Решавање системи на линеарни алгебарски равенки, методи на решавање, примери. Најдете го општото решение на системот и fsr

Податоци од матрица

Најдете: 1) aA - bB,

Решение: 1) Наоѓаме секвенцијално, користејќи ги правилата за множење матрица со број и собирање матрици ..

2. Најдете A*B ако

Решение: Користете го правилото за множење на матрицата

Одговор:

3. За дадена матрица, пронајдете го минор M 31 и пресметајте ја детерминантата.

Решение: Минор М 31 е детерминанта на матрицата што се добива од А

по бришењето на редот 3 и колоната 1. Најдете

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Да ја трансформираме матрицата А без да ја менуваме нејзината детерминанта (да направиме нули во редот 1)

Сега ја пресметуваме детерминантата на матрицата А со проширување по редот 1

Одговор: M 31 = 0, detA = 0

Решавајте со помош на методот Гаус и методот Крамер.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Решение: Ајде да провериме

Можете да го користите методот на Крамер

Системско решение: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Го применуваме методот Гаус.

Проширената матрица на системот ја намалуваме во триаголна форма.

За погодност на пресметките, ги заменуваме линиите:

Помножете го вториот ред со (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и додај на третото:

Помножете го првиот ред со (k = -2 / 2 = -1 ) и додадете на второто:

Сега оригиналниот систем може да се напише како:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Од 2-ри ред изразуваме

Од 1-виот ред изразуваме

Решението е исто.

Одговор: (2; -5; 3)

Најдете го општото решение на системот и FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Решение: Примени го методот Гаус. Проширената матрица на системот ја намалуваме во триаголна форма.

Помножете го првиот ред со (-11). Помножете го вториот ред со (13). Ајде да ја додадеме втората линија на првата:

Помножете го вториот ред со (-5). Помножете го третиот ред со (11). Да ја додадеме третата линија на втората:

Помножете го третиот ред со (-7). Помножете го четвртиот ред со (5). Да ја додадеме 4-тата линија на 3-та:

Втората равенка е линеарна комбинација на останатите

Најдете го рангот на матрицата.

Избраниот минор има највисок ред (од сите можни минори) и не е нула (тоа е еднаков на производот на елементите на реципрочната дијагонала), па оттука ринг(А) = 2.

Ова малолетно лице е основно. Вклучува коефициенти за непознати x 1, x 2, што значи дека непознатите x 1, x 2 се зависни (основни), а x 3, x 4, x 5 се слободни.

Системот со коефициентите на оваа матрица е еквивалентен на оригиналниот систем и има форма:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Со методот на елиминација на непознати, наоѓаме заедничка одлука:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Го наоѓаме основниот систем на решенија (FSR), кој се состои од (n-r) решенија. Во нашиот случај, n=5, r=2, значи, основниот систем на решенија се состои од 3 решенија, а овие решенија мора да бидат линеарно независни.

За редовите да бидат линеарно независни, потребно е и доволно рангот на матрицата составена од елементите на редовите да биде еднаков на бројот на редови, т.е. 3.

Доволно е да се дадат вредности на слободните непознати x 3, x 4, x 5 од редовите на детерминантата од 3 ред, различни од нула и да се пресметаат x 1, x 2.

Наједноставната ненулта детерминанта е идентитетската матрица.

Но, тука е попогодно да се земе

Го наоѓаме користењето на општото решение:

а) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I Одлука на ФСР: (-2; -4; 6; 0; 0)

б) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II одлука на ФСР: (0; -6; 0; 6; 0)

в) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III одлука на ФСР: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Дадени: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Најдете: а) z 1 - 2z 2 б) z 1 z 2 в) z 1 / z 2

Решение: а) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

б) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Одговор: а) -3i б) 12+26i в) -1,4 - 0,3i

Хомоген систем е секогаш конзистентен и има тривијално решение
. За да постои нетривијално решение, потребно е ранг на матрицата беше помал од бројот на непознати:

.

Систем на фундаментални одлуки хомоген систем
повикај го системот на решенија во форма на вектори на колони
, кои одговараат на канонската основа, т.е. основа во која произволни константи
се наизменично поставени еднакви на еден, додека останатите се поставени на нула.

Тогаш општото решение на хомогениот систем има форма:

каде
се произволни константи. Со други зборови, општото решение е линеарна комбинација на основниот систем на решенија.

Така, основните решенија може да се добијат од општото решение ако на слободните непознати наизменично им се дава вредност на единството, под претпоставка дека сите други се еднакви на нула.

Пример. Ајде да најдеме решение за системот

Ние прифаќаме, а потоа го добиваме решението во форма:

Сега да изградиме фундаментален систем на решенија:

.

Општото решение може да се напише како:

Решенијата на систем од хомогени линеарни равенки ги имаат следните својства:

Со други зборови, секоја линеарна комбинација на решенија на хомоген систем е повторно решение.

Решение на системи на линеарни равенки со методот на Гаус

Решавањето системи на линеарни равенки е од интерес за математичарите неколку векови. Првите резултати се добиени во XVIII век. Во 1750 г. Крамер (1704–1752) ги објавил своите дела за детерминантите на квадратните матрици и предложил алгоритам за пронаоѓање на инверзната матрица. Во 1809 година, Гаус навел нов метод на решение познат како метод на елиминација.

Гаусовиот метод, или методот на последователно елиминирање на непознатите, се состои во тоа што, со помош на елементарни трансформации, системот на равенки се сведува на еквивалентен систем од скалеста (или триаголна) форма. Ваквите системи ви овозможуваат постојано да ги наоѓате сите непознати во одреден редослед.

Да претпоставиме дека во системот (1)
(што е секогаш можно).

(1)

Множење на првата равенка за возврат со т.н соодветни броеви

и собирајќи го резултатот од множењето со соодветните равенки на системот, добиваме еквивалентен систем во кој сите равенки, освен првата, нема да имаат непозната X 1

(2)

Сега ја множиме втората равенка на системот (2) со соодветни броеви, под претпоставка дека

,

и додавајќи го на пониските, ја елиминираме променливата од сите равенки, почнувајќи од третата.

Продолжување на овој процес, по
чекори што ги добиваме:

(3)

Ако барем еден од броевите
не е еднаков на нула, тогаш соодветната еднаквост е неконзистентна, а системот (1) е неконзистентен. Спротивно на тоа, за секој заеднички броен систем
се еднакви на нула. Број не е ништо друго освен ранг на системската матрица (1).

Преминот од системот (1) во (3) се нарекува во права линија Гаусовиот метод, и наоѓање непознати од (3) - наназад .

Коментар : Попогодно е да се вршат трансформации не со самите равенки, туку со продолжената матрица на системот (1).

Пример. Ајде да најдеме решение за системот

.

Ајде да ја напишеме зголемената матрица на системот:

.

Да го додадеме на линиите 2,3,4 првиот, помножен со (-2), (-3), (-2) соодветно:

.

Ајде да ги замениме редовите 2 и 3, а потоа во добиената матрица додадете го редот 2 на редот 4, помножен со :

.

Додај во редот 4 редот 3 помножен со
:

.

Очигледно е дека
, затоа системот е компатибилен. Од добиениот систем на равенки

го наоѓаме решението со обратна замена:

,
,
,
.

Пример 2Најдете системско решение:

.

Очигледно е дека системот е неконзистентен, бидејќи
, А
.

Предности на методот Гаус :

Помалку одзема време од методот на Крамер.

Недвосмислено ја утврдува компатибилноста на системот и ви овозможува да најдете решение.

Дава можност да се одреди рангот на која било матрица.

Нека М 0 е множество решенија на хомогениот систем (4) линеарни равенки.

Дефиниција 6.12.Вектори Со 1 ,Со 2 , …, со стр, кои се решенија на хомоген систем на линеарни равенки, се нарекуваат фундаментален сет на решенија(скратено FNR) ако

1) вектори Со 1 ,Со 2 , …, со стрлинеарно независни (односно, ниту еден од нив не може да се изрази во однос на другите);

2) кое било друго решение на хомоген систем на линеарни равенки може да се изрази во однос на решенија Со 1 ,Со 2 , …, со стр.

Забележете дека ако Со 1 ,Со 2 , …, со стре некој ф.н.р., потоа со изразот к 1× Со 1 + к 2× Со 2 + … + кп× со стрможе да го опише целиот сет М 0 решенија на системот (4), така се нарекува општ поглед на системското решение (4).

Теорема 6.6.Секој неопределен хомоген систем на линеарни равенки има фундаментален сет на решенија.

Начинот на наоѓање на основниот сет на решенија е како што следува:

Најдете го општото решение на хомоген систем на линеарни равенки;

Изградба ( n – р) парцијални решенија на овој систем, додека вредностите на слободните непознати мора да формираат идентитетска матрица;

Напишете ја општата форма на растворот вклучен во М 0 .

Пример 6.5.Најдете го основниот сет на решенија на следниот систем:

Решение. Дозволете ни да го најдеме општото решение на овој систем.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Овој систем има пет непознати ( n= 5), од кои има две главни непознати ( р= 2), три слободни непознати ( n – р), односно основното множество решенија содржи три вектори на решенија. Ајде да ги изградиме. Ние имаме x 1 и x 3 - главни непознати, x 2 , x 4 , x 5 - бесплатни непознати

Вредности на бесплатни непознати x 2 , x 4 , x 5 формираат матрица за идентитет Етрет ред. Ги добив тие вектори Со 1 ,Со 2 , Со 3 образец ф.н.р. овој систем. Тогаш множеството решенија на овој хомоген систем ќе биде М 0 = {к 1× Со 1 + к 2× Со 2 + к 3× Со 3 , к 1 , к 2 , к 3 О R).

Сега да ги дознаеме условите за постоење на ненулта решенија на хомоген систем на линеарни равенки, со други зборови, условите за постоење на фундаментално множество решенија.

Хомоген систем на линеарни равенки има ненула решенија, односно е неопределен ако

1) рангот на главната матрица на системот е помал од бројот на непознати;

2) во хомоген систем на линеарни равенки, бројот на равенки е помал од бројот на непознати;

3) ако во хомоген систем на линеарни равенки бројот на равенки е еднаков на бројот на непознати, а детерминантата на главната матрица е еднаква на нула (т.е. | А| = 0).

Пример 6.6. Со која вредност на параметарот ахомоген систем на линеарни равенки има не-нула решенија?

Решение. Да ја составиме главната матрица на овој систем и да ја најдеме нејзината детерминанта: = = 1×(–1) 1+1 × = – а– 4. Детерминантата на оваа матрица е еднаква на нула кога а = –4.

Одговори: –4.

7. Аритметика n-димензионален векторски простор

Основни концепти

Во претходните делови веќе се сретнавме со концептот на множество од реални броеви подредени по одреден редослед. Ова е матрица на редови (или матрица на колони) и решение за систем од линеарни равенки со nнепознат. Оваа информација може да се сумира.

Дефиниција 7.1. n-димензионален аритметички векторсе нарекува подредено множество од nреални броеви.

Средства а= (а 1 , а 2 , ..., а n), каде што јасО Р, јас = 1, 2, …, nе општ поглед на векторот. Број nповикани димензијавектор, и броевите a јасго повика координати.

На пример: а= (1, –8, 7, 4, ) е петдимензионален вектор.

Сè е подготвено n-димензионалните вектори обично се означуваат како R n.

Дефиниција 7.2.Два вектори а= (а 1 , а 2 , ..., а n) и б= (б 1 , б 2 , ..., б n) со иста димензија еднаквиако и само ако нивните соодветни координати се еднакви, т.е. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a n= б n.

Дефиниција 7.3.сумадва n-димензионални вектори а= (а 1 , а 2 , ..., а n) и б= (б 1 , б 2 , ..., б n) се нарекува вектор а + б= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ..., a n+б n).

Дефиниција 7.4. работареален број кпо вектор а= (а 1 , а 2 , ..., а n) се нарекува вектор к× а = (к× a 1, к×a 2,…, к×a n)

Дефиниција 7.5.Вектор за= (0, 0, ..., 0) се нарекува нула(или нула-вектор).

Лесно е да се провери дали дејствата (операциите) на собирање вектори и нивно множење со реален број ги имаат следните својства: а, б, в Î R n, " к, лИЛИ:

1) а + б = б + а;

2) а + (б+ в) = (а + б) + в;

3) а + за = а;

4) а+ (–а) = за;

5) 1× а = а, 1 О R;

6) к×( л× а) = л×( к× а) = (л× к)× а;

7) (к + л)× а = к× а + л× а;

8) к×( а + б) = к× а + к× б.

Дефиниција 7.6.Многу R nсо операциите на собирање вектори и нивно множење со реален број даден на него се повикува аритметички n-димензионален векторски простор.

Гаусовиот метод има голем број на недостатоци: невозможно е да се знае дали системот е конзистентен или не додека не се извршат сите трансформации неопходни во Гаусовиот метод; Гаусовиот метод не е погоден за системи со коефициенти на букви.

Размислете за други методи за решавање системи на линеарни равенки. Овие методи го користат концептот на ранг на матрица и го намалуваат решението на кој било заеднички систем на решение на систем за кој се применува правилото на Крамер.

Пример 1Најдете го општото решение на следниот систем на линеарни равенки користејќи го основниот систем на решенија на редуцираниот хомоген систем и одредено решение на нехомогениот систем.

1. Правиме матрица Аи зголемената матрица на системот (1)

2. Истражете го системот (1) за компатибилност. За да го направите ова, ги наоѓаме редовите на матриците Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">).Ако се покаже дека , тогаш системот (1) некомпатибилни. Ако го добиеме тоа , тогаш овој систем е конзистентен и ние ќе го решиме. (Студијата за конзистентност се заснова на теоремата Кронекер-Капели).

а. Ние најдовме rA.

Да најде rA, ќе сметаме последователно не-нула минори од првиот, вториот, итн редоследот на матрицата Аи малолетниците кои ги опкружувале.

М1=1≠0 (1 се зема од горниот лев агол на матрицата НО).

Граничи М1вториот ред и втората колона од оваа матрица. . Продолжуваме да се граничиме М1втората линија и третата колона..gif" width="37" height="20 src=">. Сега граничиме со минор кој не е нула М2′втор ред.

Ние имаме: (бидејќи првите две колони се исти)

(бидејќи вториот и третиот ред се пропорционални).

Го гледаме тоа rA=2, и е основен минор на матрицата А.

б. Ние најдовме .

Доволно основно малолетно М2′матрици Аграница со колона од слободни членови и сите линии (ја имаме само последната линија).

. Од ова произлегува дека М3′′останува основната минор на матрицата https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Бидејќи М2′- основен минор на матрицата Асистеми (2) , тогаш овој систем е еквивалентен на системот (3) , кој се состои од првите две равенки на системот (2) (за М2′е во првите два реда од матрицата А).

(3)

Бидејќи основната мала е https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Во овој систем, две слободни непознати ( x2 и x4 ). Затоа ФСР системи (4) се состои од две решенија. За да ги пронајдеме, им доделуваме бесплатни непознати (4) вредностите прво x2=1 , x4=0 , и потоа - x2=0 , x4=1 .

На x2=1 , x4=0 добиваме:

.

Овој систем веќе има единствено нешто решение (може да се најде со правилото на Крамер или со кој било друг метод). Одземање на првата равенка од втората равенка, добиваме:

Нејзината одлука ќе биде x1= -1 , x3=0 . Со оглед на вредностите x2 и x4 , што го дадовме, го добиваме првото фундаментално решение на системот (2) : .

Сега ставаме (4) x2=0 , x4=1 . Добиваме:

.

Овој систем го решаваме користејќи ја теоремата на Крамер:

.

Го добиваме второто фундаментално решение на системот (2) : .

Решенија β1 , β2 и нашминкајте ФСР системи (2) . Тогаш ќе биде неговото општо решение

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Еве C1 , C2 се произволни константи.

4. Најдете еден приватен решение хетероген систем(1) . Како во пасус 3 , наместо системот (1) разгледајте го еквивалентниот систем (5) , кој се состои од првите две равенки на системот (1) .

(5)

Слободните непознати ги пренесуваме на десните страни x2и x4.

(6)

Да дадеме бесплатни непознати x2 и x4 произволни вредности, на пример, x2=2 , x4=1 и приклучете ги во (6) . Ајде да го добиеме системот

Овој систем има уникатно решение (поради неговата детерминанта М2′0). Решавајќи го (користејќи ја теоремата на Крамер или Гаусовиот метод), добиваме x1=3 , x3=3 . Со оглед на вредностите на слободните непознати x2 и x4 , добиваме посебно решение на нехомоген систем(1)α1=(3,2,3,1).

5. Сега останува да се напише општо решение α на нехомоген систем(1) : тоа е еднакво на збирот приватна одлукаовој систем и општо решение на неговиот редуциран хомоген систем (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ова значи: (7)

6. Испитување.За да проверите дали правилно сте го решиле системот (1) , ни треба општо решение (7) замена во (1) . Ако секоја равенка стане идентитет ( C1 и C2 треба да се уништи), тогаш решението се наоѓа правилно.

Ќе замениме (7) на пример, само во последната равенка на системот (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Добиваме: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Каде -1=-1. Добивме идентитет. Ова го правиме со сите други равенки на системот (1) .

Коментар.Верификацијата обично е доста гломазна. Можеме да ја препорачаме следната „делумна верификација“: во целокупното решение на системот (1) доделете некои вредности на произволни константи и заменете го добиеното одредено решение само во отфрлените равенки (т.е. во тие равенки од (1) кои не се вклучени во (5) ). Ако добиете идентитети, тогаш најверојатно, решение на системот (1) пронајден правилно (но таквата проверка не дава целосна гаранција за исправност!). На пример, ако во (7) стави C2=- 1 , C1=1, тогаш добиваме: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Заменувајќи се во последната равенка на системот (1), имаме: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , односно –1=–1. Добивме идентитет.

Пример 2Најдете општо решение за систем од линеарни равенки (1) , изразувајќи ги главните непознати во однос на слободните.

Решение.Како во пример 1, состави матрици Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> од овие матрици. Сега ги оставаме само тие равенки на системот (1) , чии коефициенти се вклучени во овој основен минор (т.е. ги имаме првите две равенки) и разгледајте го системот што се состои од нив, кој е еквивалентен на системот (1).

Да ги пренесеме слободните непознати на десната страна на овие равенки.

систем (9) решаваме со Гаусовиот метод, сметајќи ги вистинските делови како слободни членови.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Опција 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Опција 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Опција 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Опција 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Се нарекува систем на линеарни равенки во кои сите слободни членови се еднакви на нула хомогена :

Секој хомоген систем е секогаш конзистентен, бидејќи секогаш е конзистентен нула (тривијални ) решение. Се поставува прашањето под кои услови хомоген систем ќе има нетривијално решение.

Теорема 5.2.Хомоген систем има нетривијално решение ако и само ако рангот на основната матрица е помал од бројот на нејзините непознати.

Последица. Квадратен хомоген систем има нетривијално решение ако и само ако детерминантата на главната матрица на системот не е еднаква на нула.

Пример 5.6.Определете ги вредностите на параметарот l за кој системот има нетривијални решенија и пронајдете ги овие решенија:

Решение. Овој систем ќе има нетривијално решение кога детерминантата на главната матрица е еднаква на нула:

Така, системот е нетривијален кога l=3 или l=2. За l=3, рангирањето на главната матрица на системот е 1. Тогаш, оставајќи само една равенка и претпоставувајќи дека y=аи z=б, добиваме x=b-a, т.е.

За l=2, рангирањето на главната матрица на системот е 2. Потоа, избирајќи како основен минор:

добиваме поедноставен систем

Од тука го откриваме тоа x=z/4, y=z/2. Претпоставувајќи z=4а, добиваме

Множеството на сите решенија на хомоген систем има многу важна линеарна сопственост : ако X колони 1 и X 2 - раствори на хомогениот систем AX = 0, тогаш која било линеарна комбинација од нива X 1+б X 2 ќе биде и решението на овој систем. Навистина, затоа што секира 1 = 0 и секира 2 = 0 , тогаш А(а X 1+б X 2) = а секира 1+б секира 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Поради ова својство, ако линеарен систем има повеќе од едно решение, тогаш ќе има бесконечно многу од овие решенија.

Линеарно независни колони Е 1 , Е 2 , Е к, кои се раствори на хомоген систем, се нарекува фундаментален систем на одлучување хомоген систем на линеарни равенки ако општото решение на овој систем може да се запише како линеарна комбинација од овие колони:

Ако хомоген систем има nпроменливи, а рангот на главната матрица на системот е еднаков на р, тогаш к = n-r.

Пример 5.7.Најдете го основниот систем на решенија на следниот систем на линеарни равенки:

Решение. Најдете го рангот на главната матрица на системот:

Така, множеството решенија на овој систем на равенки формира линеарен потпростор на димензија n - r= 5 - 2 = 3. Избираме како основен минор

.

Потоа, оставајќи ги само основните равенки (остатокот ќе биде линеарна комбинација на овие равенки) и основните променливи (останатите, таканаречените слободни променливи, ги пренесуваме надесно), добиваме поедноставен систем на равенки:

Претпоставувајќи x 3 = а, x 4 = б, x 5 = в, ние најдовме

, .

Претпоставувајќи а= 1, b=c= 0, го добиваме првото основно решение; претпоставувајќи б= 1, a = c= 0, го добиваме второто основно решение; претпоставувајќи в= 1, a = b= 0, го добиваме третото основно решение. Како резултат на тоа, нормалниот фундаментален систем на решенија добива форма

Користејќи го фундаменталниот систем, општото решение на хомогениот систем може да се запише како

X = aE 1 + да биде 2 + cE 3 . а

Да забележиме некои својства на решенијата на нехомогениот систем на линеарни равенки AX=Bи нивниот однос со соодветниот хомоген систем на равенки AX = 0.

Општо решение на нехомоген системе еднаков на збирот на општото решение на соодветниот хомоген систем AX = 0 и произволно одредено решение на нехомогениот систем. Навистина, нека Y 0 е произволно одредено решение на нехомоген систем, т.е. АЈ 0 = Б, и Yе општо решение на нехомоген систем, т.е. AY=B. Одземајќи една еднаквост од другата, добиваме
А(Y-Y 0) = 0, т.е. Y-Y 0 е општото решение на соодветниот хомоген систем секира=0. Следствено, Y-Y 0 = X, или Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Нека нехомоген систем има форма AX = B 1 + Б 2 . Тогаш општото решение на таков систем може да се запише како X = X 1 + X 2 , каде што AX 1 = Б 1 и AX 2 = Б 2. Ова својство го изразува универзалното својство на сите линеарни системи воопшто (алгебарски, диференцијални, функционални итн.). Во физиката, ова својство се нарекува принцип на суперпозиција, во електротехниката и радиотехниката - принцип на преклопување. На пример, во теоријата на линеарни електрични кола, струјата во кое било коло може да се добие како алгебарски збир на струите предизвикани од секој извор на енергија посебно.