Функција на моќност со природен рамномерен експонент. Функција за напојување
Функција каде X – променлива количина, А– се повикува даден број Функција за напојување .
Ако тогаш е линеарна функција, нејзиниот график е права линија (види параграф 4.3, сл. 4.7).
Ако тогаш е квадратна функција, нејзиниот график е парабола (види параграф 4.3, сл. 4.8).
Ако тогаш неговиот график е кубна парабола (види параграф 4.3, сл. 4.9).
Ова е инверзна функција за
1. Домен: 
2. Повеќе значења:
3. Парни и непарни:функцијата е непарна.
4. Фреквенција на функција:непериодични.
5. Функции нули: X= 0 - единствената нула.
6. Функцијата нема максимална или минимална вредност.
7.
8. График на функцијаСиметрично на графикот на кубна парабола во однос на права линија Y=Xи е прикажано на сл. 5.1.
 |
Функција за напојување
1. Домен: 
2. Повеќе значења:
3. Парни и непарни:функцијата е рамномерна.
4. Фреквенција на функција:непериодични.
5. Функции нули:единечна нула X = 0.
6. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:зема најмала вредност за X= 0, тоа е еднакво на 0.
7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се намалува во интервалот и се зголемува во интервалот
8. График на функција(за секој Н Î Н) е „слично“ на графикот квадратна парабола(графиците на функции се прикажани на сл. 5.2).
Функција за напојување
1. Домен:
2. Повеќе значења: 
3. Парни и непарни:функцијата е непарна.
4. Фреквенција на функција:непериодични.
5. Функции нули: X= 0 - единствената нула.
6. Највисоки и најниски вредности:
7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.
8. График на функција(за секоја ) е „слична“ на графикот на кубна парабола (графиците на функции се прикажани на сл. 5.3).
 |
Функција за напојување
1. Домен:
2. Повеќе значења:
3. Парни и непарни:функцијата е непарна.
4. Фреквенција на функција:непериодични.
5. Функции нули:нема нули.
6. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:функцијата нема најголеми и најмали вредности за ниту една
7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се намалува во својот домен на дефиниција.
8. Асимптоти:(оска ОУ) – вертикална асимптота;
(оска О) – хоризонтална асимптота.
9. График на функција(за било кој Н) е „сличен“ на графикот на хипербола (графиците на функции се прикажани на сл. 5.4).
 |
Функција за напојување
1. Домен:
2. Повеќе значења:
3. Парни и непарни:функцијата е рамномерна.
4. Фреквенција на функција:непериодични.
5. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:функцијата нема најголеми и најмали вредности за ниту една
6. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се зголемува за и се намалува за
7. Асимптоти: X= 0 (оска ОУ) – вертикална асимптота;
Y= 0 (оска О) – хоризонтална асимптота.
8. Графикони на функцииТие се квадратни хиперболи (сл. 5.5).
 |
Функција за напојување
1. Домен:
2. Повеќе значења:
3. Парни и непарни:функцијата нема својство парни и непарни.
4. Фреквенција на функција:непериодични.
5. Функции нули: X= 0 - единствената нула.
6. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:функцијата ја зема најмалата вредност еднаква на 0 во точката X= 0; највисока вредностнема.
7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.
8. Секоја таква функција за одреден експонент е инверзна на дадената функција
9. График на функција„наликува“ на графикот на функцијата за која било Ни е прикажано на сл. 5.6.
Функција за напојување
1. Домен:
2. Повеќе значења:
3. Парни и непарни:функцијата е непарна.
4. Фреквенција на функција:непериодични.
5. Функции нули: X= 0 - единствената нула.
6. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:функцијата нема најголеми и најмали вредности за ниту една
7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.
8. График на функцијаПрикажано на Сл. 5.7.
 |
За погодност да се разгледа функцијата на моќност, ќе разгледаме 4 посебни случаи: функција на моќност со природен експонент, функција на моќност со цел број експонент, функција на моќност со рационален експонент и функција на моќност со ирационален експонент.
Функција на моќност со природен експонент
Прво, да го воведеме концептот на диплома со природен експонент.
Дефиниција 1
Моќта на реален број $a$ со природен експонент $n$ е број еднаков на производот од $n$ фактори, од кои секој е еднаков на бројот $a$.
Слика 1.
$a$ е основа на степенот.
$n$ е експонентот.
Сега да разгледаме функција на моќност со природен експонент, нејзините својства и графикон.
Дефиниција 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ се нарекува функција на моќност со природен експонент.
За понатамошна погодност, одделно разгледуваме функција на моќност со парен експонент $f\left(x\right)=x^(2n)$ и функција за моќност со непарен експонент $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\во N)$.
Својства на функцијата моќност со природен парен експонент
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- функцијата е парна.
Област на вредност -- $\
Функцијата се намалува како $x\in (-\infty ,0)$ и се зголемува како $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\лево(x\десно)=(\лево(2n\cточка x^(2n-1)\десно))"=2n(2n-1)\cточка x^(2(n-1 ))\ge 0$
Функцијата е конвексна во целиот домен на дефиниција.
Однесување на краевите на доменот:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Графикон (сл. 2).
Слика 2. График на функцијата $f\left(x\right)=x^(2n)$
Својства на функција на моќност со природен непарен експонент
Доменот на дефиниција се сите реални броеви.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функцијата е непарна.
$f(x)$ е континуиран во целиот домен на дефиниција.
Опсегот е сите реални броеви.
$f"\лево(x\десно)=\лево(x^(2n-1)\десно)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.
$f\left(x\десно)0$, за $x\in (0,+\infty)$.
$f (""\лево(x\десно))=(\лево(\лево(2n-1\десно)\cdot x^(2\лево(n-1\десно))\десно)"=2 \лево(2n-1\десно)(n-1)\cточка x^(2n-3)$
\ \
Функцијата е конкавна за $x\in (-\infty ,0)$ и конвексна за $x\in (0,+\infty)$.
Графикон (сл. 3).
Слика 3. График на функцијата $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Функција на моќност со цел број експонент
Прво, да го воведеме концептот на степен со цел број експонент.
Дефиниција 3
Моќта на реален број $a$ со целоброен експонент $n$ се одредува со формулата:
Слика 4.
Сега да разгледаме функција на моќност со цел број експонент, нејзините својства и графикон.
Дефиниција 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарекува функција на моќност со цел број експонент.
Ако степенот е поголем од нула, тогаш доаѓаме до случај на функција на моќност со природен експонент. Веќе разговаравме погоре. За $n=0$ добиваме линеарна функција$y=1$. Неговото разгледување ќе го оставиме на читателот. Останува да се разгледаат својствата на функцијата на моќност со негативен цел број експонент
Својства на функцијата моќност со негативен цел број експонент
Доменот на дефиниција е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ако експонентот е рамномерен, тогаш функцијата е рамномерна; ако е чудна, тогаш функцијата е чудна.
$f(x)$ е континуиран во целиот домен на дефиниција.
Опсег:
Ако експонентот е рамномерен, тогаш $ (0,+\ infty) $; ако е чудно, тогаш $ \ лево (-\ infty, 0 \ десно) (0,+\ infty) $.
За необичен експонент, функцијата се намалува како $ x \ во \ лево (-\ infty, 0 \ десно) (0,+\ infty) $. Ако експонентот е рамномерен, функцијата се намалува како $ x \ во (0,+\ инфекција) $. и се зголемува како $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ во целиот домен на дефиниција