ដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

ការដាក់ពាក្យ

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតនៅលើគេហទំព័រសម្រាប់សិស្សដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលពួកគេបានគ្របដណ្តប់។ និងបណ្តុះបណ្តាលជំនាញជាក់ស្តែងរបស់អ្នក។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ Difurs លើបណ្តាញ, ដោះស្រាយគណិតវិទ្យាតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ ចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យាតាមអ៊ីនធឺណិត។ លំដាប់ ឬដឺក្រេនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃនិស្សន្ទវត្ថុដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាសមាហរណកម្ម។ បញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានចាត់ទុកថាអាចដោះស្រាយបាន ប្រសិនបើការស្វែងរកមុខងារមិនស្គាល់អាចនាំទៅដល់ quadrature ដោយមិនគិតពីថាតើអាំងតេក្រាលលទ្ធផលត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ចុងក្រោយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារដែលគេស្គាល់ឬអត់។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទាំងអស់អាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា (ODE) ដែលរួមបញ្ចូលតែមុខងារ (និងដេរីវេនៃពួកវា) នៃអាគុយម៉ង់មួយ និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក (PDE) ដែលមុខងារបញ្ចូលអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ វាក៏មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល stochastic (SDEs) ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងដំណើរការចៃដន្យ។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ អាស្រ័យលើបន្សំនៃដេរីវេទីវ័រ អនុគមន៍ និងអថេរឯករាជ្យ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបែងចែកទៅជាលីនេអ៊ែរ និងមិនលីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ ឬអថេរ ភាពដូចគ្នា ឬមិនស្មើគ្នា។ ដោយសារសារៈសំខាន់នៃកម្មវិធី សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែក quasilinear (លីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹងដេរីវេទីករខ្ពស់ជាង) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ទៅជាថ្នាក់ដាច់ដោយឡែកមួយ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបែងចែកទៅជាដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណោះស្រាយទូទៅរួមមានថេរដែលមិនអាចកំណត់បាន និងសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក មុខងារបំពាននៃអថេរឯករាជ្យ ដែលអាចចម្រាញ់ចេញពីលក្ខខណ្ឌនៃការរួមបញ្ចូលបន្ថែម (លក្ខខណ្ឌដំបូងសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា លក្ខខណ្ឌដំបូង និងព្រំដែនសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក)។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ បន្ទាប់ពីកំណត់ប្រភេទនៃមុខងារថេរ និងមិនកំណត់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ដំណោះស្រាយក្លាយជាពិសេស។ ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាបាននាំឱ្យមានការបង្កើតថ្នាក់នៃមុខងារពិសេស - មុខងារដែលជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងកម្មវិធីដែលមិនអាចបង្ហាញតាមរយៈអនុគមន៍បឋមដែលគេស្គាល់។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងលម្អិតតារាងតម្លៃត្រូវបានចងក្រងទំនាក់ទំនងទៅវិញទៅមកត្រូវបានកំណត់។ល។ . សំណុំនៃលេខដែលបានរាប់បញ្ចូលអាចត្រូវបានរុករក។ ចម្លើយដ៏ល្អបំផុតចំពោះបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ របៀបស្វែងរក ជាការប៉ាន់ស្មានដំបូង វ៉ិចទ័រដែលចេញទៅកាន់តំបន់បញ្ចូលគ្នាអំពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយមិនស្វែងរកដែនកំណត់ខាងលើដែលបានរកឃើញ។ ជម្រើសគឺជាក់ស្តែងសម្រាប់ការបង្កើនមុខងារគណិតវិទ្យា។ មានវិធីសាស្រ្តរីកចម្រើនលើសពីកម្រិតស្រាវជ្រាវ។ ការតម្រឹមលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃបញ្ហាជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងជួយអ្នកស្វែងរកតម្លៃដែលបានជ្រើសរើសពិសេស។ ប្រហែលជាគាត់អាចកំណត់អត្តសញ្ញាណភ្លាមៗដែលមិនស្គាល់។ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុននៃការបញ្ជាក់ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរគឺជាចម្លើយចំពោះបញ្ហាជាក់លាក់មួយក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។ ការថែរក្សានីតិវិធីស្រាវជ្រាវមិនត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងមូលដ្ឋានទេ។ វានឹងក្លាយជាឧទាហរណ៍មួយត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់សិស្សម្នាក់ៗ ហើយដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយបុគ្គលដែលត្រូវបានចាត់តាំងឱ្យអ្នកទទួលខុសត្រូវពីតម្លៃយ៉ាងតិចពីរ។ យកមុខងារនៃតម្លៃទូទៅនៅលើផ្នែកជាក់លាក់មួយ ហើយព្រមានតាមអ័ក្សណាមួយដែលនឹងមានគម្លាត។ តាមរយៈការសិក្សាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ិនធរណេត វាអាចបង្ហាញដោយមិនច្បាស់លាស់ថាតើលទ្ធផលមានសារៈសំខាន់ប៉ុណ្ណា ប្រសិនបើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ការកាត់តំបន់ចេញពីនិយមន័យមុខងារគឺមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះមិនមាននិយមន័យសម្រាប់កិច្ចការនៅក្នុងមូលដ្ឋាន។ ត្រូវបានរកឃើញពីប្រព័ន្ធសមីការ ចម្លើយមានអថេរដែលអាចរាប់បានក្នុងន័យទូទៅ ប៉ុន្តែការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតនឹងអាចធ្វើទៅបានដោយធម្មជាតិដោយគ្មានសកម្មភាពនៃការកំណត់លក្ខខណ្ឌនេះ។ នៅជាប់នឹងចន្លោះពេលនៃផ្នែក អ្នកអាចមើលឃើញពីរបៀបដែលការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតអាចជំរុញលទ្ធផលនៃការស្រាវជ្រាវក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាននៅពេលកាត់ផ្តាច់ចំណេះដឹងរបស់សិស្ស។ ល្អបំផុតមិនតែងតែមកពីវិធីសាស្រ្តដែលទទួលយកជាទូទៅចំពោះអាជីវកម្មនោះទេ។ នៅកម្រិត 2x វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការពិនិត្យឡើងវិញនូវសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរចាំបាច់ទាំងអស់នៅក្នុងតំណាងធម្មជាតិ ប៉ុន្តែការដែលអាចគណនាតម្លៃជាលេខនឹងធ្វើឱ្យចំណេះដឹងកាន់តែប្រសើរឡើង។ យោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តណាមួយក្នុងគណិតវិទ្យា មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងកន្សោមដែលមានលក្ខណៈខុសៗគ្នាដូចជា ភាពដូចគ្នា ឬស្មុគស្មាញ។ ដោយបានអនុវត្តការវិភាគទូទៅនៃការសិក្សាមុខងារ វាច្បាស់ណាស់ថាការដោះស្រាយឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាសំណុំនៃលទ្ធភាពតំណាងឱ្យកំហុសច្បាស់លាស់នៅក្នុងតម្លៃ។ ការពិតនៅក្នុងវាស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះខាងលើបន្ទាត់ abscissa ។ នៅកន្លែងណាមួយនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារស្មុគស្មាញ នៅចំណុចខ្លះក្នុងនិយមន័យរបស់វា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនឹងអាចបង្ហាញចម្លើយក្នុងទម្រង់វិភាគ។ នោះ​គឺ​ជា​ពាក្យ​ទូទៅ​ជា​ខ្លឹមសារ។ គ្មាន​អ្វី​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​នៅ​ពេល​ដែល​អ្នក​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​អថេរ​។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយអ្នកត្រូវមើលចម្លើយដោយចំណាប់អារម្មណ៍ពិសេស។ នៅក្នុងខ្លឹមសារ ការគណនាផ្លាស់ប្តូរទំនាក់ទំនងនៅទីបញ្ចប់ នោះគឺជារបៀបដែលដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺសមាមាត្រទៅនឹងតម្លៃសកល ហើយត្រូវបានកំណត់ក្នុងដែនកំណត់នៃដំណោះស្រាយដែលចង់បាន។ ក្នុងករណីខ្លះ ការព្រមានអំពីកំហុសដ៏ធំគឺមិនអាចជៀសវាងបានទេ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ិនធរណេតអនុវត្តគំនិតទូទៅនៃបញ្ហា ប៉ុន្តែនៅទីបញ្ចប់វាចាំបាច់ដើម្បីផ្តល់នូវទិដ្ឋភាពវិជ្ជមាននៃផលិតផលវ៉ិចទ័រឱ្យបានឆាប់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ករណីនៃការយល់ខុសក្នុងទ្រឹស្តីលេខមិនមែនជារឿងចម្លែកនោះទេ។ ការពិនិត្យពិតជាត្រូវការ។ តាមធម្មជាតិ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការផ្តល់សិទ្ធិនេះដល់អ្នកជំនាញក្នុងវិស័យរបស់ពួកគេ ហើយពួកគេនឹងជួយអ្នកក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត ចាប់តាំងពីបទពិសោធន៍របស់ពួកគេមានច្រើន និងវិជ្ជមាន។ ភាពខុសគ្នាលើផ្ទៃនៃតួលេខ និងផ្ទៃគឺដូចជាវាមិនដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមើលឃើញ ប៉ុន្តែសំណុំនៃវត្ថុដែលមិនប្រសព្វគ្នាគឺដូចជាបន្ទាត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ជាលទ្ធផលអ្នកអាចទទួលបានតម្លៃទ្វេដង។ ខណៈពេលដែលមិនច្បាស់លាស់ ការយល់ដឹងរបស់យើងអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃសញ្ញាណផ្លូវការពាក់ព័ន្ធនឹងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ ទាំងនៅក្នុងផ្នែកមើល និងទាក់ទងនឹងការវាយតម្លៃខ្ពស់ដោយចេតនានៃគុណភាពនៃលទ្ធផល។ ការពិភាក្សាជាក្រុមលើប្រធានបទដែលចាប់អារម្មណ៍ចំពោះសិស្សទាំងអស់ត្រូវបានពិនិត្យឡើងវិញជាច្រើនដង។ ពេញមួយការសិក្សានៃវគ្គសិក្សាពេញលេញនៃការបង្រៀន យើងនឹងផ្តោតការយកចិត្តទុកដាក់របស់យើងទៅលើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងផ្នែកពាក់ព័ន្ធនៃការសិក្សាវិទ្យាសាស្ត្រ ប្រសិនបើរឿងនេះមិនផ្ទុយពីការពិត។ ជំហានជាច្រើនអាចត្រូវបានជៀសវាងនៅដើមដំបូងនៃការធ្វើដំណើរ។ ប្រសិនបើការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅតែជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃអ្វីដែលថ្មីសម្រាប់សិស្ស នោះរឿងចាស់មិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោលទាល់តែសោះ ប៉ុន្តែការវិវត្តទៅអនាគតក្នុងអត្រាខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍។ ដំបូងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់បញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាខុសគ្នា ប៉ុន្តែនេះត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងកថាខណ្ឌនៅខាងស្តាំ។ បន្ទាប់ពីពេលវេលាដែលបានបញ្ជាក់ដោយនិយមន័យបានកន្លងផុតទៅ លទ្ធភាពនៃលទ្ធផលអាស្រ័យសមាមាត្រនៅលើយន្តហោះផ្សេងៗនៃចលនាវ៉ិចទ័រមិនអាចដកចេញបានទេ។ ករណីសាមញ្ញបែបនេះអាចត្រូវបានកែដំរូវតាមវិធីដូចគ្នាដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរត្រូវបានពិពណ៌នានៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខក្នុងទម្រង់ទូទៅ វានឹងលឿនជាងមុន ហើយអុហ្វសិតនៃការគណនានឹងមិននាំឱ្យមានការយល់ឃើញខុសនោះទេ។ មានតែករណីចំនួនប្រាំដែលដាក់ឈ្មោះតាមទ្រឹស្តីប៉ុណ្ណោះដែលអាចរុញច្រានព្រំដែននៃអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់យើងនឹងជួយអ្នកគណនាតម្លៃដោយដៃជាលេខរួចហើយនៅដំណាក់កាលដំបូងនៃការបំបែកទំហំមុខងារ។ នៅកន្លែងត្រឹមត្រូវវាចាំបាច់ដើម្បីតំណាងឱ្យចំណុចនៃទំនាក់ទំនងនៃបន្ទាត់ទាំងបួនក្នុងន័យទូទៅមួយ។ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​ត្រូវ​ផ្លាស់​ប្តូរ​កិច្ចការ​នោះ វា​នឹង​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​គណនា​ភាពស្មុគស្មាញ។ ទិន្នន័យដំបូងគឺគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការរចនាជើងដែលនៅជាប់គ្នា ហើយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតមើលទៅតម្រឹមឆ្វេង ហើយផ្ទៃគឺម្ខាងតម្រង់ឆ្ពោះទៅរក rotor នៃវ៉ិចទ័រ។ លើសពីដែនកំណត់ខាងលើ តម្លៃលេខលើសពីលក្ខខណ្ឌដែលបានកំណត់គឺអាចធ្វើទៅបាន។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីរូបមន្តគណិតវិទ្យានិងដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតដោយប្រើមិនស្គាល់ចំនួនបីនៅក្នុងតម្លៃទូទៅនៃសមាមាត្រ។ វិធីសាស្ត្រគណនាក្នុងស្រុកត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាត្រឹមត្រូវ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលមានរាងចតុកោណកែងក្នុងចលនាដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ិនធរណេតអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានដោយមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុងការពេញចិត្តនៃដំណើរការគណនាតាមរយៈនិយមន័យម៉ាទ្រីសនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ទាំងមូលដែលមានទីតាំងនៅខាងលើក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់។ ដំណោះស្រាយអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ប្រសិនបើអ្នកអនុវត្តវ៉ិចទ័រចលនាទៅចំណុចទំនាក់ទំនងនៃអឌ្ឍគោលទាំងបី។ ស៊ីឡាំងត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលចតុកោណជុំវិញចំហៀង ហើយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនឹងអាចបង្ហាញទិសដៅនៃចលនានៃចំណុចនេះបើយោងតាមកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃច្បាប់នៃចលនារបស់វា។ ទិន្នន័យដំបូងគឺត្រឹមត្រូវ ហើយបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបានក្រោមលក្ខខណ្ឌសាមញ្ញមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយសារកាលៈទេសៈ ដោយសារភាពស្មុគស្មាញនៃកិច្ចការរងដែលបានដាក់ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្វើឱ្យដំណើរការនៃការគណនាលេខចន្លោះនៅកម្រិតនៃលំហបីវិមាត្រ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់បើមិនដូច្នេះទេ ប៉ុន្តែវាអាចត្រូវបានជៀសវាង ដូចជានៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ចំណុចខាងក្រោមត្រូវបានផ្តល់ជូន៖ នៅពេលដែលបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញ កិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងដ៏អស្ចារ្យបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាននៅលើផ្នែករបស់សិស្សគួរតែត្រូវបានអនុវត្តចំពោះវា។ បន្ទាត់ត្រួតលើគ្នាត្រូវបានគេយកមកពិចារណា។ អំពីការដោះស្រាយឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅតែបន្តអត្ថប្រយោជន៍នៃវិធីសាស្រ្តដែលបាននិយាយនៅលើបន្ទាត់កោង។ ប្រសិនបើដំបូងអ្នកទទួលស្គាល់អ្វីមួយដែលមិនមែនជាអ្វីដែលអ្នកត្រូវការ នោះរូបមន្តគណិតវិទ្យានឹងបង្កើតអត្ថន័យថ្មីសម្រាប់កន្សោម។ គោលដៅគឺជាវិធីសាស្រ្តដ៏ល្អប្រសើរក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការដែលកំណត់ដោយសាស្រ្តាចារ្យ។ អ្នកមិនគួរសន្មត់ថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរក្នុងទម្រង់សាមញ្ញនឹងលើសពីលទ្ធផលដែលរំពឹងទុកនោះទេ។ យើងដាក់វ៉ិចទ័របីលើផ្ទៃដែលមានសមាសភាពជាក់លាក់។ orthogonal ទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ តោះគណនាផលិតផល។ ចូរបន្ថែមនិមិត្តសញ្ញាមួយចំនួនធំ ហើយសរសេរអថេរទាំងអស់នៃអនុគមន៍ពីកន្សោមលទ្ធផល។ មានសមាមាត្រ។ សកម្មភាពជាច្រើននៅមុនចុងបញ្ចប់នៃការគណនានឹងមិនផ្តល់ចម្លើយមិនច្បាស់លាស់ចំពោះដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលភ្លាមៗនោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីពេលវេលាដែលបានបែងចែកបានកន្លងផុតទៅតាមបណ្តោយអ័ក្ស y ។ នៅខាងឆ្វេងនៃចំណុចមិនបន្ត ដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោលពីមុខងារ យើងគូរអ័ក្សអ័រតូហ្គោនទៅវ៉ិចទ័រដែលកើនឡើងល្អបំផុត ហើយដាក់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតតាមតម្លៃព្រំដែនតូចបំផុតនៃមុខខាងក្រោមនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា។ យើងបន្ថែមអាគុយម៉ង់បន្ថែមនៅក្នុងតំបន់បំបែកមុខងារ។ នៅខាងស្ដាំនៃចំណុចដែលបន្ទាត់កោងស្ថិតនៅ រូបមន្តដែលយើងបានសរសេរសម្រាប់កាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងធម្មតានឹងជួយអ្នកដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ យើងនឹងយកវិធីសាស្រ្តត្រឹមត្រូវតែមួយគត់ដែលនឹងបំភ្លឺលើបញ្ហាដែលមិនអាចដោះស្រាយបានពីទ្រឹស្តីទៅការអនុវត្ត ក្នុងករណីទូទៅដោយមិនច្បាស់លាស់។ បន្ទាត់ក្នុងទិសដៅនៃកូអរដោណេនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនដែលបិទទីតាំងខ្លាំងនៃការ៉េនោះទេ ប៉ុន្តែការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ិនធរណេតនឹងជួយសិស្ស ពួកយើង និងគ្រាន់តែជាអ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងក្នុងវិស័យនេះក្នុងការសិក្សាគណិតវិទ្យា។ យើងកំពុងនិយាយអំពីលទ្ធភាពនៃការជំនួសអាគុយម៉ង់តម្លៃទៅក្នុងបន្ទាត់សំខាន់ៗទាំងអស់នៃវាលមួយ។ ជាគោលការណ៍ ដូចដែលគេរំពឹងទុក សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែររបស់យើងគឺជាអ្វីដែលដាច់ចេញពីគំនិតតែមួយនៃអត្ថន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីជួយសិស្ស ជាម៉ាស៊ីនគិតលេខដ៏ល្អបំផុតមួយក្នុងចំណោមសេវាកម្មស្រដៀងគ្នា។ ចូលរៀនវគ្គសិក្សាទាំងអស់ ហើយជ្រើសរើសល្អបំផុតសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។

=

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវកិច្ចការដែលប្រឈមមុខនឹងយើង នៅពេលស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់៖

ឬ dy = f(x)dx ។ ដំណោះស្រាយរបស់នាង៖

ហើយ​វា​មក​ដល់​ការ​គណនា​អាំងតេក្រាល​មិន​កំណត់។ នៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការដែលស្មុគ្រស្មាញជាងនេះច្រើនតែជួបប្រទះ៖ ការស្វែងរកមុខងារ yប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ថាវាបំពេញទំនាក់ទំនងនៃទម្រង់

ទំនាក់ទំនងនេះទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ xមុខងារមិនស្គាល់ yនិងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាទៅតាមលំដាប់ នរួមបញ្ចូល, ត្រូវបានគេហៅថា .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរួមបញ្ចូលមុខងារមួយនៅក្រោមសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៃលំដាប់មួយឬមួយផ្សេងទៀត។ លំដាប់ខ្ពស់បំផុតត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់ (9.1) .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

- លំដាប់ទីមួយ

លំដាប់ទីពីរ

- លំដាប់​ទី ៥ ។ល។

មុខងារដែលបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយរបស់វា។ , ឬអាំងតេក្រាល។ . ការ​ដោះស្រាយ​វា​មាន​ន័យ​ថា​ការ​ស្វែង​រក​ដំណោះ​ស្រាយ​ទាំង​អស់​របស់​វា​។ ប្រសិនបើសម្រាប់មុខងារដែលត្រូវការ yគ្រប់គ្រងដើម្បីទទួលបានរូបមន្តដែលផ្តល់ដំណោះស្រាយទាំងអស់ បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាយើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វា។ , ឬអាំងតេក្រាលទូទៅ .

ការសម្រេចចិត្តទូទៅ មាន នអថេរបំពាន ហើយមើលទៅ

ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងត្រូវបានទទួល នោះទាក់ទង x, yនិង នថេរតាមអំពើចិត្ត ជាទម្រង់ដែលមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតទាក់ទងនឹង y -

បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ (9.1) ។

បញ្ហាក្រហាយ

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នីមួយៗ ពោលគឺ មុខងារជាក់លាក់នីមួយៗដែលបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមិនអាស្រ័យលើចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត ត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។ , ឬអាំងតេក្រាលមួយផ្នែក។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ (អាំងតេក្រាល) ពីទូទៅ ថេរត្រូវតែផ្តល់តម្លៃជាលេខជាក់លាក់។

ក្រាហ្វនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ ដំណោះស្រាយទូទៅដែលមានដំណោះស្រាយផ្នែកទាំងអស់គឺជាក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយ គ្រួសារនេះអាស្រ័យលើចំនួនថេរតាមអំពើចិត្តមួយ សម្រាប់សមីការ នលំដាប់ទី - ពី នអថេរបំពាន។

បញ្ហា Cauchy គឺត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់សមីការ ន- លំដាប់, ពេញចិត្ត នលក្ខខណ្ឌដំបូង៖

ដែល n ថេរ c 1, c 2, ..., c n ត្រូវបានកំណត់។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1

សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1 ដែលមិនត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេ វាមានទម្រង់

ឬសម្រាប់ការអនុញ្ញាត

ឧទាហរណ៍ 3.46. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន

ដែល C គឺជាថេរដែលបំពាន។ ប្រសិនបើយើងកំណត់តម្លៃលេខជាក់លាក់ទៅ C យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ 3.47. ពិចារណាលើការកើនឡើងនៃប្រាក់ដែលដាក់ក្នុងធនាគារដែលទទួលរងនូវការកើនឡើងនៃ 100 r ការប្រាក់រួមក្នុងមួយឆ្នាំ។ អនុញ្ញាតឱ្យ Yo ជាចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងហើយ Yx - នៅចុងបញ្ចប់ xឆ្នាំ ប្រសិនបើការប្រាក់ត្រូវបានគណនាម្តងក្នុងមួយឆ្នាំយើងទទួលបាន

ដែល x = 0, 1, 2, 3, .... នៅពេលការប្រាក់ត្រូវបានគណនាពីរដងក្នុងមួយឆ្នាំ យើងទទួលបាន

ដែល x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... នៅពេលគណនាការប្រាក់ នម្តងក្នុងមួយឆ្នាំនិង ប្រសិនបើ xយកតម្លៃបន្តបន្ទាប់គ្នា 0, 1/n, 2/n, 3/n, ... បន្ទាប់មក

កំណត់ 1/n = h បន្ទាប់មកសមភាពមុននឹងមើលទៅដូច៖

ជាមួយនឹងការពង្រីកគ្មានដែនកំណត់ ន(នៅ ) នៅក្នុងដែនកំណត់ យើងមកដល់ដំណើរការនៃការបង្កើនចំនួនប្រាក់ជាមួយនឹងការបន្ថែមការប្រាក់ជាបន្តបន្ទាប់៖

ដូច្នេះវាច្បាស់ណាស់ថាជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់ xច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរការផ្គត់ផ្គង់ប្រាក់ត្រូវបានបង្ហាញដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1 ។ កន្លែងដែល Y x ជាមុខងារមិនស្គាល់ x- អថេរឯករាជ្យ r- ថេរ។ ចូរ​ដោះស្រាយ​សមីការ​នេះ ដើម្បី​ធ្វើ​វា​យើង​សរសេរ​វា​ឡើង​វិញ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

កន្លែងណា , ឬ ដែលជាកន្លែងដែល P តំណាងឱ្យ e C ។

ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង Y(0) = Yo យើងរកឃើញ P: Yo = Pe o មកពីណា Yo = P. ដូច្នេះដំណោះស្រាយមានទម្រង់៖

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ចទីពីរ។ គំរូម៉ាក្រូសេដ្ឋកិច្ចក៏ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1 ដោយពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរប្រាក់ចំណូល ឬទិន្នផល Y ជាមុខងារនៃពេលវេលា។

ឧទាហរណ៍ 3.48. អនុញ្ញាតឱ្យប្រាក់ចំណូលជាតិ Y កើនឡើងក្នុងអត្រាសមាមាត្រទៅនឹងតម្លៃរបស់វា៖

ហើយអនុញ្ញាតឱ្យឱនភាពនៃការចំណាយរបស់រដ្ឋាភិបាលមានសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងប្រាក់ចំណូល Y ជាមួយនឹងមេគុណសមាមាត្រ q. ឱនភាពនៃការចំណាយនាំឲ្យមានការកើនឡើងនៃបំណុលជាតិ D:

លក្ខខណ្ឌដំបូង Y = Yo និង D = ធ្វើនៅ t = 0. ពីសមីការទីមួយ Y = Yoe kt ។ ការជំនួស Y យើងទទួលបាន dD/dt = qYoe kt ។ ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់
D = (q/ k) Yoe kt +С ដែល С = const ដែលត្រូវបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ជំនួសលក្ខខណ្ឌដំបូង យើងទទួលបាន Do = (q/k)Yo + C. ដូច្នេះ ទីបំផុត

D = ធ្វើ +(q/k)Yo (e kt -1),

នេះបង្ហាញថាបំណុលជាតិកំពុងកើនឡើងក្នុងអត្រាដែលទាក់ទងដូចគ្នា។ kដូចគ្នានឹងចំណូលជាតិដែរ។

ចូរយើងពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត។ នលំដាប់ទី ទាំងនេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់

ដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាអាចត្រូវបានទទួលបានដោយប្រើ នការរួមបញ្ចូលដង។

ឧទាហរណ៍ 3.49 ។ពិចារណាឧទាហរណ៍ y "" = cos x ។

ដំណោះស្រាយ។ការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញ

ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

ពួកវាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយសមីការបែបនេះ។ ប្រសិនបើ (9.1) មានទម្រង់៖

បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ ដែល рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) ត្រូវបានផ្តល់មុខងារ។ ប្រសិនបើ f(x) = 0 នោះ (9.2) ត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា បើមិនដូច្នេះទេ វាត្រូវបានគេហៅថា inhomogeneous ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (9.2) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយរបស់វា។ y(x)និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នានឹងវា៖

ប្រសិនបើមេគុណ р o (x), р 1 (x), ... , р n (x) គឺថេរ នោះ (9.2)

(9.4) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃលំដាប់ ន .

សម្រាប់ (9.4) មានទម្រង់៖

ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងអាចកំណត់ p o = 1 ហើយសរសេរ (9.5) ក្នុងទម្រង់

យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយ (9.6) ក្នុងទម្រង់ y = e kx ដែល k ជាថេរ។ យើង​មាន: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ... , y (n) = kne kx ។ ការជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជា (9.6) យើងនឹងមាន៖

(9.7) គឺជាសមីការពិជគណិត មិនស្គាល់របស់វាគឺ kវាត្រូវបានគេហៅថាលក្ខណៈ។ សមីការលក្ខណៈមានកម្រិត ននិង នឫស, ក្នុងចំណោមនោះអាចមានទាំងពហុនិងស្មុគស្មាញ។ អនុញ្ញាតឱ្យ k 1 , k 2 , ... , k n ពិតប្រាកដ និងច្បាស់លាស់ បន្ទាប់មក - ដំណោះស្រាយពិសេស (9.7) និងទូទៅ

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ៖

សមីការលក្ខណៈរបស់វាមានទម្រង់

(9.9)

ការរើសអើងរបស់វា D = p 2 - 4q អាស្រ័យលើសញ្ញា D ករណីបីអាចធ្វើទៅបាន។

1. ប្រសិនបើ D>0 នោះឫស k 1 និង k 2 (9.9) គឺពិត និងខុសគ្នា ហើយដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់៖

ដំណោះស្រាយ។សមីការលក្ខណៈ៖ k 2 + 9 = 0, whence k = ± 3i, a = 0, b = 3, ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់៖

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 2 ត្រូវបានប្រើនៅពេលសិក្សាគំរូសេដ្ឋកិច្ចប្រភេទបណ្តាញជាមួយសារពើភ័ណ្ឌនៃទំនិញ ដែលអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃ P អាស្រ័យលើទំហំនៃសារពើភ័ណ្ឌ (សូមមើលកថាខណ្ឌទី 10) ។ ប្រសិនបើការផ្គត់ផ្គង់ និងតម្រូវការគឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃតម្លៃ នោះគឺជា

a គឺជាថេរដែលកំណត់អត្រាប្រតិកម្ម បន្ទាប់មកដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

សម្រាប់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ យើងអាចយកថេរ

តម្លៃលំនឹងមានន័យ។ គម្លាត បំពេញសមីការដូចគ្នា។

(9.10)

សមីការលក្ខណៈនឹងមានដូចខាងក្រោម៖

ក្នុងករណីដែលពាក្យគឺវិជ្ជមាន។ ចូរយើងសម្គាល់ . ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ k 1,2 = ±i w ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅ (9.10) មានទម្រង់៖

ដែល C និងជាអថេរបំពាន ពួកវាត្រូវបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង។ យើងទទួលបានច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃតាមពេលវេលា៖

បញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់អ្នក apostroa "" ត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ចូលដេរីវេ សូមចុចបញ្ជូន ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយ

ទាំង​នោះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ដោះស្រាយ​រួច​ហើយ​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​និស្សន្ទវត្ថុ ឬ​ពួក​គេ​អាច​ត្រូវ​បាន​ដោះស្រាយ​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​និស្សន្ទវត្ថុ .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនៅលើចន្លោះពេល Xដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អាចត្រូវបានរកឃើញដោយយកអាំងតេក្រាលនៃភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ។

យើង​ទទួល​បាន .

ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ យើងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅដែលចង់បាន៖

y = F(x) + C,

កន្លែងណា F(x)- មួយនៃមុខងារបឋម f(x)នៅក្នុង​ចន្លោះ X, ក ជាមួយ- ថេរដោយបំពាន។

សូមចំណាំថានៅក្នុងបញ្ហាភាគច្រើនចន្លោះពេល Xមិនចង្អុលបង្ហាញ។ នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវតែស្វែងរកសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ xសម្រាប់ការដែលនិងមុខងារដែលចង់បាន yហើយសមីការដើមមានអត្ថន័យ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវគណនាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(x 0) = y 0បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីគណនាអាំងតេក្រាលទូទៅ y = F(x) + Cវានៅតែចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃថេរ C = C 0ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នោះគឺថេរ C = C 0កំណត់ពីសមីការ F(x 0) + C = y 0ហើយដំណោះស្រាយផ្នែកដែលចង់បាននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងមានទម្រង់៖

y = F(x) + C 0.

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការនេះ ដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។

ដំណោះស្រាយ៖

បន្ទាប់ពីយើងបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងទទួលបាន:

.

ចូរ​យក​អាំងតេក្រាល​នេះ​ដោយ​ប្រើ​វិធី​ផ្សំ​ដោយ​ផ្នែក៖


នោះ., គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដើម្បី​ប្រាកដ​ថា​លទ្ធផល​គឺ​ត្រឹមត្រូវ សូម​ពិនិត្យ​មើល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសដំណោះស្រាយដែលយើងបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖


.

នោះគឺនៅពេលដែល សមីការដើមប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ដំណោះស្រាយដែលយើងបានរកឃើញគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់រាល់តម្លៃពិតនៃអាគុយម៉ង់ x.

វានៅសល់ដើម្បីគណនាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះ ODE ដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃថេរ ជាមួយដែលសមភាពនឹងជាការពិត៖

.

.

បន្ទាប់មកជំនួស គ = ២នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃ ODE យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង៖

.

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ អាចត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់ដេរីវេដោយបែងចែក 2 ផ្នែកនៃសមីការដោយ f(x). ការផ្លាស់ប្តូរនេះនឹងស្មើនឹងប្រសិនបើ f(x)មិនប្រែទៅជាសូន្យក្នុងកាលៈទេសៈណាក៏ដោយ។ xពីចន្លោះពេលសមាហរណកម្មនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល X.

ទំនងជាមានស្ថានភាពនៅពេលដែលសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ x ∈ Xមុខងារ f(x)និង g(x)ក្នុងពេលដំណាលគ្នាក្លាយជាសូន្យ។ សម្រាប់តម្លៃស្រដៀងគ្នា xដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាមុខងារណាមួយ។ yដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងពួកគេដោយសារតែ .

ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់មួយចំនួន x ∈ Xលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត ដែលមានន័យថាក្នុងករណីនេះ ODE មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

សម្រាប់អ្នករាល់គ្នាផ្សេងទៀត។ xពីចន្លោះពេល Xដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ពីសមីការបំប្លែង។

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ ១.

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះ ODE៖ .

ដំណោះស្រាយ។

ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋមសិក្សា វាច្បាស់ណាស់ថាអនុគមន៍លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ ដូច្នេះដែននៃនិយមន័យនៃកន្សោម ln(x+3)មានចន្លោះពេល x > -3 . នេះមានន័យថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យមានអត្ថន័យ x > -3 . សម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ទាំងនេះ កន្សោម x+3មិនបាត់ទេ ដូច្នេះអ្នកអាចដោះស្រាយ ODE សម្រាប់ដេរីវេដោយបែងចែក 2 ផ្នែកដោយ x + ៣.

យើង​ទទួល​បាន .

បន្ទាប់ យើងបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាលទ្ធផល ដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ៖ . ដើម្បីយកអាំងតេក្រាលនេះ យើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលវានៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ

របៀបដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយដែលត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេ៖
.
ចែកសមីការនេះដោយ , ជាមួយ , យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់៖
,
កន្លែងណា។

បន្ទាប់មក យើងមើលដើម្បីមើលថាតើសមីការទាំងនេះជារបស់ប្រភេទមួយក្នុងចំណោមប្រភេទដែលបានរាយខាងក្រោម។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងនឹងសរសេរសមីការឡើងវិញជាទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរនិងគុណសមីការដោយ . យើងទទួលបានសមីការក្នុងទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖
.

ប្រសិនបើសមីការនេះមិនមែនជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបទេ នោះយើងពិចារណាថានៅក្នុងសមីការនេះគឺជាអថេរឯករាជ្យ ហើយជាមុខងាររបស់ . ចែកសមីការដោយ៖
.
បន្ទាប់មក យើងពិនិត្យមើលថាតើសមីការនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប្រភេទមួយក្នុងចំណោមប្រភេទដែលបានរាយខាងក្រោមដោយគិតគូរថាយើងបានប្តូរកន្លែង។

ប្រសិនបើ​ប្រភេទ​មួយ​មិន​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​សម្រាប់​សមីការ​នេះ នោះ​យើង​មើល​ថា​តើ​វា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ដើម្បី​សម្រួល​សមីការ​ដោយ​ការ​ជំនួស​សាមញ្ញ​ឬ​អត់។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើសមីការគឺ៖
,
បន្ទាប់មកយើងកត់សំគាល់ថា។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់ពីនេះ សមីការនឹងមានទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះ៖
.

ប្រសិនបើវាមិនអាចជួយបានទេនោះយើងព្យាយាមស្វែងរកកត្តារួមបញ្ចូល។

សមីការដែលអាចបំបែកបាន។

;
.
បែងចែកដោយនិងរួមបញ្ចូល។ នៅពេលដែលយើងទទួលបាន៖
.

សមីការកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលអាចបំបែកបាន។

សមីការដូចគ្នា។

យើងដោះស្រាយដោយការជំនួស៖
,
តើមុខងាររបស់ . បន្ទាប់មក
;
.
យើងបែងចែកអថេរនិងរួមបញ្ចូល។

សមីការកាត់បន្ថយទៅជាភាពដូចគ្នា។

បញ្ចូលអថេរ និង៖
;
.
យើងជ្រើសរើសថេរ ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃបាត់៖
;
.
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការដូចគ្នានៅក្នុងអថេរ និង .

សមីការដូចគ្នាទូទៅ

ចូរធ្វើការជំនួស។ យើងទទួលបានសមីការដូចគ្នានៅក្នុងអថេរ និង .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

មានវិធីសាស្រ្តបីសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។

2) វិធីសាស្រ្តរបស់ Bernoulli ។
យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ និងអថេរមួយ៖
.
;
.
យើងអាចជ្រើសរើសមុខងារមួយក្នុងចំណោមមុខងារទាំងនេះតាមអំពើចិត្ត។ ដូច្នេះ យើងជ្រើសរើសដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាសូន្យនៃសមីការដូចជា៖
.

3) វិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួលនៃថេរ (Lagrange) ។
នៅទីនេះដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា៖

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាមានទម្រង់៖
,
កន្លែងណាជាថេរ។ បន្ទាប់ យើងជំនួសថេរដោយអនុគមន៍ដែលអាស្រ័យលើអថេរ៖
.
ជំនួសសមីការដើម។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការមួយដែលយើងកំណត់។

សមីការ Bernoulli

ដោយការជំនួសសមីការ Bernoulli ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការលីនេអ៊ែរ។

សមីការនេះក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Bernoulli ។ នោះគឺយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរអាស្រ័យលើអថេរ៖
.
ជំនួសសមីការដើម៖
;
.
យើងជ្រើសរើសដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាសូន្យនៃសមីការដូចជា៖
.
ដោយបានកំណត់ យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបានសម្រាប់ .

សមីការរីកាទី

វាមិនអាចដោះស្រាយជាទម្រង់ទូទៅបានទេ។ ការជំនួស

សមីការ Riccati ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖
,
កន្លែងណាជាថេរ; ; .
បន្ទាប់ដោយការជំនួស៖

វាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖
,
កន្លែងណា។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមីការ Riccati និងករណីពិសេសមួយចំនួននៃដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរីកាទី >>>

សមីការ Jacobi

ដោះស្រាយដោយការជំនួស៖
.

សមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប

បានផ្តល់ឱ្យនោះ។
.
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានបំពេញ កន្សោមខាងឆ្វេងនៃសមភាពគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារមួយចំនួន៖
.
បន្ទាប់មក
.
ពីទីនេះយើងទទួលបានអាំងតេក្រាលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖
.

ដើម្បីស្វែងរកមុខងារ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺវិធីសាស្ត្រនៃការទាញយកឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមលំដាប់លំដោយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមប្រើរូបមន្ត៖
;
;
;
.

កត្តារួមបញ្ចូលគ្នា

ប្រសិនបើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទដែលបានរាយបញ្ជីទេនោះ អ្នកអាចព្យាយាមស្វែងរកកត្តារួមបញ្ចូល។ កត្តារួមបញ្ចូលគឺជាអនុគមន៍មួយ នៅពេលដែលគុណនឹងនោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្លាយជាសមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1 មានកត្តារួមបញ្ចូលដ៏គ្មានកំណត់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកកត្តារួមបញ្ចូលនោះទេ។

សមីការមិនត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់ដេរីវេ y"

សមីការ​ដែល​អាច​ដោះស្រាយ​បាន​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​ដេរីវេ y"

ដំបូងអ្នកត្រូវព្យាយាមដោះស្រាយសមីការដោយគោរពតាមដេរីវេ។ ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន សមីការអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទមួយក្នុងចំណោមប្រភេទដែលបានរាយខាងលើ។

សមីការដែលអាចត្រូវបានបែងចែក

ប្រសិនបើអ្នកអាចគណនាសមីការ៖
,
បន្ទាប់មកបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញជាលំដាប់៖
;
;

;
. យើងជឿ។ បន្ទាប់មក
ឬ។
បន្ទាប់យើងបញ្ចូលសមីការ៖
;
.
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានកន្សោមនៃអថេរទីពីរតាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

សមីការទូទៅបន្ថែមទៀត៖
ឬ
ក៏ត្រូវបានដោះស្រាយជាទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវជ្រើសរើសមុខងារដែលពីសមីការដើមអ្នកអាចបង្ហាញឬតាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ដើម្បីបង្ហាញអថេរទីពីរតាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រ យើងបញ្ចូលសមីការ៖
;
.

សមីការត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់ y

សមីការ Clairaut

សមីការនេះមានដំណោះស្រាយទូទៅ

សមីការ Lagrange

យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ យើងសន្មតថាកន្លែងណាជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

សមីការដែលនាំទៅដល់សមីការ Bernoulli


សមីការទាំងនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ Bernoulli ប្រសិនបើយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយការណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយហើយធ្វើការជំនួស។

ឯកសារយោង៖
V.V. Stepanov, វគ្គសិក្សានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល, "LKI", ឆ្នាំ 2015 ។
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, ការប្រមូលផ្ដុំនៃបញ្ហានៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, “Lan”, ឆ្នាំ 2003 ។

ខ្ញុំគិតថាយើងគួរតែចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏រុងរឿងដូចជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដូចការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាលទាំងអស់ សមីការទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយញូតុននៅចុងសតវត្សទី 17 ។ គាត់បានចាត់ទុកការរកឃើញពិសេសរបស់គាត់នេះគឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ ដែលគាត់ថែមទាំងបានអ៊ិនគ្រីបសារមួយ ដែលសព្វថ្ងៃនេះអាចត្រូវបានបកប្រែដូចនេះ៖ "ច្បាប់នៃធម្មជាតិទាំងអស់ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល"។ នេះអាចហាក់ដូចជាការបំផ្លើស ប៉ុន្តែវាជាការពិត។ ច្បាប់ណាមួយនៃរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា ជីវវិទ្យា អាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការទាំងនេះ។

គណិតវិទូ អយល័រ និង ឡាហ្គែន បានចូលរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងចំពោះការអភិវឌ្ឍន៍ និងការបង្កើតទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ រួចហើយនៅក្នុងសតវត្សទី 18 ពួកគេបានរកឃើញ និងបង្កើតនូវអ្វីដែលពួកគេសិក្សាឥឡូវនេះនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៅសាកលវិទ្យាល័យជាន់ខ្ពស់។

ចំណុចសំខាន់ថ្មីមួយក្នុងការសិក្សាអំពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបានចាប់ផ្តើមអរគុណដល់លោក Henri Poincaré។ គាត់បានបង្កើត "ទ្រឹស្តីគុណភាពនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល" ដែលរួមផ្សំជាមួយនឹងទ្រឹស្ដីមុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ បានរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ដល់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល - វិទ្យាសាស្ត្រនៃលំហ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

តើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាអ្វី?

មនុស្សជាច្រើនមានការភ័យខ្លាចចំពោះឃ្លាមួយ ប៉ុន្តែនៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងរៀបរាប់លម្អិតអំពីខ្លឹមសារទាំងមូលនៃឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏មានប្រយោជន៍នេះ ដែលតាមពិតទៅវាមិនស្មុគស្មាញដូចដែលវាហាក់ដូចជាមកពីឈ្មោះនោះទេ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមនិយាយអំពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ អ្នកគួរតែស្គាល់គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានដែលជាប់ទាក់ទងជាមួយនិយមន័យនេះជាមុនសិន។ ហើយយើងនឹងចាប់ផ្តើមជាមួយឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

មនុស្សជាច្រើនបានស្គាល់គំនិតនេះតាំងពីនៅរៀន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សូមក្រឡេកមើលវាឱ្យកាន់តែច្បាស់។ ស្រមៃមើលក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ យើងអាចបង្កើនវាដល់កម្រិតដែលផ្នែកណាមួយរបស់វានឹងមានទម្រង់ជាបន្ទាត់ត្រង់។ ចូរយើងយកពីរចំណុចនៅលើវាដែលនៅជិតគ្នាមិនចេះចប់។ ភាពខុសគ្នារវាងកូអរដោនេរបស់ពួកគេ (x ឬ y) នឹងមិនមានកំណត់។ វាត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយត្រូវបានតាងដោយសញ្ញា dy (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល y) និង dx (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល x) ។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនមែនជាបរិមាណកំណត់ទេ ហើយនេះគឺជាអត្ថន័យ និងមុខងារចម្បងរបស់វា។

ឥឡូវនេះយើងត្រូវពិចារណាធាតុបន្ទាប់ដែលនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើងក្នុងការពន្យល់អំពីគំនិតនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ នេះគឺជាដេរីវេ។

ដេរីវេ

យើងទាំងអស់គ្នាប្រហែលជាបានលឺគំនិតនេះនៅសាលា។ និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបាននិយាយថាជាអត្រាដែលអនុគមន៍កើនឡើង ឬថយចុះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយពីនិយមន័យនេះច្រើនក្លាយទៅជាមិនច្បាស់លាស់។ ចូរយើងព្យាយាមពន្យល់ពីដេរីវេតាមរយៈឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ចូរយើងត្រឡប់ទៅផ្នែកដែលមិនមានកំណត់នៃអនុគមន៍ដែលមានចំណុចពីរដែលនៅចម្ងាយអប្បបរមាពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែនៅចម្ងាយនេះមុខងារគ្រប់គ្រងការផ្លាស់ប្តូរដោយចំនួនមួយចំនួន។ ហើយដើម្បីពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរនេះ ពួកគេបានបង្កើតឡើងនូវដេរីវេដែលអាចត្រូវបានសរសេរជាសមាមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល: f(x)"=df/dx ។

ឥឡូវនេះវាមានតម្លៃពិចារណាលើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដេរីវេ។ មានតែបីប៉ុណ្ណោះក្នុងចំណោមពួកគេ៖

  1. ដេរីវេនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖ (a+b)"=a"+b" និង (a-b)"=a"-b"។
  2. ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរទាក់ទងនឹងគុណ។ ដេរីវេនៃផលិតផលគឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃមុខងារមួយ និងដេរីវេនៃមុខងារមួយទៀត៖ (a*b)"=a"*b+a*b"។
  3. ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាអាចត្រូវបានសរសេរជាសមភាពដូចខាងក្រោមៈ (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើងសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

វាក៏មានដេរីវេនៃផ្នែកផងដែរ។ ឧបមាថាយើងមានអនុគមន៍ z ដែលអាស្រ័យលើអថេរ x និង y ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍នេះ និយាយថា ទាក់ទងទៅនឹង x យើងត្រូវយកអថេរ y ជាថេរ និងខុសគ្នាយ៉ាងសាមញ្ញ។

អាំងតេក្រាល។

គំនិតសំខាន់មួយទៀតគឺអាំងតេក្រាល។ តាមពិត នេះគឺផ្ទុយស្រឡះពីដេរីវេ។ មានអាំងតេក្រាលជាច្រើនប្រភេទ ប៉ុន្តែដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដ៏សាមញ្ញបំផុត យើងត្រូវការធាតុមិនសំខាន់បំផុត

ដូច្នេះ​សូម​និយាយ​ថា​យើង​មាន​ការ​អាស្រ័យ​ខ្លះ​នៃ f លើ x ។ យើងយកអាំងតេក្រាលពីវា ហើយទទួលបានអនុគមន៍ F(x) (ច្រើនតែហៅថា antiderivative) ដែលជាដេរីវេនៃដែលស្មើនឹងអនុគមន៍ដើម។ ដូច្នេះ F(x)"=f(x)។ វាក៏ដូចតទៅថា អាំងតេក្រាលនៃដេរីវេគឺស្មើនឹងអនុគមន៍ដើម។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ដឹងពីអត្ថន័យ និងមុខងារនៃអាំងតេក្រាល ព្រោះអ្នកនឹងត្រូវយកវាញឹកញាប់ណាស់ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយ។

សមីការប្រែប្រួលអាស្រ័យលើធម្មជាតិរបស់វា។ នៅផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងពិនិត្យមើលប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ ហើយបន្ទាប់មករៀនពីរបៀបដោះស្រាយវា។

ថ្នាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

"Diffurs" ត្រូវបានបែងចែកទៅតាមលំដាប់នៃនិស្សន្ទវត្ថុដែលពាក់ព័ន្ធនៅក្នុងពួកគេ។ ដូច្នេះមានលំដាប់ទីមួយ ទីពីរ ទីបី និងច្រើនទៀត។ ពួកគេក៏អាចបែងចែកជាថ្នាក់ជាច្រើនផងដែរ៖ និស្សន្ទវត្ថុធម្មតា និងដោយផ្នែក។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាលំដាប់ទីមួយ។ យើងក៏នឹងពិភាក្សាអំពីឧទាហរណ៍ និងវិធីដើម្បីដោះស្រាយវានៅក្នុងផ្នែកខាងក្រោម។ យើងនឹងពិចារណាតែ ODE ប៉ុណ្ណោះ ព្រោះទាំងនេះគឺជាប្រភេទសមីការទូទៅបំផុត។ ធម្មតា​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ប្រភេទ​រង​: ជាមួយ​នឹង​អថេរ​ដែល​អាច​បំបែក​បាន​, ដូចគ្នា​និង​ខុស​គ្នា​។ បន្ទាប់មកអ្នកនឹងរៀនពីរបៀបដែលពួកគេខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមក និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយពួកគេ។

លើសពីនេះ សមីការទាំងនេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា ដើម្បីឱ្យយើងបញ្ចប់ដោយប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។ យើង​ក៏​នឹង​ពិចារណា​អំពី​ប្រព័ន្ធ​បែប​នេះ​ផង​ដែរ ហើយ​រៀន​ពី​វិធី​ដោះស្រាយ​វា​។

ហេតុអ្វីបានជាយើងគិតតែពីលំដាប់ទីមួយ? ដោយសារតែអ្នកត្រូវចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលសាមញ្ញ ហើយវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការពិពណ៌នាអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលទាក់ទងនឹងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងអត្ថបទមួយ។

សមីការដែលអាចបំបែកបាន។

ទាំងនេះប្រហែលជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយដ៏សាមញ្ញបំផុត។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូលឧទាហរណ៍ដែលអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖ y"=f(x)*f(y)។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ យើងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់តំណាងឱ្យដេរីវេជាសមាមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖ y"=dy/dx ។ ដោយប្រើវា យើងទទួលបានសមីការខាងក្រោម៖ dy/dx=f(x)*f(y)។ ឥឡូវនេះយើងអាចងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយឧទាហរណ៍ស្តង់ដារ៖ យើងនឹងបែងចែកអថេរទៅជាផ្នែក ពោលគឺយើងនឹងផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងជាមួយអថេរ y ទៅផ្នែកដែល dy ស្ថិតនៅ ហើយធ្វើដូចគ្នាជាមួយអថេរ x ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់៖ dy/f(y)=f(x)dx ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយយកអាំងតេក្រាលពីភាគីទាំងពីរ។ កុំភ្លេចអំពីថេរដែលត្រូវកំណត់បន្ទាប់ពីទទួលយកអាំងតេក្រាល។

ដំណោះស្រាយចំពោះ "ភាពខុសគ្នា" គឺជាមុខងារនៃការពឹងផ្អែកនៃ x លើ y (ក្នុងករណីរបស់យើង) ឬប្រសិនបើមានលក្ខខណ្ឌលេខ នោះចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាលេខ។ សូមក្រឡេកមើលដំណើរការដំណោះស្រាយទាំងមូលដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ៖

ចូរផ្លាស់ទីអថេរក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា៖

ឥឡូវនេះសូមយកអាំងតេក្រាល។ ពួកគេទាំងអស់អាចរកបាននៅក្នុងតារាងពិសេសនៃអាំងតេក្រាល។ ហើយយើងទទួលបាន៖

ln(y) = -2*cos(x) + C

ប្រសិនបើចាំបាច់ យើងអាចបង្ហាញ "y" ជាមុខងារនៃ "x"។ ឥឡូវនេះយើងអាចនិយាយបានថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់យើងត្រូវបានដោះស្រាយប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមិនត្រូវបានបញ្ជាក់។ លក្ខខណ្ឌអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ ឧទាហរណ៍ y(n/2)=e. បន្ទាប់មកយើងគ្រាន់តែជំនួសតម្លៃនៃអថេរទាំងនេះទៅក្នុងដំណោះស្រាយ ហើយស្វែងរកតម្លៃនៃថេរ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងវាគឺ 1 ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅផ្នែកដែលពិបាកជាងនេះ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ទូទៅដូចខាងក្រោម៖ y"=z(x,y)។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមុខងារខាងស្តាំនៃអថេរពីរគឺដូចគ្នា ហើយវាមិនអាចបែងចែកជាពីរអាស្រ័យបានទេ។ : z លើ x និង z លើ y។ ពិនិត្យមើលថាតើសមីការដូចគ្នាឬអត់គឺសាមញ្ញណាស់៖ យើងធ្វើការជំនួស x=k*x និង y=k*y។ ឥឡូវយើងលុបចោល k ទាំងអស់។ ប្រសិនបើអក្សរទាំងអស់នេះត្រូវបានលុបចោល បន្ទាប់មកសមីការគឺដូចគ្នា ហើយអ្នកអាចចាប់ផ្តើមដោះស្រាយវាដោយសុវត្ថិភាព។ សម្លឹងទៅមុខ ចូរនិយាយថា៖ គោលការណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទាំងនេះគឺសាមញ្ញណាស់។

យើងត្រូវធ្វើការជំនួស៖ y=t(x)*x ដែល t គឺជាមុខងារជាក់លាក់ដែលអាស្រ័យលើ x ផងដែរ។ បន្ទាប់មកយើងអាចបង្ហាញពីដេរីវេ៖ y"=t"(x)*x+t ។ ការជំនួសអ្វីៗទាំងអស់នេះទៅក្នុងសមីការដើមរបស់យើង និងធ្វើឱ្យវាងាយស្រួល យើងទទួលបានឧទាហរណ៍ជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន t និង x ។ យើងដោះស្រាយវា ហើយទទួលបាន t(x) អាស្រ័យ។ នៅពេលដែលយើងបានទទួលវា យើងគ្រាន់តែជំនួស y=t(x)*x ចូលទៅក្នុងការជំនួសពីមុនរបស់យើង។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានភាពអាស្រ័យនៃ y លើ x ។

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍៖ x*y"=y-x*e y/x ។

នៅពេលពិនិត្យជាមួយនឹងការជំនួសអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ នេះមានន័យថាសមីការគឺដូចគ្នាបេះបិទ។ ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួសមួយទៀតដែលយើងបាននិយាយអំពី៖ y=t(x)*x និង y"=t"(x)*x+t(x)។ បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ យើងទទួលបានសមីការដូចខាងក្រោម៖ t"(x)*x=-e t។ យើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍លទ្ធផលជាមួយនឹងអថេរដាច់ដោយឡែក ហើយទទួលបាន៖ e -t =ln(C*x)។ អ្វីទាំងអស់ដែលយើងត្រូវធ្វើគឺជំនួស។ t ជាមួយ y/x (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ប្រសិនបើ y = t*x បន្ទាប់មក t = y/x) ហើយយើងទទួលបានចម្លើយ៖ e -y/x = ln(x*C) ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ

ដល់ពេលត្រូវមើលប្រធានបទដ៏ទូលំទូលាយមួយទៀតហើយ។ យើងនឹងវិភាគសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ។ តើ​វា​ខុស​ពី​ពីរ​មុន​យ៉ាង​ណា? ចូរយើងដោះស្រាយវា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយក្នុងទម្រង់ទូទៅអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ y" + g(x)* y = z(x) ។ វាមានតម្លៃបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់ថា z(x) និង g(x) អាចជាបរិមាណថេរ។

ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍៖ y" - y * x = x 2 ។

មានដំណោះស្រាយពីរ ហើយយើងនឹងពិនិត្យមើលទាំងពីរតាមលំដាប់លំដោយ។ ទីមួយគឺវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរបំពាន។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការតាមវិធីនេះ ដំបូងអ្នកត្រូវតែសមីការផ្នែកខាងស្តាំទៅសូន្យ ហើយដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដែលបន្ទាប់ពីផ្ទេរផ្នែកនឹងយកទម្រង់៖

ln|y|=x 2/2 + C;

y = e x2/2 * y C = C 1 * e x2/2 ។

ឥឡូវនេះយើងត្រូវជំនួស C 1 ថេរជាមួយនឹងមុខងារ v(x) ដែលយើងត្រូវស្វែងរក។

ចូរ​ជំនួស​និស្សន្ទវត្ថុ៖

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 ។

ហើយជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅក្នុងសមីការដើម៖

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 ។

អ្នក​អាច​មើល​ឃើញ​ថា​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង​ពាក្យ​ពីរ​បោះបង់។ ប្រសិនបើនៅក្នុងឧទាហរណ៍មួយចំនួនវាមិនបានកើតឡើងនោះអ្នកបានធ្វើអ្វីមួយខុស។ តោះបន្ត៖

v"*e x2/2 = x 2 ។

ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយសមីការធម្មតាដែលយើងត្រូវបំបែកអថេរ៖

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 * e − x2/2 dx ។

ដើម្បីទាញយកអាំងតេក្រាល យើងនឹងត្រូវអនុវត្តការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនៅទីនេះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនជាប្រធានបទនៃអត្ថបទរបស់យើងទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍ អ្នកអាចរៀនពីរបៀបអនុវត្តសកម្មភាពបែបនេះដោយខ្លួនឯង។ វាមិនពិបាកទេ ហើយជាមួយនឹងជំនាញ និងការយកចិត្តទុកដាក់គ្រប់គ្រាន់ វាមិនចំណាយពេលច្រើននោះទេ។

ចូរយើងងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តទីពីរនៃការដោះស្រាយសមីការ inhomogeneous: វិធីសាស្រ្ត Bernoulli ។ វិធីសាស្រ្តមួយណាលឿនជាង និងងាយស្រួលគឺអាស្រ័យលើអ្នកក្នុងការសម្រេចចិត្ត។

ដូច្នេះនៅពេលដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីនេះ យើងត្រូវធ្វើការជំនួស៖ y=k*n ។ នៅទីនេះ k និង n គឺជាមុខងារមួយចំនួនដែលពឹងផ្អែកលើ x ។ បន្ទាប់មកដេរីវេនឹងមើលទៅដូចនេះ៖ y"=k"*n+k*n"។ យើងជំនួសការជំនួសទាំងពីរទៅក្នុងសមីការ៖

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 ។

ការដាក់ជាក្រុម៖

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 ។

ឥឡូវ​នេះ យើង​ត្រូវ​ធ្វើ​ការ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ​នូវ​អ្វី​ដែល​នៅ​ក្នុង​វង់ក្រចក។ ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើយើងបញ្ចូលគ្នានូវសមីការលទ្ធផលទាំងពីរ នោះយើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ ដែលចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយ៖

យើងដោះស្រាយសមភាពទីមួយជាសមីការធម្មតា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវបំបែកអថេរ៖

យើងយកអាំងតេក្រាលហើយទទួលបាន៖ ln(n) = x 2/2 ។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើយើងបង្ហាញ n:

ឥឡូវនេះយើងជំនួសសមភាពលទ្ធផលទៅជាសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖

k"*e x2/2 = x 2 ។

ហើយការបំប្លែង យើងទទួលបានសមភាពដូចក្នុងវិធីទីមួយ៖

dk=x 2 /e x2/2 ។

យើងក៏នឹងមិនពិភាក្សាអំពីសកម្មភាពបន្ថែមទៀតដែរ។ វាមានតំលៃនិយាយថានៅពេលដំបូងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកយ៉ាងសំខាន់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលអ្នកស្វែងយល់កាន់តែស៊ីជម្រៅទៅក្នុងប្រធានបទ វាចាប់ផ្តើមដំណើរការកាន់តែប្រសើរឡើង។

តើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រើនៅឯណា?

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មក្នុងរូបវិទ្យា ដោយសារច្បាប់មូលដ្ឋានស្ទើរតែទាំងអស់ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយរូបមន្តដែលយើងឃើញគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទាំងនេះ។ នៅក្នុងគីមីវិទ្យាពួកគេត្រូវបានប្រើសម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នា: ច្បាប់ជាមូលដ្ឋានត្រូវបានចេញដោយជំនួយរបស់ពួកគេ។ នៅក្នុងជីវវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានប្រើប្រាស់ដើម្បីយកគំរូតាមឥរិយាបទនៃប្រព័ន្ធ ដូចជា predator និង prey ។ ពួកគេក៏អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្កើតគំរូបន្តពូជនៃ អាណានិគមនៃអតិសុខុមប្រាណ។

តើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចជួយអ្នកក្នុងជីវិតយ៉ាងដូចម្តេច?

ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះគឺសាមញ្ញ៖ មិនមែនទាល់តែសោះ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនមែនជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ ឬវិស្វករទេនោះ ពួកគេទំនងជាមិនមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នកទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ទូទៅ វានឹងមិនឈឺចាប់ក្នុងការដឹងពីអ្វីដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងរបៀបដែលវាត្រូវបានដោះស្រាយនោះទេ។ ហើយបន្ទាប់មកសំណួររបស់កូនប្រុសឬកូនស្រីគឺ "សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាអ្វី?" នឹងមិនច្រឡំអ្នកទេ។ ជាការប្រសើរណាស់ ប្រសិនបើអ្នកជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ ឬវិស្វករ នោះអ្នកខ្លួនឯងយល់ពីសារៈសំខាន់នៃប្រធានបទនេះនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រណាមួយ។ ប៉ុន្តែអ្វីដែលសំខាន់បំផុតនោះគឺថាឥឡូវនេះសំណួរ "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ?" អ្នកតែងតែអាចផ្តល់ចម្លើយ។ យល់ស្រប វាតែងតែល្អនៅពេលអ្នកយល់អ្វីមួយដែលមនុស្សខ្លាចមិនយល់។

បញ្ហាចម្បងក្នុងការសិក្សា

បញ្ហាចម្បងក្នុងការយល់ដឹងអំពីប្រធានបទនេះគឺមានជំនាញខ្សោយក្នុងការរួមបញ្ចូល និងការបែងចែកមុខងារផ្សេងៗ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនពូកែខាងនិស្សន្ទវត្ថុ និងអាំងតេក្រាលទេ នោះវាប្រហែលជាមានតម្លៃសិក្សាបន្ថែម ដោយធ្វើជាម្ចាស់លើវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូល និងការបែងចែកផ្សេងគ្នា ហើយគ្រាន់តែចាប់ផ្តើមសិក្សាសម្ភារៈដែលត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងអត្ថបទ។

មនុស្សមួយចំនួនមានការភ្ញាក់ផ្អើលនៅពេលដែលពួកគេដឹងថា dx អាចត្រូវបានគេយកទៅប្រើប្រាស់បាន ពីព្រោះពីមុន (នៅសាលា) វាត្រូវបានចែងថាប្រភាគ dy/dx គឺមិនអាចបំបែកបាន។ នៅទីនេះអ្នកត្រូវអានអក្សរសិល្ប៍ស្តីពីនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយយល់ថាវាជាសមាមាត្រនៃបរិមាណគ្មានកំណត់ដែលអាចត្រូវបានរៀបចំនៅពេលដោះស្រាយសមីការ។

មនុស្សជាច្រើនមិនបានដឹងភ្លាមៗថា ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ ជារឿយៗជាមុខងារ ឬអាំងតេក្រាលដែលមិនអាចទទួលយកបាន ហើយការយល់ខុសនេះផ្តល់ឱ្យពួកគេនូវបញ្ហាជាច្រើន។

តើមានអ្វីទៀតដែលអ្នកអាចសិក្សាដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់?

វាជាការល្អបំផុតដើម្បីចាប់ផ្តើមការជ្រមុជបន្ថែមទៀតនៅក្នុងពិភពនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងសៀវភៅសិក្សាឯកទេស ឧទាហរណ៍អំពីការវិភាគគណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សនៃឯកទេសមិនមែនគណិតវិទ្យា។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចបន្តទៅអក្សរសិល្ប៍ឯកទេសបន្ថែមទៀត។

វាគឺមានតំលៃនិយាយថាបន្ថែមលើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក៏មានសមីការអាំងតេក្រាលផងដែរដូច្នេះអ្នកនឹងតែងតែមានអ្វីដែលត្រូវខិតខំនិងអ្វីដែលត្រូវសិក្សា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

យើងសង្ឃឹមថាបន្ទាប់ពីបានអានអត្ថបទនេះ អ្នកមានគំនិតអំពីអ្វីដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងរបៀបដោះស្រាយវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។

ក្នុងករណីណាក៏ដោយ គណិតវិទ្យានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើងក្នុងជីវិតតាមរបៀបណាមួយ។ វាអភិវឌ្ឍតក្កវិជ្ជា និងការយកចិត្តទុកដាក់ ដែលគ្មានមនុស្សគ្រប់រូបគ្មានដៃ។