Gaussin menetelmä on universaali kaava. Käänteinen Gaussin menetelmä

Annetaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä, joka on ratkaistava (etsi sellaiset tuntemattomien хi arvot, jotka muuttavat järjestelmän jokaisen yhtälön yhtälöksi).

Tiedämme, että lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Ei ratkaisuja (olkoon yhteensopimaton).
2) On äärettömän monta ratkaisua.
3) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu.

Kuten muistamme, Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Gaussin menetelmä – tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisujen löytämiseen mihin tahansa lineaariyhtälöjärjestelmään, mikä joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Menetelmän algoritmi toimii kaikissa kolmessa tapauksessa samalla tavalla. Jos Cramer- ja matriisimenetelmät edellyttävät determinanttien tuntemusta, niin Gaussin menetelmän soveltaminen edellyttää vain aritmeettisten operaatioiden tuntemusta, jolloin se on myös peruskoulun oppilaiden käytettävissä.

Laajennetut matriisimuunnokset ( tämä on järjestelmän matriisi - matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista sekä vapaiden termien sarakkeesta) Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät Gaussin menetelmässä:

1) kanssa troky matriiseja voi järjestää uudelleen paikoissa.

2) jos matriisissa on (tai on) suhteellisia (erikoistapauksena identtisiä) rivejä, siitä seuraa poistaa matriisista kaikki nämä rivit yhtä lukuun ottamatta.

3) jos matriisiin ilmaantui muunnosten aikana nollarivi, niin se myös seuraa poistaa.

4) matriisin rivi voi kertoa (jakaa) mihin tahansa muuhun numeroon kuin nollaan.

5) matriisin riville, voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta.

Gaussin menetelmässä alkeismuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua.

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta:

1. "Suora siirto" - käyttämällä alkeismuunnoksia, tuo lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän laajennettu matriisi "kolmiomuotoiseen" porrastettuun muotoon: laajennetun matriisin elementit, jotka sijaitsevat päädiagonaalin alapuolella, ovat yhtä suuria kuin nolla (ylhäältä alas liike ). Esimerkiksi tähän lajiin:

Voit tehdä tämän suorittamalla seuraavat vaiheet:

1) Tarkastellaan lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja kerroin kohdassa x 1 on yhtä suuri kuin K. Toinen, kolmas jne. muunnamme yhtälöt seuraavasti: jaamme jokaisen yhtälön (tuntemattomien kertoimet mukaan lukien vapaat termit) tuntemattoman x 1 kertoimella, joka on jokaisessa yhtälössä, ja kerromme K:lla. Sen jälkeen vähennämme ensimmäinen toisesta yhtälöstä ( tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet). Saamme kohdassa x 1 toisessa yhtälössä kertoimen 0. Kolmannesta muunnetusta yhtälöstä vähennämme ensimmäisen yhtälön, joten ennen kuin kaikilla yhtälöillä, paitsi ensimmäistä, joilla on tuntematon x 1, ei ole kerrointa 0.

2) Siirry seuraavaan yhtälöön. Olkoon tämä toinen yhtälö ja kerroin kohdassa x 2 on yhtä suuri kuin M. Kaikilla "ala-yhtälöillä" edetään edellä kuvatulla tavalla. Siten tuntemattoman x 2 "alla" kaikissa yhtälöissä on nollia.

3) Siirrymme seuraavaan yhtälöön ja niin edelleen, kunnes jäljellä on viimeinen tuntematon ja muunnettu vapaa termi.

1. Gaussin menetelmän "käänteinen liike" on saada ratkaisu lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään ("alhaalta ylös" -liike). Viimeisestä "alemmasta" yhtälöstä saadaan yksi ensimmäinen ratkaisu - tuntematon x n. Tätä varten ratkaisemme perusyhtälön A * x n \u003d B. Yllä olevassa esimerkissä x 3 \u003d 4. Korvaamme löydetyn arvon "ylemmässä" seuraavassa yhtälössä ja ratkaisemme sen suhteessa seuraavaan tuntemattomaan. Esimerkiksi x 2 - 4 \u003d 1, ts. x 2 \u003d 5. Ja niin edelleen, kunnes löydämme kaikki tuntemattomat.

Esimerkki.

Ratkaisemme lineaarisen yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä, kuten jotkut kirjoittajat neuvovat:

Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Siellä meillä pitäisi olla yksikkö. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole ketään, joten rivien uudelleenjärjestelyllä ei voida ratkaista mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Tehdään näin:
1 askel . Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -1:llä. Toisin sanoen kerroimme henkisesti toisen rivin -1:llä ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa "miinus yksi", joka sopii meille täydellisesti. Se, joka haluaa saada +1, voi suorittaa lisätoiminnon: kerro ensimmäinen rivi -1:llä (muuta sen etumerkkiä).

2 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

3 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja siirrettiin toiselle paikalle, joten toisessa ”askeleessa meillä oli haluttu yksikkö.

4 askelta . Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 2:lla.

5 askelta . Kolmas rivi on jaettu kolmella.

Laskelmavirheestä (harvemmin kirjoitusvirheestä) kertova merkki on "huono" tulos. Eli jos saamme alle jotain kuten (0 0 11 | 23) ja vastaavasti 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, niin suurella todennäköisyydellä voidaan sanoa, että alkeisopetuksen aikana tehtiin virhe. muunnoksia.

Suoritamme käänteisen liikkeen, esimerkkien suunnittelussa itse järjestelmää ei usein kirjoiteta uudelleen, ja yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Käänteinen liike, muistutan teitä, toimii "alhaalta ylöspäin". Tässä esimerkissä lahja osoittautui:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, siis x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Vastaus:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Ratkaistaan ​​sama järjestelmä ehdotetulla algoritmilla. Saamme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Jaa toinen yhtälö 5:llä ja kolmas 3:lla.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Kerro toinen ja kolmas yhtälö 4:llä, saamme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Vähennä ensimmäinen yhtälö toisesta ja kolmannesta yhtälöstä, meillä on:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Jaa kolmas yhtälö 0,64:llä:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kerro kolmas yhtälö 0,4:llä

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Vähennä toinen yhtälö kolmannesta yhtälöstä, saamme "porrastetun" lisätyn matriisin:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Näin ollen, koska laskuprosessissa kertyi virhe, saamme x 3 \u003d 0,96 tai noin 1.

x 2 \u003d 3 ja x 1 \u003d -1.

Ratkaisemalla tällä tavalla et koskaan hämmentyi laskelmissa ja laskuvirheistä huolimatta saat tuloksen.

Tämä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisumenetelmä on helposti ohjelmoitavissa eikä se ota huomioon tuntemattomien kertoimien erityispiirteitä, koska käytännössä (taloudellisissa ja teknisissä laskelmissa) on käsiteltävä ei-kokonaislukukertoimia.

Toivottaa sinulle onnea! Nähdään luokassa! Opettaja Dmitri Aistrakhanov.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Annetaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä, joka on ratkaistava (etsi sellaiset tuntemattomien хi arvot, jotka muuttavat järjestelmän jokaisen yhtälön yhtälöksi).

Tiedämme, että lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Ei ratkaisuja (olkoon yhteensopimaton).
2) On äärettömän monta ratkaisua.
3) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu.

Kuten muistamme, Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Gaussin menetelmä – tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisujen löytämiseen mihin tahansa lineaariyhtälöjärjestelmään, mikä joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Menetelmän algoritmi toimii kaikissa kolmessa tapauksessa samalla tavalla. Jos Cramer- ja matriisimenetelmät edellyttävät determinanttien tuntemusta, niin Gaussin menetelmän soveltaminen edellyttää vain aritmeettisten operaatioiden tuntemusta, jolloin se on myös peruskoulun oppilaiden käytettävissä.

Laajennetut matriisimuunnokset ( tämä on järjestelmän matriisi - matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista sekä vapaiden termien sarakkeesta) Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät Gaussin menetelmässä:

1) kanssa troky matriiseja voi järjestää uudelleen paikoissa.

2) jos matriisissa on (tai on) suhteellisia (erikoistapauksena identtisiä) rivejä, siitä seuraa poistaa matriisista kaikki nämä rivit yhtä lukuun ottamatta.

3) jos matriisiin ilmaantui muunnosten aikana nollarivi, niin se myös seuraa poistaa.

4) matriisin rivi voi kertoa (jakaa) mihin tahansa muuhun numeroon kuin nollaan.

5) matriisin riville, voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta.

Gaussin menetelmässä alkeismuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua.

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta:

1. "Suora siirto" - käyttämällä alkeismuunnoksia, tuo lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän laajennettu matriisi "kolmiomuotoiseen" porrastettuun muotoon: laajennetun matriisin elementit, jotka sijaitsevat päädiagonaalin alapuolella, ovat yhtä suuria kuin nolla (ylhäältä alas liike ). Esimerkiksi tähän lajiin:

Voit tehdä tämän suorittamalla seuraavat vaiheet:

1) Tarkastellaan lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja kerroin kohdassa x 1 on yhtä suuri kuin K. Toinen, kolmas jne. muunnamme yhtälöt seuraavasti: jaamme jokaisen yhtälön (tuntemattomien kertoimet mukaan lukien vapaat termit) tuntemattoman x 1 kertoimella, joka on jokaisessa yhtälössä, ja kerromme K:lla. Sen jälkeen vähennämme ensimmäinen toisesta yhtälöstä ( tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet). Saamme kohdassa x 1 toisessa yhtälössä kertoimen 0. Kolmannesta muunnetusta yhtälöstä vähennämme ensimmäisen yhtälön, joten ennen kuin kaikilla yhtälöillä, paitsi ensimmäistä, joilla on tuntematon x 1, ei ole kerrointa 0.

2) Siirry seuraavaan yhtälöön. Olkoon tämä toinen yhtälö ja kerroin kohdassa x 2 on yhtä suuri kuin M. Kaikilla "ala-yhtälöillä" edetään edellä kuvatulla tavalla. Siten tuntemattoman x 2 "alla" kaikissa yhtälöissä on nollia.

3) Siirrymme seuraavaan yhtälöön ja niin edelleen, kunnes jäljellä on viimeinen tuntematon ja muunnettu vapaa termi.

1. Gaussin menetelmän "käänteinen liike" on saada ratkaisu lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään ("alhaalta ylös" -liike). Viimeisestä "alemmasta" yhtälöstä saadaan yksi ensimmäinen ratkaisu - tuntematon x n. Tätä varten ratkaisemme perusyhtälön A * x n \u003d B. Yllä olevassa esimerkissä x 3 \u003d 4. Korvaamme löydetyn arvon "ylemmässä" seuraavassa yhtälössä ja ratkaisemme sen suhteessa seuraavaan tuntemattomaan. Esimerkiksi x 2 - 4 \u003d 1, ts. x 2 \u003d 5. Ja niin edelleen, kunnes löydämme kaikki tuntemattomat.

Esimerkki.

Ratkaisemme lineaarisen yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä, kuten jotkut kirjoittajat neuvovat:

Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Siellä meillä pitäisi olla yksikkö. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole ketään, joten rivien uudelleenjärjestelyllä ei voida ratkaista mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Tehdään näin:
1 askel . Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -1:llä. Toisin sanoen kerroimme henkisesti toisen rivin -1:llä ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa "miinus yksi", joka sopii meille täydellisesti. Se, joka haluaa saada +1, voi suorittaa lisätoiminnon: kerro ensimmäinen rivi -1:llä (muuta sen etumerkkiä).

2 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

3 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja siirrettiin toiselle paikalle, joten toisessa ”askeleessa meillä oli haluttu yksikkö.

4 askelta . Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 2:lla.

5 askelta . Kolmas rivi on jaettu kolmella.

Laskelmavirheestä (harvemmin kirjoitusvirheestä) kertova merkki on "huono" tulos. Eli jos saamme alle jotain kuten (0 0 11 | 23) ja vastaavasti 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, niin suurella todennäköisyydellä voidaan sanoa, että alkeisopetuksen aikana tehtiin virhe. muunnoksia.

Suoritamme käänteisen liikkeen, esimerkkien suunnittelussa itse järjestelmää ei usein kirjoiteta uudelleen, ja yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Käänteinen liike, muistutan teitä, toimii "alhaalta ylöspäin". Tässä esimerkissä lahja osoittautui:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, siis x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Vastaus:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Ratkaistaan ​​sama järjestelmä ehdotetulla algoritmilla. Saamme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Jaa toinen yhtälö 5:llä ja kolmas 3:lla.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Kerro toinen ja kolmas yhtälö 4:llä, saamme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Vähennä ensimmäinen yhtälö toisesta ja kolmannesta yhtälöstä, meillä on:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Jaa kolmas yhtälö 0,64:llä:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kerro kolmas yhtälö 0,4:llä

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Vähennä toinen yhtälö kolmannesta yhtälöstä, saamme "porrastetun" lisätyn matriisin:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Näin ollen, koska laskuprosessissa kertyi virhe, saamme x 3 \u003d 0,96 tai noin 1.

x 2 \u003d 3 ja x 1 \u003d -1.

Ratkaisemalla tällä tavalla et koskaan hämmentyi laskelmissa ja laskuvirheistä huolimatta saat tuloksen.

Tämä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisumenetelmä on helposti ohjelmoitavissa eikä se ota huomioon tuntemattomien kertoimien erityispiirteitä, koska käytännössä (taloudellisissa ja teknisissä laskelmissa) on käsiteltävä ei-kokonaislukukertoimia.

Toivottaa sinulle onnea! Nähdään luokassa! Tutor.

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Gaussin menetelmän määritelmä ja kuvaus

Gaussin muunnosmenetelmä (tunnetaan myös menetelmänä tuntemattomien muuttujien peräkkäiseen eliminointiin yhtälöstä tai matriisista) lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on klassinen menetelmä algebrallisten yhtälöiden (SLAE) ratkaisemiseksi. Tätä klassista menetelmää käytetään myös sellaisten ongelmien ratkaisemiseen, kuten käänteisten matriisien saaminen ja matriisin järjestyksen määrittäminen.

Gaussin menetelmää käyttävä muunnos koostuu pienten (alkeisalgebrallisten) peräkkäisten muutosten tekemisestä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään, mikä johtaa muuttujien eliminointiin siitä ylhäältä alas muodostamalla uusi kolmioyhtälöjärjestelmä, joka vastaa alkuperäinen.

Määritelmä 1

Tätä ratkaisun osaa kutsutaan Gaussin eteenpäin ratkaisuksi, koska koko prosessi suoritetaan ylhäältä alas.

Kun alkuperäinen yhtälöjärjestelmä on tuotu kolmiomaiseksi, kaikki järjestelmän muuttujat löydetään alhaalta ylöspäin (eli ensimmäiset löydetyt muuttujat sijaitsevat tarkalleen järjestelmän tai matriisin viimeisillä riveillä). Tämä osa ratkaisusta tunnetaan myös käänteisenä Gaussin ratkaisuna. Sen algoritmi koostuu seuraavasta: ensin lasketaan muuttujat, jotka ovat lähimpänä yhtälöjärjestelmän tai matriisin alaosaa, sitten korvataan saadut arvot yllä ja siten löydetään toinen muuttuja ja niin edelleen.

Kuvaus Gaussin menetelmän algoritmista

Toimenpidesarja yhtälöjärjestelmän yleiselle ratkaisulle Gauss-menetelmällä koostuu vuorotellen eteenpäin- ja taaksepäin-iskujen soveltamisesta matriisiin SLAE:n perusteella. Olkoon alkuperäisellä yhtälöjärjestelmällä seuraava muoto:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

SLAE:n ratkaisemiseksi Gaussin menetelmällä on tarpeen kirjoittaa alkuperäinen yhtälöjärjestelmä matriisin muodossa:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matriisia $A$ kutsutaan päämatriisiksi ja se edustaa järjestyksessä kirjoitettujen muuttujien kertoimia, ja $b$:ta kutsutaan sen vapaiden jäsenten sarakkeeksi. Matriisia $A$, joka on kirjoitettu rivin läpi, jossa on vapaa jäsenten sarake, kutsutaan lisätyksi matriisiksi:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nyt käyttämällä alkeismuunnoksia yhtälöjärjestelmän (tai matriisin, koska se on kätevämpää) yli, on tarpeen saattaa se seuraavaan muotoon:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(tapaukset)$ (1)

Muunnetun yhtälöjärjestelmän (1) kertoimista saatua matriisia kutsutaan askelmatriisiksi, tältä askelmatriisit yleensä näyttävät:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Näille matriiseille on tunnusomaista seuraavat ominaisuudet:

1. Kaikki sen nollarivit tulevat nollasta poikkeavien ykkösten jälkeen
2. Jos jokin matriisin rivi indeksillä $k$ on muu kuin nolla, niin saman matriisin edellisellä rivillä on vähemmän nollia kuin tällä rivillä, jonka indeksi on $k$.

Askelmatriisin saamisen jälkeen on tarpeen korvata saadut muuttujat jäljellä oleviin yhtälöihin (alkaen lopusta) ja saada muuttujien jäljellä olevat arvot.

Perussäännöt ja sallitut muunnokset Gauss-menetelmää käytettäessä

Kun matriisia tai yhtälöjärjestelmää yksinkertaistetaan tällä menetelmällä, tulee käyttää vain alkeismuunnoksia.

Tällaiset muunnokset ovat operaatioita, joita voidaan soveltaa matriisiin tai yhtälöjärjestelmään muuttamatta sen merkitystä:

• useiden rivien permutaatio paikoissa,
• lisäämällä tai vähentämällä yhdeltä matriisin riviltä siitä toisen rivin,
• merkkijonon kertominen tai jakaminen vakiolla, joka ei ole nolla,
• järjestelmän laskenta- ja yksinkertaistamisprosessissa saatu rivi, jossa on vain nollia, on poistettava,
• Sinun on myös poistettava tarpeettomat suhteelliset rivit valitsemalla järjestelmälle ainoa, jonka kertoimet ovat sopivampia ja kätevämpiä lisälaskelmiin.

Kaikki alkeismuunnokset ovat palautuvia.

Analyysi kolmesta päätapauksesta, jotka syntyvät ratkaistaessa lineaarisia yhtälöitä yksinkertaisten Gaussin muunnosten menetelmällä

Kun Gauss-menetelmää käytetään järjestelmien ratkaisemiseen, ilmenee kolme tapausta:

1. Kun järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja
2. Yhtälöjärjestelmällä on ratkaisu, ja se on ainoa, ja nollasta poikkeavien rivien ja sarakkeiden lukumäärä matriisissa on yhtä suuri.
3. Järjestelmässä on tietty määrä tai joukko mahdollisia ratkaisuja, ja siinä olevien rivien määrä on pienempi kuin sarakkeiden lukumäärä.

Ratkaisutulos epäjohdonmukaisella järjestelmällä

Tälle muunnokselle matriisiyhtälöä ratkaistaessa Gaussin menetelmällä on tyypillistä saada jokin suora yhtälön täyttymisen mahdottomuudella. Siksi, jos vähintään yksi virheellinen yhtälö esiintyy, tuloksena olevilla ja alkuperäisillä järjestelmillä ei ole ratkaisuja, riippumatta niiden sisältämistä muista yhtälöistä. Esimerkki epäjohdonmukaisesta matriisista:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Viimeiselle riville ilmestyi tyydyttämätön yhtälö: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Yhtälöjärjestelmä, jolla on vain yksi ratkaisu

Järjestelmän tiedoissa on sama määrä rivejä ja sarakkeita päämatriisissa sen jälkeen, kun se on redusoitu porrasmatriisiin ja poistettu nollia sisältäviä rivejä. Tässä on yksinkertainen esimerkki tällaisesta järjestelmästä:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Kirjoitetaan se matriisin muodossa:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Jos haluat nollata toisen rivin ensimmäisen solun, kerro ylärivi $-2$:lla ja vähennä se matriisin alimmasta rivistä ja jätä ylärivi alkuperäiseen muotoonsa, tuloksena on seuraava:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa järjestelmäksi:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Seuraava arvo $x$ tulee alemmasta yhtälöstä: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Korvaamalla tämän arvon ylempään yhtälöön: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, saadaan $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Järjestelmä, jossa on monia mahdollisia ratkaisuja

Tälle järjestelmälle on ominaista pienempi määrä merkittäviä rivejä kuin siinä olevien sarakkeiden lukumäärä (päämatriisin rivit otetaan huomioon).

Tällaisen järjestelmän muuttujat on jaettu kahteen tyyppiin: perus ja vapaa. Tällaista järjestelmää muunnettaessa tulee sen sisältämät päämuuttujat jättää vasemmalle alueelle ennen ”=”-merkkiä ja loput muuttujat siirretään yhtälön oikealle puolelle.

Tällaisella järjestelmällä on vain tietty yleinen ratkaisu.

Analysoidaan seuraava yhtälöjärjestelmä:

$\begin(tapaukset) 2v_1 + 3v_2 + x_4 = 1 \\ 5v_3 - 4v_4 = 1 \end(tapaukset)$

Kirjoitetaan se matriisin muodossa:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Tehtävämme on löytää yleinen ratkaisu järjestelmään. Tässä matriisissa perusmuuttujat ovat $y_1$ ja $y_3$ ($y_1$ - koska se on ensimmäisellä paikalla, ja $y_3$ - tapauksessa se sijaitsee nollien jälkeen).

Perusmuuttujiksi valitsemme rivin ensimmäiseksi täsmälleen ne, jotka eivät ole yhtä suuria kuin nolla.

Loput muuttujat kutsutaan vapaiksi, niiden kautta meidän on ilmaistava perusmuuttujat.

Käyttämällä ns. käänteistä liikettä puramme järjestelmän alhaalta ylöspäin, tätä varten ilmaisemme ensin $y_3$ järjestelmän alariviltä:

5v_3 – 4v_4 = 1$

$5v_3 = 4v_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nyt korvaamme ilmaistun $y_3$ järjestelmän $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ ylempään yhtälöön: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $

Ilmaisemme $y_1$ ilmaisilla muuttujilla $y_2$ ja $y_4$:

$2v_1 + 3v_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2v_1 = 1 - 3v_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3v_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1v_4 + 0,6 $

Päätös on valmis.

Esimerkki 1

Ratkaise slough Gaussin menetelmällä. Esimerkkejä. Esimerkki 3 x 3 -matriisin antaman lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

$\begin(tapaukset) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(tapaukset)$

Kirjoitamme järjestelmämme lisätyn matriisin muodossa:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Nyt mukavuuden ja käytännöllisyyden vuoksi meidän on muutettava matriisi siten, että $1$ on viimeisen sarakkeen yläkulmassa.

Tätä varten meidän on lisättävä rivi keskeltä kerrottuna $-1 $:lla ensimmäiselle riville ja kirjoitettava itse keskirivi sellaisena kuin se on, käy ilmi:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Kerro ylä- ja viimeinen rivi $-1 $:lla ja vaihda viimeinen ja keskimmäinen rivi:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Ja jaa viimeinen rivi 3 dollarilla:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän, joka vastaa alkuperäistä:

$\begin(tapaukset) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(tapaukset)$

Ylemmästä yhtälöstä ilmaisemme $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Esimerkki 2

Esimerkki 4 x 4 -matriisilla määritellyn järjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Alussa vaihdamme sitä seuraavat ylimmät rivit, jotta saat $1 $ vasempaan yläkulmaan:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Kerrotaan nyt ylin rivi $-2 $:lla ja lisätään toiseen ja kolmanteen. Neljänteen lisäämme 1. rivin kerrottuna $-3 $:lla:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Nyt riville 3 lisäämme rivin 2 kerrottuna $4$:lla ja riville 4 lisäämme rivin 2 kerrottuna $-1$:lla.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Kerro rivi 2 $-1 $:lla, jaa rivi 4 $3 $:lla ja korvaa rivi 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Nyt lisätään viimeiselle riville toiseksi viimeinen, kerrottuna $-5 $.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän:

$\begin(tapaukset) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3v + 2g + m = 11\loppu(tapaukset)$

1. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

1.1 Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän käsite

Yhtälöjärjestelmä on ehto, joka koostuu useiden yhtälöiden samanaikaisesta suorittamisesta useissa muuttujissa. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (jäljempänä SLAE) järjestelmä, joka sisältää m yhtälöä ja n tuntematonta, on järjestelmä, jonka muoto on:

jossa lukuja a ij kutsutaan järjestelmän kertoimiksi, luvut b i ovat vapaita jäseniä, aij ja b i(i=1,…, m; b=1,…, n) ovat joitain tunnettuja lukuja ja x 1 ,…, x n- tuntematon. Kertoimien merkinnöissä aij ensimmäinen indeksi i ilmaisee yhtälön numeroa ja toinen indeksi j on tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on. Edellytämme luvun x n löytämistä. Tällainen järjestelmä on kätevää kirjoittaa kompaktissa matriisimuodossa: AX=B. Tässä A on järjestelmän kertoimien matriisi, jota kutsutaan päämatriisiksi;

Matriisien A * X tulo on määritelty, koska matriisissa A on yhtä monta saraketta kuin matriisissa X on rivejä (n kappaletta).

Järjestelmän laajennettu matriisi on järjestelmän matriisi A, jota on täydennetty vapaiden jäsenten sarakkeella

1.2 Lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on järjestetty numeroiden (muuttujien arvojen) joukko, kun ne korvataan muuttujien sijasta, jokainen järjestelmän yhtälö muuttuu todelliseksi yhtälöksi.

Järjestelmän ratkaisu on n arvoa tuntemattomista x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, jotka korvaavat kaikki järjestelmän yhtälöt todellisiksi yhtälöiksi. Mikä tahansa järjestelmän ratkaisu voidaan kirjoittaa matriisisarakkeeksi

Yhtälöjärjestelmää kutsutaan johdonmukaiseksi, jos sillä on vähintään yksi ratkaisu, ja epäjohdonmukaiseksi, jos sillä ei ole ratkaisuja.

Yhteistä järjestelmää kutsutaan määrätyksi, jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja epämääräiseksi, jos sillä on useampi kuin yksi ratkaisu. Jälkimmäisessä tapauksessa jokaista sen ratkaisua kutsutaan järjestelmän tietyksi ratkaisuksi. Kaikkien yksittäisten ratkaisujen joukkoa kutsutaan yleisratkaisuksi.

Järjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa sen selvittämistä, onko se johdonmukainen vai epäjohdonmukainen. Jos järjestelmä on yhteensopiva, etsi sen yleinen ratkaisu.

Kahta järjestelmää kutsutaan ekvivalentiksi (ekvivalentiksi), jos niillä on sama yleinen ratkaisu. Toisin sanoen järjestelmät ovat samanarvoisia, jos jokainen ratkaisu yhteen niistä on ratkaisu toiseen ja päinvastoin.

Muunnosta, jonka soveltaminen muuttaa järjestelmän uudeksi, alkuperäistä vastaavaksi järjestelmäksi, kutsutaan ekvivalentiksi tai vastaavaksi muunnokseksi. Seuraavat muunnokset voivat toimia esimerkkeinä ekvivalenteista muunnoksista: järjestelmän kahden yhtälön vaihtaminen, kahden tuntemattoman vaihtaminen yhteen kaikkien yhtälöiden kertoimilla, minkä tahansa järjestelmän yhtälön molempien osien kertominen nollasta poikkeavalla luvulla.

Lineaarista yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla:

Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen, koska x1=x2=x3=…=xn=0 on ratkaisu järjestelmään. Tätä ratkaisua kutsutaan tyhjäksi tai triviaaliksi.

2. Gaussin eliminaatiomenetelmä

2.1 Gaussin eliminaatiomenetelmän ydin

Klassinen menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin - Gaussin menetelmä(Sitä kutsutaan myös Gaussin eliminaatiomenetelmäksi). Tämä on menetelmä muuttujien peräkkäiseen eliminointiin, kun alkeismuunnosten avulla yhtälöjärjestelmä pelkistetään porrastetun (tai kolmion) muodon vastaavaksi järjestelmäksi, josta kaikki muut muuttujat löydetään peräkkäin alkaen viimeiset (luvun mukaan) muuttujat.

Gaussin ratkaisuprosessi koostuu kahdesta vaiheesta: eteenpäin- ja taaksepäinliikkeistä.

1. Suora liike.

Ensimmäisessä vaiheessa suoritetaan ns. suora siirto, kun rivien yli suoritettujen alkeismuunnosten avulla järjestelmä saatetaan porrastettuun tai kolmiomaiseen muotoon tai todetaan järjestelmän epäjohdonmukaisuus. Matriisin ensimmäisen sarakkeen elementeistä valitaan nimittäin nollasta poikkeava ykkönen, se siirretään rivejä permutoimalla ylimpään kohtaan ja permutoinnin jälkeen saatu ensimmäinen rivi vähennetään jäljellä olevista riveistä kertomalla se arvolla, joka on yhtä suuri kuin kunkin rivin ensimmäisen elementin suhde ensimmäisen rivin ensimmäiseen elementtiin, nollaten siten sen alapuolella olevan sarakkeen.

Kun ilmoitetut muunnokset on tehty, ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake yliviivataan ja jatketaan, kunnes jäljelle jää nollakokoinen matriisi. Jos joissakin iteraatioissa ensimmäisen sarakkeen elementtien joukosta ei löytynyt nollasta poikkeavaa ykköstä, siirry seuraavaan sarakkeeseen ja suorita samanlainen toimenpide.

Ensimmäisessä vaiheessa (eteenajo) järjestelmä pelkistetään porrastettuun (erityisesti kolmion muotoiseen).

Alla oleva järjestelmä on vaiheittainen:

Kertoimia aii kutsutaan järjestelmän tärkeimmiksi (johtaviksi) elementeiksi.

Muunnamme järjestelmän eliminoimalla tuntemattoman x1:n kaikista yhtälöistä paitsi ensimmäistä (käyttämällä järjestelmän alkeismuunnoksia). Voit tehdä tämän kertomalla ensimmäisen yhtälön molemmat puolet luvulla

Jatkamalla tätä prosessia, saamme vastaavan järjestelmän:

Siten ensimmäisessä vaiheessa kaikki kertoimet ensimmäisen johtavan elementin a 11 alla tuhotaan

Jos järjestelmän pelkistämisessä vaiheittaiseen muotoon ilmaantuu nollayhtälöitä, ts. yhtälöt muotoa 0=0, ne hylätään. Jos on muodon yhtälö

Tämä täydentää Gaussin menetelmän suoran kurssin.

2. Peruutusliike.

Toisessa vaiheessa suoritetaan ns. käänteinen siirto, jonka ydin on ilmaista kaikki tuloksena olevat perusmuuttujat ei-perusmuuttujilla ja rakentaa perusratkaisujärjestelmä, tai jos kaikki muuttujat ovat perusmuuttujia, ilmaista sitten numeerisesti lineaarisen yhtälöjärjestelmän ainoa ratkaisu.

Tämä menettely alkaa viimeisestä yhtälöstä, josta vastaava perusmuuttuja ilmaistaan ​​(sissä on vain yksi) ja korvataan aiemmilla yhtälöillä ja niin edelleen "askeleita" ylöspäin.

Jokainen rivi vastaa täsmälleen yhtä perusmuuttujaa, joten jokaisessa vaiheessa viimeistä (ylimmän) lukuun ottamatta tilanne toistaa täsmälleen viimeisen rivin tapauksen.

Huomaa: käytännössä on kätevämpää työskennellä ei järjestelmän kanssa, vaan sen laajennetun matriisin kanssa suorittamalla kaikki alkeismuunnokset sen riveillä. On kätevää, että kerroin a11 on yhtä suuri kuin 1 (järjestä yhtälöt uudelleen tai jaa yhtälön molemmat puolet a11:llä).

2.2 Esimerkkejä SLAE:n ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Tässä osiossa kolmella eri esimerkillä näytämme kuinka Gaussin menetelmää voidaan käyttää SLAE:n ratkaisemiseen.

Esimerkki 1. Ratkaise kolmannen asteen SLAE.

Aseta kertoimet nollaan klo

Tässä artikkelissa menetelmää tarkastellaan tapana ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä (SLAE). Menetelmä on analyyttinen, eli sen avulla voit kirjoittaa ratkaisualgoritmin yleisessä muodossa ja sitten korvata arvoja tietyistä esimerkeistä. Toisin kuin matriisimenetelmässä tai Cramerin kaavoissa, kun lineaariyhtälöjärjestelmää ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä, voit työskennellä myös niiden kanssa, joilla on äärettömän monta ratkaisua. Tai sitten heillä ei ole sitä ollenkaan.

Mitä tarkoittaa Gauss

Ensin sinun on kirjoitettava yhtälöjärjestelmämme kohtaan Se näyttää tältä. Järjestelmä on otettu:

Kertoimet kirjoitetaan taulukon muodossa ja oikealla erillisessä sarakkeessa - vapaat jäsenet. Sarake, jossa on vapaita jäseniä, on erotettu kätevyyden vuoksi.Tämän sarakkeen sisältävää matriisia kutsutaan laajennetuksi.

Lisäksi päämatriisi kertoimilla on pienennettävä ylempään kolmion muotoon. Tämä on pääkohta järjestelmän ratkaisemisessa Gaussin menetelmällä. Yksinkertaisesti sanottuna, tiettyjen manipulaatioiden jälkeen matriisin tulisi näyttää tältä, jotta sen vasemmassa alakulmassa on vain nollia:

Sitten, jos kirjoitat uuden matriisin uudelleen yhtälöjärjestelmäksi, huomaat, että viimeisellä rivillä on jo yhden juuren arvo, joka sitten korvataan yllä olevaan yhtälöön, toinen juuri löytyy ja niin edelleen.

Tämä on Gaussin menetelmän ratkaisun kuvaus yleisimmillä termeillä. Ja mitä tapahtuu, jos järjestelmällä ei yhtäkkiä ole ratkaisua? Vai onko niitä ääretön määrä? Näihin ja moniin muihin kysymyksiin vastaamiseksi on tarpeen tarkastella erikseen kaikkia Gaussin menetelmän ratkaisussa käytettyjä elementtejä.

Matriisit, niiden ominaisuudet

Matriisissa ei ole piilotettua merkitystä. Se on vain kätevä tapa tallentaa tietoja myöhempää käyttöä varten. Edes koululaisten ei pitäisi pelätä niitä.

Matriisi on aina suorakaiteen muotoinen, koska se on kätevämpää. Jopa Gaussin menetelmässä, jossa kaikki tiivistyy kolmiomatriisin rakentamiseen, syötteessä näkyy suorakulmio, jossa on vain nollia paikassa, jossa ei ole numeroita. Nollat ​​voidaan jättää pois, mutta ne ovat implisiittisiä.

Matriisilla on koko. Sen "leveys" on rivien lukumäärä (m), sen "pituus" on sarakkeiden lukumäärä (n). Tällöin matriisin A koko (nimessä käytetään yleensä latinalaisia ​​isoja kirjaimia) merkitään A m×n . Jos m=n, niin tämä matriisi on neliö ja m=n on sen järjestys. Vastaavasti mitä tahansa matriisin A elementtiä voidaan merkitä sen rivin ja sarakkeen numerolla: a xy ; x - rivin numero, muutokset , y - sarakkeen numero, muutokset .

B ei ole ratkaisun pääkohta. Periaatteessa kaikki toiminnot voidaan suorittaa suoraan yhtälöillä, mutta merkintä on paljon hankalampaa, ja siinä on paljon helpompi hämmentää.

Determinantti

Matriisilla on myös determinantti. Tämä on erittäin tärkeä ominaisuus. Sen merkityksen selvittäminen nyt ei ole sen arvoista, voit yksinkertaisesti näyttää, kuinka se lasketaan, ja sitten kertoa, mitkä matriisin ominaisuudet se määrittää. Helpoin tapa löytää determinantti on diagonaalien avulla. Matriisiin piirretään kuvitteelliset diagonaalit; jokaisessa niistä sijaitsevat elementit kerrotaan, ja sitten tuloksena saadut tuotteet lisätään: diagonaalit, joiden kaltevuus on oikealle - "plus"-merkillä, kaltevuus vasemmalle - "miinus"-merkillä.

On erittäin tärkeää huomata, että determinantti voidaan laskea vain neliömatriisille. Suorakulmaiselle matriisille voit tehdä seuraavasti: valita rivien lukumäärästä ja sarakkeiden lukumäärästä pienin (olkoon se k) ja merkitä satunnaisesti matriisiin k saraketta ja k riviä. Valittujen sarakkeiden ja rivien leikkauskohdassa sijaitsevat elementit muodostavat uuden neliömatriisin. Jos tällaisen matriisin determinantti on jokin muu luku kuin nolla, niin sitä kutsutaan alkuperäisen suorakulmamatriisin kantamolliksi.

Ennen kuin jatkat yhtälöjärjestelmän ratkaisua Gaussin menetelmällä, determinantin laskeminen ei haittaa. Jos se osoittautuu nollaksi, voimme heti sanoa, että matriisissa on joko ääretön määrä ratkaisuja tai niitä ei ole ollenkaan. Tällaisessa surullisessa tapauksessa sinun on mentävä pidemmälle ja selvitettävä matriisin arvo.

Järjestelmän luokitus

On olemassa sellainen asia kuin matriisin arvo. Tämä on sen nollasta poikkeavan determinantin maksimijärjestys (muistaessamme perus-mollin, voimme sanoa, että matriisin järjestys on kanta-mollin järjestys).

Sen mukaan, miten asiat ovat arvon kanssa, SLAE voidaan jakaa:

• Yhteinen. klo yhteisjärjestelmissä päämatriisin (joka koostuu vain kertoimista) sijoitus on sama kuin laajennetun matriisin (vapaiden jäsenten sarakkeen) arvo. Tällaisilla järjestelmillä on ratkaisu, mutta ei välttämättä yksi, joten liitosjärjestelmät jaetaan lisäksi:
• - varma- ainutlaatuinen ratkaisu. Tietyissä järjestelmissä matriisin järjestys ja tuntemattomien lukumäärä (tai sarakkeiden lukumäärä, mikä on sama asia) ovat yhtä suuret;
• - määrittelemätön -äärettömällä määrällä ratkaisuja. Tällaisten järjestelmien matriisien järjestys on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä.
• Yhteensopimaton. klo sellaisissa järjestelmissä pää- ja laajennettujen matriisien rivit eivät ole samat. Yhteensopimattomilla järjestelmillä ei ole ratkaisua.

Gaussin menetelmä on hyvä siinä mielessä, että sen avulla voidaan saada joko yksiselitteinen todistus järjestelmän epäjohdonmukaisuudesta (laskematta suurten matriisien determinantteja) tai yleinen ratkaisu systeemille, jossa on ääretön määrä ratkaisuja.

Elementaariset muunnokset

Ennen kuin siirryt suoraan järjestelmän ratkaisuun, on mahdollista tehdä siitä vähemmän raskas ja helpompi laskelmia varten. Tämä saavutetaan elementaarisilla muunnoksilla - siten, että niiden toteutus ei muuta lopullista vastausta millään tavalla. On huomattava, että jotkut yllä olevista alkeismuunnoksista ovat voimassa vain matriiseille, joiden lähde oli juuri SLAE. Tässä on luettelo näistä muunnoksista:

1. Merkkijonojen permutaatio. On selvää, että jos muutamme yhtälöiden järjestystä järjestelmätietueessa, tämä ei vaikuta ratkaisuun millään tavalla. Tämän seurauksena on myös mahdollista vaihtaa rivejä tämän järjestelmän matriisissa, unohtamatta tietysti vapaiden jäsenten saraketta.
2. Kerrotaan kaikki merkkijonon elementit jollakin kertoimella. Todella hyödyllinen! Sen avulla voit pienentää suuria lukuja matriisissa tai poistaa nollia. Ratkaisujoukko, kuten tavallista, ei muutu, ja jatkotoimintojen suorittaminen on helpompaa. Tärkeintä on, että kerroin ei ole nolla.
3. Poista rivit suhteellisilla kertoimilla. Tämä seuraa osittain edellisestä kappaleesta. Jos kahdella tai useammalla matriisin rivillä on suhteelliset kertoimet, kerrottaessa / jakamalla yksi riveistä suhteellisuuskertoimella saadaan kaksi (tai jälleen enemmän) täysin identtistä riviä, ja voit poistaa ylimääräiset, jättäen vain yksi.
4. Nollaviivan poistaminen. Jos muunnosten aikana saadaan jostain merkkijono, jossa kaikki alkiot, mukaan lukien vapaa jäsen, ovat nollia, niin tällaista merkkijonoa voidaan kutsua nollaksi ja heittää pois matriisista.
5. Lisäämällä yhden rivin elementteihin toisen (vastaavissa sarakkeissa) olevat elementit, kerrottuna tietyllä kertoimella. Epäselvin ja tärkein muutos kaikista. Siihen kannattaa perehtyä tarkemmin.

Merkkijonon lisääminen kertomalla kertoimella

Ymmärtämisen helpottamiseksi tämä prosessi kannattaa purkaa vaihe vaiheelta. Matriisista on otettu kaksi riviä:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Oletetaan, että sinun on lisättävä ensimmäinen toiseen kerrottuna kertoimella "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Sitten matriisissa toinen rivi korvataan uudella, ja ensimmäinen pysyy ennallaan.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

On huomattava, että kertokerroin voidaan valita siten, että kahden merkkijonon yhteenlaskemisen seurauksena yksi uuden merkkijonon elementeistä on nolla. Siksi on mahdollista saada järjestelmään yhtälö, jossa on yksi tuntematon vähemmän. Ja jos saat kaksi tällaista yhtälöä, toimenpide voidaan tehdä uudelleen ja saada yhtälö, joka sisältää jo kaksi vähemmän tuntematonta. Ja jos joka kerta käännämme nollaan yhden kertoimen kaikille riveille, jotka ovat pienempiä kuin alkuperäinen, voimme askelten tapaan mennä alas matriisin alaosaan ja saada yhtälön yhdellä tuntemattomalla. Tätä kutsutaan järjestelmän ratkaisemiseksi Gaussin menetelmällä.

Yleisesti

Olkoon järjestelmä. Siinä on m yhtälöä ja n tuntematonta juurta. Voit kirjoittaa sen muistiin näin:

Päämatriisi kootaan järjestelmän kertoimista. Sarake vapaista jäsenistä lisätään laajennettuun matriisiin ja erotetaan palkilla mukavuuden vuoksi.

• matriisin ensimmäinen rivi kerrotaan kertoimella k = (-a 21 / a 11);
• matriisin ensimmäinen modifioitu rivi ja toinen rivi lisätään;
• toisen rivin sijasta edellisen kappaleen lisäyksen tulos lisätään matriisiin;
• nyt uuden toisen rivin ensimmäinen kerroin on a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nyt suoritetaan sama muunnossarja, vain ensimmäinen ja kolmas rivi ovat mukana. Vastaavasti kussakin algoritmin vaiheessa elementti a21 korvataan elementillä 31. Sitten kaikki toistetaan 41 , ... a m1 : lle . Tuloksena on matriisi, jossa rivien ensimmäinen elementti on nolla. Nyt meidän täytyy unohtaa rivi numero yksi ja suorittaa sama algoritmi alkaen toisesta rivistä:

• kerroin k \u003d (-a 32 / a 22);
• toinen muokattu rivi lisätään "nykyiselle" riville;
• lisäyksen tulos korvataan kolmannella, neljännellä ja niin edelleen rivillä, kun taas ensimmäinen ja toinen pysyvät muuttumattomina;
• matriisin riveillä kaksi ensimmäistä alkiota ovat jo yhtä suuria kuin nolla.

Algoritmia on toistettava, kunnes kerroin k = (-a m,m-1 /a mm) tulee näkyviin. Tämä tarkoittaa, että viimeksi algoritmi suoritettiin vain alemmalle yhtälölle. Nyt matriisi näyttää kolmiolta tai sillä on porrastettu muoto. Alarivillä on yhtälö a mn × x n = b m . Kerroin ja vapaa termi tunnetaan ja juuri ilmaistaan ​​niiden kautta: x n = b m /a mn. Tuloksena oleva juuri korvataan ylimmälle riville, jotta saadaan x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Ja niin edelleen analogisesti: jokaisessa seuraavassa rivissä on uusi juuri, ja saavutettuasi järjestelmän "huipulle" voit löytää monia ratkaisuja. Se on ainoa.

Kun ratkaisuja ei ole

Jos jollakin matriisirivillä kaikki alkiot vapaata termiä lukuun ottamatta ovat nollia, niin tätä riviä vastaava yhtälö näyttää tältä 0 = b. Sillä ei ole ratkaisua. Ja koska tällainen yhtälö sisältyy järjestelmään, koko järjestelmän ratkaisujoukko on tyhjä, eli se on rappeutunut.

Kun ratkaisuja on ääretön määrä

Voi käydä ilmi, että pelkistetyssä kolmiomatriisissa ei ole rivejä, joissa on yksi elementti - yhtälön kerroin ja yksi - vapaa jäsen. On vain merkkijonoja, jotka uudelleen kirjoitettuna näyttävät yhtälöltä, jossa on kaksi tai useampia muuttujia. Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä tapauksessa vastaus voidaan antaa yleisen ratkaisun muodossa. Kuinka tehdä se?

Kaikki matriisin muuttujat on jaettu perus- ja vapaaksi. Perus - nämä ovat niitä, jotka seisovat porrasmatriisin rivien "reunalla". Loput ovat ilmaisia. Yleisessä ratkaisussa perusmuuttujat kirjoitetaan vapailla muuttujilla.

Mukavuuden vuoksi matriisi kirjoitetaan ensin takaisin yhtälöjärjestelmäksi. Sitten viimeisessä, jossa täsmälleen vain yksi perusmuuttuja oli jäljellä, se jää toiselle puolelle ja kaikki muu siirtyy toiselle. Tämä tehdään jokaiselle yhtälölle yhdellä perusmuuttujalla. Sitten muissa yhtälöissä, mikäli mahdollista, perusmuuttujan sijasta korvataan sille saatu lauseke. Jos tuloksena on jälleen lauseke, joka sisältää vain yhden perusmuuttujan, se ilmaistaan ​​sieltä uudelleen ja niin edelleen, kunnes jokainen perusmuuttuja kirjoitetaan lausekkeeksi, jossa on vapaita muuttujia. Tämä on SLAE:n yleinen ratkaisu.

Löydät myös järjestelmän perusratkaisun - anna vapaille muuttujille mitkä tahansa arvot ja laske sitten tässä tapauksessa perusmuuttujien arvot. Erityisratkaisuja on äärettömän paljon.

Ratkaisu konkreettisilla esimerkeillä

Tässä on yhtälöjärjestelmä.

Mukavuuden vuoksi on parempi luoda sen matriisi välittömästi

Tiedetään, että Gaussin menetelmällä ratkaistaessa ensimmäistä riviä vastaava yhtälö pysyy muunnoksen lopussa muuttumattomana. Siksi on kannattavampaa, jos matriisin vasen ylempi elementti on pienin - sitten jäljellä olevien rivien ensimmäiset elementit toimintojen jälkeen muuttuvat nollaan. Tämä tarkoittaa, että käännetyssä matriisissa on edullista laittaa toinen ensimmäisen rivin tilalle.

toinen rivi: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

kolmas rivi: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Nyt, jotta ei menisi sekaisin, on tarpeen kirjoittaa muistiin matriisi muunnosten välituloksilla.

On selvää, että tällainen matriisi voidaan tehdä havainnointia helpommaksi joidenkin operaatioiden avulla. Voit esimerkiksi poistaa kaikki "miinukset" toiselta riviltä kertomalla kunkin elementin "-1":llä.

On myös syytä huomata, että kolmannella rivillä kaikki elementit ovat kolmen kerrannaisia. Sitten voit pienentää merkkijonoa tällä numerolla kertomalla jokaisen elementin "-1/3" (miinus - samalla poistaa negatiiviset arvot).

Näyttää paljon mukavammalta. Nyt meidän on jätettävä rauhaan ensimmäinen rivi ja työskenneltävä toisen ja kolmannen kanssa. Tehtävänä on lisätä toinen rivi kolmanteen riviin kerrottuna sellaisella kertoimella, että elementti a 32 on yhtä suuri kuin nolla.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 murtolukua, ja vasta sitten, kun vastaukset on saatu, päätä pyöristetäänkö ja käännetäänkö se toiseen merkintämuotoon)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matriisi kirjoitetaan uudelleen uusilla arvoilla.

Kuten näet, tuloksena olevalla matriisilla on jo porrastettu muoto. Siksi järjestelmän lisämuunnoksia Gaussin menetelmällä ei tarvita. Mitä tässä voidaan tehdä, on poistaa kokonaiskerroin "-1/7" kolmannelta riviltä.

Nyt kaikki on kaunista. Piste on pieni - kirjoita matriisi uudelleen yhtälöjärjestelmän muodossa ja laske juuret

x + 2y + 4z = 12(1)

7v + 11z = 24 (2)

Algoritmia, jolla juuret nyt löydetään, kutsutaan Gaussin menetelmässä käänteiseksi liikkeeksi. Yhtälö (3) sisältää z:n arvon:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

Ja ensimmäinen yhtälö antaa sinun löytää x:

x = (12 - 4z - 2v) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Meillä on oikeus kutsua tällaista järjestelmää yhteiseksi, jopa lopulliseksi, eli ainutlaatuisella ratkaisulla. Vastaus on kirjoitettu seuraavassa muodossa:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Esimerkki epämääräisestä järjestelmästä

Varianttia tietyn järjestelmän ratkaisemiseksi Gaussin menetelmällä on analysoitu, nyt on tarkasteltava tapausta, jos järjestelmä on epämääräinen, eli sille voidaan löytää äärettömän monta ratkaisua.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Jo järjestelmän muoto on hälyttävä, koska tuntemattomien lukumäärä on n = 5 ja järjestelmän matriisin järjestys on jo tasan pienempi kuin tämä luku, koska rivien lukumäärä on m = 4, eli neliödeterminantin suurin kertaluku on 4. Tämä tarkoittaa, että ratkaisuja on ääretön määrä ja sen yleinen muoto on etsittävä. Gaussin menetelmä lineaarisille yhtälöille mahdollistaa tämän.

Ensin, kuten tavallista, kootaan lisätty matriisi.

Toinen rivi: kerroin k = (-a 21 / a 11) = -3. Kolmannella rivillä ensimmäinen elementti on ennen muunnoksia, joten sinun ei tarvitse koskea mihinkään, sinun on jätettävä se sellaisenaan. Neljäs rivi: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Kertomalla ensimmäisen rivin elementit kullakin kertoimella vuorotellen ja lisäämällä ne haluttuihin riveihin, saadaan seuraavan muotoinen matriisi:

Kuten näet, toinen, kolmas ja neljäs rivi koostuvat elementeistä, jotka ovat verrannollisia toisiinsa. Toinen ja neljäs ovat yleensä samat, joten yksi niistä voidaan poistaa välittömästi, ja loput kerrotaan kertoimella "-1" ja saadaan rivi numero 3. Jätä jälleen toinen kahdesta identtisestä rivistä.

Sellainen matriisi osoittautui. Järjestelmää ei ole vielä kirjoitettu, tässä on tarpeen määrittää perusmuuttujat - kertoimilla 11 \u003d 1 ja 22 \u003d 1 ja vapaana - kaikki loput.

Toisessa yhtälössä on vain yksi perusmuuttuja - x 2 . Siten se voidaan ilmaista sieltä kirjoittamalla muuttujien x 3 , x 4 , x 5 kautta, jotka ovat vapaita.

Korvaamme tuloksena olevan lausekkeen ensimmäiseen yhtälöön.

Selvisi yhtälö, jossa ainoa perusmuuttuja on x 1. Tehdään samalla tavalla kuin x 2 :n kanssa.

Kaikki perusmuuttujat, joita on kaksi, ilmaistaan ​​kolmella vapaalla, nyt voit kirjoittaa vastauksen yleisessä muodossa.

Voit myös määrittää jonkin järjestelmän tietyistä ratkaisuista. Tällaisissa tapauksissa vapaiden muuttujien arvoiksi valitaan pääsääntöisesti nollat. Sitten vastaus on:

16, 23, 0, 0, 0.

Esimerkki yhteensopimattomasta järjestelmästä

Epäjohdonmukaisten yhtälöjärjestelmien ratkaisu Gaussin menetelmällä on nopein. Se päättyy heti, kun jossakin vaiheessa saadaan yhtälö, jolla ei ole ratkaisua. Eli aika pitkä ja synkkä juuren laskemisen vaihe katoaa. Seuraavaa järjestelmää harkitaan:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kuten tavallista, matriisi on koottu:

Ja se on pelkistetty porrastettuun muotoon:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

Ensimmäisen muunnoksen jälkeen kolmas rivi sisältää muodon yhtälön

jolla ei ole ratkaisua. Siksi järjestelmä on epäjohdonmukainen, ja vastaus on tyhjä joukko.

Menetelmän edut ja haitat

Jos valitset menetelmän ratkaista SLAE paperilla kynällä, tässä artikkelissa harkittu menetelmä näyttää houkuttelevimmalta. Alkeismuunnoksissa on paljon vaikeampaa hämmentyä kuin tapahtuu, jos joutuu etsimään manuaalisesti determinanttia tai jotain hankalaa käänteismatriisia. Jos kuitenkin käytät ohjelmia tämän tyyppisten tietojen, esimerkiksi laskentataulukoiden, käsittelyyn, käy ilmi, että tällaiset ohjelmat sisältävät jo algoritmeja matriisien pääparametrien laskemiseen - determinantti, ala-arvo, käänteinen ja niin edelleen. Ja jos olet varma, että kone laskee nämä arvot itse eikä tee virhettä, on tarkoituksenmukaisempaa käyttää matriisimenetelmää tai Cramerin kaavoja, koska niiden käyttö alkaa ja päättyy determinanttien ja käänteisten matriisien laskemiseen.

Sovellus

Koska Gaussin ratkaisu on algoritmi ja matriisi on itse asiassa kaksiulotteinen matriisi, sitä voidaan käyttää ohjelmoinnissa. Mutta koska artikkeli asettuu oppaaksi "nukkeille", on sanottava, että helpoin paikka menetelmän sijoittamiseen on laskentataulukot, esimerkiksi Excel. Jälleen mitä tahansa matriisin muodossa olevaan taulukkoon syötettyä SLAE:tä Excel pitää kaksiulotteisena taulukkona. Ja operaatioille niillä on monia mukavia komentoja: yhteenlasku (voit lisätä vain samankokoisia matriiseja!), kertominen luvulla, matriisikerto (myös tietyin rajoituksin), käänteisten ja transponoitujen matriisien löytäminen ja mikä tärkeintä , laskemalla determinantin. Jos tämä aikaa vievä tehtävä korvataan yhdellä komennolla, on paljon nopeampaa määrittää matriisin arvo ja siten selvittää sen yhteensopivuus tai epäjohdonmukaisuus.