Графикони на функции во форма на животни. Линеарна функција и нејзиниот график

Дефиниција: Нумеричка функција е кореспонденција што го поврзува секој број x од одредено множество со единечен број y.

Ознака:

каде што x е независна променлива (аргумент), y е зависна променлива (функција). Множеството вредности на x се нарекува домен на функцијата (означено D(f)). Множеството вредности на y се нарекува опсег на вредности на функцијата (означено E(f)). Графикот на функцијата е множество точки во рамнината со координати (x, f(x))

Методи за одредување функција.

1. аналитички метод (со користење на математичка формула);
2. табеларен метод (со користење на табела);
3. описен метод (со користење на вербален опис);
4. графички метод (со користење на график).

Основни својства на функцијата.

1. Парни и непарни

Функцијата се повикува дури и ако
– доменот на дефиниција на функцијата е симетричен околу нула
f(-x) = f(x)

Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската 0 г

Функцијата се нарекува непарна ако
– доменот на дефиниција на функцијата е симетричен околу нула
– за кој било x од доменот на дефиниција f(-x) = –f(x)

Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото.

2. Фреквенција

Функцијата f(x) се нарекува периодична со период ако за кој било x од доменот на дефиниција f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Графикот на периодична функција се состои од неограничено повторување на идентични фрагменти.

3. Монотонија (зголемување, намалување)

Функцијата f(x) се зголемува на множеството P ако за кое било x 1 и x 2 од ова множество така што x 1

Функцијата f(x) се намалува на множеството P ако за кои било x 1 и x 2 од ова множество, така што x 1 f(x 2) .

4. Екстреми

Точката X max се нарекува максимална точка на функцијата f(x) ако за сите x од некое соседство на X max е исполнета неравенката f(x) f(X max).

Вредноста Y max =f(X max) се нарекува максимум на оваа функција.

X max – максимална точка
На максимум - максимум

Точката X min се нарекува минимална точка на функцијата f(x) ако за сите x од некое соседство на X min е исполнета неравенката f(x) f(X min).

Вредноста Y min =f(X min) се нарекува минимум на оваа функција.

X min – минимална точка
Y min – минимум

X min , X max – екстремни точки
Y min , Y max – екстремни.

5. Нули на функцијата

Нулата на функцијата y = f(x) е вредноста на аргументот x при кој функцијата станува нула: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – нули на функцијата y = f(x).

Задачи и тестови на тема „Основни својства на функцијата“

• Својства на функцијата - Нумерички функции 9-то одделение

  Лекции: 2 Задачи: 11 Тестови: 1

• Својства на логаритмите - Експоненцијални и логаритамски функции одделение 11

  Часови: 2 Задачи: 14 Тестови: 1

• Функција на квадратен корен, нејзините својства и графикон - Функција на квадратен корен. Својства на квадратен корен одделение 8

  Часови: 1 Задачи: 9 Тестови: 1

• Функции - Важни теми за прегледување на Единствениот државен испит по математика

  Задачи: 24

• Функции на моќност, нивните својства и графикони - Степени и корени. Функции за напојување 11 степен

  Часови: 4 Задачи: 14 Тестови: 1

Откако ја проучувавте оваа тема, треба да бидете во можност да го пронајдете доменот на дефиниција на различни функции, да ги одредите интервалите на монотоност на функцијата користејќи графикони и да ги испитате функциите за рамномерност и непарност. Ајде да размислиме да решиме слични проблеми користејќи ги следните примери.

Примери.

1. Најдете го доменот на дефинирање на функцијата.

Решение:од условот се наоѓа доменот на дефинирање на функцијата

затоа, функцијата f(x) е парна.

Одговор:дури

D(f) = [-1; 1] – симетрично околу нула.

па оттука функцијата не е ниту парна ниту непарна.

Одговори: ниту рамномерно ниту нерамномерно.

Должината на сегментот на координатната оска се одредува со формулата:

Должината на сегментот на координатната рамнина се наоѓа со помош на формулата:

За да ја пронајдете должината на отсечката во тродимензионален координатен систем, користете ја следнава формула:

Координатите на средината на сегментот (за координатната оска се користи само првата формула, за координатната рамнина - првите две формули, за тридимензионален координатен систем - сите три формули) се пресметуваат со помош на формулите:

Функција– ова е кореспонденција на формуларот y= ѓ(x) помеѓу променливите величини, поради што секоја сметана вредност на некоја променлива количина x(аргумент или независна променлива) одговара на одредена вредност на друга променлива, y(зависна променлива, понекогаш оваа вредност едноставно се нарекува вредност на функцијата). Забележете дека функцијата ја претпоставува таа вредност на еден аргумент Xможе да одговара само една вредност на зависната променлива на. Сепак, истата вредност наможе да се добијат со различни X.

Функциски домен- ова се сите вредности на независната променлива (аргумент на функцијата, обично ова X), за која е дефинирана функцијата, т.е. неговото значење постои. Областа на дефиниција е означена Д(y). Во голема мера, веќе сте запознаени со овој концепт. Доменот на дефиниција на функцијата инаку се нарекува домен на дозволени вредности или VA, кој долго време можете да го најдете.

Опсег на функциисе сите можни вредности на зависната променлива на дадена функција. Назначен Е(на).

Функцијата се зголемувана интервалот во кој поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата. Функцијата се намалувана интервалот во кој поголема вредност на аргументот одговара на помала вредност на функцијата.

Интервали на постојан знак на функција- тоа се интервалите на независната променлива преку кои зависната променлива го задржува својот позитивен или негативен предзнак.

Функција нули- ова се вредностите на аргументот при кој вредноста на функцијата е еднаква на нула. Во овие точки, графикот на функцијата ја пресекува оската на апсцисата (оската OX). Многу често, потребата да се најдат нулите на функцијата значи потреба едноставно да се реши равенката. Исто така, честопати потребата да се најдат интервали на постојаност на знакот значи потреба едноставно да се реши нееднаквоста.

Функција y = ѓ(x) се нарекуваат дури X

Ова значи дека за сите спротивни вредности на аргументот, вредностите на парната функција се еднакви. Графикот на парна функција е секогаш симетричен во однос на оската на ординатите на оп-засилувачот.

Функција y = ѓ(x) се нарекуваат чудно, ако е дефинирано на симетрично множество и за било кој Xод доменот на дефиниција важи еднаквоста:

Ова значи дека за сите спротивни вредности на аргументот, вредностите на непарната функција се исто така спротивни. Графикот на непарната функција е секогаш симетричен во однос на потеклото.

Збирот на корените на парните и непарните функции (точките на пресек на оската x OX) е секогаш еднаков на нула, бидејќи за секој позитивен корен Xима негативен корен - X.

Важно е да се забележи: некоја функција не мора да биде парна или непарна. Има многу функции кои не се ниту парни ниту непарни. Таквите функции се нарекуваат општи функции, и за нив ниту една од еднаквостите или својствата дадени погоре не е задоволена.

Линеарна функцијае функција која може да се даде со формулата:

Графикот на линеарна функција е права линија и во општ случај изгледа вака (даден е пример за случајот кога к> 0, во овој случај функцијата се зголемува; за приликата к < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

График на квадратна функција (Парабола)

Графикот на параболата е даден со квадратна функција:

Квадратна функција, како и секоја друга функција, ја пресекува оската OX во точките што се нејзините корени: ( x 1 ; 0) и ( x 2 ; 0). Ако нема корени, тогаш квадратната функција не ја пресекува оската OX; ако има само еден корен, тогаш во оваа точка ( x 0 ; 0) квадратната функција ја допира само оската OX, но не ја пресекува. Квадратната функција секогаш ја пресекува оската OY во точката со координати: (0; в). Графикот на квадратна функција (парабола) може да изгледа вака (на сликата се прикажани примери кои не ги исцрпуваат сите можни типови на параболи):

При што:

• ако коефициентот а> 0, во функција y = секира 2 + bx + в, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре;
• ако а < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координатите на темето на параболата може да се пресметаат со помош на следните формули. X врвови (стр- на сликите погоре) параболи (или точката во која квадратниот трином ја достигнува својата најголема или најмала вредност):

Игрек врвови (q- на сликите погоре) параболи или максимум ако гранките на параболата се насочени надолу ( а < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (а> 0), вредноста на квадратниот трином:

Графикони на други функции

Функција за напојување

Еве неколку примери на графикони на функции за моќност:

Обратно пропорционалное функција дадена со формулата:

Во зависност од знакот на бројот кОбратно пропорционален графикон на зависност може да има две основни опции:

Асимптотае права до која графикот на функцијата се приближува бесконечно блиску, но не ја пресекува. Асимптоти за графиците на инверзна пропорционалност прикажани на сликата погоре се координатните оски до кои графикот на функцијата се приближува бесконечно блиску, но не ги пресекува.

Експоненцијална функцијасо основа Ае функција дадена со формулата:

аГрафикот на експоненцијална функција може да има две основни опции (исто така даваме примери, видете подолу):

Логаритамска функцијае функција дадена со формулата:

Во зависност од тоа дали бројот е поголем или помал од еден аГрафикот на логаритамска функција може да има две основни опции:

График на функција y = |x| како што следи:

Графикони на периодични (тригонометриски) функции

Функција на = ѓ(x) се нарекува периодични, ако постои таков ненулти број Т, Што ѓ(x + Т) = ѓ(x), за секого Xод доменот на функцијата ѓ(x). Доколку функцијата ѓ(x) е периодична со период Т, потоа функцијата:

Каде: А, к, бсе константни броеви и кне е еднакво на нула, исто така периодично со точка Т 1, што се одредува со формулата:

Повеќето примери на периодични функции се тригонометриски функции. Претставуваме графикони на главните тригонометриски функции. На следната слика е прикажан дел од графиконот на функцијата y= грев x(целиот графикон продолжува неодредено лево и десно), графикон на функцијата y= грев xповикани синусоид:

График на функција y=кос xповикани косинус. Овој графикон е прикажан на следната слика. Бидејќи синусниот график продолжува неодредено долж оската OX лево и десно:

График на функција y= tg xповикани тангентоид. Овој графикон е прикажан на следната слика. Како и графиците на другите периодични функции, овој графикон се повторува неодредено по должината на оската OX лево и десно.

И конечно, графикот на функцијата y=ctg xповикани котангентоид. Овој графикон е прикажан на следната слика. Како и графиконите на другите периодични и тригонометриски функции, овој графикон се повторува неодредено по должината на оската OX лево и десно.

Успешното, вредно и одговорно спроведување на овие три точки ќе ви овозможи да покажете одличен резултат на КТ, максимум од она за што сте способни.

Најдовте грешка?

Ако мислите дека најдовте грешка во материјалите за обука, пишете за тоа преку е-пошта. Можете исто така да пријавите грешка на социјалната мрежа (). Во писмото наведете го предметот (физика или математика), името или бројот на темата или тестот, бројот на проблемот или местото во текстот (страница) каде, според Ваше мислење, има грешка. Опишете и каква е сомнителната грешка. Вашето писмо нема да остане незабележано, грешката или ќе се коригира, или ќе ви биде објаснето зошто не е грешка.

Во оваа статија ќе разгледаме линеарна функција, график на линеарна функција и нејзините својства. И, како и обично, ќе решиме неколку проблеми на оваа тема.

Линеарна функцијанаречена функција на формата

Во функционална равенка, бројот со кој се множиме се нарекува коефициент на наклон.

На пример, во функциската равенка ;

во равенката на функцијата;

во равенката на функцијата;

во функциската равенка.

Графикот на линеарна функција е права линија.

1 . За да нацртате функција, потребни ни се координатите на две точки кои припаѓаат на графикот на функцијата. За да ги најдете, треба да земете две x вредности, да ги замените во равенката на функцијата и да ги користите за да ги пресметате соодветните y вредности.

На пример, за исцртување график на функција, погодно е да се земе и , тогаш ординатите на овие точки ќе бидат еднакви на и .

Добиваме точки А(0;2) и Б(3;3). Ајде да ги поврземе и да добиеме график на функцијата:

2 . Во функционалната равенка, коефициентот е одговорен за наклонот на графикот на функцијата:

Title="k>0">!}

Коефициентот е одговорен за поместување на графикот по оската:

Title="b>0">!}

Сликата подолу покажува графикони на функции; ;

Забележете дека во сите овие функции коефициентот Над нула право. Покрај тоа, колку е поголема вредноста, толку е поостра правата линија.

Во сите функции - и гледаме дека сите графикони ја сечат оската OY во точката (0;3)

Сега да ги погледнеме графиконите на функциите; ;

Овој пат во сите функции коефициентот помалку од нула, и сите графикони на функции се наклонети лево.

Забележете дека колку е поголемо |k|, толку е поостра правата линија. Коефициентот b е ист, b=3, а графиците, како и во претходниот случај, ја сечат оската OY во точката (0;3)

Да ги погледнеме графиконите на функции; ;

Сега коефициентите во сите функциски равенки се еднакви. И добивме три паралелни линии.

Но, коефициентите b се различни, и овие графикони ја сечат оската OY на различни точки:

Графикот на функцијата (b=3) ја сече оската OY во точката (0;3)

Графикот на функцијата (b=0) ја пресекува оската OY во точката (0;0) - почеток.

Графикот на функцијата (b=-2) ја сече оската OY во точката (0;-2)

Значи, ако ги знаеме знаците на коефициентите k и b, тогаш веднаш можеме да замислиме како изгледа графикот на функцијата.

Ако к<0 и b>0 , тогаш графикот на функцијата изгледа вака:

Ако k>0 и b>0,тогаш графикот на функцијата изгледа вака:

Ако k>0 и б<0 , тогаш графикот на функцијата изгледа вака:

Ако к<0 и b<0 , тогаш графикот на функцијата изгледа вака:

Ако k=0,тогаш функцијата се претвора во функција и нејзиниот график изгледа вака:

Ординатите на сите точки на графикот на функцијата се еднакви

Ако b=0, тогаш графикот на функцијата поминува низ потеклото:

Ова графикон на директна пропорционалност.

3. Би сакал посебно да го забележам графикот на равенката. Графикот на оваа равенка е права линија паралелна на оската, чиишто точки имаат апсциса.

На пример, графикот на равенката изгледа вака:

Внимание!Равенката не е функција, бидејќи различните вредности на аргументот одговараат на истата вредност на функцијата, што не одговара.

4 . Услов за паралелизам на две прави:

График на функција паралелно со графикот на функцијата, Ако

5. Услов за перпендикуларност на две прави:

График на функција нормално на графикот на функцијата, ако или

6. Точки на пресек на графикот на функција со координатните оски.

Со OY оска.Апсцисата на која било точка што припаѓа на оската OY е еднаква на нула. Затоа, за да ја пронајдете точката на пресек со оската OY, треба да ја замените нулата во равенката на функцијата наместо x. Добиваме y=b. Односно, точката на пресек со оската OY има координати (0; b).

Со оска OX:Ординатата на која било точка што припаѓа на оската OX е еднаква на нула. Затоа, за да ја пронајдете точката на пресек со оската OX, треба да ја замените нулата во равенката на функцијата наместо y. Добиваме 0=kx+b. Од тука. Тоа е, точката на пресек со оската OX има координати (;0):

Ајде да погледнеме во решавањето на проблемите.

1 . Конструирај график на функцијата ако се знае дека минува низ точката A(-3;2) и е паралелна со правата y=-4x.

Равенката на функцијата има два непознати параметри: k и b. Затоа, текстот на проблемот мора да содржи два услови кои го карактеризираат графикот на функцијата.

а) Од тоа што графикот на функцијата е паралелен со правата y=-4x, произлегува дека k=-4. Односно, функциската равенка ја има формата

б) Само треба да најдеме б. Познато е дека графикот на функцијата минува низ точката А(-3;2). Ако точката припаѓа на графикот на функцијата, тогаш кога ги заменуваме нејзините координати во равенката на функцијата, ја добиваме точната еднаквост:

па оттука b=-10

Така, треба да ја нацртаме функцијата

Ја знаеме точката А(-3;2), да ја земеме точката Б(0;-10)

Да ги ставиме овие точки во координатната рамнина и да ги поврземе со права линија:

2. Напиши ја равенката на правата што минува низ точките A(1;1); Б(2;4).

Ако права минува низ точки со дадени координати, значи, координатите на точките ја задоволуваат равенката на правата. Односно, ако ги замениме координатите на точките во равенката на права линија, ќе ја добиеме точната еднаквост.

Ајде да ги замениме координатите на секоја точка во равенката и да добиеме систем на линеарни равенки.

Одземете го првото од втората равенка на системот и добијте . Да ја замениме вредноста на k во првата равенка на системот и да добиеме b=-2.

Значи, равенката на правата.

3. Нацртај ја равенката

За да откриете во кои вредности на непознатото производот на неколку фактори е еднаков на нула, треба да го изедначите секој фактор на нула и да го земете предвид секој множител.

Оваа равенка нема ограничувања за ODZ. Ајде да ја факторизираме втората заграда и да го поставиме секој фактор еднаков на нула. Добиваме збир на равенки:

Ајде да конструираме графикони на сите равенки на множеството во една координатна рамнина. Ова е графикот на равенката :

4 . Конструирај график на функцијата ако е нормална на правата и поминува низ точката M(-1;2)

Нема да градиме график, ќе ја најдеме само равенката на правата.

а) Бидејќи графикот на функцијата, ако е нормална на права, значи, оттука. Односно, функциската равенка ја има формата

б) Знаеме дека графикот на функцијата минува низ точката M(-1;2). Да ги замениме нејзините координати во равенката на функцијата. Добиваме:

Од тука.

Затоа, нашата функција изгледа вака: .

5 . График на функцијата

Да го поедноставиме изразот на десната страна од равенката на функцијата.

Важно!Пред да го поедноставиме изразот, да го најдеме неговиот ODZ.

Именителот на дропка не може да биде нула, затоа title="x1">, title="x-1">.!}

Тогаш нашата функција има форма:

Title="delim(lbrace)(матрица(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Односно, треба да изградиме график на функцијата и да отсечеме две точки на неа: со апсциси x=1 и x=-1: