ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು

ಈ ಲೇಖನವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. A B ರೂಪದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, ನಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ 2 0, 5 ln 3, ನಂತರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ನಿಯಮಗಳಿವೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ:

• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಛೇದಕಗಳಂತೆ ಕಳೆಯುವಾಗ, ಕೇವಲ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: a d ± c d = a ± c d, ಮೌಲ್ಯಗಳು a, c ಮತ್ತು d ≠ 0 ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.
• ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ತದನಂತರ ಅದೇ ಘಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಅಥವಾ ಕಳೆಯಿರಿ. ಅಕ್ಷರಶಃ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a b ± c d = a · p ± c · r s, ಇಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು b · p = d · r = s . ಯಾವಾಗ p = d ಮತ್ತು r = b, ನಂತರ a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಛೇದಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಂತರ ನಾವು b · c d = a · c b · d ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ.
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡನೇ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: a b: c d = a b · d c.

ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಅವಲಂಬಿಸಬೇಕಾದ ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳಿವೆ:

• ಸ್ಲಾಶ್ ಎಂದರೆ ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆ;
• ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯು ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಆಸ್ತಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್;
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯ ಅನ್ವಯ.

ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ರೂಪದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಂತರವೇ ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಒಂದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

8 2, 7 ಮತ್ತು 1 2, 7 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ನಂತರ ನಾವು 8 + 1 2, 7 ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸೇರ್ಪಡೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

ಉತ್ತರ: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

ಉದಾಹರಣೆ 2

1 - 2 3 · ಲಾಗ್ 2 3 · ಲಾಗ್ 2 5 + 1 ಫಾರ್ಮ್ 2 3 3 · ಲಾಗ್ 2 3 · ಲಾಗ್ 2 5 + 1 ರ ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯೋಣ.

ಸಮಾನ ಛೇದಗಳನ್ನು ನೀಡಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದರ್ಥ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1 - 2 3 ಲಾಗ್ 2 3 ಲಾಗ್ 2 5 + 1 - 2 3 3 ಲಾಗ್ 2 3 ಲಾಗ್ 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 ಲಾಗ್ 2 3 ಲಾಗ್ 2 5 + 1

ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿತ. ಇದು ಇಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿತವನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೇರಿಸಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಾಗಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು 2 3 5 + 1 ಮತ್ತು 1 2 ಸೇರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು ಛೇದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು 2 · 3 5 + 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವಾಗ, ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅದು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು 3 5 + 1 ಆಗಿದೆ. ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ರೂಪ 4 2 · 3 5 + 1 ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 1 2 ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿತವು 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

ಉತ್ತರ: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂಕಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಛೇದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲ. ಮೊದಲು ನೀವು ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 4

1 6 · 2 1 5 ಮತ್ತು 1 4 · 2 3 5 ರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು 12 · 2 3 5 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು 2 + 1 6 ಮತ್ತು 2 · 5 3 · 2 + 1 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಅಂಕಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಛೇದವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಕಡಿತವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಒಂದರ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

ನಂತರ ಅವರು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

ಉತ್ತರ: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3 ರ ಮೂಲವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು 3 1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ನಮೂದು 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 ರೂಪದ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು

ಮೊದಲ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ ವ್ಯವಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

A, C ಮತ್ತು D (D ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ A D ± C D = A ± C D ಅದರ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ODZ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಂತರ A, C, D ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು a 0 , c 0 ಮತ್ತು d 0. A D ± C D ರೂಪದ ಪರ್ಯಾಯವು 0 d 0 ± c 0 d 0 ರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಸೇರ್ಪಡೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು 0 ± c 0 d 0 ರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ A ± C D ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು 0 ± c 0 d 0 ರೂಪದ ಅದೇ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ODZ, A ± C D ಮತ್ತು A D ± C D ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಆಯ್ದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು A D ± C D = A ± C D ರೂಪದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ನೀವು ಒಂದೇ ಛೇದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ನೀವು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಕಳೆಯಬೇಕು. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಇದು ಗಮನಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 3 x 1 3 + 1 ಮತ್ತು x 1 3 + 1 2 ಅಥವಾ 1 2 sin 2 α ಮತ್ತು sin a cos a. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಒಂದೇ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸರಳೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

ಪರಿಹಾರ

1. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಒಂದೇ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು. ನಂತರ ನಾವು x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ನಂತರ ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ನಾವು x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
2. ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಛೇದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   ಸೇರ್ಪಡೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಅಂಶವನ್ನು ಮಡಚಬಹುದು, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (l g x + 2) 2 ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ. ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ x - 1 x - 1 + x x + 1 ರೂಪದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ನೀವು ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಛೇದವನ್ನು ಅದರ ನಂತರದ ಕಡಿತದೊಂದಿಗೆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

ಆದ್ದರಿಂದ x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಅವಶ್ಯಕ.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು x - 1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

ಉತ್ತರ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿತವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸೇರಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವಾಗ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡಬೇಕು, ಇದು ಛೇದಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆ ಕಾಣುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

ಪರಿಹಾರ

1. ಛೇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು 3 x 7 + 2 · 2 ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ x 7 + 2 · 2 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವಾಗಿ ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಗುಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. ಛೇದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅನಗತ್ಯ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x 4 ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ln(x + 1) ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ. ನಂತರ ನಾವು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - ಪಾಪ x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - ಪಾಪ x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - ಪಾಪ x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ರೂಪ 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹೋಗಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. x) 2. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ನಾವು cos x - x · cos x + x 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

ಉತ್ತರ:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - ಪಾಪ x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - ಪಾಪ x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನೀವು ಕಡಿತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 8

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 ಮತ್ತು 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ಪಾಪ (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 ಪಾಪ (2 x - x)

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು x 2 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ಪಾಪ (2 x - x)

ಉತ್ತರ: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ಪಾಪ (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · ಪಾಪ (2 · x - x) .

ವಿಭಾಗ

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಾಗವು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಎರಡನೇ ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿದಾಗ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿ x + 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 ಪಾಪ (2 · x - x) , ನಂತರ x + 2 · x x ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ಪಾಪ (2 x - x)

ಘಾತ

ಘಾತೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ, ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು A ಮತ್ತು C, ಅಲ್ಲಿ C ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ODZ ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ r ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ A C r ಸಮಾನತೆ A C r = A r C r ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಗಣಿಸಿ:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ವಿಧಾನ

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹಲವಾರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಗಿಸಿ, ನಂತರ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಳೆಯಿರಿ. ಆವರಣಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಒಂದೇ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ 1 - x cos x ಮತ್ತು 1 c o s x, ಆದರೆ ವ್ಯವಕಲನಗಳನ್ನು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಮೊದಲು, ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು 1 - x cos x - x + 1 cos x · x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನೀವು ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

ಉತ್ತರ: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

1. ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಒಂದೇ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ. .

ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ತದನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

2. ವ್ಯವಕಲನ.

ಸಮಾನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲು, ನೀವು ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶದಿಂದ ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ನ ಅಂಶವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದೇ ಛೇದವನ್ನು ಬಿಡಬೇಕು. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕು, ನಂತರ ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶದಿಂದ ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಸಹಿ ಮಾಡಬೇಕು. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾದರೆ, ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣದಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ವ್ಯವಕಲನದ ಭಾಗವು ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮಿನುಯೆಂಡ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಷೇರುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ, ನಂತರ ಅವರು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾರೆ. . ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ನೀವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾದಾಗ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. .

3. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

4. ಗುಣಾಕಾರ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಛೇದವಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು.

ಗುಣಿಸುವಾಗ, ನೀವು (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ) ಕಡಿತವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ. .

ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು 1 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

5. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ.

ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ. .

6. ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯ ಛೇದವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಛೇದನದಂತೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. .

ಅದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು 1 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

7. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಾಗ.

ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. .

8. ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು.

ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಹೊಸ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದರ ವಿಲೋಮ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆಪರಸ್ಪರ ಭಾಗವು ಇರುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1. ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಭಾಗ ಅಥವಾ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಹೊಸ್ಟೆಸ್ 20 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು;ಅವಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಶಾಪಿಂಗ್‌ಗೆ ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದಳು. ಖರೀದಿಗಳ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕುಸಂಖ್ಯೆ 20. ನೀವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು:

ಉತ್ತರ. ಹೊಸ್ಟೆಸ್ 8 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕಳೆದರು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 30 ರಿಂದ ಹುಡುಕಿ. ಪರಿಹಾರ. .

ನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪರಿಹಾರ. .

1. ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಈ ಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ 12 ಕೊಮ್ಸೊಮೊಲ್ ಸದಸ್ಯರಿದ್ದಾರೆ, ಅಂದರೆತರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಭಾಗಗಳು. ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿದ್ದಾರೆ?

ಪರಿಹಾರ. .

ಉತ್ತರ. 20 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿಇದು 34 ಆಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ. .

ಉತ್ತರ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ.

1. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಒಬ್ಬ ಕೆಲಸಗಾರ ಒಂದು ದಿನದಲ್ಲಿ 40 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮಾಸಿಕ ಯೋಜನೆಯು 400 ಭಾಗಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಕೆಲಸಗಾರನು ಮಾಸಿಕ ಕಾರ್ಯದ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದಾನೆ?

ಪರಿಹಾರ. .

ಉತ್ತರ. ಕೆಲಸಗಾರ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದಮಾಸಿಕ ಯೋಜನೆಯ ಭಾಗ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು (40 ಭಾಗಗಳು) ಇಡೀ (400 ಭಾಗಗಳು) ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಸಿಕ ಯೋಜನೆಗೆ ದಿನಕ್ಕೆ ತಯಾರಿಸಿದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

1. ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು.

ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಮೊದಲ ದಾರಿ. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. .

ಎರಡನೇ ದಾರಿ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಲು, ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಛೇದವು ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ).

ಉದಾಹರಣೆ.

1. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಹೋಲಿಸುವುದು. ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಗಳು, ಹತ್ತನೇ, ನೂರನೇ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬೇಕು. ಇಡೀ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಹೆಚ್ಚು ಹತ್ತನೇ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ನೂರರಷ್ಟು ಇರುವ ಒಂದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಮೂರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ 2.432; 2.41 ಮತ್ತು 2.4098 ಮೊದಲನೆಯದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ನೂರರಷ್ಟು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಹತ್ತನೇ ಭಾಗವು ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

1. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು 10, 100, 1000, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವುದು.

ದಶಮಾಂಶವನ್ನು 10, 100, 1000, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲು. ನೀವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಸರಿಸಬೇಕು. ಬಲಕ್ಕೆ ಸಹಿ ಮಾಡಿ. ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. 15.45 10 = 154.5; 32.3 · 100 = 3230.

ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು 10, 100, 1000, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ನೀವು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡಕ್ಕೆ ಸಹಿ ಮಾಡಿ. ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಸರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಅಕ್ಷರಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 184.35: 100 = 1.8435; 3.5: 100 = 0.035.

1. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕೆಯನ್ನು ಅಂಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.

ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ಅಲ್ಪವಿರಾಮಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಸಾಕು ಮತ್ತು ಗುಣಕ ಮತ್ತು ಗುಣಕದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವಂತೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪವಿರಾಮದೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 1. 2.064 · 0.05.

ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ 2064 · 5 = 10320. ಮೊದಲ ಅಂಶವು ಮೂರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಎರಡನೆಯದು ಎರಡು. ಉತ್ಪನ್ನವು ಐದು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 0.10320 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದು: 2.064 · 0.05 = 0.1032.

ಉದಾಹರಣೆ 2. 1.125 · 0.08; 1125 · 8 = 9000.

ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 3 + 2 = 5 ಆಗಿರಬೇಕು. ನಾವು ಎಡಕ್ಕೆ 9000 ಗೆ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ (009000) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಐದು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ನಾವು 1.125 · 0.08 = 0.09000 = 0.09 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

1. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು.

ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: 1) ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು; 2) ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಾಗ) ಭಾಗಿಸುವುದು.

ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಶೂನ್ಯವಾಗುವವರೆಗೆ ವಿಭಜನೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಾಗ) ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಭಾಜಕವನ್ನು 10, 100, 1000, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ. ಬಾರಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಶವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಲಾಭಾಂಶವನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ).

ಉದಾಹರಣೆ. 47.04: 0.0084 = 470400: 84 = 5600;

1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಜಂಟಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:

ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಕಡಿತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂಶವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಜಂಟಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಂತಿಮ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಪರಿವರ್ತನೆ ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:

ಆಸಕ್ತಿ

ಶೇಕಡಾವಾರು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೇಕಡಾವಾರು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೂರನೇ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ನಮ್ಮ ದೇಶದ ಎಲ್ಲಾ ನಿವಾಸಿಗಳಲ್ಲಿ 54 ನೂರರಷ್ಟು ಮಹಿಳೆಯರು" ಎಂದು ಹೇಳುವ ಬದಲು "ನಮ್ಮ ದೇಶದ ಎಲ್ಲಾ ನಿವಾಸಿಗಳಲ್ಲಿ 54 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಮಹಿಳೆಯರು" ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಹೇಳಬಹುದು. "ಶೇಕಡಾವಾರು" ಪದದ ಬದಲಿಗೆ ಅವರು % ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 35% ಎಂದರೆ 35 ಪ್ರತಿಶತ.

ಶೇಕಡಾವಾರು ನೂರನೇ ಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಶೇಕಡಾವಾರು 100 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗವು 0.49, ಅಥವಾ, 49% ಎಂದು ಓದಬಹುದು ಮತ್ತು ಛೇದವಿಲ್ಲದೆ 49% ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ನೂರರಷ್ಟು ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಎಂದು ಬರೆಯುವುದು ಸುಲಭ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ: ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಎಂದು ಬರೆಯಲು, ನೀವು ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 0.33 = 33%; 1.25 = 125%; 0.002 = 0.2%; 21 = 2100%.

ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: 7% = 0.07; 24.5% = 0.245; 0.1% = 0.001; 200% = 2.

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೇಕಡಾವಾರು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಕಾರ್ಯ. ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಚಾಲಕರ ತಂಡವು 9 ಟನ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸೇವಿಸಬೇಕು. ಶೇ.20ರಷ್ಟು ಇಂಧನ ಉಳಿತಾಯಕ್ಕೆ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಚಾಲಕರು ಸಾಮಾಜಿಕ ಸಂಕಲ್ಪ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಟನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಧನ ಉಳಿತಾಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, 20% ರ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ 0.2 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ:

20% = 0.2; 9 · 0.2 = 1.8 (ಮೀ).

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

(ಮೀ)

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಲವಾರು ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಕು.

ಕಾರ್ಯ. 1963 ರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಕೆಲಸಗಾರನು ತಿಂಗಳಿಗೆ 90 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದನು, ಮತ್ತು 1964 ರಲ್ಲಿ ಅವನು 30% ಹೆಚ್ಚು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು. 1964 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಎಷ್ಟು ಸಂಪಾದಿಸಿದರು?

ಪರಿಹಾರ (ಮೊದಲ ವಿಧಾನ).

1) ಕೆಲಸಗಾರನು ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದನು?

(ರಬ್.)

90 + 27 = 117 (ರಬ್).

ಎರಡನೇ ದಾರಿ.

1) 1964 ರಲ್ಲಿ ಕೆಲಸಗಾರನು ಹಿಂದಿನ ಗಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು?

100% + 30% = 130%.

2) 1964 ರಲ್ಲಿ ಕೆಲಸಗಾರನ ಮಾಸಿಕ ಸಂಬಳ ಎಷ್ಟು?

(ರಬ್.)

2. ಅದರ ಶೇಕಡಾವಾರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಕಾರ್ಯ. ಸಾಮೂಹಿಕ ಫಾರ್ಮ್ 280 ಹೆಕ್ಟೇರ್ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಜೋಳವನ್ನು ನೆಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಒಟ್ಟು ಬಿತ್ತನೆ ಪ್ರದೇಶದ 14% ಆಗಿದೆ. ಸಾಮೂಹಿಕ ಜಮೀನಿನ ಬಿತ್ತಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ 14% ಬದಲಿಗೆ ನಾವು 0.14 ಅಥವಾ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ. 14% = 0.14; 280: 0.14 = 2000 (ಹೆ). ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಈ ರೀತಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು:

(ಹೆ)

ಅದರಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರತಿಶತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಶೇಕಡಾ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 100 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಕು.

ಕಾರ್ಯ. ಮಾರ್ಚ್ನಲ್ಲಿ ಸಸ್ಯವು 125.4 ಕರಗಿತುಟಿ ಲೋಹ, ಯೋಜನೆಯನ್ನು 4.5% ಮೀರಿದೆ. ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮಾರ್ಚ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಟನ್ ಲೋಹವನ್ನು ಸಸ್ಯವು ಕರಗಿಸಬೇಕಿತ್ತು?

ಪರಿಹಾರ.

1) ಮಾರ್ಚ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಸ್ಯವು ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾವಾರು ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದೆ?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) ಸಸ್ಯವು ಎಷ್ಟು ಟನ್ ಲೋಹವನ್ನು ಕರಗಿಸಬೇಕು?

(ಹೆ)

1. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಶೇಕಡಾವಾರು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಕಾರ್ಯ. ನಾವು 300 ಹೆಕ್ಟೇರ್ ಭೂಮಿಯನ್ನು ಉಳುಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ದಿನ 120 ಹೆಕ್ಟೇರ್ ನಲ್ಲಿ ಉಳುಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿತ್ತು. ಮೊದಲ ದಿನ ಯಾವ ಶೇಕಡಾವಾರು ಕೆಲಸವನ್ನು ಉಳುಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ.

ಮೊದಲ ದಾರಿ. 300 ಹೆಕ್ಟೇರ್ 100%, ಅಂದರೆ 1% 3 ಹೆಕ್ಟೇರ್ ಆಗಿದೆ. 120 ಹೆಕ್ಟೇರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ 1% ರಷ್ಟಿರುವ 3 ಹೆಕ್ಟೇರ್ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೊದಲ ದಿನದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿಯನ್ನು ಉಳುಮೆ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

120: 3 = 40(%).

ಎರಡನೇ ದಾರಿ. ಮೊದಲ ದಿನದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿಯ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಉಳುಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೇಕಡಾವಾರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು a ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ , ನೀವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು a ನಿಂದ b ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 100 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳು.

ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು, ರೂಪಾಂತರಗಳು ಯಾವುವು - ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬರೋಣ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು?ಹೌದು, ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಸೇರಿಸಿ, ಕಳೆಯಿರಿ, ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಗಿಸಿ.

ಇದರೊಂದಿಗೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗಳು ದಶಮಾಂಶಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದು ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಒಳ್ಳೆಯದು, ದಶಮಾಂಶ. ಒಂದೇ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನೀವು ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಹಾಕಬೇಕು.

ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಉಪಯೋಗವಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ ಜೊತೆ ಕ್ರಮಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳುಅವರು ಹೆಚ್ಚು ಕುತಂತ್ರ ಮಾಡುವರು. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯ! ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಅಕ್ಷರಗಳು, ಸೈನ್‌ಗಳು, ಅಜ್ಞಾತಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ! ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾವು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು.

ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಒಂದೇ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಕಳೆಯಬಹುದು) (ನಾನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ!). ಸರಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮರೆತುಹೋಗುವವರಿಗೆ ನಾನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಸೇರಿಸುವಾಗ (ಕಳೆಯುವಾಗ), ಛೇದವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡಲು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಮಾದರಿ:

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ:

ಛೇದಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ, ಒಂದು ಭಾಗದ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ (ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಮತ್ತೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ!), ನಾವು ಛೇದಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ! ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು 2/5 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ 4/10 ಭಾಗವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಛೇದಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡುವ ಏಕೈಕ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ. 2/5 ಮತ್ತು 4/10 ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ ಅದೇ ಭಾಗ! ಕೇವಲ 2/5 ಮಾತ್ರ ನಮಗೆ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 4/10 ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸರಿ.

ಮೂಲಕ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಯಾವಾಗ ಅನಾನುಕೂಲನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅದೇ ವಿಷಯ, ಆದರೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯೂ ಇದೇ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು 16 ರಿಂದ 48 ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. 3 ರಿಂದ ಸರಳ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಅಂತಹದನ್ನು ಕಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಹೇಗಿರಬೇಕು?! ಏಳರಲ್ಲಿ ಒಂಬತ್ತು ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ! ಆದರೆ ನಾವು ಬುದ್ಧಿವಂತರು, ನಮಗೆ ನಿಯಮಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ! ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳೋಣ ಪ್ರತಿಭಿನ್ನರಾಶಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು "ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅದ್ಭುತ! 63 ರ ಬಗ್ಗೆ ನನಗೆ ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತಾಯಿತು? ತುಂಬಾ ಸರಳ! 63 ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 7 ಮತ್ತು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆ. ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ!

ನೀವು ಹಲವಾರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು (ವ್ಯವಕಲನ) ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ. ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಇದೇ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಏನಾಗಿರುತ್ತದೆ? ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, 2, 4, 8, ಮತ್ತು 16 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು. ನಾವು 1024 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ದುಃಸ್ವಪ್ನ. ಸಂಖ್ಯೆ 16 ಅನ್ನು 2, 4 ಮತ್ತು 8 ರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ 16 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1/2 ಅನ್ನು 8/16 ಆಗಿ, 3/4 ಅನ್ನು 12/16 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಮೂಲಕ, ನೀವು 1024 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲರೂ ಈ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ...

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ. ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ... ಇದು 29/16 ಆಗಿರಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ (ವ್ಯವಕಲನ) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಂತೋಷವು ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದವರಿಗೆ ಲಭ್ಯವಿದೆ ... ಮತ್ತು ಯಾವುದನ್ನೂ ಮರೆಯಲಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದೇ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಹೊಸ ರೇಕ್ ಇಲ್ಲಿ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳಲಿದೆ, ಹೌದು...

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸಹಾಯದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಗುಣಾಕಾರ! ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯು ಇದನ್ನೇ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ X ಗೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. (ಅದು ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತದೆ!). ಆದರೆ ನೀವು ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ! ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಛೇದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮರೆಯಬಾರದು:

ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏನನ್ನೂ ಗುಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದಿಲ್ಲ! ಮತ್ತು ಈಗ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ನೋಡುವಾಗ, ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ x (x+1) ಛೇದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಈ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು (x+1) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. . ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ - x ಗೆ. ನೀವು ಪಡೆಯುವುದು ಇದು:

ಸೂಚನೆ! ಆವರಣಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ! ಇದು ಅನೇಕ ಜನರು ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕುವ ಕುಂಟೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಆವರಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ. ನಾವು ಗುಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಆವರಣಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಲ್ಲಾಅಂಶ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾಛೇದ! ಮತ್ತು ಅವರ ವೈಯಕ್ತಿಕ ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲ ...

ಬಲಭಾಗದ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಬಲಭಾಗದ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಅಥವಾ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಗುಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ! ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಛೇದಕಗಳಲ್ಲಿ (ಯಾವುದೇ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಉತ್ತರ ಸಿಕ್ಕಿತು. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡವರು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಎಡಗೈಯಿಂದ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ!

ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿ. ಅನೇಕರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚುರುಕಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಸಂಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಹಾಗೆ: 2 + 1/2 + 3/4= ? ಎರಡು ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬೇಕು? ನೀವು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಜೋಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನೀವು ಎರಡರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದು ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ! 2=2/1. ಹೀಗೆ. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಯೇ, ಛೇದವು ಒಂದು. 7 7/1, 3 3/1 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಅಕ್ಷರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಅಷ್ಟೇ. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, ಇತ್ಯಾದಿ. ತದನಂತರ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಸರಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಜ್ಞಾನವು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಆಗಿತ್ತು. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಕಾರದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಯಿತು. ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಪರಿಹರಿಸೋಣವೇ?)

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:

ಉತ್ತರಗಳು (ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ/ವಿಭಾಗ - ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ.

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು. ನಂತರ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

1. ಘಾತವನ್ನು ಮೊದಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ಘಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು;
2. ನಂತರ - ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ;
3. ಕೊನೆಯ ಹಂತವೆಂದರೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಣಗಳಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ - ಆವರಣದೊಳಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೊದಲು ಎಣಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಡಿ: ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಾಗ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕವಾದವುಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ, ತದನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆವರಣಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲು ನಾವು ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. 14 = 7 · 2 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಂತರ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪದವಿಗಳಿವೆ - ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಎಣಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. 9 = 3 3 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ನೀವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅಂಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ಛೇದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು.

ನೀವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ:

ಬಹುಮಹಡಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ನಾವು "ಶುದ್ಧ" ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಂಶ ಅಥವಾ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದರೆ ಏನು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗ? ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದೀರ್ಘ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ:

ಬಹು-ಹಂತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಒಂದೇ ಒಂದು ನಿಯಮವಿದೆ: ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕು. "ಹೆಚ್ಚುವರಿ" ಮಹಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸ್ಲಾಶ್ ಎಂದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಭಾಗವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಬಹು-ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಬಹುಮಹಡಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ವಿಭಜಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು 1 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. 12 = 12/1; 3 = 3/1. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಿಮ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೊದಲು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬಹು-ಹಂತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗಳು

ಬಹು-ಹಂತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯಿದೆ, ಅದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ನೀವು ತಪ್ಪು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ:

1. ಅಂಶವು ಏಕ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು 12/5 ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
2. ಅಂಶವು 7/12 ರ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ಗಾಗಿ ನಾವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಎಣಿಸಿದರೆ, ಉತ್ತರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಸರಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ: ಮುಖ್ಯ ಭಾಗದ ವಿಭಜಿಸುವ ರೇಖೆಯು ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೇಖೆಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿರಬೇಕು. ಮೇಲಾಗಿ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ.

ನೀವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬೇಕು:

ಹೌದು, ಇದು ಬಹುಶಃ ಅಸಹ್ಯಕರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಸರಿಯಾಗಿ ಎಣಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬಹು-ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ನಿಜವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕವಾದವುಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ, ತದನಂತರ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ:

ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ. ಓದುಗರಿಗೆ ಬೇಸರವಾಗದಿರಲು, ನಾನು ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇನೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಬಹು-ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಾವು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ 46/1 ಅನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ.

ಎರಡೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಪಟ್ಟಿಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೆಲವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಬಹುಶಃ ಇದು ನಿಜ. ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ತಪ್ಪುಗಳ ವಿರುದ್ಧ ನಮ್ಮನ್ನು ವಿಮೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮುಂದಿನ ಬಾರಿ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾದುದನ್ನು ನೀವೇ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: ವೇಗ ಅಥವಾ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ.

ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ಸರಳ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ಇರಬಹುದು:

• ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಕಳೆಯಿರಿ, ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ,
• ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಇಲ್ಲಿದೆ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಚಿಹ್ನೆ "/" + - * :
_ಎರೇಸ್ ಕ್ಲಿಯರ್
ನಮ್ಮ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ತ್ವರಿತ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ 1/2+2/7 ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒತ್ತಿರಿ " ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ". ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ನಿಮಗೆ ಬರೆಯುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಮತ್ತು ನೀಡಲಿದೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಕಲು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಚಿತ್ರ.

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಬಳಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು

ಆನ್‌ಲೈನ್ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು

ನೀವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಮೈನಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಮೈನಸ್ನಿಂದ ಮೈನಸ್ ಪ್ಲಸ್ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯು ಅದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಒಂದು ಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕೇವಲ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಅದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಅದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.
ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ನಿಂದ ಮೈನಸ್ ಪ್ಲಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವಾಗ ನಾವು ಅದೇ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು (ಇಡೀ ಭಾಗವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು), ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸರಳವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ.

ನೀವು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ 3 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲು, ಮೊದಲ 2 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ, ನಂತರ ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಮುಂದಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿ, ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ 2 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.