Hyperbolin taikuuden ymmärtäminen. Käänteisen suhteen piirtäminen (hyperbolat)

Muille lukijoille ehdotan heidän koulutietonsa täydentämistä merkittävästi paraabelista ja hyperbolasta. Hyperbola ja paraabeli - onko se yksinkertaista? … Älä odota =)

Hyperbola ja sen kanoninen yhtälö

Materiaalin esityksen yleinen rakenne muistuttaa edellistä kappaletta. Aloitetaan yleisestä hyperbolan käsitteestä ja sen rakentamisongelmasta.

Hyperbolin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa ovat positiiviset reaaliluvut. Huomaa, että toisin kuin ellipsi, ehtoa ei aseteta tässä, eli "a":n arvo voi olla pienempi kuin "be"-arvo.

Minun on sanottava, aivan odottamatta ... "koulu"-hyperbolin yhtälö ei edes läheisesti muistuta kanonista tietuetta. Mutta tämä arvoitus tulee vielä odottamaan meitä, mutta nyt raaputetaan päähän ja muistetaan, mitä ominaispiirteitä tarkasteltavalla käyrällä on? Levitetään se mielikuvituksemme ruudulle funktiokaavio ….

Hyperbolalla on kaksi symmetristä haaraa.

Hyvää edistystä! Kaikilla hyperboleilla on nämä ominaisuudet, ja nyt katsomme aidosti ihaillen tämän linjan pääntietä:

Esimerkki 4

Muodosta yhtälön antama hyperboli

Päätös: ensimmäisessä vaiheessa tuomme tämän yhtälön kanoniseen muotoon . Muista tyypillinen menettely. Oikealla sinun on saatava "yksi", joten jaamme molemmat alkuperäisen yhtälön osat 20: llä:

Täällä voit pienentää molempia fraktioita, mutta on optimaalisempaa tehdä niistä jokainen kolmikerroksinen:

Ja vasta sen jälkeen suorita vähennys:

Valitsemme nimittäjistä neliöt:

Miksi muunnokset on parempi toteuttaa tällä tavalla? Loppujen lopuksi vasemman puolen fraktioita voidaan vähentää välittömästi ja saada. Tosiasia on, että tarkasteltavassa esimerkissä meillä oli vähän onnea: luku 20 on jaollinen sekä 4:llä että 5:llä. Yleensä tällainen luku ei toimi. Harkitse esimerkiksi yhtälöä . Täällä, jaettavissa, kaikki on surullisempaa ja ilman kolmikerroksisia murto-osia ei enää tarvittu:

Joten, käytetään työmme hedelmää - kanonista yhtälöä:

Kuinka rakentaa hyperboli?

Hyperbolin muodostamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen.
Käytännön näkökulmasta kompassilla piirtäminen ... sanoisin jopa utopistista, joten on paljon kannattavampaa tuoda yksinkertaiset laskelmat jälleen apuun.

On suositeltavaa noudattaa seuraavaa algoritmia, ensin valmis piirros, sitten kommentit:

Käytännössä kohdataan usein mielivaltaisen kulman läpi tapahtuvan kiertymisen ja hyperbelin rinnakkaissiirron yhdistelmä. Tästä tilanteesta keskustellaan oppitunnilla. Toisen asteen riviyhtälön pelkistys kanoniseen muotoon.

Paraabeli ja sen kanoninen yhtälö

Se on tehty! Hän on eniten. Valmis paljastamaan monia salaisuuksia. Paraabelin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa on reaaliluku. On helppo nähdä, että vakioasennossaan paraabeli "makaa kyljellään" ja sen kärki on origossa. Tässä tapauksessa funktio asettaa tämän rivin ylähaaran ja funktio alemman haaran. Ilmeisesti paraabeli on symmetrinen akselin suhteen. Itse asiassa, mitä uida:

Esimerkki 6

Rakenna paraabeli

Päätös: kärki on tiedossa, etsitään lisäpisteitä. Yhtälö määrittää paraabelin yläkaaren, yhtälö määrittää alemman kaaren.

Tietueen lyhentämiseksi suoritamme laskelmia "saman harjan alla":

Kompaktia merkintää varten tulokset voitaisiin koota taulukkoon.

Ennen kuin suoritamme alkeellisen pistekohtaisen piirustuksen, muotoilemme tiukan

paraabelin määritelmä:

Paraabeli on kaikkien tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ja tietystä suorasta, joka ei kulje pisteen läpi.

Piste on ns keskittyä paraabelit, suora viiva johtajatar (kirjoitettu yhdellä "es":llä) paraabelit. Kanonisen yhtälön vakio "pe" on nimeltään polttoparametri, joka on yhtä suuri kuin etäisyys kohdistuksesta suuntaviivaan. Tässä tapauksessa . Tässä tapauksessa painopisteellä on koordinaatit ja suunta saadaan yhtälöstä.
Esimerkissämme:

Paraabelin määritelmä on jopa helpompi ymmärtää kuin ellipsin ja hyperbelin määritelmät. Missä tahansa paraabelin pisteessä janan pituus (etäisyys tarkennuksesta pisteeseen) on yhtä suuri kuin kohtisuoran pituus (etäisyys pisteestä suuntaviivaan):

Onnittelut! Monet teistä ovat tehneet todellisen löydön tänään. Osoittautuu, että hyperbola ja paraabeli eivät ole ollenkaan "tavallisten" funktioiden kaavioita, vaan niillä on selvä geometrinen alkuperä.

On selvää, että polttoparametrin kasvaessa kaavion haarat "levivät" ylös ja alas lähestyen akselia äärettömän lähellä. Kun "pe"-arvo laskee, ne alkavat kutistua ja venyä akselia pitkin

Minkä tahansa paraabelin epäkeskisyys on yhtä suuri kuin yksi:

Paraabelin kierto ja muunnos

Paraabeli on yksi yleisimmistä matematiikan viivoista, ja sinun on rakennettava se todella usein. Siksi kiinnitä erityistä huomiota oppitunnin viimeiseen kappaleeseen, jossa analysoin tämän käyrän sijainnin tyypillisiä vaihtoehtoja.

! Huomautus : kuten edellisten käyrien tapauksessa, on oikeampaa puhua koordinaattiakselien kierto- ja rinnakkaiskäännöksistä, mutta kirjoittaja rajoittuu esityksen yksinkertaistettuun versioon, jotta lukijalla on alkeellinen käsitys ​​näitä muunnoksia.

Esitys ja oppitunti aiheesta:
"Hyperboli, määritelmä, funktioominaisuus"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 8
Elektroniset opetustaulukot geometriasta. 7-9 luokkaa
Elektroniset opetustaulukot algebrassa. 7-9 luokkaa"

Hyperboli, määritelmä

Funktion $y=\frac(1)(x)$ kuvaaja.
Tällaisen funktion kuvaajaa kutsutaan "hyperboliksi".

Hyperbolan ominaisuudet

Hyperbolalla ei ole vain symmetriakeskus, vaan myös symmetria-akseli. Kaverit, piirrä suora $y=x$ ja katso kuinka kaaviomme jakautuu. Voidaan nähdä, että jos viivan $y=x$ yläpuolella oleva osa on päällekkäin alla olevan osan päällä, niin ne osuvat kohdakkain, mikä tarkoittaa symmetriaa viivan suhteen.

Olemme rakentaneet funktion $y=\frac(1)(x)$ kaavion, mutta mikä on yleisessä tapauksessa $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Kaaviot eivät käytännössä eroa toisistaan. Saadaan hyperboli samoilla haaroilla, vain mitä enemmän $k$, sitä kauemmaksi haarat poistetaan origosta ja mitä pienempi $k$, sitä lähempänä origoa.

Esimerkiksi funktion $y=\frac(10)(x)$ kaavio näyttää tältä. Kaaviosta tuli "leveämpi", siirtyi pois origosta.
Mutta entä negatiivisen $k$:n tapauksessa? Funktion $y=-f(x)$ kuvaaja on symmetrinen x-akselin kaavion $y=f(x)$ kanssa, se pitää kääntää "ylösalaisin".
Käytetään tätä ominaisuutta ja piirretään funktio $y=-\frac(1)(x)$.

Tehdään yhteenveto saadusta tiedosta.
Funktion $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ kaavio on ensimmäisessä ja kolmannessa (toisessa ja neljännessä) koordinaattineljänneksessä sijaitseva hyperboli, kun $k>0$ ($k)

Funktion $y=\frac(k)(x)$, $k>0$ ominaisuudet

Funktion $y=\frac(k)(x)$, $k ominaisuudet
1. Määritelmäalue: kaikki luvut paitsi $х=0$.
2. $y>0 $ / $ x 0 $.
3. Funktio kasvaa aikaväleillä $(-∞;0)$ ja $(0;+∞)$.
4. Toimintoa ei ole rajoitettu ylhäältä tai alhaalta.
5. Ei ole olemassa enimmäis- tai vähimmäisarvoa.
6. Funktio on jatkuva aikaväleillä $(-∞;0)U(0;+∞)$ ja sillä on epäjatkuvuus pisteessä $х=0$.
7. Arvoalue: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Hyperbeli on toisen asteen tasokäyrä, joka koostuu kahdesta erillisestä käyrästä, jotka eivät leikkaa toisiaan.
Hyperbola kaava y = k/x, edellyttäen että k ei tasa-arvoinen 0 . Eli hyperbelin kärjet pyrkivät nollaan, mutta eivät koskaan leikkaa sen kanssa.

Hyperbeli- tämä on joukko tason pisteitä, joiden kahden pisteen etäisyyksien eron moduuli, jota kutsutaan polttopisteeksi, on vakioarvo.

Ominaisuudet:

1. Optinen ominaisuus: Valo lähteestä, joka sijaitsee yhdessä hyperbelin polttopisteistä, heijastuu hyperbolin toisesta haarasta siten, että heijastuneiden säteiden jatkot leikkaavat toisessa fokuksessa.
Toisin sanoen, jos F1 ja F2 ovat hyperbelin polttopisteitä, niin minkä tahansa hyperbelin pisteen X tangentti on kulman ∠F1XF2 puolittaja.

2. Jokaiselle hyperbelin päällä olevalle pisteelle etäisyyden suhde tästä pisteestä tarkennuspisteeseen samasta pisteestä suuntaviivaan on vakioarvo.

3. Hyperbolilla on peilisymmetria todellisen ja kuvitteellisen akselin suhteen, yhtä hyvin kuin pyörimissymmetria kun sitä kierretään 180°:n kulmassa hyperbolin keskustan ympärillä.

4. Jokaisella hyperbolilla on konjugoitu hyperbola, jonka reaali- ja imaginaariakselit vaihdetaan, mutta asymptootit pysyvät samoina.

Hyperbolan ominaisuudet:

1) Hyperbolalla on kaksi symmetria-akselia (hyperbolin pääakselit) ja symmetriakeskus (hyperbolin keskus). Lisäksi yksi näistä akseleista leikkaa hyperbelin kahdessa pisteessä, joita kutsutaan hyperbelin kärjeksi. Sitä kutsutaan hyperbolan todelliseksi akseliksi (akseli vai niin koordinaattijärjestelmän kanoniselle valinnalle). Toisella akselilla ei ole yhteisiä pisteitä hyperbelin kanssa ja sitä kutsutaan sen imaginaariakseliksi (kanonisissa koordinaateissa akseli OU). Sen molemmilla puolilla on hyperbolan oikea ja vasen haara. Hyperbolin polttopisteet sijaitsevat sen todellisella akselilla.

2) Hyperbolan haaroilla on kaksi yhtälöiden määrittelemää asymptoottia

3) Hyperbolin (11.3) kanssa voidaan tarkastella kanonisen yhtälön määrittelemää ns. konjugaattihyperbolia

joiden reaali- ja imaginaariakselit vaihdetaan samalla asymptootteja säilyttäen.

4) Hyperbolin epäkeskisyys e> 1.

5) Etäisyyssuhde r i hyperbolapisteestä tarkennuspisteeseen F i etäisyyteen d i tästä pisteestä fokusta vastaavaan linjaan on yhtä suuri kuin hyperbelin epäkeskisyys.

42. Hyperbolia on joukko pisteitä tasossa, joille kahden kiinteän pisteen etäisyyksien eron moduuli F 1 ja F 2 tästä koneesta, ns temppuja, on vakioarvo.

Johdamme hyperbelin kanonisen yhtälön analogisesti ellipsin yhtälön johdosta käyttäen samaa merkintää.

|r 1 - r 2 | = 2a, mistä Jos merkitsee b² = c² - a², täältä saat

- hyperbelin kanoninen yhtälö. (11.3)

Pisteiden paikkaa, joiden etäisyyden suhde fokukseen ja tiettyyn suoraan, jota kutsutaan suuntaviivaksi, on vakio ja suurempi kuin yksi, kutsutaan hyperboliksi. Annettua vakiota kutsutaan hyperbelin epäkeskisyydeksi

Määritelmä 11.6.epäkeskisyys hyperbolia kutsutaan suureksi e = c / a.

Epäkeskisyys:

Määritelmä 11.7.Johtajatar D i painopistettä vastaava hyperbola F i, kutsutaan suoraksi, joka sijaitsee samassa puolitasossa kanssa F i akselin suhteen OU kohtisuorassa akseliin nähden vai niin etäisyydellä a / e alkuperästä.

43. Konjugoituneen, rappeutuneen hyperbolan tapaus (EI TÄYDELLINEN)

Jokaisella hyperbolilla on konjugoitu hyperbola, jonka reaali- ja imaginaariakselit vaihdetaan, mutta asymptootit pysyvät samoina. Tämä vastaa vaihtoa a ja b päällekkäin hyperbolaa kuvaavassa kaavassa. Konjugaattihyperboli ei ole tulosta alkuperäisen hyperbolin 90°:n kierrosta; molemmat hyperbolit eroavat muodoltaan.

Jos hyperbelin asymptootit ovat keskenään kohtisuorassa, niin hyperbolia kutsutaan tasakylkinen . Kahta hyperbolaa, joilla on yhteiset asymptootit, mutta joilla on uudelleen järjestetyt poikittais- ja konjugaattiakselit, kutsutaan keskenään konjugoituna .

Hyperbola ja paraabeli

Siirrytään artikkelin toiseen osaan. toisen asteen riveistä omistettu kahdelle muulle yleiselle käyrälle - hyperbolia ja paraabeli. Jos tulit tälle sivulle hakukoneesta tai et ole vielä ehtinyt selata aihetta, suosittelen, että tutustut ensin oppitunnin ensimmäiseen osaan, jossa tutkimme paitsi tärkeimpiä teoreettisia kohtia, myös tutustuimme kanssa ellipsi. Muille lukijoille ehdotan heidän koulutietonsa täydentämistä merkittävästi paraabelista ja hyperbolasta. Hyperbola ja paraabeli - onko se yksinkertaista? … Älä odota =)

Hyperbola ja sen kanoninen yhtälö

Materiaalin esityksen yleinen rakenne muistuttaa edellistä kappaletta. Aloitetaan yleisestä hyperbolan käsitteestä ja sen rakentamisongelmasta.

Hyperbolin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa ovat positiiviset reaaliluvut. Huomaa, että toisin kuin ellipsi, ehtoa ei aseteta tässä, eli "a":n arvo voi olla pienempi kuin "be"-arvo.

Minun on sanottava, aivan odottamatta ... "koulu"-hyperbolin yhtälö ei edes läheisesti muistuta kanonista tietuetta. Mutta tämä arvoitus tulee vielä odottamaan meitä, mutta nyt raaputetaan päähän ja muistetaan, mitä ominaispiirteitä tarkasteltavalla käyrällä on? Levitetään se mielikuvituksemme ruudulle funktiokaavio ….

Hyperbolalla on kaksi symmetristä haaraa.

Hyperbolilla on kaksi asymptootteja.

Hyvää edistystä! Kaikilla hyperboleilla on nämä ominaisuudet, ja nyt katsomme aidosti ihaillen tämän linjan pääntietä:

Esimerkki 4

Muodosta yhtälön antama hyperboli

Päätös: ensimmäisessä vaiheessa tuomme tämän yhtälön kanoniseen muotoon . Muista tyypillinen menettely. Oikealla sinun on saatava "yksi", joten jaamme molemmat alkuperäisen yhtälön osat 20: llä:

Täällä voit pienentää molempia fraktioita, mutta on optimaalisempaa tehdä niistä jokainen kolmikerroksinen:

Ja vasta sen jälkeen suorita vähennys:

Valitsemme nimittäjistä neliöt:

Miksi muunnokset on parempi toteuttaa tällä tavalla? Loppujen lopuksi vasemman puolen fraktioita voidaan vähentää välittömästi ja saada. Tosiasia on, että tarkasteltavassa esimerkissä meillä oli vähän onnea: luku 20 on jaollinen sekä 4:llä että 5:llä. Yleensä tällainen luku ei toimi. Harkitse esimerkiksi yhtälöä . Täällä, jaettavissa, kaikki on surullisempaa ja ilman kolmikerroksisia murto-osia ei enää tarvittu:

Joten, käytetään työmme hedelmää - kanonista yhtälöä:

Kuinka rakentaa hyperboli?

Hyperbolin muodostamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen.
Käytännön näkökulmasta kompassilla piirtäminen ... sanoisin jopa utopistista, joten on paljon kannattavampaa tuoda yksinkertaiset laskelmat jälleen apuun.

On suositeltavaa noudattaa seuraavaa algoritmia, ensin valmis piirros, sitten kommentit:

1) Ensinnäkin löydämme asymptootteja. Jos hyperbola annetaan kanonisella yhtälöllä, niin sen asymptootit ovat suoraan . Meidän tapauksessamme: . Tämä kohde on pakollinen! Tämä on piirustuksen perusominaisuus, ja olisi törkeä virhe, jos hyperbolan oksat "ryömivät ulos" asymptoottinsa yli.

2) Nyt löydämme hyperbolin kaksi kärkeä, jotka sijaitsevat x-akselilla pisteissä . Se johdetaan alkeellisesti: jos , niin kanoninen yhtälö muuttuu , josta seuraa, että . Tarkastetulla hyperbolalla on pisteitä

3) Etsimme lisäpisteitä. Yleensä 2-3 riittää. Kanonisessa asennossa hyperboli on symmetrinen origon ja molempien koordinaattiakseleiden suhteen, joten riittää, että lasketaan 1. koordinaattineljännes. Tekniikka on täsmälleen sama kuin rakentamisessa ellipsi. Luonnoksen kanonisesta yhtälöstä ilmaisemme:

Yhtälö jakautuu kahteen funktioon:
- määrittää hyperbelin yläkaaret (mitä tarvitsemme);
- määrittää hyperbelin alemmat kaaret.

Se ehdottaa pisteiden etsimistä abskissoilla:

4) Piirrä asymptootit piirustukseen , pisteet , lisä- ja symmetriset pisteet muissa koordinaattineljänneksissä. Yhdistämme huolellisesti vastaavat pisteet jokaisessa hyperbolan haarassa:

Irrationaalisen kanssa voi syntyä tekninen ongelma kaltevuustekijä, mutta tämä on täysin ylitettävissä oleva ongelma.

Jana nimeltään todellinen akseli hyperboli,
sen pituus - kärkien välinen etäisyys;
määrä nimeltään todellinen puoliakseli hyperboli;
määrä – kuvitteellinen akseli.

Esimerkissämme: , ja tietysti jos annettua hyperbolia kierretään symmetriakeskuksen ympäri ja/tai siirretään, niin nämä arvot ei muutu.

Määritelmä hyperbola. Foci ja epäkeskisyys

Hyperbolissa, samalla tavalla kuin in ellipsi, on kaksi yksikköpistettä, joita kutsutaan temppuja. En sanonut, mutta varmuuden vuoksi, yhtäkkiä joku ymmärtää väärin: symmetriakeskus ja tarkennuspisteet eivät tietenkään kuulu käyriin.

Myös määritelmän yleinen käsite on samanlainen:

Hyperbolia on tason kaikkien pisteiden joukko, absoluuttinen arvo ero etäisyyksissä kuhunkin kahdesta annetusta pisteestä on vakioarvo, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin tämän hyperbolin kärkien välinen etäisyys: . Tässä tapauksessa polttopisteiden välinen etäisyys ylittää todellisen akselin pituuden: .

Jos hyperboli on annettu kanonisella yhtälöllä, niin etäisyys symmetriakeskipisteestä kuhunkin polttopisteeseen lasketaan kaavalla: .
Ja vastaavasti painopisteillä on koordinaatit .

Tutkitulle hyperbolille:

Käydään määritelmän läpi. Merkitään etäisyyksillä polttopisteestä mielivaltaiseen hyperbolin pisteeseen:

Ensinnäkin, siirrä sinistä pistettä henkisesti hyperbolan oikeaa haaraa pitkin - missä tahansa olemmekin, moduuli(absoluuttinen arvo) segmenttien pituuksien välinen ero on sama:

Jos piste "heitetään" vasempaan haaraan ja siirretään sinne, tämä arvo pysyy ennallaan.

Moduulin etumerkkiä tarvitaan siitä syystä, että pituusero voi olla joko positiivinen tai negatiivinen. Muuten, mihin tahansa oikean haaran kohtaan (koska segmentti on lyhyempi kuin segmentti ). Minkä tahansa vasemman haaran kohdalla tilanne on täsmälleen päinvastainen ja .

Lisäksi, kun otetaan huomioon moduulin ilmeinen ominaisuus, sillä ei ole väliä mitä mistäkin vähennetään.

Varmistetaan, että esimerkissämme tämän eron moduuli on todella yhtä suuri kuin pisteiden välinen etäisyys. Aseta henkisesti piste hyperbelin oikeaan kärkeen. Sitten: , joka piti tarkistaa.

Hyperbola on pisteiden lokus, joille etäisyydet tason kahdesta kiinteästä pisteestä, joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakio; ilmoitettu ero on otettu absoluuttisena arvona ja sitä merkitään yleensä numerolla 2a. Hyperbolin polttopisteet on merkitty kirjaimilla F 1 ja F 2, niiden välinen etäisyys on 2s:n kautta. Hyperbolan määritelmän mukaan 2a

Olkoon hyperboli annettu. Jos suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän akselit valitaan siten, että tietyn hyperbolin polttopisteet sijaitsevat abskissa-akselilla symmetrisesti origon suhteen, niin tässä koordinaattijärjestelmässä hyperboliyhtälö on muotoa

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1, (1)

missä b \u003d √ (c 2 - a 2). Muotoa (I) olevaa yhtälöä kutsutaan hyperabelin kanoniseksi yhtälöksi. Esitetyllä koordinaattijärjestelmän valinnalla koordinaattiakselit ovat hyperabelin symmetria-akseleita ja koordinaattien origo on sen symmetriakeskipiste (kuva 3). . 18). Hyperbolin symmetriaakseleita kutsutaan yksinkertaisesti sen akseleiksi, symmetriakeskipiste on hyperbelin keskipiste. Hyperbola ylittää yhden akselistaan; leikkauspisteitä kutsutaan hyperbelin pisteiksi. Kuvassa 18 Hyperbolin kärjet ovat pisteet A" ja A.

Suorakulmiota, jonka sivut ovat 2a ja 2b ja joka sijaitsee symmetrisesti hyperbelin akseleiden ympärillä ja koskettaa sitä kärjestään, kutsutaan hyperbelin pääsuorakulmioksi.

Hyperbolin pääsuorakulmion sivujen keskipisteitä yhdistäviä segmenttejä, joiden pituus on 2a ja 2b, kutsutaan myös sen akseleiksi. Pääsuorakulmion diagonaalit (jatkossa loputtomasti) ovat hyperbolin asymptootteja; niiden yhtälöt ovat:

y = b/a x, y = - b/a x

Yhtälö

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 (2)

määrittää hyperbolin, joka on symmetrinen koordinaattiakseleiden ympärillä ja polttopisteet y-akselilla; yhtälöä (2), kuten yhtälöä (1), kutsutaan hyperbolin kanoniseksi yhtälöksi; tässä tapauksessa jatkuva ero etäisyyksissä hyperbolin mielivaltaisesta pisteestä polttopisteisiin on yhtä suuri kuin 2b.

Kaksi hyperbolia, jotka määritetään yhtälöillä

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1, - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

samassa koordinaattijärjestelmässä kutsutaan konjugaatiksi.

Hyperbolaa, jolla on yhtäläiset puolivarret (a \u003d b), kutsutaan tasasivuiseksi; sen kanoninen yhtälö on

x 2 - y 2 \u003d a 2 tai - x 2 + y 2 \u003d a 2.

missä a on etäisyys hyperbolin keskustasta sen kärkeen, kutsutaan hyperbelin epäkeskisyydeksi. Ilmeisesti mille tahansa hyperbolille ε > 1. Jos M(x; y) on mielivaltainen hyperbelin piste, niin segmenttejä F 1 M ja F 2 M (katso kuva 18) kutsutaan pisteen M polttosäteiksi. Hyperbolin oikean haaran pisteiden polttosäteet ovat laskettuja kaavoja

r 1 \u003d εx + a, r 2 \u003d εx - a,

vasemman haaran pisteiden polttovälit - kaavojen mukaan

r 1 \u003d -εx - a, r 2 \u003d -εx + a

Jos hyperboli on annettu yhtälöllä (1), niin yhtälöiden määrittämät suorat

x = -a/e, x = a/e

kutsutaan sen johtajiksi (katso kuva 18). Jos hyperboli on annettu yhtälöllä (2), niin suuntaviivat määräytyvät yhtälöillä

x = -b/e, x = b/e

Jokaisella suuntaviivalla on seuraava ominaisuus: jos r on etäisyys mielivaltaisesta hyperbolin pisteestä johonkin kohdistukseen, d on etäisyys samasta pisteestä yksipuoliseen suuntaviivaan tällä fokuksella, niin suhde r/d on vakio arvo, joka on yhtä suuri kuin hyperbelin epäkeskisyys:

515. Muodosta yhtälö hyperbolista, jonka polttopisteet sijaitsevat abskissa-akselilla symmetrisesti origon suhteen tietäen lisäksi, että:

1) sen akselit 2a = 10 ja 2b = 8;

2) polttopisteiden 2с = 10 ja akselin 2b = 8 välinen etäisyys;

3) polttopisteiden 2с = 6 ja epäkeskisyyden ε = 3/2 välinen etäisyys;

4) akseli 2a = 16 ja epäkeskisyys ε = 5/4;

5) asymptoottien y = ±4/3x ja polttopisteiden välisen etäisyyden yhtälöt 2c = 20;

6) suuntaviivojen välinen etäisyys on 22 2/13 ja polttopisteiden välinen etäisyys on 2c = 26; 39

7) suuntaviivojen välinen etäisyys on 32/5 ja akseli 2b = 6;

8) suuntaviivojen välinen etäisyys on 8/3 ja epäkeskisyys ε = 3/2;

9) asymptoottiyhtälöt y = ± 3/4 x ja suuntaviivojen välinen etäisyys on 12 4/5.

516. Kirjoita yhtälö hyperbolille, jonka polttopisteet sijaitsevat y-akselilla symmetrisesti origon suhteen, tietäen lisäksi, että:

1) sen puoliakselit a = 6, b = 18 (kirjain a tarkoittaa abskissa-akselilla sijaitsevan hyperbolin puoliakselia);

2) polttopisteiden etäisyys 2с = 10 ja viritys ε = 5/3; oi minä. 12

3) asymptoottien yhtälöt y = ±12/5x ja pisteiden välinen etäisyys on 48;

4) suuntaviivojen välinen etäisyys on 7 1/7 ja epäkeskisyys ε = 7/5;

5) asymptoottiyhtälöt y = ± 4/3x ja suuntaviivojen välinen etäisyys on 6 2/5.

517. Määritä kunkin seuraavan hyperbolin puoliakselit a ja b:

1) x 2/9 - y 2/4 \u003d 1; 2) x 2/16 - y 2 \u003d 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 \u003d 1; 5) 4x 2 - 9v 2 = 25; 6) 25x 2 -16v 2 = 1;

7) 9x 2 - 64v 2 = 1.

518. Annettu hyperbeli 16x 2 - 9y 2 = 144. Etsi: 1) puoliakselit a ja b; 2) temppuja; 3) epäkeskisyys; 4) asymptoottien yhtälöt; 5) suuntayhtälöt.

519. Annettu hyperbola 16x 2 - 9y 2 = -144. Etsi: 1) puoliakselit a ja b; 2) temppuja; 3) epäkeskisyys; 4) asymptoottien yhtälöt; 5) suuntayhtälöt.

520. Laske hyperbolin x 2 /4 - y 2 /9 = 1 ja suoran 9x + 2y - 24 = 0 asymptoottien muodostaman kolmion pinta-ala.

521. Määritä, mitkä suorat määritetään seuraavilla yhtälöillä:

1) y \u003d + 2/3 √ (x 2 - 9); 2) y \u003d -3 √ (x 2 + 1)

3) x \u003d -4/3 √ (y 2 + 9); 4) +2/5√ (x 2 + 25)

522. Annettu piste M 1 (l0; - √5) hyperbolilla - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Muodosta yhtälöt suorista, joilla pisteen M 1 polttosäteet ovat.

523. Varmistamalla, että piste M 1 (-5; 9/4) on siilipallolla x 2 /16 - y 2 /9 = 1, määritä pisteen M 1 polttosäteet.

524. Hyperbolin ε = 2, sen pisteen M polttosäde jostain polttopisteestä vedettynä, epäkeskisyys on 16. Laske etäisyys pisteestä M yksipuoliseen suuntaviivaan tällä fokuksella.

525. Hyperbolin epäkeskisyys ε = 3, etäisyys hyperabelin pisteestä M suuntaviivaan on 4. Laske etäisyys pisteestä M polttopisteeseen, yksipuolisesti tämän suuntaviivan kanssa.

526. Hyperbolin epäkeskisyys ε = 2, sen keskipiste on origossa, yksi polttopisteistä on F(12; 0). Laske etäisyys abskissalla 13 olevan hyperabelin pisteestä M 1 annettua fokusta vastaavaan suuntaviivaan.

527. Hyperbolin epäkeskisyys ε = 3/2, sen keskipiste on origossa, yksi suorista saadaan yhtälöllä x = -8. Laske etäisyys abskissalla 10 olevan hyperabelin pisteestä M 1 annettua suuntaviivaa vastaavaan fokukseen.

528. Määritä hyperbolin - x 2 /64 - y 2 /36 = 1 pisteet, jonka etäisyys oikeaan tarkenteeseen on 4,5.

529. Määritä hyperbolin x 2 /9 - y 2 /16 = 1 pisteet, jonka etäisyys vasempaan fokukseen on 7.

530. Hyperbolin x 2 /144 - y 2 /25 = 1 vasemman fokuksen läpi piirretään sen akseliin nähden kohtisuorassa kärjet sisältävä. Määritä etäisyydet polttopisteistä tämän kohtisuoran ja hyperbelin leikkauspisteisiin.

531. Muodosta yhden kompassin avulla hyperbolin polttopisteet x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (olettaen, että koordinaattiakselit on esitetty ja asteikko on annettu).

532. Kirjoita yhtälö hyperbolille, jonka polttopisteet ovat x-akselilla symmetrisesti origon suhteen, jos se on annettu:

1) pisteet M 1 (6; -1) ja M 2 (-8; 2√2) hyperbolit;

2) piste M 1 (-5; 3) hyperbolit ja epäkeskisyys ε = √2;

3) hyperbolin ja asymptoottien yhtälön piste M 1 (9/2;-l) y = ± 2,3x;

4) piste M 1 (-3; 5.2) hyperbolit ja suuntayhtälöt x = ± 4/3;

5) asymptoottiyhtälöt y = ±-3/4x ja suuntayhtälöt x = ± 16/5

533. Määritä tasasivuisen hyperbolin epäkeskisyys.

534. Määritä hyperbolin epäkeskisyys, jos sen kärkien välinen segmentti näkyy konjugaattihyperbolin kohdista 60° kulmassa.

535. Hyperbolin polttopisteet osuvat yhteen ellipsin polttopisteiden kanssa x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Kirjoita hyperbolin yhtälö, jos sen epäkeskisyys ε = 2.

536. Kirjoita yhtälö hyperbolille, jonka polttopisteet ovat ellipsin kärjessä x 2 /100 + y 2 /64 = 1 ja suuntaviivat kulkevat tämän ellipsin polttopisteiden kautta.

537. Osoita, että etäisyys hyperbolin x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 fokuksesta sen asymptoottiin on yhtä suuri kuin b.

538. Osoita, että hyperbolin x x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 pisteen etäisyyksien tulo sen kahteen asymptoottiin on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Osoita, että hyperbolin x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 asymptoottien ja minkä tahansa sen asymptootin suuntaisten pisteiden kautta piirrettyjen suorien rajaama suunnikas on vakioarvo, joka on yhtä suuri osoitteeseen ab/2.

540. Laadi hyperbolin yhtälö, jos sen puoliakselit a ja b tunnetaan, keskipiste C (x 0; y 0) ja polttopisteet sijaitsevat suoralla: 1) Ox-akselin suuntaisesti; 2) Oy-akselin suuntaisesti.

541. Totea, että jokainen seuraavista yhtälöistä määrittelee hyperbolin, ja etsi sen keskipisteen C koordinaatit, puoliakseli, epäkeskisyys, asymptoottiyhtälöt ja suuntayhtälöt:

1) 16x 2 - 9 v 2 - 64x - 54 v - 161 = 0;

2) 9x 2 - 16 v 2 + 90x + 32 v - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9 v 2 - 64x - 18 v + 199 = 0.

542. Määritä, mitkä suorat määritetään seuraavilla yhtälöillä:

1) y \u003d - 1 + 2/3 √ (x 2 - 4x - 5);

2) y \u003d 7 - 3/2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X \u003d 5 + 3/4 √ (y 2 + 4y - 12).

Piirrä nämä viivat piirustukseen.

543. Kirjoita hyperbolin yhtälö tietäen, että:

1) sen kärkien välinen etäisyys on 24 ja polttopisteet ovat F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) polttopisteet ovat F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) ja suuntaviivojen välinen etäisyys on 3,6;

3) asymptoottien välinen kulma on 90° ja polttopisteet ovat F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Kirjoita hyperbolin yhtälö, jos sen epäkeskisyys ε = 5/4, fokus F (5; 0) ja vastaavan suuntaviivan yhtälö 5x - 16 = 0 tunnetaan.

545. Kirjoita hyperbolin yhtälö, jos sen epäkeskisyys e tunnetaan - fokus F (0; 13) ja vastaavan suuntaviivan yhtälö 13y - 144 = 0.

546. Piste A (-3; - 5) on hyperbolissa, jonka fokus on F (-2; -3), ja vastaava suuntaviiva on annettu yhtälöllä x + 1 = 0. Kirjoita yhtälö tälle hyperbolille .

547. Kirjoita hyperbolin yhtälö, jos sen epäkeskisyys ε = √5, fokus F(2;-3) ja vastaavan suuntaviivan Zx - y + 3 = 0 yhtälö tunnetaan.

548. Piste M 1 (1; 2) on hyperbolissa, jonka fokus on F(-2; 2), ja vastaava suuntaviiva saadaan yhtälöstä 2x - y - 1 = 0. Kirjoita tälle yhtälö hyperbeli.

549. Tasasivuisen hyperbolin x 2 - y 2 = a 2 yhtälö on annettu. Etsi sen yhtälö uudessa järjestelmässä ottamalla sen asymptootit koordinaattiakseleiksi.

550. Kun olet todennut, että jokainen seuraavista yhtälöistä määrittelee hyperbolin, etsi niistä kullekin keskipiste, puoliakselit, asymptoottiyhtälöt ja piirrä ne piirustukseen: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Etsi suoran 2x - y - 10 = 0 ja hyperbolin x 2 /20 - y 2 /5 = 1 leikkauspisteet.

552. Etsi suoran 4x - 3y - 16 = 0 ja hyperbolin x 2 /25 - y 2 /16 = 1 leikkauspisteet.

553. Etsi suoran 2x - y + 1 = 0 ja hyperbolin x 2 /9 - y 2 /4 = 1 leikkauspisteet.

554. Selvitä seuraavissa tapauksissa, miten suora sijoittuu hyperbeliin nähden: leikkaako se, koskettaako se sen ulkopuolella vai kulkeeko se sen ulkopuolella:

1) x - y - 3 \u003d 0, x 2/12 - y 2/3 \u003d l;

2) x - 2y + 1 \u003d 0, x 2 / 16 - y 2 / 9 \u003d l;

555. Määritä millä m:n arvoilla suora y = 5/2x + m

1) leikkaa hyperbolin x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) koskettaa häntä;

3) kulkee tämän hyperbelin ulkopuolella.

556. Johda ehto, jossa suora y \u003d kx + m koskettaa hyperbolia x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1.

557. Laadi hyperbolin x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 tangentin yhtälö sen pisteessä Af, (*,; #i).

558. Osoita, että saman halkaisijan päihin piirretyn hyperbolin tangentit ovat yhdensuuntaiset.

559. Laadi yhtälöt tangenttien yhtälöt hyperbolille x 2 /20 - y 2 /5 \u003d 1, kohtisuoraan linjaa 4x + Zy - 7 \u003d 0 vastaan.

560. Laadi yhtälöt tangenttien yhtälöt hyperbolille x 2 /16 - y 2 /64 = 1, samansuuntaisesti linjan 10x - 3y + 9 = 0 kanssa.

561. Piirrä tangentit hyperbolille x 2 /16 - y 2 /8 = - 1, jotka ovat samansuuntaisia ​​suoran 2x + 4y - 5 = 0 kanssa ja laske niiden välinen etäisyys d.

562. Etsi hyperbolista x 2 /24- y 2 /18 = 1 piste M 1, joka on lähinnä suoraa Zx + 2y + 1 = O, ja laske etäisyys d pisteestä M x tähän suoraan.

563. Muodosta hyperbolin x 2 - y 2 = 16 tangenttien yhtälö pisteestä A (- 1; -7).

564. Piirretään pisteestä C (1; -10) hyperbolin tangentit x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Kirjoita kosketuspisteitä yhdistävän jänteen yhtälö.

565. Hyperbolin tangentit x 2 /3 - y 2 /5 = 1 piirretään pisteestä P (1; -5) Laske etäisyys d pisteestä P kosketuspisteitä yhdistävän hyperbolin jänteeseen.

566. Hyperboli kulkee pisteen A(√6; 3) läpi ja koskettaa suoraa 9x + 2y - 15 == 0. Kirjoita tälle hyperbolille yhtälö, jos sen akselit ovat yhtäpitäviä koordinaattiakseleiden kanssa.

567. Kirjoita hyperbelitangentin yhtälö kahdelle suoralle: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, jos sen akselit ovat yhtäpitäviä koordinaattiakseleiden kanssa.

568. Varmista, että ellipsin x 2 /3 - y 2 /5 = 1 ja hyperbolin x 2 /12 - y 2 /3 = 1 leikkauspisteet ovat suorakulmion kärjet, laadi sen sivujen yhtälöt .

569. Hyperbolat x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ja osa sen tangenteista on annettu: P - tangentin leikkauspiste akselin Ox kanssa, Q - kosketuspisteen projektio samalle akseli. Todista, että OP OQ = a 2 .

570. Osoita, että hyperbolin polttopisteet sijaitsevat sen minkä tahansa tangentin vastakkaisilla puolilla.

571. Osoita, että etäisyyksien tulo polttopisteistä mihin tahansa hyperbolin tangenttiin x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 on vakio, joka on yhtä suuri kuin b 2 .

572. Suora 2x - y - 4 == 0 koskettaa hyperbolia, jonka polttopisteet ovat pisteissä F 1 (-3; 0) ja F 2 (3; 0). Kirjoita yhtälö tälle hyperbolille.

573. Laadi yhtälö hyperbolille, jonka polttopisteet sijaitsevat abskissa-akselilla symmetrisesti origon suhteen, jos hyperbolin tangentin yhtälö 15x + 16y - 36 = 0 ja sen kärkien välinen etäisyys 2a = 8 ovat tiedossa.

574. Osoita, että hyperbelin tangentti jossain pisteessä M muodostaa yhtä suuret kulmat polttosäteillä F 1 M, F 2 M ja kulkee kulman F 1 MF 2 sisällä. X^

575. Hyperbolin oikeasta fokuksesta x 2 /5 - y 2 /4 = 1 kulmassa α(π

576. Osoita, että ellipsi ja hyperboli, joilla on yhteiset polttopisteet, leikkaavat suorassa kulmassa.

577. Tason tasaisen puristuvuuden kerroin Ox-akseliin nähden on 4/3. Määritä sen suoran yhtälö, johon hyperboli x 2 /16 - y 2 /9 = 1 muunnetaan tämän pakkauksen aikana. Katso tehtävä 509.

578. Tason tasaisen puristuvuuden kerroin akseliin Oy on 4/5. Määritä sen suoran yhtälö, johon hyperboli x 2 /25 - y 2 /9 = 1 muunnetaan tämän pakkauksen aikana.

579. Etsi yhtälö sille suoralle, johon hyperboli x 2 - y 2 \u003d 9 muunnetaan kahdella peräkkäisellä tasaisella puristuksella tason koordinaattiakseleille, jos tason tasaisen puristuksen kertoimet akseleille Ox ja Oy ovat vastaavasti 2/3 ja 5/3.

580. Määritä kerroin q tason tasaiselle puristukselle Ox-akselille, jolla hyperboli - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 muunnetaan hyperboliksi x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Määritä tason tasaisen puristuvuuden kerroin q Oy-akseliin nähden, jolla hyperboli x 2 /4 - y 2 /9 = 1 muunnetaan hyperboliksi x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Määritä kertoimet q 1 ja q 2 tason kahdelle peräkkäiselle tasaiselle puristukselle akseleille Ox ja Oy, joissa hyperboli x 2 /49 - y 2 /16 = 1 muunnetaan hyperboliksi x 2 /25 - y 2 /64 = 1.