Хоризонтална парабола. Парабола - својства и график на квадратна функција

Парабола е локус на точки во рамнината кои се подеднакво оддалечени од дадена точка F и дадена права d што не поминува низ дадената точка. Оваа геометриска дефиниција изразува режисерско својство на парабола.

Режисерско својство на парабола

Точката F се нарекува фокус на параболата, линијата d е дирекцијата на параболата, средната точка О на нормалната спуштена од фокусот до дирекцијата е темето на параболата, растојанието p од фокусот до дирекцијата е параметарот на параболата, а растојанието \frac(p)(2) од темето на параболата до нејзиниот фокус е фокусна должина (сл. 3.45а). Правата линија нормална на дирекцијата и минува низ фокусот се нарекува оска на параболата (фокусна оска на параболата). Отсечката FM што поврзува произволна точка М на параболата со нејзиниот фокус се нарекува фокален радиус на точката М. Отсечката што поврзува две точки на параболата се нарекува акорд на параболата.

За произволна точка на параболата, односот на растојанието до фокусот до растојанието до дирекцијата е еднаков на еден. Споредувајќи ги режисерските својства на елипсата, хиперболата и параболата, заклучуваме дека ексцентричност на параболатапо дефиниција еднаква на една (е=1).

Геометриска дефиниција на парабола, изразувајќи го своето режисерско својство, е еквивалентно на неговата аналитичка дефиниција - линијата дефинирана со канонската равенка на параболата:

Навистина, да воведеме правоаголен координатен систем (сл. 3.45, б). Како почеток на координатниот систем го земаме темето O на параболата; ја земаме правата линија што минува низ фокусот нормално на дирекцијата како оска на апсцисата (позитивната насока на неа е од точката O до точката F); Да ја земеме правата права нормална на оската на апсцисата и која минува низ темето на параболата како оска на ординатите (насоката на оската на ординатите е избрана така што правоаголниот координатен систем Oxy е правилен).

Ајде да создадеме равенка за парабола користејќи ја нејзината геометриска дефиниција, која го изразува режисерското својство на параболата. Во избраниот координатен систем ги одредуваме координатите на фокусот F\!\лево(\frac(p)(2);\,0\десно)и директната равенка x=-\frac(p)(2) . За произволна точка M(x,y) што припаѓа на парабола, имаме:

FM=MM_d,

Каде M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\десно)- ортогонална проекција на точката M(x,y) на директриксот. Оваа равенка ја пишуваме во координатна форма:

\sqrt((\лево(x-\frac(p)(2)\десно)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Ги квадратуваме двете страни на равенката: (\лево(x-\frac(p)(2)\десно)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Донесувајќи слични термини, добиваме канонска равенка на параболи

Y^2=2\cdot p\cdot x,тие. избраниот координатен систем е канонски.

Спроведувајќи го резонирањето во обратен редослед, можеме да покажеме дека сите точки чии координати ја задоволуваат равенката (3.51), и само тие, припаѓаат на местото на точки наречено парабола. Така, аналитичката дефиниција на параболата е еквивалентна на нејзината геометриска дефиниција, која го изразува режисерското својство на параболата.

Равенка на парабола во поларен координатен систем

Равенката на параболата во поларниот координатен систем Fr\varphi (сл. 3.45, в) има форма

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),каде што p е параметарот на параболата, а e=1 е нејзината ексцентричност.

Всушност, како пол на поларниот координатен систем го избираме фокусот F на параболата, а како поларна оска - зрак со почеток во точката F, нормален на директриксот и не го пресекува (сл. 3.45, в) . Тогаш за произволна точка M(r,\varphi) што припаѓа на парабола, според геометриската дефиниција (насочно својство) на параболата, имаме MM_d=r. Затоа што MM_d=p+r\cos\varphi, ја добиваме равенката на параболата во координатна форма:

P+r\cdot\cos\varphi \quad \Леводесна стрелка \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Забележете дека во поларните координати равенките на елипсата, хиперболата и параболата се совпаѓаат, но опишуваат различни линии, бидејќи тие се разликуваат во ексцентричностите ( 0\leqslant e<1 для эллипса, e=1 для параболы, e>1 за хипербола).

Геометриско значење на параметарот во равенката на параболата

Ајде да објасниме геометриско значење на параметарот p во канонската парабола равенка. Заменувајќи го x=\frac(p)(2) во равенката (3.51), добиваме y^2=p^2, т.е. y=\pm стр. Според тоа, параметарот p е половина од должината на акордот на параболата што минува низ нејзиниот фокус нормално на оската на параболата.

Фокусниот параметар на параболата, како и за елипса и хипербола, се нарекува половина од должината на акордот што минува низ неговиот фокус нормално на фокусната оска (види Сл. 3.45, в). Од равенката на параболата во поларните координати на \varphi=\frac(\pi)(2)добиваме r=p, т.е. параметарот на параболата се совпаѓа со нејзиниот фокален параметар.

Белешки 3.11.

1. Параметарот p на параболата ја карактеризира нејзината форма. Колку е поголемо p, толку се пошироки гранките на параболата, колку е поблиску p до нула, толку се потесни гранките на параболата (сл. 3.46).

2. Равенката y^2=-2px (за p>0) дефинира парабола, која се наоѓа лево од оската на ординатите (сл. 3.47,а). Оваа равенка се сведува на канонската со промена на правецот на оската x (3.37). На сл. 3.47,a го прикажува дадениот координатен систем Oxy и канонскиот Ox"y".

3. Равенка (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0дефинира парабола со теме O"(x_0,y_0), чија оска е паралелна со оската на апсцисата (сл. 3.47,6).

Равенката (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, исто така дефинира парабола со теме O"(x_0,y_0), чија оска е паралелна со оската на ординатите (сл. 3.47, в). Оваа равенка се сведува на канонската со помош на паралелен превод (3.36) и преименување координатни оски (3.38) На сл. 3.47,b,c се прикажани дадените координатни системи Oxy и канонските координатни системи Ox"y".

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0е парабола со теме во точката О"\!\лево(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\десно), чија оска е паралелна со оската на ординатите, гранките на параболата се насочени нагоре (за a>0) или надолу (за<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

Y=a\лево(x+\frac(b)(2a)\десно)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Леводесна стрелка \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\десно)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\десно)\!,

што се сведува на канонската форма (y")^2=2px" , каде p=\лево|\frac(1)(2a)\десно|, користејќи ја замената y"=x+\frac(b)(2a) и x"=\pm\!\лево(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\десно).

Знакот е избран да се совпаѓа со знакот на водечкиот коефициент a. Оваа замена одговара на составот: паралелен пренос (3.36) со x_0=-\frac(b)(2a) и y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), преименување на координатните оски (3.38), а во случај на a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 и а<0 соответственно.

5. X-оската на канонскиот координатен систем е оска на симетрија на параболата, бидејќи заменувањето на променливата y со -y не ја менува равенката (3.51). Со други зборови, координатите на точката M(x,y), која припаѓа на параболата, и координатите на точката M"(x,-y), симетрични на точката M во однос на оската x, ја задоволуваат равенката (3.S1).Оските на канонскиот координатен систем се нарекуваат главните оски на параболата.

Пример 3.22. Нацртај ја параболата y^2=2x во канонскиот координатен систем Oxy. Најдете го фокалниот параметар, фокусните координати и равенката на директриксот.

Решение.Конструираме парабола, земајќи ја предвид нејзината симетрија во однос на оската на апсцисата (сл. 3.49). Доколку е потребно, определете ги координатите на некои точки на параболата. На пример, заменувајќи го x=2 во равенката на параболата, добиваме y^2=4~\Леводесна стрелка~y=\pm2. Следствено, точките со координати (2;2),\,(2;-2) припаѓаат на параболата.

Споредувајќи ја дадената равенка со канонската (3.S1), го одредуваме фокусниот параметар: p=1. Фокусирајте ги координатите x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, т.е. F\!\лево(\frac(1)(2),\,0\десно). Ја составуваме равенката на дирекцијата x=-\frac(p)(2) , т.е. x=-\frac(1)(2) .

Општи својства на елипса, хипербола, парабола

1. Режисерското својство може да се користи како единствена дефиниција за елипса, хипербола, парабола (види Сл. 3.50): локусот на точките во рамнината, за секоја од нив односот на растојанието до дадена точка F (фокус) до растојанието до дадена права линија d (директрикс) што не поминува низ дадена точка е константен и еднаков на ексцентричноста e , се нарекува:

а) елипса ако 0\leqslant e<1 ;

б) хипербола ако е>1;

в) парабола ако e=1.

2. Елипса, хипербола и парабола се добиваат како рамнини во пресеци на кружен конус и затоа се нарекуваат конусни пресеци. Ова својство може да послужи и како геометриска дефиниција на елипса, хипербола и парабола.

3. Заеднички својства на елипсата, хиперболата и параболата вклучуваат двосекторски имотнивните тангенти. Под тангентадо права во одредена точка K се подразбира како ограничувачка положба на секантата KM кога точката M, останувајќи на правата што се разгледува, се стреми кон точката K. Права која е нормална на тангента на права и минува низ точката на тангенција се нарекува нормалнодо оваа линија.

Бисекторското својство на тангентите (и нормалните) на елипса, хипербола и парабола е формулирано на следниов начин: тангентата (нормална) на елипса или на хипербола формира еднакви агли со фокусните радиуси на тангентната точка(Сл. 3.51, а, б); тангентата (нормална) на параболата формира еднакви агли со фокалниот радиус на точката на тангенција и нормалното паднато од неа до дирекцијата(Сл. 3.51, в). Со други зборови, тангентата на елипсата во точката K е симетрала на надворешниот агол на триаголникот F_1KF_2 (а нормалната е симетралата на внатрешниот агол F_1KF_2 на триаголникот); тангентата на хиперболата е симетралата на внатрешниот агол на триаголникот F_1KF_2 (а нормалната е симетралата на надворешниот агол); тангентата на параболата е симетралата на внатрешниот агол на триаголникот FKK_d (а нормалната е симетралата на надворешниот агол). Бисекторското својство на тангента на парабола може да се формулира на ист начин како за елипса и хипербола, ако претпоставиме дека параболата има втор фокус во точка во бесконечност.

4. Од бисекторските својства следува оптички својства на елипса, хипербола и парабола, објаснувајќи го физичкото значење на поимот „фокус“. Да ги замислиме површините формирани со ротирање на елипса, хипербола или парабола околу фокусната оска. Ако на овие површини се нанесе рефлектирачка обвивка, се добиваат елипсовидни, хиперболични и параболични огледала. Според законот за оптика, аголот на паѓање на светлосниот зрак на огледалото е еднаков на аголот на рефлексија, т.е. упадните и рефлектираните зраци формираат еднакви агли со нормалата на површината, и двата зраци и оската на ротација се во иста рамнина. Од тука ги добиваме следниве својства:

– ако изворот на светлина се наоѓа во еден од фокусите на елиптичното огледало, тогаш зраците на светлината, рефлектирани од огледалото, се собираат на друг фокус (сл. 3.52, а);

– ако изворот на светлина се наоѓа во еден од фокусите на хиперболичното огледало, тогаш зраците на светлината, рефлектирани од огледалото, се разминуваат како да доаѓаат од друг фокус (сл. 3.52, б);

– ако изворот на светлина е во фокусот на параболичното огледало, тогаш светлосните зраци, рефлектирани од огледалото, одат паралелно со фокусната оска (сл. 3.52, в).

5. Дијаметриско својствоелипсата, хиперболата и параболата може да се формулираат на следниов начин:

– средните точки на паралелните акорди на елипсата (хипербола) лежат на една права линија што минува низ центарот на елипсата (хипербола);

– средните точки на паралелните акорди на параболата лежат на правата, колинеарна оска на симетрија на параболата.

Геометрискиот локус на средните точки на сите паралелни акорди на елипсата (хипербола, парабола) се вика дијаметар на елипсата (хипербола, парабола), конјугирани со овие акорди.

Ова е дефиницијата за дијаметар во потесна смисла (види пример 2.8). Претходно, дефиницијата за дијаметар беше дадена во широка смисла, каде што дијаметарот на елипсата, хиперболата, параболата и другите линии од втор ред е права линија што ги содржи средните точки на сите паралелни акорди. Во тесна смисла, дијаметарот на елипсата е секој акорд што минува низ неговиот центар (сл. 3.53, а); дијаметарот на хиперболата е секоја права линија што минува низ центарот на хиперболата (со исклучок на асимптоти), или дел од таква права линија (сл. 3.53,6); Дијаметарот на параболата е секој зрак што произлегува од одредена точка на параболата и е колинеарен до оската на симетријата (сл. 3.53, в).

Два дијаметри, од кои секој ги преполовува сите акорди паралелно со другиот дијаметар, се нарекуваат конјугирани. На сл. 3.53, задебелените линии ги покажуваат конјугираните дијаметри на елипса, хипербола и парабола.

Тангентата на елипсата (хипербола, парабола) во точката К може да се дефинира како гранична положба на паралелните секанти M_1M_2, кога точките M_1 и M_2, кои остануваат на правата што се разгледува, имаат тенденција кон точката K. Од оваа дефиниција произлегува дека тангента паралелна на акордите минува низ крајот на пречник конјугирани со овие акорди.

6. Елипсата, хиперболата и параболата, покрај оние дадени погоре, имаат и бројни геометриски својства и физички примени. На пример, сл. 3.50 може да послужи како илустрација за траекториите на вселенските објекти лоцирани во близина на тежиштето F.

Парабола е локус на точки за секоја од кои растојанието до одредена фиксна точка на рамнината, наречена фокус, е еднакво на растојанието до некоја фиксна линија, наречена директрикс (претпоставувајќи дека оваа права не поминува низ фокусот) .

Фокусот на параболата обично се означува со буквата F,растојание од фокус до директна буква Р. Големина стрповикани параметарпараболи. Сликата на параболата е дадена на сл. 61 (читателот ќе добие сеопфатно објаснување за овој цртеж откако ќе ги прочита следните неколку параграфи).

Коментар. Во согласност со П° 100 вели дека параболата има ексцентричност =1.

Нека биде дадена некоја парабола (истовремено, претпоставуваме дека параметарот Р).Да воведеме Декартов правоаголен координатен систем на рамнината, чии оски ќе бидат позиционирани на посебен начин во однос на оваа парабола. Имено, ја повлекуваме оската на апсцисата низ фокусот нормално на дирекцијата и ја сметаме за насочена од дирекцијата кон фокусот; Ајде да го поставиме потеклото на координатите во средината помеѓу фокуси директорка (сл. 61). Да ја изведеме равенката на оваа парабола во овој координатен систем.

Ајде да земеме произволна точка на авионот Ми означете ги неговите координати со XИ u.Дозволете ни понатаму да означуваме со ррастојание од точка Мда се фокусираат (r=FM),преку r-растојание од точка Мна директорката. Точка Мќе биде на (дадена) парабола ако и само ако

За да ја добиете потребната равенка, треба да ги замените променливите во еднаквост (1) рИ Анивните изрази преку тековните координати x, y.Имајте на ум дека фокусот Фима координати; земајќи го предвид ова и применувајќи ја формулата (2) П° 18. наоѓаме:

(2)

Да означиме со Поснова на перпендикулар падна од точка Мна директорката. Очигледно, точка Пима координати; од овде и од формулата (2) П° 18 добиваме:

(3),

(при вадење на коренот, земавме со неговиот знак, бидејќи - бројот е позитивен; ова произлегува од фактот дека точката M(x;y)треба да биде на страната на режисерот каде што е фокусот, т.е треба да има x >,од каде Заменувајќи во еднаквост (1) g и гнивните изрази (2) и (3), ги наоѓаме:

(4)

Ова е равенката на параболата за која станува збор во назначениот координатен систем, бидејќи се задоволува со координатите на точката M(x;y)ако и само ако поентата Млежи на оваа парабола.

Сакајќи да ја добиеме равенката на параболата во поедноставна форма, да ги квадратиме двете страни на еднаквоста (4); добиваме:

(5),

Ја изведовме равенката (6) како последица на равенката (4). Лесно е да се покаже дека равенката (4) пак може да се изведе како последица на равенката (6). Всушност, равенката (5) е изведена од равенката (6) на очигледен начин („во обратна насока“); понатаму, од равенката (5) имаме.

Класа 10 . Криви од втор ред.

10.1. Елипса. Канонска равенка. Полуоски, ексцентричност, графикон.

10.2. Хипербола. Канонска равенка. Полуоски, ексцентричност, асимптоти, график.

10.3. Парабола. Канонска равенка. Параметар на парабола, графикон.

Криви од втор ред на рамнина се линии чија имплицитна дефиниција има форма:

Каде
- дадени реални броеви,
- координати на кривите точки. Најважните линии меѓу кривите од втор ред се елипсата, хиперболата и параболата.

10.1. Елипса. Канонска равенка. Полуоски, ексцентричност, графикон.

Дефиниција на елипса.Елипса е рамна крива чиј збир на растојанија од две фиксни точки е
авион до која било точка

(тие.). Поени
се нарекуваат фокуси на елипсата.

Канонска равенка на елипса:
. (2)

(или оска
) поминува низ трикови
, а потеклото е поентата - се наоѓа во центарот на сегментот
(сл. 1). Елипсата (2) е симетрична во однос на координатните оски и потеклото (центарот на елипсата). Постојана
,
се нарекуваат полуоски на елипсата.

Ако елипсата е дадена со равенката (2), тогаш фокусите на елипсата се наоѓаат вака.

1) Прво, одредуваме каде лежат фокусите: фокусите лежат на координатната оска на која се наоѓаат главните полуоски.

2) Потоа се пресметува фокусното растојание (растојание од фокуси до потекло).

На
фокуси лежат на оската
;
;
.

На
фокуси лежат на оската
;
;
.

Ексцентричностелипсата се нарекува количина: (на
);(на
).

Елипсата секогаш
. Ексцентричноста служи како карактеристика на компресија на елипсата.

Ако елипсата (2) се помести така што центарот на елипсата удри во точката

,
, тогаш равенката на добиената елипса има форма

.

10.2. Хипербола. Канонска равенка. Полуоски, ексцентричност, асимптоти, график.

Дефиниција на хипербола.Хиперболата е рамна крива во која апсолутната вредност на разликата во растојанија од две фиксни точки е
авион до која било точка
оваа крива има константна вредност независна од точката
(тие.). Поени
се нарекуваат фокуси на хипербола.

Канонска хипербола равенка:
или
. (3)

Оваа равенка се добива ако координатната оска
(или оска
) поминува низ трикови
, а потеклото е поентата - се наоѓа во центарот на сегментот
. Хиперболите (3) се симетрични во однос на координатните оски и потеклото. Постојана
,
се нарекуваат полуоски на хиперболата.

Фокусите на хиперболата се наоѓаат вака.

Кај хиперболата
фокуси лежат на оската
:
(сл. 2.а).

Кај хиперболата
фокуси лежат на оската
:
(Сл. 2.б)

Еве - фокусна должина (растојание од фокуси до потекло). Се пресметува со формулата:
.

Ексцентричностхиперболата е количината:

(За
);(За
).

Хиперболата секогаш има
.

Асимптоти на хиперболи(3) се две прави линии:
. Двете гранки на хиперболата се приближуваат кон асимптотите без ограничување со зголемување .

Конструкцијата на графикот на хипербола треба да се изврши на следниов начин: прво по полуоските
градиме помошен правоаголник со страни паралелни на координатните оски; потоа повлечете прави линии низ спротивните темиња на овој правоаголник, тоа се асимптоти на хиперболата; конечно ги прикажуваме гранките на хиперболата, тие ги допираат средните точки на соодветните страни на помошниот правоаголник и се приближуваат со растот до асимптоти (сл. 2).

Ако хиперболите (3) се поместени така што нивниот центар ќе ја погоди точката
, а полуоските ќе останат паралелни со оските
,
, тогаш равенката на добиените хиперболи ќе биде напишана во форма

,
.

10.3. Парабола. Канонска равенка. Параметар на парабола, графикон.

Дефиниција на парабола.Парабола е рамна крива за која, за која било точка
оваа крива е растојанието од
до фиксна точка рамнина (наречена фокус на параболата) е еднаква на растојанието од
до фиксна права линија на рамнината(наречена насока на параболата) .

Канонска равенка на парабола:
, (4)

Каде - наречена константа параметарпараболи.

Точка
параболата (4) се нарекува теме на параболата. Оска
е оската на симетријата. Фокусот на параболата (4) е во точката
, директна равенка
. Графици со парабола (4) со значења
И
се прикажани на сл. 3.а и 3.б соодветно.

Равенката
дефинира и парабола на рамнината
, чии оски, во споредба со параболата (4),
,
смени места.

Ако параболата (4) се помести така што нејзиното теме удри во точката
, а оската на симетрија ќе остане паралелна со оската
, тогаш равенката на добиената парабола има форма

.

Да преминеме на примери.

Пример 1. Кривата од втор ред е дадена со равенката
. Дајте име на оваа крива. Најдете ги неговите фокуси и ексцентричност. Нацртајте крива и нејзините фокуси на рамнина
.

Решение. Оваа крива е елипса центрирана во точката
и осовините
. Ова може лесно да се потврди со замена
. Оваа трансформација значи премин од даден Декартов координатен систем
до нов Декартов координатен систем
, чија оска
паралелно со оските
,
. Оваа координатна трансформација се нарекува системско поместување
точно . Во новиот координатен систем
равенката на кривата се трансформира во канонската равенка на елипсата
, неговиот график е прикажан на сл. 4.

Ајде да најдеме трикови.
, па триковите
елипса лоцирана на оската
.. Во координатниот систем
:
. Бидејќи
, во стариот координатен систем
фокусите имаат координати.

Пример 2. Наведете го името на кривата од втор ред и наведете го нејзиниот график.

Решение. Дозволете ни да избереме совршени квадрати врз основа на термини кои содржат променливи И .

Сега, равенката на кривата може да се преработи на следниов начин:

Според тоа, дадената крива е елипса центрирана во точката
и осовините
. Добиените информации ни овозможуваат да го нацртаме неговиот график.

Пример 3. Наведете име и графикон на линијата
.

Решение. . Ова е канонската равенка на елипса центрирана во точката
и осовините
.

Затоа што,
, заклучуваме: дадената равенка одредува на рамнина
долната половина на елипсата (сл. 5).

Пример 4. Наведете го името на кривата од втор ред
. Најдете ги неговите фокуси, ексцентричност. Наведете график на оваа крива.

- канонска равенка на хипербола со полуоски
.

Фокусно растојание.

Знакот минус му претходи на терминот со , па триковите
хиперболите лежат на оската
:. Гранките на хиперболата се наоѓаат над и под оската
.

- ексцентричност на хиперболата.

Асимптоти на хипербола: .

Изградбата на графикот на оваа хипербола се изведува во согласност со постапката наведена погоре: градиме помошен правоаголник, цртаме асимптоти на хиперболата, цртаме гранки на хиперболата (види слика 2.б).

Пример 5. Откријте го типот на кривата дадена со равенката
и заговор.

- хипербола со центар во точка
и оските на оските.

Бидејќи , заклучуваме: дадената равенка го одредува оној дел од хиперболата што лежи десно од правата линија
. Подобро е да се нацрта хипербола во помошен координатен систем
, добиени од координатниот систем
смена
, а потоа означете го саканиот дел од хиперболата со задебелена линија

Пример 6. Откријте го типот на кривата и нацртајте го нејзиниот график.

Решение. Дозволете ни да избереме целосен квадрат врз основа на термините со променливата :

Ајде да ја преработиме равенката на кривата.

Ова е равенката на параболата со нејзиното теме во точката
. Со помош на трансформација на поместување, равенката на параболата се доведува во канонска форма
, од кој е јасно дека е параметар парабола. Фокусирајте се параболи во системот
има координати
,, и во системот
(според трансформација на смена). Графикот на параболата е прикажан на сл. 7.

Домашна работа.

1. Нацртај елипси дадени со равенките:
Најдете ги нивните полуоски, фокусна должина, ексцентричност и на графиконите на елипсите означете ги местата на нивните фокуси.

2. Нацртај хиперболи дадени со равенките:
Најдете ги нивните полуоски, фокусна должина, ексцентричност и посочете ги на графиконите со хипербола локациите на нивните фокуси. Напиши равенки за асимптоти на дадените хиперболи.

3. Нацртај параболи дадени со равенките:
. Најдете го нивниот параметар, фокусна должина и означете ја локацијата на фокусот на графиконите со параболи.

4. Равенка
го дефинира делот од втор ред од кривата. Најдете ја канонската равенка на оваа крива, запишете го нејзиното име, нацртајте го нејзиниот график и на неа означете го оној дел од кривата што одговара на првобитната равенка.

Како да се изгради парабола? Постојат неколку начини за графика на квадратна функција. Секој од нив има свои добрите и лошите страни. Да разгледаме два начина.

Да почнеме со исцртување на квадратна функција од формата y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Графикувајте ја функцијата y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 е квадратна функција. Графикот е парабола со гранки нагоре. Координати на темето на параболата

Од темето (-1;-4) градиме график на параболата y=x² (од потеклото на координатите. Наместо (0;0) - теме (-1;-4).Од (-1; -4) одиме надесно за 1 единица и нагоре за 1 единица, потоа лево за 1 и нагоре за 1; понатаму: 2 - десно, 4 - горе, 2 - лево, 4 - горе; 3 - десно, 9 - горе, 3 - лево, 9 - горе. Ако овие 7 поени не се доволни, тогаш 4 надесно, 16 на врвот итн.).

Графикот на квадратната функција y= -x²+bx+c е парабола, чии гранки се насочени надолу. За да конструираме граф, ги бараме координатите на темето и од него конструираме парабола y= -x².

Пример.

Графикувајте ја функцијата y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 е квадратна функција. Графикот е парабола со гранки надолу. Координати на темето на параболата

Од врвот градиме парабола y= -x² (1 - надесно, 1- надолу; 1 - лево, 1 - надолу; 2 - десно, 4 - надолу; 2 - лево, 4 - надолу, итн.):

Овој метод ви овозможува брзо да изградите парабола и не предизвикува потешкотии ако знаете како да ги графикорате функциите y=x² и y= -x². Недостаток: ако координатите на темето се фракциони броеви, не е многу погодно да се изгради график. Ако треба да ги знаете точните вредности на точките на пресек на графикот со оската Ox, дополнително ќе треба да ја решите равенката x²+bx+c=0 (или -x²+bx+c=0), дури и ако овие точки може директно да се одредат од цртежот.

Друг начин да се конструира парабола е со точки, односно, можете да најдете неколку точки на графикот и да нацртате парабола низ нив (земајќи предвид дека правата x=xₒ е нејзината оска на симетрија). Обично за ова го земаат темето на параболата, точките на пресек на графикот со координатните оски и 1-2 дополнителни точки.

Нацртај графикон на функцијата y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 е квадратна функција. Графикот е парабола со гранки нагоре. Координати на темето на параболата

односно темето на параболата е точката (-2,5; -2,25).

Се бараат. На точката на пресек со оската Ox y=0: x²+5x+4=0. Корените на квадратната равенка x1=-1, x2=-4, односно добивме две точки на графикот (-1; 0) и (-4; 0).

На точката на пресек на графикот со Oy оската x=0: y=0²+5∙0+4=4. Добивме поен (0; 4).

За да го разјасните графикот, можете да најдете дополнителна точка. Да земеме x=1, потоа y=1²+5∙1+4=10, односно друга точка на графикот е (1; 10). Овие точки ги означуваме на координатната рамнина. Земајќи ја предвид симетријата на параболата во однос на правата што минува низ нејзиното теме, означуваме уште две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и цртаме парабола низ нив:

Графиконирајте ја функцијата y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x е квадратна функција. Графикот е парабола со гранки надолу. Координати на темето на параболата

Темето (-1,5; 2,25) е првата точка на параболата.

На точките на пресек на графикот со x-оската y=0, односно ја решаваме равенката -x²-3x=0. Неговите корени се x=0 и x=-3, односно (0;0) и (-3;0) - уште две точки на графикот. Точката (o; 0) е и точка на пресек на параболата со оската на ординатите.

На x=1 y=-1²-3∙1=-4, односно (1; -4) е дополнителна точка за исцртување.

Конструирањето на парабола од точки е потрудоинтензивен метод во споредба со првиот. Ако параболата не ја пресече оската Ox, ќе бидат потребни повеќе дополнителни точки.

Пред да продолжиме да конструираме графикони на квадратни функции од формата y=ax²+bx+c, да ја разгледаме конструкцијата на графикони на функции користејќи геометриски трансформации. Исто така, најзгодно е да се конструираат графикони на функции од формата y=x²+c користејќи една од овие трансформации - паралелно преведување.

Многу технички, економски и социјални прашања се предвидуваат користејќи криви. Најкористен тип меѓу нив е параболата или поточно половина од неа. Важна компонента на која било параболична крива е нејзиното теме, чиешто определување на точните координати понекогаш игра клучна улога не само во прикажувањето на самиот процес, туку и за последователните заклучоци. Како да се најдат неговите точни координати ќе се дискутира во оваа статија.

Во контакт со

Започнете го пребарувањето

Пред да продолжиме со наоѓање на координатите на темето на параболата, да се запознаеме со самата дефиниција и нејзините својства. Во класична смисла, парабола е таков распоред на точки што отстранети на исто растојание од одредена точка(фокус, точка F), како и од права линија што не поминува низ точката F. Да ја разгледаме оваа дефиниција подетално на слика 1.

Слика 1. Класичен приказ на парабола

Сликата ја покажува класичната форма. Фокусот е точката F. Дирекцијата во овој случај ќе се смета за права линија на оската Y (означена со црвено). Од дефиницијата, можете да се уверите дека апсолутно секоја точка на кривата, не сметајќи го фокусот, има слична од другата страна, лоцирана на исто растојание од оската на симетрија како и самата. Покрај тоа, растојанието од која било од точките на параболата еднакво на растојанието до режисерот. Гледајќи напред, да речеме дека центарот на функцијата не мора да биде на почетокот, а гранките можат да бидат насочени во различни насоки.

Параболата, како и секоја друга функција, има свој влез во форма на формула:

Во наведената формула, буквата „s“ го означува параметарот на параболата, што е еднакво на растојанието од фокусот до дирекцијата. Постои и друга форма на снимање, означена со GMT, која ја има формата:

Оваа формула се користи при решавање на проблеми од областа на математичката анализа и се користи почесто од традиционалната (поради практичноста). Во иднина ќе се фокусираме на вториот запис.

Ова е интересно!: доказ

Пресметка на коефициенти и главни точки на парабола

Главните параметри обично ја вклучуваат локацијата на темето на оската на апсцисата, координатите на темето на оската на ординатите и параметарот на дирекцијата.

Нумеричка вредност на координатата на темето на оската x

Ако равенката на параболата е дадена во класична форма (1), тогаш вредноста на апсцисата во саканата точка ќе биде еднаква на половина од вредноста на параметарот s(половина од растојанието помеѓу дирекцијата и фокусот). Ако функцијата е претставена во форма (2), тогаш x нула се пресметува со формулата:

Односно, гледајќи ја оваа формула, можеме да кажеме дека темето ќе биде во десната половина во однос на оската y ако еден од параметрите a или b е помал од нула.

Дирекциската равенка е дефинирана со следнава равенка:

Вредност на темето на оската на ординатите

Нумеричката вредност на локацијата на темето за формулата (2) на оската на ординатите може да се најде со помош на следнава формула:

Од ова можеме да заклучиме дека ако А<0, то темето на кривата ќе биде во горната полурамнина, во спротивно – на дното. Во овој случај, точките на параболата ќе ги имаат истите својства како што беше споменато претходно.

Ако е дадена класичната форма на нотација, тогаш ќе биде порационално да се пресмета вредноста на локацијата на темето на оската на апсцисата, а преку неа и последователната вредност на ординатата. Забележете дека за формата на нотација (2), оската на симетрија на параболата, во класичното претставување, ќе се совпадне со оската на ординатите.

Важно!Кога решавате проблеми со помош на равенката на параболата, пред сè, идентификувајте ги главните вредности што се веќе познати. Покрај тоа, ќе биде корисно ако се утврдат параметрите што недостасуваат. Овој пристап ќе обезбеди повеќе „простор за маневрирање“ однапред и порационална одлука. Во пракса, обидете се да користите нотација (2). Полесно е да се разбере (не мора да ги „превртувате координатите на Декарт“), а огромното мнозинство задачи се приспособени конкретно на оваа форма на нотација.

Конструирање параболична крива

Користејќи вообичаена форма на нотација, пред да конструирате парабола, треба да го пронајдете нејзиното теме. Едноставно кажано, треба да го извршите следниов алгоритам:

1. Најдете ја координатата на темето на оската X.
2. Најдете ја координатата на локацијата на темето на оската Y.
3. Заменувајќи ги различните вредности на зависната променлива X, пронајдете ги соодветните вредности на Y и конструирајте крива.

Оние. Алгоритмот не е комплициран, главниот акцент е на тоа како да се најде темето на параболата. Понатамошниот процес на градба може да се смета за механички.

Под услов да се дадени три точки, чии координати се познати, прво треба да се создаде равенка за самата парабола, а потоа да се повтори постапката што беше опишана претходно. Бидејќи во равенката (2) има 3 коефициенти, а потоа, користејќи ги координатите на точките, ја пресметуваме секоја од нив:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

Во формулите (5.1), (5.2), (5.3), се користат оние точки што се познати, соодветно (на пример, A (, B (, C (). На овој начин ја наоѓаме равенката на параболата користејќи 3 точки Од практична страна, овој пристап не е „најпријатен“, но дава јасен резултат, врз основа на кој последователно се конструира самата крива.

Кога се конструира парабола, секогаш мора да има оска на симетрија.Формулата за запишување на оската на симетрија (2) ќе изгледа вака:

Оние. Не е тешко да се најде оската на симетрија до која сите точки на кривата се симетрични. Поточно, таа е еднаква на првата координата на темето.

Илустративни примери

Пример 1. Да речеме дека ја имаме равенката на параболата:

Треба да ги пронајдете координатите на темето на параболата, а исто така да проверите дали точката D (10; 5) припаѓа на дадената крива.

Решение: Најпрвин, да провериме дали споменатата точка припаѓа на самата крива

Од што заклучуваме дека наведената точка не припаѓа на дадената крива. Да ги најдеме координатите на темето на параболата. Од формулите (4) и (5) ја добиваме следната низа:

Излегува дека координатите на врвот, во точката О, се следни (-1,25; -7,625). Ова сугерира дека нашата параболата потекнува од третата четвртина од Декартовиот системкоординати

Пример 2. Најдете го темето на параболата, знаејќи ги трите точки што и припаѓаат: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Користејќи ги формулите (5.1), (5.2), (5.3), ги наоѓаме коефициентите на равенката на параболата. Го добиваме следново:

Користејќи ги добиените вредности, ја добиваме следната равенка:

На сликата, наведената функција ќе изгледа вака (Слика 2):

Слика 2. График на парабола која минува низ 3 точки

Оние. Графикот на парабола што минува низ три дадени точки ќе има теме во првата четвртина. Меѓутоа, гранките на оваа крива се насочени надолу, т.е. има поместување на параболата од потеклото. Оваа конструкција можеше да се предвиди со обрнување внимание на коефициентите a, b, c.

Особено, ако А<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>Ќе се истегне 1 крива, а ако е помала од 1, ќе се компресира.

Константата c е одговорна за „движењето“ на кривата долж оската на ординатите. Ако c>0, тогаш параболата „лази“ нагоре, во спротивно – долу. Во однос на коефициентот b, степенот на влијание може да се одреди само со промена на формата на запишување на равенката, доведувајќи ја во следната форма:

Ако коефициентот b>0, тогаш координатите на темето на параболата ќе бидат поместени надесно за b единици, ако е помал, тогаш за b единици налево.

Важно!Користењето техники за одредување на поместувањето на параболата на координатната рамнина понекогаш помага да се заштеди време при решавање на проблеми или да се дознае за можното пресекување на параболата со друга крива пред изградбата. Обично тие гледаат само на коефициентот а, бидејќи токму тоа дава јасен одговор на поставеното прашање.

Корисно видео: како да го пронајдете темето на параболата

Корисно видео: како лесно да креирате равенка на парабола од графикон

Заклучок

Алгебарскиот процес како што е одредувањето на темињата на параболата не е комплициран, но е доста трудоинтензивен. Во пракса, тие се обидуваат да ја користат втората форма на нотација со цел да го олеснат разбирањето на графичкото решение и решението во целина. Затоа, силно препорачуваме да го користите токму овој пристап, и ако не се сеќавате на формулата за координати на темето, тогаш барем имајте лист за измами.