Како да се утврди дали линиите се сечат. Меѓусебно распоредување на линии во просторот

О-о-о-о-о... е, тини е, како да си ја прочитал реченицата =) Сепак, тогаш опуштањето ќе помогне, особено што денес купив соодветни додатоци. Затоа, да продолжиме кон првиот дел, се надевам дека до крајот на статијата ќе го задржам веселото расположение.

Меѓусебно распоредување на две прави линии

Случајот кога салата пее заедно во хор. Две линии можат:

1) натпревар;

2) да биде паралелен: ;

3) или се сечат во една точка: .

Помош за кукли : Ве молиме запомнете го математичкиот знак на раскрсницата , тоа ќе се случува многу често. Внесувањето значи дека правата се вкрстува со правата во точката.

Како да се одреди релативната положба на две линии?

Да почнеме со првиот случај:

Две прави се совпаѓаат ако и само ако нивните соодветни коефициенти се пропорционални, односно има таков број „ламбда“ што еднаквостите

Да разгледаме прави и да составиме три равенки од соодветните коефициенти: . Од секоја равенка следува дека, според тоа, овие линии се совпаѓаат.

Навистина, ако сите коефициенти на равенката множете се со -1 (знаци за промена), и сите коефициенти на равенката намалете за 2, ја добивате истата равенка: .

Вториот случај кога линиите се паралелни:

Две прави се паралелни ако и само ако нивните коефициенти кај променливите се пропорционални: , но.

Како пример, разгледајте две прави линии. Ја проверуваме пропорционалноста на соодветните коефициенти за променливите:

Сепак, јасно е дека.

И третиот случај, кога линиите се сечат:

Две прави се сечат ако и само ако нивните коефициенти на променливите НЕ се пропорционални, односно НЕМА толкава вредност на „ламбда“ за да се исполнат еднаквостите

Значи, за прави линии ќе составиме систем:

Од првата равенка следува дека , а од втората равенка: , оттука, системот е неконзистентен(без решенија). Така, коефициентите кај променливите не се пропорционални.

Заклучок: линиите се сечат

Во практичните проблеми, може да се користи шемата за решенија штотуку разгледавме. Патем, тој е многу сличен на алгоритмот за проверка на вектори за колинеарност, што го разгледавме во лекцијата. Концептот на линеарна (не) зависност на вектори. Векторска основа. Но, постои поцивилизиран пакет:

Пример 1

Откријте ја релативната положба на линиите:

Решениеврз основа на проучување на насочувачки вектори на прави линии:

а) Од равенките ги наоѓаме векторите на насоката на правите: .

, така што векторите не се колинеарни и линиите се сечат.

За секој случај, ќе ставам камен со покажувачи на раскрсницата:

Останатите скокаат преку каменот и продолжуваат, директно до Кашчеи Бесмртниот =)

б) Најдете ги векторите на насоката на правите:

Правите имаат ист вектор на насока, што значи дека се или паралелни или исти. Овде детерминантата не е неопходна.

Очигледно, коефициентите на непознатите се пропорционални, додека .

Ајде да дознаеме дали еднаквоста е вистина:

На овој начин,

в) Најдете ги векторите на насоката на правите:

Да ја пресметаме детерминантата составена од координатите на овие вектори:
, според тоа, векторите на насоката се колинеарни. Линиите се или паралелни или се совпаѓаат.

Факторот на пропорционалност „ламбда“ лесно се гледа директно од односот на вектори на колинеарна насока. Сепак, може да се најде и преку коефициентите на самите равенки: .

Сега да откриеме дали еднаквоста е вистина. Двата слободни термини се нула, така што:

Добиената вредност ја задоволува оваа равенка (било кој број генерално ја задоволува).

Така, линиите се совпаѓаат.

Одговори:

Наскоро ќе научите (или веќе сте научиле) да го решите разгледуваниот проблем вербално буквално за неколку секунди. Во овој поглед, не гледам причина да понудам нешто за независно решение, подобро е да се постави уште една важна тула во геометриската основа:

Како да се повлече права паралелна на дадена?

За непознавање на оваа наједноставна задача, Славејот Арамијата строго казнува.

Пример 2

Правата линија е дадена со равенката . Напишете равенка за паралелна права што минува низ точката.

Решение: Означете ја непознатата линија со буквата . Што вели состојбата за тоа? Линијата минува низ точката. А ако правите се паралелни, тогаш очигледно е дека насочувачкиот вектор на правата „це“ е погоден и за конструирање на правата „те“.

Го вадиме векторот на насока од равенката:

Одговори:

Геометријата на примерот изгледа едноставна:

Аналитичката верификација се состои од следниве чекори:

1) Проверуваме дали линиите имаат вектор на ист правец (ако равенката на правата не е правилно поедноставена, тогаш векторите ќе бидат колинеарни).

2) Проверете дали точката ја задоволува добиената равенка.

Аналитичката верификација во повеќето случаи е лесно да се изврши орално. Погледнете ги двете равенки и многумина од вас брзо ќе сфатат како правите се паралелни без никаков цртеж.

Примерите за саморешавање денес ќе бидат креативни. Затоа што сè уште треба да се натпреварувате со Баба Јага, а таа, знаете, е љубител на секакви загатки.

Пример 3

Напишете равенка за права што минува низ точка паралелна на правата ако

Постои рационален и не многу рационален начин за решавање. Најкраткиот пат е на крајот од лекцијата.

Направивме малку работа со паралелни линии и ќе се вратиме на нив подоцна. Случајот со совпаѓање на редови е од мал интерес, па ајде да разгледаме проблем што ви е добро познат од училишната програма:

Како да се најде точката на пресек на две прави?

Ако директно се сечат во точката, тогаш неговите координати се решението системи на линеарни равенки

Како да се најде точката на пресек на линиите? Решете го системот.

Еве за вас геометриско значење на систем од две линеарни равенки со две непознатисе две вкрстени (најчесто) прави линии на рамнина.

Пример 4

Најдете ја точката на пресек на правите

Решение: Постојат два начина за решавање - графички и аналитички.

Графичкиот начин е едноставно да ги нацртате дадените линии и да ја дознаете точката на пресек директно од цртежот:

Еве ја нашата поента: . За да проверите, треба да ги замените неговите координати во секоја равенка на права линија, тие треба да се вклопат и таму и таму. Со други зборови, координатите на точка се решение на системот. Всушност, разгледавме графички начин за решавање системи на линеарни равенкисо две равенки, две непознати.

Графичкиот метод, се разбира, не е лош, но има забележителни недостатоци. Не, поентата не е дека седмоодделенците одлучуваат вака, поентата е дека ќе треба време да се направи правилен и ТОЧЕН цртеж. Покрај тоа, некои линии не се толку лесни за конструирање, а самата точка на пресек може да биде некаде во триесеттото кралство надвор од листот на тетратката.

Затоа, поцелисходно е да се бара пресечната точка со аналитички метод. Ајде да го решиме системот:

За решавање на системот, користен е методот на терминско собирање равенки. За да ги развиете соодветните вештини, посетете ја лекцијата Како да се реши систем на равенки?

Одговори:

Проверката е тривијална - координатите на пресечната точка мора да ја задоволат секоја равенка на системот.

Пример 5

Најдете ја точката на пресек на правите ако тие се сечат.

Ова е пример „направи сам“. Удобно е да се подели проблемот во неколку фази. Анализата на состојбата сугерира дека е неопходно:
1) Напишете ја равенката на права линија.
2) Напиши ја равенката на права линија.
3) Откријте ја релативната положба на линиите.
4) Ако линиите се сечат, тогаш пронајдете ја пресечната точка.

Развојот на алгоритам за акција е типичен за многу геометриски проблеми, и јас постојано ќе се фокусирам на ова.

Целосно решение и одговор на крајот од туторијалот:

Еден пар чевли сè уште не се истрошени, бидејќи стигнавме до вториот дел од лекцијата:

Перпендикуларни линии. Растојанието од точка до права.
Агол помеѓу линиите

Да почнеме со типична и многу важна задача. Во првиот дел научивме како да изградиме права линија паралелна на дадената, а сега колибата на пилешки копани ќе се сврти за 90 степени:

Како да се повлече права нормална на дадена?

Пример 6

Правата линија е дадена со равенката . Напишете равенка за нормална права што минува низ точка.

Решение: Се знае по претпоставка дека . Би било убаво да се најде векторот на насоката на правата линија. Бидејќи линиите се нормални, трикот е едноставен:

Од равенката го „отстрануваме“ нормалниот вектор: , кој ќе биде насочен вектор на правата линија.

Ја составуваме равенката на права линија по точка и насочен вектор:

Одговори:

Ајде да ја расплетиме геометриската скица:

Хммм... Портокалово небо, портокалово море, портокалова камила.

Аналитичка верификација на решението:

1) Извлечете ги векторите на насоката од равенките и со помош точка производ на векторизаклучуваме дека правите се навистина нормални: .

Патем, можете да користите нормални вектори, тоа е уште полесно.

2) Проверете дали точката ја задоволува добиената равенка .

Повторно, верификацијата е лесно да се изврши вербално.

Пример 7

Најдете ја точката на пресек на нормални прави, ако равенката е позната и точка.

Ова е пример „направи сам“. Има неколку дејства во задачата, па затоа е погодно да се распореди решението точка по точка.

Нашето возбудливо патување продолжува:

Растојание од точка до линија

Пред нас е права лента на реката и наша задача е да стигнеме до неа на најкраток начин. Нема пречки, а најоптимална рута ќе биде движењето по нормалната. Тоа е, растојанието од точка до права е должината на нормалната отсечка.

Растојанието во геометријата традиционално се означува со грчката буква „ро“, на пример: - растојанието од точката „ем“ до правата линија „де“.

Растојание од точка до линија се изразува со формулата

Пример 8

Најдете го растојанието од точка до права

Решение: се што ви треба е внимателно да ги замените броевите во формулата и да ги направите пресметките:

Одговори:

Ајде да го извршиме цртежот:

Пронајденото растојание од точката до правата е точно колку должината на црвениот сегмент. Ако направите цртеж на карирана хартија на скала од 1 единица. \u003d 1 cm (2 ќелии), тогаш растојанието може да се мери со обичен владетел.

Размислете за друга задача според истиот цртеж:

Задачата е да се најдат координатите на точката која е симетрична на точката во однос на правата . Предлагам да ги извршите дејствата самостојно, сепак, ќе го наведам алгоритмот за решение со средни резултати:

1) Најдете права што е нормална на права.

2) Најдете ја точката на пресек на правите: .

Двете дејства се детално разгледани во оваа лекција.

3) Точката е средната точка на отсечката. Ги знаеме координатите на средината и едниот од краевите. Од страна на формули за координатите на средината на отсечкатанајдете .

Нема да биде излишно да се провери дали растојанието е исто така еднакво на 2,2 единици.

Овде може да се појават тешкотии во пресметките, но во кулата микрокалкулаторот многу помага, што ви овозможува да броите обични фракции. Советував многу пати и ќе препорачам повторно.

Како да се најде растојанието помеѓу две паралелни прави?

Пример 9

Најдете го растојанието помеѓу две паралелни прави

Ова е уште еден пример за независно решение. Мал совет: има бескрајно многу начини за решавање. Дебрифинг на крајот од лекцијата, но подобро обидете се сами да погодите, мислам дека добро успеавте да ја растерате вашата генијалност.

Агол помеѓу две линии

Без оглед на аголот, тогаш џебот:


Во геометријата, аголот меѓу две прави се зема како ПОМАЛЕК агол, од што автоматски следи дека не може да биде тап. На сликата, аголот означен со црвениот лак не се смета за агол помеѓу линиите што се пресекуваат. И неговиот „зелен“ сосед или спротивно ориентиранитемноцрвено катче.

Ако линиите се нормални, тогаш кој било од 4-те агли може да се земе како агол меѓу нив.

Како се разликуваат аглите? Ориентација. Прво, насоката на „скролување“ на аголот е фундаментално важна. Второ, негативно ориентиран агол се пишува со знак минус, на пример, ако .

Зошто го кажав ова? Се чини дека можете да поминете со вообичаениот концепт на агол. Факт е дека во формулите по кои ќе ги најдеме аглите лесно може да се добие негативен резултат и тоа не треба да ве изненади. Аголот со знак минус не е полош и има многу специфично геометриско значење. Во цртежот за негативен агол, императив е да се означи неговата ориентација (во насока на стрелките на часовникот) со стрелка.

Како да се најде аголот помеѓу две линии?Постојат две работни формули:

Пример 10

Најдете го аголот помеѓу линиите

Решениеи Метод еден

Размислете за две прави дадени со равенки во општа форма:

Ако директно не е нормално, тогаш ориентиранааголот меѓу нив може да се пресмета со формулата:

Ајде да обрнеме големо внимание на именителот - ова е точно скаларен производнасока вектори на прави линии:

Ако , тогаш именителот на формулата исчезнува, а векторите ќе бидат ортогонални, а линиите ќе бидат нормални. Затоа е направена резерва за неперпендикуларноста на линиите во формулацијата.

Врз основа на горенаведеното, решението е погодно формализирано во два чекора:

1) Пресметајте го скаларниот производ на насочувачки вектори на прави линии:
па линиите не се нормални.

2) Го наоѓаме аголот помеѓу правите со формулата:

Користејќи ја инверзната функција, лесно е да се најде самиот агол. Во овој случај, ја користиме необичноста на тангентата на лакот (види Сл. Графикони и својства на елементарните функции):

Одговори:

Во одговорот, ја наведуваме точната вредност, како и приближната вредност (по можност и во степени и во радијани), пресметана со помош на калкулатор.

Па, минус, значи минус, во ред е. Еве една геометриска илустрација:

Не е изненадувачки што аголот се покажа со негативна ориентација, бидејќи во состојбата на проблемот првиот број е права линија и „извртувањето“ на аголот започна токму од него.

Ако навистина сакате да добиете позитивен агол, треба да ги замените правите линии, односно да ги земете коефициентите од втората равенка , и земете ги коефициентите од првата равенка . Накратко, треба да започнете со директен .

Со помош на овој онлајн калкулатор можете да ја пронајдете точката на пресек на линиите на рамнината. Дадено е детално решение со објаснувања. За да ги пронајдете координатите на точката на пресек на линиите, наведете го типот на равенката на линиите („канонска“, „параметриска“ или „општа“), внесете ги коефициентите на равенките на линиите во ќелиите и кликнете копчето „Реши“. Погледнете го теоретскиот дел и нумеричките примери подолу.

×

Предупредување

Да се ​​исчистат сите ќелии?

Затвори Исчисти

Упатство за внесување податоци.Броевите се внесуваат како цели броеви (примери: 487, 5, -7623 итн.), децимални броеви (на пр. 67., 102,54 итн.) или дропки. Дропката мора да биде напишана во форма a/b, каде што a и b (b>0) се цели или децимални броеви. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 итн.

Точка на пресек на прави во рамнината - теорија, примери и решенија

1. Точка на пресек на прави дадени во општа форма.

Окси Л 1 и Л 2:

Ајде да изградиме зголемена матрица:

Ако Б" 2=0 и ОД" 2 =0, тогаш системот на линеарни равенки има многу решенија. Оттука и директното Л 1 и Л 2 натпревар. Ако Б" 2=0 и ОД" 2 ≠0, тогаш системот е неконзистентен и, според тоа, правите се паралелни и немаат заедничка точка. Ако Б" 2 ≠0, тогаш системот на линеарни равенки има единствено решение. Од втората равенка наоѓаме y: y=ОД" 2 /Б" 2 и заменувајќи ја добиената вредност во првата равенка, наоѓаме x: x=−ОД 1 −Б 1 y. Добијте ја точката на пресек на линиите Л 1 и Л 2: М(x, y).

2. Точка на пресек на правите дадени во канонска форма.

Нека е даден Декартов правоаголен координатен систем Оксии нека се дадени линии во овој координатен систем Л 1 и Л 2:

Да ги отвориме заградите и да ги направиме трансформациите:

Со сличен метод, ја добиваме општата равенка на права линија (7):

Од равенките (12) следува:

Како да се најде пресечната точка на правите дадени во канонска форма е опишано погоре.

4. Пресечна точка на линии дефинирани во различни погледи.

Нека е даден Декартов правоаголен координатен систем Оксии нека се дадени линии во овој координатен систем Л 1 и Л 2:

Ајде да најдеме т:

Системот на линеарни равенки го решаваме во однос на x, y. За да го направите ова, го користиме методот Гаус. Добиваме:

Пример 2. Најдете ја точката на пресек на правите Л 1 и Л 2:

(21)

Да се ​​најде точката на пресек на правите Л 1 и Л 2 потребно е да се реши системот на линеарни равенки (20) и (21). Равенките ги претставуваме во форма на матрица.

Нека се дадени две прави и се бара да се најде нивната точка на пресек. Бидејќи оваа точка припаѓа на секоја од двете дадени прави, нејзините координати мора да ги задоволуваат и равенката од првата линија и равенката на втората линија.

Така, за да се најдат координатите на точката на пресек на две прави, треба да се реши системот на равенки

Пример 1. Најдете ја точката на пресек на правите и

Решение. Координатите на саканата пресечна точка ќе ги најдеме со решавање на системот на равенки

Пресечната точка М има координати

Дозволете ни да покажеме како да изградиме права линија од нејзината равенка. За да се повлече линија, доволно е да се знаат две нејзини точки. За да ја нацртаме секоја од овие точки, даваме произволна вредност на една од нејзините координати, а потоа од равенката ја наоѓаме соодветната вредност на другата координата.

Ако во општата равенка на права линија, двата коефициенти на тековните координати не се еднакви на нула, тогаш за да се конструира оваа права линија, најдобро е да се најдат точките на нејзиното пресекување со координатните оски.

Пример 2. Конструирај права линија.

Решение. Најдете ја точката на пресек на оваа права со оската x. За да го направите ова, заедно ги решаваме нивните равенки:

и добиваме. Така, беше пронајдена точката M (3; 0) на пресекот на оваа права линија со оската на апсцисата (сл. 40).

Решавање потоа заеднички равенката на дадената права и равенката на y-оската

ја наоѓаме точката на пресек на правата со y-оската. Конечно, конструираме права од нејзините две точки М и

При решавање на некои геометриски задачи со помош на методот на координати, потребно е да се најдат координатите на точката на пресек на правите. Најчесто, треба да се бараат координатите на точката на пресек на две линии на рамнината, но понекогаш станува неопходно да се одредат координатите на точката на пресек на две линии во просторот. Во оваа статија ќе се занимаваме со наоѓање на координатите на точката во која се сечат две прави.

Навигација на страница.

Точката на пресек на две прави е дефиниција.

Ајде прво да ја дефинираме точката на пресек на две прави.

Во делот за релативната положба на линиите на рамнината, се покажува дека две линии на рамнината може или да се совпаѓаат (и имаат бесконечно многу заеднички точки), или да бидат паралелни (во овој случај, две прави немаат точки во заеднички), или се вкрстуваат, имајќи една заедничка точка. Има повеќе опции за меѓусебно распоредување на две линии во просторот - тие можат да се совпаѓаат (имаат бескрајно многу заеднички точки), можат да бидат паралелни (т.е. лежат во иста рамнина и не се сечат), може да се пресекуваат (не лежат во иста рамнина), а можат да имаат и една заедничка точка, односно да се сечат. Значи, две прави и во рамнината и во просторот се нарекуваат пресечни ако имаат една заедничка точка.

Од дефиницијата на линии кои се вкрстуваат следува определување на точката на пресек на правите: Точката каде што се сечат две прави се нарекува точка на пресек на овие прави. Со други зборови, единствената заедничка точка на две вкрстувачки линии е точката на пресек на овие линии.

За јасност, претставуваме графичка илустрација на точката на пресек на две прави во рамнината и во просторот.

Врвот на страницата

Наоѓање на координатите на точката на пресек на две прави на рамнината.

Пред да ги најдеме координатите на точката на пресек на две прави во рамнината според нивните познати равенки, разгледуваме помошен проблем.

Окси аи б. Ќе претпоставиме дека директната аодговара на општата равенка на права линија, и права линија б- тип. Нека е некоја точка од рамнината, и потребно е да се открие дали точката е М 0точката на пресек на дадените прави.

Ајде да го решиме проблемот.

Ако М0 аи б, тогаш по дефиниција и припаѓа на линијата аи директно б, односно неговите координати мора истовремено да ги задоволуваат и равенката и равенката . Затоа, треба да ги замениме координатите на точката М 0во равенките на дадените прави и види дали се добиени две вистински еднаквости. Ако точката координира М 0ги задоволува двете равенки и тогаш е точката на пресек на правите аи б, во спротивно М 0 .

Дали е поентата М 0со координати (2, -3) точка на пресек на линии 5x-2y-16=0и 2x-5y-19=0?

Ако М 0е точката на пресек на дадените прави, тогаш нејзините координати ги задоволуваат равенките на правите. Ајде да го провериме ова со замена на координатите на точката М 0во дадените равенки:

Добивме две вистински еднаквости, затоа, М 0 (2, -3)- точка на пресек на линии 5x-2y-16=0и 2x-5y-19=0.

За јасност, претставуваме цртеж кој покажува прави линии и ги покажува координатите на точката на нивното вкрстување.

да, точка М 0 (2, -3)е точката на пресек на правите 5x-2y-16=0и 2x-5y-19=0.

Дали линиите се сечат? 5x+3y-1=0и 7x-2y+11=0во точката М 0 (2, -3)?

Заменете ги координатите на точката М 0во равенките на правите, со ова дејство ќе провериме дали точката припаѓа М 0двете линии во исто време:

Од втората равенка, при замена на координатите на точката во неа М 0не се претвори во вистинска еднаквост, тогаш поентата М 0не припаѓа на линијата 7x-2y+11=0. Од овој факт, можеме да заклучиме дека поентата М 0не е точка на пресек на дадените прави.

Исто така на цртежот јасно се гледа дека точката М 0не е точка на пресек на прави 5x+3y-1=0и 7x-2y+11=0. Очигледно, дадените линии се сечат во точка со координати (-1, 2) .

М 0 (2, -3)не е точка на пресек на прави 5x+3y-1=0и 7x-2y+11=0.

Сега можеме да продолжиме со проблемот на наоѓање на координатите на точката на пресек на две прави според дадените равенки на правите на рамнината.

Нека на рамнината е фиксиран правоаголен Декартов координатен систем Оксии дадени две линии кои се вкрстуваат аи бравенки и соодветно. Пресечната точка на дадените прави да ја означиме како М 0и решете ја следната задача: најдете ги координатите на точката на пресек на две прави аи бспоред познатите равенки на овие прави и .

Точка М0припаѓа на секоја од линиите што се вкрстуваат аи бпо дефиниција. Потоа координатите на точката на пресек на правите аи бги задоволува и равенката и равенката . Затоа, координатите на точката на пресек на две прави аи бсе решение за систем од равенки (види ја статијата за решавање системи на линеарни алгебарски равенки).

Така, за да се најдат координатите на точката на пресек на две прави дефинирани на рамнината со општи равенки, потребно е да се реши систем составен од равенки на дадени прави.

Да разгледаме пример за решение.

Најдете ја точката на пресек на две прави дефинирани во правоаголен координатен систем во рамнината со равенките x-9y+14=0и 5x-2y-16=0.

Дадени ни се две општи равенки на прави, од нив ќе составиме систем: . Решенијата на добиениот систем на равенки лесно се наоѓаат ако неговата прва равенка се реши во однос на променливата xи заменете го овој израз во втората равенка:

Пронајденото решение на системот на равенки ни ги дава саканите координати на точката на пресек на две прави.

М 0 (4, 2)- точка на пресек на линии x-9y+14=0и 5x-2y-16=0.

Значи, наоѓањето на координатите на точката на пресек на две прави, дефинирани со општи равенки на рамнината, се сведува на решавање на систем од две линеарни равенки со две непознати променливи. Но, што ако правите на рамнината не се дадени со општи равенки, туку со равенки од различен тип (видете ги видовите на равенката на права линија на рамнината)? Во овие случаи, прво можете да ги доведете равенките на правите во општа форма, а дури потоа да ги пронајдете координатите на пресечната точка.

Пред да ги најдеме координатите на точката на пресек на дадените прави, ги доведуваме нивните равенки во општа форма. Преминот од параметарските равенки на права линија до општата равенка на оваа права линија е како што следува:

Сега ќе ги извршиме потребните дејства со канонската равенка на линијата:

Така, саканите координати на точката на пресек на правите се решение за системот на равенки на формата. Ние го користиме методот на Крамер за да го решиме:

М 0 (-5, 1)

Постои уште еден начин да се најдат координатите на точката на пресек на две прави во рамнината. Удобно е да се користи кога една од правата е дадена со параметарски равенки на формата, а другата е дадена со права линија равенка од различен тип. Во овој случај, во друга равенка наместо во променливи xи yможете да ги замените изразите и , од каде што можете да ја добиете вредноста што одговара на точката на пресек на дадените линии. Во овој случај, точката на пресек на линиите има координати.

Да ги најдеме на овој начин координатите на точката на пресек на правите од претходниот пример.

Определи ги координатите на точката на пресек на правите и .

Замени во равенката на директниот израз:

Решавајќи ја добиената равенка, добиваме. Оваа вредност одговара на заедничката точка на линиите и . Ги пресметуваме координатите на пресечната точка со замена на правата линија во параметарските равенки:
.

М 0 (-5, 1).

За да се заврши сликата, треба да се дискутира уште една точка.

Пред да се најдат координатите на точката на пресек на две прави во рамнината, корисно е да се увериме дека дадените линии навистина се сечат. Ако се испостави дека оригиналните линии се совпаѓаат или се паралелни, тогаш не може да стане збор за наоѓање на координатите на пресечната точка на таквите линии.

Можете, се разбира, да направите без таква проверка и веднаш да подготвите систем на равенки на формата и да го решите. Ако системот на равенки има единствено решение, тогаш ги дава координатите на точката во која се сечат оригиналните линии. Ако системот на равенки нема решенија, тогаш можеме да заклучиме дека оригиналните прави се паралелни (бидејќи не постои таков пар на реални броеви xи y, што истовремено би ги задоволило двете равенки на дадените линии). Од присуството на бесконечно множество решенија до системот на равенки, произлегува дека оригиналните линии имаат бесконечно многу заеднички точки, односно се совпаѓаат.

Ајде да погледнеме примери кои одговараат на овие ситуации.

Откријте дали правата и се сечат, и дали се сечат, тогаш пронајдете ги координатите на пресечната точка.

Дадените равенки на прави одговараат на равенките и . Да го решиме системот составен од овие равенки.

Очигледно, равенките на системот се линеарно изразени една преку друга (втората равенка на системот се добива од првата со множење на двата негови делови со 4 ), според тоа, системот на равенки има бесконечен број решенија. Така, равенките ја дефинираат истата права, и не можеме да зборуваме за наоѓање на координатите на точката на пресек на овие линии.

равенки и се дефинирани во правоаголен координатен систем Оксиистата права линија, така што не можеме да зборуваме за наоѓање на координатите на пресечната точка.

Најдете ги координатите на точката на пресек на правите и, ако е можно.

Состојбата на проблемот признава дека линиите може да не се сечат. Ајде да составиме систем од овие равенки. Го применуваме методот на Гаус за да го решиме, бидејќи ни овозможува да ја утврдиме компатибилноста или недоследноста на системот на равенки, а во случај на неговата компатибилност, да најдеме решение:

Последната равенка на системот по директниот тек на методот Гаус се претвори во неточна еднаквост, затоа, системот на равенки нема решенија. Од ова можеме да заклучиме дека оригиналните линии се паралелни и не можеме да зборуваме за наоѓање на координатите на точката на пресек на овие прави.

Второто решение.

Ајде да откриеме дали дадените линии се сечат.

Нормален вектор е права, а вектор е нормален вектор на права. Да го провериме исполнувањето на условот за колонарност на векторите и : еднаквоста е точно, бидејќи, според тоа, нормалните вектори на дадените линии се колинеарни. Потоа, овие линии се паралелни или се совпаѓаат. Така, не можеме да ги најдеме координатите на точката на пресек на оригиналните линии.

Невозможно е да се најдат координатите на точката на пресек на дадените линии, бидејќи овие линии се паралелни.

Најдете ги координатите на точката на пресек на правите 2x-1=0а ако се вкрстат.

Да составиме систем од равенки кои се општи равенки на дадени прави: . Детерминантата на главната матрица на овој систем на равенки е различна од нула, затоа системот на равенки има единствено решение, што укажува на пресекот на дадените линии.

За да ги најдеме координатите на точката на пресек на линиите, треба да го решиме системот:

Добиеното решение ни ги дава координатите на точката на пресек на правите, односно - точката на пресек на правите 2x-1=0и .

Врвот на страницата

Наоѓање на координатите на точката на пресек на две прави во просторот.

Слично се наоѓаат и координатите на точката на пресек на две прави во тродимензионален простор.

Нека се вкрстуваат линии аи бдадени во правоаголен координатен систем Оксизравенки на две рамнини кои се пресекуваат, односно права линија асе одредува со системот на формата и линијата б- . Нека М 0- точка на пресек на линии аи б. Потоа поентата М 0по дефиниција припаѓа на линијата аи директно б, значи, неговите координати ги задоволуваат равенките на двете прави. Така, координатите на точката на пресек на линиите аи бпретставуваат решение на систем од линеарни равенки од формата . Овде ќе ни требаат информации од делот за решавање системи на линеарни равенки во кои бројот на равенките не се совпаѓа со бројот на непознати променливи.

Ајде да разгледаме примери.

Најдете ги координатите на точката на пресек на две прави дадени во просторот со равенките и .

Да составиме систем на равенки од равенките на дадените прави: . Решението на овој систем ќе ни ги даде саканите координати на точката на пресек на правите во просторот. Да го најдеме решението на пишаниот систем на равенки.

Главната матрица на системот ја има формата , а продолжената - .

Одреди го рангот на матрицата НОи матричен ранг Т. Ние го користиме методот на граничи со малолетници, додека нема детално да ја опишеме пресметката на детерминантите (ако е потребно, погледнете ја статијата за пресметување на детерминантата на матрицата):

Така, рангот на главната матрица е еднаков на рангот на продолжената матрица и е еднаков на три.

Затоа, системот на равенки има единствено решение.

Како основен минор ја земаме детерминантата, затоа последната равенка треба да биде исклучена од системот на равенки, бидејќи не учествува во формирањето на основната минор. Значи,

Решението на добиениот систем лесно се наоѓа:

Така, точката на пресек на линии и има координати (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Треба да се забележи дека системот на равенки има единствено решение ако и само ако линиите аи бсе вкрстуваат. Доколку директно аи бпаралелни или вкрстени, тогаш последниот систем на равенки нема решенија, бидејќи во овој случај правата немаат заеднички точки. Ако директно аи бсе совпаѓаат, тогаш тие имаат бесконечно множество на заеднички точки, затоа, наведениот систем на равенки има бесконечен сет на решенија. Меѓутоа, во овие случаи не можеме да зборуваме за наоѓање на координатите на точката на пресек на линиите, бидејќи линиите не се вкрстуваат.

Така, ако не знаеме однапред, дадените линии се сечат аи били не, разумно е да се состави систем на равенки на формата и да се реши со помош на методот Гаус. Ако добиеме единствено решение, тогаш тоа ќе одговара на координатите на точката на пресек на линиите аи б. Ако системот се покаже дека е неконзистентен, тогаш директниот аи бне се вкрстуваат. Ако системот има бесконечен број решенија, тогаш директното аи бнатпревар.

Можете да направите без користење на методот Гаус. Алтернативно, можете да ги пресметате редовите на главните и проширените матрици на овој систем и врз основа на добиените податоци и теоремата Кронекер-Капели, да направите заклучок или за постоењето на едно решение или за постоењето на многу решенија, или за отсуството на решенија. Тоа е прашање на вкус.

Ако линиите и се сечат, тогаш одреди ги координатите на точката на пресек.

Да составиме систем од дадени равенки: . Го решаваме со методот на Гаус во форма на матрица:

Стана јасно дека системот на равенки нема решенија, затоа, дадените линии не се сечат и не може да стане збор за наоѓање на координатите на точката на пресек на овие линии.

не можеме да ги најдеме координатите на точката на пресек на дадените прави, бидејќи овие прави не се сечат.

Кога пресечните линии се дадени со канонски равенки на права во просторот или параметарски равенки на права во просторот, тогаш прво треба да ги добиете нивните равенки во форма на две пресечни рамнини, а само после тоа да ги пронајдете координатите на пресечната точка.

Во правоаголен координатен систем се дадени две линии кои се пресекуваат Оксизравенки и . Најдете ги координатите на пресечната точка на овие прави.

Дозволете ни да ги поставиме почетните прави линии со равенките на две рамнини кои се пресечуваат:

За да се најдат координатите на точката на пресек на правите, останува да се реши системот на равенки. Рангот на главната матрица на овој систем е еднаков на рангот на проширената матрица и е еднаков на три (препорачуваме да го проверите овој факт). Како основна минор, земаме , затоа, последната равенка може да се исклучи од системот. Откако го решивме добиениот систем со кој било метод (на пример, методот Крамер), го добиваме решението. Така, точката на пресек на линии и има координати (-2, 3, -5) .

Лекција од серијата „Геометриски алгоритми“

Здраво драг читател!

Продолжуваме да се запознаваме со геометриските алгоритми. Во последниот час ја најдовме равенката на права линија во координатите на две точки. Имаме равенка на формата:

Денес ќе напишеме функција која, користејќи ги равенките на две прави, ќе ги најде координатите на нивната пресечна точка (ако ги има). За да ја провериме еднаквоста на реалните броеви, ќе ја користиме специјалната функција RealEq().

Точките на рамнината се опишуваат со пар реални броеви. Кога се користи вистинскиот тип, подобро е да се организираат споредбените операции со посебни функции.

Причината е позната: во програмскиот систем Pascal нема релација за редослед на типот Real, па затоа е подобро да не се користат записи од формата a = b, каде што a и b се реални броеви.
Денес ќе ја воведеме функцијата RealEq() за спроведување на операцијата „=“ (строго еднаква):

Функција RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (строго еднакво) почнуваат RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Задача. Дадени се равенки на две прави: и . Најдете ја нивната точка на вкрстување.

Решение. Очигледно решение е да се реши системот на равенки на прави: Ајде да го преработиме овој систем малку поинаку:
(1)

Ја воведуваме ознаката: , , . Овде D е детерминанта на системот, а се детерминантите кои се добиваат со замена на колоната со коефициенти за соодветната непозната со колона од слободни членови. Ако , тогаш системот (1) е дефинитивен, односно има единствено решение. Ова решение може да се најде со следните формули: , , кои се нарекуваат Формулите на Крамер. Да ве потсетам како се пресметува детерминантата од втор ред. Детерминантата прави разлика помеѓу две дијагонали: главна и секундарна. Главната дијагонала се состои од елементи земени во насока од горниот лев агол на детерминантата до долниот десен агол. Странична дијагонала - од горниот десен до долниот лев. Детерминантата од втор ред е еднаква на производот од елементите на главната дијагонала минус производот од елементите на секундарната дијагонала.

Кодот ја користи функцијата RealEq() за да провери за еднаквост. Пресметките над реалните броеви се прават со точност до _Eps=1e-7.

Програма geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(прецизност на пресметката) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Функција RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (строго еднакво) почнуваат RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Составивме програма со која можете, знаејќи ги равенките на правите, да ги пронајдете координатите на нивната пресечна точка.