Kirjat. Lataa DJVU-kirjoja, PDF ilmaiseksi

KAZAN TECHNICAL UNIVERSITY. A. N. Tupoleva

Sh. I. Galiev

MATEMAATTINEN LOGIKA JA ALGORITMITEORIA

OPETUSOHJE

Kazan 2002

Galiev Sh. I. Matemaattinen logiikka ja algoritmien teoria. - Kazan: KSTU:n kustantamo. A. N. Tupolev. 2002. - 270 s.

ISBN 5-93629-031-X

Käsikirja sisältää seuraavat osat. Propositioiden ja predikaattien logiikka sovellusten kanssa, mukaan lukien resoluutiomenetelmä ja sen toteutuksen elementit PROLOG-kielellä. Klassinen laskelma (lauseiden ja predikaattien) ja ei-klassisen logiikan elementit: kolmiarvoinen ja moniarvoinen logiikka, modaalinen, ajallinen ja sumea logiikka. Algoritmien teoria: normaalialgoritmit, Turingin koneet, rekursiiviset funktiot ja niiden suhteet. Laskennallisen monimutkaisuuden käsite, erilaiset (monimutkaisuuden mukaan) ongelmaluokat ja esimerkkejä tällaisista ongelmista.

Kaikki luvut on varustettu kontrollikysymyksillä ja -harjoituksilla, vaihtoehtoja tyypillisiin tehtäviin ja testejä materiaalin hallitsemiseen.

Käsikirja on tarkoitettu "Informatiikka ja tietotekniikka" -suunnan erikoisalan 2201 opiskelijoille ja sitä voidaan käyttää erikoisalalla 2202 ja muilla tämän alan erikoisaloilla.

JOHDANTO

Logiikka ymmärretään yleensä todistus- ja kumoamismenetelmien tieteeksi. Matemaattinen logiikka on matemaattisten menetelmien avulla kehitettyä logiikkaa.

Tutkiessaan todisteiden ja kumoamismenetelmiä logiikka on ensisijaisesti kiinnostunut todellisten johtopäätösten muodostamisesta, ei tämän tai toisen päättelyn premissien ja johtopäätösten sisällöstä. Harkitse esimerkiksi seuraavia kahta lähtöä:

1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Sokrates on mies. Siksi Sokrates on kuolevainen.

2. Kaikki kissanpennut rakastavat leikkiä. Moura on kissanpentu. Siksi Moura rakastaa leikkiä.

Näillä molemmilla päätelmillä on sama muoto: Kaikki A ovat B:tä, C on A; siksi C on B. Nämä johtopäätökset ovat muodoltaan tosia, sisällöstä riippumatta, riippumatta siitä, ovatko itse tekemät premissit ja johtopäätökset totta vai vääriä. Oikeiden päättelytapojen systemaattinen formalisointi ja luettelointi on yksi logiikan päätehtävistä. Jos tässä tapauksessa käytetään matemaattista laitteistoa ja tutkimus on ensisijaisesti omistettu matemaattisen päättelyn tutkimukselle, niin tämä logiikka on matemaattista logiikkaa (formaalilogiikka). Tämä määritelmä ei ole tiukka (tarkka) määritelmä. Matemaattisen logiikan aiheen ja menetelmän ymmärtämiseksi on parasta aloittaa sen opiskelu.

Matemaattinen logiikka alkoi muotoutua kauan sitten. Sen ideat ja menetelmät syntyivät muinaisessa Kreikassa, muinaisessa Intiassa ja muinaisessa Kiinassa noin 6. vuosisadalta eKr. eKr e. Jo tänä aikana tutkijat yrittivät järjestää matemaattisten todisteiden ketjun sellaiseen ketjuun, että siirtyminen linkistä toiseen ei jättäisi epäilyksiä ja saisi yleisen tunnustuksen. Jo varhaisimmista käsikirjoituksista, jotka ovat tulleet meille, matemaattisen esitystavan "kaanoni" on vakiintunut. Myöhemmin hän saa suurten klassikoiden lopullisen valmistumisen: Aristoteles, Eukleides, Arkhimedes. Näiden kirjoittajien todisteiden käsite ei eroa meidän omasta.

Logiikka itsenäisenä tieteenä on saanut alkunsa Aristoteleen (384 - 322 eKr.) tutkimuksista. Suuri antiikin filosofi Aristoteles suoritti tietosanakirjallisen systematisoinnin muinaisesta tiedosta kaikilla silloisen tieteen aloilla. Aristoteleen loogiset tutkimukset esitellään pääasiassa hänen kahdessa teoksessaan "First Analytics" ja "Second Analytics", jotka yhdistetään yleisnimellä "Organon" (Instrument of Knowledge).

Erityisen huomionarvoista on, että yksi ihmiskunnan historian loistavimmista saavutuksista on suuri merkitys matemaattisen logiikan muodostumiselle ja kehitykselle, nimittäin geometrian muuttamiselle tarkaksi deduktiiviseksi järjestelmäksi Eukleideen (330 - 275 eKr.) teoksessa. "Alkuja". Juuri tämä deduktiivinen lähestymistapa, jossa oli selkeä tietoisuus tavoitteista ja menetelmistä, oli perustana filosofisen ja matemaattisen ajattelun kehitykselle seuraavina vuosisatoina.

Myös suuri merkitys logiikan muodostumiselle ja kehitykselle oli saavutukset algebrassa (Bule-algebra) ja muilla matemaattisilla tieteenaloilla, mukaan lukien jälleen geometriassa (ei-euklidisen geometrian luominen - Lobachevsky-Gauss-Bolyai-geometria). Lyhyt katsaus matemaattisen logiikan muodostumiseen löytyy osoitteesta.

Monet ja monet tiedemiehet, sekä muinaisina aikoina, keskiajalla että myöhemmillä aikoina, osallistuivat matemaattisen logiikan muodostumiseen ja kehittämiseen.

Matemaattisen logiikan perus- ja soveltamismerkitys

Matemaattisen logiikan perustavanlaatuinen merkitys on matematiikan perustelu (matematiikan perusteiden analyysi).

Matemaattisen logiikan soveltamisarvo on tällä hetkellä erittäin korkea. Matemaattista logiikkaa käytetään seuraaviin tarkoituksiin:

digitaalisten tietokoneiden ja muiden erillisten automaattien, mukaan lukien älykkäiden järjestelmien, analysointi ja synteesi (rakentaminen);

muodollisten ja konekielten analyysi ja synteesi luonnollisen kielen analysointia varten;

intuitiivisen laskettavuuden käsitteen analysointi ja formalisointi;

selvittää mekaanisten menettelyjen olemassaolo tietyntyyppisten ongelmien ratkaisemiseksi;

laskennallisten monimutkaisuusongelmien analyysi.

Myös matemaattinen logiikka osoittautui kiinteästi sidoksissa useisiin kielitieteen, taloustieteen, psykologian ja filosofian kysymyksiin.

Tässä käsikirjassa hahmotellaan matemaattisen logiikan peruskäsitteet ja algoritmien teoria. Käsikirjassa esitetty materiaali

vastaa valtion koulutusstandardia suunnalle "Informatiikka ja tietokonetekniikka" ja sitä voidaan käyttää opiskelijoille, jotka opiskelevat tämän suunnan eri erikoisuuksilla.

Käsikirjan kirjoittamisessa käytettiin kirjallisuutta ja tietysti myös muita lähteitä. Lähdeluettelossa on kirjoja, jotka uteliaan ja vaativan opiskelijan kannattaa katsoa.

Oppaan jokaisessa luvussa on kysymyksiä teoreettisen materiaalin itsetestaukseen ja harjoituksia, joiden tarkoituksena on kehittää ongelmanratkaisutaitoja ja syventää esitettävästä aiheesta tietoa. Lisäksi käsikirja tarjoaa vaihtoehtoja tyypillisiin tehtäviin ja testejä materiaalin assimilaation itseohjautumiseen.

Ehdotettu oppikirja (2. painos, stereotyyppi) muodostaa perustan matemaattisen logiikan ja algoritmien teorian kurssille, joka sisältää myös kokoelman ongelmia (Igoshin V.I. Matemaattisen logiikan tehtäviä ja harjoituksia ja algoritmien teoria) .

Teorian perusteet kuvataan yksityiskohtaisesti, esitetään logiikan tunkeutumissuunnat algebran, analyysin, geometrian perusteisiin, koulun matematiikan kurssin materiaalia käytetään sen loogiseen analyysiin, matemaattisen logiikan suhde tietokoneisiin, tietotekniikka ja tekoälyjärjestelmät ovat ominaisia.

Johdanto. Matemaattinen logiikka nykyajan koulutusjärjestelmässä.
Logiikka ja intuitio. Logiikka perinteinen ja matemaattinen logiikka. Hieman historiaa. Matemaattinen logiikka - logiikka vai matematiikka? Matemaattinen logiikka matematiikan opetuksessa. Matemaattinen logiikka ja nykyaikaiset tietokoneet.
Luku I. Lausuntojen algebra.
§ 1. Lausunnot ja niihin liittyvät toimet.
Lausunton käsite. Lausunnon kieltäminen. Kahden lauseen konjunktio. Kahden väitteen disjunktio. Kahden väitteen implikaatio. Kahden väitteen vastaavuus. Kielen ja loogisten operaatioiden liitot (kieli ja logiikka). Yleiskuva loogisista operaatioista.
§2. Propositioalgebran kaavat.
Monimutkaisten lauseiden rakentaminen. Propositioalgebrakaavan käsite. Yhdistetyn lauseen looginen merkitys. Totuustaulukoiden laatiminen kaavoille. Propositioalgebran kaavojen luokittelu. Ajattelu ja matemaattinen logiikka
§ 3. Propositionalgebran tautologiat.
Tautologioiden merkityksestä. Perustautologiat. Tautologian hankkimisen perussäännöt.
§ 4. Kaavojen looginen vastaavuus.
Kaavojen vastaavuuden käsite. Kaavojen vastaavuusmerkki. Esimerkkejä vastaavista kaavoista. Kaavojen ekvivalentit muunnokset. Ekvivalenssit logiikassa ja identiteetit algebrassa.
§ 5. Normaalit muodot lausealgebrakaavoille.
Normaalimuotojen käsite. Täydelliset normaalit muodot. Propositioalgebran kaavojen esitys täydellisillä disjunktiivisilla normaalimuodoilla (CDN). Lausealgebran kaavojen esitys täydellisillä konjunktiivisilla normaalimuodoilla (SKN). Kaksi tapaa pelkistää lausealgebrakaava täydelliseen normaalimuotoon
§ 6. Kaavojen looginen seuraaminen.
Loogisen seurauksen käsite. Merkkejä loogisesta seurauksesta. Kaksi loogisen seurauksen ominaisuutta. Kaavojen seuraaminen ja vastaavuus. Loogisen päättelyn säännöt. Toinen tapa tarkistaa looginen seuraaminen. Seurausten löytäminen näistä lähtökohdista. Etsitään tiloja tälle tutkimukselle.
§ 7. Propositialgebran soveltaminen logiikas-matemaattiseen käytäntöön.
Suorat ja käänteiset lauseet. Tarpeelliset ja riittävät olosuhteet. Vastakkaisen lauseen vastakohta ja käänteiskohta. Vastaasetuksen laki. Matemaattisen lauseen rakenteen muunnos. Matemaattisten lauseiden todistusmenetelmät. Deduktiivinen ja induktiivinen päättely. Oikea ja väärä deduktiivinen päättely. Loogisten ongelmien ratkaiseminen. Täydellisen disjunktion periaate. Yksi yleistys täydellisen disjunktion periaatteesta.
Luku II. Boolen funktiot.
§kahdeksan. Joukkoja, suhteita, funktioita.
Sarjan käsite. Sarjojen sisällyttäminen ja tasa-arvo. Toiminnot sarjoissa. Binäärirelaatiot ja funktiot. Parisuhteen käsite.
§ 9. Yhden ja kahden argumentin loogiset funktiot.
Boolen funktioiden alkuperä. Boolen funktiot yhdestä argumentista. Kahden argumentin loogiset funktiot. Disjunktion, konjunktion ja negation ominaisuudet. Ekvivalenssin, implikoinnin ja negation ominaisuudet. Joidenkin Boolen funktioiden ilmaiseminen toisilla
§ 10. N:n argumentin loogiset funktiot.
Boolen funktion käsite. Boolen funktioiden määrä. Boolen funktioiden ilmaisu konjunktiolla, disjunktiolla ja negaatiolla. Boolen funktiot ja lausealgebran kaavat. Boolen funktioiden normaalit muodot.
§ 11. Boolen funktioiden järjestelmät.
Täydelliset Boolen funktioiden järjestelmät. Boolen funktioiden erikoisluokat. Postin lause Boolen funktioiden järjestelmän täydellisyydestä
§ 12. Boolen funktioiden soveltaminen rele-koskettimiin.
Sovellus idea. Rele-koskettimien teorian kaksi päätehtävää.
§ 13. Rele-kosketinpiirit tietokoneissa.
Binäärinen puolisummain. Yhden bitin binaarisummain. kooderi ja dekooderi.
§ 14. Joistakin muista Boolen funktioiden teorian sovelluksista.
Sairauksien diagnoosi (tunnistaminen). Hahmontunnistus.
III luku. Formalisoitu propositiolaskenta.
§ 15. Aksioomijärjestelmä ja muodollisen päättelyn teoria.
Aksiomaattisen propositioteorian alku: alkukäsitteet, aksioomijärjestelmä, päättelysääntö. Päätelmän käsite ja sen ominaisuudet. Deduktiolause ja sen seuraukset. Deduktiolauseen soveltaminen. Johdetut päättelysäännöt
§ 16. Formalisoidun lauselaskennan täydellisyys ja muut ominaisuudet
Kaavan todistettavuus ja sen identtinen totuus (syntaksi ja semantiikka). Johdatettavuus Lemma. Formalisoidun lauselaskennan täydellisyys. Riittävyyslause. Formalisoidun lauselaskennan johdonmukaisuus. Formalisoidun lauselaskennan ratkeavuus
§ 17. Formalisoidun lauselaskennan aksioomijärjestelmän riippumattomuus.
Itsenäisyyden käsite. Aksiooman riippumattomuus (A1). Aksiooman riippumattomuus (A2). Aksiooman riippumattomuus (A3). Aksioomajärjestelmän riippumattomuus
IV luku. Predikaattilogiikka.
§ 18. Predikaatteihin liittyvät peruskäsitteet.
Predikaatin käsite. Predikaattien luokitus. Predikaatin totuusjoukko. Ekvivalenssi ja seuraavat predikaatit
§ 19. Loogiset operaatiot predikaateille.
Predikaatin negaatio. Kahden predikaatin konjunktio. Suunnittele siirtyäksesi dicat-sivulle. Negaation, konjunktion ja disjunktion ominaisuudet. Kahden predikaatin implikaatio ja ekvivalenssi.
§ 20. Predikaattien kvantorioperaatiot.
Yleinen kvantori. Olemassaolon kvantori. Numeeriset kvantisoijat. Rajoitetut kvantisoijat. Logiikka neliö
§ 21. Predikaattilogiikan kaavat.
Predikaattilogiikan kaavan käsite. Predikaattilogiikan kaavojen luokittelu. Predikaattilogiikan tautologiat
§ 22. Kaavojen ekvivalentit muunnokset ja predikaattilogiikan kaavojen looginen seuraus
Kaavojen vastaavuuden käsite. Supistettu muoto predikaattilogiikkakaavoille. Prenex normaalimuoto predikaattilogiikan kaavoille. Predikaattilogiikan kaavojen looginen seuraaminen
§ 23. Kaavojen pätevyyden ja tyydyttävyyden ratkaisuongelmat.
Ongelma ja sen ratkaisemattomuus yleensä. Tehtävän ratkaisu kaavoille äärellisillä joukoilla. Esimerkki kaavasta, joka on toteutettavissa äärettömässä joukossa, mutta ei toteutettavissa millään äärellisellä joukolla. Täytettävyyden ratkaisuongelma: joukon kardinaalisuuden ja kaavan rakenteen vaikutus. Ongelman ratkaiseminen kaavoille, jotka sisältävät vain yksipaikkaisia ​​predikaattimuuttujia. Ongelma sen joukon validiteetin ja kardinaalisuuden ratkaisemiseksi, jossa kaavaa tarkastellaan. Ongelmanratkaisu V-kaavoille ja 3-kaavoille
§ 24. Predikaattilogiikan soveltaminen logiikas-matemaattiseen käytäntöön.
Nauhoittaminen eri lauseiden logiikan predikaattien kielellä. Predikaattilogiikan ja propositionaalisen logiikan vertailu. Matemaattisten lauseiden rakenne. Päättelymenetelmät: Aristoteelinen syllogistiikka. Aristoteelinen syllogiikka ja predikaattilogiikka. Aristotelilaisen syllogismin joukkoteoreettinen tulkinta. Muista päättelytavoista. Täydellisen disjunktion periaate predikaattimuodossa. (täydellisen) matemaattisen induktion menetelmä Välttämättömät ja riittävät ehdot. Predikaattilogiikka ja asetusalgebra.
§ 25. Formalisoitu predikaattilaskenta.
Pääkäsitteet (formalisoidun predikaattilaskennan kieli). Predikaattilaskunnan aksioomijärjestelmä. peruutussäännöt. Muodollisen päättelyn teoria.
Luku V. Epämuodolliset aksiomaattiset teoriat.
§ 26. Aksiomaattinen menetelmä matematiikassa ja aksiomaattisissa teorioissa.
Aksiomaattisen teorian käsite. Kuinka aksiomaattiset teoriat syntyvät. Esimerkkejä aksiomaattisista teorioista. Aksiomaattisen teorian tulkintoja ja malleja.
§ 27. Aksiomaattisten teorioiden ominaisuudet.
Johdonmukaisuus. Kategorinen. Aksioomijärjestelmän riippumattomuus. Täydellisyys.
Luku VI. Muodolliset aksiomaattiset teoriat.
§ 28. Formaalisista aksiomaattisista teorioista.
Formaalisen aksiomaattisen teorian idean historiasta. Formaalisen aksiomaattisen teorian käsite. Kieli ja metakieli, muodollisen teorian lauseet ja metateoreemit. Formaaliteorian tulkinnat ja mallit. semanttinen tulos. Metamatematiikka (muodollisten aksiomaattisten teorioiden ominaisuuksia). Formalisoitu propositiolaskenta muodollisena aksiomaattisena teoriana Aristoteelisten syllogismien teorian formalisointi.
§ 29. Formalisoidun predikaattilaskennan ominaisuudet.
Aksiomatisoinnin perustelu Formalisoidun predikaattilaskennan johdonmukaisuus. Gödelin lause mallin olemassaolosta. Formalisoidun predikaattilaskennan täydellisyys ja riittävyys. Formalisoidun predikaattilaskennan epätäydellisyys absoluuttisessa ja kapeassa merkityksessä Kompaktiteettilause.
§ 30. Ensimmäisen luokan muodolliset teoriat.
Ensimmäisen asteen teoriat tasa-arvon kanssa. Formaalisista joukkoteorioista. Formaalilla aritmetiikalla. Lukujärjestelmien muodollisista teorioista Formaalisesta geometriasta. Formaalisesta matemaattisesta analyysistä. Yleinen näkemys matemaattisen teorian formalisaatioprosessista, aksiomaattisen menetelmän, formalisointimenetelmän ja logiikan rajoista.
Luku VII. Algoritmien teorian elementit.
§31. Algoritmien intuitiivinen ymmärtäminen.
Algoritmit ympärillämme. Epävirallinen käsitys algoritmista. Tarve selventää algoritmin käsitettä.
§ 32. Turingin koneet.
Turingin koneen määritelmä Turingin koneiden soveltaminen sanoihin. Turingin koneen suunnittelu. Turingin laskettavat funktiot. Toimintojen oikea laskettavuus Turingin koneella. Turingin koneiden kokoonpano. Turingin väitöskirja (algoritmien teorian perusoletus). Turingin koneet ja modernit elektroniset tietokoneet.
§ 33. Rekursiiviset funktiot.
Rekursiivisten funktioiden alkuperä. Rekursiivisten funktioiden teorian peruskäsitteet ja Churchin opinnäytetyö. Primitiiviset rekursiiviset funktiot. Predikaattien primitiivinen rekursiivisuus. Primitiivisten rekursiivisten funktioiden Turingin laskettavuus. Ackermanin funktiot. minimointioperaattori. Yleiset rekursiiviset ja osittain rekursiiviset funktiot. Osittain rekursiivisten funktioiden Turingin laskettavuus. Turingin laskettavien funktioiden osittainen rekursiivisuus.
§34. Normaalit Markov-algoritmit.
Markovin vaihdot. Normaalit algoritmit ja niiden soveltaminen sanoihin. Normaalisti laskettavat funktiot ja Markovin normalisointiperiaate. Kaikkien normaalisti laskettavien funktioiden luokan yhteensopivuus kaikkien Turingin laskettavien funktioiden luokan kanssa. Algoritmien eri teorioiden vastaavuus.
§ 35. Joukkojen päätettävyys ja luetettavuus.
§ 36. Ratkaisemattomat algoritmiset ongelmat.
Algoritmin numerointi. Turingin koneen numerointi. Ei-laskettavien Turing-funktioiden olemassaolo. Itsesoveltuvuuden ja sovellettavuuden tunnistamisen ongelmat. Algoritmisesti ratkaisemattomat ongelmat yleisessä algoritmiteoriassa. Ricen lause. Muita esimerkkejä algoritmisesta ratkaisemattomuudesta.
§ 37. Godelin lause muodollisen aritmeettisen epätäydellisyydestä.
Muodolliset aksiomaattiset teoriat ja luonnolliset luvut. Formaalinen aritmetiikka ja sen ominaisuudet. Gödelin epätäydellisyyslause. Gödel ja hänen roolinsa 1900-luvun matemaattisessa logiikassa. .
Luku VIII. Matemaattinen logiikka ja tietokoneet, informatiikka, tekoäly.
* § 38. Matemaattinen logiikka ja tietokoneohjelmistot.
Algoritmien teoria ja matemaattinen logiikka ovat ohjelmoinnin perusta. Matemaattista logiikkaa käyttävien tietokoneohjelmien kuvaus. Ohjelmoinnin kuvaus ja sen käsitteiden analyysi matemaattisen logiikan avulla. Ohjelmien todentaminen (oikeuden todistaminen) matemaattista logiikkaa käyttäen.
§ 39. Tietokoneiden käyttö matemaattisen logiikan lauseiden todistamiseen.
Ohjelma "Logiikkateoreetikko" ja sitä lähellä olevat ohjelmat. Resoluutiomenetelmä lauseiden todistamiseen lauselaskussa ja predikaattilaskussa.
§ 40. Matemaattisesta logiikasta logiikkaohjelmointiin.
PROLOG-kielen syntyminen ja sen kehitys. PROLOG-kielen yleiset ominaisuudet. Lyhyt kuvaus PROLOG-kielestä ja esimerkkejä. PROLOG-kielen käyttöalueet.
§41. Matemaattinen logiikka ja informatiikka.
Tietokannan yleinen käsite. Relaatiotietokanta ja kyselylogiikka siinä.
§ 42. Matemaattinen logiikka ja tekoälyjärjestelmät Tekoälyn tieteenä kehityshistoria ja aihe. Tiedon esitys tekoälyjärjestelmissä. Asiantuntijajärjestelmät. PROLOG-kieli tekoälyjärjestelmissä. Osaako kone ajatella.
Johtopäätös: Onko logiikka kaikkivoipa ajattelun lakien tiedossa?
Bibliografia.

Logiikka ja intuitio.
Ihmisen henkinen toiminta on monimutkainen ja monitahoinen prosessi, joka tapahtuu sekä tietoisella että tiedostamattomalla (alitajuisella) tasolla. Tämä on ihmisen tiedon korkein taso, kyky heijastaa riittävästi todellisuuden esineitä ja ilmiöitä, ts. totuuden löytämiseen.

Logiikka ja intuitio ovat kaksi vastakkaista ja erottamattomasti toisiinsa liittyvää ihmisen ajattelun ominaisuutta. Looginen (deduktiivinen) ajattelu eroaa siinä, että se johtaa aina todellisiin johtopäätöksiin todellisista lähtökohdista turvautumatta kokemukseen, intuitioon ja muihin ulkoisiin tekijöihin. Intuitio (latinasta intuitio - "katsominen läheltä") on kykyä ymmärtää totuus tarkkailemalla sitä suoraan ilman perusteluja loogisesti tiukan todisteen avulla. Siten intuitio on eräänlainen antipode, vastapaino logiikalle ja kurinalaisuuteen.

Ajatusprosessin looginen osa tapahtuu tietoisuuden tasolla, intuitiivinen osa - alitajunnan tasolla.
Tieteen ja erityisesti matematiikan kehitystä ei voida ajatella ilman intuitiota. Tieteellisessä tiedossa on kahdenlaista intuitiota1: intuitio-arvio ja intuitio-arvaus. Intuitiotuomiolle (tai filosofiselle intuitiotuomiolle) on ominaista se, että tässä tapauksessa suora totuuden havaitseminen, asioiden objektiivinen yhdistäminen tapahtuu paitsi ilman loogisesti tiukkaa näyttöä, myös sellaista näyttöä ei ole olemassa tälle totuudelle ja ei periaatteessa voi olla olemassa. Intuitio-arviointi suoritetaan yhtenä (kertaluonteisena) synteettisenä kokonaisvaltaisena tekona, joka on luonteeltaan yleistävä. Tämä on loogisesti todistamattomien väitteiden luonne, jota algoritmiteoriassa käsitellyillä Turingin, Churchin ja Markovin teeseillä on.

Lataa ilmainen e-kirja kätevässä muodossa, katso ja lue:
Lataa kirja Mathematical Logic and Theory of Algorithms, Igoshin VI, 2008 - fileskachat.com, nopea ja ilmainen lataus.

Liittovaltion koulutusvirasto

TOMSKIN VALTION OHJAUSJÄRJESTELMÄ- JA RADIOELEKTRONIKA-YLIOPISTO (TUSUR)

Tietojenkäsittelyn automatisoinnin laitos

Minä hyväksyn:

Pää kahvila AOI

Professori

Jep. Ekhlakov

"__" _____________2007

Ohjeita

tieteenalan käytännön työn toteuttamiseen

"Matemaattinen logiikka ja algoritmien teoria"

erikoisalan opiskelijoille 230102 -

"Automaattiset järjestelmät tietojenkäsittelyyn ja valvontaan"

Kehittäjät:

Taide. luennoitsija laitoksella AOI

SITTEN. Peremitina

Tomsk - 2007

Käytännön oppitunti nro 1 "Propositioalgebrakaavat" 3

Käytännön oppitunti nro 2 "Propositioalgebrakaavojen ekvivalentit muunnokset" 10

Käytännön oppitunti nro 3 "Kaavojen normaalimuodot" 12

Käytännön oppitunti nro 4 "Looginen päättely" 14

Käytännön oppitunti nro 5 "Predikaattilogiikan kaavat" 18

Harjoitus #6 Boolen funktiot 23

Harjoitus #7 Osittain rekursiiviset funktiot 28

Harjoitus #8 Turingin koneet 34

Käytännön oppitunti nro 1 "Propositioalgebran kaavat"

Propositioiden oppi - lauseiden algebra tai logiikan algebra - on yksinkertaisin looginen teoria. Propositioalgebran atomikäsite on lausunto - deklaratiivinen lause, jonka suhteen väitteessä sen totuudesta tai valheellisuudesta on järkeä.

Esimerkki tosi väitteestä: "Maa pyörii auringon ympäri." Esimerkki väärästä lausunnosta: "3 > 5". Jokainen lause ei ole lausunto; lausunnot eivät sisällä kysely- ja huutolauseita. Lause: "Puura on herkullinen ruokalaji" ei ole väite, koska ei voida olla yksimielisiä siitä, onko se totta vai tarua. Lause "Marsissa on elämää" tulisi pitää väitteenä, koska objektiivisesti se on joko totta tai tarua, vaikka kukaan ei vielä tiedä kumpi.

Koska logiikan tutkimuksen kohteena ovat vain lauseiden totuusarvot, niille otetaan käyttöön kirjainmerkit A, B, ... tai X, Y ....

Jokainen väite katsotaan joko oikeaksi tai epätosi. Kirjoitamme lyhyyden vuoksi oikean arvon sijasta 1 ja väärän arvon 0. Esimerkiksi X= "Maa kiertää Auringon ympäri" ja Y= "3 > 5" ja X=1 ja Y= 0. Väite ei voi olla sekä tosi että epätosi .

Lausumat voivat olla yksinkertaisia ​​tai monimutkaisia. Lausekkeet "maa pyörii auringon ympäri" ja "3 > 5" ovat yksinkertaisia. Yhdistetyt lauseet muodostetaan yksinkertaisista lauseista luonnollisen (venäjän) kielen konnektiivien EI, JA, TAI, JOS-SIIN, NIIN-JA-VAIN-SIIN. Käytettäessä lauseissa aakkosjärjestystä nämä konnektiivit korvataan erityisillä matemaattisilla symboleilla, joita voidaan pitää loogisten operaatioiden symboleina.

Alla taulukossa 1 on muunnelmia symboleista konnektiivien osoittamiseksi ja vastaavien loogisten operaatioiden nimet.

Kieltäminen (käänteis) lausekkeet X on väite, joka on totta jos ja vain jos X epätosi (merkitty tai , lukee "ei X" tai "se ei ole totta X”).

konjunktio
Kahden lauseen lausetta kutsutaan lauseeksi, joka on tosi, jos ja vain jos molemmat lauseet ovat tosia X ja Y. Tämä looginen operaatio vastaa lauseiden yhteyttä liittoon "ja".

disjunktio
kaksi lausetta X ja Y Väitteen sanotaan olevan väärä, jos ja vain jos molemmat väitteet X ja Y väärä. Puhekielessä tämä looginen operaatio vastaa liittoa "tai" (ei poissulkevaa "tai").

seuraamus kaksi lausetta X ja Y on väite, joka on väärä jos ja vain jos X totta ja Y- väärä (merkitty
; lukee" X aiheuttaa Y", "jos X, sitten Y”). Tämän operaation operandeilla on erityiset nimet: X- paketti, Y- johtopäätös.

Vastaavuus kaksi lausetta X ja Y sanotaan väitteeksi, joka on totta, jos ja vain jos totuus on arvokas X ja Y ovat samat (symboli:
).

Taulukko 1. Loogiset operaatiot

Loogisten operaatioiden operandit voivat saada vain kaksi arvoa: 1 tai 0. Siksi jokainen looginen operaatio , &, , ,  voidaan helposti määrittää taulukon avulla, joka ilmaisee toiminnon tuloksen arvon arvojen mukaan. operandeista. Tällaista taulukkoa kutsutaan totuustaulukko (Taulukko 2).

Taulukko 2. Loogisten operaatioiden totuustaulukko

Yllä määriteltyjen loogisten operaatioiden avulla on mahdollista rakentaa yksinkertaisista ehdotuksista propositionaaliset logiikan kaavat edustavat erilaisia ​​yhdistelmälauseita. Yhdistetyn lauseen looginen merkitys riippuu lauseen rakenteesta, joka ilmaistaan ​​kaavalla, ja sen muodostavien peruslausekkeiden loogisista arvoista.

Lausuntoja ilmaisevien kaavojen systemaattista tutkimista varten otetaan käyttöön muuttujalausekkeet P, P 1 , P 2 , ..., P N, ottamalla arvot joukosta (0, 1).

Propositiologiikan kaava F (P 1 , P 2 ,..., P N) kutsutaan tautologiaksi tai yhtä totta jos sen arvo jollekin arvolle P 1 , P 2 ,..., P N on 1 (tosi). Kutsutaan kaavoja, joiden arvo on tosi vähintään yhdelle muuttujaluetteloiden joukolle toteutettavissa . Kutsutaan kaavoja, jotka ottavat arvon "false" mille tahansa muuttujan arvolle ristiriitoja (aivan väärä, mahdoton).

Kirjailija: Guts A.K.
Kustantaja: O.: Heritage
Julkaisuvuosi: 2003
Sivut: 108
ISBN 5-8239-0126-7
Lukea:
Ladata: matematicheskayalogika2003.djvu

OMSKIN VALTION YLIOPISTO TIETOTEKNIIKAN LAITOS
KYBERNETIIKKA
A.K. Rohkeutta
Matemaattinen logiikka ja algoritmien teoria
Omsk 2003
VVK 60 UDC 53:630.11
Guts A.K. Matemaattinen logiikka ja algoritmien teoria: Oppikirja. -
Omsk: Heritage Publishing. Dialog-Siperia, 2003. - 108 s.
ISBN 5-8239-0126-7
Oppikirja on omistettu matemaattisen logiikan ja teorian perusteiden esittelylle
algoritmeja. Käsikirjan pohjana ovat luettujen luentojen tiivistelmät
Omskin tietojenkäsittelytieteen osaston toisen vuoden opiskelijat
State University vuonna 2002.
Erikoisalalla opiskeleville opiskelijoille 075200 - "Tietokone
turvallisuus" ja erikoisala 220100 - "Tietokoneet,
komplekseja, järjestelmiä ja verkkoja".
ISBN 5-8239-0126-7
(c) Omskin osavaltion yliopisto, 2003
Sisällysluettelo
I Logiikka 7
1 Klassinen logiikka 8
1.1. Lausuntojen logiikka........................................ 8
1.1.1. Sanoja.................................. 8
1.1.2. Logiikan peruslait .................................. 9
1.1.3. Russellin looginen paradoksi ............... 10
1.1.4. Lausekkeiden algebra (logiikka) ............ 11
1.1.5. Tikaskaaviot .................................. 12
1.1.6. Vastaavat kaavat ...................... 14
1.1.7. Bool-algebra........................ 15
1.1.8. Oikeat ja pätevät kaavat ...................... 15
1.1.9. Ratkaisevuuden ongelma ................... 15
1.1.10. Looginen seuraus.............................. 16
1.1.11. Syllogismit........................................ 17
1.2. Predikaattilogiikka.................................. 17
1.2.1. Predikaatit ja kaavat ............... 18
1.2.2. Tulkinnat .............................. 19
1.2.3. Kaavojen totuus ja tyydyttävyys. mallit,
pätevyys, looginen seuraus........ 20
1.2.4. Gottlob Frege........................ 21
1.2.5. Skolem-toiminnot
ja kaavojen skolemointi.................................. 22
1.3. Ratkaisumenetelmä................................................ 25
1.3.1. Resoluutiomenetelmä logiikassa
lausunnot.................................. 25
1.3.2. Resoluutiomenetelmä logiikassa
predikaatit.................................. 29
3
4
Sisällysluettelo
2 Muodolliset teoriat (laskenta) 31
2.1. Formaali teorian tai laskennan määritelmä. . 32
2.1.1. Todiste. Teorian johdonmukaisuus.
Teorian täydellisyys.............................. 32
2.2. Propositiolaskenta.......................... 33
2.2.1. Kieli ja säännöt lauselaskennan päättelyyn
............................................. 33
2.2.2. Esimerkki lauseen todistuksesta........................ 35
2.2.3. Täydellisyys ja johdonmukaisuus
lauselaskenta ........................... 36
2.3. Predikaattilasku................................... 37
2.3.1. Predikaattilaskennan kieli ja päättelysäännöt 37
2.3.2. Täydellisyys ja johdonmukaisuus
predikaattilaskenta................................................................................
2.4. Muodollinen aritmetiikka .............................. 39
2.4.1. Egalitaristiset teoriat................................................................
2.4.2. Kieli ja säännöt muodollisen aritmeettisen johtamiseen
.............................................. 39
2.4.3. Muodollisen johdonmukaisuus
aritmeettinen. Gentzenin lause........................ 40
2.4.4. Gödelin epätäydellisyyslause................................................ 41
2.4.5. Kurt Gödel........................ 42
2.5. Automaattinen lauseen johtaminen .................................. 43
2.5.1. S.Yu. Maslov.................................. 43
2.6. Looginen ohjelmointi........................ 45
2.6.1. Logiikkaohjelma ........................... 46
2.6.2. Loogiset ohjelmointikielet.... 49
3 Ei-klassinen logiikka 50
3.1. Intuitionistinen logiikka........................ 50
3.2. Sumea logiikka .................................. 51
3.2.1. Sumeat osajoukot ............................... 51
3.2.2. Toiminnot fuzzylla
osajoukot.................................. 52
3.2.3. Fuzzy-joukon ominaisuudet
osajoukot.................................. 53
3.2.4. Sumea lauselogiikka........................ 54
3.2.5. Sumeat tikapuukaaviot ........... 56
3.3. Modaalilogiikka...................................56
3.3.1. Modaalisuuden tyypit .................................. 57
Sisällysluettelo
5
3.3.2. Calculus 1 and T (Feis-von Wright) ........ 57
3.3.3. Calculus S4, S5
ja Brouwerin laskenta................................................. 58
3.3.4. Kaavan arvostus .................................. 59
3.3.5. Kripken semantiikka ............................... 60
3.3.6. Muut tulkinnat modaaleista
merkit................................................ 62
3.4. Georg von Wright ................................... 62
3.5. Väliaikainen logiikka ............................... 62
3.5.1. Pryorin ajoituslogiikka................................... 63
3.5.2. Lemmonin ajoituslogiikka................... 64
3.5.3. Von Wrightin ajallinen logiikka........................ 64
3.5.4. Ajoituslogiikan soveltaminen
ohjelmointiin................................ 65
3.5.5. Pnueli Temporal Logic .................................. 67
3.6. Algoritminen logiikka........................ 70
3.6.1. Rakentamisen periaatteet
1 >

Kirjat. Lataa DJVU-kirjoja, PDF ilmaiseksi. Ilmainen sähköinen kirjasto
A.K. Guts, matemaattinen logiikka ja algoritmien teoria

Voit (ohjelma merkitsee sen keltaisella)
Voit nähdä luettelon korkeamman matematiikan kirjoista aakkosjärjestyksessä.
Voit nähdä luettelon korkeamman fysiikan kirjoista aakkosjärjestyksessä.

• Ilmainen kirjan lataus, volyymi 556 kt, .djvu-muoto (nykyaikainen oppikirja)

Naiset ja herrat!! Jos haluat ladata sähköisten julkaisujen tiedostot ilman "häiriöitä", napsauta tiedoston alleviivattua linkkiä hiiren OIKEA painike, valitse komento "Tallenna kohde nimellä ..." ("Tallenna kohde nimellä...") ja tallenna e-pub-tiedosto paikalliselle tietokoneellesi. Sähköiset julkaisut ovat tyypillisesti Adobe PDF- ja DJVU-muodoissa.

I. Logiikka
1. Klassinen logiikka
1.1. propositionaalinen logiikka
1.1.1. sanontoja
1.1.2. Logiikan peruslait
1.1.3. Russellin looginen paradoksi
1.1.4. Lausuntojen algebra (logiikka).
1.1.5. Tikaskaaviot
1.1.6. Vastaavat kaavat
1.1.7. Bool-algebra
1.1.8. Todelliset ja pätevät kaavat
1.1.9. Päättävyysongelma
1.1.10. looginen seuraus
1.1.11. Syllogismit
1.2. Predikaattilogiikka
1.2.1. Predikaatit ja kaavat
1.2.2. Tulkinnat
1.2.3. Kaavojen totuus ja tyydyttävyys. Mallit, kelpoisuus, looginen seuraus
1.2.4. Gottlob Frege
1.2.5. Skolem-toiminnot
ja kaavojen skolemointi
1.3. Resoluutiomenetelmä
1.3.1. Resoluutiomenetelmä lauselogiikassa
1.3.2. Resoluutiomenetelmä predikaattilogiikassa

2. Muodolliset teoriat (laskenta)
2.1. Formaali teorian tai laskennan määritelmä
2.1.1. Todiste. Teorian johdonmukaisuus. Teorian täydellisyys
2.2. propositiolaskenta
2.2.1. Kieli ja säännöt lauselaskennan päättelyyn
2.2.2. Lauseen todisteesimerkki
2.2.3. Lauselaskennan täydellisyys ja johdonmukaisuus
2.3. Predikaattilaskenta
2.3.1. Predikaattilaskennan kieli ja päättelysäännöt
2.3.2. Predikaattilaskennan täydellisyys ja johdonmukaisuus
2.4. Muodollinen aritmetiikka
2.4.1. Egalitaristiset teoriat
2.4.2. Kieli ja säännöt muodollisen aritmeettisen johtamiseen
2.4.3. Formaalisen aritmeettisen johdonmukaisuus. Gentzenin lause
2.4.4. Godelin epätäydellisyyslause
2.4.5. Kurt Gödel
2.5. Automaattinen lauseen johtaminen
2.5.1. S.Yu. Maslov
2.6. Logiikka ohjelmointi
2.6.1. logiikka ohjelma
2.6.2. Loogiset ohjelmointikielet

3. Ei-klassinen logiikka
3.1. intuitionistinen logiikka
3.2. sumea logiikka
3.2.1. Sumeat osajoukot
3.2.2. Sumeiden osajoukkojen operaatiot
3.2.3. Sumeiden osajoukkojen joukon ominaisuudet
3.2.4. Sumea lauselogiikka
3.2.5. Sumeat tikapuukaaviot
3.3. Modaalinen logiikka
3.3.1. Modaliteettityypit
3.3.2. Calculus 1 and T (Feis-von Wright)
3.3.3. Calculus S4, S5 ja Wrouer Calculus
3.3.4. Kaavan arvostus
3.3.5. Kripken semantiikka
3.3.6. Muut tulkinnat modaalisista merkeistä
3.4. Georg von Wright
3.5. Temporaalinen logiikka
3.5.1. Pryorin ajoituslogiikka
3.5.2. Lemmonin ajallinen logiikka
3.5.3. Von Wrightin ajallinen logiikka
3.5.4. Ajoituslogiikan soveltaminen ohjelmointiin
3.5.5. Pnueli Temporal Logic
3.6. Algoritminen logiikka
3.6.1. Algoritmisen logiikan rakentamisen periaatteet
3.6.2. Charles Hoare
3.6.3. Hoaren algoritminen logiikka

II. Algoritmit
4. Algoritmit
4.1. Algoritmin ja laskettavan funktion käsite
4.2. Rekursiiviset funktiot
4.2.1. Primitiiviset rekursiiviset funktiot
4.2.2. Osittain rekursiiviset funktiot
4.2.3. Kirkon opinnäytetyö
4.3. Turing-postin kone
4.3.1. Funktiolaskutoimitukset Turing-Post-koneella
4.3.2. Laskuesimerkkejä
4.3.3. Turingin opinnäytetyö
4.3.4. Universaali Turing-postikone
4.4 Alan Turing
4.5 Emil Post
4.6. Tehokkaat algoritmit
4.7. Algoritmisesti ratkaisemattomia ongelmia

5. Algoritmien monimutkaisuus
5.1. Algoritmien monimutkaisuuden käsite
5.2. Ongelmaluokat Р ja NP
5.2.1. Ongelmaluokka Р
5.2.2. Ongelmaluokka NP
5.2.3. Epädeterministinen Turingin kone
5.3. Tietoa monimutkaisuuden käsitteestä
5.3.1. Kolme vaikeustasoa
5.3.2. Neljä lukuluokkaa Kolmogorovin mukaan
5.3.3. Kolmogorovin väitöskirja
5.4. A.N. Kolmogorov

6. Todellisuuden algoritmit
6.1. Virtuaalitodellisuuden generaattori
6.2. Turingin periaate
6.3. Loogisesti mahdolliset Kantgotu-ympäristöt

Lyhyt tiivistelmä kirjasta

Oppikirja on omistettu matemaattisen logiikan perusteiden ja algoritmien teorian esittelyyn. Oppikirja perustuu Omskin osavaltion yliopiston tietojenkäsittelytieteen osaston toisen vuoden opiskelijoille vuonna 2002 pidettyihin luentomuistiinpanoihin. Opiskelijoille, jotka opiskelevat erikoisalalla "Tietokoneturvallisuus" ja erikoisalalla "Tietokoneet, kompleksit, järjestelmät ja verkot".

Mikä on logiikan tiede. Tämä on teoria, joka opettaa päättelemään oikein, tekemään johtopäätöksiä ja päätelmiä oikein, mikä johtaa oikeisiin (oikeisiin) lausuntoihin. Siksi logiikan tieteenä tulee sisältää luettelo säännöistä oikeiden väitteiden saamiseksi. Tällaista sääntöjoukkoa, päätelmiä kutsutaan syllogismien luetteloksi. Lausunto on lausunto tutkittavista objekteista, jolla on yksiselitteinen ja tarkasti määritelty merkitys. Venäjän kielessä lausuma on deklaratiivinen lause, josta rukoillaan sanottavan, että se kertoo jotain totta tai jotain täysin väärää. Siksi väite voi olla joko tosi tai epätosi.

Kirjat, lataa kirjoja, lataa kirja, kirjat verkossa, lue verkossa, lataa kirjoja ilmaiseksi, lue kirjoja, lue kirjoja verkossa, lue, kirjasto verkossa, lue kirjat, lue verkossa ilmaiseksi, lue kirjoja ilmaiseksi, e-kirja, lue kirjoja verkossa, parhaat kirjat matematiikka ja fysiikka, mielenkiintoisia kirjoja matematiikka ja fysiikka, e-kirjat, kirjat ilmaiseksi, kirjat ilmaiseksi ladattavat, ilmaiseksi ladattavat kirjat matematiikka ja fysiikka, lataa kirjoja ilmaiseksi kokonaan, online-kirjasto, lataa kirjat ilmaiseksi, lue kirjoja verkossa ilmaiseksi ilman rekisteröintiä matematiikka ja fysiikka, lue kirjoja verkossa ilmaiseksi matematiikkaa ja fysiikkaa, elektronista kirjastoa matematiikkaa ja fysiikkaa, kirjoja online-matematiikkaa ja fysiikkaa varten, kirjojen maailma, matematiikka ja fysiikka, lue matematiikkaa ja fysiikkaa ilmaiseksi, kirjaston matematiikka ja fysiikka, kirjojen lukeminen matematiikka ja fysiikka, kirjat verkossa ilmaiseksi matematiikka ja fysiikka, suosittuja kirjoja matematiikka ja fysiikka, kirjasto ilmaisia ​​kirjoja matematiikka ja fysiikka, lataa sähkö matematiikan ja fysiikan kirja, ilmainen online-matematiikan ja fysiikan kirjasto, lataa e-kirjoja, online-matematiikan ja fysiikan oppikirjoja, matematiikan ja fysiikan e-kirjakirjasto, e-kirjoja ilmaiseksi ilman rekisteröintiä matematiikka ja fysiikka, hyvät matematiikan ja fysiikan kirjat, lataa koko matematiikan kirjoja ja fysiikka, elektroninen kirjasto luettavissa ilmaiseksi matematiikassa ja fysiikassa, elektroninen kirjasto ilmaiseksi ladattava matematiikka ja fysiikka, sivustot matematiikan ja fysiikan kirjojen latausta varten, älykkäitä matematiikan ja fysiikan kirjoja, etsiä matematiikan ja fysiikan kirjoja, ladata e-kirjoja ilmaisia ​​matematiikkaa ja fysiikka, e-kirjojen lataus matematiikassa ja fysiikassa, parhaat matematiikan ja fysiikan kirjat, elektroninen kirjasto ilmaista matematiikkaa ja fysiikkaa varten, lue online-ilmaisia ​​matematiikan ja fysiikan kirjoja, sivusto matematiikan ja fysiikan kirjoille, elektroninen kirjasto, online-kirjoja luettavaksi , kirja elektronisesta matematiikasta ja fysiikasta, sivusto kirjojen lataamiseen ilmaiseksi ja ilman rekisteröitymistä , ilmainen matematiikan ja fysiikan online-kirjasto, josta voit ladata matematiikan ja fysiikan kirjoja ilmaiseksi, lukea kirjoja ilmaiseksi ja ilman rekisteröitymistä matematiikasta ja fysiikasta, ladata matematiikan ja fysiikan oppikirjoja, ladata ilmaisia ​​matematiikan ja fysiikan e-kirjoja, lataa ilmaisia ​​kirjoja kokonaan, kirjasto verkossa ilmaiseksi, parhaat e-kirjat matematiikka ja fysiikka, online-kirjasto matematiikan ja fysiikan kirjoja, lataa e-kirjoja ilmaiseksi ilman rekisteröintiä, lataa online-kirjasto ilmaiseksi, mistä ladata ilmaisia ​​kirjoja, e- kirjastot ilmaiseksi, e-kirjat ilmaiseksi, ilmaiset e-kirjastot, online-kirjasto ilmaiseksi, lue kirjoja ilmaiseksi, kirjat verkossa ilmaiseksi luettavaksi, lue ilmaiseksi verkossa, mielenkiintoisia kirjoja online-lukemiseen matematiikka ja fysiikka, kirjojen lukeminen verkossa matematiikka ja fysiikka, sähköinen kirjasto verkossa matematiikka ja fysiikka, ilmainen kirjasto elektronisia kirjoja matematiikka ja fysiikka, kirjasto verkossa lukea, lukea ilmaiseksi ja ilman rekisteröitymistä ja matematiikka ja fysiikka, löydä matematiikan ja fysiikan kirja, matematiikan ja fysiikan kirjojen luettelo, lataa kirjoja verkosta ilmaiseksi matematiikan ja fysiikan kirjoja, matematiikan ja fysiikan online-kirjasto, lataa ilmaisia ​​kirjoja ilman rekisteröintiä matematiikka ja fysiikka, josta voit ladata ilmaisia ​​matematiikan ja fysiikan kirjoja, joista voit ladata kirjoja, sivustoja kirjojen lataamiseen ilmaiseksi, verkossa luettavaksi, kirjasto luettavaksi, kirjoja luettavaksi verkossa ilmaiseksi ilman rekisteröintiä, kirjakirjasto, ilmainen kirjasto verkossa, online-kirjasto lukea ilmaiseksi , kirjoja luettavaksi ilmaiseksi ja ilman rekisteröitymistä, sähköinen kirjasto kirjojen lataamiseen ilmaiseksi, verkossa lukemiseen ilmaiseksi.

,
Vuodesta 2017 lähtien olemme jatkaneet matkapuhelimien verkkosivuston mobiiliversiota (lyhennetty tekstisuunnittelu, WAP-tekniikka) - yläpainike verkkosivun vasemmassa yläkulmassa. Jos sinulla ei ole pääsyä Internetiin henkilökohtaisen tietokoneen tai internet-päätteen kautta, voit vierailla verkkosivuillamme matkapuhelimellasi (lyhennetty malli) ja tarvittaessa tallentaa tietoja verkkosivustolta matkapuhelimesi muistiin. Tallenna kirjoja ja artikkeleita matkapuhelimeesi (mobiili-internet) ja lataa ne puhelimestasi tietokoneellesi. Kirjojen lataaminen kätevästi matkapuhelimen kautta (puhelimen muistiin) ja tietokoneellesi mobiililiitännän kautta. Nopea Internet ilman tarpeettomia tunnisteita, ilmaiseksi (Internet-palveluiden hintaan) ja ilman salasanoja. Materiaali toimitetaan tarkastettavaksi. Suorat linkit verkkosivustolla oleviin kirjojen ja artikkelien tiedostoihin ja niiden myynti kolmansilta osapuolilta on kielletty.

Huomautus. Kätevä tekstilinkki foorumeille, blogeille, sivuston materiaalien lainaamiseen, html-koodi voidaan kopioida ja liittää verkkosivuillesi, kun lainaat verkkosivustomme materiaaleja. Materiaali toimitetaan tarkastettavaksi. Tallenna myös kirjat matkapuhelimeesi Internetin kautta (sivustosta on mobiiliversio - linkki on sivun vasemmassa yläkulmassa) ja lataa ne puhelimestasi tietokoneellesi. Suorat linkit kirjatiedostoihin ovat kiellettyjä.