Конструкција на равенката на рамнината на три точки. Равенка на авион: како да се состави? Видови равенки на рамнина

За да може една рамнина да се повлече низ три точки во просторот, неопходно е овие точки да не лежат на една права линија.

Размислете за точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) во заеднички Декартов координатен систем.

За да може произволна точка M(x, y, z) да лежи во иста рамнина со точките M 1 , M 2 , M 3 , векторите мора да бидат компланарни.

(
) = 0

На овој начин,

Равенка на рамнина што минува низ три точки:

Равенка на рамнина во однос на две точки и вектор колинеарен на рамнината.

Нека точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) и векторот
.

Да ја составиме равенката на рамнината што минува низ дадените точки M 1 и M 2 и произволна точка M (x, y, z) паралелна на векторот .

Вектори
и вектор
мора да биде компланарен, т.е.

(
) = 0

Равенка на рамнина:

Равенка на рамнина во однос на една точка и два вектори,

колинеарна рамнина.

Нека се дадени два вектори
и
, колинеарни рамнини. Потоа за произволна точка M(x, y, z) што припаѓа на рамнината, векторите
мора да биде рамномерен.

Равенка на рамнина:

Равенка по точка и нормален вектор .

Теорема. Ако во просторот е дадена точка М 0 (Х 0 , y 0 , z 0 ), тогаш равенката на рамнината што минува низ точката М 0 нормално на нормалниот вектор (А, Б, В) изгледа како:

А(x – x 0 ) + Б(y – y 0 ) + В(z – z 0 ) = 0.

Доказ. За произволна точка M(x, y, z) што припаѓа на рамнината, составуваме вектор . Бидејќи вектор - нормалниот вектор, тогаш тој е нормално на рамнината и, според тоа, нормално на векторот
. Потоа скаларниот производ

= 0

Така, ја добиваме равенката на рамнината

Теоремата е докажана.

Равенка на рамнина во отсечки.

Ако во општата равенка Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, поделете ги двата дела со (-D)

,

заменувајќи
, ја добиваме равенката на рамнината во отсечки:

Броевите a, b, c се пресечни точки на рамнината, соодветно, со оските x, y, z.

Равенка на рамнина во векторска форма.

каде

- радиус-вектор на моменталната точка M(x, y, z),

Единечен вектор кој има насока на нормалната падната на рамнината од почетокот.

,  и  се аглите формирани од овој вектор со оските x, y, z.

p е должината на оваа нормална.

Во координати, оваа равенка има форма:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Растојанието од точка до рамнина.

Растојанието од произволна точка M 0 (x 0, y 0, z 0) до рамнината Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 е:

Пример.Најдете ја равенката на рамнината, знаејќи дека точката P (4; -3; 12) е основата на нормалната испуштена од почетокот на оваа рамнина.

Значи A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, користете ја формулата:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример.Најдете ја равенката на рамнина што минува низ две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) е нормално на рамнината 3x + 2y - z + 5 = 0.

Нормален вектор на рамнината 3x + 2y - z + 5 = 0
паралелно со саканата рамнина.

Добиваме:

Пример.Најдете ја равенката на рамнината што минува низ точките A(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) нормално на рамнината X + на + 2z – 3 = 0.

Равенката на саканата рамнина има форма: А x+ Б y+C z+ D = 0, нормалниот вектор на оваа рамнина (А, Б, Ц). Вектор
(1, 3, -5) припаѓа на авионот. Рамнината што ни е дадена, нормална на саканата, има нормален вектор (1, 1, 2). Бидејќи точките A и B припаѓаат на двете рамнини, а рамнините се меѓусебно нормални, тогаш

Значи нормалниот вектор (11, -7, -2). Бидејќи точката А припаѓа на саканата рамнина, тогаш нејзините координати мора да ја задоволат равенката на оваа рамнина, т.е. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Севкупно, ја добиваме равенката на рамнината: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Пример.Најдете ја равенката на рамнината, знаејќи дека точката P(4, -3, 12) е основата на нормалната испуштена од почетокот на оваа рамнина.

Наоѓање на координатите на нормалниот вектор
= (4, -3, 12). Посакуваната равенка на рамнината има форма: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. За да го најдеме коефициентот D, ги заменуваме координатите на точката Р во равенката:

16 + 9 + 144 + D = 0

Севкупно, ја добиваме саканата равенка: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Пример.Дадени се координатите на пирамидалните темиња A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Најдете ја должината на работ A 1 A 2 .

Најдете го аголот помеѓу рабовите A 1 A 2 и A 1 A 4.

Најдете го аголот помеѓу работ A 1 A 4 и лицето A 1 A 2 A 3 .

Прво, пронајдете го нормалниот вектор на лицето A 1 A 2 A 3 како вкрстен производ на вектори
и
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Најдете го аголот помеѓу нормалниот вектор и векторот
.

-4 – 4 = -8.

Посакуваниот агол  помеѓу векторот и рамнината ќе биде еднаков на  = 90 0 - .

Најдете ја областа на лицето A 1 A 2 A 3.

Најдете го волуменот на пирамидата.

Најдете ја равенката на рамнината А 1 А 2 А 3 .

Ја користиме формулата за равенка на рамнина што минува низ три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Кога ја користите верзијата за компјутер на „ Курс по виша математика” можете да извршите програма која ќе го реши горниот пример за сите координати на темињата на пирамидата.

Кликнете двапати на иконата за да ја стартувате програмата:

Во програмскиот прозорец што се отвора, внесете ги координатите на темињата на пирамидата и притиснете Enter. Така, сите точки за одлучување може да се добијат еден по еден.

Забелешка: За да ја извршите програмата, мора да имате инсталирано Maple ( Waterloo Maple Inc.) на вашиот компјутер, која било верзија започнува со MapleV Release 4.

Нека биде неопходно да се најде равенката на рамнина што минува низ три дадени точки кои не лежат на една права линија. Означувајќи ги нивните вектори на радиус со и векторот на тековниот радиус со , лесно можеме да ја добиеме саканата равенка во векторска форма. Навистина, векторите мора да бидат компланарни (сите лежат во саканата рамнина). Затоа, векторско-скаларниот производ на овие вектори мора да биде еднаков на нула:

Ова е равенка на рамнина што минува низ три дадени точки, во векторска форма.

Осврнувајќи се на координатите, ја добиваме равенката во координати:

Ако трите дадени точки лежат на иста права линија, тогаш векторите би биле колинеарни. Според тоа, соодветните елементи од последните два реда на детерминантата во равенката (18) би биле пропорционални, а детерминантата идентично еднаква на нула. Затоа, равенката (18) би станала идентитет за сите вредности на x, y и z. Геометриски, тоа значи дека рамнина минува низ секоја точка од просторот, во која исто така лежат три дадени точки.

Забелешка 1. Истата задача може да се реши без користење вектори.

Означувајќи ги координатите на трите дадени точки, соодветно, преку ја пишуваме равенката на која било рамнина што минува низ првата точка:

За да се добие равенката на саканата рамнина, мора да се бара равенката (17) да биде задоволена со координатите на другите две точки:

Од равенките (19), неопходно е да се одредат соодносите на два коефициенти до третиот и да се внесат пронајдените вредности во равенката (17).

Пример 1. Напишете равенка за рамнина што минува низ точки.

Равенката за рамнина што минува низ првата од овие точки ќе биде:

Условите за рамнината (17) да помине низ две други точки и првата точка се:

Додавајќи ја втората равенка на првата, добиваме:

Заменувајќи се во втората равенка, добиваме:

Заменувајќи го во равенката (17) наместо A, B, C, соодветно, 1, 5, -4 (броеви пропорционални на нив), добиваме:

Пример 2. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Равенката на која било рамнина што минува низ точката (0, 0, 0) ќе биде]

Условите за минување на оваа рамнина низ точките (1, 1, 1) и (2, 2, 2) се:

Намалувајќи ја втората равенка за 2, гледаме дека за да се одредат двете непознати, релацијата има една равенка со

Од тука добиваме. Заменувајќи го сега во равенката на рамнината наместо нејзината вредност, наоѓаме:

Ова е равенката на саканата рамнина; тоа зависи од произволно

количини B, C (имено, од односот, т.е. има бесконечен број рамнини кои минуваат низ три дадени точки (три дадени точки лежат на една права линија).

Забелешка 2. Проблемот со исцртување рамнина низ три дадени точки кои не лежат на иста права лесно се решава во општа форма ако користиме детерминанти. Навистина, бидејќи во равенките (17) и (19) коефициентите A, B, C не можат истовремено да бидат еднакви на нула, тогаш, сметајќи ги овие равенки како хомоген систем со три непознати A, B, C, пишуваме неопходно и доволно услов за постоење на решение на овој систем, различно од нула (дел 1, гл. VI, § 6):

Проширувајќи ја оваа детерминанта за елементите од првиот ред, добиваме равенка од прв степен во однос на тековните координати, која ќе биде задоволена, особено, со координатите на трите дадени точки.

Ова второто исто така може директно да се потврди ако ги замениме координатите на која било од овие точки наместо во равенката напишана со детерминантата. На левата страна се добива детерминанта во која или елементите од првиот ред се нула, или има две идентични редови. Така, формулираната равенка претставува рамнина што минува низ три дадени точки.

Равенка на рамнина. Како да се напише равенка за авион?
Меѓусебно уредување на авиони. Задачи

Просторната геометрија не е многу покомплицирана од „рамната“ геометрија, а нашите летови во вселената започнуваат со овој напис. За да се разбере темата, треба добро да се разбере вектори, покрај тоа, пожелно е да се запознаеме со геометријата на авионот - ќе има многу сличности, многу аналогии, па информациите ќе се сварат многу подобро. Во серија мои лекции, 2D светот се отвора со статија Равенка на права линија на рамнина. Но, сега Бетмен се симна од телевизорот со рамен екран и започнува од космодромот Бајконур.

Да почнеме со цртежи и симболи. Шематски, рамнината може да се нацрта како паралелограм, што дава впечаток на простор:

Авионот е бесконечен, но имаме можност да прикажеме само дел од него. Во пракса, покрај паралелограмот, се црта и овална или дури облак. Од технички причини, попогодно ми е да го прикажам авионот на овој начин и во оваа позиција. Вистинските авиони, кои ќе ги разгледаме во практични примери, може да се подредат како што сакате - ментално земете го цртежот во ваши раце и извртете го во просторот, давајќи му на авионот каков било наклон, каков било агол.

Нотација: вообичаено е да се означат авиони со мали грчки букви, очигледно за да не се мешаат со директно во авионотили со директно во вселената. Навикнат сум да ја користам буквата. На цртежот тоа е буквата „сигма“, а воопшто не е дупка. Иако, дуплив авион, секако е многу смешен.

Во некои случаи, погодно е да се користат истите грчки букви со претплати за да се назначат авиони, на пример, .

Очигледно е дека рамнината е уникатно одредена од три различни точки кои не лежат на иста права линија. Затоа, ознаките со три букви на авиони се доста популарни - според точките што им припаѓаат, на пример, итн. Често буквите се затворени во загради: , за да не се помеша рамнината со друга геометриска фигура.

За искусни читатели, ќе дадам мени за кратенки:

• Како да се напише равенка за рамнина користејќи точка и два вектори?
• Како да се напише равенка за рамнина користејќи точка и нормален вектор?

и нема да опаѓаме во долго чекање:

Општа равенка на рамнината

Општата равенка на рамнината има форма , каде што коефициентите се истовремено не нула.

Голем број теоретски пресметки и практични проблеми важат и за вообичаената ортонормална основа и за афината основа на просторот (ако маслото е масло, вратете се на лекцијата Линеарна (не) зависност на вектори. Векторска основа). За едноставност, ќе претпоставиме дека сите настани се случуваат во ортонормална основа и Декартов правоаголен координатен систем.

И сега да тренираме малку просторна имагинација. Во ред е ако го имаш лошо, сега ќе го развиеме малку. Дури и играњето на нерви бара вежбање.

Во најопшт случај, кога броевите не се еднакви на нула, рамнината ги пресекува сите три координатни оски. На пример, вака:

Уште еднаш повторувам дека авионот продолжува бесконечно во сите правци, а ние имаме можност да прикажеме само дел од него.

Размислете за наједноставните равенки на рамнините:

Како да се разбере оваа равенка? Размислете за тоа: „Z“ СЕКОГАШ, бидејќи сите вредности на „X“ и „Y“ се еднакви на нула. Ова е равенката на „матичната“ координатна рамнина. Навистина, формално равенката може да се преработи на следниов начин: , од каде што е јасно видливо дека не ни е грижа, кои вредности ги земаат „x“ и „y“, важно е „z“ да е еднакво на нула.

Слично:
е равенката на координатната рамнина ;
е равенката на координатната рамнина.

Ајде малку да го комплицираме проблемот, да разгледаме рамнина (овде и понатаму во параграфот претпоставуваме дека нумеричките коефициенти не се еднакви на нула). Да ја преработиме равенката во форма: . Како да се разбере? „X“ е СЕКОГАШ, бидејќи секоја вредност на „y“ и „z“ е еднаква на одреден број. Оваа рамнина е паралелна со координатната рамнина. На пример, рамнина е паралелна со рамнина и поминува низ точка.

Слично:
- равенката на рамнината, која е паралелна со координатната рамнина;
- равенка на рамнина која е паралелна на координатната рамнина.

Додадете членови: . Равенката може да се преработи вака: , односно „Z“ може да биде што било. Што значи тоа? „X“ и „Y“ се поврзани со сооднос кој повлекува одредена права линија во рамнината (ќе препознаете равенка на права линија во рамнина?). Бидејќи Z може да биде било што, оваа линија се „реплицира“ на која било висина. Така, равенката дефинира рамнина паралелна на координатната оска

Слично:
- равенката на рамнината, која е паралелна со координатната оска;
- равенката на рамнината, која е паралелна со координатната оска.

Ако слободните членови се нула, тогаш рамнините директно ќе минуваат низ соодветните оски. На пример, класичната „директна пропорционалност“ :. Нацртајте права линија во рамнината и ментално помножете ја нагоре и надолу (бидејќи „z“ е кое било). Заклучок: рамнината дадена со равенката минува низ координатната оска.

Го заклучуваме прегледот: равенката на рамнината поминува низ потеклото. Па, овде е сосема очигледно дека точката ја задоволува дадената равенка.

И, конечно, случајот што е прикажан на цртежот: - рамнината е пријател со сите координатни оски, додека секогаш „отсекува“ триаголник што може да се наоѓа во која било од осумте октанти.

Линеарни неравенки во просторот

За да се разберат информациите, потребно е добро да се проучи линеарни неравенки во рамнинатабидејќи многу работи ќе бидат слични. Параграфот ќе биде краток преглед со неколку примери, бидејќи материјалот е доста редок во пракса.

Ако равенката дефинира рамнина, тогаш неравенките
прашај полупростори. Ако неравенката не е строга (последните две во списокот), тогаш решението на неравенката, покрај полупросторот, ја вклучува и самата рамнина.

Пример 5

Најдете го единечниот нормален вектор на рамнината .

Решение: Единечен вектор е вектор чија должина е една. Да го означиме овој вектор со . Сосема е јасно дека векторите се колинеарни:

Прво, го отстрануваме нормалниот вектор од равенката на рамнината: .

Како да се најде единечниот вектор? За да го пронајдете единичниот вектор, ви треба секојвекторска координата поделена со должина на векторот.

Ајде да го преработиме нормалниот вектор во форма и да ја најдеме неговата должина:

Според горенаведеното:

Одговори:

Проверете: , што беше потребно да се провери.

Читателите кои внимателно го проучувале последниот пасус од лекцијата, веројатно го забележале тоа координатите на единечниот вектор се токму косинусите на насоката на векторот:

Ајде да отстапиме од расклопениот проблем: кога ви е даден произволен вектор кој не е нула, а според условот се бара да се најдат косинусите на неговата насока (види ги последните задачи од лекцијата Точка производ на вектори), тогаш, всушност, наоѓате и единичен вектор колинеарен на дадениот. Всушност, две задачи во едно шише.

Потребата да се најде единичен нормален вектор се јавува во некои проблеми на математичката анализа.

Го сфативме риболовот на нормалниот вектор, сега ќе одговориме на спротивното прашање:

Како да се напише равенка за рамнина користејќи точка и нормален вектор?

Оваа цврста конструкција на нормален вектор и точка е добро позната по целта со пикадо. Ве молиме истегнете ја раката напред и ментално изберете произволна точка во просторот, на пример, мала мачка во табла. Очигледно, преку оваа точка, можете да нацртате една рамнина нормална на вашата рака.

Равенката на рамнина што минува низ точка нормална на векторот се изразува со формулата:

Може да се специфицира на различни начини (една точка и вектор, две точки и вектор, три точки итн.). Имајќи го ова предвид дека равенката на рамнината може да има различни форми. Исто така, под одредени услови, рамнините можат да бидат паралелни, нормални, пресечни итн. Ние ќе зборуваме за ова во оваа статија. Ќе научиме како да ја напишеме општата равенка на рамнината и не само.

Нормална форма на равенката

Да речеме дека постои простор R 3 кој има правоаголен координатен систем XYZ. Го поставуваме векторот α, кој ќе се ослободи од почетната точка O. Низ крајот на векторот α ја исцртуваме рамнината P, која ќе биде нормална на него.

Означи со P произволна точка Q=(x, y, z). Векторот на радиусот на точката Q ќе го потпишеме со буквата p. Должината на векторот α е p=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ова е единечен вектор кој покажува странично, исто како векторот α. α, β и γ се аглите што се формираат помеѓу векторот Ʋ и позитивните насоки на просторните оски x, y, z, соодветно. Проекцијата на одредена точка QϵП на векторот Ʋ е константна вредност еднаква на р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Оваа равенка има смисла кога p=0. Единствено е што рамнината P во овој случај ќе ја пресече точката O (α=0), која е почеток, а единечниот вектор Ʋ ослободен од точката O ќе биде нормална на P, без оглед на нејзината насока, што значи дека векторот Ʋ е определен од знак-точен. Претходната равенка е равенката на нашата рамнина P, изразена во векторска форма. Но, во координати ќе изгледа вака:

P овде е поголем или еднаков на 0. Ја најдовме равенката на рамнината во вселената во нејзината нормална форма.

Општа равенка

Ако ја помножиме равенката во координати со кој било број што не е еднаков на нула, добиваме равенка еквивалентна на дадената, која ја одредува истата таа рамнина. Ќе изгледа вака:

Овде A, B, C се броеви кои се истовремено различни од нула. Оваа равенка се нарекува равенка на општа рамнина.

Равенки на рамнина. Посебни случаи

Равенката во општа форма може да се измени во присуство на дополнителни услови. Да разгледаме некои од нив.

Да претпоставиме дека коефициентот A е 0. Тоа значи дека дадената рамнина е паралелна со дадената оска Ox. Во овој случај, формата на равенката ќе се промени: Ву+Cz+D=0.

Слично на тоа, формата на равенката ќе се промени под следниве услови:

• Прво, ако B = 0, тогаш равенката ќе се промени во Ax + Cz + D = 0, што ќе укаже на паралелизам со оската Oy.
• Второ, ако С=0, тогаш равенката се трансформира во Ах+Ву+D=0, што ќе укаже на паралелизам со дадената оска Oz.
• Трето, ако D=0, равенката ќе изгледа како Ax+By+Cz=0, што ќе значи дека рамнината го пресекува O (почетокот).
• Четврто, ако A=B=0, тогаш равенката ќе се смени во Cz+D=0, што ќе се покаже паралелно со Oxy.
• Петто, ако B=C=0, тогаш равенката станува Ax+D=0, што значи дека рамнината до Oyz е паралелна.
• Шесто, ако A=C=0, тогаш равенката ќе има форма Ву+D=0, односно ќе пријави паралелизам на Oxz.

Вид на равенка во отсечки

Во случај кога броевите A, B, C, D не се нула, формата на равенката (0) може да биде како што следува:

x/a + y/b + z/c = 1,

во кои a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Добивме како резултат Вреди да се напомене дека оваа рамнина ќе ја пресече оската Ox во точка со координати (a,0,0), Oy - (0,b,0) и Oz - (0,0,c) .

Земајќи ја предвид равенката x/a + y/b + z/c = 1, лесно е визуелно да се прикаже поставеноста на рамнината во однос на даден координатен систем.

Нормални векторски координати

Нормалниот вектор n на рамнината P има координати кои се коефициенти на општата равенка на дадената рамнина, односно n (A, B, C).

За да се одредат координатите на нормалното n, доволно е да се знае општата равенка на дадена рамнина.

При користење на равенката во отсечки, која има форма x/a + y/b + z/c = 1, како и кога се користи општата равенка, може да се напишат координатите на кој било нормален вектор на дадена рамнина: (1 /a + 1/b + 1/ Со).

Треба да се напомене дека нормалниот вектор помага да се решат различни проблеми. Најчести се задачите кои се состојат во докажување на нормалноста или паралелизмот на рамнините, проблеми во наоѓање агли меѓу рамнините или агли меѓу рамнините и правите.

Приказ на равенката на рамнината според координатите на точката и нормалниот вектор

Ненулта вектор n нормален на дадена рамнина се нарекува нормален (нормален) за дадена рамнина.

Да претпоставиме дека во координатниот простор (правоаголен координатен систем) се дадени Oxyz:

• точка Мₒ со координати (xₒ,yₒ,zₒ);
• нула вектор n=A*i+B*j+C*k.

Потребно е да се состави равенка за рамнина што ќе помине низ точката Mₒ нормална на нормалната n.

Во просторот, избираме која било произволна точка и ја означуваме со M (x y, z). Нека векторот на радиусот на која било точка M (x, y, z) е r=x*i+y*j+z*k, а векторот на радиусот на точката Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Точката M ќе припаѓа на дадената рамнина ако векторот MₒM е нормален на векторот n. Ние ја пишуваме состојбата на ортогоналност користејќи го скаларниот производ:

[MₒM, n] = 0.

Бидејќи MₒM \u003d r-rₒ, векторската равенка на рамнината ќе изгледа вака:

Оваа равенка може да има друга форма. За да го направите ова, се користат својствата на скаларниот производ, а левата страна на равенката се трансформира. = -. Ако се означи како c, тогаш ќе се добие следната равенка: - c \u003d 0 или \u003d c, што ја изразува постојаноста на проекциите на нормалниот вектор на вектори на радиусот на дадените точки што припаѓаат на рамнината.

Сега можете да ја добиете координатната форма за запишување на векторската равенка на нашата рамнина = 0. Бидејќи r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, и n = A*i+B *j+C*k, имаме:

Излегува дека имаме равенка за рамнина што минува низ точка нормална на нормалната n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Приказ на равенката на рамнината според координатите на две точки и вектор колинеарен на рамнината

Дефинираме две произволни точки M′ (x′,y′,z′) и M″ (x″,y″,z″), како и векторот a (a′,a″,a‴).

Сега можеме да составиме равенка за дадена рамнина, која ќе помине низ достапните точки M′ и M″, како и секоја точка M со координати (x, y, z) паралелни на дадениот вектор a.

Во овој случај, векторите M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) и M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) мора да бидат компланарни со векторот a=(a′,a″,a‴), што значи дека (M′M, M″M, a)=0.

Значи, нашата равенка на рамнина во вселената ќе изгледа вака:

Вид на равенка на рамнина што пресекува три точки

Да претпоставиме дека имаме три точки: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), кои не припаѓаат на иста права линија. Потребно е да се напише равенката на рамнината што минува низ дадените три точки. Теоријата на геометријата тврди дека овој вид рамнина навистина постои, само што е единствениот и неповторлив. Бидејќи оваа рамнина ја пресекува точката (x′, y′, z′), формата на нејзината равенка ќе биде како што следува:

Овде A, B, C се различни од нула во исто време. Исто така, дадената рамнина пресекува уште две точки: (x″,y″,z″) и (x‴,y‴,z‴). Во овој поглед, мора да се исполнат следниве услови:

Сега можеме да составиме хомоген систем со непознати u, v, w:

Во нашиот случај, x, y или z е произволна точка што ја задоволува равенката (1). Земајќи ги во предвид равенката (1) и системот на равенки (2) и (3), системот на равенки наведен на сликата погоре го задоволува векторот N (A, B, C), кој е нетривијален. Затоа детерминантата на овој систем е еднаква на нула.

Равенката (1), која ја добивме, е равенката на рамнината. Поминува точно низ 3 точки, а тоа е лесно да се провери. За да го направите ова, треба да ја прошириме нашата одредница над елементите во првиот ред. Од постојните својства на детерминантата произлегува дека нашата рамнина истовремено пресекува три првично дадени точки (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Односно, ја решивме задачата поставена пред нас.

Диедрален агол помеѓу рамнините

Диедрален агол е просторна геометриска фигура формирана од две полурамнини кои произлегуваат од една права линија. Со други зборови, ова е дел од просторот што е ограничен со овие полурамнини.

Да речеме дека имаме две рамнини со следните равенки:

Знаеме дека векторите N=(A,B,C) и N1=(A1,B1,C1) се нормални според дадените рамнини. Во овој поглед, аголот φ помеѓу векторите N и N1 е еднаков на аголот (диедрален), кој е помеѓу овие рамнини. Скаларниот производ има форма:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

токму затоа што

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Доволно е да се земе предвид дека 0≤φ≤π.

Всушност, две рамнини што се сечат формираат два (диедрални) агли: φ 1 и φ 2 . Нивниот збир е еднаков на π (φ 1 + φ 2 = π). Што се однесува до нивните косинуси, нивните апсолутни вредности се еднакви, но тие се разликуваат по знаци, односно cos φ 1 =-cos φ 2. Ако во равенката (0) ги замениме A, B и C со броевите -A, -B и -C, соодветно, тогаш равенката што ја добиваме ќе ја одреди истата рамнина, единствениот агол φ во равенката cos φ= NN 1 /| N||N 1 | ќе се замени со π-φ.

Равенка на нормална рамнина

Рамнините се нарекуваат нормални ако аголот меѓу нив е 90 степени. Користејќи го материјалот наведен погоре, можеме да ја најдеме равенката на рамнина нормална на друга. Да речеме дека имаме две рамнини: Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B1y+C¹z+D=0. Можеме да констатираме дека тие ќе бидат нормални ако cosφ=0. Ова значи дека NN1=AA1+BB1+CC1=0.

Равенка на паралелна рамнина

Паралелни се две рамнини кои не содржат заеднички точки.

Условот (нивните равенки се исти како во претходниот пасус) е дека векторите N и N1, кои се нормални на нив, се колинеарни. Ова значи дека се исполнети следните услови на пропорционалност:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ако се прошират условите за пропорционалност - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ова покажува дека овие авиони се совпаѓаат. Тоа значи дека равенките Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B1y+C1z+D1=0 опишуваат една рамнина.

Растојание до авион од точка

Да речеме дека имаме рамнина P, која е дадена со равенката (0). Потребно е да се најде растојанието до него од точката со координати (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. За да го направите ова, треба да ја доведете равенката на рамнината P во нормална форма:

(ρ,v)=p (p≥0).

Во овој случај, ρ(x,y,z) е вектор на радиус на нашата точка Q лоцирана на P, p е должината на нормалното на P што е ослободено од нултата точка, v е единечниот вектор што се наоѓа во насоката.

Разликата ρ-ρº на векторот на радиусот на некоја точка Q \u003d (x, y, z) што припаѓа на P, како и векторот на радиусот на дадена точка Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) е таква вектор, апсолутната вредност на чија проекција на v е еднаква на растојанието d, кое мора да се најде од Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) до P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

Така излегува

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Така, ќе ја најдеме апсолутната вредност на добиениот израз, односно саканиот d.

Користејќи го јазикот на параметрите, го добиваме очигледното:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ако дадената точка Q 0 е на другата страна на рамнината P, како и потеклото, тогаш помеѓу векторот ρ-ρ 0 и v е затоа:

d=-(ρ-ρ 0,v)=(ρ0,v)-p>0.

Во случај кога точката Q 0, заедно со потеклото, се наоѓа на истата страна на P, тогаш создадениот агол е остар, односно:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Како резултат на тоа, излегува дека во првиот случај (ρ 0 ,v)> р, во вториот (ρ 0 ,v)<р.

Тангентна рамнина и нејзината равенка

Тангентата рамнина на површината во точката на допир Mº е рамнината што ги содржи сите можни тангенти на кривите извлечени низ оваа точка на површината.

Со оваа форма на равенката на површината F (x, y, z) \u003d 0, равенката на тангентната рамнина во тангентата точка Mº (xº, yº, zº) ќе изгледа вака:

F x (xº, yº, zº) (x- xº) + F x (xº, yº, zº) (y-yº) + F x (xº, yº, zº) (z-zº)=0.

Ако ја наведете површината во експлицитна форма z=f (x, y), тогаш тангентата рамнина ќе биде опишана со равенката:

z-zº = f(xº, yº) (x- xº) + f (xº, yº) (y-yº).

Пресек на две рамнини

Во координатниот систем (правоаголен) се наоѓа Oxyz, дадени се две рамнини П′ и П″ кои се сечат и не се совпаѓаат. Бидејќи секоја рамнина сместена во правоаголен координатен систем е одредена со општата равенка, ќе претпоставиме дека P' и P″ се дадени со равенките A'x+B'y+C'z+D'=0 и A″x +B″y+ С″z+D″=0. Во овој случај, го имаме нормалното n' (A', B', C') на P' рамнината и нормалното n″ (A″, B″, C″) на P″ рамнината. Бидејќи нашите рамнини не се паралелни и не се совпаѓаат, овие вектори не се колинеарни. Користејќи го јазикот на математиката, овој услов можеме да го запишеме на следниов начин: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″, λ*B″, λ*C″), λϵR. Нека правата што лежи на пресекот на P′ и P″ се означува со буквата a, во овој случај a = P′ ∩ P″.

a е права линија која се состои од множество од сите точки на (заеднички) рамнини П′ и П″. Ова значи дека координатите на која било точка што припаѓа на правата a мора истовремено да ги задоволуваат равенките A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x+B″y+C″z+D″= 0. Ова значи дека координатите на точката ќе бидат посебно решение на следниот систем на равенки:

Како резултат на тоа, излегува дека (општото) решение на овој систем на равенки ќе ги одреди координатите на секоја од точките на правата линија, која ќе дејствува како пресечна точка на П′ и П″ и ќе ја одреди правата линија a во координатниот систем Oxyz (правоаголна) во просторот.

Во оваа лекција, ќе разгледаме како да ја користиме детерминантата за составување равенка на рамнина. Ако не знаете што е детерминанта, одете на првиот дел од лекцијата - „ Матрици и детерминанти». Во спротивно, ризикувате да не разберете ништо во денешниот материјал.

Равенка на рамнина за три точки

Зошто воопшто ни е потребна равенката на авионот? Едноставно е: знаејќи го тоа, лесно можеме да пресметаме агли, растојанија и други глупости во проблемот C2. Во принцип, оваа равенка е незаменлива. Затоа, го формулираме проблемот:

Задача. Во просторот има три точки кои не лежат на иста права линија. Нивните координати:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Потребно е да се напише равенката на рамнината што минува низ овие три точки. И равенката треба да изгледа вака:

Ax + By + Cz + D = 0

каде што броевите A , B , C и D се коефициентите кои, всушност, сакате да ги најдете.

Па, како да се добие равенката на рамнината, ако се познати само координатите на точките? Најлесен начин е да ги замените координатите во равенката Ax + By + Cz + D = 0. Се добива систем од три равенки кој лесно се решава.

Многу студенти сметаат дека ова решение е крајно досадно и несигурно. Минатогодишниот испит по математика покажа дека веројатноста да се направи грешка во пресметката е навистина голема.

Затоа, најнапредните наставници почнаа да бараат поедноставни и поелегантни решенија. И тие го најдоа! Точно, добиената техника е поверојатно поврзана со повисока математика. Лично, морав да пребарувам низ целата Федерална листа на учебници за да се уверам дека имаме право да ја користиме оваа техника без никакво оправдување и докази.

Равенка на рамнината низ детерминантата

Доста галамење, ајде да се фатиме за работа. За почеток, теорема за тоа како се поврзани детерминантата на матрицата и равенката на рамнината.

Теорема. Нека се дадени координатите на три точки низ кои мора да се нацрта рамнината: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Тогаш равенката на оваа рамнина може да се запише во однос на детерминантата:

На пример, да се обидеме да најдеме пар рамнини што всушност се појавуваат во проблемите C2. Погледнете колку брзо се брои:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Ја составуваме детерминантата и ја изедначуваме на нула:

Отворање на детерминантата:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Како што можете да видите, при пресметувањето на бројот d, малку ја дотерав равенката така што променливите x, y и z беа во правилната низа. Тоа е се! Равенката на авионот е подготвена!

Задача. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Веднаш заменете ги координатите на точките во детерминантата:

Повторно проширување на детерминантата:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Значи, равенката на рамнината повторно се добива! Повторно, на последниот чекор, морав да ги сменам знаците во него за да добијам поубава формула. Не е неопходно ова да се направи во ова решение, но сепак се препорачува - со цел да се поедностави понатамошното решавање на проблемот.

Како што можете да видите, сега е многу полесно да се напише равенката на авионот. Ги заменуваме точките во матрицата, ја пресметуваме детерминантата - и тоа е сè, равенката е подготвена.

Ова може да биде крај на лекцијата. Меѓутоа, многу студенти постојано забораваат што има внатре во одредницата. На пример, која линија содржи x 2 или x 3, а која линија само x. За конечно да се справиме со ова, ајде да пронајдеме од каде доаѓа секој број.

Од каде формулата со детерминантата?

Значи, ајде да откриеме од каде доаѓа таква груба равенка со детерминанта. Ова ќе ви помогне да го запомните и успешно да го примените.

Сите рамнини што се појавуваат во задачата C2 се дефинирани со три точки. Овие точки секогаш се означени на цртежот, па дури и директно означени во текстот на проблемот. Во секој случај, за да ја составиме равенката, треба да ги запишеме нивните координати:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Размислете за уште една точка на нашата рамнина со произволни координати:

T = (x, y, z)

Земаме која било точка од првите три (на пример, точка М ) и цртаме вектори од неа до секоја од трите преостанати точки. Добиваме три вектори:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Сега да направиме квадратна матрица од овие вектори и да ја изедначиме нејзината детерминанта на нула. Координатите на векторите ќе станат редови на матрицата - и ќе ја добиеме истата детерминанта што е наведена во теоремата:

Оваа формула значи дека волуменот на кутијата изградена на векторите MN , MK и MT е еднаков на нула. Според тоа, сите три вектори лежат во иста рамнина. Конкретно, произволна точка T = (x, y, z) е токму она што го баравме.

Замена на точките и редовите на детерминантата

Детерминантите имаат некои прекрасни својства што го олеснуваат тоа решение на проблемот Ц2. На пример, не ни е важно од која точка да цртаме вектори. Според тоа, следните детерминанти ја даваат истата равенка на рамнина како горенаведената:

Можете исто така да ги замените линиите на детерминантата. Равенката ќе остане непроменета. На пример, многу луѓе сакаат да напишат линија со координатите на точката T = (x; y; z) на самиот врв. Ве молиме, ако ви е погодно:

Збунува некои дека една од линиите содржи променливи x , y и z , кои не исчезнуваат при замена на точките. Но, тие не треба да исчезнат! Со замена на броевите во детерминантата, треба да ја добиете следната конструкција:

Потоа детерминантата се проширува според шемата дадена на почетокот на часот и се добива стандардната равенка на рамнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Погледнете еден пример. Тој е последниот на денешната лекција. Намерно ќе ги заменам линиите за да се уверам дека одговорот ќе биде истата равенка на авионот.

Задача. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Значи, разгледуваме 4 точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Прво, да направиме стандардна детерминанта и да ја изедначиме со нула:

Отворање на детерминантата:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Тоа е тоа, го добивме одговорот: x + y + z − 2 = 0 .

Сега да преуредиме неколку линии во детерминантата и да видиме што ќе се случи. На пример, да напишеме линија со променливите x, y, z не на дното, туку на врвот:

Ајде повторно да ја прошириме добиената детерминанта:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Добивме точно иста равенка на рамнина: x + y + z − 2 = 0. Значи, тоа навистина не зависи од редоследот на редовите. Останува да се запише одговорот.

Значи, видовме дека равенката на рамнината не зависи од низата линии. Можно е да се направат слични пресметки и да се докаже дека равенката на рамнината не зависи од точката чии координати ги одземаме од другите точки.

Во проблемот разгледан погоре, ја користевме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше сосема можно да се земе C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). Во принцип, секоја точка со познати координати што лежи на саканата рамнина.