Vektorien lineaarinen riippuvuus ja lineaarinen riippumattomuus. Vektoripohjalta

Anna olla L- mielivaltainen lineaarinen avaruus, a i Î L ovat sen elementtejä (vektorit).

Määritelmä 3.3.1. Ilmaisu , missä , - mielivaltaiset reaaliluvut, joita kutsutaan lineaariseksi yhdistelmäksi vektorit a 1, a 2,…, a n.

Jos vektori R = , sitten he sanovat niin R jaettu vektoreiksi a 1, a 2,…, a n.

Määritelmä 3.3.2. Lineaarista vektorien yhdistelmää kutsutaan ei-triviaali, jos lukujen joukossa on vähintään yksi muu kuin nolla. Muuten lineaarista yhdistelmää kutsutaan triviaali.

Määritelmä 3.3.3 . Vektorit a 1 , a 2 ,…, a n kutsutaan lineaarisesti riippuviksi, jos niistä on olemassa ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä sellainen, että

= 0 .

Määritelmä 3.3.4. Vektorit a 1 ,a 2 ,…, a n kutsutaan lineaarisesti riippumattomiksi, jos yhtäläisyys = 0 mahdollista vain, jos kaikki numerot l 1, l 2,…, l n ovat samanaikaisesti nolla.

Huomaa, että mitä tahansa nollasta poikkeavaa elementtiä a 1 voidaan pitää lineaarisesti riippumattomana järjestelmänä, koska yhtälö l a 1 = 0 mahdollista vain ehdolla l= 0.

Lause 3.3.1. Lineaarisen riippuvuuden välttämätön ja riittävä ehto a 1 , a 2 ,…, a n on mahdollisuus hajottaa ainakin yksi näistä elementeistä muiksi.

Todiste. Tarve. Olkoon elementit a 1 , a 2 ,…, a n lineaarisesti riippuvainen. Se tarkoittaa sitä = 0 , ja ainakin yksi numeroista l 1, l 2,…, l n eroaa nollasta. Antaa varmuuden vuoksi l 1 ¹ 0. Sitten

eli elementti a 1 jaetaan elementeiksi a 2 , a 3 , …, a n.

Riittävyys. Jaetaan elementti a 1 elementeiksi a 2 , a 3 , …, a n, eli a 1 = . Sitten = 0 , siksi on olemassa ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä vektoreista a 1 , a 2 ,…, a n yhtä kuin 0 , joten ne ovat lineaarisesti riippuvaisia .

Lause 3.3.2. Jos ainakin yksi alkioista a 1 , a 2 ,…, a n nolla, niin nämä vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Todiste . Anna olla a n= 0 , sitten = 0 , mikä tarkoittaa ilmoitettujen elementtien lineaarista riippuvuutta.

Lause 3.3.3. Jos n vektorin joukossa on jokin p (s< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Todiste. Olkoon alkiot a 1 , a 2 ,…, a p lineaarisesti riippuvainen. Tämä tarkoittaa, että on olemassa ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä = 0 . Ilmoitettu yhtäläisyys säilyy, jos lisäämme elementin molempiin osiin. Sitten + = 0 , kun taas ainakin yksi numeroista l 1, l 2,…, lp eroaa nollasta. Siksi vektorit a 1 , a 2 ,…, a n ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Seuraus 3.3.1. Jos n alkiota on lineaarisesti riippumattomia, niin mikä tahansa k niistä on lineaarisesti riippumaton (k< n).

Lause 3.3.4. Jos vektorit a 1, a 2,…, a n- 1 ovat lineaarisesti riippumattomia, ja elementit a 1, a 2,…, a n- 1, a n ovat lineaarisesti riippuvaisia, sitten vektori a n voidaan hajottaa vektoreiksi a 1, a 2,…, a n- 1 .

Todiste. Koska ehdolla a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n ovat lineaarisesti riippuvaisia, silloin on olemassa ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä = 0 , ja (muuten vektorit a 1 , a 2 ,…, a n- yksi). Mutta sitten vektori

,

Q.E.D.

Vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippuvainen, jos on sellaisia ​​lukuja , joista ainakin yksi on eri kuin nolla, että yhtälö https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Jos tämä yhtäläisyys pätee vain, jos kaikki , niin vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumaton.

Lause. Vektorijärjestelmä tulee lineaarisesti riippuvainen jos ja vain jos ainakin yksi sen vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

Esimerkki 1 Polynomi on lineaarinen yhdistelmä polynomia https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polynomit muodostavat lineaarisesti riippumattoman järjestelmän, koska https-polynomi: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Esimerkki 2 Matriisijärjestelmä , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> on lineaarisesti riippumaton, koska lineaarinen yhdistelmä on yhtä suuri kuin nollamatriisi vain, kun https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineaarisesti riippuvainen.

Päätös.

Luo lineaarinen yhdistelmä näistä vektoreista https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Yhtälöimällä yhtäläisten vektorien samannimiset koordinaatit, saamme https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Lopulta saamme

ja

Järjestelmässä on ainutlaatuinen triviaaliratkaisu, joten näiden vektorien lineaarinen yhdistelmä on nolla vain, jos kaikki kertoimet ovat nollia. Siksi tämä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton.

Esimerkki 4 Vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Mitkä ovat vektorijärjestelmät

a).;

b).?

Päätös.

a). Muodosta lineaarinen yhdistelmä ja vertaa se nollaan

Käyttämällä vektoreilla suoritettavien operaatioiden ominaisuuksia lineaarisessa avaruudessa, kirjoitetaan viimeinen yhtälö uudelleen muotoon

Koska vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, kertoimien for on oltava nolla, eli.gif" width="12" height="23 src=">

Tuloksena olevalla yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen triviaali ratkaisu .

Tasa-arvosta lähtien (*) suoritetaan vain osoitteessa https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineaarisesti riippumaton;

b). Laadi tasa-arvo https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Samanlaista päättelyä soveltamalla saamme

Ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä saamme

tai

Viimeisessä järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Siten on olemassa ei- nolla joukko kertoimia, joille yhtäläisyys (**) . Siksi vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

Esimerkki 5 Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton ja vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Tasa-arvossa (***) . Itse asiassa , järjestelmä olisi lineaarisesti riippuvainen.

Suhteesta (***) saamme tai Merkitse .

Saada

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun (luokkahuoneessa)

1. Nollavektorin sisältävä järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

2. Yksivektorijärjestelmä a, on lineaarisesti riippuvainen, jos ja vain jos a = 0.

3. Kahdesta vektorista koostuva järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos vektorit ovat verrannollisia (toisin sanoen toinen niistä saadaan toisesta kertomalla luvulla).

4. Jos vektori lisätään lineaarisesti riippuvaiseen järjestelmään, saadaan lineaarisesti riippuvainen järjestelmä.

5. Jos vektori poistetaan lineaarisesti riippumattomasta järjestelmästä, niin tuloksena oleva vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton.

6. Jos järjestelmä S lineaarisesti riippumaton, mutta muuttuu lineaarisesti riippuvaiseksi, kun vektori lisätään b, sitten vektori b ilmaistaan ​​lineaarisesti järjestelmän vektoreilla S.

c). Matriisijärjestelmä , , toisen kertaluvun matriisien avaruudessa.

10. Olkoon vektorijärjestelmä a,b,c vektoriavaruus on lineaarisesti riippumaton. Todista seuraavien vektorijärjestelmien lineaarinen riippumattomuus:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– mielivaltainen numero

c).a+b, a+c, b+c.

11. Anna olla a,b,c ovat kolme tasossa olevaa vektoria, joita voidaan käyttää kolmion muodostamiseen. Ovatko nämä vektorit lineaarisesti riippuvaisia?

12. Annettu kaksi vektoria a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Poimi kaksi muuta 4D-vektoria a3 jaa4 niin että järjestelmä a1,a2,a3,a4 oli lineaarisesti riippumaton .

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Päätös. Etsimme yleistä ratkaisua yhtälöjärjestelmälle

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussin menetelmä. Tätä varten kirjoitamme tämän homogeenisen järjestelmän koordinaatteina:

Järjestelmämatriisi

Sallittu järjestelmä näyttää tältä: (r A = 2, n= 3). Järjestelmä on johdonmukainen ja määrittelemätön. Sen yleinen ratkaisu ( x 2 - vapaa muuttuja): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Nollasta poikkeavan yksityisen ratkaisun läsnäolo, esimerkiksi , osoittaa, että vektorit a 1 , a 2 , a 3 lineaarisesti riippuvainen.

Esimerkki 2

Selvitä, onko annettu vektorijärjestelmä lineaarisesti riippuvainen vai lineaarisesti riippumaton:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Päätös. Tarkastellaan homogeenista yhtälöjärjestelmää a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

tai laajennettu (koordinaateilla)

Järjestelmä on homogeeninen. Jos se ei ole rappeutunut, sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Homogeenisen järjestelmän tapauksessa nolla (triviaali) ratkaisu. Siten tässä tapauksessa vektorijärjestelmä on riippumaton. Jos järjestelmä on rappeutunut, siinä on nollasta poikkeavat ratkaisut ja siksi se on riippuvainen.

Tarkista järjestelmän rappeutuminen:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Järjestelmä on ei-degeneroitunut ja siksi vektorit a 1 , a 2 , a 3 ovat lineaarisesti riippumattomia.

Tehtävät. Selvitä, onko annettu vektorijärjestelmä lineaarisesti riippuvainen vai lineaarisesti riippumaton:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Osoita, että vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, jos se sisältää:

a) kaksi yhtä suurta vektoria;

b) kaksi verrannollista vektoria.

Vektorien lineaarinen riippuvuus ja lineaarinen riippumattomuus.
Vektorien perusta. Affine koordinaattijärjestelmä

Yleisössä on suklaakärry, ja tänään jokainen vierailija saa suloisen parin - analyyttisen geometrian lineaarialgebralla. Tämä artikkeli käsittelee kahta korkeamman matematiikan osaa kerralla, ja näemme kuinka ne tulevat toimeen yhdessä kääreessä. Pidä tauko, syö Twixiä! ... helvetti, no, riitely hölynpölyä. Vaikka okei, en tee pisteitä, loppujen lopuksi opiskeluun pitäisi olla positiivinen asenne.

Vektorien lineaarinen riippuvuus, vektorien lineaarinen riippumattomuus, vektoripohjalta ja muilla termeillä ei ole vain geometrinen tulkinta, vaan ennen kaikkea algebrallinen merkitys. Itse "vektorin" käsite lineaarisen algebran näkökulmasta ei aina ole "tavallinen" vektori, jonka voimme kuvata tasossa tai avaruudessa. Sinun ei tarvitse etsiä todisteita kaukaa, kokeile piirtää viisiulotteisen avaruuden vektori . Tai säävektori, jota varten juuri menin Gismeteoon: - lämpötila ja ilmanpaine, vastaavasti. Esimerkki on tietysti virheellinen vektoriavaruuden ominaisuuksien kannalta, mutta kukaan ei kuitenkaan kiellä näiden parametrien formalisoimista vektoriksi. Syksyn henkeä...

Ei, en aio kyllästää sinua teorialla, lineaarisilla vektoriavaruuksilla, tehtävänä on ymmärtää määritelmät ja lauseet. Uudet termit (lineaarinen riippuvuus, riippumattomuus, lineaarinen yhdistelmä, kanta jne.) soveltuvat kaikkiin vektoreihin algebrallisesta näkökulmasta, mutta esimerkit annetaan geometrisesti. Näin ollen kaikki on yksinkertaista, saavutettavaa ja visuaalista. Analyyttisen geometrian ongelmien lisäksi tarkastellaan myös joitain tyypillisiä algebran tehtäviä. Materiaalin hallitsemiseksi on suositeltavaa tutustua oppitunteihin Vektorit tutille ja Kuinka determinantti lasketaan?

Tasovektorien lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus.
Tasokanta ja affiininen koordinaattijärjestelmä

Harkitse tietokonepöytäsi tasoa (vain pöytä, yöpöytä, lattia, katto, mikä tahansa). Tehtävä koostuu seuraavista toimista:

1) Valitse tasopohja. Karkeasti sanottuna pöytälevyllä on pituus ja leveys, joten on intuitiivisesti selvää, että perustan rakentamiseen tarvitaan kaksi vektoria. Yksi vektori ei selvästikään riitä, kolme vektoria on liikaa.

2) Valitun perusteen perusteella aseta koordinaattijärjestelmä(koordinaattiruudukko) määrittääksesi koordinaatit kaikille taulukon kohteille.

Älä ihmettele, aluksi selitykset ovat sormilla. Lisäksi sinun. Ole hyvä ja aseta vasemman käden etusormi pöydän reunalla niin, että hän katsoo näyttöä. Tästä tulee vektori. Nyt paikka oikean käden pikkusormi pöydän reunalla samalla tavalla - niin, että se on suunnattu näyttöruutuun. Tästä tulee vektori. Hymyile, näytät upealta! Mitä vektoreista voidaan sanoa? Datavektorit kollineaarinen, joka tarkoittaa lineaarisesti ilmaistaan ​​toistensa kautta:
, no tai päinvastoin: , jossa on nollasta poikkeava luku.

Näet kuvan tästä toiminnasta oppitunnilla. Vektorit tutille, jossa selitin säännön vektorin kertomisesta luvulla.

Asettavatko sormesi perustan tietokonepöydän tasolle? Ilmiselvästi ei. Kollineaariset vektorit kulkevat edestakaisin sisään yksin suuntaan, kun taas tasolla on pituus ja leveys.

Tällaisia ​​vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippuvainen.

Viite: Sanat "lineaarinen", "lineaarinen" tarkoittavat sitä, että matemaattisissa yhtälöissä, lausekkeissa ei ole neliöitä, kuutioita, muita potenssia, logaritmeja, sinejä jne. On vain lineaarisia (1. asteen) lausekkeita ja riippuvuuksia.

Kaksi tasovektoria lineaarisesti riippuvainen jos ja vain jos ne ovat kollineaarisia.

Aseta sormesi ristiin pöydällä niin, että niiden välillä on mikä tahansa kulma paitsi 0 tai 180 astetta. Kaksi tasovektorialineaarisesti ei ovat riippuvaisia, jos ja vain jos ne eivät ole kollineaarisia. Eli perusteet on saatu. Ei tarvitse hävetä, että kanta osoittautui "viistoksi" eripituisilla ei-suorassa olevilla vektoreilla. Hyvin pian näemme, että sen rakentamiseen ei sovellu vain 90 asteen kulma, eikä vain samanpituiset yksikkövektorit

Minkä tahansa tasovektori ainoa tapa laajennettu perustan suhteen:
, missä ovat reaaliluvut. Numeroita kutsutaan vektorin koordinaatit tällä perusteella.

He myös sanovat sen vektoriesitetään muodossa lineaarinen yhdistelmä kantavektorit. Eli ilmaisua kutsutaan vektorin hajoaminenperusta tai lineaarinen yhdistelmä kantavektorit.

Voit esimerkiksi sanoa, että vektori on laajennettu tason ortonormaaliin kantaan, tai voit sanoa, että se esitetään vektoreiden lineaariyhdistelmänä.

Muotoillaan perustan määritelmä muodollisesti: tasopohjalta on pari lineaarisesti riippumattomia (epäkollineaarisia) vektoreita, , jossa minkä tahansa tasovektori on kantavektoreiden lineaarinen yhdistelmä.

Määritelmän olennainen kohta on se tosiasia, että vektorit otetaan tietyssä järjestyksessä. pohjat Nämä ovat kaksi täysin erilaista pohjaa! Kuten sanotaan, vasemman käden pikkusormea ​​ei voi siirtää oikean käden pikkusormen paikalle.

Selvitimme perusteen, mutta se ei riitä, että asetat koordinaattiruudukon ja määrität koordinaatit jokaiselle tietokoneesi pöydän kohteelle. Miksi ei tarpeeksi? Vektorit ovat vapaita ja kulkevat koko tason yli. Joten kuinka voit määrittää koordinaatit niille pienille likaisille pöytäpisteille, jotka ovat jääneet jäljelle hurjasta viikonlopusta? Lähtökohta tarvitaan. Ja tällainen vertailupiste on kaikille tuttu piste - koordinaattien alkuperä. Koordinaattijärjestelmän ymmärtäminen:

Aloitan "koulujärjestelmästä". Jo johdantotunnilla Vektorit tutille Korostin joitain eroja suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän ja ortonormaalisen perustan välillä. Tässä on vakiokuva:

Kun puhutaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, niin useimmiten ne tarkoittavat origoa, koordinaattiakseleita ja mittakaavaa akseleita pitkin. Kokeile kirjoittaa hakukoneeseen "suorakulmainen koordinaattijärjestelmä", niin huomaat, että monet lähteet kertovat sinulle 5.-6. luokalta tutuista koordinaattiakseleista ja pisteiden piirtämisestä tasoon.

Toisaalta saa sellaisen vaikutelman, että suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä voidaan määritellä hyvin ortonormaalisen perustan suhteen. Ja se melkein on. Sanamuoto menee näin:

alkuperä, ja ortonormaali perusjoukko Tason suorakulmainen koordinaattijärjestelmä . Eli suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä ehdottomasti määritellään yhdellä pisteellä ja kahdella ortogonaalista yksikkövektoria. Siksi näet yllä esittämäni piirustuksen - geometrisissa tehtävissä sekä vektorit että koordinaattiakselit piirretään usein (mutta ei aina).

Luulen, että kaikki ymmärtävät sen pisteen (alkuperän) ja ortonormaalin perustan avulla MIKKI koneen pisteet ja MIKKI koneen VEKTORIT koordinaatit voidaan määrittää. Kuvaannollisesti "kaikki koneessa voidaan numeroida".

Pitääkö koordinaattivektorien olla yksikköä? Ei, niillä voi olla mielivaltainen nollasta poikkeava pituus. Tarkastellaan pistettä ja kahta ortogonaalista vektoria, joiden pituus on mielivaltainen nollasta poikkeava:

Tällaista perustaa kutsutaan ortogonaalinen. Koordinaattien origo vektoreilla määrittelee koordinaattiruudukon, ja millä tahansa tason pisteellä, millä tahansa vektorilla on omat koordinaatit annetussa perustassa. Esimerkiksi tai. Ilmeinen haitta on, että koordinaattivektorit yleisesti niillä on eri pituudet kuin yhtenäisyys. Jos pituudet ovat yhtä suuret kuin yksi, saadaan tavallinen ortonormaalikanta.

! Huomautus : ortogonaalisessa pohjassa sekä alla tason ja avaruuden affiineissa kannaissa otetaan huomioon yksiköt akseleita pitkin EHDOLLINEN. Esimerkiksi yksi yksikkö abskissaa pitkin sisältää 4 cm, yksi ordinaatin yksikkö sisältää 2 cm Tämä tieto riittää muuttamaan "epästandardit" koordinaatit "tavallisiksi senttimetreiksimme" tarvittaessa.

Ja toinen kysymys, johon itse asiassa on jo vastattu - onko kantavektoreiden välinen kulma välttämättä 90 astetta? Ei! Kuten määritelmä sanoo, kantavektoreiden on oltava vain ei-kollineaarinen. Vastaavasti kulma voi olla mikä tahansa paitsi 0 ja 180 astetta.

Piste koneessa nimeltä alkuperä, ja ei-kollineaarinen vektorit, , aseta tason affiininen koordinaattijärjestelmä :

Joskus tätä koordinaattijärjestelmää kutsutaan vino järjestelmä. Pisteet ja vektorit on esitetty esimerkkeinä piirustuksessa:

Kuten ymmärrät, affiinikoordinaattijärjestelmä on vielä vähemmän kätevä, vektorien ja segmenttien pituuksien kaavat, joita tarkastelimme oppitunnin toisessa osassa, eivät toimi siinä. Vektorit tutille, monia herkullisia kaavoja, jotka liittyvät vektorien skalaaritulo. Mutta säännöt vektorien lisäämisestä ja vektorin kertomisesta luvulla ovat voimassa, kaavat segmentin jakamiseksi tässä suhteessa sekä eräitä muita ongelmia, joita harkitsemme pian.

Ja johtopäätös on, että affiinin koordinaattijärjestelmän kätevin erityistapaus on suorakulmainen suorakulmainen järjestelmä. Siksi hän, omansa, on useimmiten nähtävä. ... Kaikki tässä elämässä on kuitenkin suhteellista - on monia tilanteita, joissa on tarkoituksenmukaista olla vino (tai jokin muu esim. napainen) koordinaattijärjestelmä. Kyllä, ja humanoidit tällaiset järjestelmät voivat maistaa =)

Siirrytään käytännön osaan. Kaikki tämän oppitunnin tehtävät pätevät sekä suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään että yleiseen affiiniseen tapaukseen. Tässä ei ole mitään monimutkaista, kaikki materiaali on saatavilla jopa koulupojalle.

Kuinka määrittää tasovektorien kollineaarisuus?

Tyypillinen juttu. Jotta kaksi tasovektoria ovat kollineaarisia, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia.Pohjimmiltaan tämä on ilmeisen suhteen koordinaatti-koordinaatilta tarkennus.

Esimerkki 1

a) Tarkista, ovatko vektorit kollineaarisia .
b) Muodostavatko vektorit perustan? ?

Päätös:
a) Selvitä, onko vektoreille olemassa suhteellisuuskerroin siten, että yhtäläisyydet täyttyvät:

Kerron ehdottomasti tämän säännön soveltamisen "foppih"-versiosta, joka toimii varsin hyvin käytännössä. Ajatuksena on laatia välittömästi suhde ja katsoa, ​​onko se oikein:

Tehdään suhde vektorien vastaavien koordinaattien suhteista:

Lyhennämme:
, joten vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia, joten

Suhde voidaan tehdä ja päinvastoin, tämä on vastaava vaihtoehto:

Itsetestaukseen voidaan käyttää sitä tosiasiaa, että kollineaariset vektorit ilmaistaan ​​lineaarisesti toistensa kautta. Tässä tapauksessa on tasa-arvoa . Niiden pätevyys voidaan helposti tarkistaa alkeisoperaatioilla vektoreilla:

b) Kaksi tasovektoria muodostavat perustan, jos ne eivät ole kollineaarisia (lineaarisesti riippumattomia). Tutkimme vektoreiden kollineaarisuutta . Luodaan järjestelmä:

Ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että , toisesta yhtälöstä seuraa, että mikä tarkoittaa, järjestelmä on epäjohdonmukainen(ei ratkaisuja). Siten vektorien vastaavat koordinaatit eivät ole verrannollisia.

Johtopäätös: vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat kannan.

Ratkaisun yksinkertaistettu versio näyttää tältä:

Muodosta suhde vektorien vastaavista koordinaateista :
, joten nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat perustan.

Yleensä arvioijat eivät hylkää tätä vaihtoehtoa, mutta ongelma syntyy tapauksissa, joissa jotkin koordinaatit ovat yhtä kuin nolla. Kuten tämä: . Tai näin: . Tai näin: . Kuinka käsitellä suhdetta tässä? (Todellakin, et voi jakaa nollalla). Tästä syystä kutsuin yksinkertaistettua ratkaisua "foppish".

Vastaus: a) , b) muoto.

Pieni luova esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 2

Millä parametrivektorien arvolla tuleeko olemaan kollineaarinen?

Näyteratkaisussa parametri löytyy suhteesta.

On olemassa tyylikäs algebrallinen tapa tarkistaa vektorien kollineaarisuus. Systematisoidaan tietomme ja lisätään se viidenneksi:

Seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja kahdelle tasovektorille:

2) vektorit muodostavat perustan;
3) vektorit eivät ole kollineaarisia;

+ 5) näiden vektorien koordinaateista koostuva determinantti on nollasta poikkeava.

Vastaavasti, seuraavat vastakkaiset lauseet ovat vastaavia:
1) vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia;
2) vektorit eivät muodosta perustaa;
3) vektorit ovat kollineaarisia;
4) vektorit voidaan ilmaista lineaarisesti toistensa kautta;
+ 5) näiden vektorien koordinaateista muodostuva determinantti on nolla.

Toivon kovasti, että ymmärrät jo tällä hetkellä kaikki sanat ja lausunnot, joita olet kohdannut.

Katsotaanpa tarkemmin uutta, viidettä kohtaa: kaksi tasovektoria ovat kollineaarisia silloin ja vain jos annettujen vektorien koordinaateista muodostuva determinantti on yhtä suuri kuin nolla:. Jotta voit käyttää tätä ominaisuutta, sinun on tietysti kyettävä käyttämään sitä löytää määrääviä tekijöitä.

Me päätämme Esimerkki 1 toisella tavalla:

a) Laske determinantti, joka koostuu vektorien koordinaateista :
, joten nämä vektorit ovat kollineaarisia.

b) Kaksi tasovektoria muodostavat perustan, jos ne eivät ole kollineaarisia (lineaarisesti riippumattomia). Lasketaan vektorien koordinaateista koostuva determinantti :
, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat perustan.

Vastaus: a) , b) muoto.

Se näyttää paljon kompaktimmalta ja kauniimmalta kuin ratkaisu mittasuhteineen.

Tarkasteltavan materiaalin avulla on mahdollista todeta vektorien kollineaarisuuden lisäksi myös segmenttien, suorien viivojen yhdensuuntaisuus. Harkitse muutamaa ongelmaa tiettyjen geometristen muotojen kanssa.

Esimerkki 3

Nelikulmion pisteet on annettu. Todista, että nelikulmio on suuntaviiva.

Todiste: Tehtävään ei tarvitse rakentaa piirustusta, koska ratkaisu on puhtaasti analyyttinen. Muista suuntaviivan määritelmä:
Suunnikas Kutsutaan nelikulmiota, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia.

Siksi on tarpeen todistaa:
1) vastakkaisten sivujen yhdensuuntaisuus ja;
2) vastakkaisten puolien samansuuntaisuus ja .

Todistamme:

1) Etsi vektorit:

2) Etsi vektorit:

Tuloksena on sama vektori ("koulun mukaan" - yhtäläiset vektorit). Kollineaarisuus on varsin ilmeistä, mutta on parempi tehdä päätös kunnolla, sovituksen kanssa. Laske determinantti, joka koostuu vektorien koordinaateista:
, joten nämä vektorit ovat kollineaarisia, ja .

Johtopäätös: Nelikulman vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia, joten se on määritelmän mukaan suunnikkaampi. Q.E.D.

Lisää hyviä ja erilaisia ​​hahmoja:

Esimerkki 4

Nelikulmion pisteet on annettu. Todista, että nelikulmio on puolisuunnikkaan muotoinen.

Todistuksen tiukempaa muotoilua varten on tietysti parempi saada puolisuunnikkaan määritelmä, mutta riittää, että muistaa, miltä se näyttää.

Tämä on itsenäisen päätöksen tehtävä. Täydellinen ratkaisu oppitunnin lopussa.

Ja nyt on aika siirtyä hitaasti koneesta avaruuteen:

Kuinka määrittää avaruusvektorien kollineaarisuus?

Sääntö on hyvin samanlainen. Jotta kaksi avaruusvektoria olisivat kollineaarisia, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia.

Esimerkki 5

Selvitä, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:

a) ;
b)
sisään)

Päätös:
a) Tarkista, onko vektorien vastaaville koordinaateille olemassa suhteellisuuskerroin:

Systeemillä ei ole ratkaisua, mikä tarkoittaa, että vektorit eivät ole kollineaarisia.

"Yksinkertaistettu" saadaan tarkistamalla suhteet. Tässä tapauksessa:
– vastaavat koordinaatit eivät ole verrannollisia, mikä tarkoittaa, että vektorit eivät ole kollineaarisia.

Vastaus: vektorit eivät ole kollineaarisia.

b-c) Nämä ovat itsenäisen päätöksen pistettä. Kokeile sitä kahdella tavalla.

On olemassa menetelmä spatiaalisten vektoreiden kollineaarisuuden tarkistamiseksi ja kolmannen asteen determinantin kautta, tämä menetelmä käsitellään artikkelissa Vektorien ristitulo.

Tasotapauksen tapaan tarkasteltavilla työkaluilla voidaan tutkia spatiaalisten segmenttien ja suorien yhdensuuntaisuutta.

Tervetuloa toiseen osioon:

Kolmiulotteisten avaruusvektorien lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus.
Spatiaalinen perusta ja affiini koordinaattijärjestelmä

Monet säännöllisyydet, joita olemme pohtineet koneessa, pätevät myös avaruuteen. Yritin minimoida teorian yhteenvedon, koska leijonanosa tiedosta on jo pureskeltu. Suosittelen kuitenkin, että luet johdanto-osan huolellisesti, sillä uusia termejä ja käsitteitä ilmaantuu.

Tarkastellaan nyt tietokonetaulukon tason sijasta kolmiulotteista avaruutta. Ensin luodaan sen perusta. Joku on nyt sisällä, joku ulkona, mutta joka tapauksessa emme pääse eroon kolmesta ulottuvuudesta: leveydestä, pituudesta ja korkeudesta. Siksi perustan rakentamiseen tarvitaan kolme spatiaalista vektoria. Yksi tai kaksi vektoria ei riitä, neljäs on tarpeeton.

Ja taas lämmitellään sormilla. Nosta kätesi ylös ja levitä eri suuntiin peukalo, etu- ja keskisormi. Nämä ovat vektoreita, ne näyttävät eri suuntiin, ovat eri pituisia ja niillä on eri kulmat keskenään. Onnittelut, kolmiulotteisen avaruuden perusta on valmis! Muuten, sinun ei tarvitse osoittaa tätä opettajille, vaikka kuinka vääntelet sormiasi, mutta et pääse eroon määritelmistä =)

Seuraavaksi kysymme tärkeän kysymyksen, muodostavatko kolme vektoria kolmiulotteisen avaruuden kantaa? Paina kolmella sormella lujasti tietokoneen pöytälevyä. Mitä tapahtui? Kolme vektoria sijaitsee samassa tasossa, ja karkeasti sanottuna olemme menettäneet yhden mittauksista - korkeuden. Sellaisia ​​vektoreita ovat koplanaarinen ja aivan ilmeisesti, että kolmiulotteisen avaruuden perustaa ei luoda.

On huomattava, että samantasoisten vektoreiden ei tarvitse olla samassa tasossa, ne voivat olla yhdensuuntaisissa tasoissa (älä vain tee tätä sormillasi, vain Salvador Dali irtosi niin =)).

Määritelmä: vektoreita kutsutaan koplanaarinen jos on olemassa taso, jonka kanssa ne ovat yhdensuuntaisia. Tässä on loogista lisätä, että jos tällaista tasoa ei ole, vektorit eivät ole samantasoisia.

Kolme koplanaarista vektoria ovat aina lineaarisesti riippuvaisia, eli ne ilmaistaan ​​lineaarisesti toistensa kautta. Yksinkertaisuuden vuoksi kuvittele jälleen, että ne sijaitsevat samassa tasossa. Ensinnäkin vektorit eivät ole vain koplanaarisia, vaan voivat myös olla kollineaarisia, jolloin mikä tahansa vektori voidaan ilmaista minkä tahansa vektorin kautta. Toisessa tapauksessa, jos esimerkiksi vektorit eivät ole kollineaarisia, kolmas vektori ilmaistaan ​​niiden kautta ainutlaatuisella tavalla: (ja miksi on helppo arvata edellisen osan materiaaleista).

Päinvastoin on myös totta: kolme ei-samantasoista vektoria ovat aina lineaarisesti riippumattomia eli niitä ei millään tavalla ilmaista toistensa kautta. Ja tietysti vain sellaiset vektorit voivat muodostaa kolmiulotteisen avaruuden perustan.

Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden perusta kutsutaan lineaarisesti riippumattomien (ei-koplanaaristen) vektoreiden kolmiosaksi, otettu tietyssä järjestyksessä, kun taas mikä tahansa avaruuden vektori ainoa tapa laajenee annetussa kannassa, missä ovat vektorin koordinaatit annetussa kannassa

Muistutuksena voit myös sanoa, että vektori esitetään muodossa lineaarinen yhdistelmä kantavektorit.

Koordinaatiston käsite otetaan käyttöön täsmälleen samalla tavalla kuin tasotapauksessa, yksi piste ja mitkä tahansa kolme lineaarisesti riippumatonta vektoria riittää:

alkuperä, ja ei-tasossa vektorit, otettu tietyssä järjestyksessä, aseta kolmiulotteisen avaruuden affiininen koordinaattijärjestelmä :

Tietenkin koordinaattiristikko on "vino" ja hankala, mutta siitä huolimatta rakennettu koordinaattijärjestelmä mahdollistaa ehdottomasti määrittää minkä tahansa vektorin koordinaatit ja minkä tahansa avaruuden pisteen koordinaatit. Samoin kuin tasossa, jotkin jo mainitsemani kaavat eivät toimi affiinissa avaruuden koordinaattijärjestelmässä.

Affiinin koordinaattijärjestelmän tutuin ja kätevin erikoistapaus, kuten jokainen voi arvata, on suorakaiteen muotoinen avaruuskoordinaattijärjestelmä:

piste avaruudessa nimeltään alkuperä, ja ortonormaali perusjoukko Avaruuden suorakulmainen koordinaattijärjestelmä . tuttu kuva:

Ennen kuin siirrymme käytännön tehtäviin, systematisoimme tiedot uudelleen:

Kolmelle avaruusvektorille seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja:
1) vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia;
2) vektorit muodostavat perustan;
3) vektorit eivät ole samassa tasossa;
4) vektoreita ei voida ilmaista lineaarisesti toistensa kautta;
5) näiden vektorien koordinaateista koostuva determinantti on eri kuin nolla.

Päinvastaiset väitteet ovat mielestäni ymmärrettäviä.

Avaruusvektorien lineaarinen riippuvuus / riippumattomuus tarkistetaan perinteisesti determinantilla (kohta 5). Loput käytännön tehtävät ovat luonteeltaan selvästi algebrallisia. On aika ripustaa geometrinen tikku naulaan ja käyttää lineaarialgebran pesäpallomailaa:

Kolme avaruusvektoria ovat koplanaarisia silloin ja vain, jos annettujen vektorien koordinaateista muodostuva determinantti on yhtä suuri kuin nolla: .

Kiinnitän huomionne pieneen tekniseen vivahteeseen: vektorien koordinaatit voidaan kirjoittaa paitsi sarakkeisiin, myös riveihin (determinantin arvo ei muutu tästä - katso determinanttien ominaisuudet). Mutta se on paljon parempi sarakkeissa, koska se on hyödyllisempää joidenkin käytännön ongelmien ratkaisemisessa.

Niille lukijoille, jotka ovat hieman unohtaneet determinanttien laskentamenetelmät tai ehkä he ovat huonosti orientoituneita, suosittelen yhtä vanhimmista oppitunneistani: Kuinka determinantti lasketaan?

Esimerkki 6

Tarkista, muodostavatko seuraavat vektorit kolmiulotteisen avaruuden perustan:

Päätös: Itse asiassa koko ratkaisu perustuu determinantin laskemiseen.

a) Laske determinantti, joka muodostuu vektorien koordinaateista (determinantti laajennetaan ensimmäisellä rivillä):

, mikä tarkoittaa, että vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eivät samassa tasossa) ja muodostavat kolmiulotteisen avaruuden perustan.

Vastaus: nämä vektorit muodostavat perustan

b) Tämä on itsenäisen päätöksen asia. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mukana on myös luovia tehtäviä:

Esimerkki 7

Millä parametrin arvolla vektorit ovat samantasoisia?

Päätös: Vektorit ovat samantasoisia, jos ja vain, jos annettujen vektorien koordinaateista muodostuva determinantti on yhtä suuri kuin nolla:

Pohjimmiltaan yhtälö on ratkaistava determinantilla. Lennämme nollaan kuin leijat jerbooihin - on kannattavinta avata determinantti toisella rivillä ja päästä eroon heti miinuksista:

Suoritamme lisäyksinkertaistuksia ja pelkistämme asian yksinkertaisimpaan lineaariseen yhtälöön:

Vastaus: klo

Se on helppo tarkistaa täältä, tätä varten sinun on korvattava tuloksena oleva arvo alkuperäisellä determinantilla ja varmistettava, että avaamalla sen uudelleen.

Tarkastellaan lopuksi toista tyypillistä ongelmaa, joka on enemmän luonteeltaan algebrallinen ja sisältyy perinteisesti lineaarisen algebran kulkuun. Se on niin yleistä, että se ansaitsee erillisen aiheen:

Todista, että 3 vektoria muodostaa kolmiulotteisen avaruuden perustan
ja etsi annetusta kannasta neljännen vektorin koordinaatit

Esimerkki 8

Vektorit on annettu. Osoita, että vektorit muodostavat kolmiulotteisen avaruuden kannan ja etsi vektorin koordinaatit tästä kannasta.

Päätös: Käsitellään ensin ehtoa. Ehdolla on annettu neljä vektoria, ja, kuten näet, niillä on jo koordinaatit jossain perusteessa. Mikä on perusta - emme ole kiinnostuneita. Ja seuraava asia on kiinnostava: kolme vektoria voivat hyvinkin muodostaa uuden perustan. Ja ensimmäinen vaihe on täsmälleen sama kuin esimerkin 6 ratkaisu, on tarpeen tarkistaa, ovatko vektorit todella lineaarisesti riippumattomia:

Laske determinantti, joka koostuu vektorien koordinaateista:

, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat kolmiulotteisen avaruuden perustan.

! Tärkeä : vektorin koordinaatit välttämättä Kirjoita ylös sarakkeiksi determinantti, ei merkkijonoja. Muutoin seuraavassa ratkaisualgoritmissa on hämmennystä.

Tehtävä 1. Selvitä, onko vektorijärjestelmä lineaarisesti riippumaton. Vektorijärjestelmän määrittelee järjestelmän matriisi, jonka sarakkeet koostuvat vektorien koordinaateista.

.

Päätös. Olkoon lineaarinen yhdistelmä on yhtä kuin nolla. Kun olet kirjoittanut tämän yhtälön koordinaatteina, saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän:

.

Tällaista yhtälöjärjestelmää kutsutaan kolmiomaiseksi. Hänellä on ainoa ratkaisu. . Siksi vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Tehtävä 2. Selvitä, onko vektorijärjestelmä lineaarisesti riippumaton.

.

Päätös. Vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (katso Tehtävä 1). Osoitetaan, että vektori on vektorien lineaarinen yhdistelmä . Vektorin laajennuskertoimet määritetään yhtälöjärjestelmästä

.

Tällä järjestelmällä, kuten kolmiomaisella järjestelmällä, on ainutlaatuinen ratkaisu.

Siksi vektorijärjestelmä lineaarisesti riippuvainen.

Kommentti. Matriiseja, kuten tehtävässä 1 kutsutaan kolmion muotoinen ja tehtävässä 2 – porrastettu kolmiomainen . Kysymys vektorijärjestelmän lineaarisesta riippuvuudesta on helppo ratkaista, jos näiden vektorien koordinaateista muodostuva matriisi on askelittain kolmiomainen. Jos matriisilla ei ole erityistä muotoa, käytä alkeismerkkijonomuunnoksia , säilyttäen sarakkeiden väliset lineaariset suhteet, se voidaan pelkistää porrastettuun kolmiomaiseen muotoon.

Elementaariset merkkijonomuunnokset matriiseja (EPS) kutsutaan seuraaviksi matriisin operaatioiksi:

1) linjojen permutaatio;

2) merkkijonon kertominen nollasta poikkeavalla luvulla;

3) lisäämällä merkkijonoon toinen merkkijono, kerrottuna mielivaltaisella luvulla.

Tehtävä 3. Etsi suurin lineaarisesti riippumaton osajärjestelmä ja laske vektorijärjestelmän järjestys

.

Päätös. Pelkistetään järjestelmän matriisi EPS:n avulla porras-kolmiomuotoon. Menettelyn selittämiseksi rivi, jolla on muunnettavan matriisin numero, merkitään symbolilla . Nuolen jälkeinen sarake näyttää toimenpiteet, jotka on suoritettava muunnetun matriisin riveille uuden matriisin rivien saamiseksi.

.

Ilmeisesti tuloksena olevan matriisin kaksi ensimmäistä saraketta ovat lineaarisesti riippumattomia, kolmas sarake on niiden lineaarinen yhdistelmä, ja neljäs ei riipu kahdesta ensimmäisestä. Vektorit kutsutaan perus. Ne muodostavat järjestelmän suurimman lineaarisesti riippumattoman alijärjestelmän , ja järjestelmän arvo on kolme.

Pohja, koordinaatit

Tehtävä 4. Etsi vektoreiden kanta ja koordinaatit tästä kannasta geometristen vektoreiden joukosta, joiden koordinaatit täyttävät ehdon .

Päätös. Joukko on origon läpi kulkeva taso. Tason mielivaltainen kanta koostuu kahdesta ei-kollineaarisesta vektorista. Vektorien koordinaatit valitussa kannassa määritetään ratkaisemalla vastaava lineaariyhtälöjärjestelmä.

On olemassa toinen tapa ratkaista tämä ongelma, kun voit löytää perustan koordinaateista.

Koordinaatit avaruudet eivät ole koordinaatteja tasolla, koska ne liittyvät relaatioon eli ne eivät ole itsenäisiä. Riippumattomat muuttujat ja (niitä kutsutaan vapaiksi) määrittävät yksiselitteisesti vektorin tasolla ja siksi ne voidaan valita koordinaatteiksi . Sitten pohja koostuu vektoreista, jotka sijaitsevat ja vastaavat vapaiden muuttujien joukkoja ja , eli

Tehtävä 5. Etsi tässä kannassa olevien vektorien kanta ja koordinaatit kaikkien avaruuden vektorien joukosta, joiden parittomat koordinaatit ovat keskenään yhtä suuret.

Päätös. Valitsemme, kuten edellisessä tehtävässä, koordinaatit avaruudessa .

Kuten , sitten vapaat muuttujat määrittelevät yksiselitteisesti vektorin ja ovat siksi koordinaatteja. Vastaava kanta koostuu vektoreista .

Tehtävä 6. Etsi vektoreiden kanta ja koordinaatit tässä kannassa muodon kaikkien matriisien joukosta , missä ovat mielivaltaisia ​​lukuja.

Päätös. Jokainen matriisi kohteesta on yksilöllisesti esitettävissä seuraavasti:

Tämä relaatio on vektorin laajennus alkaen kantan suhteen
koordinaattien kanssa .

Tehtävä 7. Etsi vektorijärjestelmän lineaarisen välin ulottuvuus ja kanta

.

Päätös. EPS:n avulla muunnetaan matriisi systeemivektorien koordinaateista porrastettuun kolmiomaiseen muotoon.

.

sarakkeita viimeisestä matriisista ovat lineaarisesti riippumattomia, ja sarakkeet ilmaistaan ​​lineaarisesti niiden kautta. Siksi vektorit muodostavat perustan , ja .

Kommentti. Pohja sisään valittu epäselvästi. Esimerkiksi vektorit muodostavat myös perustan .