Laske kuvion pinta-ala, jonka yhtälön rivit rajoittavat. Esimerkkejä

Siirrymme nyt integraalilaskennan sovellusten tarkasteluun. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää. litteän hahmon pinta-alan laskeminen määrätyn integraalin avulla. Lopuksi, kaikki ne, jotka etsivät merkitystä korkeammasta matematiikasta - löytäkööt sen. Ei sitä koskaan tiedä. Tosielämässä sinun on arvioitava kesämökki perustoiminnoilla ja löydettävä sen pinta-ala tietyn integraalin avulla.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) Ymmärrä epämääräinen integraali ainakin keskitasolla. Siksi nukkejen tulisi ensin lukea oppitunti Ei.

2) Osaat soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa ja laskea kiinteän integraalin. Voit luoda lämpimiä ystävällisiä suhteita tietyillä sivulla olevilla integraaleilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen, siksi tietosi ja piirustustaitosi ovat myös kiireellisiä. Vähintään pitää pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli.

Aloitetaan kaarevalla trapetsilla. Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittaa jonkin funktion kuvaaja y = f(x), akseli HÄRKÄ ja linjat x = a; x = b.

Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali

Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä sanoimme, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika todeta toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian kannalta varma integraali on ALUE. Eli määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion pinta-alaa. Harkitse tarkkaa integraalia

Integrand

määrittää tasolle käyrän (se voidaan piirtää haluttaessa), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

, , , .

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen tärkein kohta on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensiksi on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia on) ja vain jälkeen- paraabelit, hyperbolit, muiden funktioiden kuvaajat. Kohta kohdalta -rakennustekniikka löytyy vertailumateriaalista Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Sieltä löydät myös materiaalia, joka on erittäin hyödyllistä oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.

Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö y= 0 määrittää akselin HÄRKÄ):

Emme kuori kaarevaa puolisuunnikasta, on selvää, mistä alueesta tässä puhutaan. Ratkaisu jatkuu näin:

Aikavälillä [-2; 1] funktiokaavio y = x 2 + 2 sijaitsee akselin yliHÄRKÄ, Siksi:

Vastaus: .

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa

viitata luentoon Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä. Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikkapa vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala xy = 4, x = 2, x= 4 ja akseli HÄRKÄ.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin allaHÄRKÄ?

Esimerkki 3

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y = e-x, x= 1 ja koordinaattiakselit.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle HÄRKÄ , niin sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Tässä tapauksessa:

Huomio! Kahden tyyppisiä tehtäviä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y = 2x – x 2 , y = -x.

Ratkaisu: Ensin sinun on tehtävä piirustus. Piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin leikkauspisteet y = 2x – x 2 ja suora y = -x. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Integraation alaraja siis a= 0, integroinnin yläraja b= 3. Usein on kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, kun integroinnin rajat selvitetään ikään kuin "itse". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistamme, että pistemäisessä rakentamisessa integroinnin rajat selvitetään useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava:

Jos välissä [ a; b] jokin jatkuva toiminto f(x) suurempi tai yhtä suuri jokin jatkuva toiminto g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, vaan sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi 2. x – x 2 on vähennettävä - x.

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua lukua rajoittaa paraabeli y = 2x – x 2 yläosa ja suora y = -x alhaalta.

Jaksolla 2 x – x 2 ≥ -x. Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus: .

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso esimerkki nro 3) on kaavan erikoistapaus

Koska akseli HÄRKÄ annetaan yhtälöllä y= 0 ja funktion kuvaaja g(x) sijaitsee akselin alapuolella HÄRKÄ, sitten

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen rajaama kuvion alue

Kun pinta-alan laskemiseen liittyviä ongelmia ratkaistaan tietyn integraalin avulla, joskus tapahtuu hauska tapaus. Piirustus tehtiin oikein, laskelmat olivat oikein, mutta huolimattomuuden vuoksi ... löysi väärän hahmon alueen.

Esimerkki 7

Piirretään ensin:

Figuuri, jonka alue meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä he päättävät huolimattomuuden vuoksi usein, että heidän on löydettävä vihreällä varjostettu hahmon alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvion pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia. Todella:

1) Jaksolla [-1; 1] akselin yläpuolella HÄRKÄ kaavio on suora y = x+1;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä HÄRKÄ hyperbelin kuvaaja sijaitsee y = (2/x).

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa

ja tee viivapiirros:

Piirustuksesta voidaan nähdä, että ylärajamme on "hyvä": b = 1.

Mutta mikä on alaraja? On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä?

Voi olla, a=(-1/3)? Mutta missä on takuu siitä, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin a=(-1/4). Entä jos emme saaneetkaan kaaviota oikein?

Tällaisissa tapauksissa täytyy käyttää lisäaikaa ja tarkentaa integraation rajoja analyyttisesti.

Etsi kaavioiden leikkauspisteet

Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

Siten, a=(-1/3).

Jatkoratkaisu on triviaali. Tärkeintä ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä. Tässä olevat laskelmat eivät ole helpoimpia. Segmentillä

, ,

vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Oppitunnin lopuksi harkitsemme kahta vaikeampaa tehtävää.

Esimerkki 9

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Piirrä tämä kuvio piirustukseen.

Piirtääksesi piirustuksen piste kerrallaan, sinun on tiedettävä sinusoidin ulkonäkö. Yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kaaviot sekä jotkut sinin arvot. Ne löytyvät arvotaulukosta trigonometriset funktiot. Joissain tapauksissa (esimerkiksi tässä tapauksessa) on sallittua rakentaa kaavio, jossa graafit ja integrointirajat tulee esittää periaatteessa oikein.

Tässä ei ole ongelmia integrointirajojen kanssa, ne johtuvat suoraan ehdosta:

- "x" muuttuu nollasta "pi". Teemme lisäpäätöksen:

Segmentillä funktion kuvaaja y= synti 3 x sijaitsee akselin yläpuolella HÄRKÄ, Siksi:

(1) Voit nähdä, kuinka sinit ja kosinit integroidaan parittomiin potenssiin oppitunnilla Trigonometristen funktioiden integraalit. Puristamme yhden sinin pois.

(2) Käytämme muodossa trigonometristä perusidentiteettiä

(3) Muutetaan muuttuja t= cos x, sitten: sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

Huomautus: huomioi kuinka kuution tangentin integraali otetaan, tässä käytetään trigonometrisen perusidentiteetin seurausta

Kuinka lisätä matemaattisia kaavoja sivustolle?

Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustoon kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. Yksinkertaisuuden lisäksi tämä universaali menetelmä auttaa parantamaan sivuston näkyvyyttä hakukoneissa. Se on toiminut pitkään (ja uskon, että se toimii ikuisesti), mutta se on moraalisesti vanhentunut.

Jos toisaalta käytät jatkuvasti matemaattisia kaavoja sivustollasi, suosittelen käyttämään MathJaxia, erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattiset merkinnät verkkoselaimissa käyttäen MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä.

On kaksi tapaa aloittaa MathJaxin käyttö: (1) käyttämällä yksinkertaista koodia, voit nopeasti liittää sivustoosi MathJax-skriptin, joka ladataan automaattisesti etäpalvelimelta oikeaan aikaan (palvelinluettelo); (2) Lataa MathJax-skripti etäpalvelimelta palvelimellesi ja yhdistä se sivustosi kaikille sivuille. Toinen menetelmä on monimutkaisempi ja aikaa vievämpi ja sen avulla voit nopeuttaa sivustosi sivujen lataamista, ja jos MathJax-ylemmän palvelimen palvelin ei jostain syystä ole tilapäisesti käytettävissä, tämä ei vaikuta omaan sivustoosi millään tavalla. Näistä eduista huolimatta valitsin ensimmäisen menetelmän, koska se on yksinkertaisempi, nopeampi eikä vaadi teknisiä taitoja. Seuraa esimerkkiäni, ja 5 minuutin sisällä voit käyttää kaikkia MathJaxin ominaisuuksia verkkosivustollasi.

Voit yhdistää MathJax-kirjastoskriptin etäpalvelimelta käyttämällä kahta koodivaihtoehtoa, jotka on otettu MathJaxin pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:

Yksi näistä koodivaihtoehdoista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin ja tai heti tagin jälkeen . Ensimmäisen vaihtoehdon mukaan MathJax latautuu nopeammin ja hidastaa sivua vähemmän. Mutta toinen vaihtoehto seuraa ja lataa automaattisesti MathJaxin uusimmat versiot. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos liität toisen koodin, sivut latautuvat hitaammin, mutta sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.

Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivuston ohjauspaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs. mallin alkuun (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML-, LaTeX- ja ASCIIMathML-merkintäsyntaksi ja olet valmis upottamaan matemaattisia kaavoja verkkosivuillesi.

Mikä tahansa fraktaali rakennetaan tietyn säännön mukaan, jota sovelletaan johdonmukaisesti rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.

Iteratiivinen algoritmi Menger-sienen rakentamiseksi on melko yksinkertainen: alkuperäinen kuutio, jonka sivu on 1, on jaettu sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Siitä poistetaan yksi keskuskuutio ja 6 sen vieressä olevaa kuutiota. Siitä tulee sarja, joka koostuu 20 jäljellä olevasta pienemmästä kuutiosta. Toimimalla samalla tavalla jokaisella näistä kuutioista saadaan sarja, joka koostuu 400 pienemmästä kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomiin, saamme Menger-sienen.

Tehtävä numero 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala

Integraalin soveltaminen sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen

Pinta-alan laskenta

Jatkuvan ei-negatiivisen funktion f(x) määrällinen integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin käyrän y \u003d f (x), O x -akselin ja suorien x \u003d a ja x \u003d b rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Vastaavasti pinta-alakaava kirjoitetaan seuraavasti:

Harkitse joitain esimerkkejä tasokuvioiden pinta-alojen laskemisesta.

Tehtävä numero 1. Laske linjojen y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 rajoittama alue.

Päätös. Rakennetaan kuvio, jonka pinta-ala meidän on laskettava.

y \u003d x 2 + 1 on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty ylöspäin yhden yksikön verran suhteessa O y -akseliin (kuva 1).

Kuva 1. Kuvaaja funktiosta y = x 2 + 1

Tehtävä numero 2. Laske viivojen y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 rajoittama alue välillä 0 - 1.

Päätös. Tämän funktion kuvaaja on haaran paraabeli, joka on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty yksikön verran alaspäin suhteessa O y-akseliin (kuva 2).

Kuva 2. Kuvaaja funktiosta y \u003d x 2 - 1

Tehtävä numero 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala

y = 8 + 2x - x 2 ja y = 2x - 4.

Päätös. Ensimmäinen näistä kahdesta suorasta on paraabeli, jonka haarat osoittavat alaspäin, koska kerroin kohdassa x 2 on negatiivinen, ja toinen suora on molempien koordinaattiakselien ylittävä suora.

Paraabelin muodostamiseksi etsitään sen kärjen koordinaatit: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertex abskissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on sen ordinaatti, N(1;9) on sen kärki.

Nyt löydämme paraabelin ja suoran leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän:

Yhtälön oikeat puolet, joiden vasemmat sivut ovat yhtä suuret.

Saamme 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 tai x 2 - 12 \u003d 0, mistä .

Pisteet ovat siis paraabelin ja suoran leikkauspisteitä (kuva 1).

Kuva 3 Kuvaajat funktioista y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4

Muodostetaan suora y = 2x - 4. Se kulkee koordinaattiakseleiden pisteiden (0;-4), (2; 0) kautta.

Paraabelin rakentamiseksi voit saada myös sen leikkauspisteet 0x-akselin kanssa, eli yhtälön 8 + 2x - x 2 = 0 tai x 2 - 2x - 8 = 0 juuret. Vieta-lauseen mukaan se on sen juuret on helppo löytää: x 1 = 2, x 2 = 4.

Kuva 3 esittää kuvion (parabolinen segmentti M 1 N M 2), jota rajoittavat nämä viivat.

Toinen osa ongelmasta on löytää tämän kuvan alue. Sen pinta-ala voidaan löytää käyttämällä määrättyä integraalia kaavan avulla .

Tämän ehdon osalta saamme integraalin:

2 Kierroskappaleen tilavuuden laskeminen

Käyrän y \u003d f (x) kiertämisestä O x -akselin ympäri saatu kappaleen tilavuus lasketaan kaavalla:

Kierrettäessä O y -akselin ympäri kaava näyttää tältä:

Tehtävä numero 4. Määritä kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajoittavat suorat viivat x \u003d 0 x \u003d 3 ja käyrä y \u003d O x -akselin ympäri.

Päätös. Rakennetaan piirustus (kuva 4).

Kuva 4. Kuvaaja funktiosta y =

Haluttu tilavuus on yhtä suuri kuin

Tehtävä numero 5. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajoittavat käyrä y = x 2 ja suorat y = 0 ja y = 4 akselin O y ympäri.

Päätös. Meillä on:

Tarkasta kysymykset

Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala

Siirrymme nyt integraalilaskennan sovellusten tarkasteluun. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää. Kuinka käyttää määrättyä integraalia tasokuvan alueen laskemiseen. Lopuksi, ne, jotka etsivät merkitystä korkeammasta matematiikasta - löytäkööt sen. Ei sitä koskaan tiedä. Tosielämässä sinun on arvioitava kesämökki perustoiminnoilla ja löydettävä sen pinta-ala tietyn integraalin avulla.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) Ymmärrä epämääräinen integraali ainakin keskitasolla. Siksi nukkejen tulisi ensin lukea oppitunti Ei.

Itse asiassa, jotta voit löytää kuvion alueen, sinun ei tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen, joten tietosi ja piirustustaitosi ovat paljon tärkeämpi asia. Tältä osin on hyödyllistä päivittää tärkeimpien perusfunktioiden kaavioiden muisti ja vähintään pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli. Tämä voidaan tehdä (monet tarvitsevat sitä) metodologisen materiaalin ja graafien geometrisia muunnoksia käsittelevän artikkelin avulla.

Itse asiassa kaikki ovat tunteneet alueen löytämisen ongelman määrätyn integraalin avulla koulusta lähtien, ja mennään hieman koulun opetussuunnitelmaa edellä. Tätä artikkelia ei ehkä ole ollenkaan, mutta tosiasia on, että ongelma esiintyy 99 tapauksessa 100:sta, kun opiskelijaa kiusaa vihattu torni innokkaasti hallitsemaan korkeamman matematiikan kurssia.

Tämän työpajan materiaalit esitetään yksinkertaisesti, yksityiskohtaisesti ja mahdollisimman vähän teoriaa käyttäen.

Aloitetaan kaarevalla trapetsilla.

Kaareva puolisuunnikas kutsutaan litteäksi kuvioksi, jota rajoittavat akseli , suorat viivat ja funktion kuvaaja, joka on jatkuva janalla, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei vähempää abskissa:

Sitten kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali. Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä Sanoin, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika todeta toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian kannalta varma integraali on ALUE.

Eli määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion pinta-alaa. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia . Integrandi määrittelee käyrän tasolle, joka sijaitsee akselin yläpuolella (haluavat voivat täydentää piirustuksen), ja itse kiinteä integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen ensimmäinen ja tärkein hetki on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensiksi on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia on) ja vain jälkeen- paraabelit, hyperbolit, muiden funktioiden kuvaajat. Funktiokaavioita on kannattavampaa rakentaa kohta kohdalta, pistemäisen rakentamisen tekniikka löytyy vertailumateriaalista Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Sieltä löydät myös materiaalia, joka on erittäin hyödyllistä oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittelee akselin):

En hauta kaarevaa puolisuunnikasta, on selvää, mistä alueesta tässä puhutaan. Ratkaisu jatkuu näin:

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yli, Siksi:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa , katso luento Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä.

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikkapa vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske viivojen , , ja akselin rajoittaman kuvan pinta-ala

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla?

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.

Päätös: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla(tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi tasaisen kuvion pinta-ala, jota rajoittavat viivat , .

Päätös: Ensin sinun on suoritettava piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Siksi integraation alaraja , integraation yläraja .
On parasta olla käyttämättä tätä menetelmää, jos mahdollista..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjat piste kerrallaan, kun integraation rajat selvitetään ikään kuin "itse". Eri kaavioiden pistekohtaista rakennustekniikkaa käsitellään yksityiskohtaisesti ohjeessa Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistan, että pistemäisellä rakentamisella integraation rajat selviää useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava: Jos välissä on jatkuva toiminto suurempi tai yhtä suuri jokin jatkuva funktio, sitten näiden funktioiden ja suorien kaavioiden rajaama kuvion alue, löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että janalla paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso yksinkertainen esimerkki nro 3) on kaavan erikoistapaus . Koska akseli on annettu yhtälöllä ja funktion kuvaaja sijaitsee ei korkeampi kirveet siis

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen ympäröimä kuvion alue, .

Esimerkki 7

Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.

Päätös: Tehdään piirustus ensin:

…Eh, piirustus oli paskaa, mutta kaikki näyttää olevan luettavissa.

Figuuri, jonka alue meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä välinpitämättömyyden vuoksi tapahtuu usein "häiriötä", että sinun on löydettävä vihreällä varjostettu hahmon alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvion pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia. Todella:

1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suorakäyrä;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolagraafi.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Jatketaan vielä yhteen merkitykselliseen tehtävään.

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala,
Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa ja piirretään kohta kohdalta:

Piirustuksesta voidaan nähdä, että ylärajamme on "hyvä": .
Mutta mikä on alaraja? On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä? Voi olla ? Mutta missä on takuu siitä, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin. Tai juuri. Entä jos emme saaneetkaan kaaviota oikein?

Tällaisissa tapauksissa täytyy käyttää lisäaikaa ja tarkentaa integraation rajoja analyyttisesti.

Etsitään suoran ja paraabelin leikkauspisteet.
Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

,

Todella, .

Jatkoratkaisu on triviaali, tärkeintä ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä, laskelmat eivät ole helpoimpia.

Segmentillä , vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, oppitunnin päätteeksi harkitsemme kahta tehtävää vaikeammaksi.

Esimerkki 9

Laske viivojen , , rajoittaman kuvion pinta-ala

Päätös: Piirrä tämä kuvio piirustukseen.

Hitto, unohdin allekirjoittaa aikataulun ja tehdä kuvan uudelleen, anteeksi, ei hotz. Ei piirustus, lyhyesti sanottuna, tänään on se päivä =)

Kohta kohdalta rakentamista varten on tarpeen tietää sinusoidin ulkonäkö (ja yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kuvaajat), sekä joitain siniarvoja, ne löytyvät trigonometrinen taulukko. Joissain tapauksissa (kuten tässä tapauksessa) on sallittua rakentaa kaavamainen piirros, jossa graafit ja integrointirajat tulee esittää periaatteessa oikein.

Integrointirajojen kanssa ei ole tässä ongelmia, ne seuraavat suoraan ehdosta: - "x" muuttuu nollasta "pi:ksi". Teemme lisäpäätöksen:

Jaksolla funktion kuvaaja sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

Tässä artikkelissa opit löytämään viivoilla rajatun kuvion alueen integraalilaskelmien avulla. Ensimmäistä kertaa tällaisen ongelman muotoiluun törmäämme lukiossa, kun tiettyjen integraalien opiskelu on juuri saatu päätökseen ja on aika aloittaa käytännössä saadun tiedon geometrinen tulkinta.

Joten, mitä tarvitaan, jotta voidaan ratkaista onnistuneesti kuvion alueen löytäminen integraaleja käyttämällä:

Kyky piirtää piirustuksia oikein;
Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
Kyky "nähdä" kannattavampi ratkaisu - ts. ymmärtääksesi, kuinka tässä tai tuossa tapauksessa integrointi on helpompaa suorittaa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
No, missä ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisen tyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

1. Rakennamme piirustuksen. On suositeltavaa tehdä tämä paperille häkissä suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme kynällä kunkin kaavion yläpuolelle tämän funktion nimen. Kaavioiden allekirjoitus tehdään yksinomaan lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan halutun kuvan kaavion useimmissa tapauksissa on heti selvää, mitä integrointirajoja käytetään. Siten ratkaisemme ongelman graafisesti. Kuitenkin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.

2. Jos integrointirajoja ei ole nimenomaisesti asetettu, etsitään graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsotaan sopiiko graafinen ratkaisumme analyyttiseen ratkaisuun.

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Riippuen siitä, kuinka funktioiden kaaviot sijaitsevat, on olemassa erilaisia lähestymistapoja kuvion alueen löytämiseen. Harkitse erilaisia esimerkkejä kuvion alueen löytämisestä integraaleja käyttämällä.

3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva trapetsi? Tämä on litteä kuva, jota rajoittaa x-akseli (y=0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a ennen b. Samanaikaisesti tämä luku ei ole negatiivinen ja ei sijaitse x-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin Newton-Leibnizin kaavalla laskettu kiinteä integraali:

Esimerkki 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Mitkä viivat määrittelevät hahmon? Meillä on paraabeli y = x2 - 3x + 3, joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska kaikki tämän paraabelin pisteet ovat positiivisia. Seuraavaksi annettu suorat viivat x = 1 ja x = 3 jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat kuvion rajaviivat vasemmalla ja oikealla. Hyvin y = 0, hän on x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva kuva on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevassa kuvassa. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Edessämme on yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka sitten ratkaisemme Newton-Leibnizin kaavalla.

3.2. Edellisessä kappaleessa 3.1 analysoitiin tapaus, jossa kaareva puolisuunnikkaan sijoittuu x-akselin yläpuolelle. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa tehtävän ehdot ovat samat, paitsi että funktio on x-akselin alla. Newton-Leibnizin standardikaavaan lisätään miinus. Kuinka ratkaista tällainen ongelma, harkitsemme edelleen.

Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Tässä esimerkissä meillä on paraabeli y=x2+6x+2, joka on peräisin akselin alta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0. Tässä y = 0 rajoittaa haluttua lukua ylhäältä. Suoraan x = -4 ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrällinen integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisen ongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, ja kaikki on myös jatkuvaa välissä [-4; -1] . Mitä positiivinen ei tarkoita? Kuten kuvasta voidaan nähdä, annetussa x:ssä olevalla kuviolla on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, mikä meidän on nähtävä ja muistettava ongelmaa ratkaistaessa. Etsimme kuvion aluetta Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.

Artikkeli ei ole valmis.