Напишете ја равенката на права линија низ 2 точки. Општа равенка на права линија

Својства на права линија во Евклидовата геометрија.

Има бескрајно многу линии кои можат да се повлечат низ која било точка.

Низ кои било две точки кои не се совпаѓаат, има само една права линија.

Две несовпаѓачки линии во рамнината или се сечат во една точка, или се

паралелно (следи од претходниот).

Во тридимензионалниот простор, постојат три опции за релативна положба на две линии:

линиите се сечат;

прави линии се паралелни;

права линии се сечат.

Директно линија- алгебарска крива од прв ред: во Декартовиот координатен систем, права линија

се дава на рамнината со равенка од прв степен (линеарна равенка).

Општа равенка на права линија.

Дефиниција. Секоја линија во рамнината може да се даде со равенка од прв ред

Ах + Ву + С = 0,

и постојана А, Бне е еднакво на нула во исто време. Оваа равенка од прв ред се нарекува општо

права линија равенка.Во зависност од вредностите на константите А, Би ОДСледниве посебни случаи се можни:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- линијата минува низ потеклото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Со + C = 0)- права линија паралелна на оската О

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- права линија паралелна на оската ОУ

. B = C = 0, A ≠ 0- линијата се совпаѓа со оската ОУ

. A = C = 0, B ≠ 0- линијата се совпаѓа со оската О

Равенката на права линија може да биде претставена во различни форми во зависност од даденото

почетни услови.

Равенка на права линија по точка и нормален вектор.

Дефиниција. Во Декартов правоаголен координатен систем, вектор со компоненти (А, Б)

нормално на правата дадена со равенката

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија што минува низ точка A(1, 2)нормално на векторот (3, -1).

Решение. Ајде да ја составиме на A \u003d 3 и B \u003d -1 равенката на права линија: 3x - y + C \u003d 0. Да го најдеме коефициентот C

ги заменуваме координатите на дадената точка А во добиениот израз Добиваме: 3 - 2 + C = 0, значи

C = -1. Вкупно: саканата равенка: 3x - y - 1 \u003d 0.

Равенка на права линија што минува низ две точки.

Нека се дадени две точки во просторот M 1 (x 1 , y 1 , z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогаш права линија равенка,

поминувајќи низ овие точки:

Ако некој од именителот е еднаков на нула, соодветниот броител треба да се постави еднаков на нула. На

рамнина, равенката на права линија напишана погоре е поедноставена:

ако x 1 ≠ x 2и x = x 1, ако x 1 = x 2 .

Дропка = kповикани фактор на наклон директно.

Пример. Најдете ја равенката на права линија што минува низ точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Применувајќи ја горната формула, добиваме:

Равенка на права линија по точка и наклон.

Ако општата равенка на права линија Ах + Ву + С = 0донесе во форма:

и назначи , тогаш се нарекува добиената равенка

равенка на права линија со наклон k.

Равенката на права линија на точка и насочувачки вектор.

По аналогија со точката што ја разгледува равенката на права линија низ нормалниот вектор, можете да ја внесете задачата

права линија низ точка и вектор на насока на права линија.

Дефиниција. Секој вектор без нула (α 1 , α 2), чии компоненти ја задоволуваат состојбата

Aα 1 + Bα 2 = 0повикани вектор на насока на права линија.

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија со вектор на насока (1, -1) и минува низ точката A(1, 2).

Решение. Равенката на саканата права линија ќе ја бараме во форма: Ax + By + C = 0.Според дефиницијата,

коефициентите мора да ги задоволуваат условите:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогаш равенката на права линија има форма: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

на x=1, y=2добиваме C/A = -3, т.е. саканата равенка:

x + y - 3 = 0

Равенка на права линија во отсечки.

Ако во општата равенка на права линија Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогаш, делејќи се со -C, добиваме:

или , каде

Геометриското значење на коефициентите е дека коефициентот a е координата на пресечната точка

директно со оска О,а б- координатата на точката на пресек на правата со оската ОУ.

Пример. Дадена е општата равенка на права линија x - y + 1 = 0.Најдете ја равенката на оваа права линија во отсечки.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Нормална равенка на права линија.

Ако двете страни на равенката Ах + Ву + С = 0подели со број , кој се нарекува

нормализирачки фактор, тогаш добиваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормална равенка на права линија.

Знакот ± на нормализирачкиот фактор мора да биде избран така што μ * В< 0.

Р- должината на нормалната паднала од потеклото до правата,

а φ - аголот формиран од оваа нормална со позитивната насока на оската О.

Пример. Дадена е општата равенка на права линија 12x - 5y - 65 = 0. Потребно е за пишување различни видови равенки

оваа права линија.

Равенката на оваа права линија во отсечки:

Равенката на оваа линија со наклон: (поделете со 5)

Равенка на права линија:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Треба да се забележи дека не секоја права линија може да биде претставена со равенка во отсечки, на пример, прави,

паралелно со оските или минува низ потеклото.

Агол помеѓу линиите на рамнина.

Дефиниција. Ако се дадени два реда y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, потоа акутниот агол помеѓу овие линии

ќе се дефинира како

Две прави се паралелни ако k 1 = k 2. Две прави се нормални

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директно Ах + Ву + С = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0се паралелни кога коефициентите се пропорционални

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ако исто така С 1 \u003d λС, тогаш линиите се совпаѓаат. Координати на точката на пресек на две прави

се наоѓаат како решение на системот равенки на овие прави.

Равенката на права што минува низ дадена точка е нормална на дадена права.

Дефиниција. Права што минува низ точка M 1 (x 1, y 1)и нормално на правата y = kx + b

претставено со равенката:

Растојанието од точка до права.

Теорема. Ако се даде поен M(x 0, y 0),потоа растојанието до линијата Ах + Ву + С = 0дефинирано како:

Доказ. Нека поентата M 1 (x 1, y 1)- основата на нормалната падна од точката Мза дадено

директно. Потоа растојанието помеѓу точките Ми М 1:

(1)

Координати x 1и 1може да се најде како решение за системот на равенки:

Втората равенка на системот е равенката на права линија што минува низ дадена точка M 0 нормално

дадена линија. Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Со 0 + C = 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенката (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Равенка на права линија што минува низ две точки. Во статијата" " Ви ветив дека ќе го анализирате вториот начин за решавање на претставените задачи за наоѓање на изводот, со даден функциски график и тангента на овој график. Овој метод ќе го истражиме во , не пропуштајте! Зоштоследно?

Факт е дека таму ќе се користи формулата на равенката на права линија. Се разбира, некој едноставно може да ја покаже оваа формула и да ве советува да ја научите. Но, подобро е да се објасни од каде доаѓа (како е изведен). Неопходно е! Ако го заборавите, тогаш брзо вратете гонема да биде тешко. Сè е детално подолу. Значи, имаме две точки А на координатната рамнина(x 1; y 1) и B (x 2; y 2), се повлекува права линија низ наведените точки:

Еве ја директната формула:

*Односно при замена на специфичните координати на точките добиваме равенка од формата y=kx+b.

** Ако оваа формула е едноставно „запаметена“, тогаш постои голема веројатност да се помешаме со индексите кога X. Покрај тоа, индексите може да се означат на различни начини, на пример:

Затоа е важно да се разбере значењето.

Сега изведбата на оваа формула. Сè е многу едноставно!

Триаголниците ABE и ACF се слични во однос на остар агол (првиот знак за сличноста на правоаголните триаголници). Од ова произлегува дека соодносите на соодветните елементи се еднакви, односно:

Сега едноставно ги изразуваме овие отсечки во однос на разликата во координатите на точките:

Се разбира, нема да има грешка ако ги напишете односите на елементите во различен редослед (главната работа е да ја задржите кореспонденцијата):

Резултатот е истата равенка на права линија. Тоа е се!

Тоа е, без разлика како се означени самите точки (и нивните координати), разбирајќи ја оваа формула, секогаш ќе ја најдете равенката на права линија.

Формулата може да се заклучи со користење на својствата на векторите, но принципот на изведување ќе биде ист, бидејќи ќе зборуваме за пропорционалноста на нивните координати. Во овој случај, функционира истата сличност на правоаголните триаголници. Според мое мислење, заклучокот опишан погоре е поразбирлив)).

Преглед на излезот преку векторски координати >>>

Нека се изгради права линија на координатната рамнина која минува низ две дадени точки A (x 1; y 1) и B (x 2; y 2). Да означиме произволна точка C на правата со координати ( x; y). Означуваме и два вектори:

Познато е дека за вектори кои лежат на паралелни прави (или на една линија), нивните соодветни координати се пропорционални, односно:

- ја запишуваме еднаквоста на односите на соодветните координати:

Размислете за пример:

Најдете ја равенката на права линија што минува низ две точки со координати (2;5) и (7:3).

Вие дури и не можете да ја изградите самата линија. Ја применуваме формулата:

Важно е да ја фатите кореспонденцијата при изготвување на соодносот. Не можете да погрешите ако напишете:

Одговор: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

За да бидете сигурни дека добиената равенка е правилно пронајдена, не заборавајте да ја проверите - заменете ги координатите на податоците во неа во состојбата на точките. Треба да добиете правилни еднаквости.

Тоа е се. Се надевам дека материјалот ви беше корисен.

Со почит, Александар.

P.S: Би ви бил благодарен ако кажете за страницата на социјалните мрежи.

Дефиниција.Секоја линија во рамнината може да се даде со равенка од прв ред

Ах + Ву + С = 0,

а константите A, B не се еднакви на нула во исто време. Оваа равенка од прв ред се нарекува општата равенка на права линија.Во зависност од вредностите на константите A, B и C, можни се следните посебни случаи:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - линијата поминува низ потеклото

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - линијата е паралелна со оската Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - линијата е паралелна со оската Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - правата линија се совпаѓа со оската Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - правата линија се совпаѓа со оската Ox

Равенката на права линија може да се претстави во различни форми во зависност од дадените почетни услови.

Равенка на права линија по точка и нормален вектор

Дефиниција.Во Декартов правоаголен координатен систем, векторот со компоненти (A, B) е нормален на правата дадена со равенката Ax + By + C = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија што минува низ точката A(1, 2) нормална на (3, -1).

Решение. На A = 3 и B = -1, ја составуваме равенката на права линија: 3x - y + C = 0. За да го најдеме коефициентот C, ги заменуваме координатите на дадената точка A во добиениот израз. 3 - 2 + C = 0, според тоа, C = -1. Вкупно: саканата равенка: 3x - y - 1 \u003d 0.

Равенка на права што минува низ две точки

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) се дадени во просторот, тогаш равенката на права линија што минува низ овие точки:

Ако некој од именителот е еднаков на нула, соодветниот броител треба да се постави еднаков на нула.На рамнината, равенката на права линија напишана погоре е поедноставена:

ако x 1 ≠ x 2 и x = x 1 ако x 1 = x 2.

Дропка = k се нарекува фактор на наклондиректно.

Пример. Најдете ја равенката на права линија што минува низ точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение.Применувајќи ја горната формула, добиваме:

Равенка на права линија од точка и наклон

Ако вкупните Ax + Wu + C = 0 доведуваат до формата:

и назначи , тогаш се нарекува добиената равенка равенка на права линија со наклонк.

Равенка на права линија со вектор на точка и насока

По аналогија со точката со оглед на равенката на права линија низ нормалниот вектор, можете да внесете доделување права линија низ точка и насочен вектор на права линија.

Дефиниција.Секој вектор без нула (α 1, α 2), чии компоненти го задоволуваат условот A α 1 + B α 2 = 0 се нарекува насочувачки вектор на правата

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија со вектор на насока (1, -1) и минува низ точката A(1, 2).

Решение.Равенката на саканата права линија ќе ја бараме во форма: Ax + By + C = 0. Во согласност со дефиницијата, коефициентите мора да ги задоволуваат условите:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогаш равенката на права линија има форма: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. за x = 1, y = 2 добиваме C / A = -3, т.е. саканата равенка:

Равенка на права линија во отсечки

Ако во општата равенка на права линија Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогаш, делејќи се со –C, добиваме: или

Геометриското значење на коефициентите е дека коефициентот ае координатата на точката на пресек на правата со оската x, и б- координатата на точката на пресек на правата со оската Oy.

Пример.Дадена е општата равенка на правата x - y + 1 = 0. Најдете ја равенката на оваа права во отсечките.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Нормална равенка на права линија

Ако двете страни на равенката Ax + Vy + C = 0 се помножат со бројот , кој се нарекува нормализирачки фактор, тогаш добиваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

нормална равенка на права линија. Знакот ± на нормализирачкиот фактор мора да биде избран така што μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Со оглед на општата равенка на правата 12x - 5y - 65 = 0. Потребно е да се напишат различни видови равенки за оваа права.

равенката на оваа права линија во отсечки:

равенката на оваа права со наклонот: (подели со 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Треба да се забележи дека не секоја права линија може да биде претставена со равенка во отсечки, на пример, прави линии паралелни со оските или минуваат низ потеклото.

Пример. Правата линија ги отсекува еднаквите позитивни сегменти на координатните оски. Напишете ја равенката на права линија ако плоштината на триаголникот формиран од овие отсечки е 8 cm 2.

Решение.Равенката на права линија има форма: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Напиши ја равенката на права линија што минува низ точката А (-2, -3) и потеклото.

Решение. Равенката на права линија има форма: , каде што x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Агол помеѓу линиите на рамнина

Дефиниција.Ако се дадени две прави y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , тогаш акутниот агол помеѓу овие прави ќе се дефинира како

Две прави се паралелни ако k 1 = k 2 . Две прави се нормални ако k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.Правите Ax + Vy + C \u003d 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 се паралелни кога коефициентите A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB се пропорционални. Ако исто така С 1 = λС, тогаш линиите се совпаѓаат. Координатите на точката на пресек на две прави се наоѓаат како решение на системот равенки на овие прави.

Равенка на права што минува низ дадена точка нормална на дадена права

Дефиниција.Правата што минува низ точката M 1 (x 1, y 1) и нормална на правата y \u003d kx + b е претставена со равенката:

Растојание од точка до линија

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогаш растојанието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 е дефинирано како

Доказ.Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на нормалната спуштена од точката M на дадената права. Тогаш растојанието помеѓу точките М и М 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 може да се најдат како решение за системот равенки:

Втората равенка на системот е равенката на права линија што минува низ дадена точка M 0 нормална на дадена права линија. Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Со 0 + C = 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенката (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Пример. Одреди го аголот помеѓу правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример. Покажете дека правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 се нормални.

Решение. Наоѓаме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, затоа, линиите се нормални.

Пример. Дадени се темињата на триаголникот A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Најдете ја равенката за висината извлечена од темето В.

Решение. Ја наоѓаме равенката на страната AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Посакуваната висинска равенка е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогаш y = . Бидејќи висината минува низ точката C, тогаш нејзините координати ја задоволуваат оваа равенка: од каде b = 17. Вкупно: .

Одговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Нека правата минува низ точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Равенката на права линија што минува низ точката М 1 има форма y- y 1 \u003d к (x - x 1), (10,6)

каде к - сеуште непознат коефициент.

Бидејќи правата линија поминува низ точката M 2 (x 2 y 2), тогаш координатите на оваа точка мора да ја задоволат равенката (10.6): y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Од тука наоѓаме Замена на пронајдената вредност к во равенката (10.6), ја добиваме равенката на права линија што минува низ точките M 1 и M 2:

Се претпоставува дека во оваа равенка x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 \u003d x 2, тогаш правата линија што минува низ точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2) е паралелна со y-оската. Нејзината равенка е x = x 1 .

Ако y 2 \u003d y I, тогаш равенката на правата линија може да се запише како y \u003d y 1, правата M 1 M 2 е паралелна со оската x.

Равенка на права линија во отсечки

Нека правата ја пресекува оската Ox во точката M 1 (a; 0), а оската Oy - во точката M 2 (0; b). Равенката ќе ја има формата:
тие.
. Оваа равенка се нарекува равенката на права линија во отсечки, бидејќи Броевите a и b покажуваат кои отсечки ги отсекува правата линија на координатните оски.

Равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор

Да ја најдеме равенката на права линија што минува низ дадена точка Mo (x O; y o) нормална на даден вектор не-нула n = (A; B).

Земете произволна точка M(x; y) на права линија и разгледајте го векторот M 0 M (x - x 0; y - y o) (види слика 1). Бидејќи векторите n и M o M се нормални, нивниот скаларен производ е еднаков на нула: т.е.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Се повикува равенката (10.8). равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор .

Векторот n = (A; B) нормално на правата се нарекува нормален нормален вектор на оваа линија .

Равенката (10.8) може да се преработи како Ах + Ву + С = 0 , (10.9)

каде што A и B се координатите на нормалниот вектор, C \u003d -Ax o - Vu o - слободен член. Равенка (10.9) е општата равенка на права линија(види Сл.2).

Сл.1 Сл.2

Канонски равенки на права линија

Каде
се координатите на точката низ која минува правата и
- вектор на насока.

Криви од втор ред Круг

Круг е множество од сите точки на рамнината еднакво оддалечена од дадена точка, која се нарекува центар.

Канонска равенка на круг со радиус Р центриран на точка
:

Особено, ако центарот на влогот се совпаѓа со потеклото, тогаш равенката ќе изгледа вака:

Елипса

Елипса е збир на точки во рамнина, збир на растојанија од секоја од нив до две дадени точки и , кои се нарекуваат фокуси, е константна вредност
, поголемо од растојанието помеѓу фокусите
.

Канонската равенка на елипса чии фокуси лежат на оската Ox и чие потекло е во средината помеѓу фокусите има форма
Г деа должината на главната полуоска;б е должината на малата полуоска (сл. 2).

Равенка на права на рамнина.

Како што е познато, секоја точка на рамнината се одредува со две координати во некој координатен систем. Координативните системи можат да бидат различни во зависност од изборот на основата и потеклото.

Дефиниција. Линиска равенкае релацијата y = f(x) помеѓу координатите на точките што ја сочинуваат оваа права.

Забележете дека линиската равенка може да се изрази на параметарски начин, односно секоја координата на секоја точка се изразува преку некој независен параметар т.

Типичен пример е траекторијата на подвижна точка. Во овој случај, времето ја игра улогата на параметар.

Равенка на права линија на рамнина.

Дефиниција. Секоја линија во рамнината може да се даде со равенка од прв ред

Ах + Ву + С = 0,

згора на тоа, константите A, B не се еднакви на нула во исто време, т.е. A 2 + B 2  0. Оваа равенка од прв ред се нарекува општата равенка на права линија.

Во зависност од вредностите на константите A, B и C, можни се следните посебни случаи:

C \u003d 0, A  0, B  0 - линијата поминува низ потеклото

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - линијата е паралелна со оската Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - линијата е паралелна со оската Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - правата линија се совпаѓа со оската Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - правата линија се совпаѓа со оската Ox

Равенката на права линија може да се претстави во различни форми во зависност од дадените почетни услови.

Равенка на права линија по точка и нормален вектор.

Дефиниција. Во Декартов правоаголен координатен систем, векторот со компоненти (A, B) е нормален на правата дадена со равенката Ax + By + C = 0.

Пример.Најдете ја равенката на права линија што минува низ точката А (1, 2) нормална на векторот (3, -1).

Дозволете ни да ја составиме во A \u003d 3 и B \u003d -1 равенката на права линија: 3x - y + C \u003d 0. За да го најдеме коефициентот C, ги заменуваме координатите на дадената точка A во добиениот израз.

Добиваме: 3 - 2 + C \u003d 0, затоа C \u003d -1.

Вкупно: саканата равенка: 3x - y - 1 \u003d 0.

Равенка на права линија што минува низ две точки.

Ако некој од именителот е еднаков на нула, соодветниот броител треба да се постави еднаков на нула.

На рамнина, равенката на права линија напишана погоре е поедноставена:

ако x 1  x 2 и x \u003d x 1, ако x 1 \u003d x 2.

Дропка
=k се вика фактор на наклондиректно.

Пример.Најдете ја равенката на права линија што минува низ точките A(1, 2) и B(3, 4).

Применувајќи ја горната формула, добиваме:

Равенка на права линија по точка и наклон.

Ако општата равенка на права линија Ax + Vy + C = 0 води до формата:

и назначи
, тогаш се нарекува добиената равенка равенка на права линија со наклонк.

Равенката на права линија на точка и насочувачки вектор.

По аналогија со точката земајќи ја предвид равенката на права линија низ нормалниот вектор, можете да внесете доделување права линија низ точка и насочен вектор на права линија.

Дефиниција. Секој вектор без нула ( 1 ,  2), чии компоненти го задоволуваат условот A 1 + B 2 = 0 се нарекува насочувачки вектор на правата

Ах + Ву + С = 0.

Пример.Најдете ја равенката на права линија со вектор на насока (1, -1) и минува низ точката А(1, 2).

Равенката на саканата права линија ќе ја бараме во форма: Ax + By + C = 0. Во согласност со дефиницијата, коефициентите мора да ги задоволуваат условите:

1A + (-1)B = 0, т.е. А = Б.

Тогаш равенката на права линија има форма: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при x = 1, y = 2 добиваме С/A = -3, т.е. саканата равенка:

Равенка на права линија во отсечки.

Ако во општата равенка на правата линија Ah + Wu + C = 0 C 0, тогаш, делејќи се со –C, добиваме:
или

, каде

Пример.Дадена е општата равенка на правата x - y + 1 = 0. Најдете ја равенката на оваа права во отсечките.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Нормална равенка на права линија.

Ако двете страни на равенката Ax + Wy + C = 0 поделени со бројот
, кој се нарекува нормализирачки фактор, тогаш добиваме

xcos + ysin - p = 0 -

нормална равенка на права линија.

Знакот  на нормализирачкиот фактор мора да биде избран така што С< 0.

p е должината на нормалната отфрлена од почетокот на правата линија, а  е аголот формиран од оваа нормална со позитивната насока на оската Ox.

Пример.Со оглед на општата равенка на правата 12x - 5y - 65 = 0. Потребно е да се напишат различни видови равенки за оваа права.

равенката на оваа права линија во отсечки:

равенката на оваа права со наклонот: (подели со 5)

нормална равенка на права линија:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Пример.Правата линија ги отсекува еднаквите позитивни сегменти на координатните оски. Напишете ја равенката на права линија ако плоштината на триаголникот формиран од овие отсечки е 8 cm 2.

Равенката на права линија има форма:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; - четири.

a = -4 не одговара на состојбата на проблемот.

Вкупно:
или x + y - 4 = 0.

Пример.Напиши ја равенката на права линија што минува низ точката А (-2, -3) и потеклото.

Равенката на права линија има форма:
, каде што x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Агол помеѓу линиите на рамнина.

Дефиниција. Ако се дадени две прави y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , тогаш акутниот агол помеѓу овие прави ќе се дефинира како

Две прави се паралелни ако k 1 = k 2 .

Две прави се нормални ако k 1 = -1/k 2 .

Теорема. Прави линии Ax + Vy + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 се паралелни кога коефициентите А се пропорционални 1 =  А, Б 1 =  Б. Ако исто така В 1 =  В, тогаш линиите се совпаѓаат.

Координатите на точката на пресек на две прави се наоѓаат како решение на системот равенки на овие прави.

Равенка на права што минува низ дадена точка

нормално на оваа линија.

Дефиниција. Правата што минува низ точката M 1 (x 1, y 1) и нормална на правата y \u003d kx + b е претставена со равенката:

Растојанието од точка до права.

Теорема. Ако точка M(x 0 , y 0 ), тогаш растојанието до правата Ax + Vy + C = 0 се дефинира како

Доказ. Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на нормалната спуштена од точката M на дадената права. Тогаш растојанието помеѓу точките М и М 1:

Координатите x 1 и y 1 може да се најдат како решение за системот равенки:

Втората равенка на системот е равенката на права линија што минува низ дадена точка M 0 нормална на дадена права линија.

Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Со 0 + C = 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенката (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Пример.Одреди го аголот помеѓу правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Пример.Покажете дека правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 се нормални.

Наоѓаме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, затоа, линиите се нормални.

Пример.Дадени се темињата на триаголникот A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Најдете ја равенката за висината извлечена од темето В.

Ја наоѓаме равенката на страната AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Посакуваната висинска равенка е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогаш y =
. Бидејќи висината минува низ точката C, тогаш нејзините координати ја задоволуваат оваа равенка:
од каде b = 17. Вкупно:
.

Одговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Аналитичка геометрија во просторот.

Линиска равенка во просторот.

Равенката на права линија во просторот по точка и

вектор на насока.

Земете произволна линија и вектор (m, n, p) паралелно со дадената права. Вектор повикани водич вектордиректно.

Да земеме две произволни точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и M(x, y, z) на права линија.

М1

Да ги означиме векторите на радиусот на овие точки како и , очигледно е дека - =
.

Бидејќи вектори
и се колинеарни, тогаш релацијата е вистинита
= t, каде што t е некој параметар.

Севкупно, можеме да напишеме: = + т.

Бидејќи оваа равенка се задоволува со координатите на која било точка на правата, тогаш добиената равенка е параметарска равенка на права линија.

Оваа векторска равенка може да се претстави во координатна форма:

Трансформирајќи го овој систем и изедначувајќи ги вредностите на параметарот t, ги добиваме канонските равенки на права линија во просторот:

Дефиниција. Косинуси за насокадиректни се косинусите на насоката на векторот , што може да се пресмета со формулите:

;

.

Од тука добиваме: m: n: p = cos : cos : cos.

Се повикуваат броевите m, n, p фактори на наклондиректно. Бидејќи е ненула вектор, m, n и p не можат да бидат нула во исто време, но еден или два од овие броеви може да бидат нула. Во овој случај, во равенката на права линија, соодветните броители треба да се изедначат со нула.

Равенка на права линија во минување на просторот

низ две точки.

Ако две произволни точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) се означени на права линија во просторот, тогаш координатите на овие точки мора да ја задоволуваат равенката на права линија добиена погоре:

Дополнително, за точката М 1 можеме да напишеме:

Решавајќи ги овие равенки заедно, добиваме:

Ова е равенката на права линија што минува низ две точки во просторот.

Општи равенки на права линија во просторот.

Равенката на права линија може да се смета како равенка на права на пресек на две рамнини.

Како што беше дискутирано погоре, рамнината во векторска форма може да се даде со равенката:

+ D = 0, каде

- авион нормално; - радиус-вектор на произволна точка на рамнината.