Tasoyhtälön rakentaminen kolmeen pisteeseen. Tason yhtälö: kuinka säveltää? Tasoyhtälöiden tyypit

Jotta yksi taso voidaan piirtää minkä tahansa kolmen pisteen läpi avaruudessa, on välttämätöntä, että nämä pisteet eivät ole yhdellä suoralla.

Tarkastellaan pisteitä M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) yhteisessä suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Jotta mielivaltainen piste M(x, y, z) olisi samassa tasossa kuin pisteet M 1 , M 2 , M 3 , vektorien on oltava samassa tasossa.

(
) = 0

Täten,

Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

Tason yhtälö kahden pisteen suhteen ja tason kanssa kollineaarinen vektori.

Olkoon pisteet M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ja vektori
.

Muodostetaan yhtälö tasolle, joka kulkee annettujen pisteiden M 1 ja M 2 ja mielivaltaisen vektorin suuntaisen pisteen M (x, y, z) kautta .

Vektorit
ja vektori
on oltava samassa tasossa, ts.

(
) = 0

Tasoyhtälö:

Tason yhtälö yhden pisteen ja kahden vektorin suhteen,

kollineaarinen taso.

Olkoon kaksi vektoria annettu
ja
, kollineaariset tasot. Sitten tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) vektorit
on oltava samassa tasossa.

Tasoyhtälö:

Tasoyhtälö pisteen ja normaalivektorin mukaan .

Lause. Jos piste M on annettu avaruudessa 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), sitten pisteen M läpi kulkevan tason yhtälö 0 kohtisuorassa normaalivektoriin nähden (A, B, C) näyttää:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Todiste. Tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) muodostetaan vektori . Koska vektori - normaalivektori, silloin se on kohtisuorassa tasoon nähden ja siten kohtisuorassa vektoriin nähden
. Sitten skalaaritulo

= 0

Siten saamme tason yhtälön

Lause on todistettu.

Tason yhtälö segmenteissä.

Jos yleisessä yhtälössä Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, jaa molemmat osat (-D)

,

korvaamalla
, saamme tason yhtälön segmenteissä:

Numerot a, b, c ovat vastaavasti tason leikkauspisteitä x-, y-, z-akselien kanssa.

Tasoyhtälö vektorimuodossa.

missä

- nykyisen pisteen sädevektori M(x, y, z),

Yksikkövektori, jonka kohtisuoran suunta on pudonnut tasoon origosta.

,  ja  ovat kulmia, jotka tämä vektori muodostaa x-, y-, z-akselien kanssa.

p on tämän kohtisuoran pituus.

Koordinaateissa tällä yhtälöllä on muoto:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Etäisyys pisteestä tasoon.

Etäisyys mielivaltaisesta pisteestä M 0 (x 0, y 0, z 0) tasoon Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 on:

Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P (4; -3; 12) on alustasta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

Joten A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, käytä kaavaa:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Esimerkki. Etsi kahden pisteen P(2; 0; -1) läpi kulkevan tason yhtälö ja

Q(1; -1; 3) on kohtisuorassa tasoon 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normaalivektori tasolle 3x + 2y - z + 5 = 0
yhdensuuntainen halutun tason kanssa.

Saamme:

Esimerkki. Etsi pisteiden A(2, -1, 4) läpi kulkevan tason yhtälö ja

В(3, 2, -1) kohtisuorassa tasoon nähden X + klo + 2z – 3 = 0.

Halutulla tasoyhtälöllä on muoto: A x+ B y+ C z+ D = 0, tämän tason normaalivektori (A, B, C). Vektori
(1, 3, -5) kuuluu tasoon. Meille annetulla tasolla, joka on kohtisuorassa haluttuun nähden, on normaalivektori (1, 1, 2). Koska pisteet A ja B kuuluvat molempiin tasoihin ja tasot ovat siis keskenään kohtisuorassa

Normaalivektori siis (11, -7, -2). Koska piste A kuuluu haluttuun tasoon, silloin sen koordinaattien on täytettävä tämän tason yhtälö, ts. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Yhteensä saamme tason yhtälön: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P(4, -3, 12) on alustasta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

Normaalivektorin koordinaattien löytäminen
= (4, -3, 12). Haluttu tason yhtälö on muotoa: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Kertoimen D löytämiseksi korvaamme pisteen Р koordinaatit yhtälöön:

16 + 9 + 144 + D = 0

Yhteensä saamme halutun yhtälön: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Esimerkki. Kun on annettu pyramidin kärkien koordinaatit A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Laske reunan pituus A 1 A 2 .

Etsi reunojen A 1 A 2 ja A 1 A 4 välinen kulma.

Etsi reunan A 1 A 4 ja pinnan A 1 A 2 A 3 välinen kulma.

Etsi ensin normaalivektori kasvolle A 1 A 2 A 3 vektorien ristitulona
ja
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Etsi kulma normaalivektorin ja vektorin välillä
.

-4 – 4 = -8.

Haluttu kulma  vektorin ja tason välillä on  = 90 0 - .

Etsi kasvojen pinta-ala A 1 A 2 A 3 .

Etsi pyramidin tilavuus.

Etsi tason А 1 А 2 А 3 yhtälö.

Käytämme kaavaa kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälöön.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

Kun käytät PC-versiota " Korkeamman matematiikan kurssi” voit ajaa ohjelman, joka ratkaisee yllä olevan esimerkin mille tahansa pyramidipisteiden koordinaatille.

Käynnistä ohjelma kaksoisnapsauttamalla kuvaketta:

Syötä avautuvaan ohjelmaikkunaan pyramidipisteiden koordinaatit ja paina Enter. Siten kaikki päätöspisteet voidaan saada yksitellen.

Huomautus: Jotta voit suorittaa ohjelman, sinulla on oltava Maple ( Waterloo Maple Inc.) asennettuna tietokoneellesi, mikä tahansa versio alkaen MapleV Release 4.

Olkoon tarpeen löytää yhtälö tasolle, joka kulkee kolmen sellaisen pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Merkitsemällä niiden sädevektorit merkillä ja nykyistä sädevektoria saamme helposti halutun yhtälön vektorimuodossa. Itse asiassa vektorien , on oltava samassa tasossa (ne kaikki sijaitsevat halutussa tasossa). Siksi näiden vektorien vektori-skalaaritulon on oltava nolla:

Tämä on kolmen tietyn pisteen läpi kulkevan tason yhtälö vektorimuodossa.

Kääntyen koordinaatteihin, saamme yhtälön koordinaatteina:

Jos kolme annettua pistettä ovat samalla suoralla, vektorit olisivat kollineaarisia. Siksi yhtälön (18) determinantin kahden viimeisen rivin vastaavat elementit olisivat verrannollisia ja determinantti olisi identtisesti yhtä suuri kuin nolla. Siksi yhtälöstä (18) tulisi identiteetti kaikille x:n, y:n ja z:n arvoille. Geometrisesti tämä tarkoittaa, että jokaisen avaruuden pisteen läpi kulkee taso, jossa on myös kolme annettua pistettä.

Huomautus 1. Sama ongelma voidaan ratkaista ilman vektoreita.

Merkitään kolmen annetun pisteen koordinaatit, vastaavasti, kirjoitamme minkä tahansa ensimmäisen pisteen läpi kulkevan tason yhtälön:

Halutun tason yhtälön saamiseksi on edellytettävä, että yhtälö (17) täyttyy kahden muun pisteen koordinaateista:

Yhtälöistä (19) on tarpeen määrittää kahden kertoimen suhde kolmanteen ja syöttää löydetyt arvot yhtälöön (17).

Esimerkki 1. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle.

Ensimmäisen näistä pisteistä kulkevan tason yhtälö on:

Edellytykset tason (17) kulkemiselle kahden muun pisteen ja ensimmäisen pisteen läpi ovat:

Lisäämällä toisen yhtälön ensimmäiseen, saamme:

Korvaamalla toisen yhtälön, saamme:

Korvaamalla yhtälöön (17) A:n, B:n, C:n sijaan 1, 5, -4 (niihin verrannolliset luvut), saamme:

Esimerkki 2. Kirjoita yhtälö tasolle, joka kulkee pisteiden (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) kautta.

Minkä tahansa pisteen (0, 0, 0) läpi kulkevan tason yhtälö on]

Edellytykset tämän tason kulkemiselle pisteiden (1, 1, 1) ja (2, 2, 2) läpi ovat:

Pienentämällä toista yhtälöä kahdella, näemme, että kahden tuntemattoman määrittämiseksi suhteella on yksi yhtälö

Täältä saamme. Korvaamalla nyt tasoyhtälöön sen arvon sijaan, löydämme:

Tämä on halutun tason yhtälö; se riippuu mielivaltaisesta

suuret B, C (eli suhteesta, eli kolmen tietyn pisteen kautta kulkevia tasoja on ääretön määrä (kolme annettua pistettä on yhdellä suoralla).

Huomautus 2. Ongelma piirtää taso kolmen tietyn pisteen läpi, jotka eivät ole samalla suoralla, on helppo ratkaista yleisessä muodossa, jos käytämme determinantteja. Todellakin, koska yhtälöissä (17) ja (19) kertoimet A, B, C eivät voi olla yhtä aikaa yhtä suuria kuin nolla, niin, kun näitä yhtälöitä pidetään homogeenisena järjestelmänä, jossa on kolme tuntematonta A, B, C, kirjoitetaan välttämätön ja riittävä. ehto tämän järjestelmän ratkaisun olemassaololle, muu kuin nolla (osa 1, luku VI, § 6):

Laajentamalla tätä determinanttia ensimmäisen rivin elementeillä, saadaan ensimmäisen asteen yhtälö nykyisten koordinaattien suhteen, joka täyttyy erityisesti kolmen annetun pisteen koordinaateista.

Tämä jälkimmäinen voidaan myös varmistaa suoraan, jos korvaamme minkä tahansa näiden pisteiden koordinaatit determinantilla kirjoitetun yhtälön sijaan. Vasemmalla puolella saadaan determinantti, jossa joko ensimmäisen rivin alkiot ovat nolla tai kaksi identtistä riviä. Näin ollen muotoiltu yhtälö edustaa tasoa, joka kulkee kolmen tietyn pisteen läpi.

Tasoyhtälö. Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle?
Lentokoneiden keskinäinen järjestely. Tehtävät

Tilageometria ei ole paljon monimutkaisempaa kuin "litteä" geometria, ja lentomme avaruudessa alkavat tästä artikkelista. Aiheen ymmärtämiseksi on oltava hyvä käsitys aiheesta vektorit, lisäksi on toivottavaa tuntea tason geometria - siellä on monia yhtäläisyyksiä, monia analogioita, joten tiedot sulautuvat paljon paremmin. Oppituntieni sarjassa 2D-maailma avautuu artikkelilla Tason suoran yhtälö. Mutta nyt Batman on poistunut taulutelevisiosta ja lähtee liikkeelle Baikonurin kosmodromista.

Aloitetaan piirustuksista ja symboleista. Kaavamaisesti taso voidaan piirtää suunnikkaana, joka antaa vaikutelman avaruudesta:

Taso on ääretön, mutta meillä on mahdollisuus kuvata vain osa siitä. Käytännössä suunnikkaan lisäksi piirretään myös soikea tai jopa pilvi. Teknisistä syistä minun on helpompi kuvata kone tällä tavalla ja tässä asennossa. Todelliset tasot, joita tarkastelemme käytännön esimerkeissä, voidaan järjestää millä tahansa tavalla - ota piirustus henkisesti käsiisi ja käännä sitä avaruudessa antamalla tasolle minkä tahansa kaltevuuden, minkä tahansa kulman.

Merkintä: on tapana merkitä lentokoneet pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla, ilmeisesti, jotta niitä ei sekoitettaisi suoraan lentokoneessa tai kanssa suoraan avaruuteen. Olen tottunut käyttämään kirjainta. Piirustuksessa se on kirjain "sigma", eikä ollenkaan reikä. Vaikka reikäinen lentokone, se on varmasti erittäin hauska.

Joissakin tapauksissa on kätevää käyttää samoja kreikkalaisia ​​kirjaimia alaindeksien kanssa osoittamaan tasoja, esimerkiksi .

On selvää, että tason määrittää yksiselitteisesti kolme erilaista pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Siksi lentokoneiden kolmikirjaiminen nimitykset ovat melko suosittuja - esimerkiksi niihin kuuluvien pisteiden mukaan jne. Usein kirjaimet ovat sulkeissa: , jotta tasoa ei sekoitettaisi toiseen geometriseen kuvioon.

Kokeneille lukijoille annan pikavalikko:

• Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja kahden vektorin avulla?
• Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja normaalivektorin avulla?

emmekä joudu pitkiin odotuksiin:

Tason yleinen yhtälö

Tason yleinen yhtälö on muotoa , jossa kertoimet ovat samanaikaisesti nollasta poikkeavia.

Useat teoreettiset laskelmat ja käytännön ongelmat pätevät sekä tavanomaiselle ortonormaalille että avaruuden affiiniselle kannalle (jos öljy on öljyä, palaa oppitunnille Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta). Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että kaikki tapahtumat tapahtuvat ortonormaalilla pohjalla ja suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Ja nyt harjoitellaan vähän avaruudellista mielikuvitusta. Ei hätää, jos sinulla on se huono, nyt kehitetään sitä hieman. Myös hermoilla pelaaminen vaatii harjoittelua.

Yleisimmässä tapauksessa, kun luvut eivät ole yhtä suuria kuin nolla, taso leikkaa kaikki kolme koordinaattiakselia. Esimerkiksi näin:

Toistan vielä kerran, että kone jatkaa loputtomiin kaikkiin suuntiin, ja meillä on mahdollisuus kuvata vain osa siitä.

Harkitse yksinkertaisimpia tasojen yhtälöitä:

Kuinka ymmärtää tämä yhtälö? Ajattele sitä: "Z" AINA, kaikille "X" ja "Y" arvoille on nolla. Tämä on "natiivi" koordinaattitason yhtälö. Itse asiassa muodollisesti yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , josta näkyy selvästi, että emme välitä, mitkä arvot "x" ja "y" ottavat, on tärkeää, että "z" on nolla.

Samalla lailla:
on koordinaattitason yhtälö ;
on koordinaattitason yhtälö.

Monimutkaistaan ​​ongelmaa hieman, harkitsemme tasoa (tässä ja edelleen kappaleessa oletetaan, että numeeriset kertoimet eivät ole yhtä suuret kuin nolla). Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon: . Kuinka se ymmärtää? "X" on AINA, koska mikä tahansa "y":n ja "z":n arvo on yhtä suuri kuin tietty luku. Tämä taso on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa. Esimerkiksi taso on yhdensuuntainen tason kanssa ja kulkee pisteen läpi.

Samalla lailla:
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa;
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa.

Lisää jäseniä: . Yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , eli "Z" voi olla mikä tahansa. Mitä se tarkoittaa? "X" ja "Y" on yhdistetty suhteella, joka piirtää tietyn suoran tasoon (tunteat tasossa olevan suoran yhtälö?). Koska Z voi olla mikä tahansa, tämä viiva "toistetaan" millä tahansa korkeudella. Siten yhtälö määrittelee tason, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa

Samalla lailla:
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa;
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa.

Jos vapaat termit ovat nolla, tasot kulkevat suoraan vastaavien akselien läpi. Esimerkiksi klassinen "suora suhteellisuus":. Piirrä suora viiva tasoon ja kerro se henkisesti ylös ja alas (koska "z" on mikä tahansa). Johtopäätös: yhtälön antama taso kulkee koordinaattiakselin läpi.

Päätämme tarkastelun: tason yhtälö kulkee alkuperän läpi. No, tässä on aivan ilmeistä, että piste täyttää annetun yhtälön.

Ja lopuksi tapaus, joka näkyy piirustuksessa: - taso on ystävä kaikkien koordinaattiakseleiden kanssa, samalla kun se "leikkaa" aina kolmion, joka voi sijaita missä tahansa kahdeksasta oktantista.

Lineaariset epäyhtälöt avaruudessa

Tietojen ymmärtämiseksi on opiskella hyvin lineaariset epäyhtälöt tasossa koska monet asiat ovat samanlaisia. Kappale on lyhyt katsaus muutaman esimerkin kera, koska materiaali on käytännössä melko harvinaista.

Jos yhtälö määrittelee tason, niin epäyhtälöt
kysyä puolivälit. Jos epäyhtälö ei ole tiukka (luettelon kaksi viimeistä), niin epäyhtälön ratkaisu sisältää puoliavaruuden lisäksi itse tason.

Esimerkki 5

Etsi tason yksikkönormaalivektori .

Päätös: Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi. Merkitään tämä vektori merkillä . On aivan selvää, että vektorit ovat kollineaarisia:

Ensin poistetaan normaalivektori tason yhtälöstä: .

Kuinka löytää yksikkövektori? Yksikkövektorin löytämiseksi tarvitset joka vektorikoordinaatti jaettuna vektorin pituudella.

Kirjoitetaan normaalivektori muotoon ja selvitetään sen pituus:

Yllä olevan mukaan:

Vastaus:

Tarkista: , joka oli tarkistettava.

Lukijat, jotka ovat tutkineet huolellisesti oppitunnin viimeistä kappaletta, luultavasti huomasivat sen yksikkövektorin koordinaatit ovat täsmälleen vektorin suuntakosinit:

Poistutaanpa puretun ongelmasta: kun sinulle annetaan mielivaltainen nollasta poikkeava vektori, ja ehdon mukaan sen suuntakosinit on löydettävä (katso oppitunnin viimeiset tehtävät Vektorien pistetulo), löydät itse asiassa myös yksikkövektorin, joka on kollineaarinen annetun vektorin kanssa. Itse asiassa kaksi tehtävää samassa pullossa.

Tarve löytää yksikkönormaalivektori syntyy joissakin matemaattisen analyysin ongelmissa.

Selvitimme normaalin vektorin kalastuksen, nyt vastaamme päinvastaiseen kysymykseen:

Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja normaalivektorin avulla?

Tikkataulu tuntee hyvin tämän normaalivektorin ja pisteen jäykän rakenteen. Ojenna kätesi eteenpäin ja valitse mielivaltaisesti mielivaltainen piste avaruudesta, esimerkiksi pieni kissa senkkissä. Ilmeisesti tämän pisteen kautta voit piirtää yhden tason, joka on kohtisuorassa käteesi nähden.

Vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan tason yhtälö ilmaistaan ​​kaavalla:

Se voidaan määrittää eri tavoin (yksi piste ja vektori, kaksi pistettä ja vektori, kolme pistettä jne.). Tämä mielessä pitäen tason yhtälöllä voi olla erilaisia ​​muotoja. Tietyissä olosuhteissa tasot voivat myös olla yhdensuuntaisia, kohtisuorassa, leikkaavia jne. Puhumme tästä tässä artikkelissa. Opimme kirjoittamaan tason yleisen yhtälön eikä vain.

Yhtälön normaalimuoto

Oletetaan, että on avaruus R 3, jolla on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä XYZ. Asetamme vektorin α, joka vapautuu alkupisteestä O. Piirretään vektorin α pään kautta taso P, joka on kohtisuorassa sitä vastaan.

Merkitse P:llä mielivaltainen piste Q=(x, y, z). Merkitsemme pisteen Q sädevektorin kirjaimella p. Vektorin α pituus on p=IαI ja Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tämä on yksikkövektori, joka osoittaa sivuttain, aivan kuten vektori α. α, β ja γ ovat kulmia, jotka muodostuvat vektorin Ʋ ja avaruusakselien x, y, z positiivisten suuntien välille, vastaavasti. Jonkin pisteen QϵП projektio vektoriin Ʋ on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Tämä yhtälö on järkevä, kun p = 0. Ainoa asia on, että taso P tässä tapauksessa leikkaa pisteen O (α=0), joka on origo, ja yksikkövektori Ʋ on pisteestä O irrotettuna kohtisuorassa P:tä vastaan, riippumatta sen suunnasta, mikä tarkoittaa, että vektori Ʋ määritetään etumerkkitarkkuudesta. Edellinen yhtälö on P-tasomme yhtälö ilmaistuna vektorimuodossa. Mutta koordinaateissa se näyttää tältä:

P tässä on suurempi tai yhtä suuri kuin 0. Olemme löytäneet avaruuden tason yhtälön normaalimuodossaan.

Yleinen yhtälö

Jos kerromme yhtälön koordinaateissa millä tahansa luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä, joka määrittää saman tason. Se näyttää tältä:

Tässä A, B, C ovat lukuja, jotka ovat samanaikaisesti erilaisia ​​kuin nolla. Tätä yhtälöä kutsutaan yleistasoyhtälöksi.

Tasoyhtälöt. Erikoistapaukset

Yhtälöä yleisessä muodossa voidaan muuttaa lisäehtojen läsnä ollessa. Tarkastellaanpa joitain niistä.

Oletetaan, että kerroin A on 0. Tämä tarkoittaa, että annettu taso on yhdensuuntainen annetun akselin Ox kanssa. Tässä tapauksessa yhtälön muoto muuttuu: Ву+Cz+D=0.

Samalla tavalla yhtälön muoto muuttuu seuraavissa olosuhteissa:

• Ensinnäkin, jos B = 0, niin yhtälö muuttuu muotoon Ax + Cz + D = 0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden Oy-akselin kanssa.
• Toiseksi, jos С=0, niin yhtälö muunnetaan muotoon Ах+Ву+D=0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden annetun akselin Oz kanssa.
• Kolmanneksi, jos D=0, yhtälö näyttää muotoa Ax+By+Cz=0, mikä tarkoittaa, että taso leikkaa O:n (origo).
• Neljänneksi, jos A=B=0, yhtälö muuttuu muotoon Cz+D=0, mikä osoittautuu rinnakkaiseksi Oxyn kanssa.
• Viidenneksi, jos B=C=0, yhtälöstä tulee Ax+D=0, mikä tarkoittaa, että taso Oyz:ään on yhdensuuntainen.
• Kuudenneksi, jos A=C=0, yhtälö saa muotoa Ву+D=0, eli se raportoi rinnakkaisuuden Oxz:lle.

Yhtälön tyyppi segmenteissä

Jos luvut A, B, C, D eivät ole nollia, yhtälön (0) muoto voi olla seuraava:

x/a + y/b + z/c = 1,

jossa a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Saamme tuloksena On syytä huomata, että tämä taso leikkaa Ox-akselin pisteessä, jonka koordinaatit (a,0,0), Oy - (0,b,0) ja Oz - (0,0,c) .

Kun otetaan huomioon yhtälö x/a + y/b + z/c = 1, on helppo esittää visuaalisesti tason sijainti suhteessa annettuun koordinaattijärjestelmään.

Normaali vektorin koordinaatit

Tason P normaalivektorilla n on koordinaatit, jotka ovat annetun tason yleisen yhtälön eli n (A, B, C) kertoimia.

Normaalin n:n koordinaattien määrittämiseksi riittää, että tiedetään tietyn tason yleinen yhtälö.

Käytettäessä yhtälöä segmenteissä, jonka muoto on x/a + y/b + z/c = 1, sekä yleistä yhtälöä käytettäessä voidaan kirjoittaa minkä tahansa tietyn tason normaalivektorin koordinaatit: (1 /a + 1/b + 1/ kanssa).

On huomattava, että normaalivektori auttaa ratkaisemaan erilaisia ​​​​ongelmia. Yleisimpiä ovat tehtävät, jotka koostuvat tasojen kohtisuoran tai yhdensuuntaisuuden osoittamisesta, ongelmista tasojen välisten kulmien tai tasojen ja suorien välisten kulmien löytämisessä.

Näkymä tason yhtälöstä pisteen ja normaalivektorin koordinaattien mukaan

Nollasta poikkeavaa vektoria n, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden, kutsutaan normaaliksi (normaaliksi) tietylle tasolle.

Oletetaan, että koordinaattiavaruudessa (suorakulmainen koordinaattijärjestelmä) Oxyz on annettu:

• piste Mₒ koordinaattein (xₒ,yₒ,zₒ);
• nollavektori n=A*i+B*j+C*k.

On tarpeen laatia yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen Mₒ kautta kohtisuorassa normaaliin n nähden.

Avaruudessa valitsemme minkä tahansa mielivaltaisen pisteen ja merkitsemme sitä M (x y, z). Olkoon minkä tahansa pisteen M (x, y, z) sädevektori r=x*i+y*j+z*k ja pisteen Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) sädevektori - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Piste M kuuluu annettuun tasoon, jos vektori MₒM on kohtisuorassa vektoria n vastaan. Kirjoitamme ortogonaalisuusehdon käyttämällä skalaarituloa:

[MₒM, n] = 0.

Koska MₒM \u003d r-rₒ, tason vektoriyhtälö näyttää tältä:

Tämä yhtälö voi saada toisen muodon. Tätä varten käytetään skalaaritulon ominaisuuksia ja yhtälön vasen puoli muunnetaan. = -. Jos merkitään c:llä, saadaan seuraava yhtälö: - c \u003d 0 tai \u003d c, joka ilmaisee projektioiden pysyvyyden tasoon kuuluvien annettujen pisteiden sädevektoreiden normaalivektoriin.

Nyt voit saada tasomme vektoriyhtälön kirjoittamisen koordinaattimuodon = 0. Koska r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, ja n = A*i+B *j+C*k, meillä on:

Osoittautuu, että meillä on yhtälö tasolle, joka kulkee kohtisuorassa normaaliin n:ään nähden:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Näkymä tasoyhtälöstä kahden pisteen koordinaattien ja tasoon nähden kollineaarisen vektorin mukaan

Määrittelemme kaksi mielivaltaista pistettä M′ (x′,y′,z′) ja M″ (x″,y″,z″) sekä vektorin a (a′,a″,a‴).

Nyt voidaan muodostaa yhtälö annetulle tasolle, joka kulkee käytettävissä olevien pisteiden M′ ja M″ kautta sekä minkä tahansa pisteen M, jonka koordinaatit (x, y, z) ovat yhdensuuntaiset annetun vektorin a kanssa.

Tässä tapauksessa vektorien M'M=(x-x';y-y';z-z') ja M'M=(x'-x';y'-y';z'-z') on oltava samassa tasossa vektorin kanssa a=(a′,a″,a‴), mikä tarkoittaa, että (M′M, M″M, a)=0.

Joten yhtälömme tasosta avaruudessa näyttää tältä:

Kolmen pisteen leikkaavan tason yhtälön tyyppi

Oletetaan, että meillä on kolme pistettä: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), jotka eivät kuulu samaan suoraan. On tarpeen kirjoittaa annettujen kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö. Geometrian teoria väittää, että tällainen taso on todella olemassa, mutta se on ainoa ja jäljittelemätön. Koska tämä taso leikkaa pisteen (x′, y′, z′), sen yhtälön muoto on seuraava:

Tässä A, B, C eroavat nollasta samanaikaisesti. Lisäksi annettu taso leikkaa vielä kaksi pistettä: (x″,y″,z″) ja (x‴,y‴,z‴). Tässä suhteessa seuraavat ehdot on täytettävä:

Nyt voimme muodostaa homogeenisen järjestelmän tuntemattomilla u, v, w:

Meidän tapauksessamme x, y tai z on mielivaltainen piste, joka täyttää yhtälön (1). Kun otetaan huomioon yhtälö (1) ja yhtälöjärjestelmä (2) ja (3), yllä olevassa kuvassa esitetty yhtälöjärjestelmä tyydyttää vektorin N (A, B, C), joka on ei-triviaali. Siksi tämän järjestelmän determinantti on nolla.

Yhtälö (1), jonka olemme saaneet, on tason yhtälö. Se kulkee tarkalleen 3 pisteen läpi, ja tämä on helppo tarkistaa. Tätä varten meidän on laajennettava determinanttiamme ensimmäisen rivin elementtien päälle. Determinantin olemassa olevista ominaisuuksista seuraa, että tasomme leikkaa samanaikaisesti kolme alun perin annettua pistettä (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Eli olemme ratkaisseet meille asetetun tehtävän.

Tasojen välinen dihedraalinen kulma

Dihedraalinen kulma on spatiaalinen geometrinen kuvio, jonka muodostaa kaksi puolitasoa, jotka lähtevät yhdestä suorasta. Toisin sanoen tämä on se osa tilaa, jota nämä puolitasot rajoittavat.

Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa, joilla on seuraavat yhtälöt:

Tiedämme, että vektorit N=(A,B,C) ja N¹=(A¹,B1,C1) ovat kohtisuorassa annettujen tasojen mukaan. Tässä suhteessa vektorien N ja N¹ välinen kulma φ on yhtä suuri kuin kulma (dihedral), joka on näiden tasojen välillä. Skalaaritulolla on muoto:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

juuri siksi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Riittää, kun otetaan huomioon, että 0≤φ≤π.

Itse asiassa kaksi tasoa, jotka leikkaavat, muodostavat kaksi (dihedral) kulmaa: φ 1 ja φ 2 . Niiden summa on yhtä suuri kuin π (φ 1 + φ 2 = π). Mitä tulee kosineihin, niiden absoluuttiset arvot ovat samat, mutta ne eroavat etumerkeissä, toisin sanoen cos φ 1 =-cos φ 2. Jos yhtälössä (0) korvataan A, B ja C numeroilla -A, -B ja -C, niin saatu yhtälö määrittää saman tason, ainoan kulman φ yhtälössä cos φ= NN 1 /| N||N 1 | korvataan π-φ:lla.

Kohtisuoran tasoyhtälö

Tasoja kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden välinen kulma on 90 astetta. Yllä hahmoteltua materiaalia käyttämällä voimme löytää toistaan ​​kohtisuoran tason yhtälön. Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa: Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Voimme sanoa, että ne ovat kohtisuorassa, jos cosφ=0. Tämä tarkoittaa, että NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Yhdensuuntaisen tason yhtälö

Yhdensuuntaisia ​​ovat kaksi tasoa, jotka eivät sisällä yhteisiä pisteitä.

Ehto (niiden yhtälöt ovat samat kuin edellisessä kappaleessa) on, että vektorit N ja N¹, jotka ovat kohtisuorassa niihin nähden, ovat kollineaarisia. Tämä tarkoittaa, että seuraavat suhteellisuusedellytykset täyttyvät:

A/A1=B/B1=C/C1.

Jos suhteellisuusehtoja laajennetaan - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tämä osoittaa, että nämä tasot osuvat yhteen. Tämä tarkoittaa, että yhtälöt Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 kuvaavat yhtä tasoa.

Etäisyys koneeseen pisteestä

Oletetaan, että meillä on taso P, joka saadaan yhtälöllä (0). On tarpeen löytää etäisyys siihen pisteestä, jonka koordinaatit (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Tätä varten sinun on saatettava tason P yhtälö normaalimuotoon:

(ρ,v)=p (p≥0).

Tässä tapauksessa ρ(x,y,z) on pisteemme Q sädevektori, joka sijaitsee P:llä, p on nollapisteestä vapautetun kohtisuoran pituus P:tä vastaan, v on yksikkövektori, joka sijaitsee a suunta.

Jonkin P:hen kuuluvan pisteen Q \u003d (x, y, z) sädevektorin ero ρ-ρº sekä tietyn pisteen sädevektorin Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ero on sellainen vektori, jonka projektion itseisarvo v:llä on yhtä suuri kuin etäisyys d, joka on löydettävä paikasta Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) P:hen:

D=|(ρ-ρ 0,v)|, mutta

(ρ-ρ0,v)= (ρ,v)-(ρ0,v) =р-(ρ0,v).

Joten se käy ilmi

d=|(ρ0,v)-p|.

Siten löydämme tuloksena olevan lausekkeen itseisarvon, eli halutun d:n.

Parametrien kieltä käyttämällä saamme ilmeisen:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Jos annettu piste Q 0 on tason P toisella puolella, samoin kuin origo, niin vektorien ρ-ρ 0 ja v välillä on siis:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

Siinä tapauksessa, että piste Q 0 yhdessä origon kanssa sijaitsee P:n samalla puolella, luotu kulma on terävä, eli:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Tuloksena käy ilmi, että ensimmäisessä tapauksessa (ρ 0 ,v)> р, toisessa (ρ 0 ,v)<р.

Tangenttitaso ja sen yhtälö

Pinnan tangenttitaso tangenttipisteessä Mº on taso, joka sisältää kaikki tämän pinnan pisteen kautta piirrettyjen käyrien tangentit.

Tällä pintayhtälön F (x, y, z) \u003d 0 muodolla tangenttitason yhtälö tangenttipisteessä Mº (xº, yº, zº) näyttää tältä:

F x (xº, yº, zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Jos määrität pinnan eksplisiittisessä muodossa z=f (x, y), tangenttitasoa kuvataan yhtälöllä:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Kahden tason leikkauspiste

Koordinaatistossa (suorakulmainen) Oxyz sijaitsee, on annettu kaksi tasoa П′ ja П″, jotka leikkaavat eivätkä ole samat. Koska mikä tahansa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä oleva taso määräytyy yleisen yhtälön avulla, oletetaan, että P' ja P' on annettu yhtälöillä A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x. +B″y+ С″z+D″=0. Tässä tapauksessa meillä on P′-tason normaali n' (A', B', C') ja P'-tason normaali n' (A', B', C'). Koska tasomme eivät ole yhdensuuntaisia ​​eivätkä täsmää, nämä vektorit eivät ole kollineaarisia. Matematiikan kieltä käyttämällä voimme kirjoittaa tämän ehdon seuraavasti: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Merkitään P′:n ja P″:n leikkauspisteessä olevaa suoraa kirjaimella a, tässä tapauksessa a = P′ ∩ P″.

a on suora, joka koostuu (yhteisten) tasojen П′ ja П″ kaikkien pisteiden joukosta. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa suoralle a kuuluvan pisteen koordinaattien tulee samanaikaisesti täyttää yhtälöt A′x+B′y+C′z+D′=0 ja A″x+B″y+C″z+D″= 0. Tämä tarkoittaa, että pisteen koordinaatit ovat erityinen ratkaisu seuraavalle yhtälöjärjestelmälle:

Tuloksena käy ilmi, että tämän yhtälöjärjestelmän (yleinen) ratkaisu määrittää jokaisen suoran pisteen koordinaatit, jotka toimivat П′:n ja П″:n leikkauspisteenä ja määrittävät suoran. viiva a koordinaattijärjestelmässä Oxyz (suorakulmainen) avaruudessa.

Tällä oppitunnilla tarkastellaan, kuinka determinanttia käytetään säveltämiseen tasoyhtälö. Jos et tiedä, mikä determinantti on, siirry oppitunnin ensimmäiseen osaan - " Matriisit ja determinantit». Muuten vaarana on, että et ymmärrä mitään tämän päivän materiaalista.

Tason yhtälö kolmella pisteellä

Miksi tarvitsemme tason yhtälön? Se on yksinkertaista: sen tietäen voimme helposti laskea kulmia, etäisyyksiä ja muuta paskaa tehtävässä C2. Yleensä tämä yhtälö on välttämätön. Siksi muotoilemme ongelman:

Tehtävä. Avaruudessa on kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Niiden koordinaatit:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

On kirjoitettava näiden kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö. Ja yhtälön pitäisi näyttää tältä:

Ax + By + Cz + D = 0

jossa luvut A , B , C ja D ovat kertoimia, jotka itse asiassa haluat löytää.

No, kuinka saada tason yhtälö, jos vain pisteiden koordinaatit tiedetään? Helpoin tapa on korvata koordinaatit yhtälöllä Ax + By + Cz + D = 0. Saat kolmen yhtälön järjestelmän, joka on helposti ratkaistava.

Monet opiskelijat pitävät tätä ratkaisua erittäin tylsänä ja epäluotettavana. Viime vuoden matematiikan tentti osoitti, että laskentavirheen todennäköisyys on todella korkea.

Siksi edistyneimmät opettajat alkoivat etsiä yksinkertaisempia ja tyylikkäämpiä ratkaisuja. Ja he löysivät sen! Totta, saatu tekniikka liittyy todennäköisemmin korkeampaan matematiikkaan. Henkilökohtaisesti minun piti selata koko liittovaltion oppikirjojen luetteloa varmistaakseni, että meillä on oikeus käyttää tätä tekniikkaa ilman perusteita ja todisteita.

Determinantin läpi kulkevan tason yhtälö

Riittää jahkailua, ryhdytään asiaan. Aluksi lause siitä, kuinka matriisideterminantti ja tason yhtälö liittyvät toisiinsa.

Lause. Olkoon kolmen pisteen koordinaatit, joiden kautta taso on piirrettävä: M = (x 1 , y 1 , z 1 ); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Sitten tämän tason yhtälö voidaan kirjoittaa determinantin avulla:

Yritetään esimerkiksi löytää tasopari, jotka todella esiintyvät C2-ongelmissa. Katso kuinka nopeasti kaikella on merkitystä:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Muodostamme determinantin ja rinnastamme sen nollaan:

Determinantin avaaminen:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Kuten näette, kun lasken lukua d, muokkasin yhtälöä hieman niin, että muuttujat x, y ja z olivat oikeassa järjestyksessä. Siinä kaikki! Tason yhtälö on valmis!

Tehtävä. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Korvaa välittömästi determinantin pisteiden koordinaatit:

Laajenna determinanttia uudelleen:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Joten, tasoyhtälö saadaan taas! Jälleen, viimeisessä vaiheessa minun piti muuttaa siinä olevia merkkejä saadakseni "kauniimman" kaavan. Tätä ei tarvitse tehdä tässä ratkaisussa, mutta se on silti suositeltavaa - ongelman jatkoratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Kuten näet, tason yhtälön kirjoittaminen on nyt paljon helpompaa. Korvaamme pisteet matriisiin, laskemme determinantin - ja siinä kaikki, yhtälö on valmis.

Tämä voi olla oppitunnin loppu. Monet opiskelijat unohtavat kuitenkin jatkuvasti, mitä determinantin sisällä on. Esimerkiksi mikä rivi sisältää x 2 tai x 3 ja mikä rivi vain x . Selvitetään lopuksi, mistä kukin numero tulee.

Mistä determinantin sisältävä kaava tulee?

Joten selvitetään, mistä tällainen ankara yhtälö determinantin kanssa tulee. Tämä auttaa sinua muistamaan sen ja soveltamaan sitä menestyksekkäästi.

Kaikki tehtävässä C2 esiintyvät tasot määritellään kolmella pisteellä. Nämä kohdat on aina merkitty piirustukseen tai jopa suoraan ongelmatekstiin. Joka tapauksessa yhtälön laatimiseksi meidän on kirjoitettava niiden koordinaatit:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Harkitse vielä yhtä pistettä tasossamme mielivaltaisilla koordinaateilla:

T = (x, y, z)

Otetaan mikä tahansa piste kolmesta ensimmäisestä (esimerkiksi piste M ) ja piirretään siitä vektorit jokaiseen kolmeen jäljellä olevaan pisteeseen. Saamme kolme vektoria:

MN = (x 2 - x 1, y2 - y 1, z2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y1, z - z 1).

Tehdään nyt näistä vektoreista neliömatriisi ja rinnastetaan sen determinantti nollaan. Vektorien koordinaateista tulee matriisin rivejä - ja saamme saman determinantin, joka on esitetty lauseessa:

Tämä kaava tarkoittaa, että vektoreille MN , MK ja MT rakennetun laatikon tilavuus on nolla. Siksi kaikki kolme vektoria ovat samassa tasossa. Erityisesti mielivaltainen piste T = (x, y, z) on juuri sitä mitä etsimme.

Korvataan determinantin pisteet ja rivit

Determinanteilla on upeita ominaisuuksia, jotka tekevät siitä vieläkin helpompaa ongelman C2 ratkaisu. Esimerkiksi meille ei ole väliä mistä pisteestä piirretään vektoreita. Siksi seuraavat determinantit antavat saman tasoyhtälön kuin yllä oleva:

Voit myös vaihtaa determinantin rivejä. Yhtälö pysyy ennallaan. Esimerkiksi monet ihmiset haluavat kirjoittaa suoran, jonka pisteen T = (x; y; z) koordinaatit ovat ylhäällä. Ole hyvä, jos se sopii sinulle:

Joitakin hämmentää se, että yksi riveistä sisältää muuttujat x , y ja z , jotka eivät katoa pisteitä korvattaessa. Mutta niiden ei pitäisi kadota! Korvaamalla numerot determinanttiin, sinun pitäisi saada seuraava konstruktio:

Sitten determinanttia laajennetaan oppitunnin alussa annetun kaavion mukaisesti ja saadaan tason standardiyhtälö:

Ax + By + Cz + D = 0

Katso esimerkki. Hän on tämän päivän oppitunnin viimeinen. Vaihdan tietoisesti rivit varmistaakseni, että vastaus on sama tason yhtälö.

Tehtävä. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Joten harkitsemme 4 pistettä:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Tehdään ensin vakiodeterminantti ja rinnastetaan se nollaan:

Determinantin avaaminen:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Siinä se, saimme vastauksen: x + y + z − 2 = 0 .

Järjestetään nyt pari riviä uudelleen determinantissa ja katsotaan mitä tapahtuu. Esimerkiksi kirjoitetaan rivi muuttujilla x, y, z ei alareunaan, vaan ylhäällä:

Laajennetaan saatua determinanttia uudelleen:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Saimme täsmälleen saman tasoyhtälön: x + y + z − 2 = 0. Eli se ei todellakaan riipu rivien järjestyksestä. Vielä on kirjoitettava vastaus ylös.

Joten olemme nähneet, että tason yhtälö ei riipu viivojen sekvenssistä. On mahdollista suorittaa samanlaisia ​​laskelmia ja osoittaa, että tason yhtälö ei riipu pisteestä, jonka koordinaatit vähennämme muista pisteistä.

Yllä käsitellyssä tehtävässä käytimme pistettä B 1 = (1, 0, 1), mutta oli täysin mahdollista ottaa C = (1, 1, 0) tai D 1 = (0, 1, 1). Yleensä mikä tahansa piste, jonka koordinaatit tunnetaan halutulla tasolla.