Детално делумно решение на калкулатор за диференцијални равенки. Решавање на наједноставните диференцијални равенки од прв ред

I. Обични диференцијални равенки

1.1. Основни поими и дефиниции

Диференцијална равенка е равенка што поврзува независна променлива x, потребната функција yи неговите деривати или диференцијали.

Симболично, диференцијалната равенка е напишана на следниов начин:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Диференцијалната равенка се нарекува обична ако потребната функција зависи од една независна променлива.

Решавање на диференцијална равенкасе нарекува функција која ја претвора оваа равенка во идентитет.

Редоследот на диференцијалната равенкае редот на највисокиот извод вклучен во оваа равенка

Примери.

1. Размислете за диференцијална равенка од прв ред

Решението на оваа равенка е функцијата y = 5 ln x. Навистина, замена y"во равенката, го добиваме идентитетот.

А тоа значи дека функцијата y = 5 ln x– е решение на оваа диференцијална равенка.

2. Размислете за диференцијалната равенка од втор ред y" - 5y" +6y = 0. Функцијата е решение за оваа равенка.

Навистина,.

Заменувајќи ги овие изрази во равенката, добиваме: , – идентитет.

И ова значи дека функцијата е решение за оваа диференцијална равенка.

Интегрирање на диференцијални равенкие процес на изнаоѓање решенија за диференцијални равенки.

Општо решение на диференцијалната равенканаречена функција на формата , кој вклучува онолку независни произволни константи колку што е редот на равенката.

Делумно решение на диференцијалната равенкае решение добиено од општо решение за различни нумерички вредности на произволни константи. Вредностите на произволните константи се наоѓаат на одредени почетни вредности на аргументот и функцијата.

Графикот на одредено решение на диференцијална равенка се нарекува интегрална крива.

Примери

1. Најдете одредено решение за диференцијална равенка од прв ред

xdx + ydy = 0, Ако y= 4 во x = 3.

Решение. Интегрирајќи ги двете страни на равенката, добиваме

Коментар. Произволна константа C добиена како резултат на интеграција може да биде претставена во која било форма погодна за понатамошни трансформации. Во овој случај, земајќи ја предвид канонската равенка на круг, погодно е да се претстави произволна константа C во форма .

- општо решение на диференцијалната равенка.

Посебно решение на равенката што ги задоволува почетните услови y = 4 во x = 3 се наоѓа од општото со замена на почетните услови во општото решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Заменувајќи го C=5 во општото решение, добиваме x 2 + y 2 = 5 2 .

Ова е посебно решение за диференцијална равенка добиена од општо решение под дадени почетни услови.

2. Најдете го општото решение на диференцијалната равенка

Решението на оваа равенка е која било функција од формата , каде што C е произволна константа. Навистина, заменувајќи го , во равенките, добиваме: , .

Следствено, оваа диференцијална равенка има бесконечен број решенија, бидејќи за различни вредности на константата C, еднаквоста одредува различни решенија на равенката.

На пример, со директна замена можете да потврдите дека функциите се решенија на равенката.

Проблем во кој треба да најдете одредено решение за равенката y" = f(x,y)задоволувајќи ја почетната состојба y (x 0) = y 0, се нарекува проблем на Коши.

Решавање на равенката y" = f(x,y), задоволувајќи ја почетната состојба, y (x 0) = y 0, се нарекува решение за проблемот на Коши.

Решението на проблемот на Коши има едноставно геометриско значење. Навистина, според овие дефиниции, да се реши проблемот на Коши y" = f(x,y)со оглед на тоа y (x 0) = y 0, значи да се најде интегралната крива на равенката y" = f(x,y)кој минува низ дадена точка M 0 (x 0,y 0).

II. Диференцијални равенки од прв ред

2.1. Основни концепти

Диференцијална равенка од прв ред е равенка на формата F(x,y,y") = 0.

Диференцијалната равенка од прв ред го вклучува првиот извод и не вклучува деривати од повисок ред.

Равенката y" = f(x,y)се нарекува равенка од прв ред решена во однос на изводот.

Општото решение на диференцијална равенка од прв ред е функција од формата , која содржи една произволна константа.

Пример.Размислете за диференцијална равенка од прв ред.

Решението на оваа равенка е функцијата.

Навистина, заменувајќи ја оваа равенка со нејзината вредност, добиваме

тоа е 3x=3x

Според тоа, функцијата е општо решение на равенката за која било константа C.

Најдете одредено решение за оваа равенка што ја задоволува почетната состојба y(1)=1Замена на почетните услови x = 1, y =1во општото решение на равенката, добиваме од каде C=0.

Така, добиваме одредено решение од општото со замена во оваа равенка на добиената вредност C=0– приватно решение.

2.2. Диференцијални равенки со раздвојливи променливи

Диференцијална равенка со раздвојливи променливи е равенка од формата: y"=f(x)g(y)или преку диференцијали, каде f(x)И g(y)– одредени функции.

За тие y, за што , равенката y"=f(x)g(y)е еквивалентно на равенката, во која променливата yе присутна само на левата страна, а променливата x е само на десната страна. Тие велат, „во рамен. y"=f(x)g(yДа ги одвоиме променливите“.

Равенка на формата наречена равенка на разделена променлива.

Интегрирање на двете страни на равенката Од страна на x, добиваме G(y) = F(x) + Cе општото решение на равенката, каде G(y)И F(x)– некои антидеривати, соодветно, на функции и f(x), Впроизволна константа.

Алгоритам за решавање на диференцијална равенка од прв ред со раздвојливи променливи

Пример 1

Решете ја равенката y" = xy

Решение. Извод на функција y"заменете го со

да ги одвоиме променливите

Ајде да ги интегрираме двете страни на еднаквоста:

Пример 2

2 год" = 1- 3x 2, Ако y 0 = 3на x 0 = 1

Ова е разделена променлива равенка. Ајде да го замислиме во диференцијали. За да го направите ова, ја препишуваме оваа равенка во форма Од тука

Интегрирајќи ги двете страни на последната еднаквост, откриваме

Замена на почетните вредности x 0 = 1, y 0 = 3ќе најдеме СО 9=1-1+В, т.е. C = 9.

Според тоа, потребниот парцијален интеграл ќе биде или

Пример 3

Напишете равенка за крива што минува низ точка М(2;-3)и има тангента со аголен коефициент

Решение. Според условот

Ова е равенка со раздвојливи променливи. Поделувајќи ги променливите, добиваме:

Интегрирајќи ги двете страни на равенката, добиваме:

Користејќи ги почетните услови, x = 2И y = - 3ќе најдеме В:

Затоа, бараната равенка ја има формата

2.3. Линеарни диференцијални равенки од прв ред

Линеарна диференцијална равенка од прв ред е равенка на формата y" = f(x)y + g(x)

Каде f(x)И g(x)- некои одредени функции.

Ако g(x)=0тогаш линеарната диференцијална равенка се нарекува хомогена и има форма: y" = f(x)y

Ако тогаш равенката y" = f(x)y + g(x)наречена хетерогени.

Општо решение на линеарна хомогена диференцијална равенка y" = f(x)yсе дава со формулата: каде СО– произволна константа.

Конкретно, ако C = 0,тогаш решението е y = 0Ако линеарна хомогена равенка ја има формата y" = киКаде ке некоја константа, тогаш неговото општо решение има форма: .

Општо решение на линеарна нехомогена диференцијална равенка y" = f(x)y + g(x)се дава со формулата ,

тие. е еднаков на збирот на општото решение на соодветната линеарна хомогена равенка и посебното решение на оваа равенка.

За линеарна нехомогена равенка на формата y" = kx + b,

Каде кИ б- некои броеви и одредено решение ќе бидат постојана функција. Затоа, општото решение има форма.

Пример. Решете ја равенката y" + 2y +3 = 0

Решение. Да ја претставиме равенката во форма y" = -2y - 3Каде k = -2, b= -3Општото решение е дадено со формулата.

Затоа, каде што C е произволна константа.

2.4. Решавање на линеарни диференцијални равенки од прв ред со методот на Бернули

Наоѓање општо решение за линеарна диференцијална равенка од прв ред y" = f(x)y + g(x)се сведува на решавање на две диференцијални равенки со одвоени променливи со помош на замена y=uv, Каде uИ v- непознати функции од x. Овој метод на решение се нарекува метод на Бернули.

Алгоритам за решавање на линеарна диференцијална равенка од прв ред

y" = f(x)y + g(x)

1. Внесете замена y=uv.

2. Диференцирајте ја оваа еднаквост y" = u"v + uv"

3. Замена yИ y"во оваа равенка: у"в + ув" =f(x)uv + g(x)или u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Групирајте ги членовите на равенката така што uизвадете го од загради:

5. Од заградата, изедначувајќи ја со нула, пронајдете ја функцијата

Ова е раздвојлива равенка:

Ајде да ги поделиме променливите и да добиеме:

Каде . .

6. Заменете ја добиената вредност vво равенката (од чекор 4):

и најдете ја функцијата Ова е равенка со раздвојливи променливи:

7. Општото решение запишете го во форма: , т.е. .

Пример 1

Најдете одредено решение за равенката y" = -2y +3 = 0Ако y=1на x = 0

Решение. Ајде да го решиме со помош на замена y=uv,.y" = u"v + uv"

Замена yИ y"во оваа равенка, добиваме

Со групирање на вториот и третиот член на левата страна на равенката го вадиме заедничкиот фактор u надвор од загради

Изразот во загради го изедначуваме со нула и, откако ја решивме добиената равенка, ја наоѓаме функцијата v = v(x)

Добиваме равенка со одвоени променливи. Ајде да ги интегрираме двете страни на оваа равенка: Најдете ја функцијата v:

Ајде да ја замениме добиената вредност vво равенката добиваме:

Ова е разделена променлива равенка. Ајде да ги интегрираме двете страни на равенката: Ајде да ја најдеме функцијата u = u(x,c) Ајде да најдеме општо решение: Да најдеме одредено решение за равенката што ги задоволува почетните услови y = 1на x = 0:

III. Диференцијални равенки од повисок ред

3.1. Основни поими и дефиниции

Диференцијална равенка од втор ред е равенка која содржи деривати не повисоки од втор ред. Во општиот случај, диференцијалната равенка од втор ред е напишана како: F(x,y,y,y") = 0

Општото решение на диференцијална равенка од втор ред е функција од формата, која вклучува две произволни константи C 1И C 2.

Посебно решение за диференцијална равенка од втор ред е решение добиено од општо решение за одредени вредности на произволни константи C 1И C 2.

3.2. Линеарни хомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти.

Линеарна хомогена диференцијална равенка од втор ред со константни коефициентинаречена равенка на формата y" + py" +qy = 0, Каде стрИ q- константни вредности.

Алгоритам за решавање на хомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти

1. Напиши ја диференцијалната равенка во форма: y" + py" +qy = 0.

2. Направете ја неговата карактеристична равенка, означувајќи y"преку r 2, y"преку р, yво 1: r 2 + pr + q = 0

Решавање диференцијални равенки. Благодарение на нашата онлајн услуга, можете да решавате диференцијални равенки од секаков тип и сложеност: нехомогени, хомогени, нелинеарни, линеарни, прв, втор ред, со раздвојливи или неразделни променливи итн. Добивате решение за диференцијални равенки во аналитичка форма со детален опис. Многу луѓе се заинтересирани: зошто е неопходно да се решаваат диференцијални равенки преку Интернет? Овој тип на равенки е многу вообичаен во математиката и физиката, каде што ќе биде невозможно да се решат многу проблеми без да се пресмета диференцијалната равенка. Диференцијалните равенки се вообичаени и во економијата, медицината, биологијата, хемијата и другите науки. Решавањето на ваква равенка онлајн во голема мера ги поедноставува вашите задачи, ви дава можност подобро да го разберете материјалот и да се тестирате. Предности на решавање на диференцијални равенки онлајн. Модерна веб-локација за математичка услуга ви овозможува да решавате диференцијални равенки онлајн од секаква сложеност. Како што знаете, постојат голем број видови диференцијални равенки и секоја од нив има свои методи на решавање. На нашата услуга можете да најдете онлајн решенија за диференцијални равенки од кој било ред и тип. За да добиете решение, ви предлагаме да ги пополните првичните податоци и да кликнете на копчето „Решение“. Грешките во работењето на услугата се исклучени, така што можете да бидете 100% сигурни дека сте го добиле точниот одговор. Решете диференцијални равенки со нашата услуга. Решавајте диференцијални равенки онлајн. Стандардно, во таква равенка, функцијата y е функција на променливата x. Но, можете исто така да наведете сопствена ознака на променлива. На пример, ако наведете y(t) во диференцијална равенка, тогаш нашата услуга автоматски ќе утврди дека y е функција од променливата t. Редоследот на целата диференцијална равенка ќе зависи од максималниот редослед на изводот на функцијата присутна во равенката. Решавањето на ваква равенка значи наоѓање на саканата функција. Нашата услуга ќе ви помогне да решавате диференцијални равенки онлајн. Не е потребно многу напор од ваша страна за да се реши равенката. Треба само да ги внесете левата и десната страна на равенката во бараните полиња и кликнете на копчето „Решение“. При внесување, изводот на функцијата мора да се означи со апостроф. За неколку секунди ќе добиете готово детално решение за диференцијалната равенка. Нашата услуга е апсолутно бесплатна. Диференцијални равенки со раздвојливи променливи. Ако во диференцијалната равенка има израз од левата страна кој зависи од y, а од десната страна има израз кој зависи од x, тогаш таквата диференцијална равенка се нарекува со раздвојливи променливи. Левата страна може да содржи извод од y; решението на диференцијалните равенки од овој тип ќе биде во форма на функција од y, изразена преку интегралот од десната страна на равенката. Ако на левата страна има диференцијал на функцијата на y, тогаш во овој случај се интегрираат двете страни на равенката. Кога променливите во диференцијалната равенка не се одделени, тие ќе треба да се одвојат за да се добие одвоена диференцијална равенка. Линеарна диференцијална равенка. Диференцијалната равенка чија функција и сите нејзини изводи се во прв степен се нарекува линеарна. Општа форма на равенката: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) се континуирани функции на x. Решавањето на диференцијални равенки од овој тип се сведува на интегрирање на две диференцијални равенки со одвоени променливи. Редослед на диференцијална равенка. Диференцијалната равенка може да биде од прв, втор, n-ти ред. Редоследот на диференцијалната равенка го одредува редот на највисокиот извод што го содржи. Во нашата услуга можете да решавате диференцијални равенки онлајн за првото, второто, третото итн. со цел. Решението на равенката ќе биде која било функција y=f(x), заменувајќи ја во равенката, ќе добиете идентитет. Процесот на изнаоѓање решение за диференцијална равенка се нарекува интеграција. Коши проблем. Ако, покрај самата диференцијална равенка, е даден и почетниот услов y(x0)=y0, тогаш тоа се нарекува проблем на Коши. Показателите y0 и x0 се додаваат на решението на равенката и се одредува вредноста на произволна константа C, а потоа се одредува одредено решение на равенката на оваа вредност на C. Ова е решението на проблемот на Коши. Проблемот на Коши се нарекува и проблем со граничните услови, што е многу честа појава во физиката и механиката. Имате можност да ја поставите и задачата на Коши, односно од сите можни решенија на равенката да изберете количник што ги исполнува дадените почетни услови.

Диференцијални равенки од прв ред. Примери на решенија.
Диференцијални равенки со раздвојливи променливи

Диференцијални равенки (DE). Овие два збора обично го преплашуваат просечниот човек. Се чини дека диференцијалните равенки се нешто забранувачко и тешко за совладување за многу студенти. Ууууу... диференцијални равенки, како да го преживеам сето ова?!

Ова мислење и овој став е суштински погрешен, бидејќи всушност ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ - ЕДНОСТАВНО Е ДУРИ И ЗАБАВНО. Што треба да знаете и да можете да правите за да научите како да решавате диференцијални равенки? За успешно проучување на дифузите, мора да бидете добри во интегрирањето и разликувањето. Колку подобро се изучуваат темите Извод на функција од една променливаИ Неопределен интеграл, толку полесно ќе биде да се разберат диференцијалните равенки. Ќе кажам повеќе, ако имаш повеќе или помалку пристојни вештини за интеграција, тогаш темата е скоро совладана! Колку повеќе интеграли од различни типови можете да решите, толку подобро. Зошто? Ќе мора многу да се интегрирате. И разликувајте. Исто така многу препорачувамнаучи да најдеш.

Во 95% од случаите, тестовите содржат 3 типа на диференцијални равенки од прв ред: раздвојливи равенкишто ќе ги разгледаме во оваа лекција; хомогени равенкиИ линеарни нехомогени равенки. За оние кои почнуваат да учат дифузери, ве советувам да ги читате лекциите по овој редослед, а откако ќе ги проучите првите две статии, нема да ви наштети да ги консолидирате своите вештини во дополнителна работилница - равенки сведуваат на хомогени.

Постојат уште поретки типови на диференцијални равенки: вкупни диференцијални равенки, Бернулиови равенки и некои други. Најважните од последните два вида се равенките во вкупните диференцијали, бидејќи покрај оваа диференцијална равенка размислувам за нов материјал - делумна интеграција.

Ако ви остануваат само ден или два, Тоа за ултра брза подготовкаЕте го блиц курсво pdf формат.

Значи, обележјата се поставени - ајде да одиме:

Прво, да се потсетиме на вообичаените алгебарски равенки. Тие содржат променливи и броеви. Наједноставниот пример: . Што значи да се реши обична равенка? Ова значи наоѓање збир на броеви, кои ја задоволуваат оваа равенка. Лесно е да се забележи дека детската равенка има еден корен: . Само за забава, ајде да го провериме и да го замениме пронајдениот корен во нашата равенка:

– се добива точно еднаквост, што значи дека решението е точно најдено.

Дифузерите се дизајнирани на ист начин!

Диференцијална равенка прва нарачкагенерално содржи:
1) независна променлива;
2) зависна променлива (функција);
3) првиот извод на функцијата: .

Во некои равенки од прв ред може да нема „x“ и/или „y“, но тоа не е значајно - важнода оди во контролната соба бешепрв дериват, и Немамдеривати од повисоки редови – , итн.

Што значи ?Решавањето на диференцијална равенка значи наоѓање збир на сите функции, кои ја задоволуваат оваа равенка. Таков сет на функции често ја има формата (– произволна константа), која се нарекува општо решение на диференцијалната равенка.

Пример 1

Решавање на диференцијална равенка

Целосна муниција. Каде да започнете решение?

Пред сè, треба да го преработите дериватот во малку поинаква форма. Се сеќаваме на незгодната ознака, која веројатно многумина од вас изгледаше смешно и непотребно. Еве што владее во дифузерите!

Во вториот чекор, да видиме дали е можно посебни променливи?Што значи да се одделат променливите? Грубо кажано, на левата странатреба да заминеме само „Грци“, А на десната странаорганизира само „Х“. Поделбата на променливите се врши со помош на „училишни“ манипулации: нивно ставање надвор од загради, пренесување термини од дел на дел со промена на знакот, пренесување фактори од дел во дел според правилото за пропорција итн.

Диференцијали и се целосни мултипликатори и активни учесници во непријателствата. Во примерот што се разгледува, променливите лесно се одвојуваат со фрлање на факторите според правилото за пропорција:

Променливите се одвоени. На левата страна има само „Y“, од десната страна - само „X“.

Следна фаза - интеграција на диференцијална равенка. Едноставно е, ставаме интеграли на двете страни:

Се разбира, треба да земеме интеграли. Во овој случај тие се табеларни:

Како што се сеќаваме, константа е доделена на кој било антидериват. Тука има два интеграли, но доволно е да се напише константата еднаш (бидејќи константа + константа е сè уште еднаква на друга константа). Во повеќето случаи се поставува на десната страна.

Строго кажано, откако ќе се земат интегралите, диференцијалната равенка се смета за решена. Единственото нешто е што нашето „y“ не се изразува преку „x“, односно решението е претставено во имплицитнаформа. Решението на диференцијална равенка во имплицитна форма се вика општ интеграл на диференцијалната равенка. Тоа е, ова е општ интеграл.

Одговорот во оваа форма е сосема прифатлив, но има ли подобра опција? Ајде да се обидеме да добиеме заедничка одлука.

Ве молам, запомнете ја првата техника, многу е честа појава и често се користи во практични задачи: ако логаритам се појави на десната страна по интеграцијата, тогаш во многу случаи (но не секогаш!) исто така е препорачливо да се напише константата под логаритамот.

Тоа е, НАМЕСТОзаписите обично се пишуваат .

Зошто е ова потребно? И со цел полесно да се изрази „играта“. Користење на својството на логаритми . Во овој случај:

Сега логаритмите и модулите може да се отстранат:

Функцијата е претставена експлицитно. Ова е општото решение.

Одговори: заедничка одлука: .

Одговорите на многу диференцијални равенки се прилично лесни за проверка. Во нашиот случај, ова е направено многу едноставно, го земаме пронајденото решение и го разликуваме:

Потоа го заменуваме изводот во оригиналната равенка:

– се добива точно еднаквост, што значи дека општото решение ја задоволува равенката, што требаше да се провери.

Со давање на константа различни вредности, можете да добиете бесконечен број на приватни решенијадиференцијална равенка. Јасно е дека некоја од функциите , итн. ја задоволува диференцијалната равенка.

Понекогаш се нарекува општото решение семејство на функции. Во овој пример, општото решение е фамилија на линеарни функции, или поточно, фамилија на директна пропорционалност.

По темелно разгледување на првиот пример, соодветно е да се одговори на неколку наивни прашања за диференцијални равенки:

1)Во овој пример, можевме да ги одвоиме променливите. Може ли ова секогаш да се направи?Не, не секогаш. И уште почесто, променливите не можат да се одвојат. На пример, во хомогени равенки од прв ред, прво мора да го замените. Во други видови равенки, на пример, во линеарна нехомогена равенка од прв ред, треба да користите различни техники и методи за да најдете општо решение. Равенките со раздвојливи променливи, кои ги разгледуваме во првата лекција, се наједноставниот тип на диференцијални равенки.

2) Дали е секогаш можно да се интегрира диференцијална равенка?Не, не секогаш. Многу е лесно да се дојде до „фенси“ равенка што не може да се интегрира; покрај тоа, има интеграли што не можат да се земат. Но, таквите ДЕ може да се решат приближно со помош на специјални методи. Д’Алембер и Коши гарантираат... ...уф, демнат.да читам многу сега, речиси додадов „од другиот свет“.

3) Во овој пример добивме решение во форма на општ интеграл . Дали е секогаш можно да се најде општо решение од општ интеграл, односно да се изрази „y“ експлицитно?Не, не секогаш. На пример: . Па, како можеш овде да изразиш „грчки“?! Во такви случаи, одговорот треба да се напише како општ интеграл. Покрај тоа, понекогаш е можно да се најде општо решение, но напишано е толку незгодно и несмасно што е подобро да се остави одговорот во форма на општ интеграл

4) ... можеби тоа е доволно за сега. Во првиот пример што го сретнавме уште една важна точка, но за да не ги покривам „куклата“ со лавина нови информации, ќе го оставам до следната лекција.

Нема да избрзуваме. Друг едноставен далечински управувач и друго типично решение:

Пример 2

Најдете одредено решение за диференцијалната равенка што ја задоволува почетната состојба

Решение: според условот, треба да најдете приватно решение DE што задоволува даден почетен услов. Оваа формулација на прашањето е исто така наречена Коши проблем.

Прво наоѓаме општо решение. Во равенката нема променлива „x“, но ова не треба да се збунува, главната работа е што го има првиот извод.

Ние го препишуваме дериватот во потребната форма:

Очигледно, променливите може да се одделат, момчињата лево, девојчињата надесно:

Ајде да ја интегрираме равенката:

Се добива општиот интеграл. Еве јас имам нацртано константа со ѕвездичка, факт е дека многу брзо таа ќе се претвори во друга константа.

Сега се обидуваме да го трансформираме општиот интеграл во општо решение (искажи го „y“ експлицитно). Да се ​​потсетиме на старите добри работи од училиштето: . Во овој случај:

Константата во индикаторот изгледа некако некошерно, па затоа обично се спушта на земја. Детално, вака се случува. Користејќи го својството на степени, ја препишуваме функцијата на следниов начин:

Ако е константа, тогаш има и некоја константа, ајде да ја редизајнираме со буквата:

Запомнете „рушење“ на константа е втората техника, кој често се користи при решавање на диференцијални равенки.

Значи, генералното решение е: . Ова е убаво семејство на експоненцијални функции.

Во последната фаза, треба да пронајдете одредено решение што ја задоволува дадената почетна состојба. Ова е исто така едноставно.

Која е задачата? Треба да се подигне таквивредноста на константата така што условот е задоволен.

Може да се форматира на различни начини, но ова веројатно ќе биде најјасниот начин. Во општото решение, наместо „X“ заменуваме нула, а наместо „Y“ заменуваме два:



Тоа е,

Стандардна верзија на дизајнот:

Сега пронајдената вредност на константата ја заменуваме со општото решение:
– ова е конкретното решение што ни треба.

Одговори: приватно решение:

Ајде да провериме. Проверката на приватно решение вклучува две фази:

Прво треба да проверите дали одреденото решение навистина го задоволува првичниот услов? Наместо „Х“ заменуваме нула и гледаме што се случува:
- да, навистина е примен два, што значи дека првичниот услов е исполнет.

Втората фаза е веќе позната. Го земаме добиеното одредено решение и го наоѓаме дериватот:

Заменуваме во оригиналната равенка:

– се добива правилна еднаквост.

Заклучок: конкретното решение е пронајдено правилно.

Да преминеме на позначајни примери.

Пример 3

Решавање на диференцијална равенка

Решение:Ние го препишуваме дериватот во форма што ни треба:

Проценуваме дали е можно да се одделат променливите? Може. Го поместуваме вториот член на десната страна со промена на знакот:

И ние ги пренесуваме множителите според правилото за пропорција:

Променливите се одвоени, ајде да ги интегрираме двата дела:

Морам да ве предупредам, се ближи судниот ден. Ако не си учел добро неопределени интеграли, решивте неколку примери, тогаш нема каде - ќе мора да ги совладате сега.

Интегралот на левата страна е лесно да се најде; ние се занимаваме со интегралот на котангенсот користејќи ја стандардната техника што ја разгледавме во лекцијата Интегрирање на тригонометриски функцииминатата година:

На десната страна имаме логаритам, а според мојата прва техничка препорака, под логаритам треба да се запише и константата.

Сега се обидуваме да го поедноставиме општиот интеграл. Бидејќи имаме само логаритми, сосема е можно (и неопходно) да се ослободиме од нив. Со користење на познати својстваГи „спакуваме“ логаритмите што е можно повеќе. Ќе го напишам подетално:

Пакувањето е завршено за да биде варварски искинато:

Дали е можно да се изрази „игра“? Може. Потребно е да се квадрат двата дела.

Но, не треба да го правите ова.

Трет технички совет:ако за да се добие општо решение потребно е да се подигне до моќ или да се вкорени, тогаш Во повеќето случаитреба да се воздржите од овие постапки и да го оставите одговорот во форма на општ интеграл. Факт е дека општото решение ќе изгледа едноставно страшно - со големи корени, знаци и друго ѓубре.

Затоа, одговорот го пишуваме во форма на општ интеграл. Се смета за добра практика да се прикаже во форма, односно на десната страна, ако е можно, да се остави само константа. Не е неопходно да се направи ова, но секогаш е корисно да му угодите на професорот ;-)

Одговор:општ интеграл:

! Забелешка: Општиот интеграл на која било равенка може да се напише на повеќе од еден начин. Така, ако вашиот резултат не се совпаѓа со претходно познатиот одговор, тоа не значи дека погрешно сте ја решиле равенката.

Општиот интеграл е исто така доста лесен за проверка, главната работа е да може да се најде извод на функција назначена имплицитно. Ајде да го разликуваме одговорот:

Ги множиме двата члена со:

И подели со:

Оригиналната диференцијална равенка е точно добиена, што значи дека генералниот интеграл е правилно пронајден.

Пример 4

Најдете одредено решение за диференцијалната равенка што ја задоволува почетната состојба. Направете проверка.

Ова е пример за да го решите сами.

Дозволете ми да ве потсетам дека алгоритмот се состои од две фази:
1) изнаоѓање на општо решение;
2) изнаоѓање на потребното конкретно решение.

Проверката исто така се врши во два чекора (види примерок во Пример бр. 2), потребно е:
1) бидете сигурни дека одреденото решение го задоволува првичниот услов;
2) проверете дали одредено решение генерално ја задоволува диференцијалната равенка.

Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Пример 5

Најдете одредено решение за диференцијална равенка , задоволувајќи ја почетната состојба. Направете проверка.

Решение:Прво, да најдеме општо решение.Оваа равенка веќе содржи готови диференцијали и затоа решението е поедноставено. Ги издвојуваме променливите:

Ајде да ја интегрираме равенката:

Интегралот лево е табеларен, интегралот десно е земен метод на подведување на функција под диференцијален знак:

Добиен е општиот интеграл, дали е можно успешно да се изрази општото решение? Може. Закачуваме логаритми од двете страни. Бидејќи тие се позитивни, знаците на модулот се непотребни:

(Се надевам дека сите ја разбираат трансформацијата, такви работи веќе треба да се знаат)

Значи, генералното решение е:

Ајде да најдеме одредено решение кое одговара на дадената почетна состојба.
Во општото решение, наместо „X“ заменуваме нула, а наместо „Y“ го заменуваме логаритамот од два:

Попознат дизајн:

Пронајдената вредност на константата ја заменуваме со општото решение.

Одговор:приватно решение:

Проверете: Прво, да провериме дали е исполнет почетниот услов:
- сè е добро.

Сега да провериме дали пронајденото одредено решение воопшто ја задоволува диференцијалната равенка. Наоѓање на дериватот:

Ајде да ја погледнеме оригиналната равенка: – се прикажува во диференцијали. Постојат два начини за проверка. Можно е да се изрази диференцијалот од пронајдениот дериват:

Дозволете ни да го замениме пронајденото одредено решение и добиениот диференцијал во првобитната равенка :

Го користиме основниот логаритамски идентитет:

Се добива точно еднаквост, што значи дека конкретното решение е точно пронајдено.

Вториот метод на проверка е огледален и попознат: од равенката Да го изразиме изводот, за да го направиме ова, ги делиме сите парчиња со:

И во трансформираната DE го заменуваме добиеното парцијално решение и пронајдениот дериват. Како резултат на поедноставувањата, треба да се добие и правилна еднаквост.

Пример 6

Решавање на диференцијална равенка. Одговорот презентирај го во форма на општ интеграл.

Ова е пример за да го решите сами, комплетно решение и одговор на крајот од часот.

Кои тешкотии се чекаат при решавање на диференцијални равенки со раздвојливи променливи?

1) Не е секогаш очигледно (особено за „чајник“) дека променливите можат да се одделат. Да разгледаме условен пример: . Овде треба да ги извадите факторите од загради: и да ги одделите корените: . Јасно е што понатаму.

2) Тешкотии со самата интеграција. Интегралите често не се наједноставни, и ако има недостатоци во вештините за пронаоѓање неопределен интеграл, тогаш ќе биде тешко со многу дифузери. Дополнително, логиката „бидејќи диференцијалната равенка е едноставна, тогаш барем интегралите нека бидат покомплицирани“ е популарна меѓу составувачите на збирки и прирачници за обука.

3) Трансформации со константа. Како што сите забележаа, константата во диференцијалните равенки може да се постапува сосема слободно, а некои трансформации не му се секогаш јасни на почетниците. Ајде да погледнеме друг условен пример: . Препорачливо е да се помножат сите членови со 2: . Добиената константа е исто така некаква константа, која може да се означи со: . Да, и бидејќи има логаритам на десната страна, тогаш препорачливо е да се препише константата во форма на друга константа: .

Проблемот е што тие често не се мачат со индекси и ја користат истата буква. Како резултат на тоа, записот за одлуки ја добива следната форма:

Каков вид на ерес? Има грешки токму таму! Строго кажано, да. Меѓутоа, од суштински аспект, нема грешки, бидејќи како резултат на трансформација на променлива константа, сепак се добива променлива константа.

Или друг пример, да претпоставиме дека при решавањето на равенката се добива општ интеграл. Овој одговор изгледа грдо, па затоа е препорачливо да го смените знакот на секој термин: . Формално, тука има уште една грешка - таа треба да биде напишана десно. Но, неформално се подразбира дека „минус це“ сè уште е константа ( што исто толку лесно може да има какво било значење!), така што ставањето „минус“ нема смисла и можете да ја користите истата буква.

Ќе се обидам да избегнам невнимателен пристап, а сепак да доделувам различни индекси на константи кога ги конвертирам.

Пример 7

Решавање на диференцијална равенка. Направете проверка.

Решение:Оваа равенка овозможува раздвојување на променливите. Ги издвојуваме променливите:

Ајде да се интегрираме:

Не е неопходно овде да се дефинира константата како логаритам, бидејќи ништо корисно нема да дојде од ова.

Одговор:општ интеграл:

Проверете: Диференцирајте го одговорот (имплицитна функција):

Се ослободуваме од дропките со множење на двата члена со:

Добиена е оригиналната диференцијална равенка, што значи дека генералниот интеграл е правилно пронајден.

Пример 8

Најдете одредено решение за ДЕ.
,

Ова е пример за да го решите сами. Единствената навестување е дека тука ќе добиете општ интеграл и, поточно кажано, треба да се смислувате за да најдете не одредено решение, туку парцијален интеграл. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Овој онлајн калкулатор ви овозможува да решавате диференцијални равенки онлајн. Доволно е да ја внесете вашата равенка во соодветното поле, означувајќи го изводот на функцијата преку апостроф и кликнете на копчето „реши ја равенката“, а системот, имплементиран врз основа на популарната веб-страница WolframAlpha, ќе даде детални решавање на диференцијална равенкаапсолутно бесплатно. Можете исто така да дефинирате проблем на Коши за да го изберете од целиот сет на можни решенија количникот што одговара на дадените почетни услови. Проблемот Коши се внесува во посебно поле.

Диференцијална равенка

Стандардно, функцијата во равенката yе функција на променлива x. Сепак, можете да наведете сопствена ознака за променливата; ако напишете, на пример, y(t) во равенката, калкулаторот автоматски ќе го препознае тоа yима функција од променлива т. Со помош на калкулатор можете решаваат диференцијални равенкиод која било сложеност и тип: хомогени и нехомогени, линеарни или нелинеарни, прв ред или втор и повисок ред, равенки со раздвојливи или неразделни променливи итн. Разлика на решението. равенката е дадена во аналитичка форма и има детален опис. Диференцијалните равенки се многу чести во физиката и математиката. Без нивно пресметување, невозможно е да се решат многу проблеми (особено во математичката физика).

Една од фазите на решавање на диференцијални равенки е интегрирањето на функциите. Постојат стандардни методи за решавање на диференцијални равенки. Потребно е равенките да се сведат на форма со раздвојливи променливи y и x и посебно да се интегрираат одвоените функции. За да го направите ова, понекогаш мора да се направи одредена замена.

Обична диференцијална равенка е равенка што поврзува независна променлива, непозната функција на оваа променлива и нејзините деривати (или диференцијали) од различен ред.

Редоследот на диференцијалната равенка се нарекува ред на највисокиот извод содржан во него.

Покрај обичните, се изучуваат и парцијални диференцијални равенки. Станува збор за равенки кои ги поврзуваат независните променливи, непозната функција на овие променливи и нејзините парцијални деривати во однос на истите променливи. Но, ние само ќе размислиме обични диференцијални равенки и затоа, заради краткост, ќе го изоставиме зборот „обичен“.

Примери на диференцијални равенки:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Равенката (1) е од четврти ред, равенката (2) е трет ред, равенките (3) и (4) се од втор ред, равенката (5) е од прв ред.

Диференцијална равенка nриот ред не мора нужно да содржи експлицитна функција, сите нејзини деривати од првиот до n-ти ред и независна променлива. Може експлицитно да не содржи изводи на одредени редови, функција или независна променлива.

На пример, во равенката (1) јасно е дека нема изводи од трет и втор ред, како и функција; во равенката (2) - изводот од втор ред и функцијата; во равенката (4) - независната променлива; во равенката (5) - функции. Само равенката (3) ги содржи експлицитно сите изводи, функцијата и независната променлива.

Решавање на диференцијална равенка се повикува секоја функција y = f(x), кога ќе се замени во равенката се претвора во идентитет.

Процесот на изнаоѓање решение за диференцијална равенка се нарекува нејзин интеграција.

Пример 1.Најдете го решението на диференцијалната равенка.

Решение. Ајде да ја напишеме оваа равенка во форма . Решението е да се најде функцијата од нејзиниот извод. Оригиналната функција, како што е познато од интегралното сметање, е антидериват за, т.е.

Тоа е она што е решение на оваа диференцијална равенка . Менување во него В, ќе добиеме различни решенија. Дознавме дека има бесконечен број решенија за диференцијална равенка од прв ред.

Општо решение на диференцијалната равенка nредот е негово решение, изразено експлицитно во однос на непознатата функција и содржи nнезависни произволни константи, т.е.

Решението на диференцијалната равенка во Пример 1 е општо.

Делумно решение на диференцијалната равенка се нарекува решение во кое произволни константи се дадени специфични нумерички вредности.

Пример 2.Најдете го општото решение на диференцијалната равенка и одредено решение за .

Решение. Ајде да ги интегрираме двете страни на равенката неколку пати еднаков на редот на диференцијалната равенка.

,

.

Како резултат на тоа, добивме општо решение -

на дадена диференцијална равенка од трет ред.

Сега да најдеме одредено решение под наведените услови. За да го направите ова, заменете ги нивните вредности наместо произволни коефициенти и добијте

.

Ако, покрај диференцијалната равенка, почетната состојба е дадена во форма, тогаш таквиот проблем се нарекува Коши проблем . Заменете ги вредностите и во општото решение на равенката и пронајдете ја вредноста на произволна константа В, а потоа одредено решение на равенката за пронајдената вредност В. Ова е решение за проблемот на Коши.

Пример 3.Решете ја задачата на Коши за диференцијалната равенка од Пример 1 предмет на .

Решение. Дозволете ни да ги замениме вредностите од почетната состојба во општото решение y = 3, x= 1. Добиваме

Го запишуваме решението на проблемот на Коши за оваа диференцијална равенка од прв ред:

Решавањето на диференцијални равенки, дури и наједноставните, бара добри вештини за интеграција и изведување, вклучувајќи сложени функции. Ова може да се види во следниот пример.

Пример 4.Најдете го општото решение на диференцијалната равенка.

Решение. Равенката е напишана во таква форма што можете веднаш да ги интегрирате двете страни.

.

Го применуваме методот на интеграција со промена на променлива (замена). Нека биде тогаш.

Потребно да се земе dxи сега - внимание - ова го правиме според правилата за диференцијација на сложена функција, бидејќи xи има сложена функција („јаболко“ е вадење на квадратен корен или, што е исто, подигање на моќта „половина“, а „мелено месо“ е самиот израз под коренот):

Го наоѓаме интегралот:

Враќање на променливата x, добиваме:

.

Ова е општо решение за оваа диференцијална равенка од прв степен.

За решавање на диференцијални равенки ќе бидат потребни не само вештини од претходните делови од вишата математика, туку и вештини од основно, односно училишна математика. Како што веќе беше споменато, во диференцијална равенка од кој било ред не може да има независна променлива, односно променлива x. Знаењето за пропорциите од училиштето кое не е заборавено (сепак, во зависност од тоа кој) од училиште ќе помогне да се реши овој проблем. Ова е следниот пример.