rationalista olemme jo maininneet edellä. Käsittelemme irrationaalisia indikaattoreita askel askeleelta.

Esimerkki 5

Oletetaan, että meillä on irrationaalinen luku a ja sen desimaalilikintojen sarja a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Otetaan esimerkiksi arvo a = 1 , 67175331 . . . , sitten

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Voimme yhdistää approksimaatiojonoja potenssien a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jos muistamme, mistä puhuimme aiemmin lukujen nostamisesta rationaaliseen potenssiin, voimme laskea näiden potenssien arvot itse.

Otetaan esimerkiksi a = 3, niin a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . jne.

Astejono voidaan pienentää numeroon, joka tulee olemaan asteen arvo kannalla a ja irrationaalisella eksponenttilla a. Tuloksena: aste, jonka irrationaalinen eksponentti on muotoa 3 1 , 67175331 . . voidaan pienentää numeroihin 6, 27.

Määritelmä 7

Positiivisen luvun a potenssi, jolla on irrationaalinen eksponentti a, kirjoitetaan muodossa a a . Sen arvo on sekvenssin raja a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , jossa a 0 , a 1 , a 2 , . . . ovat irrationaalisen luvun a peräkkäisiä desimaaliarvioita. Positiivisille irrationaalisille eksponenteille voidaan määrittää myös nollakantainen aste, kun taas 0 a \u003d 0 Joten, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Ja negatiivisille tätä ei voida tehdä, koska esimerkiksi arvoa 0 - 5, 0 - 2 π ei ole määritelty. Mihin tahansa irrationaaliseen potenssiin korotettu yksikkö jää esimerkiksi yksiköksi, ja 1 2 , 1 5 in 2 ja 1 - 5 ovat yhtä kuin 1 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tehokaavat käytetään monimutkaisten lausekkeiden pelkistys- ja yksinkertaistamisprosessissa, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Määrä c on n-luvun potenssi a kun:

Operaatiot asteilla.

1. Kun asteet kerrotaan samalla pohjalla, niiden indikaattorit laskevat yhteen:

olena n = a m + n.

2. Saman kantaluvun asteiden jaossa niiden indikaattorit vähennetään:

3. Kahden tai useamman tekijän tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murto-osuuden aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan asteiden suhde:

(a/b) n = an/bn.

5. Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan:

(am) n = a m n.

Jokainen yllä oleva kaava on oikea suunnassa vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

esimerkiksi. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaatiot juurilla.

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja juurien jakajan suhde:

3. Nostettaessa juuria potenssiin, riittää, että nostat juurinumeron tähän potenssiin:

4. Jos lisäämme juuren astetta sisään n kerran ja samaan aikaan nostaa n th potenssi on juuriluku, silloin juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennämme juuren astetta sisään n root samaan aikaan n astetta radikaaliluvusta, niin juuren arvo ei muutu:

Aste negatiivisella eksponentilla. Luvun aste, jolla on ei-positiivinen (kokonaisluku) eksponentti, määritellään jaettuna saman luvun asteella, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin ei-positiivisen eksponentin itseisarvo:

Kaava olen:a n = a m - n voidaan käyttää paitsi m> n, mutta myös klo m< n.

esimerkiksi. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kaavaan olen:a n = a m - n tuli reiluksi m = n, tarvitset nollaasteen.

Aste nolla eksponentin kanssa. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, potenssi on yhtä suuri kuin yksi.

esimerkiksi. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Aste murtoluvulla. Nostaaksesi todellista numeroa a jossain määrin m/n, sinun on purettava juuri n aste m tämän luvun potenssi a.