Paksi besar dan kecil elips. Ellipse: definisi, sifat, pembinaan
11.1. Konsep asas
Mari kita pertimbangkan garis yang ditakrifkan oleh persamaan darjah kedua berbanding dengan koordinat semasa
Pekali persamaan adalah nombor nyata, tetapi sekurang-kurangnya satu daripada nombor A, B, atau C adalah bukan sifar. Garisan sedemikian dipanggil garisan (lengkung) tertib kedua. Di bawah ini akan ditentukan bahawa persamaan (11.1) mentakrifkan bulatan, elips, hiperbola atau parabola pada satah. Sebelum beralih kepada pernyataan ini, mari kita kaji sifat-sifat lengkung yang disenaraikan.
11.2. Bulatan
Keluk tertib kedua yang paling mudah ialah bulatan. Ingat bahawa bulatan berjejari R dengan pusat pada satu titik ialah set semua titik M satah yang memenuhi syarat itu. Biarkan titik dalam sistem koordinat segi empat tepat mempunyai koordinat x 0, y 0 dan - titik arbitrari pada bulatan (lihat Rajah 48).
Kemudian dari keadaan kita memperoleh persamaan
(11.2)
Persamaan (11.2) berpuas hati dengan koordinat mana-mana titik pada bulatan tertentu dan tidak berpuas hati dengan koordinat mana-mana titik yang tidak terletak pada bulatan.
Persamaan (11.2) dipanggil persamaan kanonik bulatan
Khususnya, penetapan dan , kita memperoleh persamaan bulatan dengan pusat di tempat asal 
.
Persamaan bulatan (11.2) selepas penjelmaan mudah akan berbentuk . Apabila membandingkan persamaan ini dengan persamaan am (11.1) bagi lengkung tertib kedua, adalah mudah untuk melihat bahawa dua syarat dipenuhi untuk persamaan bulatan:
1) pekali untuk x 2 dan y 2 adalah sama antara satu sama lain;
2) tiada ahli yang mengandungi produk xy bagi koordinat semasa.
Mari kita pertimbangkan masalah songsang. Meletakkan nilai dan dalam persamaan (11.1), kita perolehi
Mari kita ubah persamaan ini:
(11.4)
Ia berikutan bahawa persamaan (11.3) mentakrifkan bulatan di bawah keadaan 
. Pusatnya adalah pada titik 
, dan jejari
.
Jika 
, maka persamaan (11.3) mempunyai bentuk
.
Ia berpuas hati dengan koordinat satu titik 
. Dalam kes ini mereka berkata: "bulatan telah merosot menjadi titik" (mempunyai jejari sifar).
Jika 
, maka persamaan (11.4), dan oleh itu persamaan setara (11.3), tidak akan mentakrifkan sebarang garis, kerana sebelah kanan persamaan (11.4) adalah negatif, dan sebelah kiri tidak negatif (katakan: "bulatan khayalan").
11.3. Ellipse
Persamaan elips kanonik
Ellipse ialah set semua titik satah, jumlah jarak dari setiap titik ke dua titik tertentu satah ini, dipanggil muslihat , ialah nilai malar yang lebih besar daripada jarak antara fokus.
Mari kita nyatakan fokus dengan F 1 Dan F 2, jarak antara mereka ialah 2 c, dan jumlah jarak dari titik arbitrari elips ke fokus - dalam 2 a(lihat Rajah 49). Mengikut definisi 2 a > 2c, iaitu a
> c.
Untuk mendapatkan persamaan elips, kita memilih sistem koordinat supaya fokus F 1 Dan F 2 terletak pada paksi, dan asalnya bertepatan dengan bahagian tengah segmen F 1 F 2. Kemudian fokus akan mempunyai koordinat berikut: dan .
Biarkan menjadi titik arbitrari elips. Kemudian, mengikut definisi elips, i.e.
Ini, pada dasarnya, adalah persamaan elips.
Mari kita tukar persamaan (11.5) kepada bentuk yang lebih mudah seperti berikut:
Kerana a>Dengan, Itu . Mari letak
(11.6)
Kemudian persamaan terakhir akan mengambil bentuk atau
(11.7)
Dapat dibuktikan bahawa persamaan (11.7) adalah bersamaan dengan persamaan asal. Ia dipanggil persamaan elips kanonik .
Elips ialah lengkung tertib kedua.
Mengkaji bentuk elips menggunakan persamaannya
Mari kita wujudkan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya.
1. Persamaan (11.7) mengandungi x dan y hanya dalam kuasa genap, jadi jika titik tergolong dalam elips, maka titik ,, juga tergolong dalam ia. Ia berikutan bahawa elips adalah simetri berkenaan dengan dan paksi, serta berkenaan dengan titik, yang dipanggil pusat elips.
2. Cari titik persilangan elips dengan paksi koordinat. Meletakkan , kita dapati dua titik dan , di mana paksi bersilang dengan elips (lihat Rajah 50). Meletakkan persamaan (11.7), kita dapati titik persilangan elips dengan paksi: dan . mata A 1 ,
A 2 , B 1, B 2 dipanggil bucu elips. Segmen A 1 A 2 Dan B 1 B 2, serta panjangnya 2 a dan 2 b dipanggil sewajarnya paksi besar dan kecil elips. Nombor a Dan b dipanggil besar dan kecil masing-masing aci gandar elips.
3. Daripada persamaan (11.7) ia mengikuti bahawa setiap sebutan di sebelah kiri tidak melebihi satu, i.e. ketidaksamaan dan atau dan berlaku. Akibatnya, semua titik elips terletak di dalam segi empat tepat yang dibentuk oleh garis lurus.
4. Dalam persamaan (11.7), hasil tambah sebutan bukan negatif dan sama dengan satu. Akibatnya, apabila satu istilah bertambah, satu lagi akan berkurangan, iaitu jika bertambah, ia berkurangan dan sebaliknya.
Daripada perkara di atas, elips mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 50 (lengkung tertutup bujur).
Maklumat lanjut tentang elips
Bentuk elips bergantung kepada nisbah. Apabila elips bertukar menjadi bulatan, persamaan elips (11.7) mengambil bentuk . Nisbah sering digunakan untuk mencirikan bentuk elips. Nisbah separuh jarak antara fokus kepada paksi separuh utama elips dipanggil kesipian elips dan o6o dilambangkan dengan huruf ε (“epsilon”):
dengan 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
Ini menunjukkan bahawa lebih kecil kesipian elips, semakin kurang rata elips itu; jika kita tetapkan ε = 0, maka elips bertukar menjadi bulatan.
Biarkan M(x;y) ialah titik arbitrari bagi elips dengan fokus F 1 dan F 2 (lihat Rajah 51). Panjang segmen F 1 M = r 1 dan F 2 M = r 2 dipanggil jejari fokus titik M. Jelas sekali,
Rumusnya ada
Talian terus dipanggil
Teorem 11.1. Jika jarak dari titik arbitrari elips ke beberapa fokus, d ialah jarak dari titik yang sama ke directrix yang sepadan dengan fokus ini, maka nisbahnya ialah nilai malar bersamaan dengan kesipian elips:
Daripada kesamarataan (11.6) ia mengikuti bahawa . Jika, maka persamaan (11.7) mentakrifkan elips, paksi utamanya terletak pada paksi Oy, dan paksi kecil pada paksi Lembu (lihat Rajah 52). Fokus elips sedemikian adalah pada titik dan , di mana 
.
11.4. Hiperbola
Persamaan hiperbola kanonik
Hiperbola ialah set semua titik satah, modulus perbezaan jarak dari setiap titik ke dua titik tertentu satah ini, dipanggil muslihat , ialah nilai malar kurang daripada jarak antara fokus.
Mari kita nyatakan fokus dengan F 1 Dan F 2 jarak antara mereka adalah 2s, dan modulus perbezaan jarak dari setiap titik hiperbola ke fokus melalui 2a. A-priory 2a < 2s, iaitu a < c.
Untuk mendapatkan persamaan hiperbola, kita memilih sistem koordinat supaya fokus F 1 Dan F 2 terletak pada paksi, dan asalnya bertepatan dengan bahagian tengah segmen F 1 F 2(lihat Rajah 53). Kemudian fokus akan mempunyai koordinat dan
Biarkan menjadi titik sewenang-wenangnya hiperbola. Kemudian, mengikut definisi hiperbola 
atau , iaitu Selepas penyederhanaan, seperti yang dilakukan semasa memperoleh persamaan elips, kita memperoleh
persamaan hiperbola kanonik
(11.9)
(11.10)
Hiperbola ialah baris tertib kedua.
Mengkaji bentuk hiperbola menggunakan persamaannya
Mari kita wujudkan bentuk hiperbola menggunakan persamaan kakonikalnya.
1. Persamaan (11.9) mengandungi x dan y hanya dalam kuasa genap. Akibatnya, hiperbola adalah simetri tentang paksi dan , serta tentang titik, yang dipanggil pusat hiperbola.
2. Cari titik persilangan hiperbola dengan paksi koordinat. Meletakkan persamaan (11.9), kita dapati dua titik persilangan hiperbola dengan paksi: dan. Memasukkan (11.9), kita dapat , yang tidak boleh. Oleh itu, hiperbola tidak bersilang dengan paksi Oy.
Titik dipanggil puncak hiperbola, dan segmen
paksi sebenar , segmen baris - separuh paksi sebenar hiperbola.
Segmen yang menghubungkan titik dipanggil paksi khayalan , nombor b - separuh paksi khayalan . Segi empat tepat dengan sisi 2a Dan 2b dipanggil segi empat tepat hiperbola .
3. Daripada persamaan (11.9) ia mengikuti bahawa minuend tidak kurang daripada satu, iaitu, bahawa atau . Ini bermakna titik hiperbola terletak di sebelah kanan garisan (cawangan kanan hiperbola) dan di sebelah kiri garisan (cawangan kiri hiperbola).
4. Daripada persamaan (11.9) hiperbola adalah jelas bahawa apabila ia meningkat, ia meningkat. Ini berikutan fakta bahawa perbezaan mengekalkan nilai malar sama dengan satu.
Daripada perkara di atas, hiperbola mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah 54 (lengkung yang terdiri daripada dua cabang tidak terhad).
Asimtot hiperbola
Garis lurus L dipanggil asymptot 
lengkung tak terbatas K, jika jarak d dari titik M lengkung K ke garis lurus ini cenderung kepada sifar apabila jarak titik M sepanjang lengkung K dari asalan adalah tidak terhad. Rajah 55 memberikan ilustrasi konsep asimtot: garis lurus L ialah asimtot untuk lengkung K.
Mari kita tunjukkan bahawa hiperbola mempunyai dua asimtot:
(11.11)
Oleh kerana garis lurus (11.11) dan hiperbola (11.9) adalah simetri berkenaan dengan paksi koordinat, adalah memadai untuk mempertimbangkan hanya titik-titik garis yang ditunjukkan yang terletak pada suku pertama.
Mari kita ambil titik N pada garis lurus yang mempunyai absis x yang sama dengan titik pada hiperbola 
(lihat Rajah 56), dan cari perbezaan ΜΝ antara ordinat garis lurus dan cabang hiperbola:
Seperti yang anda lihat, apabila x bertambah, penyebut pecahan bertambah; pengangka ialah nilai tetap. Oleh itu, panjang segmen 
ΜΝ cenderung kepada sifar. Oleh kerana MΝ lebih besar daripada jarak d dari titik M ke garis, maka d cenderung kepada sifar. Jadi, garisan adalah asimtot bagi hiperbola (11.9).
Apabila membina hiperbola (11.9), adalah dinasihatkan untuk membina segi empat tepat utama hiperbola terlebih dahulu (lihat Rajah 57), lukis garis lurus yang melalui bucu bertentangan bagi segi empat tepat ini - asimtot hiperbola dan tandakan bucu dan , daripada hiperbola.
Persamaan hiperbola sama sisi.
asimtotnya ialah paksi koordinat
Hiperbola (11.9) dipanggil sama sisi jika separuh paksinya sama dengan (). Persamaan kanoniknya
(11.12)
Asimtot hiperbola sama sisi mempunyai persamaan dan, oleh itu, adalah pembahagi dua sudut koordinat.
Mari kita pertimbangkan persamaan hiperbola ini dalam sistem koordinat baharu (lihat Rajah 58), yang diperoleh daripada yang lama dengan memutarkan paksi koordinat mengikut sudut. Kami menggunakan formula untuk memutar paksi koordinat:
Kami menggantikan nilai x dan y ke dalam persamaan (11.12):
Persamaan hiperbola sama sisi, yang mana paksi Lembu dan Oy adalah asimtot, akan mempunyai bentuk .
Maklumat lanjut tentang hiperbola
Sipi hiperbola (11.9) ialah nisbah jarak antara fokus kepada nilai paksi sebenar hiperbola, dilambangkan dengan ε:
Oleh kerana untuk hiperbola , kesipian hiperbola adalah lebih besar daripada satu: . Sipi mencirikan bentuk hiperbola. Sesungguhnya, daripada kesamarataan (11.10) ia mengikuti bahawa i.e. Dan 
.
Daripada ini dapat dilihat bahawa semakin kecil kesipian hiperbola, semakin kecil nisbah separuh paksinya, dan oleh itu semakin memanjang segi empat tepat utamanya.
Sipi bagi hiperbola sama sisi ialah . sungguh,
Jejari fokus 
Dan 
untuk titik cabang kanan hiperbola mempunyai bentuk dan , dan untuk cabang kiri - 
Dan 
.
Garis langsung dipanggil directtrixes hiperbola. Oleh kerana untuk hiperbola ε > 1, maka . Ini bermakna bahawa directrix kanan terletak di antara pusat dan bucu kanan hiperbola, kiri - antara pusat dan bucu kiri.
Direktriks hiperbola mempunyai sifat yang sama dengan direktriks elips.
Lengkung yang ditakrifkan oleh persamaan juga ialah hiperbola, paksi nyata 2b daripadanya terletak pada paksi Oy, dan paksi khayalan 2 a- pada paksi Lembu. Dalam Rajah 59 ia ditunjukkan sebagai garis putus-putus.
Adalah jelas bahawa hiperbola mempunyai asimtot biasa. Hiperbola sedemikian dipanggil konjugat.
11.5. Parabola
Persamaan parabola kanonik
Parabola ialah set semua titik satah, setiap satunya adalah sama jauh dari titik tertentu, dipanggil fokus, dan garis tertentu, dipanggil directrix. Jarak dari fokus F ke directrix dipanggil parameter parabola dan dilambangkan dengan p (p > 0).
Untuk mendapatkan persamaan parabola, kita memilih sistem koordinat Oxy supaya paksi Ox melalui fokus F berserenjang dengan directrix dalam arah dari directrix ke F, dan asal koordinat O terletak di tengah-tengah antara fokus dan arahan (lihat Rajah 60). Dalam sistem yang dipilih, fokus F mempunyai koordinat , dan persamaan directrix mempunyai bentuk , atau .
1. Dalam persamaan (11.13) pembolehubah y muncul dalam darjah genap, yang bermaksud bahawa parabola adalah simetri mengenai paksi Lembu; Paksi Lembu ialah paksi simetri parabola.
2. Oleh kerana ρ > 0, ia mengikuti daripada (11.13) bahawa . Akibatnya, parabola terletak di sebelah kanan paksi Oy.
3. Apabila kita mempunyai y = 0. Oleh itu, parabola melalui asalan.
4. Apabila x bertambah selama-lamanya, modul y juga bertambah selama-lamanya. Parabola mempunyai bentuk (bentuk) yang ditunjukkan dalam Rajah 61. Titik O(0; 0) dipanggil bucu parabola, segmen FM = r dipanggil jejari fokus titik M.
Persamaan , , ( p>0) juga mentakrifkan parabola, ia ditunjukkan dalam Rajah 62
Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa graf bagi trinomial kuadratik, di mana , B dan C ialah sebarang nombor nyata, ialah parabola dalam erti kata takrifannya yang diberikan di atas.
11.6. Persamaan am garis tertib kedua
Persamaan lengkung tertib kedua dengan paksi simetri selari dengan paksi koordinat
Mari kita cari dahulu persamaan elips dengan pusat pada titik itu, paksi simetrinya selari dengan paksi koordinat Ox dan Oy dan separuh paksi masing-masing sama. a Dan b. Mari kita letakkan di tengah elips O 1 permulaan sistem koordinat baharu, yang paksi dan separa paksinya a Dan b(lihat Rajah 64):
Akhir sekali, parabola yang ditunjukkan dalam Rajah 65 mempunyai persamaan yang sepadan.
Persamaan
Persamaan elips, hiperbola, parabola dan persamaan bulatan selepas penjelmaan (kurung buka, alihkan semua sebutan persamaan ke satu sisi, bawa sebutan serupa, perkenalkan tatatanda baharu untuk pekali) boleh ditulis menggunakan persamaan tunggal bagi bentuk
di mana pekali A dan C tidak sama dengan sifar pada masa yang sama.
Timbul persoalan: adakah setiap persamaan bentuk (11.14) menentukan salah satu lengkung (bulatan, elips, hiperbola, parabola) bagi susunan kedua? Jawapannya diberikan oleh teorem berikut.
Teorem 11.2. Persamaan (11.14) sentiasa mentakrifkan: sama ada bulatan (untuk A = C), atau elips (untuk A C > 0), atau hiperbola (untuk A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Persamaan tertib kedua am
Sekarang mari kita pertimbangkan persamaan umum darjah kedua dengan dua yang tidak diketahui:
Ia berbeza daripada persamaan (11.14) dengan kehadiran sebutan dengan hasil darab koordinat (B¹ 0). Adalah mungkin, dengan memutarkan paksi koordinat dengan sudut a, untuk mengubah persamaan ini supaya sebutan dengan hasil darab koordinat tiada.
Menggunakan formula putaran paksi
Mari kita nyatakan koordinat lama dari segi yang baru:
Mari kita pilih sudut a supaya pekali untuk x" · y" menjadi sifar, iaitu, supaya kesamaan
Oleh itu, apabila paksi diputarkan oleh sudut a yang memenuhi syarat (11.17), persamaan (11.15) dikurangkan kepada persamaan (11.14).
Kesimpulan: persamaan tertib kedua am (11.15) mentakrifkan pada satah (kecuali untuk kes degenerasi dan pereputan) lengkung berikut: bulatan, elips, hiperbola, parabola.
Nota: Jika A = C, maka persamaan (11.17) menjadi tidak bermakna. Dalam kes ini, cos2α = 0 (lihat (11.16)), kemudian 2α = 90°, iaitu α = 45°. Jadi, apabila A = C, sistem koordinat harus diputar sebanyak 45°.
Kuliah tentang algebra dan geometri. Semester 1.
Kuliah 15. Ellipse.
Bab 15. Ellipse.
fasal 1. Definisi asas.
Definisi. Elips ialah GMT bagi satah, jumlah jarak ke dua titik tetap satah, dipanggil fokus, ialah nilai malar.
Definisi. Jarak dari titik arbitrari M satah ke fokus elips dipanggil jejari fokus titik M.
Jawatan: 
- fokus elips, 
– jejari fokus titik M.
Mengikut definisi elips, titik M ialah titik elips jika dan hanya jika 
– nilai tetap. Pemalar ini biasanya dilambangkan sebagai 2a:
.
(1)
perasan, itu 
.
Mengikut definisi elips, fokusnya ialah titik tetap, jadi jarak antara mereka juga merupakan nilai malar untuk elips tertentu.
Definisi. Jarak antara fokus elips dipanggil panjang fokus.
Jawatan: 
.
Dari segi tiga 
mengikuti itu 
, iaitu
.
Mari kita nyatakan dengan b nombor yang sama dengan 
, iaitu
.
(2)
Definisi. Sikap
(3)
dipanggil kesipian elips.
Mari kita perkenalkan sistem koordinat pada satah ini, yang akan kita panggil kanonik untuk elips.
Definisi. Paksi di mana fokus elips terletak dipanggil paksi fokus.
Mari kita bina PDSC kanonik untuk elips, lihat Rajah 2.
Kami memilih paksi fokus sebagai paksi absis, dan lukis paksi ordinat melalui tengah segmen 
berserenjang dengan paksi fokus.
Kemudian fokus mempunyai koordinat 
,
.
fasal 2. Persamaan kanonik bagi elips.
Teorem. Dalam sistem koordinat kanonik untuk elips, persamaan elips mempunyai bentuk:
.
(4)
Bukti. Kami melaksanakan pembuktian dalam dua peringkat. Pada peringkat pertama, kita akan membuktikan bahawa koordinat mana-mana titik yang terletak pada elips memenuhi persamaan (4). Pada peringkat kedua kita akan membuktikan bahawa sebarang penyelesaian kepada persamaan (4) memberikan koordinat titik yang terletak pada elips. Dari sini ia akan mengikuti bahawa persamaan (4) dipenuhi oleh mereka dan hanya titik-titik satah koordinat yang terletak pada elips. Daripada ini dan daripada takrifan persamaan lengkung ia akan mengikuti bahawa persamaan (4) ialah persamaan elips.
1) Biarkan titik M(x, y) menjadi titik elips, i.e. jumlah jejari fokusnya ialah 2a:
.
Mari kita gunakan formula untuk jarak antara dua titik pada satah koordinat dan gunakan formula ini untuk mencari jejari fokus bagi titik M tertentu:
,
, dari mana kita dapat:
Mari kita alihkan satu punca ke sebelah kanan kesamaan dan kuasa duakannya:
Mengurangkan, kita mendapat:
Kami membentangkan yang serupa, kurangkan sebanyak 4 dan keluarkan radikal:
.
Kuadrat
Buka kurungan dan pendekkan dengan 
:
di mana kita dapat:
Menggunakan kesamaan (2), kita memperoleh:
.
Membahagikan persamaan terakhir dengan 
, kita memperoleh kesamarataan (4), dsb.
2) Biarkan sekarang sepasang nombor (x, y) memenuhi persamaan (4) dan biarkan M(x, y) ialah titik sepadan pada satah koordinat Oxy.
Kemudian daripada (4) ia berikut:
.
Kami menggantikan kesamaan ini ke dalam ungkapan untuk jejari fokus titik M:
.
Di sini kami menggunakan kesamaan (2) dan (3).
Oleh itu, 
. Begitu juga, 
.
Sekarang ambil perhatian bahawa dari kesamarataan (4) ia mengikutinya
atau 
dan lain-lain. 
, maka ketidaksamaan berikut:
.
Dari sini ia mengikuti, seterusnya, itu
atau 
Dan
,
.
(5)
Daripada kesamaan (5) ia mengikutinya 
, iaitu titik M(x, y) ialah titik elips, dsb.
Teorem telah terbukti.
Definisi. Persamaan (4) dipanggil persamaan kanonik bagi elips.
Definisi. Paksi koordinat kanonik untuk elips dipanggil paksi utama elips.
Definisi. Asal sistem koordinat kanonik untuk elips dipanggil pusat elips.
fasal 3. Sifat elips.
Teorem. (Sifat elips.)
1. Dalam sistem koordinat kanonik untuk elips, semuanya
titik elips berada dalam segi empat tepat
,
.
2. Mata terletak pada
3. Elips ialah lengkung yang simetri berkenaan dengan
paksi utama mereka.
4. Pusat elips ialah pusat simetrinya.
Bukti. 1, 2) Serta-merta mengikuti daripada persamaan kanonik elips.
3, 4) Biarkan M(x, y) ialah titik arbitrari bagi elips. Kemudian koordinatnya memenuhi persamaan (4). Tetapi kemudian koordinat titik-titik juga memenuhi persamaan (4), dan, oleh itu, adalah titik elips, dari mana pernyataan teorem mengikuti.
Teorem telah terbukti.
Definisi. Kuantiti 2a dipanggil paksi utama elips, kuantiti a dipanggil paksi separuh utama elips.
Definisi. Kuantiti 2b dipanggil paksi kecil elips, kuantiti b dipanggil paksi semiminor elips.
Definisi. Titik persilangan elips dengan paksi utamanya dipanggil bucu elips.
Komen. Elips boleh dibina seperti berikut. Di atas kapal terbang, kami "memalu paku ke titik fokus" dan mengikat panjang benang pada mereka 
. Kemudian kami mengambil pensil dan menggunakannya untuk mengetatkan benang. Kemudian kami menggerakkan pensel di sepanjang pesawat, memastikan bahawa benang itu tegang.
Daripada takrifan kesipian ia mengikutinya
Mari kita betulkan nombor a dan halakan nombor c kepada sifar. Kemudian pada 
,
Dan 
. Dalam had yang kita dapat
atau 
– persamaan bulatan.
Mari kita sekarang mengarahkan 
. Kemudian 
,
dan kita melihat bahawa dalam had elips merosot menjadi segmen garis lurus 
dalam tatatanda Rajah 3.
fasal 4. Persamaan parametrik elips.
Teorem. biarlah 
– nombor nyata arbitrari. Kemudian sistem persamaan
,
(6)
ialah persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik untuk elips.
Bukti. Ia cukup untuk membuktikan bahawa sistem persamaan (6) adalah bersamaan dengan persamaan (4), i.e. mereka mempunyai set penyelesaian yang sama.
1) Biarkan (x, y) menjadi penyelesaian arbitrari kepada sistem (6). Bahagikan persamaan pertama dengan a, kedua dengan b, kuasa duakan kedua-dua persamaan dan tambah:
.
Itu. sebarang penyelesaian (x, y) sistem (6) memenuhi persamaan (4).
2) Sebaliknya, biarkan pasangan (x, y) menjadi penyelesaian kepada persamaan (4), i.e.
.
Daripada kesamaan ini ia mengikuti bahawa titik dengan koordinat 
terletak pada bulatan jejari unit dengan pusat di tempat asal, i.e. ialah titik pada bulatan trigonometri yang sepadan dengan sudut tertentu 
:
Daripada takrif sinus dan kosinus ia serta-merta mengikutinya
,
, Di mana 
, dari mana ia mengikuti bahawa pasangan (x, y) ialah penyelesaian kepada sistem (6), dsb.
Teorem telah terbukti.
Komen. Elips boleh diperolehi hasil daripada "mampatan" seragam bulatan jejari a ke arah paksi absis.
biarlah 
– persamaan bulatan dengan pusat di tempat asal. "Mampatan" bulatan ke paksi absis tidak lebih daripada transformasi satah koordinat, yang dijalankan mengikut peraturan berikut. Untuk setiap titik M(x, y) kita mengaitkan satu titik pada satah yang sama 
, Di mana 
,
– nisbah mampatan.
Dengan transformasi ini, setiap titik pada bulatan "peralihan" ke titik lain pada satah, yang mempunyai absis yang sama, tetapi ordinat yang lebih kecil. Mari kita nyatakan ordinat lama suatu titik melalui yang baharu:
dan gantikan bulatan ke dalam persamaan:
.
Dari sini kita dapat:
.
(7)
Ia berikutan daripada ini bahawa jika sebelum transformasi "mampatan" titik M(x, y) terletak pada bulatan, i.e. koordinatnya memenuhi persamaan bulatan, kemudian selepas transformasi "mampatan" titik ini "berubah" menjadi titik 
, yang koordinatnya memenuhi persamaan elips (7). Jika kita ingin mendapatkan persamaan elips dengan paksi semiminorb, maka kita perlu mengambil faktor mampatan
.
fasal 5. Tangen kepada elips.
Teorem. biarlah 
– titik sewenang-wenangnya elips
.
Kemudian persamaan tangen kepada elips ini pada titik 
mempunyai bentuk:
.
(8)
Bukti. Adalah cukup untuk mempertimbangkan kes apabila titik tangen terletak pada suku pertama atau kedua satah koordinat: 
. Persamaan elips pada separuh satah atas mempunyai bentuk:
.
(9)
Mari kita gunakan persamaan tangen kepada graf fungsi 
pada titik 
:
di mana 
– nilai terbitan bagi fungsi tertentu pada satu titik 
. Elips pada suku pertama boleh dianggap sebagai graf fungsi (8). Mari cari terbitannya dan nilainya pada titik tangen:
,
. Di sini kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa titik tangen 
ialah titik elips dan oleh itu koordinatnya memenuhi persamaan elips (9), i.e.
.
Kami menggantikan nilai terbitan yang ditemui ke dalam persamaan tangen (10):
,
di mana kita dapat:
Ini bermakna:
Mari bahagikan kesaksamaan ini dengan 
:
.
Ia kekal untuk mengambil perhatian bahawa 
, kerana titik 
tergolong dalam elips dan koordinatnya memenuhi persamaannya.
Persamaan tangen (8) dibuktikan dengan cara yang sama pada titik tangen terletak pada suku ketiga atau keempat satah koordinat.
Dan akhirnya, kita boleh dengan mudah mengesahkan bahawa persamaan (8) memberikan persamaan tangen pada titik 
,
:
atau 
, Dan 
atau 
.
Teorem telah terbukti.
fasal 6. Sifat cermin elips.
Teorem. Tangen kepada elips mempunyai sudut yang sama dengan jejari fokus titik tangen.
biarlah 
- titik hubungan, 
,
– jejari fokus titik tangen, P dan Q – unjuran fokus pada tangen yang dilukis ke elips pada titik itu 
.
Teorem menyatakan bahawa
.
(11)
Kesamaan ini boleh ditafsirkan sebagai kesamaan sudut tuju dan pantulan sinar cahaya daripada elips yang dilepaskan daripada fokusnya. Sifat ini dipanggil sifat cermin elips:
Sinar cahaya yang dilepaskan dari fokus elips, selepas pantulan dari cermin elips, melalui satu lagi fokus elips.
Bukti teorem. Untuk membuktikan kesamaan sudut (11), kami membuktikan kesamaan segi tiga 
Dan 
, di mana pihak 
Dan 
akan serupa. Oleh kerana segi tiga bersudut tepat, ia sudah cukup untuk membuktikan kesamaan
Definisi 7.1. Set semua titik pada satah yang jumlah jarak ke dua titik tetap F 1 dan F 2 adalah nilai tetap yang diberikan dipanggil elips.
Takrifan elips memberikan kaedah pembinaan geometrinya yang berikut. Kami menetapkan dua titik F 1 dan F 2 pada satah, dan menandakan nilai pemalar bukan negatif sebanyak 2a. Biarkan jarak antara titik F 1 dan F 2 ialah 2c. Mari kita bayangkan bahawa benang yang tidak dapat dipanjangkan dengan panjang 2a ditetapkan pada titik F 1 dan F 2, sebagai contoh, menggunakan dua jarum. Adalah jelas bahawa ini hanya boleh dilakukan untuk ≥ c. Setelah menarik benang dengan pensil, lukiskan garisan, yang akan menjadi elips (Rajah 7.1).
Jadi, set yang diterangkan tidak kosong jika a ≥ c. Apabila a = c, elips ialah segmen dengan hujung F 1 dan F 2, dan apabila c = 0, i.e. Jika titik tetap yang dinyatakan dalam definisi elips bertepatan, ia adalah bulatan jejari a. Membuang kes yang merosot ini, kami selanjutnya akan menganggap, sebagai peraturan, bahawa a > c > 0.
Titik tetap F 1 dan F 2 dalam definisi 7.1 elips (lihat Rajah 7.1) dipanggil fokus elips, jarak antara mereka, ditunjukkan oleh 2c, - Panjang fokus, dan segmen F 1 M dan F 2 M yang menghubungkan titik sewenang-wenangnya M pada elips dengan fokusnya ialah jejari fokus.
Bentuk elips ditentukan sepenuhnya oleh jarak fokus |F 1 F 2 | = 2c dan parameter a, dan kedudukannya pada satah - sepasang titik F 1 dan F 2.
Daripada takrifan elips, ia mengikuti bahawa ia adalah simetri berkenaan dengan garisan yang melalui fokus F 1 dan F 2, serta berkenaan dengan garis yang membahagikan segmen F 1 F 2 pada separuh dan berserenjang dengannya (Gamb. 7.2, a). Garisan ini dipanggil paksi elips. Titik O persilangan mereka ialah pusat simetri elips, dan ia dipanggil pusat elips, dan titik persilangan elips dengan paksi simetri (titik A, B, C dan D dalam Rajah 7.2, a) - bucu elips.
Nombor a dipanggil paksi semimajor elips, dan b = √(a 2 - c 2) - its paksi kecil. Adalah mudah untuk melihat bahawa untuk c > 0, paksi separuh utama a adalah sama dengan jarak dari pusat elips ke bucunya yang berada pada paksi yang sama dengan fokus elips (bucu A dan B dalam Rajah 7.2, a), dan paksi separuh kecil b adalah sama dengan jarak dari elips pusat ke dua bucunya yang lain (bucu C dan D dalam Rajah 7.2, a).
Persamaan elips. Mari kita pertimbangkan beberapa elips pada satah dengan fokus pada titik F 1 dan F 2, paksi utama 2a. Biarkan 2c ialah panjang fokus, 2c = |F 1 F 2 |
Marilah kita memilih sistem koordinat segi empat tepat Oxy pada satah supaya asalnya bertepatan dengan pusat elips, dan fokusnya berada pada paksi-x(Rajah 7.2, b). Sistem koordinat sedemikian dipanggil berkanun untuk elips yang dimaksudkan, dan pembolehubah yang sepadan ialah berkanun.
Dalam sistem koordinat yang dipilih, fokus mempunyai koordinat F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Menggunakan formula untuk jarak antara titik, kita tulis keadaan |F 1 M| + |F 2 M| = 2a dalam koordinat:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Persamaan ini menyusahkan kerana ia mengandungi dua radikal persegi. Jadi mari kita mengubahnya. Mari kita gerakkan radikal kedua dalam persamaan (7.2) ke sebelah kanan dan kuasa duakannya:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Selepas membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa, kita dapat
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
di mana ε = c/a. Kami mengulangi operasi kuasa dua untuk mengeluarkan radikal kedua: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, atau, dengan mengambil kira nilai parameter yang dimasukkan ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Oleh kerana a 2 - c 2 = b 2 > 0, maka
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Persamaan (7.4) dipenuhi dengan koordinat semua titik yang terletak pada elips. Tetapi apabila memperoleh persamaan ini, transformasi tidak setara bagi persamaan asal (7.2) telah digunakan - dua kuasa dua yang menghilangkan radikal segi empat sama. Mengkuadratkan persamaan ialah penjelmaan setara jika kedua-dua belah mempunyai kuantiti dengan tanda yang sama, tetapi kami tidak menyemak ini dalam penjelmaan kami.
Kita boleh mengelak daripada menyemak kesetaraan transformasi jika kita mengambil kira perkara berikut. Sepasang mata F 1 dan F 2, |F 1 F 2 | = 2c, pada satah mentakrifkan satu keluarga elips dengan fokus pada titik-titik ini. Setiap titik satah, kecuali titik-titik segmen F 1 F 2, tergolong dalam beberapa elips keluarga yang ditunjukkan. Dalam kes ini, tiada dua elips bersilang, kerana jumlah jejari fokus secara unik menentukan elips tertentu. Jadi, keluarga elips yang diterangkan tanpa persimpangan meliputi seluruh satah, kecuali titik-titik segmen F 1 F 2. Mari kita pertimbangkan satu set titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (7.4) dengan nilai parameter a yang diberikan. Bolehkah set ini diedarkan di antara beberapa elips? Beberapa titik set tergolong dalam elips dengan paksi semimajor a. Biarkan terdapat satu titik dalam set ini terletak pada elips dengan paksi semimajor a. Kemudian koordinat titik ini mematuhi persamaan
mereka. persamaan (7.4) dan (7.5) mempunyai penyelesaian sepunya. Walau bagaimanapun, adalah mudah untuk mengesahkan bahawa sistem
untuk ã ≠ a tidak mempunyai penyelesaian. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengecualikan, sebagai contoh, x daripada persamaan pertama:
yang selepas penjelmaan membawa kepada persamaan
yang tidak mempunyai penyelesaian untuk ã ≠ a, kerana . Jadi, (7.4) ialah persamaan elips dengan paksi separuh utama a > 0 dan paksi separuh kecil b =√(a 2 - c 2) > 0. Ia dipanggil persamaan elips kanonik.
Pandangan elips. Kaedah geometri untuk membina elips yang dibincangkan di atas memberikan gambaran yang mencukupi tentang rupa elips. Tetapi bentuk elips juga boleh dikaji menggunakan persamaan kanoniknya (7.4). Sebagai contoh, anda boleh, dengan mengandaikan y ≥ 0, menyatakan y melalui x: y = b√(1 - x 2 /a 2), dan, setelah mengkaji fungsi ini, membina grafnya. Terdapat cara lain untuk membina elips. Bulatan berjejari a dengan pusat di tempat asal sistem koordinat kanonik elips (7.4) diterangkan dengan persamaan x 2 + y 2 = a 2. Jika ia dimampatkan dengan pekali a/b > 1 sepanjang paksi-y, maka anda mendapat lengkung yang diterangkan oleh persamaan x 2 + (ya/b) 2 = a 2, iaitu elips.
Catatan 7.1. Jika bulatan yang sama dimampatkan oleh faktor a/b
Sipi elips. Nisbah panjang fokus elips kepada paksi utamanya dipanggil kesipian elips dan dilambangkan dengan ε. Untuk elips yang diberikan
persamaan kanonik (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Jika dalam (7.4) parameter a dan b dikaitkan dengan ketaksamaan a
Apabila c = 0, apabila elips bertukar menjadi bulatan, dan ε = 0. Dalam kes lain, 0
Persamaan (7.3) adalah bersamaan dengan persamaan (7.4), kerana persamaan (7.4) dan (7.2) adalah setara. Oleh itu, persamaan elips juga adalah (7.3). Di samping itu, hubungan (7.3) menarik kerana ia memberikan formula yang ringkas dan bebas radikal untuk panjang |F 2 M| salah satu jejari fokus titik M(x; y) elips: |F 2 M| = a + εx.
Formula serupa untuk jejari fokus kedua boleh diperolehi daripada pertimbangan simetri atau dengan mengulangi pengiraan di mana, sebelum persamaan kuasa dua (7.2), radikal pertama dipindahkan ke sebelah kanan, dan bukan yang kedua. Jadi, untuk sebarang titik M(x; y) pada elips (lihat Rajah 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
dan setiap persamaan ini ialah persamaan elips.
Contoh 7.1. Mari cari persamaan kanonik bagi sebuah elips dengan paksi semimajor 5 dan kesipian 0.8 dan binanya.
Mengetahui paksi separuh utama elips a = 5 dan kesipian ε = 0.8, kita akan mendapati paksi separuh kecilnya b. Oleh kerana b = √(a 2 - c 2), dan c = εa = 4, maka b = √(5 2 - 4 2) = 3. Jadi persamaan kanonik mempunyai bentuk x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Untuk membina elips, adalah mudah untuk melukis segi empat tepat dengan pusat di tempat asal sistem koordinat kanonik, yang sisinya selari dengan paksi simetri elips dan sama dengan paksi yang sepadan (Gamb. 7.4). Segi empat tepat ini bersilang dengan
paksi elips pada bucunya A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), dan elips itu sendiri tertulis di dalamnya. Dalam Rajah. 7.4 juga menunjukkan fokus F 1.2 (±4; 0) bagi elips.
Sifat geometri elips. Mari kita tulis semula persamaan pertama dalam (7.6) sebagai |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Ambil perhatian bahawa nilai a/ε - x untuk a > c adalah positif, kerana fokus F 1 bukan milik elips. Nilai ini mewakili jarak ke garis menegak d: x = a/ε dari titik M(x; y) yang terletak di sebelah kiri garis ini. Persamaan elips boleh ditulis sebagai
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Ini bermakna elips ini terdiri daripada titik M(x; y) pada satah yang nisbah panjang jejari fokus F 1 M kepada jarak ke garis lurus d ialah nilai malar bersamaan dengan ε (Rajah. 7.5).
Garis lurus d mempunyai "berganda" - garis lurus menegak d, simetri kepada d relatif kepada pusat elips, yang diberikan oleh persamaan x = -a/ε. Berkenaan dengan d, elips diterangkan dalam cara yang sama seperti berkenaan dengan d. Kedua-dua baris d dan d" dipanggil direktriks elips. Direktriks elips adalah berserenjang dengan paksi simetri elips di mana fokusnya terletak, dan dijarakkan dari pusat elips pada jarak a/ε = a 2 /c (lihat Rajah 7.5).
Jarak p dari directrix ke fokus yang paling hampir dengannya dipanggil parameter fokus elips. Parameter ini sama dengan
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Ellips mempunyai satu lagi sifat geometri yang penting: jejari fokus F 1 M dan F 2 M membuat sudut yang sama dengan tangen kepada elips pada titik M (Rajah 7.6).
Harta ini mempunyai makna fizikal yang jelas. Jika sumber cahaya diletakkan pada fokus F 1, maka sinar yang muncul dari fokus ini, selepas pantulan dari elips, akan pergi sepanjang jejari fokus kedua, kerana selepas pantulan ia akan berada pada sudut yang sama dengan lengkung seperti sebelum pantulan. Oleh itu, semua sinar yang muncul dari fokus F 1 akan tertumpu pada fokus kedua F 2, dan sebaliknya. Berdasarkan tafsiran ini, sifat ini dipanggil sifat optik elips.
Baris urutan kedua.
Ellipse dan persamaan kanoniknya. Bulatan
Selepas kajian menyeluruh garis lurus dalam satah Kami terus mengkaji geometri dunia dua dimensi. Pertaruhannya digandakan dan saya menjemput anda untuk melawat galeri indah elips, hiperbola, parabola, yang merupakan wakil tipikal baris pesanan kedua. Lawatan telah bermula, dan pertama sekali maklumat ringkas tentang keseluruhan pameran di tingkat yang berbeza di muzium:
Konsep garis algebra dan susunannya
Garisan pada satah dipanggil algebra, jika dalam sistem koordinat affine persamaannya mempunyai bentuk , di mana polinomial yang terdiri daripada sebutan bentuk ( – nombor nyata, – integer bukan negatif).
Seperti yang anda lihat, persamaan garis algebra tidak mengandungi sinus, kosinus, logaritma dan beau monde berfungsi lain. Hanya X dan Y yang masuk integer bukan negatif darjah.
Pesanan baris sama dengan nilai maksimum istilah yang disertakan di dalamnya.
Menurut teorem yang sepadan, konsep garis algebra, serta susunannya, tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat affine, oleh itu, untuk memudahkan kewujudan, kami menganggap bahawa semua pengiraan seterusnya berlaku dalam Koordinat Cartesan.
Persamaan am baris tertib kedua mempunyai bentuk , di mana 
– nombor nyata arbitrari (Ia adalah kebiasaan untuk menulisnya dengan faktor dua), dan pekali tidak sama dengan sifar pada masa yang sama.
Jika , maka persamaan itu dipermudahkan kepada 
, dan jika pekali tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, maka ini betul-betul persamaan umum garis "rata"., yang mewakili baris pesanan pertama.
Ramai yang telah memahami maksud istilah baru, tetapi, bagaimanapun, untuk 100% menguasai bahan, kami memasukkan jari kami ke dalam soket. Untuk menentukan susunan baris, anda perlu mengulangi semua syarat persamaannya dan cari bagi setiap daripadanya jumlah darjah pembolehubah masuk.
Sebagai contoh:
istilah mengandungi "x" kepada kuasa pertama;
istilah mengandungi "Y" kepada kuasa pertama;
Tiada pembolehubah dalam istilah, jadi jumlah kuasa mereka adalah sifar.
Sekarang mari kita fikirkan mengapa persamaan mentakrifkan garis kedua pesanan:
istilah mengandungi "x" kepada kuasa ke-2;
hasil tambah mempunyai jumlah kuasa pembolehubah: 1 + 1 = 2;
istilah mengandungi "Y" kepada kuasa ke-2;
semua istilah lain - kurang darjah.
Nilai maksimum: 2
Jika kita menambah, katakan, pada persamaan kita, maka ia sudah pun menentukan baris perintah ketiga. Adalah jelas bahawa bentuk umum persamaan baris tertib ke-3 mengandungi "set penuh" sebutan, jumlah kuasa pembolehubah yang sama dengan tiga:
, di mana pekali tidak sama dengan sifar pada masa yang sama.
Sekiranya anda menambah satu atau lebih istilah yang sesuai yang mengandungi 
, maka kita akan bercakap tentang baris pesanan ke-4, dan lain-lain.
Kita perlu menemui baris algebra bagi susunan ke-3, ke-4 dan lebih tinggi lebih daripada sekali, khususnya, apabila berkenalan dengan sistem koordinat kutub.
Walau bagaimanapun, mari kita kembali kepada persamaan am dan ingat variasi sekolah yang paling mudah. Sebagai contoh, parabola timbul, persamaan yang boleh dikurangkan dengan mudah kepada bentuk umum, dan hiperbola dengan persamaan yang setara. Namun, tidak semuanya begitu lancar...
Kelemahan ketara persamaan am ialah hampir selalu tidak jelas garis mana yang ditakrifkannya. Walaupun dalam kes yang paling mudah, anda tidak akan segera menyedari bahawa ini adalah hiperbola. Susun atur sedemikian bagus hanya pada penyamaran, jadi masalah biasa dipertimbangkan dalam perjalanan geometri analisis membawa persamaan baris tertib ke-2 kepada bentuk kanonik.
Apakah bentuk kanonik persamaan?
Ini ialah bentuk standard persamaan yang diterima umum, apabila dalam beberapa saat ia menjadi jelas objek geometri yang ditakrifkannya. Di samping itu, bentuk kanonik sangat mudah untuk menyelesaikan banyak masalah praktikal. Jadi, sebagai contoh, mengikut persamaan kanonik "rata" lurus, pertama, jelas dengan serta-merta bahawa ini adalah garis lurus, dan kedua, titik kepunyaannya dan vektor arah mudah dilihat.
Ia adalah jelas bahawa mana-mana barisan pesanan pertama ialah garis lurus. Di tingkat dua, bukan lagi penjaga yang menunggu kami, tetapi kumpulan sembilan patung yang lebih pelbagai:
Klasifikasi baris tertib kedua
Menggunakan set tindakan khas, sebarang persamaan garis tertib kedua dikurangkan kepada salah satu daripada bentuk berikut:
(dan ialah nombor nyata positif)
1) 
– persamaan kanonik elips;
2) – persamaan kanonik hiperbola;
3) 
– persamaan kanonik parabola;
4) – khayalan elips;
5) – sepasang garis bersilang;
6) - sepasang khayalan garis bersilang (dengan satu titik persilangan yang sah di tempat asal);
7) – sepasang garis selari;
8) - sepasang khayalan garis selari;
9) – sepasang garisan bertepatan.
Sesetengah pembaca mungkin mempunyai tanggapan bahawa senarai itu tidak lengkap. Sebagai contoh, dalam titik No. 7, persamaan menentukan pasangan langsung, selari dengan paksi, dan persoalan timbul: di manakah persamaan yang menentukan garis selari dengan paksi ordinat? Jawapan: ia tidak dianggap kanonik. Garis lurus mewakili kes standard yang sama, diputar sebanyak 90 darjah, dan kemasukan tambahan dalam klasifikasi adalah berlebihan, kerana ia tidak membawa sesuatu yang baru secara asasnya.
Oleh itu, terdapat sembilan dan hanya sembilan jenis baris pesanan ke-2 yang berbeza, tetapi dalam amalan yang paling biasa adalah elips, hiperbola dan parabola.
Mari kita lihat elips dahulu. Seperti biasa, saya memberi tumpuan kepada perkara-perkara yang sangat penting untuk menyelesaikan masalah, dan jika anda memerlukan terbitan terperinci formula, bukti teorem, sila rujuk, sebagai contoh, kepada buku teks oleh Bazylev/Atanasyan atau Aleksandrov.
Ellipse dan persamaan kanoniknya
Ejaan... tolong jangan ulangi kesilapan sesetengah pengguna Yandex yang berminat dengan "cara membina elips", "perbezaan antara elips dan bujur" dan "kesipian elips".
Persamaan kanonik elips mempunyai bentuk , di mana nombor nyata positif, dan . Saya akan merumuskan definisi elips kemudian, tetapi buat masa ini sudah tiba masanya untuk berehat dari kedai bercakap dan menyelesaikan masalah biasa:
Bagaimana untuk membina elips?
Ya, ambil dan lukis sahaja. Tugasan itu kerap berlaku, dan sebahagian besar pelajar tidak mengatasi lukisan dengan betul:
Contoh 1
Bina elips yang diberikan oleh persamaan
Penyelesaian: Pertama, mari kita bawa persamaan kepada bentuk kanonik: 
Kenapa bawa? Salah satu kelebihan persamaan kanonik ialah ia membolehkan anda menentukan serta-merta bucu elips, yang terletak di titik. Adalah mudah untuk melihat bahawa koordinat setiap titik ini memenuhi persamaan.
Dalam kes ini: 
Segmen garisan dipanggil paksi utama elips;
segmen garisan – paksi kecil;
nombor 
dipanggil aci separa utama elips;
nombor 
– paksi kecil.
dalam contoh kami: .
Untuk membayangkan dengan cepat rupa bentuk elips tertentu, lihat sahaja nilai "a" dan "be" bagi persamaan kanoniknya.
Semuanya baik, licin dan cantik, tetapi ada satu kaveat: Saya membuat lukisan menggunakan program ini. Dan anda boleh membuat lukisan menggunakan sebarang aplikasi. Walau bagaimanapun, dalam realiti yang keras, terdapat sekeping kertas berkotak-kotak di atas meja, dan tikus menari dalam bulatan di tangan kami. Orang yang mempunyai bakat seni, sudah tentu, boleh berhujah, tetapi anda juga mempunyai tikus (walaupun yang lebih kecil). Tidak sia-sia manusia mencipta pembaris, kompas, protraktor dan peranti mudah lain untuk melukis.
Atas sebab ini, kita tidak mungkin dapat melukis elips dengan tepat dengan hanya mengetahui bucunya. Tidak mengapa jika elips kecil, contohnya, dengan separa paksi. Sebagai alternatif, anda boleh mengurangkan skala dan, dengan itu, dimensi lukisan. Tetapi secara umum, adalah sangat wajar untuk mencari mata tambahan.
Terdapat dua pendekatan untuk membina elips - geometri dan algebra. Saya tidak suka pembinaan menggunakan kompas dan pembaris kerana algoritma bukanlah yang terpendek dan lukisannya sangat bersepah. Sekiranya berlaku kecemasan, sila rujuk buku teks, tetapi sebenarnya adalah lebih rasional untuk menggunakan alat algebra. Daripada persamaan elips dalam draf kami dengan cepat menyatakan: 
Persamaan itu kemudiannya dibahagikan kepada dua fungsi: 
– mentakrifkan arka atas elips; 
– mentakrifkan lengkok bawah elips.
Elips yang ditakrifkan oleh persamaan kanonik adalah simetri berkenaan dengan paksi koordinat, serta berkenaan dengan asalan. Dan ini bagus - simetri hampir selalu menjadi pertanda hadiah percuma. Jelas sekali, sudah cukup untuk berurusan dengan suku koordinat pertama, jadi kita memerlukan fungsi itu 
. Ia memohon untuk ditemui mata tambahan dengan abscissas 
. Mari ketik tiga mesej SMS pada kalkulator: 
Sudah tentu, ia juga bagus bahawa jika kesilapan serius dibuat dalam pengiraan, ia akan segera menjadi jelas semasa pembinaan.
Mari kita tandai titik pada lukisan (merah), titik simetri pada lengkok yang tinggal (biru) dan sambungkan seluruh syarikat dengan garisan dengan teliti: 
Adalah lebih baik untuk melukis lakaran awal dengan sangat nipis, dan hanya kemudian gunakan tekanan dengan pensil. Hasilnya mestilah elips yang agak baik. By the way, adakah anda ingin tahu apakah lengkung ini?
Definisi elips. Fokus elips dan kesipian elips
Elips ialah kes khas bujur. Perkataan "bujur" tidak boleh difahami dalam erti kata philistine ("kanak-kanak itu melukis bujur", dll.). Ini adalah istilah matematik yang mempunyai rumusan terperinci. Tujuan pelajaran ini bukanlah untuk mempertimbangkan teori bujur dan pelbagai jenisnya, yang hampir tidak mendapat perhatian dalam kursus standard geometri analitik. Dan, selaras dengan lebih banyak keperluan semasa, kami segera beralih kepada definisi ketat elips:
Ellipse ialah set semua titik satah, hasil tambah jarak ke setiap satu daripada dua titik tertentu, dipanggil muslihat elips, ialah kuantiti tetap, secara berangka sama dengan panjang paksi utama elips ini: .
Dalam kes ini, jarak antara fokus adalah kurang daripada nilai ini: .
Sekarang semuanya akan menjadi lebih jelas: 
Bayangkan bahawa titik biru "mengembara" sepanjang elips. Jadi, tidak kira apa titik elips yang kita ambil, jumlah panjang segmen akan sentiasa sama:
Mari kita pastikan bahawa dalam contoh kita nilai jumlah itu benar-benar sama dengan lapan. Letakkan titik "um" secara mental pada bucu kanan elips, kemudian: , yang perlu diperiksa.
Kaedah lain untuk melukisnya adalah berdasarkan definisi elips. Matematik yang lebih tinggi kadangkala menjadi punca ketegangan dan tekanan, jadi sudah tiba masanya untuk mengadakan sesi pemunggahan lagi. Sila ambil kertas whatman atau sekeping kadbod besar dan sematkan pada meja dengan dua paku. Ini akan menjadi helah. Ikatkan seutas benang hijau pada kepala paku yang terkeluar dan tariknya sepenuhnya dengan pensel. Plumbum pensel akan berakhir pada titik tertentu yang tergolong dalam elips. Sekarang mula gerakkan pensel di sepanjang sekeping kertas, pastikan benang hijau tetap tegang. Teruskan proses sehingga anda kembali ke titik permulaan... hebat... lukisan boleh diperiksa oleh doktor dan cikgu =)
Bagaimana untuk mencari fokus elips?
Dalam contoh di atas, saya menggambarkan titik fokus "siap sedia", dan sekarang kita akan belajar cara mengekstraknya dari kedalaman geometri.
Jika elips diberikan oleh persamaan kanonik, maka fokusnya mempunyai koordinat 
, di mana jarak dari setiap fokus ke pusat simetri elips.
Pengiraan adalah lebih mudah daripada mudah: 
! Koordinat khusus fokus tidak boleh dikenal pasti dengan maksud "tse"! Saya ulangi bahawa ini adalah JARAK dari setiap fokus ke pusat(yang dalam kes umum tidak perlu terletak tepat di tempat asal).
Dan, oleh itu, jarak antara fokus juga tidak boleh terikat dengan kedudukan kanonik elips. Dalam erti kata lain, elips boleh dialihkan ke tempat lain dan nilai akan kekal tidak berubah, manakala fokus secara semula jadi akan menukar koordinatnya. Sila ambil kira perkara ini semasa anda meneroka topik ini dengan lebih lanjut.
Sipi elips dan makna geometrinya
Sipi elips ialah nisbah yang boleh mengambil nilai dalam julat .
Dalam kes kami:
Mari kita ketahui bagaimana bentuk elips bergantung pada kesipiannya. Untuk ini betulkan bucu kiri dan kanan elips yang sedang dipertimbangkan, iaitu, nilai paksi semimajor akan kekal malar. Kemudian formula kesipian akan mengambil bentuk: .
Mari kita mula mendekatkan nilai kesipian kepada perpaduan. Ini hanya boleh dilakukan jika . Apakah maksudnya? ... ingat muslihat 
. Ini bermakna bahawa fokus elips akan "bergerak berasingan" di sepanjang paksi absis ke bucu sisi. Dan, memandangkan "segmen hijau bukan getah," elips pasti akan mula rata, bertukar menjadi sosej yang lebih nipis dan nipis yang diikat pada paksi.
Oleh itu, semakin hampir nilai kesipian elips dengan kesatuan, semakin memanjang elips itu.
Sekarang mari kita model proses yang bertentangan: fokus elips 
berjalan ke arah satu sama lain, menghampiri pusat. Ini bermakna bahawa nilai "ce" menjadi semakin kurang dan, dengan itu, kesipian cenderung kepada sifar: .
Dalam kes ini, "segmen hijau" akan, sebaliknya, "menjadi sesak" dan mereka akan mula "menolak" garis elips ke atas dan ke bawah.
Oleh itu, Semakin hampir nilai kesipian kepada sifar, semakin serupa elips itu... lihat kes pengehad apabila fokus berjaya disatukan semula di tempat asal:
Bulatan ialah kes khas elips
Sesungguhnya, dalam kes kesamaan separuh paksi, persamaan kanonik elips mengambil bentuk , yang secara refleks berubah kepada persamaan bulatan dengan pusat pada asal jejari "a", yang terkenal dari sekolah.
Dalam amalan, tatatanda dengan huruf "bercakap" "er" lebih kerap digunakan: . Jejari ialah panjang segmen, dengan setiap titik bulatan dikeluarkan dari pusat dengan jarak jejari.
Ambil perhatian bahawa takrifan elips kekal betul sepenuhnya: fokus bertepatan, dan jumlah panjang segmen bertepatan untuk setiap titik pada bulatan adalah pemalar. Oleh kerana jarak antara fokus ialah , maka kesipian mana-mana bulatan adalah sifar.
Membina bulatan adalah mudah dan cepat, hanya gunakan kompas. Walau bagaimanapun, kadang-kadang perlu untuk mengetahui koordinat beberapa titiknya, dalam kes ini kita menggunakan cara yang biasa - kita membawa persamaan ke bentuk Matanov yang ceria:
– fungsi separuh bulatan atas;
– fungsi separuh bulatan bawah.
Kemudian kita dapati nilai yang diperlukan, membezakan, mengintegrasikan dan melakukan perkara baik yang lain.
Artikel itu, sudah tentu, hanya untuk rujukan, tetapi bagaimana anda boleh hidup di dunia tanpa cinta? Tugas kreatif untuk penyelesaian bebas
Contoh 2
Susun persamaan kanonik elips jika salah satu fokus dan paksi separa kecilnya diketahui (pusatnya adalah pada asalan). Cari bucu, titik tambahan dan lukis garisan dalam lukisan. Kira kesipian.
Penyelesaian dan lukisan pada akhir pelajaran
Mari tambah tindakan:
Putar dan selari menterjemah elips
Mari kita kembali kepada persamaan kanonik elips, iaitu, kepada keadaan, misteri yang telah menyeksa minda ingin tahu sejak sebutan pertama keluk ini. Jadi kami melihat elips 
, tetapi tidakkah mungkin dalam amalan untuk memenuhi persamaan 
? Lagipun, di sini, bagaimanapun, ia kelihatan seperti elips juga!
Persamaan jenis ini jarang berlaku, tetapi ia terjumpa. Dan ia sebenarnya mentakrifkan elips. Mari kita demystify: 
Hasil daripada pembinaan, elips asli kami diperolehi, diputar sebanyak 90 darjah. Itu dia, 
- Ini kemasukan bukan kanonik elips 
. Rekod!- persamaan 
tidak mentakrifkan sebarang elips lain, kerana tiada titik (fokus) pada paksi yang akan memenuhi definisi elips.
Keluk tertib kedua pada satah adalah garis yang ditakrifkan oleh persamaan di mana koordinat pembolehubah x Dan y terkandung dalam darjah kedua. Ini termasuk elips, hiperbola dan parabola.
Bentuk umum persamaan lengkung tertib kedua adalah seperti berikut:
di mana A B C D E F- nombor dan sekurang-kurangnya satu daripada pekali A, B, C tidak sama dengan sifar.
Apabila menyelesaikan masalah dengan lengkung tertib kedua, persamaan kanonik elips, hiperbola dan parabola paling kerap dipertimbangkan. Ia adalah mudah untuk beralih kepada mereka dari persamaan umum; contoh 1 masalah dengan elips akan ditumpukan kepada ini.
Ellipse diberikan oleh persamaan kanonik
Definisi elips. Elips ialah set semua titik satah yang mana jumlah jarak ke titik yang dipanggil fokus adalah nilai malar yang lebih besar daripada jarak antara fokus.
Fokus ditunjukkan seperti dalam rajah di bawah.
Persamaan kanonik elips mempunyai bentuk:
di mana a Dan b (a > b) - panjang separuh paksi, iaitu separuh panjang segmen yang dipotong oleh elips pada paksi koordinat.
Garis lurus yang melalui fokus elips ialah paksi simetrinya. Satu lagi paksi simetri elips ialah garis lurus yang melalui bahagian tengah segmen berserenjang dengan segmen ini. titik TENTANG persilangan garisan ini berfungsi sebagai pusat simetri elips atau hanya pusat elips.
Paksi absis elips bersilang pada titik ( a, TENTANG) Dan (- a, TENTANG), dan paksi ordinat adalah dalam titik ( b, TENTANG) Dan (- b, TENTANG). Empat titik ini dipanggil bucu elips. Segmen antara bucu elips pada paksi-x dipanggil paksi utamanya, dan pada paksi ordinat - paksi kecilnya. Segmen mereka dari atas ke tengah elips dipanggil separuh paksi.
Jika a = b, maka persamaan elips mengambil bentuk . Ini ialah persamaan bulatan dengan jejari a, dan bulatan ialah kes khas elips. Elips boleh diperolehi daripada bulatan jejari a, jika anda memampatkannya ke dalam a/b kali sepanjang paksi Oy .
Contoh 1. Periksa sama ada garis yang diberikan oleh persamaan am adalah 
, elips.
Penyelesaian. Kami mengubah persamaan am. Kami menggunakan pemindahan sebutan bebas ke sebelah kanan, pembahagian sebutan demi sebutan bagi persamaan dengan nombor yang sama dan pengurangan pecahan:
Jawab. Persamaan yang diperoleh hasil daripada penjelmaan ialah persamaan kanonik bagi elips. Oleh itu, garisan ini adalah elips.
Contoh 2. Susun persamaan kanonik elips jika separa paksinya ialah 5 dan 4, masing-masing.
Penyelesaian. Kami melihat formula untuk persamaan kanonik elips dan pengganti: paksi semimajor ialah a= 5, paksi separuh kecil ialah b= 4 . Kami memperoleh persamaan kanonik elips:
Titik dan , ditunjukkan dalam warna hijau pada paksi utama, di mana
dipanggil muslihat.
dipanggil kesipian elips.
Sikap b/a mencirikan "oblateness" elips. Semakin kecil nisbah ini, semakin banyak elips memanjang di sepanjang paksi utama. Walau bagaimanapun, tahap pemanjangan elips lebih kerap dinyatakan melalui kesipian, formula yang diberikan di atas. Untuk elips yang berbeza, kesipian berbeza dari 0 hingga 1, sentiasa kekal kurang daripada perpaduan.
Contoh 3. Susun persamaan kanonik elips jika jarak antara fokus ialah 8 dan paksi utama ialah 10.
Penyelesaian. Mari buat beberapa kesimpulan mudah:
Jika paksi utama adalah sama dengan 10, maka separuhnya, iaitu separuh paksi a = 5 ,
Jika jarak antara fokus ialah 8, maka nombornya c daripada koordinat fokus adalah sama dengan 4.
Kami menggantikan dan mengira:
Hasilnya ialah persamaan kanonik elips:
Contoh 4. Susun persamaan kanonik elips jika paksi utamanya ialah 26 dan kesipiannya ialah .
Penyelesaian. Seperti berikut daripada kedua-dua saiz paksi utama dan persamaan kesipian, paksi separuh utama elips a= 13. Daripada persamaan kesipian kita menyatakan nombor itu c, diperlukan untuk mengira panjang separuh paksi kecil:
.
Kami mengira kuasa dua panjang separuh paksi kecil:
Kami menyusun persamaan kanonik elips:
Contoh 5. Tentukan fokus elips yang diberikan oleh persamaan kanonik.
Penyelesaian. Cari nombor c, yang menentukan koordinat pertama fokus elips:
.
Kami mendapat fokus elips:
Contoh 6. Fokus elips terletak pada paksi lembu simetri tentang asal usul. Susun persamaan kanonik bagi elips jika:
1) jarak antara fokus ialah 30, dan paksi utama ialah 34
2) paksi kecil 24, dan salah satu fokus adalah pada titik (-5; 0)
3) kesipian, dan salah satu fokus adalah pada titik (6; 0)
Mari kita teruskan bersama-sama menyelesaikan masalah elips
Jika ialah titik arbitrari elips (ditunjukkan dalam warna hijau di bahagian atas kanan elips dalam lukisan) dan merupakan jarak ke titik ini dari fokus, maka formula untuk jarak adalah seperti berikut:
Bagi setiap titik kepunyaan elips, jumlah jarak dari fokus ialah nilai malar bersamaan dengan 2 a.
Garis ditakrifkan oleh persamaan
dipanggil guru besar elips (dalam lukisan terdapat garis merah di sepanjang tepi).
Daripada dua persamaan di atas ia mengikuti bahawa untuk mana-mana titik elips
,
di mana dan ialah jarak titik ini ke arah dan .
Contoh 7. Diberi elips. Tuliskan persamaan untuk direktriksnya.
Penyelesaian. Kami melihat persamaan directrix dan mendapati bahawa kita perlu mencari kesipian elips, i.e. Kami mempunyai semua data untuk ini. Kami mengira:
.
Kami memperoleh persamaan direktriks elips:
Contoh 8. Susun persamaan kanonik elips jika fokusnya ialah titik dan direktriks ialah garis.