Решение на фракционо рационални тригонометриски равенки. Како да се решат тригонометриски равенки

Вашата приватност е важна за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прочитајте ја нашата политика за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Следниве се неколку примери за видовите лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да ви испраќаме важни известувања и комуникации.
• Ние, исто така, може да користиме лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и различни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако влезете во наградна игра, натпревар или сличен поттик, ние може да ги користиме информациите што ги давате за да управуваме со такви програми.

Откривање на трети лица

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Во случај да е неопходно - во согласност со законот, судскиот поредок, во правните постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од државни органи на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедносни, спроведување на законот или други цели од јавен интерес.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на релевантниот наследник на трета страна.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Одржување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме практиките за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Час и презентација на тема: „Решение на наједноставните тригонометриски равенки“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, повратни информации, предлози! Сите материјали се проверуваат со антивирусна програма.

Прирачници и симулатори во онлајн продавницата „Интеграл“ за одделение 10 од 1С
Решаваме проблеми во геометријата. Интерактивни задачи за градење во просторот
Софтверско опкружување „1C: Математички конструктор 6.1“

Што ќе учиме:
1. Што се тригонометриски равенки?

3. Два главни методи за решавање на тригонометриски равенки.
4. Хомогени тригонометриски равенки.
5. Примери.

Што се тригонометриски равенки?

Момци, веќе ги проучувавме арксинот, аркозинот, арктангенсот и аркотангенсот. Сега да ги погледнеме тригонометриските равенки воопшто.

Тригонометриски равенки - равенки во кои променливата е содржана под знакот на тригонометриската функција.

Ја повторуваме формата за решавање на наједноставните тригонометриски равенки:

1) Ако |а|≤ 1, тогаш равенката cos(x) = a има решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ако |а|≤ 1, тогаш равенката sin(x) = a има решение:

3) Ако |a| > 1, тогаш равенката sin(x) = a и cos(x) = a немаат решенија 4) Равенката tg(x)=a има решение: x=arctg(a)+ πk

5) Равенката ctg(x)=a има решение: x=arcctg(a)+ πk

За сите формули, k е цел број

Наједноставните тригонометриски равенки имаат форма: Т(kx+m)=a, Т- која било тригонометриска функција.

Решете ги равенките: а) sin(3x)= √3/2

Одлука:

А) Да означиме 3x=t, а потоа ќе ја преработиме нашата равенка во форма:

Решението на оваа равенка ќе биде: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Од табелата со вредности добиваме: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Да се ​​вратиме на нашата променлива: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогаш x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Одговор: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, каде што n е цел број. (-1)^n - минус еден до моќта на n.

Повеќе примери на тригонометриски равенки.

Одлука:

А) Овој пат веднаш ќе одиме на пресметување на корените на равенката:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогаш x/5= πk => x=5πk

Одговор: x=5πk, каде k е цел број.

Б) Запишуваме во форма: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Знаеме дека: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Одговор: x=2π/9 + πk/3, каде k е цел број.

Решавајте равенки: cos(4x)= √2/2. И пронајдете ги сите корени на сегментот.

Одлука:

Да ја решиме нашата равенка во општа форма: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Сега да видиме кои корени паѓаат на нашиот сегмент. За k За k=0, x= π/16, сме во дадената отсечка.
Со k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 повторно удриле.
За k=2, x= π/16+ π=17π/16, но овде не погодивме, што значи дека нема да погодиме ниту за големо k.

Одговор: x= π/16, x= 9π/16

Два главни методи на решение.

Да ја решиме равенката:

Одлука:
За да ја решиме нашата равенка, го користиме методот на воведување нова променлива, означена: t=tg(x).

Како резултат на замена, добиваме: t 2 + 2t -1 = 0

Најдете ги корените на квадратната равенка: t=-1 и t=1/3

Потоа tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, ја добивме наједноставната тригонометриска равенка, ајде да ги најдеме нејзините корени.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Одговор: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример за решавање на равенка

Решете ги равенките: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Одлука:

Да го искористиме идентитетот: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Нашата равенка станува: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Да ја воведеме замената t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решението на нашата квадратна равенка се корените: t=2 и t=-1/2

Потоа cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Бидејќи косинус не може да земе вредности поголеми од една, тогаш cos(x)=2 нема корени.

За cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Одговор: x= ±2π/3 + 2πk

Хомогени тригонометриски равенки.

Равенки на формата

хомогени тригонометриски равенки од втор степен.

За да решиме хомогена тригонометриска равенка од прв степен, ја делиме со cos(x): Невозможно е да се подели со косинус ако е еднакво на нула, ајде да се увериме дека тоа не е така:
Нека cos(x)=0, тогаш asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синусот и косинусот не се еднакви на нула во исто време, добивме контрадикција, па можеме безбедно да се подели со нула.

Реши ја равенката:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Одлука:

Извадете го заедничкиот фактор: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Потоа треба да решиме две равенки:

cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 за x= π/2 + πk;

Размислете за равенката cos(x)+sin(x)=0 Поделете ја нашата равенка со cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Одговор: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Како да се решат хомогени тригонометриски равенки од втор степен?
Момци, секогаш држете се до овие правила!

1. Погледнете на што е еднаков коефициентот a, ако a \u003d 0 тогаш нашата равенка ќе ја има формата cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), чиешто решение е пример на претходното слајд

2. Ако a≠0, тогаш треба да ги поделите двата дела од равенката со квадратниот косинус, добиваме:

Ја правиме промената на променливата t=tg(x) ја добиваме равенката:

Решете го примерот #:3

Поделете ги двете страни на равенката со косинус квадрат:

Правиме промена на променливата t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Најдете ги корените на квадратната равенка: t=-3 и t=1

Тогаш: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Одговор: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решете го примерот #:4

Одлука:
Ајде да го трансформираме нашиот израз:

Можеме да решиме такви равенки: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Одговор: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решете го примерот #:5

Одлука:
Ајде да го трансформираме нашиот израз:

Ја воведуваме замената tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Решението на нашата квадратна равенка ќе бидат корените: t=-2 и t=1/2

Тогаш добиваме: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Одговор: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи за самостојно решение.

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Реши равенки: sin(3x)= √3/2. И најдете ги сите корени на отсечката [π/2; π].

3) Реши ја равенката: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Реши ја равенката: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Реши ја равенката: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Решете ја равенката: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Не е тајна дека успехот или неуспехот во процесот на решавање на речиси секој проблем главно зависи од точноста на одредувањето на видот на дадената равенка, како и од точноста на репродукција на низата од сите фази на неговото решение. Меѓутоа, во случај на тригонометриски равенки, воопшто не е тешко да се одреди фактот дека равенката е тригонометриска. Но, во процесот на одредување на редоследот на дејства што треба да не доведат до точниот одговор, може да наидеме на одредени тешкотии. Ајде да откриеме како правилно да ги решиме тригонометриските равенки од самиот почеток.

Решавање на тригонометриски равенки

За да ја решите тригонометриската равенка, треба да се обидете да ги извршите следните точки:

• Ги доведуваме сите функции кои се вклучени во нашата равенка до „истите агли“;
• Потребно е дадената равенка да се доведе до „идентични функции“;
• Левата страна од дадената равенка ја разложуваме на фактори или други неопходни компоненти.

Методи

Метод 1. Потребно е ваквите равенки да се решаваат во две фази. Прво, ја трансформираме равенката за да ја добиеме нејзината наједноставна (поедноставена) форма. Равенка: Cosx = a, Sinx = a и слично се нарекуваат наједноставни тригонометриски равенки. Вториот чекор е да се реши добиената едноставна равенка. Треба да се напомене дека наједноставната равенка може да се реши со алгебарскиот метод, кој ни е добро познат од училишниот курс за алгебра. Се нарекува и метод на замена и променлива супституција. Со помош на формули за намалување, прво треба да се трансформирате, потоа да направите замена и потоа да ги пронајдете корените.

Следно, треба да ја разложите нашата равенка на можни фактори, за ова треба да ги преместите сите поими налево и потоа да се разложите на фактори. Сега треба да ја доведете оваа равенка до хомогена, во која сите членови се еднакви на ист степен, а косинус и синус имаат ист агол.

Пред да ги решите тригонометриските равенки, треба да ги пренесете неговите членови на левата страна, земајќи ги од десната страна, а потоа ги извадиме сите заеднички именители во загради. Ги изедначуваме нашите загради и фактори на нула. Нашите изедначени загради се хомогена равенка со намален степен што треба да се подели со sin(cos) до највисоката моќност. Сега ја решаваме алгебарската равенка што е добиена во однос на тен.

Метод 2. Друг метод со кој можете да ја решите тригонометриската равенка е преминот кон половина агол. На пример, ја решаваме равенката: 3sinx-5cosx=7.

Треба да одиме на половина агол, во нашиот случај тоа е: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). И после тоа, ги намалуваме сите поими на еден дел (за погодност, подобро е да го избереме вистинскиот) и да продолжиме да ја решаваме равенката.

Доколку е потребно, можете да внесете помошен агол. Ова се прави кога треба да ја замените целобројната вредност sin (a) или cos (a) и знакот „a“ делува само како помошен агол.

производ да се сумира

Како да се решат тригонометриски равенки користејќи збирен производ? За решавање на вакви равенки може да се користи и методот познат како конверзија од производ во сума. Во овој случај, неопходно е да се користат формулите што одговараат на равенката.

На пример, имаме равенка: 2sinx * sin3x= cos4x

Треба да го решиме овој проблем со претворање на левата страна во збир, имено:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Ако горенаведените методи не се соодветни, а сè уште не знаете како да ги решите наједноставните тригонометриски равенки, можете да користите друг метод - универзална замена. Со него можете да го трансформирате изразот и да направите замена. На пример: Cos(x/2)=u. Сега можеме да ја решиме равенката со дадениот параметар u. И откако го добивте посакуваниот резултат, не заборавајте да ја преведете оваа вредност во спротивното.

На многу „искусни“ студенти им се советува да се обратат до луѓето преку Интернет за решавање равенки. Како да решите тригонометриска равенка на интернет, прашувате. За да го решите проблемот онлајн, можете да се обратите на форумите на соодветните теми, каде што може да ви помогне со совети или во решавањето на проблемот. Но, најдоброто нешто е да се обидете сами да се снајдете.

Вештините и способностите за решавање на тригонометриски равенки се многу важни и корисни. Нивниот развој ќе бара многу труд од вас. Многу проблеми во физиката, стереометријата итн. се поврзани со решавањето на ваквите равенки. А самиот процес на решавање на ваквите проблеми подразбира присуство на вештини и знаења кои можат да се стекнат при проучувањето на елементите на тригонометријата.

Научете тригонометриски формули

Во процесот на решавање на равенка, може да наидете на потреба да користите било која формула од тригонометријата. Се разбира, можете да почнете да го барате во вашите учебници и мамечки листови. И ако овие формули ви се стават во глава, не само што ќе ги зачувате нервите, туку и ќе си ја олесните задачата многу, без да губите време барајќи ги потребните информации. Така, ќе имате можност да размислите на најрационален начин за решавање на проблемот.

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успешно полагање на испитот по математика со 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од профилот КОРИСТЕТЕ во математиката. Исто така погоден за полагање на Основната УПОТРЕБА по математика. Ако сакате да го положите испитот со 90-100 поени, треба да го решите делот 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвен курс за испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите дел 1 од испитот по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). А ова се повеќе од 70 поени на Единствениот државен испит и без нив не може ниту студент од сто поени, ниту хуманист.

Целата потребна теорија. Брзи решенија, стапици и тајни на испитот. Анализирани се сите релевантни задачи од дел 1 од задачите на Банката на ФИПИ. Курсот целосно е во согласност со барањата на USE-2018.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици испитни задачи. Текстуални проблеми и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи на КОРИСТЕЊЕ. Стереометрија. Зајадливи трикови за решавање, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од нула - до задача 13. Разбирање наместо набивање. Визуелно објаснување на сложени концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решавање сложени проблеми од 2 дел од испитот.

Можете да нарачате детално решение за вашиот проблем !!!

Еднаквоста што содржи непозната под знакот на тригонометриска функција (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`) се нарекува тригонометриска равенка, а ние понатаму ќе ги разгледаме нивните формули.

Наједноставните равенки се `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, каде што `x` е аголот што треба да се најде, `a` е кој било број. Ајде да ги напишеме коренските формули за секоја од нив.

1. Равенка `sin x=a`.

За `|a|>1` нема решенија.

Со `|а| \leq 1` има бесконечен број решенија.

Формула на коренот: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Равенка `cos x=a`

За `|a|>1` - како и во случајот со синусот, нема решенија меѓу реалните броеви.

Со `|а| \leq 1` има бесконечен број решенија.

Формула на коренот: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специјални случаи за синус и косинус во графикони.

3. Равенка `tg x=a`

Има бесконечен број решенија за која било вредност на `a`.

Формула на коренот: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Равенка `ctg x=a`

Исто така, има бесконечен број решенија за сите вредности на `a`.

Формула на коренот: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометриските равенки во табелата

За синус:
За косинус:
За тангента и котангента:
Формули за решавање равенки кои содржат инверзни тригонометриски функции:

Методи за решавање на тригонометриски равенки

Решението на која било тригонометриска равенка се состои од две фази:

• користење за да го претворите во наједноставниот;
• решете ја добиената едноставна равенка користејќи ги горенаведените формули за корените и табелите.

Ајде да ги разгледаме главните методи на решение користејќи примери.

алгебарски метод.

Во овој метод се врши замена на променлива и нејзина замена во еднаквост.

Пример. Решете ја равенката: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направи замена: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, потоа `2y^2-3y+1=0`,

ги наоѓаме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, од кои следуваат два случаи:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Одговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизација.

Пример. Решете ја равенката: `sin x+cos x=1`.

Одлука. Поместете ги налево сите поими за еднаквост: `sin x+cos x-1=0`. Користејќи го , ја трансформираме и факторизираме левата страна:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Одговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Намалување на хомогена равенка

Прво, треба да ја доведете оваа тригонометриска равенка во една од двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогена равенка од прв степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогена равенка од втор степен).

Потоа поделете ги двата дела со `cos x \ne 0` за првиот случај и со `cos^2 x \ne 0` за вториот. Добиваме равенки за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, кои мора да се решат со познати методи.

Пример. Решете ја равенката: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Одлука. Ајде да ја напишеме десната страна како `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ова е хомогена тригонометриска равенка од втор степен, делејќи ја неговата лева и десна страна со `cos^2 x \ne 0`, добиваме:

`\ frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Да ја воведеме замената `tg x=t`, како резултат на тоа `t^2 + t - 2=0`. Корените на оваа равенка се `t_1=-2` и `t_2=1`. Потоа:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Одговори. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \во Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \во Z`.

Одете на половина агол

Пример. Решете ја равенката: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Одлука. Применувајќи ги формулите за двоен агол, резултатот е: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Применувајќи го алгебарскиот метод опишан погоре, добиваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \во Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \во Z`.

Одговори. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \во Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \во Z`.

Воведување на помошен агол

Во тригонометриската равенка `a sin x + b cos x =c`, каде што a,b,c се коефициенти и x е променлива, ги делиме двата дела со `sqrt (a^2+b^2)`:

`\ frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Коефициентите од левата страна имаат својства на синус и косинус, имено, збирот на нивните квадрати е 1, а нивниот модул е ​​најмногу 1. Да ги означиме на следниот начин: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , тогаш:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Ајде внимателно да го разгледаме следниот пример:

Пример. Решете ја равенката: `3 sin x+4 cos x=2`.

Одлука. Поделувајќи ги двете страни на равенката со `sqrt (3^2+4^2)`, добиваме:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 грев x+4/5 cos x=2/5`.

Означете `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Бидејќи `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, земаме `\varphi=arcsin 4/5` како помошен агол. Потоа ја запишуваме нашата еднаквост во форма:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применувајќи ја формулата за збир на агли за синус, ја запишуваме нашата еднаквост во следнава форма:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Одговори. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рационални тригонометриски равенки

Тоа се равенства со дропки, во чии броителите и именители има тригонометриски функции.

Пример. Решете ја равенката. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Одлука. Помножете ја и поделете ја десната страна од равенката со `(1+cos x)`. Како резултат, добиваме:

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Со оглед на тоа дека именителот не може да биде нула, добиваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Изедначете го броителот на дропката со нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Потоа `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \во Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Имајќи предвид дека ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенијата се `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \во Z`.

Одговори. `x=2\pi n`, `n \во Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \во Z`.

Тригонометријата, а особено тригонометриските равенки, се користат во речиси сите области на геометријата, физиката и инженерството. Студијата започнува во 10-то одделение, секогаш има задачи за испитот, затоа обидете се да ги запомните сите формули на тригонометриски равенки - тие дефинитивно ќе ви се најдат!

Сепак, дури и не треба да ги меморирате, главната работа е да ја разберете суштината и да можете да заклучите. Не е толку тешко како што изгледа. Уверете се сами гледајќи го видеото.