Три опции за завршување на движењето напред на методот Гаус. Гаусовиот метод онлајн

Гаусовиот метод е лесен!Зошто? Познатиот германски математичар Јохан Карл Фридрих Гаус во текот на својот живот добил признание за најголем математичар на сите времиња, гениј, па дури и прекар „Крал на математиката“. И сè генијално, како што знаете, е едноставно!Патем, не само цицачите, туку и генијалците паѓаат во парите - портретот на Гаус се мафташе на сметка од 10 германски марки (пред воведувањето на еврото), а Гаус сè уште мистериозно им се насмевнува на Германците од обичните поштенски марки.

Гаусовиот метод е едноставен по тоа што Е ДОВОЛНО ЗНАЕЊЕ НА УЧЕНИК ОД ПЕТО ОДДЕЛЕНИЕ за да го совлада. Мора да може да собира и множи!Не случајно наставниците на училишните математички изборни предмети често го разгледуваат методот на последователно елиминирање на непознатите. Тоа е парадокс, но Гаусовиот метод предизвикува најголеми тешкотии кај учениците. Ништо изненадувачки - се работи за методологијата и ќе се обидам да кажам во достапна форма за алгоритмот на методот.

Прво, малку го систематизираме знаењето за системите на линеарни равенки. Систем од линеарни равенки може:

1) Имајте уникатно решение.
2) Имајте бесконечно многу решенија.
3) Немате решенија (бидете некомпатибилни).

Гаусовиот метод е најмоќната и сестрана алатка за изнаоѓање решение било којсистеми на линеарни равенки. Како што се сеќаваме Крамерово правило и метод на матрицасе несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. Метод на последователна елиминација на непознати во секој случајдоведе нè до одговорот! Во оваа лекција, повторно ќе го разгледаме методот Гаус за случајот бр. 1 (единственото решение за системот), статијата е резервирана за ситуациите од точките бр. 2-3. Забележувам дека самиот алгоритам на методот функционира на ист начин во сите три случаи.

Да се ​​вратиме на наједноставниот систем од лекцијата Како да се реши систем од линеарни равенки?
и да го решите со помош на Гаусовиот метод.

Првиот чекор е да се напише систем на проширена матрица:
. По кој принцип се евидентираат коефициентите, мислам дека секој може да види. Вертикалната линија во внатрешноста на матрицата не носи никакво математичко значење - тоа е само пробивање за леснотија на дизајнирање.

Референца :Препорачувам да се запамети терминилинеарна алгебра. Системска матрицае матрица составена само од коефициенти за непознати, во овој пример, матрицата на системот: . Проширена системска матрицае истата матрица на системот плус колона од слободни членови, во овој случај: . Било која од матриците може да се нарече едноставно матрица за краткост.

Откако ќе се запише проширената матрица на системот, потребно е со неа да се извршат некои дејства, кои се нарекуваат и елементарни трансформации.

Постојат следниве елементарни трансформации:

1) Стринговиматрици може преуредиместа. На пример, во матрицата што се разгледува, можете безбедно да ги преуредите првиот и вториот ред:

2) Ако има (или се појавија) ​​пропорционални (како посебен случај - идентични) редови во матрицата, тогаш следи избришиод матрицата, сите овие редови освен еден. Размислете, на пример, матрицата . Во оваа матрица, последните три реда се пропорционални, па доволно е да оставите само еден од нив: .

3) Ако за време на трансформациите се појави нулта ред во матрицата, тогаш следи и таа избриши. Јас нема да цртам, се разбира, нултата линија е линијата во која само нули.

4) Редот на матрицата може да биде множи (подели)за кој било број не-нула. Размислете, на пример, матрицата . Овде препорачливо е да се подели првата линија со -3, а втората да се помножи со 2: . Оваа акција е многу корисна, бидејќи ги поедноставува понатамошните трансформации на матрицата.

5) Оваа трансформација предизвикува најмногу тешкотии, но всушност нема ништо комплицирано. До редот на матрицата, можете додадете уште една низа помножена со број, различно од нула. Разгледајте ја нашата матрица од практичен пример: . Прво, ќе ја опишам трансформацијата во многу детали. Помножете го првиот ред со -2: , и на вториот ред ја додаваме првата линија помножена со -2: . Сега првата линија може да се подели „назад“ со -2: . Како што можете да видите, линијата што е ДОДАДЕНА ЛИ – не се промени. Е секогашлинијата се менува, ВО КОЈА Е ДОДАДЕНА UT.

Во пракса, се разбира, тие не сликаат толку детално, но пишуваат пократко:

Уште еднаш: до втората линија го додаде првиот ред помножен со -2. Линијата обично се множи усно или на нацрт, додека менталниот тек на пресметките е нешто вака:

„Ја препишувам матрицата и го препишувам првиот ред: »

Прва колона. Подолу треба да добијам нула. Затоа, ја помножувам единицата погоре со -2:, а првата ја додавам во втората линија: 2 + (-2) = 0. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„Сега втората колона. Над -1 пати -2: . Првиот го додавам во вториот ред: 1 + 2 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„И третата колона. Над -5 пати -2: . Ја додавам првата линија во втората линија: -7 + 10 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

Ве молиме внимателно размислете за овој пример и разберете го алгоритмот за секвенцијална пресметка, ако го разбирате ова, тогаш методот на Гаус е практично „во вашиот џеб“. Но, се разбира, ние сè уште работиме на оваа трансформација.

Елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки

! ВНИМАНИЕ: сметани манипулации не може да се користи, ако ви се понуди задача каде што матриците се дадени „сами“. На пример, со "класичен" матрициво никој случај не треба да преуредите нешто внатре во матриците!

Да се ​​вратиме на нашиот систем. Таа е практично скршена на парчиња.

Дозволете ни да ја напишеме зголемената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја намалиме на зачекорен поглед:

(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со -2. И повторно: зошто го множиме првиот ред со -2? Со цел да се добие нула на дното, што значи да се ослободиме од една променлива во втората линија.

(2) Поделете го вториот ред со 3.

Целта на елементарните трансформации – конвертирај ја матрицата во чекор форма: . Во дизајнот на задачата, тие директно ја извлекуваат „скалата“ со едноставен молив, а исто така ги заокружуваат броевите што се наоѓаат на „чекорите“. Самиот термин „зачекорен поглед“ не е целосно теоретски; во научната и образовната литература, тој често се нарекува трапезоиден погледили триаголен поглед.

Како резултат на елементарни трансформации, добивме еквиваленторигинален систем на равенки:

Сега системот треба да се „одвитка“ во спротивна насока - од дното нагоре, овој процес се нарекува обратен метод на Гаус.

Во долната равенка веќе го имаме готовиот резултат: .

Размислете за првата равенка на системот и заменете ја веќе познатата вредност на „y“ во неа:

Да ја разгледаме најчестата ситуација, кога е потребен Гаусовиот метод за решавање на систем од три линеарни равенки со три непознати.

Пример 1

Решете го системот на равенки користејќи го методот Гаус:

Ајде да ја напишеме зголемената матрица на системот:

Сега веднаш ќе го нацртам резултатот до кој ќе дојдеме во текот на решението:

И повторувам, нашата цел е да ја доведеме матрицата до скалеста форма користејќи елементарни трансформации. Каде да започнете да преземате акција?

Прво, погледнете го горниот лев број:

Речиси секогаш треба да биде тука единица. Општо земено, -1 (а понекогаш и други броеви) исто така ќе одговараат, но некако традиционално се случува таму обично да се става единица. Како да се организира единица? Ја гледаме првата колона - имаме завршена единица! Трансформација прва: заменете ја првата и третата линија:

Сега првата линија ќе остане непроменета до крајот на решението. Сега добро.

Единицата во горниот лев агол е организирана. Сега треба да добиете нули на овие места:

Нулите се добиваат само со помош на „тешка“ трансформација. Прво, се занимаваме со втората линија (2, -1, 3, 13). Што треба да се направи за да се добие нула на првата позиција? Потреба на вториот ред додадете го првиот ред помножен со -2. Ментално или на нацрт, ја множиме првата линија со -2: (-2, -4, 2, -18). И ние постојано вршиме (повторно ментално или на нацрт) дополнување, на втората линија ја додаваме првата линија, веќе помножена со -2:

Резултатот е запишан во вториот ред:

Слично на тоа, ние се занимаваме со третата линија (3, 2, -5, -1). За да добиете нула на првата позиција, ви треба на третата линија додадете ја првата линија помножена со -3. Ментално или на нацрт, ја множиме првата линија со -3: (-3, -6, 3, -27). И на третата линија ја додаваме првата линија помножена со -3:

Резултатот е запишан во третиот ред:

Во пракса, овие дејства обично се изведуваат вербално и се запишуваат во еден чекор:

Нема потреба да броите сè одеднаш и во исто време. Редоследот на пресметките и „вметнувањето“ на резултатите конзистентнаи обично вака: прво го препишуваме првиот ред, и се дувнеме тивко - ДОСЛЕДНО и ВНИМАТЕЛНО:


И јас веќе го разгледав менталниот тек на самите пресметки погоре.

Во овој пример, ова е лесно да се направи, ние ја делиме втората линија со -5 (бидејќи сите броеви таму се деливи со 5 без остаток). Во исто време, третата линија ја делиме со -2, бидејќи колку е помал бројот, толку е поедноставно решението:

Во последната фаза на елементарните трансформации, тука мора да се добие уште една нула:

За ова на третата линија ја додаваме втората линија, помножена со -2:


Обидете се сами да ја анализирате оваа акција - ментално помножете ја втората линија со -2 и извршете го собирањето.

Последното извршено дејство е фризурата на резултатот, поделете ја третата линија со 3.

Како резултат на елементарните трансформации, беше добиен еквивалентен почетен систем на линеарни равенки:

Кул.

Сега стапува во игра обратниот тек на Гаусовиот метод. Равенките се „одмотуваат“ од дното нагоре.

Во третата равенка веќе го имаме готовиот резултат:

Да ја погледнеме втората равенка: . Значењето на „з“ е веќе познато, така што:

И конечно, првата равенка: . „Y“ и „Z“ се познати, работата е мала:

Одговори:

Како што е постојано забележано, за секој систем на равенки, можно е и неопходно е да се провери пронајденото решение, за среќа, тоа не е тешко и брзо.

Пример 2

Ова е пример за самостојно решавање, примерок за доработка и одговор на крајот од лекцијата.

Треба да се напомене дека вашиот курс на дејствувањеможеби не се совпаѓа со мојот тек на дејствување, а тоа е карактеристика на Гаусовиот метод. Но, одговорите мора да бидат исти!

Пример 3

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Ја пишуваме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, ја доведуваме во форма на чекор:

Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме единица. Проблемот е што во првата колона воопшто нема такви, така што ништо не може да се реши со преуредување на редовите. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Го направив ова:
(1) На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со -1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со -1 и извршивме собирање на првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.

Сега горе лево „минус еден“, што одлично ни одговара. Кој сака да добие +1 може да изврши дополнителен гест: помножете ја првата линија со -1 (променете го неговиот знак).

(2) Во вториот ред се додава првиот ред помножен со 5. Во третиот ред се додава првиот ред помножен со 3.

(3) Првата линија беше помножена со -1, во принцип, ова е за убавина. Знакот на третата линија исто така беше променет и поместен на второто место, со што на вториот „чекор ја имавме посакуваната единица.

(4) Вториот ред помножен со 2 е додаден на третиот ред.

(5) Третиот ред беше поделен со 3.

Лош знак што укажува на грешка во пресметката (поретко печатна грешка) е „лоша“ крајна линија. Тоа е, ако добиеме нешто како подолу, и, соодветно, , тогаш со висок степен на веројатност може да се тврди дека е направена грешка во текот на елементарните трансформации.

Го наплаќаме обратното движење, при дизајнирањето на примери, самиот систем често не се препишува, а равенките се „земени директно од дадената матрица“. Обратно движење, ве потсетувам, функционира од дното нагоре. Да, еве подарок:

Одговори: .

Пример 4

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Ова е пример за независно решение, тоа е нешто покомплицирано. Во ред е ако некој се збуни. Целосно решение и дизајн примерок на крајот од лекцијата. Вашето решение може да се разликува од моето.

Во последниот дел, разгледуваме некои карактеристики на алгоритмот Гаус.
Првата карактеристика е дека понекогаш недостасуваат некои променливи во равенките на системот, на пример:

Како правилно да се напише зголемената матрица на системот? Веќе зборував за овој момент во лекцијата. Правило на Крамер. Матричен метод. Во проширената матрица на системот, ставаме нули на местото на променливите што недостасуваат:

Патем, ова е прилично лесен пример, бидејќи веќе има една нула во првата колона и има помалку елементарни трансформации за извршување.

Втората карактеристика е ова. Во сите разгледани примери, ставивме или –1 или +1 на „чекорите“. Дали може да има други бројки? Во некои случаи можат. Размислете за системот: .

Овде на горниот лев „скалила“ имаме двојка. Но, го забележуваме фактот дека сите броеви во првата колона се деливи со 2 без остаток - и уште два и шест. И ќе ни одговара двојката горе лево! На првиот чекор, треба да ги извршите следните трансформации: додадете ја првата линија помножена со -1 во втората линија; на третата линија додадете ја првата линија помножена со -3. Така, ќе ги добиеме саканите нули во првата колона.

Или друг хипотетички пример: . Тука ни одговара и тројката на второто „скалило“, бидејќи 12 (местото каде што треба да добиеме нула) се дели со 3 без остаток. Неопходно е да се изврши следнава трансформација: на третата линија, додадете ја втората линија, помножена со -4, како резултат на што ќе се добие нулата што ни треба.

Гаусовиот метод е универзален, но има една особеност. Можете самоуверено да научите како да решавате системи со други методи (метод на Крамер, метод на матрица) буквално од прв пат - има многу ригиден алгоритам. Но, за да се чувствувате сигурни во методот на Гаус, треба да ја „наполните раката“ и да решите најмалку 5-10 системи. Затоа, на почетокот може да има забуна, грешки во пресметките и нема ништо необично или трагично во ова.

Дождливо есенско време надвор од прозорецот .... Затоа, за секого, покомплексен пример за независно решение:

Пример 5

Решете систем од четири линеарни равенки со четири непознати со помош на методот Гаус.

Ваквата задача во пракса не е толку ретка. Мислам дека дури и чајник кој детално ја проучувал оваа страница го разбира алгоритмот за интуитивно решавање на таков систем. Во основа исто - само повеќе акција.

Случаите кога системот нема решенија (неконзистентни) или има бесконечно многу решенија се разгледуваат на часот Некомпатибилни системи и системи со општо решение. Таму можете да го поправите разгледуваниот алгоритам на методот Гаус.

Ви посакувам успех!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение : Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во скалеста форма.


Извршени елементарни трансформации:
(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со -2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со -1. Внимание!Овде можеби е примамливо да се одземе првиот од третиот ред, категорично не препорачувам одземање - ризикот од грешка значително се зголемува. Само превиткуваме!
(2) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со -1). Вториот и третиот ред се заменети. Забелешкадека на „скалите“ се задоволуваме не само со еден, туку и со -1, што е уште позгодно.
(3) На третиот ред додадете го вториот ред, помножен со 5.
(4) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со -1). Третата линија беше поделена со 14.

Обратно движење:

Одговори: .

Пример 4: Решение : Ја пишуваме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, ја доведуваме во форма на чекор:

Извршени конверзии:
(1) Вториот ред е додаден на првиот ред. Така, саканата единица е организирана на горниот лев „чекор“.
(2) Во вториот ред се додава првиот ред помножен со 7. Во третиот ред се додава првиот ред помножен со 6.

Со вториот „чекор“ се е полошо , „кандидати“ за него се броевите 17 и 23, а ни треба или еден или -1. Трансформациите (3) и (4) ќе бидат насочени кон добивање на саканата единица

(3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со -1.
(4) Третиот ред, помножен со -3, е додаден на вториот ред.
(3) На третиот ред се додава вториот ред помножен со 4. На четвртиот ред се додава вториот ред помножен со -1.
(4) Знакот на вториот ред е променет. Четвртата линија беше поделена со 3 и ставена наместо третата линија.
(5) Третиот ред беше додаден на четвртиот ред, помножен со -5.

Обратно движење:

Во овој напис, методот се разгледува како начин за решавање на системи на линеарни равенки (SLAE). Методот е аналитички, односно ви овозможува да напишете алгоритам за решение во општа форма, а потоа да ги замените вредностите од конкретни примери таму. За разлика од методот на матрица или формулите на Крамер, кога решавате систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус, можете да работите и со оние кои имаат бесконечно многу решенија. Или воопшто го немаат.

Што значи Гаус?

Прво треба да го запишете нашиот систем на равенки во Изгледа вака. Системот е земен:

Коефициентите се запишуваат во форма на табела, а десно во посебна колона - слободни членови. Колоната со слободни членови е одвоена заради погодност.Матрицата што ја вклучува оваа колона се нарекува проширена.

Понатаму, главната матрица со коефициенти мора да се сведе на горната триаголна форма. Ова е главната поента за решавање на системот со методот Гаус. Едноставно, по одредени манипулации, матрицата треба да изгледа вака, така што во нејзиниот долен лев дел има само нули:

Потоа, ако повторно ја напишете новата матрица како систем од равенки, ќе забележите дека последниот ред веќе ја содржи вредноста на еден од корените, кој потоа се заменува во равенката погоре, се наоѓа друг корен итн.

Ова е опис на решението со методот Гаус во најопшти термини. И што се случува ако одеднаш системот нема решение? Или има бесконечен број од нив? За да одговорите на овие и многу други прашања, неопходно е посебно да се разгледаат сите елементи што се користат во решението со методот Гаус.

Матрици, нивните својства

Нема скриено значење во матрицата. Тоа е само пригоден начин за снимање податоци за подоцнежни операции. Дури и учениците не треба да се плашат од нив.

Матрицата е секогаш правоаголна, бидејќи е поудобна. Дури и во методот на Гаус, каде што сè се сведува на изградба на триаголна матрица, во записот се појавува правоаголник, само со нули на местото каде што нема броеви. Нулите може да се изостават, но тие се имплицирани.

Матрицата има големина. Неговата „ширина“ е бројот на редови (m), неговата „должина“ е бројот на колони (n). Тогаш големината на матрицата A (за нивното означување обично се користат големи латински букви) ќе биде означена како A m×n . Ако m=n, тогаш оваа матрица е квадратна, а m=n е нејзиниот ред. Според тоа, секој елемент од матрицата А може да се означи со бројот на неговата редица и колона: a xy ; x - број на ред, промени , y - број на колона, промени .

Б не е главната поента на решението. Во принцип, сите операции може да се извршат директно со самите равенки, но ознаката ќе испадне многу посложена и ќе биде многу полесно да се збуни во неа.

Детерминанта

Матрицата има и детерминанта. Ова е многу важна карактеристика. Откривањето на неговото значење сега не вреди, можете едноставно да покажете како се пресметува, а потоа да кажете кои својства на матрицата ги одредува. Најлесен начин да се најде детерминантата е преку дијагонали. Во матрицата се нацртани имагинарни дијагонали; елементите лоцирани на секоја од нив се множат, а потоа се додаваат добиените производи: дијагонали со наклон надесно - со знак „плус“, со наклон налево - со знак „минус“.

Исклучително е важно да се забележи дека детерминантата може да се пресмета само за квадратна матрица. За правоаголна матрица, можете да го направите следново: изберете го најмалиот од бројот на редови и бројот на колони (нека биде k), а потоа по случаен избор означете k колони и k редови во матрицата. Елементите лоцирани на пресекот на избраните колони и редови ќе формираат нова квадратна матрица. Ако детерминантата на таквата матрица е број различен од нула, тогаш таа се нарекува основен минор на оригиналната правоаголна матрица.

Пред да продолжите со решавањето на системот на равенки со методот на Гаус, не боли да се пресмета детерминантата. Ако се покаже дека е нула, тогаш веднаш можеме да кажеме дека матрицата има или бесконечен број решенија, или воопшто нема. Во таков тажен случај, треба да одите понатаму и да дознаете за рангот на матрицата.

Системска класификација

Постои такво нешто како ранг на матрица. Ова е максималниот редослед на нејзината не-нулта детерминанта (сеќавајќи се на основната минор, можеме да кажеме дека рангот на матрицата е редоследот на основната мала).

Според тоа како стојат работите со рангот, SLAE може да се подели на:

• Заеднички. Нана заедничките системи, рангот на главната матрица (кое се состои само од коефициенти) се совпаѓа со рангот на продолжената (со колона од слободни членови). Ваквите системи имаат решение, но не мора едно, затоа, заедничките системи дополнително се поделени на:
• - одредени- има уникатно решение. Во одредени системи, рангот на матрицата и бројот на непознати (или бројот на колони, што е иста работа) се еднакви;
• - неопределено -со бесконечен број решенија. Рангот на матрици за такви системи е помал од бројот на непознати.
• Некомпатибилни. Натаквите системи, редовите на главните и проширените матрици не се совпаѓаат. Некомпатибилните системи немаат решение.

Гаусовиот метод е добар по тоа што овозможува да се добие или недвосмислен доказ за неконзистентноста на системот (без пресметување на детерминантите на големите матрици) или општо решение за систем со бесконечен број решенија за време на решението.

Елементарни трансформации

Пред да продолжите директно со решението на системот, можно е да се направи помалку незгоден и поудобен за пресметки. Тоа се постигнува преку елементарни трансформации - такви што нивната имплементација на ниту еден начин не го менува конечниот одговор. Треба да се напомене дека некои од горенаведените елементарни трансформации важат само за матрици, чиј извор беше токму SLAE. Еве список на овие трансформации:

1. Пермутација на низа. Очигледно е дека ако го промениме редоследот на равенките во системскиот запис, тогаш тоа нема да влијае на решението на кој било начин. Следствено, исто така е можно да се заменат редови во матрицата на овој систем, не заборавајќи, се разбира, на колоната на слободни членови.
2. Множење на сите елементи на низата со некој фактор. Многу корисно! Со него, можете да намалите големи броеви во матрицата или да отстраните нули. Множеството решенија, како и обично, нема да се промени и ќе стане попогодно да се вршат понатамошни операции. Главната работа е дека коефициентот не е еднаков на нула.
3. Избришете ги редовите со пропорционални коефициенти. Ова делумно произлегува од претходниот став. Ако два или повеќе редови во матрицата имаат пропорционални коефициенти, тогаш при множење / делење на една од редовите со коефициентот на пропорционалност, се добиваат два (или, повторно, повеќе) апсолутно идентични редови и можете да ги отстраните дополнителните, оставајќи само еден.
4. Отстранување на нултата линија. Ако во текот на трансформациите некаде се добие низа во која сите елементи, вклучувајќи го и слободниот член, се нула, тогаш таквата низа може да се нарече нула и да се исфрли од матрицата.
5. Додавање на елементите на еден ред на елементите на друг (во соодветните колони), помножени со одреден коефициент. Најнејасна и најважна трансформација од сите. Вреди да се задржиме на тоа подетално.

Додавање низа помножена со фактор

За полесно разбирање, вреди да се расклопи овој процес чекор по чекор. Два реда се земени од матрицата:

a 11 a 12 ... a 1n | б1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да претпоставиме дека треба да го додадете првиот на вториот, помножен со коефициентот "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Потоа во матрицата вториот ред се заменува со нов, а првиот останува непроменет.

a 11 a 12 ... a 1n | б1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Треба да се забележи дека факторот за множење може да се избере на таков начин што, како резултат на додавање на две низи, еден од елементите на новата низа е еднаков на нула. Затоа, можно е да се добие равенка во системот, каде што ќе има една непозната помалку. И ако добиете две такви равенки, тогаш операцијата може да се направи повторно и да се добие равенка која веќе ќе содржи две помалку непознати. И ако секој пат се свртиме на нула еден коефициент за сите редови што се пониски од оригиналниот, тогаш можеме, како чекори, да се спуштиме до самото дно на матрицата и да добиеме равенка со една непозната. Ова се нарекува решавање на системот со помош на Гаусовиот метод.

Генерално

Нека има систем. Има m равенки и n непознати корени. Можете да го запишете вака:

Главната матрица е составена од коефициентите на системот. Колона од слободни членови се додава во продолжената матрица и се одделува со лента за погодност.

• првиот ред од матрицата се множи со коефициентот k = (-a 21 / a 11);
• се додаваат првиот модифициран ред и вториот ред од матрицата;
• наместо вториот ред, резултатот од собирањето од претходниот став се вметнува во матрицата;
• сега првиот коефициент во новиот втор ред е 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се врши истата серија на трансформации, вклучени се само првиот и третиот ред. Според тоа, во секој чекор од алгоритмот, елементот a 21 се заменува со 31 . Потоа сè се повторува за 41, ... a m1. Резултатот е матрица каде што првиот елемент во редовите е еднаков на нула. Сега треба да заборавиме на линијата број еден и да го извршиме истиот алгоритам почнувајќи од втората линија:

• коефициент k \u003d (-a 32 / a 22);
• втората изменета линија се додава на линијата „тековна“;
• резултатот од додавањето е заменет во третата, четвртата и така натаму линии, додека првата и втората остануваат непроменети;
• во редовите на матрицата, првите два елементи се веќе еднакви на нула.

Алгоритмот мора да се повторува додека не се појави коефициентот k = (-a m,m-1 /a mm). Ова значи дека алгоритмот последен пат бил извршен само за долната равенка. Сега матрицата изгледа како триаголник или има скалеста форма. Крајната линија ја содржи еднаквоста a mn × x n = b m. Коефициентот и слободниот член се познати, а коренот се изразува преку нив: x n = b m /a mn. Добиениот корен се заменува во горниот ред за да се најде x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . И така натаму по аналогија: во секоја следна линија има нов корен и, откако ќе го достигнете „врвот“ на системот, можете да најдете многу решенија. Тоа ќе биде единствено.

Кога нема решенија

Ако во една од редовите на матрицата сите елементи, освен слободниот член, се еднакви на нула, тогаш равенката што одговара на овој ред изгледа како 0 = b. Нема решение. И бидејќи таквата равенка е вклучена во системот, тогаш множеството решенија на целиот систем е празно, односно е дегенерирано.

Кога има бесконечен број решенија

Може да испадне дека во намалената триаголна матрица нема редови со еден елемент - коефициентот на равенката, а еден - слободен член. Има само низи кои, кога ќе се препишат, би изгледале како равенка со две или повеќе променливи. Тоа значи дека системот има бесконечен број решенија. Во овој случај, одговорот може да се даде во форма на општо решение. Како да се направи тоа?

Сите променливи во матрицата се поделени на основни и слободни. Основни - тоа се оние што стојат „на работ“ на редовите во зачекорената матрица. Останатите се бесплатни. Во општото решение основните променливи се запишуваат во однос на слободните.

За погодност, матрицата прво се препишува назад во систем на равенки. Потоа во последната од нив, каде што остана точно само една основна променлива, таа останува на едната страна, а се друго се пренесува на другата. Ова се прави за секоја равенка со една основна променлива. Потоа, во останатите равенки, каде што е можно, наместо основната променлива, се заменува изразот добиен за неа. Ако, како резултат, повторно се појави израз кој содржи само една основна променлива, тој повторно се изразува од таму, и така натаму, додека секоја основна променлива не биде напишана како израз со слободни променливи. Ова е генералното решение на SLAE.

Можете исто така да го најдете основното решение на системот - дајте им на слободните променливи какви било вредности, а потоа за овој конкретен случај пресметајте ги вредностите на основните променливи. Има бесконечно многу конкретни решенија.

Решение со конкретни примери

Еве го системот на равенки.

За погодност, подобро е веднаш да се создаде нејзината матрица

Познато е дека при решавањето со методот на Гаус, равенката што одговара на првиот ред ќе остане непроменета на крајот од трансформациите. Затоа, ќе биде попрофитабилно ако горниот лев елемент на матрицата е најмал - тогаш првите елементи од преостанатите редови по операциите ќе се претворат во нула. Ова значи дека во составената матрица ќе биде поволно да се стави вториот на местото на првиот ред.

втор ред: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

трета линија: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Сега, за да не се мешаме, потребно е да се запише матрицата со средните резултати од трансформациите.

Очигледно е дека таквата матрица може да се направи попогодна за перцепција со помош на некои операции. На пример, можете да ги отстраните сите „минуси“ од втората линија со множење на секој елемент со „-1“.

Исто така, вреди да се напомене дека во третиот ред сите елементи се множители на три. Потоа можете да ја намалите низата со овој број, множејќи го секој елемент со "-1/3" (минус - истовремено за да ги отстраните негативните вредности).

Изгледа многу поубаво. Сега треба да ја оставиме на мира првата линија и да работиме со втората и третата. Задачата е да се додаде вториот ред на третиот ред, помножен со таков фактор што елементот a 32 станува еднаков на нула.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 дропки, и дури тогаш, кога ќе се добијат одговорите, одлучете дали да се заокружи и преведе во друга форма на нотација)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Матрицата повторно се пишува со нови вредности.

Како што можете да видите, добиената матрица веќе има скалеста форма. Затоа, не се потребни понатамошни трансформации на системот со методот на Гаус. Она што може да се направи овде е да се отстрани вкупниот коефициент „-1/7“ од третата линија.

Сега се е убаво. Поентата е мала - напишете ја матрицата повторно во форма на систем од равенки и пресметајте ги корените

x + 2y + 4z = 12(1)

7г + 11з = 24 (2)

Алгоритмот со кој сега ќе се најдат корените се нарекува обратно движење во методот на Гаус. Равенката (3) ја содржи вредноста на z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И првата равенка ви овозможува да најдете x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Имаме право да го наречеме таков систем заеднички, па дури и дефинитивно, односно да има единствено решение. Одговорот е напишан во следнава форма:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Пример за неопределен систем

Анализирана е варијантата на решавање на одреден систем со методот на Гаус, сега треба да се разгледа случајот ако системот е неопределен, односно за него може да се најдат бесконечно многу решенија.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самата форма на системот е веќе алармантна, бидејќи бројот на непознати е n = 5, а рангот на матрицата на системот е веќе точно помал од овој број, бидејќи бројот на редови е m = 4, т.е. најголемиот ред на квадратната детерминанта е 4. Тоа значи дека има бесконечен број решенија и потребно е да се бара нејзината општа форма. Гаусовиот метод за линеарни равенки овозможува да се направи ова.

Прво, како и обично, се составува зголемената матрица.

Втора линија: коефициент k = (-a 21 / a 11) = -3. Во третата линија, првиот елемент е пред трансформациите, така што не треба да допирате ништо, треба да го оставите како што е. Четврта линија: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Помножувајќи ги елементите од првиот ред со секој од нивните коефициенти по ред и додавајќи ги во саканите редови, добиваме матрица со следнава форма:

Како што можете да видите, вториот, третиот и четвртиот ред се состојат од елементи кои се пропорционални еден на друг. Втората и четвртата се генерално исти, така што едната од нив може веднаш да се отстрани, а остатокот да се помножи со коефициентот „-1“ и да се добие линијата број 3. И повторно, оставете една од двете идентични линии.

Испадна таква матрица. Системот сè уште не е запишан, тука е неопходно да се одредат основните променливи - стоејќи на коефициентите a 11 \u003d 1 и a 22 \u003d 1, а бесплатно - сите останати.

Втората равенка има само една основна променлива - x 2 . Оттука, може да се изрази од таму, пишувајќи преку променливите x 3 , x 4 , x 5 , кои се слободни.

Добиениот израз го заменуваме во првата равенка.

Се покажа равенка во која единствената основна променлива е x 1. Да го сториме истото со него како со x 2 .

Сите основни променливи, од кои има две, се изразени во однос на три слободни, сега можете да го напишете одговорот во општа форма.

Можете исто така да наведете едно од конкретните решенија на системот. За такви случаи, по правило, нулите се избираат како вредности за слободните променливи. Тогаш одговорот ќе биде:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за некомпатибилен систем

Најбрзо е решението на неконзистентни системи на равенки со методот на Гаус. Завршува штом во една од фазите се добие равенка која нема решение. Односно, фазата со пресметка на корените, која е прилично долга и мрачна, исчезнува. Се разгледува следниов систем:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Како и обично, матрицата е составена:

И се сведува на скалеста форма:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

По првата трансформација, третата линија содржи равенка на формата

немајќи решение. Затоа, системот е неконзистентен, а одговорот е празното множество.

Предности и недостатоци на методот

Ако изберете кој метод да го решите SLAE на хартија со пенкало, тогаш методот што беше разгледан во оваа статија изгледа најпривлечен. Во елементарните трансформации, многу е потешко да се збуни отколку што се случува ако треба рачно да ја барате детерминантата или некоја незгодна инверзна матрица. Меѓутоа, ако користите програми за работа со податоци од овој тип, на пример, табеларни пресметки, тогаш излегува дека таквите програми веќе содржат алгоритми за пресметување на главните параметри на матриците - детерминанта, мали, инверзни итн. И ако сте сигурни дека машината сама ќе ги пресмета овие вредности и нема да направи грешка, поцелисходно е да се користи методот на матрица или формулите на Крамер, бидејќи нивната примена започнува и завршува со пресметка на детерминанти и инверзни матрици.

Апликација

Бидејќи Гаусовото решение е алгоритам, а матрицата е, всушност, дводимензионална низа, може да се користи во програмирањето. Но, бидејќи статијата се позиционира како водич „за кукли“, треба да се каже дека најлесно место за ставање на методот се табелите, на пример, Excel. Повторно, секој SLAE внесен во табела во форма на матрица ќе се смета од Excel како дводимензионална низа. А за операции со нив, има многу убави команди: собирање (можете само да додавате матрици со иста големина!), Множење со број, множење на матрицата (исто така со одредени ограничувања), наоѓање на инверзните и транспонираните матрици и што е најважно , пресметувајќи ја детерминантата. Ако оваа задача која одзема многу време се замени со една команда, многу побрзо е да се одреди рангот на матрицата и, според тоа, да се утврди нејзината компатибилност или недоследност.

Продолжуваме да ги разгледуваме системите на линеарни равенки. Оваа лекција е трета на оваа тема. Ако имате нејасна идеја за тоа што е воопшто систем на линеарни равенки, се чувствувате како чајник, тогаш препорачувам да започнете со основите на следната страница, корисно е да ја проучувате лекцијата.

Гаусовиот метод е лесен!Зошто? Познатиот германски математичар Јохан Карл Фридрих Гаус во текот на својот живот добил признание за најголем математичар на сите времиња, гениј, па дури и прекар „Крал на математиката“. И сè генијално, како што знаете, е едноставно!Патем, не само цицачите, туку и генијалците паѓаат во парите - портретот на Гаус се мафташе на сметка од 10 германски марки (пред воведувањето на еврото), а Гаус сè уште мистериозно им се насмевнува на Германците од обичните поштенски марки.

Гаусовиот метод е едноставен по тоа што Е ДОВОЛНО ЗНАЕЊЕ НА УЧЕНИК ОД ПЕТО ОДДЕЛЕНИЕ за да го совлада. Мора да може да собира и множи!Не случајно наставниците на училишните математички изборни предмети често го разгледуваат методот на последователно елиминирање на непознатите. Тоа е парадокс, но Гаусовиот метод предизвикува најголеми тешкотии кај учениците. Ништо изненадувачки - се работи за методологијата и ќе се обидам да кажам во достапна форма за алгоритмот на методот.

Прво, малку го систематизираме знаењето за системите на линеарни равенки. Систем од линеарни равенки може:

1) Имајте уникатно решение. 2) Имајте бесконечно многу решенија. 3) Немате решенија (бидете некомпатибилни).

Гаусовиот метод е најмоќната и сестрана алатка за изнаоѓање решение било којсистеми на линеарни равенки. Како што се сеќаваме Крамерово правило и метод на матрицасе несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. Метод на последователна елиминација на непознати во секој случајдоведе нè до одговорот! Во оваа лекција, повторно ќе го разгледаме методот Гаус за случајот бр. 1 (единственото решение за системот), резервирана е статија за ситуациите од точките бр. 2-3. Забележувам дека самиот алгоритам на методот функционира на ист начин во сите три случаи.

Да се ​​вратиме на наједноставниот систем од лекцијата Како да се реши систем од линеарни равенки?и да го решите со помош на Гаусовиот метод.

Првиот чекор е да се напише систем на проширена матрица: . По кој принцип се евидентираат коефициентите, мислам дека секој може да види. Вертикалната линија во внатрешноста на матрицата не носи никакво математичко значење - тоа е само пробивање за леснотија на дизајнирање.

Референца : Препорачувам да се запамети термини линеарна алгебра. Системска матрица е матрица составена само од коефициенти за непознати, во овој пример, матрицата на системот: . Проширена системска матрица е истата матрица на системот плус колона од слободни членови, во овој случај: . Било која од матриците може да се нарече едноставно матрица за краткост.

Откако ќе се запише проширената матрица на системот, потребно е со неа да се извршат некои дејства, кои се нарекуваат и елементарни трансформации.

Постојат следниве елементарни трансформации:

1) Стринговиматрици може преуредиместа. На пример, во матрицата што се разгледува, можете безбедно да ги преуредите првиот и вториот ред:

2) Ако има (или се појавија) ​​пропорционални (како посебен случај - идентични) редови во матрицата, тогаш следи избришиод матрицата, сите овие редови освен еден. Размислете, на пример, матрицата . Во оваа матрица, последните три реда се пропорционални, па доволно е да оставите само еден од нив: .

3) Ако за време на трансформациите се појави нулта ред во матрицата, тогаш следи и таа избриши. Јас нема да цртам, се разбира, нултата линија е линијата во која само нули.

4) Редот на матрицата може да биде множи (подели)за кој било број не-нула. Размислете, на пример, матрицата . Овде препорачливо е да се подели првата линија со -3, а втората да се помножи со 2: . Оваа акција е многу корисна, бидејќи ги поедноставува понатамошните трансформации на матрицата.

5) Оваа трансформација предизвикува најмногу тешкотии, но всушност нема ништо комплицирано. До редот на матрицата, можете додадете уште една низа помножена со број, различно од нула. Разгледајте ја нашата матрица од практичен пример: . Прво, ќе ја опишам трансформацијата во многу детали. Помножете го првиот ред со -2: , и на вториот ред ја додаваме првата линија помножена со -2: . Сега првата линија може да се подели „назад“ со -2: . Како што можете да видите, линијата што е ДОДАДЕНА ЛИ – не се промени. Е секогашлинијата се менува, ВО КОЈА Е ДОДАДЕНА UT.

Во пракса, се разбира, тие не сликаат толку детално, но пишуваат пократко: Уште еднаш: до втората линија го додаде првиот ред помножен со -2. Линијата обично се множи усно или на нацрт, додека менталниот тек на пресметките е нешто вака:

„Ја препишувам матрицата и го препишувам првиот ред: »

Прва колона. Подолу треба да добијам нула. Затоа, ја помножувам единицата погоре со -2:, а првата ја додавам во втората линија: 2 + (-2) = 0. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„Сега втората колона. Над -1 пати -2: . Првиот го додавам во вториот ред: 1 + 2 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„И третата колона. Над -5 пати -2: . Ја додавам првата линија во втората линија: -7 + 10 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

Ве молиме внимателно размислете за овој пример и разберете го алгоритмот за секвенцијална пресметка, ако го разбирате ова, тогаш методот на Гаус е практично „во вашиот џеб“. Но, се разбира, ние сè уште работиме на оваа трансформација.

Елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки

! ВНИМАНИЕ: сметани манипулации не може да се користи, ако ви се понуди задача каде што матриците се дадени „сами“. На пример, со "класичен" матрициво никој случај не треба да преуредите нешто внатре во матриците! Да се ​​вратиме на нашиот систем. Таа е практично скршена на парчиња.

Дозволете ни да ја напишеме зголемената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја намалиме на зачекорен поглед:

(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со -2. И повторно: зошто го множиме првиот ред со -2? Со цел да се добие нула на дното, што значи да се ослободиме од една променлива во втората линија.

(2) Поделете го вториот ред со 3.

Целта на елементарните трансформации – конвертирај ја матрицата во чекор форма: . Во дизајнот на задачата, тие директно ја извлекуваат „скалата“ со едноставен молив, а исто така ги заокружуваат броевите што се наоѓаат на „чекорите“. Самиот термин „зачекорен поглед“ не е целосно теоретски; во научната и образовната литература, тој често се нарекува трапезоиден погледили триаголен поглед.

Како резултат на елементарни трансформации, добивме еквиваленторигинален систем на равенки:

Сега системот треба да се „одвитка“ во спротивна насока - од дното нагоре, овој процес се нарекува обратен метод на Гаус.

Во долната равенка веќе го имаме готовиот резултат: .

Размислете за првата равенка на системот и заменете ја веќе познатата вредност на „y“ во неа:

Да ја разгледаме најчестата ситуација, кога е потребен Гаусовиот метод за решавање на систем од три линеарни равенки со три непознати.

Пример 1

Решете го системот на равенки користејќи го методот Гаус:

Ајде да ја напишеме зголемената матрица на системот:

Сега веднаш ќе го нацртам резултатот до кој ќе дојдеме во текот на решението: И повторувам, нашата цел е да ја доведеме матрицата до скалеста форма користејќи елементарни трансформации. Каде да започнете да преземате акција?

Прво, погледнете го горниот лев број: Речиси секогаш треба да биде тука единица. Општо земено, -1 (а понекогаш и други броеви) исто така ќе одговараат, но некако традиционално се случува таму обично да се става единица. Како да се организира единица? Ја гледаме првата колона - имаме завршена единица! Трансформација прва: заменете ја првата и третата линија:

Сега првата линија ќе остане непроменета до крајот на решението. Сега добро.

Единицата во горниот лев агол е организирана. Сега треба да добиете нули на овие места:

Нулите се добиваат само со помош на „тешка“ трансформација. Прво, се занимаваме со втората линија (2, -1, 3, 13). Што треба да се направи за да се добие нула на првата позиција? Потреба на вториот ред додадете го првиот ред помножен со -2. Ментално или на нацрт, ја множиме првата линија со -2: (-2, -4, 2, -18). И ние постојано вршиме (повторно ментално или на нацрт) дополнување, на втората линија ја додаваме првата линија, веќе помножена со -2:

Резултатот е запишан во вториот ред:

Слично на тоа, ние се занимаваме со третата линија (3, 2, -5, -1). За да добиете нула на првата позиција, ви треба на третата линија додадете ја првата линија помножена со -3. Ментално или на нацрт, ја множиме првата линија со -3: (-3, -6, 3, -27). И на третата линија ја додаваме првата линија помножена со -3:

Резултатот е запишан во третиот ред:

Во пракса, овие дејства обично се изведуваат вербално и се запишуваат во еден чекор:

Нема потреба да броите сè одеднаш и во исто време. Редоследот на пресметките и „вметнувањето“ на резултатите конзистентнаи обично вака: прво го препишуваме првиот ред, и се дувнеме тивко - ДОСЛЕДНО и ВНИМАТЕЛНО:
И јас веќе го разгледав менталниот тек на самите пресметки погоре.

Во овој пример, ова е лесно да се направи, ние ја делиме втората линија со -5 (бидејќи сите броеви таму се деливи со 5 без остаток). Во исто време, третата линија ја делиме со -2, бидејќи колку е помал бројот, толку е поедноставно решението:

Во последната фаза на елементарните трансформации, тука мора да се добие уште една нула:

За ова на третата линија ја додаваме втората линија, помножена со -2:
Обидете се сами да ја анализирате оваа акција - ментално помножете ја втората линија со -2 и извршете го собирањето.

Последното извршено дејство е фризурата на резултатот, поделете ја третата линија со 3.

Како резултат на елементарните трансформации, беше добиен еквивалентен почетен систем на линеарни равенки: Кул.

Сега стапува во игра обратниот тек на Гаусовиот метод. Равенките се „одмотуваат“ од дното нагоре.

Во третата равенка веќе го имаме готовиот резултат:

Да ја погледнеме втората равенка: . Значењето на „з“ е веќе познато, така што:

И конечно, првата равенка: . „Y“ и „Z“ се познати, работата е мала:

Одговори:

Како што е постојано забележано, за секој систем на равенки, можно е и неопходно е да се провери пронајденото решение, за среќа, тоа не е тешко и брзо.

Пример 2

Ова е пример за самостојно решавање, примерок за доработка и одговор на крајот од лекцијата.

Треба да се напомене дека вашиот курс на дејствувањеможеби не се совпаѓа со мојот тек на дејствување, а тоа е карактеристика на Гаусовиот метод. Но, одговорите мора да бидат исти!

Пример 3

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме единица. Проблемот е што во првата колона воопшто нема такви, така што ништо не може да се реши со преуредување на редовите. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Го направив ова: (1) На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со -1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со -1 и извршивме собирање на првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.

Сега горе лево „минус еден“, што одлично ни одговара. Кој сака да добие +1 може да изврши дополнителен гест: помножете ја првата линија со -1 (променете го неговиот знак).

(2) Во вториот ред се додава првиот ред помножен со 5. Во третиот ред се додава првиот ред помножен со 3.

(3) Првата линија беше помножена со -1, во принцип, ова е за убавина. Знакот на третата линија исто така беше променет и поместен на второто место, со што на вториот „чекор ја имавме посакуваната единица.

(4) Вториот ред помножен со 2 е додаден на третиот ред.

(5) Третиот ред беше поделен со 3.

Лош знак што укажува на грешка во пресметката (поретко печатна грешка) е „лоша“ крајна линија. Тоа е, ако добиеме нешто како подолу, и, соодветно, , тогаш со висок степен на веројатност може да се тврди дека е направена грешка во текот на елементарните трансформации.

Го наплаќаме обратното движење, при дизајнирањето на примери, самиот систем често не се препишува, а равенките се „земени директно од дадената матрица“. Обратно движење, ве потсетувам, функционира од дното нагоре. Да, еве подарок:

Одговори: .

Пример 4

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Ова е пример за независно решение, тоа е нешто покомплицирано. Во ред е ако некој се збуни. Целосно решение и дизајн примерок на крајот од лекцијата. Вашето решение може да се разликува од моето.

Во последниот дел, разгледуваме некои карактеристики на алгоритмот Гаус. Првата карактеристика е дека понекогаш недостасуваат некои променливи во равенките на системот, на пример: Како правилно да се напише зголемената матрица на системот? Веќе зборував за овој момент во лекцијата. Правило на Крамер. Матричен метод. Во проширената матрица на системот, ставаме нули на местото на променливите што недостасуваат: Патем, ова е прилично лесен пример, бидејќи веќе има една нула во првата колона и има помалку елементарни трансформации за извршување.

Втората карактеристика е ова. Во сите разгледани примери, ставивме или –1 или +1 на „чекорите“. Дали може да има други бројки? Во некои случаи можат. Размислете за системот: .

Овде на горниот лев „скалила“ имаме двојка. Но, го забележуваме фактот дека сите броеви во првата колона се деливи со 2 без остаток - и уште два и шест. И ќе ни одговара двојката горе лево! На првиот чекор, треба да ги извршите следните трансформации: додадете ја првата линија помножена со -1 во втората линија; на третата линија додадете ја првата линија помножена со -3. Така, ќе ги добиеме саканите нули во првата колона.

Или друг хипотетички пример: . Тука ни одговара и тројката на второто „скалило“, бидејќи 12 (местото каде што треба да добиеме нула) се дели со 3 без остаток. Неопходно е да се изврши следнава трансформација: на третата линија, додадете ја втората линија, помножена со -4, како резултат на што ќе се добие нулата што ни треба.

Гаусовиот метод е универзален, но има една особеност. Можете самоуверено да научите како да решавате системи со други методи (метод на Крамер, метод на матрица) буквално од прв пат - има многу ригиден алгоритам. Но, за да се чувствувате сигурни во методот на Гаус, треба да ја „наполните раката“ и да решите најмалку 5-10 десет системи. Затоа, на почетокот може да има забуна, грешки во пресметките и нема ништо необично или трагично во ова.

Дождливо есенско време надвор од прозорецот .... Затоа, за секого, покомплексен пример за независно решение:

Пример 5

Решете систем од 4 линеарни равенки со четири непознати со помош на методот Гаус.

Ваквата задача во пракса не е толку ретка. Мислам дека дури и чајник кој детално ја проучувал оваа страница го разбира алгоритмот за интуитивно решавање на таков систем. Во основа исто - само повеќе акција.

Во лекцијата се разгледуваат случаите кога системот нема решенија (неконзистентни) или има бесконечно многу решенија. Некомпатибилни системи и системи со заедничко решение. Таму можете да го поправите разгледуваниот алгоритам на методот Гаус.

Ви посакувам успех!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение : Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во скалеста форма.
Извршени елементарни трансформации: (1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со -2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со -1. Внимание! Овде можеби е примамливо да се одземе првиот од третиот ред, категорично не препорачувам одземање - ризикот од грешка значително се зголемува. Само превиткуваме! (2) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со -1). Вториот и третиот ред се заменети. Забелешка дека на „скалите“ се задоволуваме не само со еден, туку и со -1, што е уште позгодно. (3) На третиот ред додадете го вториот ред, помножен со 5. (4) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со -1). Третата линија беше поделена со 14.

Обратно движење:

Одговори : .

Пример 4: Решение : Ја пишуваме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, ја доведуваме во форма на чекор:

Извршени конверзии: (1) Вториот ред е додаден на првиот ред. Така, саканата единица е организирана на горниот лев „чекор“. (2) Во вториот ред се додава првиот ред помножен со 7. Во третиот ред се додава првиот ред помножен со 6.

Со вториот „чекор“ се е полошо , „кандидати“ за него се броевите 17 и 23, а ни треба или еден или -1. Трансформациите (3) и (4) ќе бидат насочени кон добивање на саканата единица (3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со -1. (4) Третиот ред, помножен со -3, е додаден на вториот ред. Неопходната работа на вториот чекор е примена . (5) На третиот ред се додаде вториот, помножен со 6. (6) Вториот ред беше помножен со -1, третиот ред беше поделен со -83.

Обратно движење:

Одговори :

Пример 5: Решение : Дозволете ни да ја запишеме матрицата на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор напред:

Извршени конверзии: (1) Првиот и вториот ред се заменети. (2) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со -2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со -2. Првата линија беше додадена на четвртата линија, помножена со -3. (3) На третиот ред се додава вториот ред помножен со 4. На четвртиот ред се додава вториот ред помножен со -1. (4) Знакот на вториот ред е променет. Четвртата линија беше поделена со 3 и ставена наместо третата линија. (5) Третиот ред беше додаден на четвртиот ред, помножен со -5.

Обратно движење:

Одговори :

Нека е даден систем на линеарни алгебарски равенки, кој мора да се реши (најдете такви вредности на непознатите хi што ја претвораат секоја равенка на системот во еднаквост).

Знаеме дека систем на линеарни алгебарски равенки може:

1) Немате решенија (бидете некомпатибилни).
2) Имајте бесконечно многу решенија.
3) Имајте уникатно решение.

Како што се сеќаваме, правилото на Крамер и методот на матрица се несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. Гаусовиот метод – најмоќната и сестрана алатка за наоѓање решенија за кој било систем на линеарни равенки, што на во секој случајдоведе нè до одговорот! Алгоритмот на методот во сите три случаи работи на ист начин. Ако методите на Крамер и матрицата бараат познавање на детерминанти, тогаш примената на Гаусовиот метод бара познавање само на аритметички операции, што го прави достапен дури и за учениците од основните училишта.

Проширени матрични трансформации ( ова е матрицата на системот - матрица составена само од коефициентите на непознатите, плус колона со слободни членови)системи на линеарни алгебарски равенки во методот на Гаус:

1) Со трокиматрици може преуредиместа.

2) ако има (или има) пропорционални (како посебен случај - идентични) редови во матрицата, тогаш следи избришиод матрицата, сите овие редови освен еден.

3) ако во матрицата се појави нулта ред за време на трансформациите, тогаш следи и таа избриши.

4) редот на матрицата може множи (подели)на кој било број освен нула.

5) до редот на матрицата, можете додадете уште една низа помножена со број, различно од нула.

Во методот на Гаус, елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки.

Гаусовиот метод се состои од две фази:

1. „Директен потег“ - со помош на елементарни трансформации, доведете ја продолжената матрица на системот на линеарни алгебарски равенки во „триаголна“ скалеста форма: елементите на продолжената матрица лоцирани под главната дијагонала се еднакви на нула (поместување од горе надолу ). На пример, за овој вид:

За да го направите ова, извршете ги следните чекори:

1) Да ја разгледаме првата равенка на систем од линеарни алгебарски равенки и коефициентот на x 1 е еднаков на K. Втората, третата, итн. ги трансформираме равенките на следниов начин: секоја равенка (коефициенти за непознати, вклучувајќи ги и слободните членови) ја делиме со коефициентот за непозната x 1, што е во секоја равенка, и множиме со К. После тоа, одземете ја првата од втората равенка ( коефициенти за непознати и слободни членови). На x 1 во втората равенка го добиваме коефициентот 0. Од третата трансформирана равенка ја одземаме првата равенка, па додека сите равенки освен првата, со непозната x 1, нема да имаат коефициент 0.

2) Одете на следната равенка. Нека ова е втората равенка и коефициентот на x 2 е еднаков на M. Со сите „подредени“ равенки, продолжуваме како што е опишано погоре. Така, „под“ непознатата x 2 во сите равенки ќе биде нули.

3) Преминуваме на следната равенка и така натаму додека не остане последен непознат и трансформиран слободен член.

1. „Обратно движење“ на методот Гаус е да се добие решение за систем од линеарни алгебарски равенки (потегот „од долу-нагоре“). Од последната „пониска“ равенка добиваме едно прво решение - непознатата x n. За да го направите ова, ја решаваме елементарната равенка A * x n \u003d B. Во примерот погоре, x 3 \u003d 4. Ја заменуваме пронајдената вредност во „горната“ следната равенка и ја решаваме во однос на следната непозната. На пример, x 2 - 4 \u003d 1, т.е. x 2 \u003d 5. И така натаму додека не ги најдеме сите непознати.

Пример.

Системот на линеарни равенки го решаваме користејќи го методот Гаус, како што советуваат некои автори:

Ја пишуваме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, ја доведуваме во форма на чекор:

Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме единица. Проблемот е што во првата колона воопшто нема такви, така што ништо не може да се реши со преуредување на редовите. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Ајде да го направиме вака:
1 чекор . На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со -1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со -1 и извршивме собирање на првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.

Сега горе лево „минус еден“, што одлично ни одговара. Кој сака да добие +1 може да изврши дополнително дејство: помножете ја првата линија со -1 (променете го неговиот знак).

2 чекор . Првиот ред помножен со 5 беше додаден на вториот ред. Првиот ред помножен со 3 беше додаден на третиот ред.

3 чекор . Првата линија беше помножена со -1, во принцип, ова е за убавина. Знакот на третата линија исто така беше променет и поместен на второто место, со што на вториот „чекор ја имавме посакуваната единица.

4 чекор . На третата линија, додадете ја втората линија, помножена со 2.

5 чекор . Третата линија е поделена со 3.

Знакот што укажува на грешка во пресметките (поретко печатна грешка) е „лоша“ крајна линија. Односно, ако добиеме нешто како (0 0 11 | 23) подолу, и, соодветно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, тогаш со висок степен на веројатност можеме да кажеме дека е направена грешка за време на основното трансформации.

Вршиме обратно движење, при дизајнирањето на примери, самиот систем честопати не се препишува, а равенките се „земени директно од дадената матрица“. Обратно движење, ве потсетувам, функционира „од дното нагоре“. Во овој пример, подарокот се покажа:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, затоа x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Одговори:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Да го решиме истиот систем користејќи го предложениот алгоритам. Добиваме

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Втората равенка поделете ја со 5, а третата со 3. Добиваме:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножете ја втората и третата равенка со 4, добиваме:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Одземете ја првата равенка од втората и третата равенка, имаме:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Поделете ја третата равенка со 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножете ја третата равенка со 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Одземете ја втората равенка од третата равенка, ја добиваме „зачекорената“ зголемена матрица:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Така, бидејќи грешка се акумулирала во процесот на пресметки, добиваме x 3 \u003d 0,96, или приближно 1.

x 2 \u003d 3 и x 1 \u003d -1.

Решавајќи се на овој начин, никогаш нема да се збуните во пресметките и, и покрај грешките во пресметката, ќе го добиете резултатот.

Овој метод на решавање на систем на линеарни алгебарски равенки е лесно програмабилен и не ги зема предвид специфичните карактеристики на коефициентите за непознати, бидејќи во пракса (во економските и техничките пресметки) треба да се работи со коефициенти кои не се цели броеви.

Ви посакувам успех! Се гледаме на час! Тутор.

blog.site, со целосно или делумно копирање на материјалот, потребна е врска до изворот.

Во овој напис, методот се разгледува како начин за решавање на системи на линеарни равенки (SLAE). Методот е аналитички, односно ви овозможува да напишете алгоритам за решение во општа форма, а потоа да ги замените вредностите од конкретни примери таму. За разлика од методот на матрица или формулите на Крамер, кога решавате систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус, можете да работите и со оние кои имаат бесконечно многу решенија. Или воопшто го немаат.

Што значи Гаус?

Прво треба да го запишете нашиот систем на равенки во Изгледа вака. Системот е земен:

Коефициентите се запишуваат во форма на табела, а десно во посебна колона - слободни членови. Колоната со слободни членови е одвоена заради погодност.Матрицата што ја вклучува оваа колона се нарекува проширена.

Понатаму, главната матрица со коефициенти мора да се сведе на горната триаголна форма. Ова е главната поента за решавање на системот со методот Гаус. Едноставно, по одредени манипулации, матрицата треба да изгледа вака, така што во нејзиниот долен лев дел има само нули:

Потоа, ако повторно ја напишете новата матрица како систем од равенки, ќе забележите дека последниот ред веќе ја содржи вредноста на еден од корените, кој потоа се заменува во равенката погоре, се наоѓа друг корен итн.

Ова е опис на решението со методот Гаус во најопшти термини. И што се случува ако одеднаш системот нема решение? Или има бесконечен број од нив? За да одговорите на овие и многу други прашања, неопходно е посебно да се разгледаат сите елементи што се користат во решението со методот Гаус.

Матрици, нивните својства

Нема скриено значење во матрицата. Тоа е само пригоден начин за снимање податоци за подоцнежни операции. Дури и учениците не треба да се плашат од нив.

Матрицата е секогаш правоаголна, бидејќи е поудобна. Дури и во методот на Гаус, каде што сè се сведува на изградба на триаголна матрица, во записот се појавува правоаголник, само со нули на местото каде што нема броеви. Нулите може да се изостават, но тие се имплицирани.

Матрицата има големина. Неговата „ширина“ е бројот на редови (m), неговата „должина“ е бројот на колони (n). Тогаш големината на матрицата A (за нивното означување обично се користат големи латински букви) ќе биде означена како A m×n . Ако m=n, тогаш оваа матрица е квадратна, а m=n е нејзиниот ред. Според тоа, секој елемент од матрицата А може да се означи со бројот на неговата редица и колона: a xy ; x - број на ред, промени , y - број на колона, промени .

Б не е главната поента на решението. Во принцип, сите операции може да се извршат директно со самите равенки, но ознаката ќе испадне многу посложена и ќе биде многу полесно да се збуни во неа.

Детерминанта

Матрицата има и детерминанта. Ова е многу важна карактеристика. Откривањето на неговото значење сега не вреди, можете едноставно да покажете како се пресметува, а потоа да кажете кои својства на матрицата ги одредува. Најлесен начин да се најде детерминантата е преку дијагонали. Во матрицата се нацртани имагинарни дијагонали; елементите лоцирани на секоја од нив се множат, а потоа се додаваат добиените производи: дијагонали со наклон надесно - со знак „плус“, со наклон налево - со знак „минус“.

Исклучително е важно да се забележи дека детерминантата може да се пресмета само за квадратна матрица. За правоаголна матрица, можете да го направите следново: изберете го најмалиот од бројот на редови и бројот на колони (нека биде k), а потоа по случаен избор означете k колони и k редови во матрицата. Елементите лоцирани на пресекот на избраните колони и редови ќе формираат нова квадратна матрица. Ако детерминантата на таквата матрица е број различен од нула, тогаш таа се нарекува основен минор на оригиналната правоаголна матрица.

Пред да продолжите со решавањето на системот на равенки со методот на Гаус, не боли да се пресмета детерминантата. Ако се покаже дека е нула, тогаш веднаш можеме да кажеме дека матрицата има или бесконечен број решенија, или воопшто нема. Во таков тажен случај, треба да одите понатаму и да дознаете за рангот на матрицата.

Системска класификација

Постои такво нешто како ранг на матрица. Ова е максималниот редослед на нејзината не-нулта детерминанта (сеќавајќи се на основната минор, можеме да кажеме дека рангот на матрицата е редоследот на основната мала).

Според тоа како стојат работите со рангот, SLAE може да се подели на:

• Заеднички. Нана заедничките системи, рангот на главната матрица (кое се состои само од коефициенти) се совпаѓа со рангот на продолжената (со колона од слободни членови). Ваквите системи имаат решение, но не мора едно, затоа, заедничките системи дополнително се поделени на:
• - одредени- има уникатно решение. Во одредени системи, рангот на матрицата и бројот на непознати (или бројот на колони, што е иста работа) се еднакви;
• - неопределено -со бесконечен број решенија. Рангот на матрици за такви системи е помал од бројот на непознати.
• Некомпатибилни. Натаквите системи, редовите на главните и проширените матрици не се совпаѓаат. Некомпатибилните системи немаат решение.

Гаусовиот метод е добар по тоа што овозможува да се добие или недвосмислен доказ за неконзистентноста на системот (без пресметување на детерминантите на големите матрици) или општо решение за систем со бесконечен број решенија за време на решението.

Елементарни трансформации

Пред да продолжите директно со решението на системот, можно е да се направи помалку незгоден и поудобен за пресметки. Тоа се постигнува преку елементарни трансформации - такви што нивната имплементација на ниту еден начин не го менува конечниот одговор. Треба да се напомене дека некои од горенаведените елементарни трансформации важат само за матрици, чиј извор беше токму SLAE. Еве список на овие трансформации:

1. Пермутација на низа. Очигледно е дека ако го промениме редоследот на равенките во системскиот запис, тогаш тоа нема да влијае на решението на кој било начин. Следствено, исто така е можно да се заменат редови во матрицата на овој систем, не заборавајќи, се разбира, на колоната на слободни членови.
2. Множење на сите елементи на низата со некој фактор. Многу корисно! Со него, можете да намалите големи броеви во матрицата или да отстраните нули. Множеството решенија, како и обично, нема да се промени и ќе стане попогодно да се вршат понатамошни операции. Главната работа е дека коефициентот не е еднаков на нула.
3. Избришете ги редовите со пропорционални коефициенти. Ова делумно произлегува од претходниот став. Ако два или повеќе редови во матрицата имаат пропорционални коефициенти, тогаш при множење / делење на една од редовите со коефициентот на пропорционалност, се добиваат два (или, повторно, повеќе) апсолутно идентични редови и можете да ги отстраните дополнителните, оставајќи само еден.
4. Отстранување на нултата линија. Ако во текот на трансформациите некаде се добие низа во која сите елементи, вклучувајќи го и слободниот член, се нула, тогаш таквата низа може да се нарече нула и да се исфрли од матрицата.
5. Додавање на елементите на еден ред на елементите на друг (во соодветните колони), помножени со одреден коефициент. Најнејасна и најважна трансформација од сите. Вреди да се задржиме на тоа подетално.

Додавање низа помножена со фактор

За полесно разбирање, вреди да се расклопи овој процес чекор по чекор. Два реда се земени од матрицата:

a 11 a 12 ... a 1n | б1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да претпоставиме дека треба да го додадете првиот на вториот, помножен со коефициентот "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Потоа во матрицата вториот ред се заменува со нов, а првиот останува непроменет.

a 11 a 12 ... a 1n | б1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Треба да се забележи дека факторот за множење може да се избере на таков начин што, како резултат на додавање на две низи, еден од елементите на новата низа е еднаков на нула. Затоа, можно е да се добие равенка во системот, каде што ќе има една непозната помалку. И ако добиете две такви равенки, тогаш операцијата може да се направи повторно и да се добие равенка која веќе ќе содржи две помалку непознати. И ако секој пат се свртиме на нула еден коефициент за сите редови што се пониски од оригиналниот, тогаш можеме, како чекори, да се спуштиме до самото дно на матрицата и да добиеме равенка со една непозната. Ова се нарекува решавање на системот со помош на Гаусовиот метод.

Генерално

Нека има систем. Има m равенки и n непознати корени. Можете да го запишете вака:

Главната матрица е составена од коефициентите на системот. Колона од слободни членови се додава во продолжената матрица и се одделува со лента за погодност.

• првиот ред од матрицата се множи со коефициентот k = (-a 21 / a 11);
• се додаваат првиот модифициран ред и вториот ред од матрицата;
• наместо вториот ред, резултатот од собирањето од претходниот став се вметнува во матрицата;
• сега првиот коефициент во новиот втор ред е 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се врши истата серија на трансформации, вклучени се само првиот и третиот ред. Според тоа, во секој чекор од алгоритмот, елементот a 21 се заменува со 31 . Потоа сè се повторува за 41, ... a m1. Резултатот е матрица каде што првиот елемент во редовите е еднаков на нула. Сега треба да заборавиме на линијата број еден и да го извршиме истиот алгоритам почнувајќи од втората линија:

• коефициент k \u003d (-a 32 / a 22);
• втората изменета линија се додава на линијата „тековна“;
• резултатот од додавањето е заменет во третата, четвртата и така натаму линии, додека првата и втората остануваат непроменети;
• во редовите на матрицата, првите два елементи се веќе еднакви на нула.

Алгоритмот мора да се повторува додека не се појави коефициентот k = (-a m,m-1 /a mm). Ова значи дека алгоритмот последен пат бил извршен само за долната равенка. Сега матрицата изгледа како триаголник или има скалеста форма. Крајната линија ја содржи еднаквоста a mn × x n = b m. Коефициентот и слободниот член се познати, а коренот се изразува преку нив: x n = b m /a mn. Добиениот корен се заменува во горниот ред за да се најде x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . И така натаму по аналогија: во секоја следна линија има нов корен и, откако ќе го достигнете „врвот“ на системот, можете да најдете многу решенија. Тоа ќе биде единствено.

Кога нема решенија

Ако во една од редовите на матрицата сите елементи, освен слободниот член, се еднакви на нула, тогаш равенката што одговара на овој ред изгледа како 0 = b. Нема решение. И бидејќи таквата равенка е вклучена во системот, тогаш множеството решенија на целиот систем е празно, односно е дегенерирано.

Кога има бесконечен број решенија

Може да испадне дека во намалената триаголна матрица нема редови со еден елемент - коефициентот на равенката, а еден - слободен член. Има само низи кои, кога ќе се препишат, би изгледале како равенка со две или повеќе променливи. Тоа значи дека системот има бесконечен број решенија. Во овој случај, одговорот може да се даде во форма на општо решение. Како да се направи тоа?

Сите променливи во матрицата се поделени на основни и слободни. Основни - тоа се оние што стојат „на работ“ на редовите во зачекорената матрица. Останатите се бесплатни. Во општото решение основните променливи се запишуваат во однос на слободните.

За погодност, матрицата прво се препишува назад во систем на равенки. Потоа во последната од нив, каде што остана точно само една основна променлива, таа останува на едната страна, а се друго се пренесува на другата. Ова се прави за секоја равенка со една основна променлива. Потоа, во останатите равенки, каде што е можно, наместо основната променлива, се заменува изразот добиен за неа. Ако, како резултат, повторно се појави израз кој содржи само една основна променлива, тој повторно се изразува од таму, и така натаму, додека секоја основна променлива не биде напишана како израз со слободни променливи. Ова е генералното решение на SLAE.

Можете исто така да го најдете основното решение на системот - дајте им на слободните променливи какви било вредности, а потоа за овој конкретен случај пресметајте ги вредностите на основните променливи. Има бесконечно многу конкретни решенија.

Решение со конкретни примери

Еве го системот на равенки.

За погодност, подобро е веднаш да се создаде нејзината матрица

Познато е дека при решавањето со методот на Гаус, равенката што одговара на првиот ред ќе остане непроменета на крајот од трансформациите. Затоа, ќе биде попрофитабилно ако горниот лев елемент на матрицата е најмал - тогаш првите елементи од преостанатите редови по операциите ќе се претворат во нула. Ова значи дека во составената матрица ќе биде поволно да се стави вториот на местото на првиот ред.

втор ред: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

трета линија: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Сега, за да не се мешаме, потребно е да се запише матрицата со средните резултати од трансформациите.

Очигледно е дека таквата матрица може да се направи попогодна за перцепција со помош на некои операции. На пример, можете да ги отстраните сите „минуси“ од втората линија со множење на секој елемент со „-1“.

Исто така, вреди да се напомене дека во третиот ред сите елементи се множители на три. Потоа можете да ја намалите низата со овој број, множејќи го секој елемент со "-1/3" (минус - истовремено за да ги отстраните негативните вредности).

Изгледа многу поубаво. Сега треба да ја оставиме на мира првата линија и да работиме со втората и третата. Задачата е да се додаде вториот ред на третиот ред, помножен со таков фактор што елементот a 32 станува еднаков на нула.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 дропки, и дури тогаш, кога ќе се добијат одговорите, одлучете дали да се заокружи и преведе во друга форма на нотација)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Матрицата повторно се пишува со нови вредности.

Како што можете да видите, добиената матрица веќе има скалеста форма. Затоа, не се потребни понатамошни трансформации на системот со методот на Гаус. Она што може да се направи овде е да се отстрани вкупниот коефициент „-1/7“ од третата линија.

Сега се е убаво. Поентата е мала - напишете ја матрицата повторно во форма на систем од равенки и пресметајте ги корените

x + 2y + 4z = 12(1)

7г + 11з = 24 (2)

Алгоритмот со кој сега ќе се најдат корените се нарекува обратно движење во методот на Гаус. Равенката (3) ја содржи вредноста на z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И првата равенка ви овозможува да најдете x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Имаме право да го наречеме таков систем заеднички, па дури и дефинитивно, односно да има единствено решение. Одговорот е напишан во следнава форма:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Пример за неопределен систем

Анализирана е варијантата на решавање на одреден систем со методот на Гаус, сега треба да се разгледа случајот ако системот е неопределен, односно за него може да се најдат бесконечно многу решенија.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самата форма на системот е веќе алармантна, бидејќи бројот на непознати е n = 5, а рангот на матрицата на системот е веќе точно помал од овој број, бидејќи бројот на редови е m = 4, т.е. најголемиот ред на квадратната детерминанта е 4. Тоа значи дека има бесконечен број решенија и потребно е да се бара нејзината општа форма. Гаусовиот метод за линеарни равенки овозможува да се направи ова.

Прво, како и обично, се составува зголемената матрица.

Втора линија: коефициент k = (-a 21 / a 11) = -3. Во третата линија, првиот елемент е пред трансформациите, така што не треба да допирате ништо, треба да го оставите како што е. Четврта линија: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Помножувајќи ги елементите од првиот ред со секој од нивните коефициенти по ред и додавајќи ги во саканите редови, добиваме матрица со следнава форма:

Како што можете да видите, вториот, третиот и четвртиот ред се состојат од елементи кои се пропорционални еден на друг. Втората и четвртата се генерално исти, така што едната од нив може веднаш да се отстрани, а остатокот да се помножи со коефициентот „-1“ и да се добие линијата број 3. И повторно, оставете една од двете идентични линии.

Испадна таква матрица. Системот сè уште не е запишан, тука е неопходно да се одредат основните променливи - стоејќи на коефициентите a 11 \u003d 1 и a 22 \u003d 1, а бесплатно - сите останати.

Втората равенка има само една основна променлива - x 2 . Оттука, може да се изрази од таму, пишувајќи преку променливите x 3 , x 4 , x 5 , кои се слободни.

Добиениот израз го заменуваме во првата равенка.

Се покажа равенка во која единствената основна променлива е x 1. Да го сториме истото со него како со x 2 .

Сите основни променливи, од кои има две, се изразени во однос на три слободни, сега можете да го напишете одговорот во општа форма.

Можете исто така да наведете едно од конкретните решенија на системот. За такви случаи, по правило, нулите се избираат како вредности за слободните променливи. Тогаш одговорот ќе биде:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за некомпатибилен систем

Најбрзо е решението на неконзистентни системи на равенки со методот на Гаус. Завршува штом во една од фазите се добие равенка која нема решение. Односно, фазата со пресметка на корените, која е прилично долга и мрачна, исчезнува. Се разгледува следниов систем:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Како и обично, матрицата е составена:

И се сведува на скалеста форма:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

По првата трансформација, третата линија содржи равенка на формата

немајќи решение. Затоа, системот е неконзистентен, а одговорот е празното множество.

Предности и недостатоци на методот

Ако изберете кој метод да го решите SLAE на хартија со пенкало, тогаш методот што беше разгледан во оваа статија изгледа најпривлечен. Во елементарните трансформации, многу е потешко да се збуни отколку што се случува ако треба рачно да ја барате детерминантата или некоја незгодна инверзна матрица. Меѓутоа, ако користите програми за работа со податоци од овој тип, на пример, табеларни пресметки, тогаш излегува дека таквите програми веќе содржат алгоритми за пресметување на главните параметри на матриците - детерминанта, мали, инверзни итн. И ако сте сигурни дека машината сама ќе ги пресмета овие вредности и нема да направи грешка, поцелисходно е да се користи методот на матрица или формулите на Крамер, бидејќи нивната примена започнува и завршува со пресметка на детерминанти и инверзни матрици.

Апликација

Бидејќи Гаусовото решение е алгоритам, а матрицата е, всушност, дводимензионална низа, може да се користи во програмирањето. Но, бидејќи статијата се позиционира како водич „за кукли“, треба да се каже дека најлесно место за ставање на методот се табелите, на пример, Excel. Повторно, секој SLAE внесен во табела во форма на матрица ќе се смета од Excel како дводимензионална низа. А за операции со нив, има многу убави команди: собирање (можете само да додавате матрици со иста големина!), Множење со број, множење на матрицата (исто така со одредени ограничувања), наоѓање на инверзните и транспонираните матрици и што е најважно , пресметувајќи ја детерминантата. Ако оваа задача која одзема многу време се замени со една команда, многу побрзо е да се одреди рангот на матрицата и, според тоа, да се утврди нејзината компатибилност или недоследност.