ಸಮಸ್ಯೆ C2 ರಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್. ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್

ಸಮನ್ವಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆ C2 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ತೊಂದರೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು. ಮತ್ತು ಮೂಲ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಮೇಲ್ಭಾಗಗಳು ನಿಜವಾದ ನರಕವಾಗಿದೆ.

ಇಂದು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಕೂಡ ಇದೆ (ಅಕಾ - ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್) ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದರೆ:

1. ಮೂಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ: ತ್ರಿಕೋನ, ಚೌಕ, ಇತ್ಯಾದಿ;
2. ಬೇಸ್ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಚೌಕ. ಚಿಯೋಪ್ಸ್‌ನಂತೆಯೇ, ಸ್ವಲ್ಪ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಶೃಂಗಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ SABCD ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ S ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ABCD ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

1. OX ಅಕ್ಷವು AB ಅಂಚಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ;
2. OY ಅಕ್ಷವು AD ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ. ABCD ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, AB ⊥ AD;
3. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ABCD ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ OZ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಮಾಣ: SH - ಎತ್ತರವನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ. A, B, C ಮತ್ತು D ಅಂಕಗಳು OXY ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ z = 0. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

1. A = (0; 0; 0) - ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ;
2. B = (1; 0; 0) - ಮೂಲದಿಂದ OX ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ 1 ಹಂತ;
3. C = (1; 1; 0) - OX ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ 1 ಮತ್ತು OY ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ 1 ಹಂತ;
4. D = (0; 1; 0) - OY ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮಾತ್ರ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕಿ.
5. H = (0.5; 0.5; 0) - ಚೌಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗ, ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗ AC.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಸ್ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. S ಮತ್ತು H ಬಿಂದುಗಳ x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು OZ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ S ಗೆ z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ.

ASH ಮತ್ತು ABH ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

1. AS = AB = 1 ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ;
2. ಕೋನ AHS = AHB = 90°, SH ಎಂಬುದು ಎತ್ತರ ಮತ್ತು AH ⊥ HB ಚೌಕದ ಕರ್ಣಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ;
3. ಸೈಡ್ AH ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ASH ಮತ್ತು ABH ಸಮಾನಪ್ರತಿ ಒಂದು ಕಾಲು ಮತ್ತು ಒಂದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್. ಇದರರ್ಥ SH = BH = 0.5 BD. ಆದರೆ BD ಎಂಬುದು ಸೈಡ್ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕದ ಕರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಪಾಯಿಂಟ್ S ನ ಒಟ್ಟು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು:

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯತಾಕಾರದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾದಾಗ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಬೇಸ್ನ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಏನು? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, AHS ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ತ್ರಿಕೋನ AHS - ಆಯತಾಕಾರದ, ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AS ಸಹ ಮೂಲ ಪಿರಮಿಡ್ SABCD ಯ ಒಂದು ಬದಿಯ ತುದಿಯಾಗಿದೆ. ಲೆಗ್ AH ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: AH = 0.5 AC. ನಾವು ಉಳಿದ ಲೆಗ್ SH ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ. ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ S ಗೆ z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ SABCD ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ತಳದಲ್ಲಿ ಸೈಡ್ 1. ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಚು BS = 3. ಪಾಯಿಂಟ್ S ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಈ ಬಿಂದುವಿನ x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ: x = y = 0.5. ಇದು ಎರಡು ಸಂಗತಿಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

1. OXY ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಪಾಯಿಂಟ್ S ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ H ಆಗಿದೆ;
2. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ H ಎಂಬುದು ಚದರ ABCD ಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಸ್ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. AHS ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿದ್ದು, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AS = BS = 3, ಲೆಗ್ AH ಅರ್ಧ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ ನಮಗೆ ಅದರ ಉದ್ದದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

AHS ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ: AH 2 + SH 2 = AS 2. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಸ್ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ಒಂದು ಬಹುಮುಖಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ತಳವು ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಒಂದೇ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

• ಇದರ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ;
• ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೌಕವಿದೆ;
• ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ಬೀಳುವ ಎತ್ತರವು ಬೇಸ್‌ನ ಕರ್ಣಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಅಂದರೆ, ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅದರ ಸಮಾನ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಮಾಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ನಮೂದಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅದರ ತಳವು a = 6 cm ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಅಡ್ಡ ಮುಖವು b = 8 cm ಆಗಿದೆ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಮಗೆ ಅದರ ಎತ್ತರದ ಉದ್ದದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಇದು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಚೌಕದ ಕರ್ಣಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ:


ಈಗ ಕೆಂಪು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎತ್ತರ h ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಅಗತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಈಗ, ಎತ್ತರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಘನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.

ಈ ವೀಡಿಯೊ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ ಥೀಮ್‌ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸರಿಯಾದ ಪಿರಮಿಡ್. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಿರಮಿಡ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಿರಮಿಡ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎ 1 ಎ 2...ಎ ಎನ್, ಇದು α ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ, ಇದು α ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 1). ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ ಪಶಿಖರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎ 1, ಎ 2, ಎ 3, … ಎ ಎನ್. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎನ್ತ್ರಿಕೋನಗಳು: ಎ 1 ಎ 2 ಆರ್, ಎ 2 ಎ 3 ಆರ್ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ RA 1 A 2 ...A n, ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎನ್-ಚದರ ಎ 1 ಎ 2...ಎ ಎನ್ಮತ್ತು ಎನ್ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಆರ್ಎ 1 ಎ 2, ಆರ್ಎ 2 ಎ 3 …ಆರ್ಎ ಎನ್ ಎ ಎನ್-1 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್- ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಪಿರಮಿಡ್. ಅಕ್ಕಿ. 1.

ಅಕ್ಕಿ. 1

ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ PABCD(ಚಿತ್ರ 2).

ಆರ್- ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ.

ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ- ಪಿರಮಿಡ್ನ ಆಧಾರ.

RA- ಪಕ್ಕದ ಪಕ್ಕೆಲುಬು.

ಎಬಿ- ಮೂಲ ಪಕ್ಕೆಲುಬು.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆರ್ಲಂಬವಾಗಿ ಬಿಡೋಣ RNಮೂಲ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ. ಲಂಬವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮುಖಗಳ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶ:

ಎಸ್ ಪೂರ್ಣ = ಎಸ್ ಸೈಡ್ + ಎಸ್ ಮುಖ್ಯ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಅದರ ಮೂಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ;
• ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಬೇಸ್‌ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವು ಅದರ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಣೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ PABCD(ಚಿತ್ರ 3).

ಆರ್- ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಧಾರ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ- ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಚೌಕ. ಡಾಟ್ ಬಗ್ಗೆ, ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ಚೌಕದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ROಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 3

ವಿವರಣೆ: ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎನ್ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರು ಶೃಂಗವನ್ನು ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಅದರ ಶೃಂಗದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೋಥೆಮ್ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ h a.

1. ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

2. ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಸಮಾನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ನೀಡಿದ: PABCD- ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್,

ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ- ಚೌಕ,

RO- ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರ.

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 4.

ಅಕ್ಕಿ. 4

ಪುರಾವೆ.

RO- ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರ. ಅಂದರೆ, ನೇರವಾಗಿ ROಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಬಿಸಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ JSC, VO, SOಮತ್ತು DOಅದರಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ROA, ROV, ROS, ROD- ಆಯತಾಕಾರದ.

ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ. ಚೌಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ AO = VO = CO = DO

ನಂತರ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ROA, ROV, ROS, RODಕಾಲು RO- ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳು JSC, VO, SOಮತ್ತು DOಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, RA = PB = RS = PD.ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವಿಭಾಗಗಳು ಎಬಿಮತ್ತು ಸೂರ್ಯಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಒಂದೇ ಚೌಕದ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ, RA = PB = RS. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು AVRಮತ್ತು VSR -ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಮತ್ತು ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಬಿಪಿ, ವಿಸಿಪಿ, ಸಿಡಿಪಿ, ಡಿಎಪಿಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 2 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಅಪೋಥೆಮ್ನ ಪರಿಧಿಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ.

ನೀಡಿದ: RAVS- ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್.

AB = BC = AC.

RO- ಎತ್ತರ.

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: . ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 5.

ಅಕ್ಕಿ. 5

ಪುರಾವೆ.

RAVS- ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್. ಅದು ಎಬಿ= AC = ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಅವಕಾಶ ಬಗ್ಗೆ- ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರ ಎಬಿಸಿ, ನಂತರ ROಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ ಎಬಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು .

ತ್ರಿಕೋನಗಳು RAV, RVS, RSA- ಸಮಾನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು (ಆಸ್ತಿಯಿಂದ). ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಮೂರು ಬದಿಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: RAV, RVS, RSA. ಇದರರ್ಥ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವು:

S ಸೈಡ್ = 3S RAW

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 3 ಮೀ, ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವು 4 ಮೀ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೀಡಿದ: ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ,

ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ- ಚೌಕ,

ಆರ್= 3 ಮೀ,

RO- ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರ,

RO= 4 ಮೀ.

ಹುಡುಕಿ: ಎಸ್ ಕಡೆ. ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 6.

ಅಕ್ಕಿ. 6

ಪರಿಹಾರ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, .

ಮೊದಲು ಬೇಸ್ನ ಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎಬಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 3 ಮೀ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ನಂತರ, ಎಂ.

ಚೌಕದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 6 ಮೀ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ:

ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ BCD. ಅವಕಾಶ ಎಂ- ಬದಿಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಡಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಬಗ್ಗೆ- ಮಧ್ಯಮ ಬಿಡಿ, ಪರಿಮಾಣ).

ತ್ರಿಕೋನ DPC- ಸಮದ್ವಿಬಾಹು. ಎಂ- ಮಧ್ಯಮ ಡಿಸಿ. ಅದು, ಆರ್ಎಮ್- ಮಧ್ಯಮ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎತ್ತರ DPC. ನಂತರ ಆರ್ಎಮ್- ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೋಥೆಮ್.

RO- ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರ. ನಂತರ, ನೇರವಾಗಿ ROಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಬಿಸಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ ಓಂ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವುದು. ಅಪೋಥೆಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಆರ್ಎಮ್ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ರಾಮ್.

ಈಗ ನಾವು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

ಉತ್ತರ: 60 ಮೀ2.

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು m ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 18 m 2 ಆಗಿದೆ ಅಪೋಥೆಮ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೀಡಿದ: ಎಬಿಸಿಪಿ- ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್,

AB = BC = SA,

ಆರ್= ಮೀ,

ಎಸ್ ಸೈಡ್ = 18 ಮೀ 2.

ಹುಡುಕಿ: . ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 7.

ಅಕ್ಕಿ. 7

ಪರಿಹಾರ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಬಿಸಿಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಡೆ ಹುಡುಕೋಣ ಎಬಿಈ ತ್ರಿಕೋನವು ಸೈನ್ಸ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನದ (ಮೀ) ಬದಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಅಲ್ಲಿ h a- ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೋಥೆಮ್. ನಂತರ:

ಉತ್ತರ: 4 ಮೀ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದರೇನು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

1. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಶ್ರೇಣಿಗಳು 10-11: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ (ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಮಟ್ಟಗಳು) / I. M. ಸ್ಮಿರ್ನೋವಾ, V. A. ಸ್ಮಿರ್ನೋವ್. - 5 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2008. - 288 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ.
2. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಗ್ರೇಡ್‌ಗಳು 10-11: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ಶರಿಗಿನ್ I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ill.
3. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಗ್ರೇಡ್ 10: ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ /E. V. ಪೊಟೊಸ್ಕುಯೆವ್, L. I. ಜ್ವಾಲಿಚ್. - 6 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್. - ಎಂ.: ಬಸ್ಟರ್ಡ್, 008. - 233 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ.

1. ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಪೋರ್ಟಲ್ "ಯಕ್ಲಾಸ್" ()
2. ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಪೋರ್ಟಲ್ "ಶಿಕ್ಷಣ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಉತ್ಸವ "ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ಮೊದಲ" ()
3. ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಪೋರ್ಟಲ್ "Slideshare.net" ()

ಮನೆಕೆಲಸ

1. ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಅನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿರಬಹುದೇ?
2. ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಂಚುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
3. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೊಥೆಮ್ ಅದರ ತಳದ ಬದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
4. RAVS- ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ರೇಖೀಯ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪಿರಮಿಡ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ದೋಷವು ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಅದ್ಭುತಗಳಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅದ್ಭುತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಆಕರ್ಷಣೆಗಳು ಸರಿಯಾದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಏನಾಯಿತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್, ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಪಿರಮಿಡ್‌ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಇದು ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಇದನ್ನು ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ದೈಹಿಕ ಆಕೃತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅದು ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆರಾನ್ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದೆ. ಇದೇ ಅಂಕಿ ಅಂಶ ಎಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸಿದರು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ,ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು.

ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ k-gon ಮತ್ತು k ಫ್ಲಾಟ್ ತ್ರಿಕೋನ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ, ಇದು ಯಾವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

• ಕೆ-ಗೊನ್ ಅನ್ನು ಆಕೃತಿಯ ಆಧಾರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• 3-ಗೋನಲ್ ಆಕಾರಗಳು ಪಕ್ಕದ ಭಾಗದ ಅಂಚುಗಳಂತೆ ಚಾಚಿಕೊಂಡಿವೆ;
• ಅಡ್ಡ ಅಂಶಗಳು ಹುಟ್ಟುವ ಮೇಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಶೃಂಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅಂಚುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• 90 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ಆಕೃತಿಯ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಇಳಿಸಿದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅದರ ಭಾಗವು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ;
• ಯಾವುದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಅಪೋಥೆಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಲಂಬವನ್ನು ನಮ್ಮ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್‌ನ ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2*k ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು k-gon ನ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನಂತಹ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಷ್ಟು ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು k+1 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮುಖ!ನಿಯಮಿತ ಆಕಾರದ ಪಿರಮಿಡ್ ಒಂದು ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಿಗರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೂಲ ಸಮತಲವು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆ-ಗೊನ್ ಆಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಸರಿಯಾದ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನೇಕ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ,ಅವಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದವು. ಅವುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ:

1. ಆಧಾರವು ಸರಿಯಾದ ಆಕಾರದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.
2. ಅಡ್ಡ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
3. ಅಡ್ಡ ಅಂಶಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.
4. ಆಕೃತಿಯ ಎತ್ತರದ ತಳವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
5. ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ಒಂದೇ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
6. ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಬೇಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಒಂದೇ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಗಮನ ಕೊಡುತ್ತೇವೆ ಎರಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳು:

1. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಾಗ, ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳು ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
2. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ, ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಆಧಾರವು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ

ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ - ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿರುವ ಬಹುಮುಖಿ.

ಇದು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವು ನೋಟದಲ್ಲಿ ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಚೌಕದ ಬದಿಯನ್ನು ಅದರ ಕರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ: ಕರ್ಣವು ಚೌಕದ ಬದಿಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಒಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೂಲವು ನಿಯಮಿತ 3-ಗಾನ್ ಆಗಿದೆ.

ಮೂಲವು ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಬೇಸ್ನ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಅಂಕಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಸಮಬಾಹು 3-ಗೊನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡಬೇಡಿ:

• ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ಗೆ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರಿ;
• ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಮುಖಗಳ ಗಾತ್ರವು 60 ಡಿಗ್ರಿ;
• ಯಾವುದೇ ಮುಖವು ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ;
• , ಆಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇವು ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ವಿಭಾಗಗಳು

ಯಾವುದೇ ಬಹುಮುಖಿಯಲ್ಲಿ ಇವೆ ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ವಿಭಾಗಗಳುಫ್ಲಾಟ್. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಶಾಲೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅವರು ಇಬ್ಬರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ:

• ಅಕ್ಷೀಯ;
• ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ.

ಶೃಂಗ, ಅಡ್ಡ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷವು ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯುವ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ.

ಗಮನ!ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಭಾಗವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಕತ್ತರಿಸುವ ವಿಮಾನವು ಬೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬೇಸ್ಗೆ ಹೋಲುವ ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನ್ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೌಕವಿದ್ದರೆ, ಬೇಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವಿಭಾಗವು ಸಹ ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ಸಣ್ಣ ಆಯಾಮಗಳು.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅವರು ಅಂಕಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸಮತಲವನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಮೇಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಭಾಗವೂ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು.

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶಗಳು

ಶಾಲೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಮುಖ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ:

• ಅಡ್ಡ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರದೇಶ;
• ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶ.

ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ನಾವು ಏನು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅಡ್ಡ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಪಾರ್ಶ್ವದ ಸಮತಲಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು, ಅಂದರೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು 3-ಗಾನ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅಡ್ಡ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

1. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು 3-ಗಾನ್‌ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು Str=1/2(aL), ಇಲ್ಲಿ a ತಳದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, L ಎಂಬುದು ಅಪೋಥೆಮ್ ಆಗಿದೆ.
2. ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತಳದಲ್ಲಿರುವ k-gon ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ನಾಲ್ಕು ಪಾರ್ಶ್ವದ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮೌಲ್ಯವು 4a = Rosn ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ Rosn ಬೇಸ್ನ ಪರಿಧಿಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1/2*Rosn ಅದರ ಅರೆ ಪರಿಧಿಯಾಗಿದೆ.
3. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಶಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಅಪೊಥೆಮ್ನ ಅರೆ-ಪರಿಧಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: Sside = Rosn * L.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅಡ್ಡ ವಿಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: Sp.p. = Sside + Sbas.

ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣಮೂಲ ಸಮತಲದ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಮೂರರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ: V=1/3*Sbas*H, ಇಲ್ಲಿ H ಎಂಬುದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದರೇನು

ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ ಅವರೆಲ್ಲರನ್ನೂ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ಲೇನ್, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ , ಅದರಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಸ್, ಅದರಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಇಲ್ಲ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ S ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅಡ್ಡ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಬೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಸ್ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವಾಗಿದೆ. n ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ (n=3), ಚತುರ್ಭುಜ (n=4), ಪೆಂಟಗೋನಲ್ (n=5) ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಹೆಸರು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವು ಅದರ ಮೇಲಿನಿಂದ ತಳದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಅವರೋಹಣವಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರದ ತಳವು (ಲಂಬದ ತಳ) ಅದರ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ಬೋಧಕರ ಕಾಮೆಂಟ್:
"ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್" ಮತ್ತು "ನಿಯಮಿತ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ, ಪಕ್ಕದ ಅಂಚುಗಳು ಬೇಸ್‌ನ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ 6 ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮಾನತೆಯು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ P ಕೇಂದ್ರವು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಬೇಸ್ ಎತ್ತರದೊಂದಿಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ.

ಅಪೋಥೆಮ್ ಎಂದರೇನು?
ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೋಥೆಮ್ ಅದರ ಬದಿಯ ಮುಖದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಪಿರಮಿಡ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಪೊಥೆಮ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಿವರ್ಸ್ ನಿಜವಲ್ಲ.

ತನ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಗಣಿತದ ಬೋಧಕ: ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ 80% ಕೆಲಸವನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ:
1) ಅಪೋಥೆಮ್ SK ಮತ್ತು ಎತ್ತರ SP ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ
2) ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಎಡ್ಜ್ SA ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ PA ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ

ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ಗಣಿತದ ಬೋಧಕರು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕರೆಯಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅಪೋಥೆಮಲ್, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಬೆಲೆಬಾಳುವ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರು ಅದನ್ನು ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣದ ಸೂತ್ರ:
1) , ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ
2) , ಕೆತ್ತಲಾದ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ.
3) , ಇಲ್ಲಿ MN ಯಾವುದೇ ಎರಡು ದಾಟುವ ಅಂಚುಗಳ ಅಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರದ ತಳಹದಿಯ ಆಸ್ತಿ:

ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಿ (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ) ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ:
1) ಎಲ್ಲಾ ಅಪೋಥೆಮ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ
2) ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಬೇಸ್ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ
3) ಎಲ್ಲಾ ಅಪೊಥೆಮ್‌ಗಳು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ
4) ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರವು ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಕಾಮೆಂಟ್: ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಒಂದಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು, ಪಾರ್ಶ್ವ ಮುಖಗಳು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ (ಅಪಾಥೆಮ್‌ಗಳು ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೋಧಕನು ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾದ, ಆದರೆ ಕಲಿಕೆ, ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು: ಪಾಯಿಂಟ್ P ಅದರ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಮಾಹಿತಿಯಿದ್ದರೆ, ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ, ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಎಲ್ಲಾ ಅಪೊಥೆಮ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು.

ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಬಳಿ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ P ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ:
1) ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
2) ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ಬೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ
3) ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ