ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್. ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು: MS EXCEL ನಲ್ಲಿ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಶಾಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸೂತ್ರಗಳು, ನಿಯಮಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು - ಲೇಖನವನ್ನು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಓದುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಹಾಗಾದರೆ ಈ ವಿಭಾಗ ಯಾವುದು? ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳು ಪ್ಲಮ್, ಪೇರಳೆ ಅಥವಾ ಸೇಬುಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೋ. ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಸ್ಪೀಟೆಲೆಗಳನ್ನು ಆಡುವಾಗ - ಎದುರಾಳಿಯು ಟ್ರಂಪ್ ಕಾರ್ಡ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಅಥವಾ ಈ ಉದಾಹರಣೆ: ಇಪ್ಪತ್ತು ಗೋಲಿಗಳ ಚೀಲದಿಂದ ನೀವು ಬಿಳಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಾವು ಗಣಿತದ ಈ ಶಾಖೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂರಚನೆಗಳು

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂರಚನೆಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತಹ ಮಾದರಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

• ವಸತಿ;
• ಮರುಜೋಡಣೆ;
• ಸಂಯೋಜನೆ;
• ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಯೋಜನೆ;
• ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು.

ನಾವು ಮೊದಲ ಮೂರರ ಬಗ್ಗೆ ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗೆ ನಾವು ಗಮನ ಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a), ಅವರು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆದೇಶದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದರ್ಥ. ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಭಜನೆಯು ಒಂದು ಆದೇಶವಿಲ್ಲದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ವಿಭಾಗಗಳು

ನಾವು ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಗಣನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಮೊದಲು, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಂತೆ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳ ಸಹಿತ:

• ಎಣಿಕೆಯ;
• ರಚನಾತ್ಮಕ;
• ವಿಪರೀತ;
• ರಾಮ್ಸೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ;
• ಸಂಭವನೀಯತೆ;
• ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ;
• ಅನಂತ.

ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟಿವ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ; ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೆಟ್ಗಳ ಅಂಶಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂರಚನೆಗಳ ಎಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತವೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಈ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ವಿಶಿಷ್ಟತೆ, ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಮತ್ತು ಈ ಸಂರಚನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಕಲನ ಅಥವಾ ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯ್ಡ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಆಯಾಮ ಯಾವುದು ಎಂಬುದು ತೀವ್ರ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ... ನಾಲ್ಕನೇ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ರ್ಯಾಂಡಮ್ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ರಚನೆಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ರಾಮ್‌ಸೇ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು. ನೀವು ಊಹಿಸುವಂತೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಏಳನೇ ಪಾಯಿಂಟ್ - ಇನ್ಫಿನಿಟರಿ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಅನಂತ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಧಾನಗಳ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸೇರ್ಪಡೆ ನಿಯಮ

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದವುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಬಹಳ ಸಮಯದಿಂದ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ. ನಮಗೆ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಸಿ ಮತ್ತು ಇ), ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎ), ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆ ಇ ಅನ್ನು ಬಿ-ವೇಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ( C ಅಥವಾ E) ಅನ್ನು a + b ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.

ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ; ನಾವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಷಯವನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ - ಇದು ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಅವರಲ್ಲಿ ಹದಿನೈದು ಹುಡುಗಿಯರು ಮತ್ತು ಹತ್ತು ಹುಡುಗರು. ಪ್ರತಿ ತರಗತಿಗೆ ಪ್ರತಿದಿನ ಒಬ್ಬರನ್ನು ಕರ್ತವ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಂದು ವರ್ಗ ಮಾನಿಟರ್ ಅನ್ನು ನೇಮಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ? ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ; ನಾವು ಸೇರ್ಪಡೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪಠ್ಯವು ಕೇವಲ ಹುಡುಗರು ಅಥವಾ ಹುಡುಗಿಯರು ಮಾತ್ರ ಕರ್ತವ್ಯದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಹದಿನೈದು ಹುಡುಗಿಯರಲ್ಲಿ ಯಾರಾದರೂ ಅಥವಾ ಹತ್ತು ಹುಡುಗರಲ್ಲಿ ಯಾರಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಮೊತ್ತದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 15 + 10. ಎಣಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಇಪ್ಪತ್ತೈದು. ಅಂದರೆ, ಇಂದಿನ ಕರ್ತವ್ಯಕ್ಕೆ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಕೇವಲ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನಾವು ಹಲವಾರು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು (ಎ) ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು 1 ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - 2 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದು - 3 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಎ-ಆಕ್ಷನ್ ತನಕ, 3 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು (ನಾವು ಒಟ್ಟು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ) N ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಅಜ್ಞಾತ N ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ: N = c1 * c2 * c3 *…* ca.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಏನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಜನರ ಒಂದೇ ತರಗತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ ಹದಿನೈದು ಹುಡುಗಿಯರು ಮತ್ತು ಹತ್ತು ಹುಡುಗರು ಇದ್ದಾರೆ. ಈ ಬಾರಿ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಕರ್ತವ್ಯಕ್ಕೆ ಇಬ್ಬರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅವರು ಕೇವಲ ಹುಡುಗರು ಅಥವಾ ಹುಡುಗಿಯರು, ಅಥವಾ ಹುಡುಗ ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ನಾವು ಕರ್ತವ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಕೊನೆಯ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕರ್ತವ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ವ್ಯಕ್ತಿ ಉಳಿದ ಜನರಲ್ಲಿ ಯಾರಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ನಾವು ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಒಬ್ಬರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಕರ್ತವ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ವ್ಯಕ್ತಿ ಉಳಿದ ಇಪ್ಪತ್ತನಾಲ್ಕು ಜನರಲ್ಲಿ ಯಾರಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕರ್ತವ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಇಬ್ಬರು ಅಧಿಕಾರಿಗಳನ್ನು ಆರು ನೂರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ನಾಲ್ಕು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಮರುಜೋಡಣೆ

ಈಗ ನಾವು ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಲೇಖನದ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಬಿಲಿಯರ್ಡ್ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ n ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಲು.

ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ನಾವು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್‌ಗೆ ಶೂನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಗಣಿತವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: P1 = 1). ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು: 1,2 ಮತ್ತು 2,1. ಆದ್ದರಿಂದ, P2 = 2. ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಆರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. ಅಂತಹ ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹತ್ತು ಅಥವಾ ಹದಿನೈದು ಇದ್ದರೆ ಏನು? ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲು ಇದು ಬಹಳ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ನಮ್ಮ ಸಹಾಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. Pn = n *P (n-1). ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: Pn = n * (n - 1) *…* 2 * 1. ಮತ್ತು ಇದು ಮೊದಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು n ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ!

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ದಿನ ಬೆಳಿಗ್ಗೆ ಸಲಹೆಗಾರನು ತನ್ನ ತಂಡವನ್ನು (ಇಪ್ಪತ್ತು ಜನರು) ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುತ್ತಾನೆ. ತಂಡದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಉತ್ತಮ ಸ್ನೇಹಿತರಿದ್ದಾರೆ - ಕೋಸ್ಟ್ಯಾ, ಸಶಾ ಮತ್ತು ಲೆಶಾ. ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು "ಉತ್ತಮ" ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ 20! = 2.5 ಕ್ವಿಂಟಿಲಿಯನ್. "ಉತ್ತಮ" ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಕೋಸ್ಟ್ಯಾ, ಸಶಾ ಮತ್ತು ಲೆಶಾ ಒಬ್ಬ ಸೂಪರ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ ನಮಗೆ ಕೇವಲ ಹದಿನೆಂಟು ವಿಷಯಗಳಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 18 = 6.5 ಕ್ವಾಡ್ರಿಲಿಯನ್. ಈ ಎಲ್ಲದರ ಜೊತೆಗೆ, ಕೋಸ್ಟ್ಯಾ, ಸಶಾ ಮತ್ತು ಲೆಶಾ ತಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂರರಲ್ಲಿ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಚಲಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದು ಇನ್ನೂ 3! = 6 ಆಯ್ಕೆಗಳು. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಒಟ್ಟು 18 "ಒಳ್ಳೆಯ" ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ! * 3! ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು: (18! * 3!) / 20! ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು 0.016 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೇಕಡಾವಾರುಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಅದು ಕೇವಲ 1.6% ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ವಸತಿ

ಈಗ ನಾವು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಉದ್ಯೋಗವು ನಮ್ಮ ಮುಂದಿನ ಸಂಚಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಲೇಖನದ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ತೊಡಕುಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ (n) ನಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಚಿಕ್ಕದರಿಂದ (m). ಅಂದರೆ, ನಾವು m ಮೂಲಕ n ಐಟಂಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅವು ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ನಾವು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು. m = 1, ನಂತರ A = 1, m = 2, ನಂತರ A = n * (n - 1) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಲಕೋನಿಕ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: A = n! / (ಎನ್ - ಮೀ)!

ಸಂಯೋಜನೆ

ನಾವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಮೂಲಭೂತ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಂತಿಮ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ - ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ n ನಿಂದ m ಐಟಂಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಇದು ನಿಯೋಜನೆಗಿಂತ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ? ನಾವು ಆದೇಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: C. ನಾವು n ನಿಂದ m ಚೆಂಡುಗಳ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಆದೇಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು m ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ! (ಮೀ ಅಪವರ್ತನೀಯ). ಅಂದರೆ, C = A / m! ಹೀಗಾಗಿ, n ಬಾಲ್‌ಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಕೆಲವೇ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಇದು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇದೆ: ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಸೆಯುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಐಟಂಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಆರಿಸುವುದು?

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ: ನಿಯೋಜನೆ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸೂತ್ರದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವುದು ಈಗ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳವಾದ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

1. ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳಿ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆಯೇ?
2. ಉತ್ತರವು ಇಲ್ಲ ಎಂದಾದರೆ, ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (C = n! / (m! * (n - m)!)).
3. ಉತ್ತರವು ಇಲ್ಲ ಎಂದಾದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ?
4. ಉತ್ತರ ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (P = n!).
5. ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲ ಎಂದಾದರೆ, ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (A = n! / (n - m)!).

ಉದಾಹರಣೆ

ನಾವು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್, ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನಿಜವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಕಿವಿ, ಕಿತ್ತಳೆ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣು ಇದೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಒಂದು: ಅವುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು? ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: P = 3! = 6 ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಎರಡು: ನೀವು ಒಂದು ಹಣ್ಣನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ನಮಗೆ ಕೇವಲ ಮೂರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ - ಕಿವಿ, ಕಿತ್ತಳೆ ಅಥವಾ ಬಾಳೆಹಣ್ಣು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ, ಆದರೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: ಸಿ = 3! / (2! * 1!) = 3.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಮೂರು: ನೀವು ಎರಡು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ನಾವು ಯಾವ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ? ಕಿವಿ ಮತ್ತು ಕಿತ್ತಳೆ; ಕಿವಿ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣು; ಕಿತ್ತಳೆ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣು. ಅಂದರೆ, ಮೂರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ: ಸಿ = 3! / (1! * 2!) = 3

ಪ್ರಶ್ನೆ ನಾಲ್ಕು: ನೀವು ಮೂರು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂರು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಒಂದೇ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ: ಕಿವಿ, ಕಿತ್ತಳೆ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸಿ = 3! / (0! * 3!) = 1.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಐದು: ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ಹಣ್ಣನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಈ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದರೆ ನಾವು ಒಂದು, ಎರಡು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಣ್ಣನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಏಳು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಟರ್ವರ್‌ನ ಭಾಗವಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಭಾರವಾದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಇದರ ವಿಷಯವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗವು ನಮಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಷಯದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಹಲವರು ನನಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ;-)

ನಾವು ಏನು ಮಾಡಲಿದ್ದೇವೆ? ಸಂಕುಚಿತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಿವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಾಗಿದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದವಸ್ತುಗಳು. ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಜೀವಿಗಳು ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಜನರು, ಪ್ರಾಣಿಗಳು, ಅಣಬೆಗಳು, ಸಸ್ಯಗಳು, ಕೀಟಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸೆಮಲೀನಾ ಗಂಜಿ, ಬೆಸುಗೆ ಹಾಕುವ ಕಬ್ಬಿಣ ಮತ್ತು ಜೌಗು ಕಪ್ಪೆಗಳ ಪ್ಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಹೆದರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ - ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಇವೆ (ವಿವೇಚನೆ)ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಈಗ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯವಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೆಂದರೆ ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಅವುಗಳ ಆಯ್ಕೆ (ಸಂಯೋಜನೆ) ಮತ್ತು ವಿತರಣೆ (ನಿಯೋಜನೆ). ಇದೀಗ ಇದು ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ:

ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಯಪಡಬೇಡಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲ. ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಬಾಲದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ - ಏನು ಮಾಡುತ್ತದೆ " ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲ"? ಇದರರ್ಥ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ವಿವಿಧವಸ್ತುಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ... ಇಲ್ಲ, ನಾನು ಬೆಸುಗೆ ಹಾಕುವ ಕಬ್ಬಿಣ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಂಜಿ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ರುಚಿಕರವಾದದ್ದನ್ನು ಹೊಂದುವುದು ಉತ್ತಮ =) ​​ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಸೇಬು, ಪೇರಳೆ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣು ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ( ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು). ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಇಡುತ್ತೇವೆ:

ಸೇಬು / ಪೇರಳೆ / ಬಾಳೆಹಣ್ಣು

ಪ್ರಶ್ನೆ ಒಂದು: ಅವುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಜೋಡಿಸಬಹುದು?

ಒಂದು ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ:

ಸೇಬು / ಬಾಳೆಹಣ್ಣು / ಪೇರಳೆ
ಪೇರಳೆ / ಸೇಬು / ಬಾಳೆಹಣ್ಣು
ಪೇರಳೆ / ಬಾಳೆಹಣ್ಣು / ಸೇಬು
ಬಾಳೆಹಣ್ಣು / ಸೇಬು / ಪೇರಳೆ
ಬಾಳೆಹಣ್ಣು / ಪೇರಳೆ / ಸೇಬು

ಒಟ್ಟು: 6 ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಅಥವಾ 6 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು.

ಸರಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಸ್ತುಗಳು ಇದ್ದರೆ ಏನು? ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಹಣ್ಣುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ!

ದಯವಿಟ್ಟು ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ (ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲು ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ)ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ - 3 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಎರಡು: ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು a) ಒಂದು ಹಣ್ಣು, b) ಎರಡು ಹಣ್ಣುಗಳು, c) ಮೂರು ಹಣ್ಣುಗಳು, d) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಣ್ಣು?

ಏಕೆ ಆಯ್ಕೆ? ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹಸಿವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ - ತಿನ್ನಲು! =)

ಎ) ಒಂದು ಹಣ್ಣನ್ನು ಮೂರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು - ಸೇಬು, ಪೇರಳೆ ಅಥವಾ ಬಾಳೆಹಣ್ಣು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಔಪಚಾರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಪ್ರಕಾರ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮೂದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: "ಮೂರರಲ್ಲಿ 1 ಹಣ್ಣನ್ನು ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು?"

ಬಿ) ನಾವು ಎರಡು ಹಣ್ಣುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ:

ಸೇಬು ಮತ್ತು ಪಿಯರ್;
ಸೇಬು ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣು;
ಪಿಯರ್ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣು.

ಒಂದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ: "ನೀವು ಮೂರರಲ್ಲಿ 2 ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು?"

ಸಿ) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂರು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಒಂದೇ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ:

ಮೂಲಕ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರವು ಖಾಲಿ ಮಾದರಿಗೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ:
ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಒಂದೇ ಹಣ್ಣನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಾರದು - ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಏನನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಡಿ ಮತ್ತು ಅಷ್ಟೆ.

ಡಿ) ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದುಹಣ್ಣು? "ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು" ಸ್ಥಿತಿಯು ನಾವು 1 ಹಣ್ಣು (ಯಾವುದೇ) ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ 2 ಹಣ್ಣುಗಳು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ 3 ಹಣ್ಣುಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:
ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ಹಣ್ಣನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಾಠವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಓದುಗರು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಏನನ್ನಾದರೂ ಊಹಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು.

ಮುಂದಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ನನಗೆ ಇಬ್ಬರು ಸ್ವಯಂಸೇವಕರು ಬೇಕು... ...ಸರಿ, ಯಾರೂ ಬಯಸದ ಕಾರಣ, ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮಂಡಳಿಗೆ ಕರೆಯುತ್ತೇನೆ =)

ಪ್ರಶ್ನೆ ಮೂರು: ನೀವು ದಶಾ ಮತ್ತು ನತಾಶಾಗೆ ತಲಾ ಒಂದು ಹಣ್ಣನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಬಹುದು?

ಎರಡು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯ "ಬಿ" ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಸೇಬು ಮತ್ತು ಪಿಯರ್;
ಸೇಬು ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣು;
ಪಿಯರ್ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣು.

ಆದರೆ ಈಗ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಜೋಡಿ ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ನೀವು ದಶಾವನ್ನು ಸೇಬಿನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ನತಾಶಾವನ್ನು ಪಿಯರ್ನೊಂದಿಗೆ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ನೀಡಬಹುದು;
ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ - ದಶಾ ಪಿಯರ್ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು ನತಾಶಾ ಸೇಬು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ.

ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಹಣ್ಣುಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ನೃತ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದ ಅದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಹುಡುಗ ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿ ಮಾಡಬಹುದು?

ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು 1 ಯುವಕನನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು;
ನೀವು 1 ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು.

ಹೀಗೆ ಒಬ್ಬ ಯುವಕ ಮತ್ತುನೀವು ಒಬ್ಬ ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು: ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ 1 ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ತತ್ವವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: " ಪ್ರತಿಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ವಸ್ತುವು ಜೋಡಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಜೊತೆಗೆಇನ್ನೊಂದು ಗುಂಪಿನ ವಸ್ತು."

ಅಂದರೆ, ಒಲೆಗ್ 13 ಹುಡುಗಿಯರಲ್ಲಿ ಯಾರನ್ನಾದರೂ ನೃತ್ಯ ಮಾಡಲು ಆಹ್ವಾನಿಸಬಹುದು, ಎವ್ಗೆನಿ ಹದಿಮೂರುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾರನ್ನಾದರೂ ಆಹ್ವಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಯುವಜನರು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಒಟ್ಟು: ಸಂಭವನೀಯ ಜೋಡಿಗಳು.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಜೋಡಿಯ ರಚನೆಯ "ಇತಿಹಾಸ" ವಿಷಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು; ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಉಪಕ್ರಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ 13 ಹುಡುಗಿಯರು ಯಾವುದೇ ಹುಡುಗನನ್ನು ನೃತ್ಯ ಮಾಡಲು ಆಹ್ವಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ!

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತತ್ವವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ನೀವು ಇಬ್ಬರು ಯುವಕರನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಮತ್ತುಕೆವಿಎನ್ ಸ್ಕಿಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಹುಡುಗಿಯರು ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಾರೆಯೇ?

ಒಕ್ಕೂಟ ಮತ್ತುಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸುಳಿವು ನೀಡುತ್ತದೆ:

ಕಲಾವಿದರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಗುಂಪುಗಳು.

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂಒಂದು ಜೋಡಿ ಹುಡುಗರು (45 ಅನನ್ಯ ಜೋಡಿಗಳು) ಜೊತೆ ಪ್ರದರ್ಶನ ನೀಡಬಹುದು ಯಾವುದಾದರುಒಂದು ಜೋಡಿ ಹುಡುಗಿಯರು (78 ಅನನ್ಯ ಜೋಡಿಗಳು). ಮತ್ತು ಭಾಗವಹಿಸುವವರ ನಡುವಿನ ಪಾತ್ರಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ...ನಾನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಜೀವನದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅಸಹ್ಯವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕದಂತೆ ನಾನು ಇನ್ನೂ ಮುಂದುವರಿಯುವುದನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತೇನೆ =).

ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ 8

5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ನಕ್ಷತ್ರ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸೋಣ: ***

IN ನೂರಾರು ಸ್ಥಳನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ಅಥವಾ 9) ಬರೆಯಬಹುದು. ಶೂನ್ಯವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರು-ಅಂಕಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಒಳಗೆ ಹತ್ತಾರು ಸ್ಥಳ("ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ") ನೀವು 10 ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು:

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು 5 ಅಥವಾ 0 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಂಡರೆ ಅದನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ 2 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ.

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಇದೆ: 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೆಲಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ: “9 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ನೂರಾರು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು 10 ಮಾರ್ಗಗಳು ಹತ್ತಾರು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು 2 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳ ಅಂಕೆ»

ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಸರಳ: " ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 9 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ನೂರಾರು ಸ್ಥಳಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಜೊತೆಗೆ 10 ಅಂಕೆಗಳ ಹತ್ತಾರು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಜೊತೆಗೆಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಘಟಕಗಳ ಅಂಕೆ».

ಉತ್ತರ: 180

ಮತ್ತು ಈಗ…

ಹೌದು, ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರ ಭರವಸೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಬಹುತೇಕ ಮರೆತಿದ್ದೇನೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬೋರ್, ಡಿಮಾ ಮತ್ತು ವೊಲೊಡಿಯಾ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವು ಒಂದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಡೆಕ್ನಿಂದ 3 ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲಿಮಾದರಿ ಅವುಗಳನ್ನು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಿ.

ಮತ್ತು ಈಗ ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ... ಈಗ ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತೇನೆ ... ಬ್ಲ್ಯಾಕ್‌ಜಾಕ್‌ನ ಅದೇ ರಷ್ಯಾದ ಆವೃತ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಇರಲಿ:

ಸಮಸ್ಯೆ 9

"ಪಾಯಿಂಟ್" ಅನ್ನು ಆಡುವಾಗ 2 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಎಷ್ಟು ವಿಜೇತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿವೆ?

ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದವರಿಗೆ: ಗೆಲುವಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯು 10 + ACE (11 ಅಂಕಗಳು) = 21 ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಏಸ್‌ಗಳ ಗೆಲುವಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

(ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಕ್ರಮವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ)

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಮೂಲಕ, ಪ್ರಾಚೀನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಡಿ. ಬ್ಲ್ಯಾಕ್‌ಜಾಕ್ ಬಹುತೇಕ ಏಕೈಕ ಆಟವಾಗಿದ್ದು, ಕ್ಯಾಸಿನೊವನ್ನು ಸೋಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಗಣಿತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ. ಆಸಕ್ತರು ಸೂಕ್ತ ತಂತ್ರ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ನಿಜ, ಅಂತಹ ಮಾಸ್ಟರ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ಕಪ್ಪು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಬೇಗನೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ =)

ಒಂದೆರಡು ಘನ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವ ಸಮಯ ಇದು:

ಸಮಸ್ಯೆ 10

ವಾಸ್ಯಾ ಮನೆಯಲ್ಲಿ 4 ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಎ) ಕೋಣೆಯ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೂರಿಸಬಹುದು?
ಬಿ) ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ವಾಕ್ ಮಾಡಲು ಬಿಡಬಹುದು?
ಸಿ) ವಾಸ್ಯಾ ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಒಂದು ಅವನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಇನ್ನೊಂದು ಅವನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ)?

ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನೀವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು ವಿಭಿನ್ನವಸ್ತುಗಳು (ಬೆಕ್ಕುಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅವಳಿಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ). ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ!

ಎ) ಬೆಕ್ಕುಗಳ ಮೌನ. ಈ ಮರಣದಂಡನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಕ್ಕುಗಳು ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ
+ ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿವೆ:
ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಕೋಣೆಯ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಇರಿಸಬಹುದು.

ಅನುಕ್ರಮಗೊಳಿಸುವಾಗ, ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮಾತ್ರ ಮುಖ್ಯವೆಂದು ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ. ವಾಸ್ಯಾ ಅವರ ಮನಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಅವಳು ಪ್ರಾಣಿಗಳನ್ನು ಸೋಫಾದ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ಕಿಟಕಿಯ ಮೇಲೆ ಸಾಲಾಗಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. - ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ 24 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಆಸಕ್ತರು ಬೆಕ್ಕುಗಳು ಬಹು-ಬಣ್ಣದವು ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಳಿ, ಕಪ್ಪು, ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಬಿ) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

ಬೌ) ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ವಾಕ್ ಮಾಡಲು ಬಿಡಬಹುದು?

ಬೆಕ್ಕುಗಳು ಬಾಗಿಲಿನ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ನಡೆಯಲು ಹೋಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಉದಾಸೀನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - 1, 2, 3 ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ 4 ಬೆಕ್ಕುಗಳು ವಾಕ್ ಹೋಗಬಹುದು.

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಒಂದು ಬೆಕ್ಕನ್ನು (ನಾಲ್ಕರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ) ನಡೆಯಲು ಬಿಡಬಹುದು;
ನೀವು ಎರಡು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ನಡೆಯಲು ಬಿಡುವ ವಿಧಾನಗಳು (ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ);
ನೀವು ಮೂರು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ನಡೆಯಲು ಬಿಡಬಹುದು (ನಾಲ್ಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ);
ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ಬಹುಶಃ ಊಹಿಸಿದ್ದೀರಿ:
ನೀವು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ನಡಿಗೆಗೆ ಹೋಗಲು ಬಿಡುವ ವಿಧಾನಗಳು.

ಉತ್ಸಾಹಿಗಳಿಗೆ, ನಾನು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೆಕ್ಕು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಹೊರಗೆ ಹೋಗಬಹುದಾದಾಗ, ಬಾಗಿಲಿನ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು 10 ನೇ ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಿಟಕಿಯ ಮೂಲಕ. ಸಂಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಹೆಚ್ಚಳ ಇರುತ್ತದೆ!

ಸಿ) ವಾಸ್ಯಾ ಎರಡು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು?

ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು 2 ಪ್ರಾಣಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಇಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:
ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು 2 ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ: ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಎರಡು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತುನೆಡುವ ಮಾರ್ಗಗಳು ಪ್ರತಿಕೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು:

ಉತ್ತರ: ಎ) 24, ಬಿ) 15, ಸಿ) 12

ಸರಿ, ನಿಮ್ಮ ಆತ್ಮಸಾಕ್ಷಿಯನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸಲು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಏನಾದರೂ... ವಾಸ್ಯಾ 5 ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ =) ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ 2 ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ವಾಕ್ ಮಾಡಲು ಬಿಡಬಹುದು? ಮತ್ತು 1 ಬೆಕ್ಕು?

ಅಂದರೆ, ಜೊತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂಒಂದೆರಡು ಬೆಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಬಹುದು ಪ್ರತಿಬೆಕ್ಕು.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಬಟನ್ ಅಕಾರ್ಡಿಯನ್:

ಸಮಸ್ಯೆ 11

12 ಅಂತಸ್ತಿನ ಕಟ್ಟಡದ ಲಿಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂವರು ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಹತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ, ಇತರರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ (2 ನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ) ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಗಮಿಸಬಹುದು. ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ:

1) ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಒಂದೇ ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ ಇಳಿಯಬಹುದು (ನಿರ್ಗಮನ ಆದೇಶವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ);
2) ಇಬ್ಬರು ಜನರು ಒಂದು ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ ಇಳಿಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯವರು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ;
3) ಜನರು ವಿವಿಧ ಮಹಡಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಗಮಿಸಬಹುದು;
4) ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಎಲಿವೇಟರ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸಬಹುದೇ?

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮತ್ತೆ ಕೇಳುತ್ತಾರೆ, ನಾನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ: 2 ಅಥವಾ 3 ಜನರು ಒಂದೇ ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಗಮಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ಗಮನದ ಕ್ರಮವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಯೋಚಿಸಿ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು/ಗುಣಿಸಲು ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. ತೊಂದರೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಮತ್ತು ಎಲಿವೇಟರ್ನಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸಲು ಯಾವ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಏನಾದರೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಅಸಮಾಧಾನಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಸಾಕಷ್ಟು ಕಪಟವಾಗಿದೆ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರವಾದ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ.

ಅಂತಿಮ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನನ್ನ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಿಸುಮಾರು 20-30% ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ:

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖದ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳುಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮೊದಲ ಓದುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಲು ಮೊದಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹೋಗು:

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಲ್ಲಿ, "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅನೇಕ ವಸ್ತುಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ಒಂದು ವಿಷಯವಿದೆ: ಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು (ವಸ್ತುಗಳು) ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪೂರೈಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

ಸಮಸ್ಯೆ 12

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

ಪರಿಹಾರ: ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಉದ್ದೇಶಿತ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಷನ್‌ಗಳು "ನಿಷ್ಫಲವಾಗಿ" ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಯಾವುದೇ ಪದದಲ್ಲಿ "K" "ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಅದೇ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ತುಂಬಾ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು: ಅದರ ಮೇಲೆ "K" ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಮುದ್ರಿತಗೊಳಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಇನ್ನೊಂದು "K" ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಚೌಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಅರ್ಥದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಡುಗಳು ಸಹ ಅದೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸ್ಥಿತಿಯು ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಪತ್ರ ಸೇರಿದಂತೆ ಕೇವಲ 11 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು:

ಕೆ - 3 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ;
ಒ - 3 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ;
ಎಲ್ - 2 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ;
ಬಿ - ಪುನರಾವರ್ತಿತ 1 ಬಾರಿ;
ಎಚ್ - ಪುನರಾವರ್ತಿತ 1 ಬಾರಿ;
ಮತ್ತು - ಪುನರಾವರ್ತಿತ 1 ಬಾರಿ.

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, ಇದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ:
ವಿವಿಧ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅರ್ಧ ಮಿಲಿಯನ್‌ಗಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚು!

ದೊಡ್ಡ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಕೋಶಕ್ಕೆ ನಮೂದಿಸಿ =FACT(11)ಮತ್ತು ಒತ್ತಿರಿ ನಮೂದಿಸಿ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯದಿರುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಘಟಕ ಅಂಶವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ:

ಆದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ!

ಉತ್ತರ: 554400

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯು ಚೆಸ್ ಪೀಸ್ ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗೋದಾಮಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಸಿದ್ಧ ಪರಿಹಾರಗಳುಅನುಗುಣವಾದ pdf ನಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ, ನಾನು ಕಡಿಮೆ ಸೂತ್ರದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇನೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ 13

ಅಲೆಕ್ಸಿ ಕ್ರೀಡೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು ವಾರಕ್ಕೆ 4 ದಿನಗಳು - ಅಥ್ಲೆಟಿಕ್ಸ್, 2 ದಿನಗಳು - ಶಕ್ತಿ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ಮತ್ತು 1 ದಿನ ವಿಶ್ರಾಂತಿ. ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಅವನು ತಾನೇ ವಾರದ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು?

ಸೂತ್ರವು ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕಾಕತಾಳೀಯ ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬುಧವಾರದ ಶಕ್ತಿ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಗುರುವಾರದ ಶಕ್ತಿ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು). ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ - ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದೇ 2 ಶಕ್ತಿ ತರಬೇತಿ ಅವಧಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ) ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲಿನ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಇಂದು ಕಷ್ಟಪಟ್ಟು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮ್ಮನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡುವ ಸಮಯ:

ಸಮಸ್ಯೆ 14

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಕ್ಯಾಂಟೀನ್ ಸಾಸೇಜ್‌ಗಳನ್ನು ಹಿಟ್ಟು, ಚೀಸ್‌ಕೇಕ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಡೊನಟ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನೀವು ಐದು ಪೈಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಖರೀದಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ: ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ತಕ್ಷಣ ಗಮನ ಕೊಡಿ - ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯವಸ್ತುಗಳು; ಕನಿಷ್ಠ ಐದು ಹಾಟ್ ಡಾಗ್‌ಗಳು, 5 ಚೀಸ್‌ಕೇಕ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 5 ಡೋನಟ್‌ಗಳು ಮಾರಾಟದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಪೈಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ - ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಡೊನುಟ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು =) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪೈಗಳ ಭೌತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹಾಟ್ ಡಾಗ್‌ಗಳು / ಚೀಸ್‌ಕೇಕ್‌ಗಳು / ಅವರ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಡೊನುಟ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಏನಿರಬಹುದು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪೈಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು (ನಾವು 5 ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು 3 ವಿಧಗಳಿವೆ). ಪ್ರತಿ ರುಚಿಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ: 5 ಹಾಟ್ ಡಾಗ್‌ಗಳು, 5 ಚೀಸ್‌ಕೇಕ್‌ಗಳು, 5 ಡೊನಟ್ಸ್, 3 ಹಾಟ್ ಡಾಗ್‌ಗಳು + 2 ಚೀಸ್‌ಕೇಕ್‌ಗಳು, 1 ಹಾಟ್ ಡಾಗ್ + 2 ಚೀಸ್‌ಕೇಕ್‌ಗಳು + 2 ಡೋನಟ್ಸ್, ಇತ್ಯಾದಿ.

“ನಿಯಮಿತ” ಸಂಯೋಜನೆಗಳಂತೆ, ಆಯ್ಕೆಯ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ ಪೈಗಳ ನಿಯೋಜನೆಯು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ - ನೀವು ಕೇವಲ 5 ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಅದು ಅಷ್ಟೆ.

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ:
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು 5 ಪೈಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಬಹುದು.

ಬಾನ್ ಅಪೆಟೈಟ್!

ಉತ್ತರ: 21

ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಯಾವ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು?

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದೇ ಉದಾಹರಣೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ 15

ವಾಲೆಟ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ 1-, 2-, 5- ಮತ್ತು 10-ರೂಬಲ್ ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕೈಚೀಲದಿಂದ ಮೂರು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆಯಬಹುದು?

ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಒಂದೆರಡು ಸರಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿ:

1) ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನಾಣ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದೇ?
2) ನಾಣ್ಯಗಳ "ಅಗ್ಗದ" ಮತ್ತು "ದುಬಾರಿ" ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು.

ನನ್ನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅನುಭವದಿಂದ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಪರೂಪದ ಅತಿಥಿ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಬಲ್ಲೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬದಲಿಗೆ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಜೋಕ್ ಎಂದರೆ ನಾವು ಮೂಲ ಸೆಟ್‌ನ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದಷ್ಟು ಬಾರಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ."

ಇದು ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ? ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಹಲವಾರು ಡಿಸ್ಕ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಲಾಕ್, ಆದರೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಿಂದಾಗಿ, ಅದರ ಡಿಜಿಟಲ್ ವಂಶಸ್ಥರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ 16

ಎಷ್ಟು ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಪಿನ್ ಕೋಡ್‌ಗಳಿವೆ?

ಪರಿಹಾರ: ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಜ್ಞಾನವು ಸಾಕು: ನೀವು ಪಿನ್ ಕೋಡ್‌ನ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತುಮಾರ್ಗಗಳು - ಪಿನ್ ಕೋಡ್‌ನ ಎರಡನೇ ಅಂಕೆ ಮತ್ತುಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ - ಮೂರನೇ ಮತ್ತುಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ - ನಾಲ್ಕನೇ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಪಿನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

ಮತ್ತು ಈಗ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಸೆಟ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಬಳಸಬಹುದು). ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ಉತ್ತರ: 10000

ಇಲ್ಲಿ ಏನು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ ... ... ಪಿನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಮೂರನೇ ವಿಫಲ ಪ್ರಯತ್ನದ ನಂತರ ಎಟಿಎಂ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ", ನಂತರ ಅದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ.

ಮತ್ತು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಯಾರು ಹೇಳಿದರು? ಸೈಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಓದುಗರಿಗೆ ಅರಿವಿನ ಕಾರ್ಯ:

ಸಮಸ್ಯೆ 17

ರಾಜ್ಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾರ್ ಪರವಾನಗಿ ಪ್ಲೇಟ್ 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು 3 ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ ಮತ್ತು A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಗುಣಿತವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಿರಿಲಿಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಒಂದು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಪರವಾನಗಿ ಫಲಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು?

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಅಲ್ಲ, ಮೂಲಕ. ದೊಡ್ಡ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಾಕಷ್ಟು ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರಿಗೆ ಶಾಸನ RUS ಗೆ ಹಲವಾರು ಸಂಕೇತಗಳಿವೆ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವಿದೆ. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ ;-) ...ನಾನು ವಿಶೇಷವಾದದ್ದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಅದು ವಿಶೇಷವಲ್ಲ ಎಂದು ಬದಲಾಯಿತು =) ನಾನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾವನ್ನು ನೋಡಿದೆ - ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಅಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿವೆ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಬಹುಶಃ, ಕೆಲವರು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ನಮ್ಮ ಉತ್ತೇಜಕ ಪಾಠವು ಕೊನೆಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ - ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ: ಅವುಗಳು ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ,
ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು- ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ =)

ನಿಮ್ಮ ಸಕ್ರಿಯ ಭಾಗವಹಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ!

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಕಾರ್ಯ 2: ಪರಿಹಾರ: 4 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು 1 ನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರು-ಅಂಕಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬೇಕು. ಶೂನ್ಯವು 1 ನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರಲಿ, ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಕಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದ 3 ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು.

ಸೂಚನೆ : ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವೇ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಸೆಟ್ನಿಂದ ನಾವು ಮಾಡಬಹುದು:
24 - 6 = 18 ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಉತ್ತರ : 18

ಕಾರ್ಯ 4: ಪರಿಹಾರ: ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು 36 ರಲ್ಲಿ 3 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.
ಉತ್ತರ : 7140

ಕಾರ್ಯ 6: ಪರಿಹಾರ: ಮಾರ್ಗಗಳು.
ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಹಾರ : ನೀವು ಗುಂಪಿನಿಂದ ಇಬ್ಬರನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮತ್ತು
2) "ಅಗ್ಗದ" ಸೆಟ್ 3 ರೂಬಲ್ ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ "ದುಬಾರಿ" - 3 ಹತ್ತು-ರೂಬಲ್ ನಾಣ್ಯಗಳು.

ಸಮಸ್ಯೆ 17: ಪರಿಹಾರ: ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಕಾರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (000) ಹೊರಗಿಡಬೇಕು: .
ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಪರವಾನಗಿ ಪ್ಲೇಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.
ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಟ್ಟು ಮಾಡಬಹುದು:
ಪರವಾನಗಿ ಫಲಕಗಳು
(ಪ್ರತಿಯೊಂದೂಡಿಜಿಟಲ್ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಜೊತೆಗೆಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆ).
ಉತ್ತರ : 1726272

ಸಂಯೋಜನೆಯು ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಅನಿಯಮಿತ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳ (AEIOU) ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವರಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ನೀವು 3 ಅಕ್ಷರಗಳ 10 ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ ತ್ರಿವಳಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು:

AEI, AEO, AEU, AIO, AIU, AOU, EIO, EIU, EOU, IOU.

ನೀವು ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ 2 ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ ಅದೇ ಐದು ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ನೀವು 10 ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ:

AE, AI, AO, AU, EI, EO, EU, IO, IU, OU.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಒಂದೇ ಸ್ವರ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು 4 ರಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ 5 ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ:

AEIO, AEIU, AIOU, EIOU, AEOU.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, m ಅಂಶಗಳ n ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ (ಅಪೆಲ್) ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಂಕೇತದ ರೂಪದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, m ಅಂಶಗಳಿಂದ n ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ವರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, n=5 ಮತ್ತು m=3 ನೊಂದಿಗೆ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು n ಮತ್ತು m ನ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ n > m > 0. m > n ಮತ್ತು m ಆಗಿದ್ದರೆ< 0, то число сочетаний равно 0, так как в этом случае основное множество из n элементов вообще не имеет подмножеств мощности m:

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ನೇರ ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

n ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವಾಗಲೂ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, m ಇನ್ನೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುವವರೆಗೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಬಳಸುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಗುರುತುಗಳು

n ಮತ್ತು m ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಯು ಅವುಗಳ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಿಂದಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. n ಮತ್ತು m ನ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ, ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮೀರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, m=8 ಅಂಶಗಳಿಂದ n=10 ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೇವಲ 45. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು 10 ರ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು! ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 8! ಛೇದದಲ್ಲಿ:

ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವ ವಿವಿಧ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸುವುದು ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಮೂರು ಮರುಕಳಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಈಗ ಮೊದಲ 2 ಸೂತ್ರಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು n ನಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಗುರುತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸೇರ್ಪಡೆ ಗುರುತು n ಮತ್ತು m ನ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮೂಲಭೂತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸೇರ್ಪಡೆ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ m=8 ಅಂಶಗಳಿಂದ n=10 ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಈಗ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ:

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹಲವಾರು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆ ಗುರುತಿನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮೂಲಕ ಸಂಕಲನದ ಸೂತ್ರ, ಇದು ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಗುರುತನ್ನು ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪದದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ:

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, m=1 ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ:

ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರದ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪದದ ಜೊತೆಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಗುರುತಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಈ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡೂ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ನೆರೆಯ ಪದಗಳಿಂದ ಒಂದರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಹ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎರಡೂ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಉಪಯುಕ್ತ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದದ್ದು ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುರುತು, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

5 ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2 ಮತ್ತು (5 2) = 3 ರಿಂದ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುರುತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ n ಅಂಶಗಳಿಂದ m ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಇದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ (nm) ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ m ಅನ್ನು (nm) ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್‌ನ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ

ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ಬಹುಪದದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಿಪದ (ದ್ವಿಪದ) ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ, ದ್ವಿಪದಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಘನಕ್ಕೆ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿವೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದವಿ n ಗೆ, ಬಹುಪದದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಘೋಷಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ದ್ವಿಪದದ n ಪದಗಳ X ಮತ್ತು Y ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವರ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಘನ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ n=2 ಮತ್ತು n=3 ಗಾಗಿ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು (n>3), ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತದ ದ್ವಿಪದ (n=4) ಗಾಗಿ ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅರಬ್ ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮ ಯುರೋಪ್‌ನ ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ನಿಗಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವು ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಹೆಸರು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ನ್ಯಾಯೋಚಿತವಲ್ಲ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ಅರ್ಹತೆಯೆಂದರೆ ಅವರು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಘಾತಾಂಕ r ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ನ್ಯೂಟನ್ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘಾತಾಂಕ r=1/2 ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಘಾತಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್‌ನ ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು |z|< 1 этот ряд сходится, и сумма в правой части становится конечной. При любой натуральной степени r = n в правой части также получается конечная сумма из (n+1) первых слагаемых, так как все C(n, k>n) = 0 . ನಾವು ಈಗ Z=X/Y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು Yn ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ನ್ಯೂಟನ್ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ದ್ವಿಪದದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. X = Y = 1 ಅಥವಾ Z = 1 ಅನ್ನು ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಸಂಕಲನ ಗುರುತನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುರುತು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. X = 1 ಮತ್ತು Y = 1 ಅಥವಾ Z = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎರಡೂ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ನಾವು ಕೇವಲ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು n ಅನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ (n1) ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧ:

ಕೆಳಗಿನ ಕೌಚಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಡಿಗ್ರಿ n ಮತ್ತು k ನ ಎರಡು ದ್ವಿಪದಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುರುತು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಸೂತ್ರದ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ Z ನ ಯಾವುದೇ ಡಿಗ್ರಿ m ಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಗತ್ಯ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n=k=m, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಇತರ ಉಪಯುಕ್ತ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವ್ಯಾಪಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ

ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ಅಂಕಗಣಿತದ ತ್ರಿಕೋನವು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ದ್ವಿಪದಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳ ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಅಥವಾ ಆಯತಾಕಾರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಸ್ವರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ದಿಗ್ಭ್ರಮೆಗೊಂಡು, ಅನಂತ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. 4 ನೇ ಡಿಗ್ರಿ (n=4) ವರೆಗಿನ ದ್ವಿಪದಗಳಿಗೆ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ತುಣುಕು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸೇರ್ಪಡೆ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು ಅದರ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಹಿಂದಿನ ಸಾಲಿನ ಎರಡು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್‌ನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ಅದರ ದ್ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲುಗಳು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪಾಲಿಂಡ್ರೋಮ್ ಆಗಿದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶಕ್ತಿಗಳ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಆಯತಾಕಾರದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವು ಅನಂತ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. 9 ನೇ ಡಿಗ್ರಿ (n=9) ವರೆಗಿನ ದ್ವಿಪದಗಳಿಗೆ ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಆರಂಭಿಕ ತುಣುಕು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಆಯತಾಕಾರದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್‌ನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್‌ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವು ಅದರ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಪ್ರತಿರೂಪದ ದೃಶ್ಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಡ್ಡಗಳು, ಲಂಬಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್‌ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, n ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮೂಲಕ ದ್ವಿಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ 2n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ. n ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು (2 n 1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಡ್ಡಾದಿಡ್ಡಿಯ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n=4 ಗಾಗಿ ಈ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಸಮತಲಗಳ ಒಂದೆರಡು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ಸಮತಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು (n=2 k) ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಅಂಶಗಳು (ಹೊರಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸಮತಲ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು (n=2 k 1) ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಡ್ಡಲಾಗಿ n=4 ಮತ್ತು n=3 ಅಥವಾ n=8 ಮತ್ತು n=7.

ಈಗ ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು p ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐದನೇ ಸಮತಲದ (5, 10 ಮತ್ತು 5) ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮತಲ ಸಂಖ್ಯೆ p ಗೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬೇಕು:

p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, m! ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲು ಈ ಸೂತ್ರದ ಅಂಶದ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು m! ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು. ಇದು ಚದರ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುಪಾತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಆಂತರಿಕ ಅಂಶಗಳು p ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು n=p k ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, p=3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಸಾಲು 3 ರ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 9 ನೇ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ (9, 36, 84 ಮತ್ತು 126). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಅಂಶಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮತಲ ರೇಖೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲ ಅಂಶಗಳ ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಅಂಶಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ (GCD) n ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ n=pk ಅಥವಾ 1 ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ:

ಯಾವುದೇ 0 ಗೆ GCD(Cmn) = ( )< m < n .

ಸಮತಲಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸರಣಿಯು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ರೇಖೆಯ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ 10 ರ ಅನುಕ್ರಮ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು 11 n ಆಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಮರ್ಥನೆಯು ನ್ಯೂಟನ್ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ X=10 ಮತ್ತು Y=1 (ಅಥವಾ Z=1) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯು n=5 ಗಾಗಿ ಈ ಆಸ್ತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ:

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅವುಗಳ ಘಟಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಲಂಬವಾದ m ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ (m) ಮತ್ತು ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, m=0 ಒಂದರ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ಮತ್ತು m=1 ಆಗ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. m=2 ಯಾವಾಗ ಲಂಬವು ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಚೆಕರ್ಬೋರ್ಡ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ (ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ಗಳು) ತುಂಬಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಯ T k ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕರ್ನಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಸಾಲುಗಳ ಕರ್ನಲ್‌ಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4 ಆರಂಭಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯರ್ "@" ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ:

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು S k ಅನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ತುಂಬುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 4 ಆರಂಭಿಕ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, m=3 ನಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಲಂಬವು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ (ಪಿರಮಿಡ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ತುಂಬಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ P k ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದಾದ ಕೋರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಕೋರ್ಗಳ ಸಾಲುಗಳ ಎಷ್ಟು ಸಮತಲ ತ್ರಿಕೋನ ಪದರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಲ ಪದರಗಳನ್ನು ಸತತ ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೆಳಗಿನ ಲಂಬಗಳ ಅಂಶಗಳು m>3 ರೂಪದ ಹೈಪರ್ಟೆಟ್ರೇಡಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ದೃಶ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಹುಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆಕಾರದ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅವರಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ . ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಕೆಳಗಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಲಂಬದ n ಮೇಲಿನ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮುಂದಿನ ಲಂಬದ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ತ್ರಿಕೋನ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಟೆಟ್ರಾಹೆಡಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕೆಳ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೋರ್ ಪದರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ರೇಖೀಯ ಪದರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ n ನೇ ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆ Tn ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಅಂತೆಯೇ, ಅದರ ಸಮತಲ ಕೋರ್ ಪದರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲ n ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ Pn ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ:

ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಒಂದು ಅಂಶಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರೋಹಣ ಮತ್ತು ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಮುಖವಾಗಿರುವ ಕರ್ಣಗಳು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ಅವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನಿಂದಾಗಿ, ಅವರೋಹಣ ಕರ್ಣಗಳು ತಮ್ಮ ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಅನುಗುಣವಾದ ಲಂಬ ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಲಂಬ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಅವರೋಹಣ ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೊಂದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣಗಳು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ತುಂಬಿವೆ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಳದ ಇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 7 ಮೇಲಿನ ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣಗಳು ಹಿಂದುಳಿದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣೀಯ ಸಂಖ್ಯೆ n ಕೆಳಗಿನ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು (n1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಗುರುತಿನ ಕಾರಣದಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣವನ್ನು ಎರಡು ಹಿಂದಿನ ಕರ್ಣಗಳಿಂದ ಪಕ್ಕದ ಸಮತಲ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಕಲನದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗವು 6 ಮತ್ತು 7 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣೀಯ ಸಂಖ್ಯೆ 8 ರ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, 3 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡು ಹಿಂದಿನ ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣಗಳ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ 2 ಕರ್ಣಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಮೌಲ್ಯ ಅದರಲ್ಲಿ 1. ಅನುಗುಣವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ನೀವು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಆರೋಹಣ ಕರ್ಣಗಳ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆಸ್ತಿಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅನುಕ್ರಮವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂಶಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ಮೊತ್ತಗಳು ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಆಸ್ತಿ ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನದ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ, ಮೊದಲ n ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (F n+2 1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ n ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ತುಂಬುವ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು (F n+2 1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೊದಲ n ಕರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ (n+2) ನಿಂತಿರುವ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ 1 ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲಗಳು, ಲಂಬಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನನ್ನೂ ಹೊಂದಿರದ ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಬೃಹತ್ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ.

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಖಾಸಗಿ ಕಾರ್ಯ SochTT (ByVal n ಇಂಟೀಜರ್ ಆಗಿ, ByVal k ಇಂಟೀಜರ್) ಡಬಲ್ ಡಿಮ್ ಆಗಿ ಇಂಟೀಜರ್ ಡಿಮ್ ಜೆ ಇಂಟೀಜರ್ ಡಿಮ್ TT () ಡಬಲ್ ರೆಡಿಮ್ TT (n, k) ಗಾಗಿ i = 0 ರಿಂದ n TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 ಮುಂದೆ i = 2 ಗೆ n ಗೆ j = 1 ಗೆ i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) ಮುಂದಿನ ಮುಂದಿನ SochTT = TT (n, k) ಎಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್

ನೀವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ತದನಂತರ ರಚನೆಯಿಂದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ.

ಡಿಮ್ ಟಿಟಿ () ಡಬಲ್ ಪ್ರೈವೇಟ್ ಸಬ್ ಕ್ರಿಯೇಟ್ ಟಿಟಿ () ರೆಡಿಮ್ ಟಿಟಿ (0, 0) ಬಿಲ್ಡ್ ಟಿಟಿ 0, 0 ಎಂಡ್ ಸಬ್ ಪ್ರೈವೇಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ SochTT (ಬೈವಾಲ್ n ಇಂಟೀಜರ್ ಆಗಿ, ಬೈವಾಲ್ ಕೆ ಇಂಟೀಜರ್ ಆಗಿ) ಡಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ n > ಯುಬೌಂಡ್ (ಟಿಟಿ) ನಂತರ ಬಿಲ್ಡ್ ಟಿಟಿ ಯುಬೌಂಡ್ (TT) + 1, n SochTT = TT (n, k) ಎಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರೈವೇಟ್ ಸಬ್ ಟರ್ಮಿನೇಟ್‌ಟಿಟಿ () ರೆಡಿಮ್ TT (0, 0) ಎಂಡ್ ಸಬ್ ಪ್ರೈವೇಟ್ ಸಬ್ ಬಿಲ್ಡ್‌ಟಿಟಿ (ಬೈವಾಲ್ ಪ್ರಾರಂಭ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ, ಬೈವಾಲ್ ಅಂತ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ) ಮಂದ i ಇಂಟೀಜರ್ ಡಿಮ್ ಆಗಿ j ಇಂಟೀಜರ್ ರೆಡಿಮ್ ಆಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಿ TT (ಅಂತ್ಯ, ಅಂತ್ಯ) ಗಾಗಿ i = ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಲು TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 ಮುಂದಿನ ವೇಳೆ ಅಂತ್ಯ< 2 Then Exit Sub If start < 2 Then start = 2 For i = start To end For j = 1 To i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Next Next End Sub

ಮೊದಲು ನೀವು CreateTT ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಬೇಕು. ನಂತರ ನೀವು SochTT ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿಮಗೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ತ್ರಿಕೋನ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಟರ್ಮಿನೇಟ್ಟಿಟಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ. ಮೇಲಿನ ಕೋಡ್‌ನಲ್ಲಿ, SochTT ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯುವಾಗ, ತ್ರಿಕೋನವು ಇನ್ನೂ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು BuildTT ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ನಂತರ TT ರಚನೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಡಿಮ್ ಎಕ್ಸ್ () ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ ಡಿಮ್ ಕೌಂಟರ್ () ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಡಿಮ್ ಕೆ ನಂತೆ ಡಿಮ್ ಎನ್ ಇಂಟೀಜರ್ ಪಬ್ಲಿಕ್ ಸಬ್ ಸೋಚ್() ಡಿಮ್ ಐ ಇಂಟೀಜರ್ ಎನ್ = ಸಿಂಟ್(ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಬಾಕ್ಸ್("ಎನ್‌ಟರ್ ಎನ್")) ಕೆ = ಸಿಂಟ್(ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಬಾಕ್ಸ್ ("ಕೆ ಎಂಟರ್ ಮಾಡಿ () ByVal c ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ) ಮಂದ i ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ ಮಂದ j ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ ಮಂದ n1 ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ ಡಿಮ್ n1 () ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ ಮಂದ X1() ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ c = K ಆಗಿದ್ದರೆ ನಂತರ ReDim Out(K) X1 = X ಫಾರ್ i = 1 ರಿಂದ K - 1 n1 = 0 ಗಾಗಿ j = 1 ರಿಂದ N ವೇಳೆ X1(j)<>0 ನಂತರ n1 = n1 + 1 ಆಗಿದ್ದರೆ n1 = ಕೌಂಟರ್(i) ನಂತರ ಔಟ್(i) = X1(j) X1(j) = 0 ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ಗಮಿಸಿ ಮುಂದಿನ ವೇಳೆ txtOut.Text = txtOut.Text & CStr(Out(i)) ಮುಂದಿನ txtOut.Text = txtOut.Text & vbCrLf ಬೇರೆ ಫಾರ್ ಕೌಂಟರ್(ಸಿ) = ಕೌಂಟರ್(ಸಿ - 1) ಗೆ N - c + 1 SochGenerate c + 1 Next End if End Sub

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆದೇಶ.

ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು, ಮುಖ್ಯ ಸೆಟ್, ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ m ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, 1 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ಸತತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ m ನ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆ

ಆದೇಶದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ:

ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾನಗಳು ಅವುಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ:

ಅದರ ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೂ ತಲುಪದ ಬಲಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಸ್ತುತದಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 1 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕು, ಅದು ಎಡಕ್ಕೆ ಅದರ ನೆರೆಯಕ್ಕಿಂತ 1 ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಈ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ನಂತರ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮುಂದಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಧಾತುರೂಪದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಮುಂದಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಆರಂಭಿಕ (j1) ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು j ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ 1 ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. . ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಂಬಂಧವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ n=6 ಮೊದಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ 15 ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು m=4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಮುಖ್ಯ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ 4-ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು 6 ಅಂಶಗಳಿಂದ ಸೆಟ್ (1, 2, 3, 4, 5, 6). ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ, 3, 4, 5 ಮತ್ತು 6. ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು, ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ, ಬಲಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇನ್ನೂ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿಲ್ಲ, ಅಂಡರ್ಲೈನ್ ​​ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, m ನಿಂದ n ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ N ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕಾಸ್ಮೆಟಿಕ್ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು Appel ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ m=4 ರ n=6 ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 3, 4, 6) ಗಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು N=8 ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದಾಗ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (1, ... i, ... m) ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸೂತ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದಾಗ ನಿಘಂಟಿನ ದೊಡ್ಡ ಸಂಯೋಜನೆಯ (m, ... nm+i, ... n) ಸಂಖ್ಯೆಯು m ನಿಂದ n ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:

ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು (C 1, ... C i, ... C m ) ಅದರ ಬಲಭಾಗದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ L ಪ್ರತಿ m ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅಂಶಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ “ದುರಾಸೆಯ” ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ, C 1 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ (ಅದರ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಪದವು L ಅನ್ನು ಮೀರದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗ L ನ ಎಡಭಾಗವನ್ನು C 1 ನ ಆಯ್ದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ C 2 ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು:

ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು C i ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕೊನೆಯ ಅಂಶ C m ವರೆಗೆ:

ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಅಂಶ C m ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು L ನ ಎಡಭಾಗದ ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

C m ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕೊನೆಯ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು:

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ n=6 ಮತ್ತು m=4 ಆಗಿದ್ದರೆ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ N=8 ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವಾಗ, ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಮರಳುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅವುಗಳ ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

2 ಗಾಗಿ i:= 1 ರಿಂದ k ಗೆ A[i] := i;

5 ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ (A, ..., A[k]);

6 A[k] = n ಆಗಿದ್ದರೆ p:= p 1 else p:= k;

8 ಗಾಗಿ i:= k ಡೌನ್‌ಟು p do A[i] := A[p] + i p + 1

ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಂತಲ್ಲದೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಅನಿಯಮಿತ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಪ್ರತಿಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ 1, 2 ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ 4 ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ 15 ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ರಚಿಸಬಹುದು:

1111 1112 1113 1122 1123 1133 1222 1223 1233 1333 2222 2223 2233 2333 3333.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಕಾರಗಳ n ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ರಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಸತತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು:

ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ, ಅನಿಯಮಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಯ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, m ಮೂಲಕ n ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ m ನಿಂದ (n+m−1) ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಎಫ್‌ನ ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ ಯ ಅಂಶಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ (n + m1) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. :

ಎಫ್ ಮತ್ತು ಸಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು m ಮೂಲಕ n ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲು ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, m ನ (n+m1) ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ C ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 4 ಅಂಕೆಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ 3 ಅಂಕೆಗಳ 1, 2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, 6 ಅಂಕೆಗಳ 1,2,3,4, 5 ರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮತ್ತು 6 ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 4 ಅಂಕೆಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ 8 ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ (1,3,4,6) ಅಂತಹ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ನಡುವೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಅವುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, m ಮೂಲಕ n ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು m ಮೂಲಕ (n+m1) ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಅದೇ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, n=3 ಮತ್ತು m=4, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 15 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅವುಗಳ ನೇರ ಪಟ್ಟಿಯ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ:

ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆವೃತ್ತಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, n ಮತ್ತು m ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ f(n,m)>0. (n+m1) ಮತ್ತು (n1) ಅಥವಾ (n+m1) ಮತ್ತು m ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

m 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, n>0 ನ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು:

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, n ಮತ್ತು m ನ ಯಾವುದೇ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಗುರುತನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಅದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಪವರ್ತನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮುಖ್ಯವಾದಾಗ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, f(n,m) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು f(1,m) ಮತ್ತು f(i,1) ಫಾರ್ಮ್‌ನ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ i n ನಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅಂತಹ ಪದಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1 ಮತ್ತು i ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು n=3 ಮತ್ತು m=4 ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಈ ರೂಪಾಂತರ ತಂತ್ರದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ:

ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು

ಅಸೆಂಬ್ಲಿ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಡ್‌ವೇರ್ ಅಥವಾ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಸಂಯೋಜನೆಯ ದಾಖಲೆಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, m ನ n ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು n-ಬಿಟ್ ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು (B n,...B j,...B 1), ಇಲ್ಲಿ m ಘಟಕ ಅಂಕೆಗಳು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಸಂಯೋಜನೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದ (nm) ಅಂಕೆಗಳು ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು 1 ರ ಅಂಕೆಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು n-ಬಿಟ್ ಬೈನರಿ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ m ಒನ್‌ಗಳು ಅಥವಾ (nm) ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ಕೇವಲ C(n,m) ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ 6 ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು 2 ರಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) 4 ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ 4-ಬಿಟ್ ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು m one ಮತ್ತು (nm) ಶೂನ್ಯ ಬಿಟ್‌ಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ n-ಬಿಟ್ ಬೈನರಿ ಸೆಟ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಹುಡುಕಾಟಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಹುಡುಕಾಟವು ಪಕ್ಕದ ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಶಿಫ್ಟ್ (ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೊಸಿಟಿವ್-ಶಿಫ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು) ನೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸಿಟಿವ್-ಶಿಫ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಬೈನರಿ ಸೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ 1 ಗಳು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ( ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ):

ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಈ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮಧ್ಯಂತರ ಬೈನರಿ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ವರ್ಗಾವಣೆ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸಿಟಿವ್-ಶಿಫ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ವರ್ಗಾವಣೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವರ್ಗಾವಣೆಗಾಗಿ ಬಿಟ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಶಿಫ್ಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೊಸಿಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎಡ ಶಿಫ್ಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೊಸಿಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಮುಂದಿನ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಒಂದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದ ಜೋಡಿ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು 01 ಅನ್ನು 10 (ಪರಿವರ್ತನೆ) ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕ ಅಂಕೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿ 10 ಸ್ಥಾನಾಂತರದ ನಂತರ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (ಶಿಫ್ಟ್). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟಕಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ನಂತರ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕವನ್ನು ಪಡೆದಾಗಲೂ ಶಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವರ್ಗಾವಣೆಯ ನಂತರ ಪಡೆದ ಜೋಡಿ 10 ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಬಿಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಶಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಎರಡು ಸತತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ (15) ಕೇವಲ ವರ್ಗಾವಣೆ (T") ಅನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ (16) ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಶಿಫ್ಟ್‌ನಿಂದ ಪೂರಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ( T"+S"):

ಬಲ-ಶಿಫ್ಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೊಸಿಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 01 ರ ಬಲಬದಿಯ ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು 10 (ಎಡಭಾಗದ ಬಿಟ್‌ಗಳ ಬದಲಿಗೆ) ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೇವಲ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸಿಷನ್ ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಗಮನಾರ್ಹ ಬಿಟ್‌ಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಬಲಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಘಟಕಗಳಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ (3) ಕೇವಲ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸಿಷನ್ (ಟಿ") ಅನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ (4) ವರ್ಗಾವಣೆಯು ಶಿಫ್ಟ್‌ನಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ( T"+S"):

ಮೂಲ 2 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ ಎರಡೂ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬಲ ಶಿಫ್ಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸಿಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆ (B" n ,…B" j , …B" 1), ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಯೋಜಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ (B n,…B j,…B 1) ಯಾವಾಗಲೂ ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಈ ಸಂಯೋಜಕ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡುಗಳ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಟಿ ಶಕ್ತಿಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮದ ಶೂನ್ಯ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n=6 ಅಂಕೆಗಳ f =1 ಮತ್ತು t =3 ರ 4 ನೇ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ (001110). ಆದ್ದರಿಂದ, ಪುನರಾವರ್ತನೆ 5 ರಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ವರ್ಗಾವಣೆ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪರಿಗಣಿತ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೊಸಿಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ತುಲನಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಶಿಫ್ಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೋಲಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು 2 ರ 4 ಅಂಶಗಳ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಡ (TSL) ಮತ್ತು ಬಲ (TSR) ಶಿಫ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ 2 ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳು ರಿವರ್ಸ್ ಮಿರರ್ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಅವುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧ ತುದಿಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಬಿಟ್‌ಗಳ ಸೂಚಿಕೆಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅವು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, TSL ಅನುಕ್ರಮದ (0101) ಆರಂಭದಿಂದ ಎರಡನೇ ಬೈನರಿ ಮಾದರಿಯು TSR ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಎರಡನೆಯದು ಬೈನರಿ ಮಾದರಿಯ (1010) ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಸಂಖ್ಯೆ i ಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಸಂಖ್ಯೆ (ni+1) ನೊಂದಿಗೆ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ. ಈ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಸಂಬಂಧವು ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎರಡು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ವರ್ಗಾವಣೆ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ವರೂಪದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲು ಬೈನರಿ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಇರಲಿ, ಇದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನ n ಅಂಶಗಳಿಂದ ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿ m ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಸೆಟ್ (ಬೆಕ್ಕು) ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು, ತದನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು (ವಿಂಗಡಣೆ) ವಿಂಗಡಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು (n+m) ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳ n ಗುಂಪುಗಳಿವೆ. ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಒಟ್ಟು (n+m1) ಅಂತರಗಳಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ (n1) ಅಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ m ಅಂತರವಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಸೂಚಿಸಿದ ಜಾಗಗಳಲ್ಲಿ "|" ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಇರಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ. ನಾವು ಈಗ 1 ಅನ್ನು ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ (|) ಮತ್ತು 0 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ () ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು (n+m1) ಬಿಟ್‌ಗಳ ಬೈನರಿ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ (n1) ಒನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು m ಶೂನ್ಯ ಬಿಟ್‌ಗಳು, ಅದರ ಸ್ಥಳವು m ಮೂಲಕ n ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ (BBD) ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು (1001101) ನಿರ್ಮಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಐದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಬೈನರಿ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು (n+m1) ಬೈನರಿ ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ (n1) ಒಂದನ್ನು (ಅಥವಾ m ಸೊನ್ನೆಗಳು) ಜೋಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ (n+m1) ನಿಂದ (n1) ಅಥವಾ m ನಿಂದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ C(n+m1,n1) ಅಥವಾ C(n+m1,m), ಇದು n ಅಂಶಗಳ f(n,m) ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿ m. ಹೀಗಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಎಣಿಕೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಕಾನೂನುಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಶಿಫ್ಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಇದರ ನಂತರ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀವು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚೇತರಿಕೆ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡಬಹುದು.

m ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಮುಖ್ಯ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು 1 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (n+m1) ಬೈನರಿ ಅಂಕೆಗಳ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ (n1) ಒನ್ಸ್ ಮತ್ತು m ಶೂನ್ಯ ಅಂಕೆಗಳು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಅಂಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು 1 ರಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರತಿ i-th ಘಟಕದ ನಂತರ ಸತತವಾಗಿ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸೆಟ್ನ i-th ಅಂಶದ ನಿದರ್ಶನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು (1001101) ಬಳಸಿ, BBD ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಮೊದಲ ಐದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. , ಮತ್ತು ಓವರ್‌ಲೈನ್ ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು 7-ಬಿಟ್ ಬೈನರಿ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ 35 ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ 4 ಒನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 3 ಸೊನ್ನೆಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು 3 ರ 5 ಅಂಶಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅನೇಕರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಆದೇಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದೆ. ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಯೋಜನೆ . ನೀವು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಆಡಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಮವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 5 ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ (ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಡಿ, ಇ) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ 3 ಅಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಈ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ:
(ಎ, ಬಿ, ಸಿ), (ಎ, ಬಿ, ಡಿ),
(ಎ, ಬಿ, ಇ), (ಎ, ಸಿ, ಡಿ),
(ಎ, ಸಿ, ಇ), (ಎ, ಡಿ, ಇ),
(ಬಿ, ಸಿ, ಡಿ), (ಬಿ, ಸಿ, ಇ),
(ಬಿ, ಡಿ, ಇ), (ಸಿ, ಡಿ, ಇ).
ಐದು ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಮೂರು ಅಕ್ಷರಗಳ 10 ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

5 ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ನಾವು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ 3 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ 3-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ,
(A, C, B) ಅನ್ನು (A, B, C) ಅದೇ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಪವಿಭಾಗ
ಒಂದು ಸೆಟ್ A ಎಂಬುದು B ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ A ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ A ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು B ಯ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ B ಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಉಪವಿಭಾಗದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಆದೇಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ!

ಸಂಯೋಜನೆ
ಸಂಯೋಜನೆ, k ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದು k ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

k ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ n ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪದನಾಮಗಳು
n ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, k ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, n C k ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಎನ್ ಸಿ ಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ . ನಾವು ಯಾವುದೇ k ≤ n ಗಾಗಿ n C k ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, n C n = 1 ಎಂಬುದು ನಿಜ, ಏಕೆಂದರೆ n ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗಿನ ಒಂದು ಸೆಟ್ n ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಸ್ವತಃ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, n C 1 = n ಏಕೆಂದರೆ n ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ 1 ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ n ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, n C 0 = 1 ಏಕೆಂದರೆ n ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗಿನ ಒಂದು ಸೆಟ್ 0 ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ∅. ಇತರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ನೋಡಲು, ನಾವು ಉದಾಹರಣೆ 1 ಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ.

3 ಅಂಶಗಳ ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜನೆಯು 6, ಅಥವಾ 3!, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
3! . 5 ಸಿ 3 = 60 = 5 ಪಿ 3 = 5. 4. 3,
ಆದ್ದರಿಂದ
.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ k ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n C k ಬಾರಿ ಈ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು k!, k ಅಂಶಗಳಿಂದ n ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು:
ಕೆ!. n C k = n P k
n C k = n P k /k!
n C k = (1/k!). ಎನ್ ಪಿ ಕೆ
ಎನ್ ಸಿ ಕೆ =

n ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಕೆ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು
n ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳಿಂದ ಕೆ ಅಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು n C k ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
(1) n C k =,
ಅಥವಾ
(2) n C k =

n C k ಗಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ . ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯ ಕಾರಣವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುವುದು.

ದ್ವಿನಾಮ ಗುಣಾಂಕ

ಉದಾಹರಣೆ 2(1) ಮತ್ತು (2) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ
ಎ) (1) ಪ್ರಕಾರ,
.
ಬಿ) (2) ಪ್ರಕಾರ,

n/k ಎಂದರೆ ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರನಾವು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು (2) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ
,
ಬಳಸಿ (1), ಮತ್ತು
,
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (2).

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
,
ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 2 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ
.
7 ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ 5-ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯು 7 ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ 2-ಅಂಶದ ಉಪವಿಭಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಿಂದ 5 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಅವು 2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (A, B, C, D, E, F, G):


ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪರ್ಯಾಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಾತ್ರ k ಮತ್ತು ಗಾತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು
ಮತ್ತು n C k = n C n-k
n ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸೆಟ್‌ನ k ಗಾತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n - k ಗಾತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. n ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ k ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ವಸ್ತುಗಳು.

ಈಗ ನಾವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಮಿಚಿಗನ್ ಲಾಟರಿ. ಮಿಚಿಗನ್‌ನ ಎರಡು ಸಾಪ್ತಾಹಿಕ ವಿನ್‌ಫಾಲ್ ಲಾಟರಿಯು ಜಾಕ್‌ಪಾಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ... ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷ, 2 ಮಿಲಿಯನ್ US ಡಾಲರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಡಾಲರ್‌ಗೆ, ಆಟಗಾರನು 1 ರಿಂದ 49 ರವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಾಟಬಹುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಲಾಟರಿಯಲ್ಲಿ ಡ್ರಾ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಆಟಗಾರನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. (

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಘಟನೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವರು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತಾರೆ.

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರ

ಅಂಶಗಳ k ಗುಂಪುಗಳು ಇರಲಿ, ಮತ್ತು i-th ಗುಂಪು n i ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ N ಅನ್ನು N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ. ಅಂಶಗಳ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಇರಲಿ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಗುಂಪು n 1 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - n 2 ಅಂಶಗಳ. ಈ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಜೋಡಿಯು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ? ನಾವು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋದೆವು, ಎರಡನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ n 2 ಅಂತಹ ಜೋಡಿಗಳು ಇರಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. N 2 ಅಂತಹ ಜೋಡಿಗಳು ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ n 1 ಅಂಶಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು n 1 *n 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?
ಪರಿಹಾರ: n 1 =6 (ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು 1, 2, 3, 4, 5, 6 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು), n 2 = 7 (ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು 0 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಂಕೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (0, 2, 4, 6 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರನೇ ಅಂಕಿಯಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು).
ಆದ್ದರಿಂದ, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. n 1 =n 2 =...n k =n ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯ ನಂತರದ ಅಂಶವನ್ನು ಗುಂಪಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n k ಆಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಆಯ್ಕೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 3. 1, 5, 6, 7, 8 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?
ಪರಿಹಾರ.ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಿಯಕ್ಕೂ ಐದು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ N=5*5*5*5=5 4 =625.

n ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆ.

m ಮೂಲಕ n ಅಂಶಗಳ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ನಿಂದ ವಸತಿ ಎನ್ಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳು ಮೀಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಯಾವುದೇ ಆದೇಶ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಮೀಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಆಯ್ದ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳು ಎನ್ಅಂಶಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಎರಡು ಮೂರು ಅಂಶಗಳ (1, 2, 3) ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2). ನಿಯೋಜನೆಗಳು ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು.

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು A n m ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಕಾಮೆಂಟ್: n!=1*2*3*...*n (ಓದಲು: “en ಅಪವರ್ತನೀಯ”), ಜೊತೆಗೆ, ಇದು 0!=1 ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5. ಎಷ್ಟು ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಹತ್ತಾರು ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ಬೆಸವಾಗಿದೆ?
ಪರಿಹಾರ:ಏಕೆಂದರೆ ಐದು ಬೆಸ ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 1, 3, 5, 7, 9, ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಐದು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಇರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೀಗಿರುತ್ತವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಸಂಯೋಜನೆನಿಂದ ಎನ್ಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳು ಮೀಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಯಾವುದೇ ಆದೇಶವಿಲ್ಲದ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಮೀಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಆಯ್ದ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳು ಎನ್ಅಂಶಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 6. ಸೆಟ್‌ಗೆ (1, 2, 3), ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (1, 2), (1, 3), (2, 3).

n ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿ m

ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು C n m ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಲಭ್ಯವಿರುವ ಆರು ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಓದುಗರು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ:ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಆರು ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

n ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆನಿಂದ ಎನ್ಅಂಶಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದೇಶ ಸೆಟ್ಈ ಅಂಶಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 7a.ಮೂರು ಅಂಶಗಳನ್ನು (1, 2, 3) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

n ಅಂಶಗಳ ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು P n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು P n =n! ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8.ವಿವಿಧ ಲೇಖಕರ ಏಳು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಕಪಾಟಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ:ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಏಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ. ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಚರ್ಚೆ.ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ (ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ನಿಯೋಜನೆಗಳು) ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತತ್ವ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎಷ್ಟು ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು (ಅಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ).

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವು ನಮಗೆ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೊನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 9.ಪೋಷಕರ ಸಭೆಯಲ್ಲಿ 20 ಮಂದಿ ಇದ್ದಾರೆ. 5 ಜನರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕಾದರೆ ಪೋಷಕ ಸಮಿತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ?
ಪರಿಹಾರ:ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮಿತಿಯ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಹೆಸರುಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದೇ ಜನರು ಅದರ ಭಾಗವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಇದು ಒಂದೇ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು 20 ಅಂಶಗಳ 5 ಪ್ರತಿ.

ಪ್ರತಿ ಸಮಿತಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೆಲಸದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಜವಾಬ್ದಾರರಾಗಿದ್ದರೆ ವಿಷಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸಮಿತಿಯ ಅದೇ ಪಟ್ಟಿ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅದರೊಳಗೆ ಬಹುಶಃ 5 ಇವೆ! ಆಯ್ಕೆಗಳು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳುಆ ವಿಷಯ. ವಿಭಿನ್ನ (ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಜವಾಬ್ದಾರಿಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ) ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳು 20 ಅಂಶಗಳ 5 ಪ್ರತಿ.

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು
1. ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?

2. ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಓದುವ ಎಷ್ಟು ಐದು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ?

3. ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ವಿಷಯಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ದಿನಕ್ಕೆ ಐದು ಪಾಠಗಳಿವೆ. ಒಂದು ದಿನದ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀವು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದು?

4. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ 20 ಜನರಿದ್ದರೆ ಸಮ್ಮೇಳನಕ್ಕೆ 4 ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು?

5. ಪ್ರತಿ ಲಕೋಟೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಎಂಟು ವಿಭಿನ್ನ ಲಕೋಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟು ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು?

6. ಇಬ್ಬರು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಆರು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಆಯೋಗವು ಮೂರು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಹತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು?