Формула за поедноставување квадратна равенка. Квадратни равенки

“, односно равенки од прв степен. Во оваа лекција ќе истражуваме што е квадратна равенкаи како да се реши.

Што е квадратна равенка

Важно!

Степенот на равенката се одредува според највисокиот степен до кој стои непознатата.

Ако максималниот степен до кој стои непознатата е „2“, тогаш имате квадратна равенка.

Примери на квадратни равенки

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Важно! Општата форма на квадратната равенка изгледа вака:

A x 2 + b x + c = 0

• "а" - првиот или постар коефициент;
• "б" - вториот коефициент;
• „c“ е слободен член.

За да најдете „а“, „б“ и „в“ треба да ја споредите вашата равенка со општата форма на квадратната равенка „секира 2 + bx + c \u003d 0“.

Да вежбаме одредување на коефициентите „а“, „б“ и „в“ во квадратни равенки.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Како да се решат квадратни равенки

За разлика од линеарните равенки, специјална равенка се користи за решавање на квадратни равенки. формула за наоѓање корени.

Запомнете!

За да решите квадратна равенка ви треба:

• доведете ја квадратната равенка во општата форма „секира 2 + bx + c \u003d 0“. Тоа е, само „0“ треба да остане на десната страна;
• користете ја формулата за корени:

Ајде да користиме пример за да откриеме како да ја примениме формулата за наоѓање корени на квадратна равенка. Да ја решиме квадратната равенка.

X 2 - 3x - 4 = 0

Равенката „x 2 - 3x - 4 = 0“ е веќе сведена на општата форма „ax 2 + bx + c = 0“ и не бара дополнителни поедноставувања. За да го решиме, треба само да аплицираме формула за наоѓање корени на квадратна равенка.

Да ги дефинираме коефициентите „а“, „б“ и „в“ за оваа равенка.

Со негова помош се решава секоја квадратна равенка.

Во формулата "x 1; 2 \u003d" коренскиот израз често се заменува
„b 2 − 4ac“ до буквата „D“ и се нарекува дискриминант. За концептот на дискриминатор подетално се зборува во лекцијата „Што е дискриминатор“.

Размислете за друг пример на квадратна равенка.

x 2 + 9 + x = 7x

Во оваа форма, доста е тешко да се одредат коефициентите „а“, „б“ и „в“. Ајде прво да ја доведеме равенката во општата форма „ax 2 + bx + c \u003d 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Сега можете да ја користите формулата за корените.

X 1;2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x=

Има моменти кога нема корени во квадратните равенки. Оваа ситуација се јавува кога во формулата под коренот се појавува негативен број.

Продолжуваме да ја проучуваме темата решение на равенки“. Веќе се запознавме со линеарни равенки и сега ќе се запознаеме квадратни равенки.

Прво, ќе разговараме што е квадратна равенка, како е напишана во општа форма и ќе дадеме сродни дефиниции. После тоа, користејќи примери, детално ќе анализираме како се решаваат нецелосни квадратни равенки. Следно, продолжуваме кон решавање на целосни равенки, ја добиваме формулата за корените, се запознаваме со дискриминантата на квадратна равенка и разгледуваме решенија за типични примери. Конечно, ги следиме врските помеѓу корените и коефициентите.

Навигација на страница.

Што е квадратна равенка? Нивните типови

Прво треба јасно да разберете што е квадратна равенка. Затоа, логично е да почнеме да зборуваме за квадратни равенки со дефиниција на квадратна равенка, како и дефиниции поврзани со неа. После тоа, можете да ги разгледате главните типови на квадратни равенки: намалени и ненамалени, како и целосни и нецелосни равенки.

Дефиниција и примери на квадратни равенки

Дефиниција.

Квадратна равенкае равенка на формата a x 2 +b x+c=0, каде што x е променлива, a , b и c се некои броеви, а a се разликува од нула.

Веднаш да кажеме дека квадратните равенки често се нарекуваат равенки од втор степен. Тоа е затоа што квадратната равенка е алгебарска равенкавтор степен.

Звучената дефиниција ни овозможува да дадеме примери на квадратни равенки. Значи 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, итн. се квадратни равенки.

Дефиниција.

Броеви a , b и c се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0, а коефициентот a се нарекува прв, или постар, или коефициент на x 2, b е вториот коефициент или коефициент на x, а c е слободен член.

На пример, да земеме квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x−3=0, овде водечкиот коефициент е 5, вториот коефициент е −2, а слободниот член е −3. Забележете дека кога коефициентите b и/или c се негативни, како во штотуку дадениот пример, се користи кратката форма на квадратната равенка од формата 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0.

Вреди да се напомене дека кога коефициентите a и/или b се еднакви на 1 или −1, тогаш тие обично не се експлицитно присутни во ознаката на квадратната равенка, што се должи на особеностите на означувањето на таквото . На пример, во квадратната равенка y 2 −y+3=0, водечкиот коефициент е еден, а коефициентот кај y е −1.

Намалени и ненамалени квадратни равенки

Во зависност од вредноста на водечкиот коефициент, се разликуваат намалени и ненамалени квадратни равенки. Да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција.

Се нарекува квадратна равенка во која водечкиот коефициент е 1 намалена квадратна равенка. Инаку, квадратната равенка е ненамалени.

Според оваа дефиниција, квадратните равенки x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 итн. - намален, во секоја од нив првиот коефициент е еднаков на еден. И 5 x 2 −x−1=0, итн. - ненамалени квадратни равенки, нивните водечки коефициенти се различни од 1 .

Од која било ненамалена квадратна равенка, со делење на двата нејзини дела со водечкиот коефициент, можете да отидете на намалениот. Ова дејство е еквивалентна трансформација, односно намалената квадратна равенка добиена на овој начин ги има истите корени како и првобитната нередуцирана квадратна равенка или, како неа, нема корени.

Да земеме пример како се врши преминот од нередуцирана квадратна равенка во намалена.

Пример.

Од равенката 3 x 2 +12 x−7=0 се оди на соодветната намалена квадратна равенка.

Одлука.

Доволно е да го извршиме делењето на двата дела од првобитната равенка со водечкиот коефициент 3, тој не е нула, па можеме да го извршиме ова дејство. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , што е исто како (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, и така натаму (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , од каде . Така ја добивме намалената квадратна равенка, која е еквивалентна на првобитната.

Одговор:

Целосни и нецелосни квадратни равенки

Во дефиницијата за квадратна равенка постои услов a≠0. Овој услов е неопходен за равенката a x 2 +b x+c=0 да биде точно квадрат, бидејќи со a=0 всушност станува линеарна равенка од формата b x+c=0 .

Што се однесува до коефициентите b и c, тие можат да бидат еднакви на нула, и одделно и заедно. Во овие случаи, квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција.

Се нарекува квадратната равенка a x 2 +b x+c=0 нецелосни, ако барем еден од коефициентите b , c е еднаков на нула.

За возврат

Дефиниција.

Целосна квадратна равенкае равенка во која сите коефициенти се различни од нула.

Овие имиња не се дадени случајно. Ова ќе стане јасно од следната дискусија.

Ако коефициентот b е еднаков на нула, тогаш квадратната равенка добива форма a x 2 +0 x+c=0 , и е еквивалентна на равенката a x 2 +c=0 . Ако c=0 , односно квадратната равенка има форма a x 2 +b x+0=0 , тогаш може да се препише како x 2 +b x=0 . И со b=0 и c=0 ја добиваме квадратната равенка a·x 2 =0. Добиените равенки се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат член со променливата x, ниту слободен член, или и двете. Оттука и нивното име - нецелосни квадратни равенки.

Значи равенките x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0,2=0 се примери за целосни квадратни равенки, и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 се нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Од информацијата од претходниот став произлегува дека постои три вида нецелосни квадратни равенки:

• a x 2 =0 , на него одговараат коефициентите b=0 и c=0;
• a x 2 +c=0 кога b=0 ;
• и a x 2 +b x=0 кога c=0 .

Да анализираме по ред како се решени нецелосните квадратни равенки на секој од овие типови.

a x 2 \u003d 0

Да започнеме со решавање на нецелосни квадратни равенки во кои коефициентите b и c се еднакви на нула, односно со равенки од формата a x 2 =0. Равенката a·x 2 =0 е еквивалентна на равенката x 2 =0, која се добива од оригиналот со делење на двата негови дела со ненула број a. Очигледно, коренот на равенката x 2 \u003d 0 е нула, бидејќи 0 2 \u003d 0. Оваа равенка нема други корени, што е објаснето, навистина, за кој било ненула број p, се јавува неравенката p 2 >0, што значи дека за p≠0, еднаквоста p 2 =0 никогаш не се постигнува.

Значи, нецелосната квадратна равенка a x 2 \u003d 0 има еден корен x \u003d 0.

Како пример даваме решение на нецелосна квадратна равенка −4·x 2 =0. Тоа е еквивалентно на равенката x 2 \u003d 0, нејзиниот единствен корен е x \u003d 0, затоа, оригиналната равенка има еден корен нула.

Кратко решение во овој случај може да се издаде на следниов начин:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Сега разгледајте како се решаваат нецелосните квадратни равенки во кои коефициентот b е еднаков на нула, а c≠0, односно равенките од формата a x 2 +c=0. Знаеме дека преносот на член од едната страна на равенката на другата со спротивен знак, како и делењето на двете страни на равенката со ненулта број, даваат еквивалентна равенка. Според тоа, може да се направат следните еквивалентни трансформации на нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0:

• поместете го c на десната страна, што ја дава равенката a x 2 =−c,
• и подели ги двата негови делови со a , добиваме .

Добиената равенка ни овозможува да извлечеме заклучоци за нејзините корени. Во зависност од вредностите на a и c, вредноста на изразот може да биде негативна (на пример, ако a=1 и c=2 , тогаш ) или позитивна, (на пример, ако a=−2 и c=6 , тогаш ), тоа не е еднакво на нула , бидејќи по услов c≠0 . Одделно ќе ги анализираме случаите и .

Ако , тогаш равенката нема корени. Оваа изјава произлегува од фактот дека квадратот на кој било број е ненегативен број. Од ова произлегува дека кога , тогаш за кој било број p еднаквоста не може да биде вистина.

Ако , тогаш ситуацијата со корените на равенката е различна. Во овој случај, ако се потсетиме, тогаш коренот на равенката веднаш станува очигледен, тоа е бројот, бидејќи. Лесно е да се погоди дека бројот е исто така коренот на равенката, навистина, . Оваа равенка нема други корени, што може да се покаже, на пример, со контрадикција. Ајде да го направиме тоа.

Да ги означиме штотуку изразените корени на равенката како x 1 и −x 1 . Да претпоставиме дека равенката има друг корен x 2 различен од наведените корени x 1 и −x 1 . Познато е дека замената во равенката наместо x од нејзините корени ја претвора равенката во вистинска нумеричка еднаквост. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Својствата на нумеричките еднаквости ни овозможуваат да извршиме одземање по член на вистинските нумерички еднаквости, па со одземање на соодветните делови од равенствата се добива x 1 2 − x 2 2 =0. Својствата на операциите со броеви ни овозможуваат да ја преработиме добиената еднаквост како (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Знаеме дека производот на два броја е еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е еднаков на нула. Според тоа, од добиената еднаквост произлегува дека x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0 , што е исто, x 2 =x 1 и/или x 2 = −x 1 . Значи, дојдовме до контрадикција, бидејќи на почетокот рековме дека коренот на равенката x 2 е различен од x 1 и −x 1 . Ова докажува дека равенката нема други корени освен и .

Ајде да ги сумираме информациите во овој пасус. Нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0 е еквивалентна на равенката , која

• нема корени ако,
• има два корени и ако .

Размислете за примери за решавање на нецелосни квадратни равенки од формата a·x 2 +c=0 .

Да почнеме со квадратната равенка 9 x 2 +7=0 . Откако ќе го пренесеме слободниот член на десната страна од равенката, тој ќе добие форма 9·x 2 =−7. Поделувајќи ги двете страни на добиената равенка со 9, доаѓаме до. Бидејќи на десната страна се добива негативен број, оваа равенка нема корени, па затоа првобитната нецелосна квадратна равенка 9 x 2 +7=0 нема корени.

Да решиме уште една нецелосна квадратна равенка −x 2 +9=0. Ги пренесуваме деветте на десната страна: -x 2 \u003d -9. Сега ги делиме двата дела со −1, добиваме x 2 =9. Десната страна содржи позитивен број, од кој заклучуваме дека или . Откако ќе го запишеме конечниот одговор: нецелосната квадратна равенка −x 2 +9=0 има два корени x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Останува да се занимаваме со решението на последниот тип на нецелосни квадратни равенки за c=0 . Нецелосните квадратни равенки од формата a x 2 +b x=0 ви овозможува да решавате метод на факторизација. Очигледно, можеме, сместени на левата страна на равенката, за што е доволно да го извадиме заедничкиот фактор x од заградите. Ова ни овозможува да преминеме од првобитната нецелосна квадратна равенка на еквивалентна равенка од формата x·(a·x+b)=0. И оваа равенка е еквивалентна на множеството од две равенки x=0 и x+b=0 , од кои последната е линеарна и има корен x=−b/a .

Значи, нецелосната квадратна равенка a x 2 +b x=0 има два корени x=0 и x=−b/a.

За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете ја равенката.

Одлука.

Го вадиме x од загради, ова ја дава равенката. Тоа е еквивалентно на две равенки x=0 и . Добиената линеарна равенка ја решаваме: , и по делењето на мешаниот број со обична дропка, наоѓаме . Според тоа, корените на првобитната равенка се x=0 и .

По добивањето на потребната пракса, решенијата на ваквите равенки можат накратко да се напишат:

Одговор:

x=0,.

Дискриминантна, формула на корените на квадратна равенка

За решавање на квадратни равенки, постои коренска формула. Ајде да запишеме формулата на корените на квадратната равенка: , каде D=b 2 −4 a c- т.н дискриминатор на квадратна равенка. Ознаката во суштина значи дека .

Корисно е да се знае како е добиена коренската формула и како се применува при пронаоѓање на корените на квадратните равенки. Ајде да се справиме со ова.

Изведување на формулата на корените на квадратна равенка

Дозволете ни да ја решиме квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0 . Ајде да извршиме некои еквивалентни трансформации:

• Можеме да ги поделиме двата дела од оваа равенка со ненула број a, како резултат на тоа ја добиваме намалената квадратна равенка.
• Сега изберете полн квадратна неговата лева страна: . После тоа, равенката ќе добие форма.
• Во оваа фаза, можно е да се изврши пренос на последните два мандати на десната страна со спротивен знак, имаме .
• А да го трансформираме и изразот од десната страна: .

Како резултат на тоа, доаѓаме до равенката , која е еквивалентна на првобитната квадратна равенка a·x 2 +b·x+c=0 .

Ние веќе решивме равенки слични по форма во претходните параграфи кога анализиравме. Ова ни овозможува да ги извлечеме следните заклучоци во врска со корените на равенката:

• ако , тогаш равенката нема реални решенија;
• ако , тогаш равенката ја има формата, значи, , од која е видлив нејзиниот единствен корен;
• ако , тогаш или , што е исто како или , односно равенката има два корени.

Така, присуството или отсуството на корените на равенката, а оттука и првобитната квадратна равенка, зависи од знакот на изразот на десната страна. За возврат, знакот на овој израз се одредува со знакот на броителот, бидејќи именителот 4 a 2 е секогаш позитивен, односно знакот на изразот b 2 −4 a c . Овој израз b 2 −4 a c се нарекува дискриминатор на квадратна равенкаи означени со буквата Д. Оттука, суштината на дискриминаторот е јасна - по неговата вредност и знак се заклучува дали квадратната равенка има вистински корени, и ако има, колкав е нивниот број - еден или два.

Се враќаме на равенката , ја препишуваме користејќи ја ознаката на дискриминаторот: . И заклучуваме:

• ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ако D=0, тогаш оваа равенка има еден корен;
• конечно, ако D>0, тогаш равенката има два корени или , кои може да се препишат во форма или , и по проширување и намалување на дропките на заеднички именител, добиваме .

Така ги изведовме формулите за корените на квадратната равенка, тие изгледаат како , каде што дискриминантата D се пресметува со формулата D=b 2 −4 a c .

Со нивна помош, со позитивна дискриминаторна, можете да ги пресметате двата реални корени на квадратна равенка. Кога дискриминаторот е еднаков на нула, двете формули даваат иста коренска вредност што одговара на единственото решение на квадратната равенка. И со негативна дискриминаторна, кога се обидуваме да ја искористиме формулата за корените на квадратна равенка, се соочуваме со извлекување на квадратниот корен од негативен број, што не носи надвор од опсегот на училишната програма. Со негативна дискриминанта, квадратната равенка нема вистински корени, туку има пар комплексен конјугаткорени, кои може да се најдат со користење на истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со помош на коренски формули

Во пракса, кога решавате квадратна равенка, можете веднаш да ја користите коренската формула, со која ќе ги пресметате нивните вредности. Но, ова е повеќе за наоѓање сложени корени.

Меѓутоа, во училишниот курс за алгебра, обично не зборуваме за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Во овој случај, препорачливо е прво да се најде дискриминаторот пред да се користат формулите за корените на квадратната равенка, да се увериме дека е ненегативна (во спротивно можеме да заклучиме дека равенката нема вистински корени), а потоа пресметајте ги вредностите на корените.

Горенаведеното расудување ни дозволува да пишуваме алгоритам за решавање на квадратна равенка. За да ја решите квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0, потребно е:

• користејќи ја формулата за дискриминација D=b 2 −4 a c пресметај ја неговата вредност;
• заклучи дека квадратната равенка нема вистински корени ако дискриминантата е негативна;
• пресметај го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата ако D=0 ;
• најдете два реални корени на квадратна равенка користејќи ја коренската формула ако дискриминантата е позитивна.

Овде само забележуваме дека ако дискриминаторот е еднаков на нула, формулата исто така може да се користи, таа ќе ја даде истата вредност како .

Можете да преминете на примери за примена на алгоритам за решавање на квадратни равенки.

Примери за решавање на квадратни равенки

Размислете за решенија на три квадратни равенки со позитивна, негативна и нулта дискриминантна. Откако се занимававме со нивното решение, по аналогија ќе биде можно да се реши која било друга квадратна равенка. Да почнеме.

Пример.

Најдете ги корените на равенката x 2 +2 x−6=0 .

Одлука.

Во овој случај ги имаме следните коефициенти на квадратната равенка: a=1 , b=2 и c=−6 . Според алгоритмот, прво треба да ја пресметате дискриминаторот, за ова ги заменуваме наведените a, b и c во формулата за дискриминација, имаме D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Бидејќи 28>0, односно дискриминантата е поголема од нула, квадратната равенка има два реални корени. Ајде да ги најдеме по формулата на корените , добиваме , тука можеме да ги поедноставиме изразите добиени со правење факторингирање на знакот на коренотпроследено со намалување на фракциите:

Одговор:

Да преминеме на следниот типичен пример.

Пример.

Решете ја квадратната равенка −4 x 2 +28 x−49=0 .

Одлука.

Започнуваме со наоѓање на дискриминаторот: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Според тоа, оваа квадратна равенка има еден корен, кој го наоѓаме како , т.е.

Одговор:

x=3,5 .

Останува да се разгледа решението на квадратните равенки со негативна дискриминантна.

Пример.

Решете ја равенката 5 y 2 +6 y+2=0 .

Одлука.

Еве ги коефициентите на квадратната равенка: a=5 , b=6 и c=2 . Заменувајќи ги овие вредности во формулата за дискриминација, имаме D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Дискриминантата е негативна, затоа оваа квадратна равенка нема вистински корени.

Ако треба да наведете сложени корени, тогаш ја користиме добро познатата формула за корените на квадратната равенка и изведуваме операции со сложени броеви:

Одговор:

нема вистински корени, сложените корени се: .

Уште еднаш забележуваме дека ако дискриминантата на квадратната равенка е негативна, тогаш училиштето обично веднаш го запишува одговорот во кој укажуваат дека нема вистински корени и не наоѓаат сложени корени.

Корен формула за дури втори коефициенти

Формулата за корените на квадратната равенка , каде што D=b 2 −4 a c ви овозможува да добиете покомпактна формула која ви овозможува да решавате квадратни равенки со парен коефициент на x (или едноставно со коефициент што изгледа како 2 n , на пример, или 14 ln5=2 7 ln5 ). Ајде да ја извадиме.

Да речеме дека треба да решиме квадратна равенка од формата a x 2 +2 n x + c=0 . Ајде да ги најдеме неговите корени користејќи ја формулата која ни е позната. За да го направите ова, ја пресметуваме дискриминаторот D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), а потоа ја користиме коренската формула:

Означете го изразот n 2 − a c како D 1 (понекогаш се означува D "). Тогаш формулата за корените на разгледуваната квадратна равенка со вториот коефициент 2 n добива форма , каде што D 1 =n 2 −a c .

Лесно е да се види дека D=4·D 1 , или D 1 =D/4 . Со други зборови, D 1 е четвртиот дел од дискриминаторот. Јасно е дека знакот D 1 е ист како знакот D. Односно, знакот D 1 е исто така показател за присуството или отсуството на корените на квадратната равенка.

Значи, за да решите квадратна равенка со вториот коефициент 2 n, ви треба

• Пресметај D 1 =n 2 −a·c ;
• Ако Д 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ако D 1 =0, тогаш пресметајте го единствениот корен на равенката користејќи ја формулата;
• Ако D 1 >0, тогаш пронајдете два вистински корени користејќи ја формулата.

Размислете за решението на примерот користејќи ја коренската формула добиена во овој став.

Пример.

Решете ја квадратната равенка 5 x 2 −6 x−32=0 .

Одлука.

Вториот коефициент на оваа равенка може да се претстави како 2·(−3) . Односно, можете да ја преработите првобитната квадратна равенка во форма 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тука a=5, n=−3 и c=−32, и да го пресметате четвртиот дел од дискриминаторски: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Бидејќи неговата вредност е позитивна, равенката има два реални корени. Ги наоѓаме користејќи ја соодветната коренска формула:

Забележете дека беше можно да се користи вообичаената формула за корените на квадратна равенка, но во овој случај, ќе треба да се направи повеќе пресметковна работа.

Одговор:

Поедноставување на формата на квадратни равенки

Понекогаш, пред да започнете со пресметување на корените на квадратната равенка користејќи формули, не е повредено да се постави прашањето: „Дали е можно да се поедностави формата на оваа равенка“? Согласете се дека во однос на пресметките ќе биде полесно да се реши квадратната равенка 11 x 2 −4 x −6=0 отколку 1100 x 2 −400 x−600=0.

Вообичаено, поедноставување на формата на квадратна равенка се постигнува со множење или делење на двете страни од неа со некој број. На пример, во претходниот пасус, успеавме да постигнеме поедноставување на равенката 1100 x 2 −400 x −600=0 со делење на двете страни со 100 .

Слична трансформација се врши со квадратни равенки, чии коефициенти не се . Во овој случај, двата дела од равенката обично се поделени со апсолутните вредности на неговите коефициенти. На пример, да ја земеме квадратната равенка 12 x 2 −42 x+48=0. апсолутни вредности на неговите коефициенти: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6. Поделувајќи ги двата дела на првобитната квадратна равенка со 6, доаѓаме до еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 −7 x+8=0.

И множењето на двата дела од квадратната равенка обично се прави за да се ослободат од фракционите коефициенти. Во овој случај, множењето се врши на именителот на неговите коефициенти. На пример, ако двата дела на квадратна равенка се помножат со LCM(6, 3, 1)=6 , тогаш таа ќе добие поедноставен облик x 2 +4 x−18=0 .

Како заклучок на овој став, забележуваме дека скоро секогаш се ослободуваме од минусот на највисокиот коефициент на квадратната равенка со менување на знаците на сите членови, што одговара на множење (или делење) на двата дела со -1. На пример, обично од квадратната равенка −2·x 2 −3·x+7=0 оди до решението 2·x 2 +3·x−7=0 .

Врска помеѓу корените и коефициентите на квадратна равенка

Формулата за корените на квадратната равенка ги изразува корените на равенката во однос на нејзините коефициенти. Врз основа на формулата на корените, можете да добиете други односи помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и најприменливите формули од теоремата на Виета за формата и . Конкретно, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, а производот на корените е слободниот член. На пример, со формата на квадратната равенка 3 x 2 −7 x+22=0, веднаш можеме да кажеме дека збирот на неговите корени е 7/3, а производот на корените е 22/3.

Користејќи ги веќе напишаните формули, можете да добиете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, можете да го изразите збирот на квадратите на корените на квадратната равенка во однос на нејзините коефициенти: .

Библиографија.

• Алгебра:тетратка за 8 клетки. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; ед. С.А. Телјаковски. - 16-ти ед. - М. : Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. Во 14 часот, Дел 1. Учебник за студенти на образовни институции / А. Г. Мордкович. - 11. издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Задачите за квадратна равенка се изучуваат и во училишната програма и на универзитетите. Тие се сфаќаат како равенки од формата a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, каде што x-променлива, a,b,c – константи; а<>0 . Проблемот е да се најдат корените на равенката.

Геометриското значење на квадратната равенка

Графикот на функција што е претставена со квадратна равенка е парабола. Решенијата (корените) на квадратна равенка се точките на пресек на параболата со оската x. Следи дека постојат три можни случаи:
1) параболата нема точки на пресек со оската x. Тоа значи дека е во горната рамнина со гранки нагоре или долната со гранки надолу. Во такви случаи, квадратната равенка нема вистински корени (има два сложени корени).

2) параболата има една точка на пресек со оската Ox. Таквата точка се нарекува теме на параболата, а квадратната равенка во неа ја добива својата минимална или максимална вредност. Во овој случај, квадратната равенка има еден реален корен (или два идентични корени).

3) Последниот случај е поинтересен во пракса - има две точки на пресек на параболата со оската на апсцисата. Ова значи дека има два реални корени на равенката.

Врз основа на анализата на коефициентите на моќноста на променливите, може да се извлечат интересни заклучоци за поставеноста на параболата.

1) Ако коефициентот a е поголем од нула, тогаш параболата е насочена нагоре, ако е негативна, гранките на параболата се насочени надолу.

2) Ако коефициентот b е поголем од нула, тогаш темето на параболата лежи во левата полурамнина, ако зема негативна вредност, тогаш во десната.

Изведување на формула за решавање на квадратна равенка

Да ја пренесеме константата од квадратната равенка

за знакот за еднаквост го добиваме изразот

Помножете ги двете страни со 4а

За да добиете полн квадрат лево, додадете b ^ 2 во двата дела и извршете ја трансформацијата

Од тука наоѓаме

Формула на дискриминација и корени на квадратната равенка

Дискриминантот е вредноста на радикалниот израз.Ако е позитивен, тогаш равенката има два реални корени, пресметани со формулата Кога дискриминантата е нула, квадратната равенка има едно решение (два совпаѓачки корени), кои лесно се добиваат од горната формула за D=0. Кога дискриминантата е негативна, нема вистински корени. Меѓутоа, за да се проучат решенијата на квадратната равенка во сложената рамнина, а нивната вредност се пресметува со формулата

Теорема на Виета

Разгледајте два корени на квадратна равенка и конструирајте квадратна равенка врз основа на нив Самата теорема Виета лесно произлегува од ознаката: ако имаме квадратна равенка на формата тогаш збирот на неговите корени е еднаков на коефициентот p, земен со спротивен знак, а производот од корените на равенката е еднаков на слободниот член q. Формулата за горенаведеното ќе изгледа вака.

Распоред на квадратната равенка на фактори

Нека биде поставена задачата: да се разложи квадратната равенка на фактори. За да го извршиме, прво ја решаваме равенката (најдете ги корените). Следно, пронајдените корени ги заменуваме во формулата за проширување на квадратната равенка.Овој проблем ќе биде решен.

Задачи за квадратна равенка

Задача 1. Најдете ги корените на квадратната равенка

x^2-26x+120=0.

Решение: Запишете ги коефициентите и заменете ги во формулата за дискриминација

Коренот на оваа вредност е 14, лесно е да се најде со калкулатор или да се запамети со честа употреба, сепак, за погодност, на крајот од статијата ќе ви дадам список со квадрати на броеви кои често може да се пронајдени во такви задачи.
Пронајдената вредност се заменува во коренската формула

и добиваме

Задача 2. реши ја равенката

2x2+x-3=0.

Решение: Имаме целосна квадратна равенка, ги запишуваме коефициентите и ја наоѓаме дискриминантната


Користејќи добро познати формули, ги наоѓаме корените на квадратната равенка

Задача 3. реши ја равенката

9x2 -12x+4=0.

Решение: Имаме целосна квадратна равенка. Одреди го дискриминаторот

Добивме случај кога корените се совпаѓаат. Ги наоѓаме вредностите на корените по формулата

Задача 4. реши ја равенката

x^2+x-6=0 .

Решение: Во случаи кога има мали коефициенти за x, препорачливо е да се примени теоремата Виета. Според неговата состојба, добиваме две равенки

Од вториот услов, добиваме дека производот мора да биде еднаков на -6. Ова значи дека еден од корените е негативен. Го имаме следниот можен пар решенија(-3;2), (3;-2) . Земајќи го предвид првиот услов, го отфрламе вториот пар решенија.
Корените на равенката се

Задача 5. Најдете ги должините на страните на правоаголникот ако неговиот периметар е 18 cm, а плоштината е 77 cm 2.

Решение: Половина од периметарот на правоаголникот е еднаква на збирот на соседните страни. Да ја означиме x - поголемата страна, тогаш 18-x е нејзината помала страна. Плоштината на правоаголникот е еднаква на производот од овие должини:
x(18x)=77;
или
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Најдете ја дискриминантата на равенката

Ги пресметуваме корените на равенката

Ако x=11,тогаш 18x=7,обратно е исто така точно (ако x=7, тогаш 21-x=9).

Задача 6. Факторизирајте ја квадратната равенка 10x 2 -11x+3=0.

Решение: Пресметај ги корените на равенката, за ова ја наоѓаме дискриминантната

Пронајдената вредност ја заменуваме во формулата на корените и пресметуваме

Ја применуваме формулата за проширување на квадратната равенка во однос на корените

Проширувајќи ги заградите, го добиваме идентитетот.

Квадратна равенка со параметар

Пример 1. За кои вредности на параметарот а ,дали равенката (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 има еден корен?

Решение: Со директна замена на вредноста a=3, гледаме дека таа нема решение. Понатаму, ќе го искористиме фактот дека со нулта дискриминанта, равенката има еден корен од множина 2. Ајде да го отпишеме дискриминаторот

поедностави го и изедначи на нула

Добивме квадратна равенка во однос на параметарот a, чиешто решение е лесно да се добие со помош на теоремата на Виета. Збирот на корените е 7, а нивниот производ е 12. Со едноставно набројување, утврдуваме дека броевите 3.4 ќе бидат корени на равенката. Бидејќи веќе го отфрливме решението a=3 на почетокот на пресметките, единственото точно ќе биде - a=4.Така, за a = 4, равенката има еден корен.

Пример 2. За кои вредности на параметарот а ,равенката a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повеќе од еден корен?

Решение: Размислете прво за еднините точки, тие ќе бидат вредностите a=0 и a=-3. Кога a=0, равенката ќе се поедностави во формата 6x-9=0; x=3/2 и ќе има еден корен. За a= -3 го добиваме идентитетот 0=0 .
Пресметајте го дискриминаторот

и најдете ги вредностите на a за кои е позитивно

Од првиот услов добиваме a>3. За втората, ги наоѓаме дискриминаторот и корените на равенката


Да ги дефинираме интервалите каде функцијата зема позитивни вредности. Со замена на точката a=0 добиваме 3>0 . Значи, надвор од интервалот (-3; 1/3) функцијата е негативна. Не заборавајте на точката a=0што треба да се исклучи, бидејќи првобитната равенка има еден корен во неа.
Како резултат на тоа, добиваме два интервали кои ја задоволуваат состојбата на проблемот

Ќе има многу слични задачи во пракса, обидете се сами да се справите со задачите и не заборавајте да ги земете предвид условите кои меѓусебно се исклучуваат. Добро проучете ги формулите за решавање квадратни равенки, тие се доста често потребни во пресметките во различни проблеми и науки.

Се надевам дека по проучувањето на овој напис, ќе научите како да ги најдете корените на целосна квадратна равенка.

Со помош на дискриминаторот се решаваат само целосни квадратни равенки, за решавање на нецелосни квадратни равенки се користат други методи кои ќе ги најдете во статијата „Решавање на нецелосни квадратни равенки“.

Кои квадратни равенки се нарекуваат целосни? Ова е равенки од формата ax 2 + b x + c = 0, каде што коефициентите a, b и c не се еднакви на нула. Значи, за да ја решите целосната квадратна равенка, треба да ја пресметате дискриминантната Д.

D \u003d b 2 - 4ac.

Во зависност од тоа каква вредност има дискриминаторот, ќе го запишеме одговорот.

Ако дискриминаторот е негативен број (Д< 0),то корней нет.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш x \u003d (-b) / 2a. Кога дискриминаторот е позитивен број (D > 0),

тогаш x 1 = (-b - √D)/2a, и x 2 = (-b + √D)/2a.

На пример. реши ја равенката x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Одговор: 2.

Решете ја равенката 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Одговор: нема корени.

Решете ја равенката 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Одговор: - 3,5; еден.

Значи, да го замислиме решението на целосните квадратни равенки според шемата на Слика 1.

Овие формули може да се користат за решавање на која било целосна квадратна равенка. Само треба да внимавате на равенката е напишана како полином со стандардна форма

а x 2 + bx + c,инаку можеш да згрешиш. На пример, при пишување на равенката x + 3 + 2x 2 = 0, може погрешно да одлучите дека

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогаш

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 и тогаш равенката има два корени. И ова не е вистина. (Види пример 2 решение погоре).

Според тоа, ако равенката не е напишана како полином на стандардната форма, прво целосната квадратна равенка мора да се запише како полином на стандардната форма (мономот со најголем експонент треба да биде на прво место, т.е. а x 2 , потоа со помалку – bx, а потоа и слободниот термин со.

При решавање на горната квадратна равенка и квадратната равенка со парен коефициент за вториот член, може да се користат и други формули. Ајде да се запознаеме со овие формули. Ако во целосната квадратна равенка со вториот член коефициентот е парен (b = 2k), тогаш равенката може да се реши со помош на формулите прикажани на дијаграмот на Слика 2.

Целосна квадратна равенка се нарекува намалена ако коефициентот на x 2 е еднакво на единство и равенката добива форма x 2 + px + q = 0. Таква равенка може да се даде за решавање, или се добива со делење на сите коефициенти на равенката со коефициентот астоејќи на x 2 .

На слика 3 е прикажан дијаграм на решението на намалениот квадрат
равенки. Размислете за примерот на примена на формулите што се дискутирани во овој напис.

Пример. реши ја равенката

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Ајде да ја решиме оваа равенка користејќи ги формулите прикажани на слика 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3

Можете да видите дека коефициентот на x во оваа равенка е парен број, односно b \u003d 6 или b \u003d 2k, од каде k \u003d 3. Потоа да се обидеме да ја решиме равенката користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на сликата D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3. Забележувајќи дека сите коефициенти во оваа квадратна равенка се деливи со 3 и делејќи ја, ја добиваме намалената квадратна равенка x 2 + 2x - 2 = 0 Оваа равенка ја решаваме користејќи ги формулите за намалениот квадрат
равенки слика 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3.

Како што можете да видите, кога ја решававме оваа равенка користејќи различни формули, го добивме истиот одговор. Затоа, откако добро ги совладавте формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1, секогаш можете да решите која било целосна квадратна равенка.

сајт, со целосно или делумно копирање на материјалот, потребна е врска до изворот.

Јакупова М.И. 1

Смирнова Ју.В. еден

1 Општинска буџетска образовна установа средно училиште бр.11

Текстот на делото е поставен без слики и формули.
Целосната верзија на делото е достапна во табулаторот „Датотеки за работни места“ во PDF формат

Историја на квадратни равенки

Вавилон

Потребата да се решаваат равенките не само од прв, туку и од втор степен, дури и во античко време, била предизвикана од потребата за решавање на проблемите поврзани со пронаоѓањето на површините на земјата, со развојот на самата астрономија и математика. Квадратните равенки можеа да решат околу 2000 п.н.е. д. Вавилонци. Правилата за решавање на овие равенки поставени во вавилонските текстови во суштина се совпаѓаат со современите, но овие текстови немаат концепт за негативен број и општи методи за решавање на квадратни равенки.

Античка Грција

Во античка Грција, научниците како Диофант, Евклид и Херон исто така се занимавале со решавање на квадратни равенки. Диофант Диофант Александриски бил антички грчки математичар кој се претпоставува дека живеел во 3 век од нашата ера. Главното дело на Диофант е „Аритметика“ во 13 книги. Евклид. Евклид е антички грчки математичар, автор на првиот теоретски трактат за математика што дошол до нас, Херон. Херон - грчки математичар и инженер за прв пат во Грција во 1 век од нашата ера. дава чисто алгебарски начин на решавање на квадратната равенка

Индија

Проблемите за квадратните равенки веќе се наоѓаат во астрономскиот трактат „Аријабхатам“, составен во 499 година од индискиот математичар и астроном Аријабхата. Друг индиски научник, Брамагупта (VII век), го наведе општото правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Во равенката (1), коефициентите можат да бидат и негативни . Правилото на Брахмагупта во суштина се совпаѓа со нашето. Во Индија, јавните натпревари за решавање на тешки проблеми беа вообичаени. Во една од старите индиски книги, за таквите натпревари се вели следново: „Како што сонцето ги надминува ѕвездите со својот сјај, така учениот човек ќе ја надмине славата на јавните состаноци, предлагајќи и решавајќи алгебарски проблеми“. Задачите честопати беа облечени во поетска форма.

Еве еден од проблемите на познатиот индиски математичар од XII век. Баскара.

„Железно јато мајмуни

И дванаесет покрај винова лоза

Почнаа да скокаат, висејќи

Тие го исфрлија на квадрат осмиот дел

Колку мајмуни беа

Забавно на ливадата

Кажи ми, во ова јато?

Решението на Бхаскара покажува дека авторот бил свесен за двовредноста на корените на квадратните равенки. Баскар ја запишува равенката што одговара на проблемот под формата x2 - 64x = - 768 и, за да ја комплетира левата страна на оваа равенка на квадрат, тој додава 322 на двата дела, а потоа добива: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

Квадратни равенки во Европа од 17 век

Формулите за решавање на квадратни равенки по моделот на Ал-Хорезми во Европа за прв пат се изнесени во „Книгата на абакусот“, напишана во 1202 година од италијанскиот математичар Леонардо Фибоначи. Ова обемно дело, кое го отсликува влијанието на математиката, како во земјите на исламот, така и во Античка Грција, се одликува и со комплетноста и по јасноста на презентацијата. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примери за решавање проблеми и бил првиот во Европа кој пристапил кон воведување на негативни броеви. Неговата книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу задачи од „Книгата на абакусот“ поминале во речиси сите европски учебници од 16 - 17 век. а делумно XVIII. Виета има општо изведување на формулата за решавање на квадратна равенка, но Виета препознала само позитивни корени. Италијанските математичари Тартаља, Кардано, Бомбели биле меѓу првите во 16 век. Земете ги предвид, покрај позитивните, и негативните корени. Само во XVII век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Њутн и други научници, начинот на решавање на квадратните равенки добива модерен изглед.

Дефиниција на квадратна равенка

Равенката од формата ax 2 + bx + c = 0, каде што a, b, c се броеви, се нарекува квадратна равенка.

Коефициенти на квадратна равенка

Броевите a, b, c се коефициенти на квадратната равенка a е првиот коефициент (пред x²), a ≠ 0; b е вториот коефициент (пред x), c е слободен член (без x).

Кои од овие равенки не се квадратни?

1. 4x² + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8х²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Видови квадратни равенки

Се нарекува намалена квадратна равенка, во која водечкиот коефициент е еднаков на еден. Таква равенка може да се добие со делење на целиот израз со водечкиот коефициент а:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Квадратната равенка се вели дека е целосна ако сите нејзини коефициенти се ненула.

Таквата квадратна равенка се нарекува нецелосна ако барем еден од коефициентите, освен највисокиот (или вториот коефициент или слободниот член), е еднаков на нула.

Начини за решавање на квадратни равенки

Јас начин. Општа формула за пресметување на корените

Да се ​​најдат корените на квадратна равенка секира 2 + b + c = 0Во принцип, треба да се користи следниов алгоритам:

Пресметајте ја вредноста на дискриминаторот на квадратната равенка: ова е изразот за неа D=б 2 - 4ac

Изведување на формулата:

Забелешка:очигледно е дека формулата за коренот на множеството 2 е посебен случај на општата формула, се добива со замена на еднаквоста D=0 во неа, а заклучокот за отсуството на реални корени со D0, и (стил на прикажување ( sqrt (-1))=i) = i.

Опишаниот метод е универзален, но тој е далеку од единствениот. На решението на една равенка може да се пристапи на различни начини, преференциите обично зависат од самиот решавач. Покрај тоа, често за ова некои од методите излегуваат многу поелегантни, поедноставни, помалку одземаат време од стандардниот.

II начин. Корените на квадратна равенка со парен коефициентб III начин. Решавање на нецелосни квадратни равенки

IV начин. Користење на парцијални соодноси на коефициенти

Постојат посебни случаи на квадратни равенки во кои коефициентите се пропорционални еден со друг, што го олеснува нивното решавање.

Корените на квадратна равенка во која збирот на водечкиот коефициент и слободниот член е еднаков на вториот коефициент

Ако во квадратна равенка секира 2 + bx + c = 0збирот на првиот коефициент и слободниот член е еднаков на вториот коефициент: a+b=c, тогаш неговите корени се -1 и бројот спротивен на односот на слободниот член со водечкиот коефициент ( -c/a).

Оттука, пред да се реши која било квадратна равенка, треба да се провери можноста за примена на оваа теорема: споредете го збирот на водечкиот коефициент и слободниот член со вториот коефициент.

Корените на квадратна равенка чиј збир на сите коефициенти е нула

Ако во квадратна равенка збирот на сите негови коефициенти е еднаков на нула, тогаш корените на таквата равенка се 1 и односот на слободниот член со водечкиот коефициент ( c/a).

Оттука, пред да се реши равенката со стандардни методи, треба да се провери применливоста на оваа теорема за неа: соберете ги сите коефициенти на оваа равенка и видете дали оваа сума е еднаква на нула.

V начин. Разложување на квадратен трином на линеарни фактори

Ако трином од формата (стил на прикажување ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)може некако да се претстави како производ на линеарни фактори (стил на прикажување (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), тогаш можеме да ги најдеме корените на равенката секира 2 + bx + c = 0- тие ќе бидат -m / k и n / l, навистина, затоа што (стил на приказ (kx+m)(lx+n)=0Долгадесна стрелка kx+m=0шолја lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, а со решавање на посочените линеарни равенки го добиваме горенаведеното. Забележете дека квадратниот трином не секогаш се разложува на линеарни фактори со реални коефициенти: тоа е можно ако равенката што одговара на него има реални корени.

Размислете за некои посебни случаи

Користење на формулата за квадрат на збирот (разлика)

Ако квадратниот трином ја има формата (стил на прикажување (акс)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , тогаш со примена на горната формула за него, можеме да го факторингираме во линеарни фактори и, затоа, најдете корени:

(секира) 2 + 2abx + b 2 = (секира + б) 2

Избор на полн квадрат од збирот (разлика)

Исто така, именуваната формула се користи со методот наречен „избор на полн квадрат на збирот (разлика)“. Во однос на дадената квадратна равенка со ознаката воведена претходно, тоа значи следново:

Забелешка:ако забележите, оваа формула се совпаѓа со предложената во делот „Корени на редуцираната квадратна равенка“, која пак може да се добие од општата формула (1) со замена на еднаквоста a=1. Овој факт не е само случајност: со опишаниот метод, имајќи, сепак, дополнително расудување, можно е да се изведе општа формула, како и да се докажат својствата на дискриминаторот.

VI начин. Користење на директна и инверзна теорема Виета

Директната теорема на Виета (види подолу во истоимениот дел) и нејзината инверзна теорема ни овозможуваат усно да ги решиме намалените квадратни равенки без прибегнување кон прилично незгодни пресметки користејќи ја формулата (1).

Според инверзната теорема, кој било пар на броеви (број) (стил на прикажување x_(1), x_(2)) x 1, x 2 е решение на системот равенки подолу, се корените на равенката

Во општиот случај, односно за ненамалена квадратна равенка ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Директна теорема ќе ви помогне вербално да изберете броеви што ги задоволуваат овие равенки. Со негова помош, можете да ги одредите знаците на корените без да ги знаете самите корени. За да го направите ова, следете го правилото:

1) ако слободниот член е негативен, тогаш корените имаат различен знак, а најголемата апсолутна вредност на корените е знакот спротивен на знакот на вториот коефициент на равенката;

2) ако слободниот член е позитивен, тогаш двата корени имаат ист знак, а ова е спротивен знак на вториот коефициент.

7-ми начин. Начин на пренос

Таканаречениот метод на „пренос“ овозможува да се сведе решението на нередуцираните и нетрансформабилните равенки во форма на равенки намалени со целобројни коефициенти со нивно делење со водечкиот коефициент на равенки до решението на равенките намалени со цел број. коефициенти. Тоа е како што следува:

Следно, равенката се решава усно на начин опишан погоре, потоа тие се враќаат на оригиналната променлива и ги наоѓаат корените на равенките (стил на прикажување y_(1)=ax_(1)) y 1 = секира 1 и y 2 = секира 2 .(стил на прикажување y_(2)=ax_(2))

геометриска смисла

Графикот на квадратна функција е парабола. Решенијата (корените) на квадратна равенка се апсцисите на точките на пресек на параболата со оската на апсцисата. Ако параболата опишана со квадратна функција не ја пресекува оската x, равенката нема вистински корени. Ако параболата ја пресекува оската x во една точка (на темето на параболата), равенката има еден реален корен (се вели дека равенката има два корени кои се совпаѓаат). Ако параболата ја пресекува оската x во две точки, равенката има два реални корени (видете ја сликата десно.)

Ако коефициентот (стил на прикажување a) апозитивно, гранките на параболата се насочени нагоре и обратно. Доколку коефициентот (стил на приказ б)бпозитивен (кога е позитивен (стил на прикажување а) а, ако е негативно, обратно), тогаш темето на параболата лежи во левата полурамнина и обратно.

Примена на квадратни равенки во животот

Квадратната равенка е широко распространета. Се користи во многу пресметки, структури, спортови, а исто така и околу нас.

Размислете и наведете неколку примери за примена на квадратната равенка.

Спорт. Високи скокови: кога скокачот полетува, за најпрецизен удар на одбивната лента и висок лет, се користат пресметки поврзани со параболата.

Исто така, слични пресметки се потребни и при фрлањето. Опсегот на летот на објектот зависи од квадратна равенка.

Астрономија. Траекторијата на планетите може да се најде со помош на квадратна равенка.

Лет со авион. Полетувањето на авион е главната компонента на летот. Овде пресметката се зема за мал отпор и забрзување на полетувањето.

Исто така, квадратните равенки се користат во различни економски дисциплини, во програми за обработка на звук, видео, векторска и растерска графика.

Заклучок

Како резултат на завршената работа, се покажа дека квадратните равенки привлекувале научници во античко време, тие веќе се сретнале со нив при решавање на некои проблеми и се обиделе да ги решат. Разгледувајќи различни начини за решавање на квадратни равенки, дојдов до заклучок дека не се сите едноставни. Според мое мислење, најдобриот начин за решавање на квадратни равенки е да се користат формули. Формулите лесно се паметат, овој метод е универзален. Се потврди хипотезата дека равенките се широко користени во животот и математиката. Откако ја проучував темата, научив многу интересни факти за квадратните равенки, нивната употреба, примена, видови, решенија. И ќе продолжам да ги проучувам со задоволство. Се надевам дека ова ќе ми помогне да поминам добро на моите испити.

Список на користена литература

Материјали на локацијата:

Википедија

Отворен час.rf

Прирачник за елементарна математика Vygodsky M. Ya.